（固体力学专业论文）生物材料的热电化力学多场耦合理论与有限元分析方法.pdf

摘要 生物组织、生物凝胶体等生物材料作为特殊的多孔介质，具有导电性、膨胀 性和高分子兼容性。这类多孑l 介质不仅发生力学过程，在很多情况下还同时存在 其他复杂的物理过程、化学过程和生物学过程，而且这些过程往往是相互影响和 互为制约的。为了揭示生物材料多物理场的相互作用机理，本文研究生物材料的 热一电化力学多场耦合效应。 本文的主要研究工作为： ( 1 ) 介绍了材料在热、电、力的载荷单独作用下的基本理论，利用变分原理， 得到有限元求解形式。通过离子的对流一扩散方程，推出稳定场和非稳定场情况 下的基本方程和边界条件，并由加权余值法得到了相应的有限元形式。 f 2 ) 从g i b b s 能量角度出发，在考虑热耗散和化学耗散的情况，给出了耦合 场作用下材料的控制方程：热一力藕合方程、力一电耦合方程、力一化耦合方程。然 后给出了热一电力三场耦合作用下材料的有限元形式，最后将化学场引入到热一 电一力三场耦合理论中，导出了生物材料的热电力一化四场全耦合有限元方程。 f 3 1 根据已经得到的力化耦合问题的有限元方程，实现了力一化耦合过程的 数值模拟，得到了相应的数值结果数值结果表明了本文理论的正确性和有效性 通过本文的研究工作，初步建立了生物组织、生物凝胶体等生物材料的多场 耦合理论及其有限元分析方法。数值例题展示了生物材料中的多物理耦合现象。 本文的理论和方法可应用于其他多孔介质的多场耦合分析。 关键词生物材料；凝胶体；软组织；热一电一力化耦合；变分原理；化学势 北京工业大学工学硕士学位论文 a b s t r a c t a so n ek i n do fs p e c i a lp o r o u sm e d i a ，b i o l o g i c a lt i s s u e s ，h y d r o g e l sa r eo f c o n d u c t i n g ，s w e l l i n ga n dc o m p a t i b i l i t yw i t hp o l y m e r t h e s em a t e r i a l sc a r le x p e r i e n c e m e c h a n i c a l ，p h y s i c a l ，c h e m i c a la n db i o l o g i c a lp r o c e s s t h e s ep r o c e s s e sa r ei n t e r a c t i v e f o ru n d e r s t a n d i n go ft h em e c h a n i s mo ft h ei n t e r a c t i o no fm u l t i p h y s i c a lf i e l d s ，t h e c o u p l i n g b e h a v i o r so ft h e r m o - e l e c t r o - c h e m o - m e c h a n i c sa r e i n v e s t i g a t e d f o r b i o m a t e r i a l sj nt h i sd i s s e r t a t i o n t h em a i nw o r ki nt h i sd i s s e r t a t i o ni sa sf o l l o w s ： n ) b a s i ct h e o r i e so fm a t e r i a l su n d e rd i f f e r e n tf i e l d1 0 a d sa r er e v e a l e d t h e s e i n c l u d et h e r m a l e l e e t r i ca n dm e c h a n i c a lt h e o r i e s t h ef i i l i t ee l e m e n te q u a t i o n sa r e d e r i v e db vv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e b a s i ce q u a t i o n sa b o u ts t a b l ea n du n s t a b l ec h e m i c a l f i e l da r ed e r i v e df r o mc o n v e c t i v e - d i f l u s i o ne q u a t i o no ft h ei o nr e v i e w e d t h e nf i n i t e e l e m e n tf o r m so f c h e m i c a lf i e l da r eo b t a i n e db yt h ew e i g l l t e dr e s i d u a lm e t h o d ( 2 ) i nt h ev