（系统分析与集成专业论文）关于复杂性、复杂系统与复杂网络的若干问题的研究.pdf

2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 摘要 复杂性科学是一门新兴的边缘、交叉学科。本文首先从自然现象引出 复杂性，阐述了复杂性的本质是系统的非线性作用非线性科学中，混沌 的研究占有重要的地位复杂性的研究，离不开系统科学第二章通过对 系统的基本概念，特别是动力系统的介绍和总结，分析了迭代映射的复杂 性其中主要总结了几种混沌之间的蕴涵关系，同时讨论了一类分片等距 映射s i g m a - d e l t a 映射的复杂性，并运用符号动力系统的编码方法，估 算了复杂度复杂系统和复杂网络具有密切的联系，第三章综述了复杂网 络研究的进展，介绍了网络的一些基本概念以及两个重要发现。同步是一 种非常普遍而重要的非线性现象，是解释许多自然现象的基础。第四章主 要讨论了星型网络的同步稳定性，采用线性稳定性分析的方法，研究了三 种星型网络模型，并分别给出了其达到稳定同步的耦合强度的范围，同时 通过例子说明了网络连线的增多可以增强网络的同步稳定性最后我们对 以后的工作作了展望 关键词：复杂性，非线性，复杂系统，复杂网络，混沌，拓扑熵，星型网 络，同步，l y a p u n o v 指数，耦合强度 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 i i a b s t r a c t s c i e n c eo fc o m p l e x i t yi sa l le m e r g i n gm a r g i n a lc r o s s e ds u b j e c t c o r n p l e x i t y i sf i r s ti n t r o d u c e df r o mt h en a t u r a lp h e n o m e n a ，a n dt h en a t u r eo fc o m p l e x i t yi s r e g u a r d e da sn o n l i n e a r i t yt h es t u d yo fc h a o sp l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei ns i c e n c e o fn o n l i n e a r i t y c o m p l e x i t ye a r l tb es t u d i e dw i t h o u ts y s t e m st h e o r y t h es e c - o n dc h a p t e ri n t r o d u c e ss o m eb a s i cc o n c e p t so fs y s t e m s ：e s p e c i a l l yt h ed y n a m i c a l s y s t e m s ，a n dd i s c u s s e st h ec o m p l e x i t yo ft h ei t e r a t e dm a p s h e r et h er e l a t i o n s o fs o m ed i f f e r e n tk i n d so fc h a o sa r ep r e s e n t e da n dt h ec o m p l e x i t yo fap i e c e w i s e m a p t h es i m g a - d e l t am a pi ss t u d i e db yu s i n gt h es y m b o l i cd y n a m i c a ls y s - t e r n sc o m p l e xs y s t e m sh a v eac l o s ec o n n e c t i o nw i t hc o m p l e xn e t w o r k s ，t h e r e f o r e c h a p t e rt h r e es u m m a r i z e st h ep r o g r e s si nc o m p l e xn e t w o r k sa n di n t r o d u c e ss o m e b a s i cc o n c e p t so fc o m p l e xn e t w o r k sa sw e l la st w oi m p o r t a n td i s c o v e r i e s s y n - c h r o n i z a t i o ni sau s u a lb u ts i g n i f i c a n tn o n l i n e a rp h e n o m e n o n a tt h es m et i m e i t i st h ef o u n d a t i o nt oe x p l a i nm a n yn a t u r a lp h e n o m e n at h es y n c h r o n i z a t i o n s t a b i l i t yo fs t a r s h a p e dc o m p l e xn e t w o r k si sd i s c u s s e di nc h a p t e rf o u r ，t h e r et h r e e d i f f e r e n tc a s e sa r eh w e s t i g a t e db yu s i n gl i n e a rs t a b i l i t ya n a l y s i sa n dt h es t a b i l i t y c o n d i t i o n sf o rs y n c h r o n i z a t i o na r eg i v e n ，i nt h em e a n t i m ei t i si l l u s t r a t e dt h a t t h em o r ec o u p l m gl i n e ，t h es t r o n g e rs t a b i l i t yo fs y n c h r o n i z a t i o n t h el a s tp a r t g i v e sap r o s p e c tf o rf u r t h e rr e s e a r c h k e yw o r d s ：c o m p l e x i t y ，n o n l i n e