i e wo fg i b b sf r e ee n e r g y , b a s i ce q u a t i o n so f t h et w o f i e l dc o u p l i n g a r eo b t a i n e db yc o n s i d e r i n gt h eh e a td i s s i p a t i o na n di o nd i f f u s i o n ，i n c l u d i n g t h e r m o m e c h a n i c a l e l e c t r o - m e c h a n i c a la n dc h e m o - m e c h a n i c a le q u a t i o n s t h e n c o u p l i n g f i n i t ee l e m e n tf o r m so ft h e r m o e l e c t r o - m e c h a n i c a la r e g i v e n f i n a l l y c h e m i c a lf i e l di si n t r o d u c e dt ot h e r m o e l e c t r o m e c h a n i c a lc o u p l i n gt h e o r yt oo b t a i n f u l l c o u p l i n gf i 血t ee l e m e n te q u a t i o n so ft h e r r n o e l e c t r o c h e m o m e c h a n i c a lf i e l d s f 3 、n u r n e r i c a ls i m u l a t i o no fc o u p l i n gb e h a v i o r sf o rb i o m a t e r i a l si si m p l e m e n t e d a c c o r d i n gt ot h ec h e m o - m e c h a n i c a lf i 血t ee l e m e n tm e t h o d t h en u m e r i c a lr e s u l t s i n d i c a t ev a l i d i t ya n de f f e c t i v i t yo f t h ep r e s e n tt h e o r y t h ec o u p l i n gt h e o r ya n df i n i t ee l e m e n tm e t h o do fm u l t i - p h y s i c a lf i e l d sf o r b i o m a t e r i a l sa r ep r e l i m i n 碰l ve s t 曲l i s h e di n t h i sd i s s e r t a t i o n n u m e r i c a le x a m p l e s e x h i b i tt h em u l t i p h y s i c a lc o u p l i n gp h e n o m e n ao fb i o m a t e r i a l s t l l i st h e o r ya n d m e t h o dc a nb ea p p l i e di nm u l t i f i e l dc o u p l i n ga n a l y s i so f o t h e rp o r o u sm e d i a k e yw o r d sb i o l o g i c a lm a t e r i a l ；h y d r o g e l ；s o f tt i s s u e ；v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e t h e r m o - e l e c t r o c h e m o - m e c h a n i c a lc o u p l i n g ；c h e m i c a lp o t e n t i a l 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：盎盘銎 日期：2 堕妻：丝 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 日期：型：墨二堕 第1 章绪论 詈量置量s 鼍墨皇鲁e 曼舅兰蔓寰皇e 田皇篁量蜘| 1i 墨舅罾舅| 量墨墨置舅皇舅| 曼皇寰皇e 嘲 1 1 引言 第l 章绪论 随着科学技术的进步和工程应用领域的不断扩大，生物材料( b i o l o g i c a l m a t e r i a l ) 的研究显得越来越重要f l 】。当材料处于人体环境时，通常具有复杂的介 质环境，如渗流场、温度场、应力场、电场和化学场等，这些环境相互作用、相 互影响，从而构成了相互制约的动态平衡体系的复杂状态【2j 。因此，研究生物材 料在多场耦合作用下的性能研究就显得尤为重要。 这里研究的生物材料是一种特殊的多孔介质( p o r o u sm e d i a ) 。多孔介质可以 看作由带电可渗透性固体构成，固体间充满电解质溶液。水凝胶体、粘土、页岩、 生物软骨组织等材料都可以近似地看作是多孔介质pj 。我们所研究的生物材料是 多孔介质中的一类，在介质中，当改变相关盐水浓度时，材料通常会发生膨胀或 收缩现象，这主要是由于附在固体上的电荷以及存在于流体中的离子的相互作用 产生的。他们之间的相互作用产生了唐南渗透、电渗透、扩散势和扩散电流等特 征【4 l ，当材料变形时还要考虑到流体压力的作用p ，6 j 。 由于生物材料结构的复杂性、多相性导致了研究的困难性。就人体软骨组织 而言，人体内的软骨具有极特殊的力学性能， 在关节润滑和减弱动力作用中起 着重要的作用【”。但是人体软骨组织内无血管，一旦损伤很难修复，多年来人们 一直试图修复或重建受损后的软骨组织。人体内部的软骨组织所具有的多成分、 非匀质性各项异性的本质使得力学分析复杂化。因此简化几何条件的实验工作应 当与有限元计算相联系悼j 。 图1 - 1 豚鼠鼻中隔内软骨组织的割断面 f i g 1 - 1c r o s ss e c t i o no f c a r t i l a g et i s s u e i nt h en o s eo f c a v y 图i - 2 同源软骨细胞群中的软骨组织 f i g 1 - 2c a r t i l a g et i s s u ew i t hc a p s u l ea n dm a t r i x i nt h eh o m o l o g o u sc a r t i l a g ec e l lp o p u l a t i o n 由于生物材料特殊的结构及广泛的应用性，因此有必要对这种结构在热电一 力一化学多场耦合作用下的性能进行进一步的研究，建立符合实际的模型。面对 如此复杂的物理现象，一方面要得到有效的公式表述来阐述要求解的问题，另一 方面，利用有限元方法对其耦合性能进行数值模拟，并与实验数据进行对比验证 9 , 1 0 1 。 本文要做的工作主要是建立生物材料有效的多场耦合模型，根据基本方程和 北京工业大学工学硕士学位论文 边界条件，运用广义变分原理得到关于能量泛函的有限元表述，然后利用有限元 程序实现数值模拟，得到数值结果，将数值结果与实验结果进行对比，为实际工 程的应用提供有利的理论指导和判断依据。 1 2 生物材料和多子l 介质的研究现状 1 2 1 生物材料在组织工程中的应用 多孔介质理论可以应用于生物材料的性能研究。 起初人们研究多孔介质主要是针对岩等流固耦合问题，将多孔介质看作是 连续介质来考虑材料在受到载荷作用时发生的变化。其中渗透是多孔介质的一个 显著的特征。渗流不仅存在于岩石和土壤等地下多孔介质中，还存在于地上的许 多工程装置和工程材料的多孔体系中，也存在于像微细血管系统中。尤其在人工 软骨和组织工程支架材料等研究领域。作为骨细胞种植基质材料的生物多孔介质 是一种可降解聚合物胶体。主要有：聚乳酸( p o l y l a e t i e p e i d ) 、聚乙醇酸( p o l y g i y c o l i e a e i d l 、聚羟丁j l 目( p o l y h y d r o x y r a t e ) 及其共聚物等。这些聚合物作为细胞外基质材 料各有其优缺点。 软骨组织损伤后的修复，目前最为流行的方法是构建一个多孔聚合物支架 叫，使软骨细胞可以进入多孔聚合物支架内部并在其上贴附和生长，同时细胞还 可以分泌基质，体外培养一段时间后将所得的“细胞一聚合物复合物”植于体内 使其继续生长，并慢慢形成新的软骨组织。 美国芝加哥重点医疗咨询中心( m c 3 ) 采用a d i n a ( a u t o m a t i cd y n a m i c i n c r e m e n t a ln o n l i n e a ra n a l y s i s ) 开发人工肺产品。人工肺的材料是毛细纤维束， m c 3 选用a d i n a 的多孔介质材料模拟人工肺，外部覆盖一层结构材料。通过外 部结构运动使气体流入、流出人工肺。分析得到人工肺中血压分布和血液流动特 征。肺的核心为纤维束，使用多孔介质材料来模拟，渗透系数由试验确定。 近年来，响应性凝胶体受到广泛 的重视【l ”。这类介质的结构、物理、 化学特性能够对外界激励作出响应， 实现化学能与机械能之间的转换，这 是响应性水凝胶的一种重要功能效 应。这种化学机械功能效应广泛存在 于生物体中，可以自动完成对外界激 励的感觉、处理和动作的全过程。现 在己成功地制备出了一些人造生物材 料，能够产生对p h 值、离子强度、 温度、光强度、电场等的响应，以模 图1 - 3 人工肺工作过程仿真 拟生物体内的化学机械系统a 但就整 r - s t ，t h ep r o c e s ss i m u l a t i o no f a r t i 6 c i a t u n s 萎熏麦甬蒡言警雾雾垩霜圭霎集；差 化学物质( 药物) 的控制释放上【l ”。目前已开展了少量基于响应性凝胶的致动器和 电控装置的“】。 最新研究发现，d n a 具有导电性。因此，与生命科学相结合，人造多孔介 第1 章绪论 质可以用来制造人造肌肉和人造神经，以促进d n a 生长和修饰d n a 。这将是多 孔介质研究在应用上重要的一个趋势。在现实应用上，生物材料还处在突破的前 夜，真正的实用化还未取得质的进步，需要进一步验证。 预计经过一个较长的发展阶段，固体力学将与流体力学一起进入生命科学的 领域。力学家将与生命科学家、物理学家和化学家一起模拟生命的发生、繁衍、 进化、损伤、老化等过程，探究生命信息的传递，定量她展示仿生医疗器械的力 学功能与控制。 1 2 2 研究方法与研究现状 对于多孔介质的研究主要有以下两方面的工作，一方面是物理化学的观点 1 5 , 1 6 ，物理化学的观点是根据含水导电聚合物的唐南渗透理论来预测离子的分布 状况和渗透压力的作用：另一方面是多相理论或者多孔弹性力学的观点7 ，”l ，这 一理论主要是考虑在物理化学作用下作为基体的固体的弹性性能。由于这两种理 论都涉及到了离子的变化，他们之间存在一定的联系，很多人试图建立起两者之 间的桥梁，将物理化学和多相理论方法综合考虑建立了多相多场耦合理论。 研究初期人们将多孔介质看做是流体与固体两相复合材料。最早研究流固耦 合问题的是t e r z a g h i ，他首先将可变形、饱和的多孔介质中流体的流动作为流动 一变形的耦合问题来看待，提出了有效应力的概念，并建立了一维固结模型0 9 1 0 在t e r z a g h i 等工作的基础上，b i o t 将这种介质看做是两相复合材料( 固体和液体) ， 首先建立了饱和多孔介质在等温、准静态下的基本方程及动力学方程，从而建立 了饱和多孔介质力学的理论框架。从本质上讲，这是一个工程描述方法，并且由 于耦合效应的影响，一般很难得到问题的解析解 2 0 2 1j 。m a 和h u e c k e l ，h u e c k e l 提出将粘土看作是两相混合物放置在热和化学荷载作用下，其中将含有水的固体 相作为一相，界面传递层作为一相来模拟离子的吸收和释放过程【2 2 ”】。根据多i l 介质所具有的显著渗流特性。以上研究采用了两相理论。 b o w e n 在现代连续介质力学框架内，以混合理论为基础，将体积分数视为独 立变量，给出了不可压缩和可压缩流体饱和多孔介质模型【2 4 2 。l a i 等人通过对 含水软骨组织的研究取得了主要的突破。古典混合理论发展到多相混合理论的研 究，将材料基体看作不同的相进行分析，其中固体相是主要的受力相和变形相， 流体和离子相之间的摩擦作用起着重要的作用。他们的研究将三相混合理论用于 描述软骨组织的膨胀和离子的转移，并用非线性有限元工具模拟了生物结构的变 形和膨胀【2 7 , 2 8 】。s h e r w o o d 工作在石油工程领域。他提出的页岩孔隙弹性的三相 模型不同于l a i 等人提出的理论，因为这一理论不包含电荷作用。与生物组织不 同的是页岩处于高超负荷作用下由于数百的大气压力作用，导致了膨胀压力 在其中起着主要的作用而不是渗透作用 2 9 os n i j d e r s 等人针对三相介质的有限元 变形问题，进行了一系列的二维和三维以及对称结构的有限元分析研究。并将固 定电荷密度作为它的输入参数之一。他们仅将此软件应用于模拟唐南渗透膨胀作 用，而忽略了介质内部的电流和电势场【l “。h e i d u g 和w o n g 进行了三相模型的 研究并将其应用于页岩研究，这一模型除渗透作用外还包括水压力的作用【3 。 s i m o n 等人提出了包含离子作用和膨胀效应的空隙弹性有限元公式表述，并在一 维膨胀的平衡结论中论证了特殊三相材料的性能口”。这些文献主要侧重于第二种 方法，从多相或者孔隙弹性理论研究了多孔介质在不同载荷作用下的受力状态分 析。 北京工业大学工学硕士学位论文 由h e u ，s n i j d e r s 和h o u b e n 所做的受到约束作用下的压缩实验和三相有限元 模拟，可以看出当水的扩散系数远远大于离子的扩散系数时能够唯的满足实验 数据的要求。当固定电荷较大时，组织内部的电荷的作用不能被忽略掉 3 2 - 3 4 】。 o o m e n s ( 1 9 9 4 ) 等人针对丙烯酰胺和丙烯酸的共聚物，进行了膨胀时的压力试验以 及约束作用下的膨胀和压缩实验，研究发现凝胶体具有与d r o s t 等人测量得到的 含水带电软骨组织类似的特性p ”。a c h a n t a 等人和a c h a n t a 以及c u s h m a n 进行 了包含水压力在内的多相复合材料的研究，由于水压力在矿物的多孔介质中是膨 胀的主要因素，因此a c h a n t a 的模型在实际应用中是比较可取的 5 1 。s u n 等人 f 1 9 9 9 ) 研究了包含力场、电场和化学场在内的复杂的有限元公式表述，但是这种 方法目前尚处于理论阶段，若要解决实际生物问题还需要进一步的研究【3 。上述 研究侧重于物理化学理论，从唐南渗透理论出发分析了在离子作用影响下分析了 多孔导电聚合物材料的性能和影响因素。 h u y g h e 和j a n s s e n 将化学电力学模型扩展到了由固体、液体、阳离子和阴 离子构成的四相混合理论的多孔介质的有限变形性能。这一理论包括电流和电梯 度。这一模型已经被用于有限元的公式表述，并且利用与其他实验数据一致的材 料参数可以证明，在受约束的膨胀和压缩实验中这一理论能较好的符合实验数据 1 3 7 。f r i i n s 等人将一个简化的一维有限元模型，运用四相混合理论进行了复合材 料模型的数值模拟，并将结果与椎间盘组织的一维膨胀和压缩实验进行比较证明 了这一理论【3 ”。s u n 等人、m o l e n a a r 等人重新针对f r i j n s 等人所做模拟进行了同 样的数值模拟，并且在他们的实验中还考虑了压缩性页岩的一个重要的特征 3 6 , 3 9 。e i j k e l k a m p 等人研究生物工程中人工椎间盘组织的所存在的一些问题，要 想较好的取代椎间盘组织，恢复其功能，需要考虑到几何尺寸、刚度、移动幅度、 强度、相互关联以及旋转度和移植技术这些必要条件1 4 。h u y g h e 等人利用包含 容积率概念的混合理论得到了热化学电荷机械载荷作用下的公式表述写出各 种成分的平衡定律以及作为整体的平衡定律。对可压缩的渗透性介质的热力学第 二定律中引入拉格朗日形式从而得到介质的本构关系约束条件【4 ”。m e e r v e l d 等 人运用解析的方法研究了饱和带电多孔介质在一维状态下受到凝固、膨胀和电载 荷作用时的性能分析。在一维条件下，通过给出的一系列没有耦合的扩散方程进 行耦合计算。在近似的电中性条件、小变形条件和浓度变化条件下提出了介质在 凝固、膨胀和电载荷作用下的分析方法【”。k a a s s c h i e t c 等人将四相混合理论应 用于软骨组织的有限元模型，并运用迭代的方法进行求解，这一方法在一维模型 结构中得到了证实。在他们的研究中证实模型发生的位移是很大的，这意味着小 弹性假定并不能很好的满足参数的要求。但是我们希望这一计算模型发生较小应 变时能够很好的符合实验要求。对于发生大应变时，线弹性假定必须被修正为有 限位移【43 1 。s a n s o n 和m a r c h a n d 研究了在电解质溶液中，由于离子的扩散作用而 产生的电化学势，利用广义的n e m s t - p l a n c k 方程以及满足泊松方程的质量守恒 方程进行耦合求解。文章中主要考虑了不同离子的流量和化学活度系数之间的关 系。最后利用有限元的形式来求解非线性方程【4 “。s u d i p t oa n d a l u m 研究了导电 聚合物凝胶体在酸性溶液中的应力、应变及电势关系，当凝胶体的膜厚度较小时 得到的结果符合唐南渗透，此时电势忽略不计，通过孔隙率的迭代可以得到应变 值；当膜较厚时则需要考虑电势作用，利用孔隙率和电势进行两次迭代得到浓度、 应变和电势值【45 1 。d o i 等人研究了在电场中静电条件下的离子聚合物胶体的动力 学性能 4 6 】。n e m a t n a s s e r 和l i 提出了离子聚合物金属复合材料的电一力模型【4 ”。 t h o m a s 等人研究的是在电泳溶液中受到电荷的激励作用的凝胶体。在给定电场 第1 章绪论 中，化学和电激励同时发生作用，利用给定的已知边界离子的值，来计算阴离子 和阳离子的浓度以及胶体内、外部的电势。在阴离子胶体的正极一侧离子浓度的 变化导致所求结果的增加被看作是胶体纤维的高膨胀率的迹象。导电聚合物胶体 上的机械测量值和电因素测量值与数值结果吻合很好。这证明了所应用的数值模 型的合理性【48 1 。 上述研究采用了多相多场耦合理论，将物理化学方法和多相理论相结合，由 四相混合理论出发研究了多孔介质的耦合性能。文献中从不同的角度分析了多孔 介质在多场耦合作用下的性能。一些给出了解析法推导理论，但多数都运用有限 元方法进行了求解，得到了相应的数值结果。研究了各个载荷的相互作用效应导 致的多孔介质的膨胀、收缩以及应力状态。 将三相混合理论发展到四相混合理论经历了十多年的历程，但是实质上材料 的成分并没有发生变化，仅仅是将离子相看作了阴离子和阳离子两相，然后根据 不同性质离子的性能来研究了材料受到的影响和变化。离子之间的相互作用、摩 擦作用都会影响力的成分的转移和扩散，从而又影响了材料发生的膨胀或者收缩 现象。 上述研究从不同的角度和方面展开了对多孔介质的研究和探索，既有针对于 生物材料的，也有针对页岩、凝胶体的研究，但是他们都具有多孔介质所具有的 共性。多数情况下用生物材料作为理论研究的模拟对象。利用多孔介质的研究方 法建立生物材料在多场耦合作用下的理论，进而研究生物材料的性能，利用计算 机辅助程序设计，可靠地计算和预测材料在生物体内外的性能和参数。 关于多孔介质材料的研究时间并不是很长，生物材料方面的研究兴起更晚一 些。由于规模化应用没有得到很好的突破，这方面的研究一度陷入低潮，尤其在 1 9 9 8 2 0 0 2 年期间相关文献也比较少【2 8 3 6 ，3 9 ，4 “。2 0 0 0 年诺贝化学奖，终于使一度 陷入低谷的导电聚合物研究走上了历史舞台的前面，作为以导电聚合物为主的生 物材料的研究也逐渐进入高潮。自2 0 0 3 年以来，这方面的研究突飞猛进，取得 了巨大的成就和进步，并且研究的思路也从不同的角度展开【4 2 ，4 3 ，4 s “】。 1 3 生物材料研究存在的问题 通过上面对多孔介质研究现状的分析可以看出，一、将载荷状态进行简化， 如忽略内部的电流、电势作用，对温度的变化忽略不计等，或者考虑力一化耦合 作用、热动力学耦合以及对于压电材料得力电热耦合作用等，这些研究目前也 尚处于理论阶段。二、利用假定已知值的方法进行求解，然后将计算结果回代， 运用迭代法进行求解，如s u d i f l t ok d e a n d a l u r u n r 的研究。但是缺少利用全 耦合的方法进行分析；三、研究通常以热力学第二不等式作为出发点，利用本构 关系得到相关得到有限元方程进行求解，如f 蛹n s 等人的一维模型。这些研究方 法备有其优势，但是由于多孔介质内部结构和反应过程的复杂性，不能很好的把 握介质内部的变化过程，也就不能准确的描述应力应变过程。 目前在国外对于多孔介质类生物材料的研究已经有了较为广泛和深入的研 究，但是国内这方面的研究相对比较少，研究方向多集中在流固耦合或者压电耦 合，很少考虑电场作用对生物材料的影响，对于电化学激励行为的研究文献更少。 从现有文献看，国内文献侧重于流固、多孔介质、渗透方面的基本理论研究；国 外文献侧重于多相混合理论，多场耦合理论，针对软骨组织、椎间盘组织等生物 材料进行了较为深入的研究，将影响生物材料性能的各种因素进行了考虑，进行 北京工业大学工学硕士学位论文 i | e ! 自e 自! 目| 墨 了较为全面的理论阐述，在数值计算方面的工作也已经进入实质性阶段，对材料 的性能在各种简化条件下进行了广泛的研究，得到具有指导意义的数据。 生物材料的研究越来越成为人们关注的焦点，对多孔介质的研究也有待进行 较为深入研究，利用多孔介质特性研究生物材料的人体组织的环境下的所表现出 来的性能，对于生物组织工程具有重大的意义。但是对生物材料的多物理场相互 作用机理仍待研究。 1 4 本论文的研究内容和意义 1 4 1 研究内容 ( 1 ) 研究对象本课题以生物软组织、生物凝胶体为主要研究对象，研究了 莱类生物材料在电热化力耦合载荷作用下的材料性能、从多宏观角度分析材料 在受到不同载荷作用时的行为。 ( 2 ) 计算理论的建立在以前的研究中很多是利用热力学第二不等式作为基 本方程，然后利用加权余值法进行求解，在这里是通过g i b b s 能量原理的广义变 分法来得到有限元表达形式，在分析过程中考虑了热流的扩散和化学势的扩散。 ( 3 ) 数值模拟根据理论推导得到的有限元求解形式，在m a t l a b 语言基础上 进行力一化耦合的数值模拟计算。 1 4 2 研究意义 当代生物材料的发展不仅强调材料自身理化性能和生物安全性、可靠性的改 善，而且更强调赋予其生物结构和生物功能，以使其在体内调动并发挥机体自我 修复和完善的能力，重建或康复受损的人体组织或器官。 本项目是国家自然科学基金资助项目“生物软组织多物理耦合性能的基础研 究”的一部分。目前，针对生物软组织工程的研究是国际性的难题和关键问题。 本课题针对多物理场作用下的材料性能进行了严谨的理论研究，这不仅在国内而 且在国际上都都是比较前沿和领先的。近年来，随着材料学、生物学、力学、临 床医学等学科的交叉发展，生物材料的性能研究在组织工程学领域具有广阔的发 展和应用前景。其次将研究理论与有限元方法相结合，利用发展迅速的现代计算 机技术，对研究材料对象进行数值模拟和分析。为新型高性能材料的研制和开发 理论基础。 1 5 程序设计平台 本论文的所有有限元分析程序和计算是在m a t l a b 的程序设计平台上完成的。 自m a t l a b 4 0 问世以来，m a t l a b 语言就成为最具有吸引了、应用最广泛的科 学计算语言。如今m a t l a b 已成为集数值计算、符号运算和图像处理功能于一体 的超级科学计算语言 5 1 - 5 3 1 。 m a t l a b 语言是一种以矩阵和阵列为基本编程单元，拥有完整的控制语句、数 第1 章绪论 l i l l 据结构、函数编写与调用格式和输入输出功能的具有面向对象程序设计程序的高 级程序语言。掌握这种语言的应用不仅可以利用它方便快捷的完成小规模的算法 验证、程序开发和调试工作，而且可以使用它进行大规模的复杂应用程序设计， 由于m a t l a b 所具有的强大的计算功能使得其真正成为不同专业的学生及科研、 工程技术人员所普遍认可的科学计算工具。 与其他高级程序设计语言相比，m a t l a b 语言除了执行效率要低于其它的高级 语言之外，无论是在编程的效率，可读性还是可移植性方面都远远高于其他的高 级语言，对于科技工作者来说，是一种非常实用的编程工具。而且由于m a t l a b 语言轻松的实现了c 语言和f o r t r a n 语言的几乎全部功能，并且在图形功能方面 有所加强，同时提供了大量功能齐全的数学函数，这使得用户不但可以编制出功 能强大、界面优美的应用程序，而且可以极大的缩短开发周期，但是严格说来， m a t l a b 语言并不是一种真正的计算机语言，因为用它所开发的程序不能脱离 m a t l a b 的解释性执行环境而运行。但是在m a t l a bc c + + 数学函数库的支持下， 与其他模块相结合可以生成可执行程序c 或c + + 的源代码，所生成的可执行程 序可以独立于m a t l a b 的解释性环境单独运行。这些特点说明m a t l a b 完全有能力 作为一种程序设计工具。 第2 章热、化学、电、流固问题的基本理论 为了研究生物材料在多场耦合载荷作用下的材料的基本性能，首先分析材料 在单场载荷作用下的基本理论，然后逐步进行耦合，最终得到在多场作用下的全 耦合方程。 本章研究了在单场载荷作用下材料的基本理论。逐项分析了材料在温度场、 化学场、电场作用下材料的变形和应力。根据不同载荷作用下的基本方程和边界 条件，利用变分原理得到势能的泛函形式，最后对泛函进行变分、离散化得到方 程的有限元形式。 2 1 热传导基本理论 传热学主要是研究热量传递规律的。由于两物理或者同一物理的不同部分之 间存在温度的不同而引起的热量传递过程，式中温差是发生传热的推动力5 4 , 5 5 。 对于宏观尺寸问题，傅里叶定律是导热理论的基础，热流密度表示为5 6 】 式中t 。导热系数 h = 一k j , ， ( 2 1 ) 式( 2 1 ) 中负号表示热流方向始终与0 相反。 热传导微分方程和边界条件，可用下式表示 基本方程为 h i 。= 一瓦玎 边界条件为 h n = h 。 式中t = t “一瓦韫度的变化； ，“绝对温度； 瓦绝对参考温度； 灯熵密度； 垃边界上的热流量。 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 6 n _ f 6 丁( 等圳矿一瑶眠” 。脚= 。 ( 2 - 4 ) 6 兀2 亨1 6 砚竹砸一去f ( 6 一- 一卯刁兀) d y 一寺f 6 ，( 吃怫一以) d s 。：一， 一专f ( 6 珊“丁卵瓦) d 寺f 6 t h d s _ o 肚一去弘等f ， ( 2 - 6 ) n 2 - ：( j 丢互f 红- t q 磊? d y + 去f 确一心 。一， 。去fc f + 丁叩，d 矿+ ；上f z - - n 。曲- 。 r = z = n t 。z = m z = l n t = b t 。 f 2 l 叩= p c 告= a t = 口m z = 0j = 1 式中口= 心 1 0 口物质的质量密度； c 单位质量的热容； n 插值函数或形函数； l 微分算子矩阵，取决于几何方程的形式，对于二维单元 l = 0 o 将离散化后的变量r 代入方程式( 2 - 5 ) ，可以得到方程的向量形式 北京工业丈学工学硕士学位论文 自目目目目目s _ _ _ e ! 目g _ 目自目目目_ i l l li i _ g e e 女| 目| _ ! 目s s s $ 式中 6 te 7 是任意变量； t 8 是独立变量。那么式( 2 - 8 ) 等价于 f ( b 7 k b t 8 一a v o n 7 n t 2 ) d r + f n e r h 。d s = 0 或者写为 k ，t 2 = p 2 式中 k ，= f ( b 7 k b 峨n 7 n ) d v p 5 一f n 7 h 。d s 式f 2 1 1a ) 是热传导矩阵，式( 2 1 1 b ) 是计算单元等效节点温度载荷列阵。 2 2 化学场基本理论 ( 2 9 ) ( 2 - 1 0 ) ( 2 - 1 1a ) ( 2 l l b ) 将试验电荷z e 从无限远处移入某相所做的功叫做电化学势( e l e c t r o c h e m i c a l p o t e n t i a l ) ，它由三部分组成：克服外电势所做的功z e c p ：由于表面存在定向偶 极层或电荷分布不均匀，克服表面电势z 所做的功z e 2 ；将一粒子从无限远处移 向不带电荷、也无定向偶极层的某相内，需克服粒子间的短程作用所做的化学功， 后者称为化学势( c h e m i e a lp o t e n t i a l ) 声1 6 0 。因此，电化学势“的表达式为 = z e ( o + z e z + 芦( 2 - 1 2 ) 或者写为 一= z p + 芦( 2 1 3 ) 式中电势； z 电荷的电荷数或离子的化合价。 将一克分子电荷数为z 的组分f 移入口相内所做的总功为 肛“= z i f + 万。 a = + ，一( 2 - 1 4 ) 式中 矿= 膳+ r t l n a 。( 2 - 1 5 ) 口 枷 酊 p 矶 ，一矗r 阼p 一瓦 瓦 + 栅 秽 n t r 斟 书 矿 一 孵 w 5 詈 啃 如盯 矗扣 = 一 m 第2 章热、化学、电、流固问题的基本理论 皇曼曼皇曼鼍寰皇量曼曾舞量置葛i i i ii i i i i i | 皇皇卑s 墨墨鼍毫墨舅舅墨墨量吕墨曩曼置舅蔓墨曼舅暑墨鼍量奠鲁 式中 膳标准状态下的电化学势； f 法拉第常数； “d 相离子的活度a 。= ，。c 。； 厂。离子的活度系数； c 。离子的浓度； 尺理想的大气常数； 丁绝对温度。 假定各种成分不可压缩，正负离子的电化学势表示为吲 1 2 = j + 去( r t 。i n a + ，庐) + p 。 ( 2 - 1 6 ) 式中p o 。膜外部流体压力 矿2 正负离子的摩尔参考体积。 可见，化学势2 。的本质是它表征( 不是等于) 口相中与某组分有关的分子势 能相应的分子势的大小。 2 2 1 基本方程 2 2 1 1 唐南渗透理论( d o l l l l a no s m o t i ct h e o r y ) 对于聚电解质，由于其能解离为聚离子和小离子，小离子能够通过半透膜( 细 胞壁就是一个半透膜) ，达到平衡状态，这种渗透平衡称之为唐南平衡。在软骨 组织中，蛋白聚糖簇( p r o t e o g l y c a na g g r e g a t e ) 在胶原质网孔中是不可移动的，受 到约束的，p g a 是大分子，其范围在1 0 0 1 0 6 2 0 0 1 0 6 d a l t o n ( 质量单位，1 克约 为6 1 0 的2 3 次方d a l t o n ) 之间【2 7 1 。在粘多糖链上包含大量的带负电的离子，这 些电荷密度被叫做固定电荷密度，在正常的生理盐水p h 标准下正常软骨组织的 固定电荷的密度为0 0 4 0 1 8 m e q g 。每一个负离子要求在其附近有一个正电荷 以保持溶液的电中性，在稀离子溶液中，如0 0 0 1 5 m n a c i 的溶液中，组织中固 定电荷的单价反离子为n a + ，其值等于固定电荷的浓度。组织内部总的离子浓度 总是大于电泳溶液外部的离子浓度。离子之间的不平衡产生了流体孔隙压力，这 一压力远远大于外部环境中的压力，这就是唐南渗透压力。它是软骨组织产生膨 胀的压力之一 6 ”。因此我们只需考虑渗透压力的作用而不必考虑外部溶液的压力 r 4 4 1 厅= p 。一p 。= r t 。i c ：+ c i ) ( c 孟+ c 孟) j ( 2 1 7 ) 式中r 大气常数： t “= 瓦+ 7 1 绝对温度： 北京工业大学工学硕士学位论文 瓦，丁参考温度和温度的变化： c ：，c ：，c 二，c j 正负离子在溶液内、外的浓度 c “= c ：一c 品，表示膜两侧离子浓度的增量，口= + ，一。 电中性条件要求介质内的正负电荷是平衡的，有4 1 ： 吒= c ：+ c ： c o = c o u t = c o u t 式中内部溶液中固定电荷的密度。 在唐南平衡中，膜内外离子的浓度存在如下关系： 2 = 一f + ( ) 2 + 4 f 2 c ：。 2 c i = = + ( ) 2 + 4 f 2 c ：。 式中，= 箦 ，“活度系数，口= + ，一。 ( 2 - 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) ( 2 2 1 ) 2 2 1 2 膜电势俾o t e n t i a lo f m e m b r a n e ) 膜在生物体的细胞代谢和信息传递中起着关键的作用，在神经细胞中，细胞 膜能传递神经脉冲。由实验测得膜电势通常为负值，但是当一个刺激沿着神经细 胞传递时，细胞膜电势会暂时变为正值。软骨组织细胞电势的变化会引起组织的 收缩。 在生物化学上，通常用下式来表示膜电势( 唐南势能) ： 庐= 等h ( 囊j _ 等【( h - i a + t 岫a 帅呱岫口：= ) 1 ( 2 z z ) 式中t 2 “= f 。c 。活度。 假定溶液为理想溶液，那么f 一= f + = 1 ，有 ：石r t ( 1 r t c 。一l n c ；d 4 - ( 1 i l c o u t l n c ；) 1 ( 2 - 2 3 ) 式中f 法拉第常数。 2 2 1 3 离子的扩散( d i f f u s i o no f l o n ) 扩散现象是指物质的传递。由于化学势的不同，物质由化学势较高的区域向 化学势较低的区域的传递，尤其常见的是物质浓度差的变化，扩散一直进行到各 部分物质的浓度达到均匀，或各相间达到相平衡为止。在电解质溶液中如果没有 外加电场，离子可以由于存在浓度梯度或化学势梯度而产生扩散。与导电机理的 不同在于扩散时正负离子按相同方向运动，而导电时正负离子按相反方向迁移， 同时电解质溶液保持电中性f 6 “。 f i c k 定律表明物质的通量学正比于离子浓度梯度v c + ，正比系数中称为扩 散系数，是扩散物质与介质的特性，其表达式为 6 3 等= 一中2 v c 2 ( 2 - 2 4 ) 式中中+ 正负离子的扩散系数 c 2 正负离子的浓度增量。 2 2 2 稳定化学场中的变分原理 2 2 2 1 基本方程 在多孔介质中，离子通过半透膜时的对流一扩7 r ：5 程( c o n v e c t i v e d i f f u s i o n e q u a t i o n ) ( 质量平衡) “ 删 a 甜c + v ( p v )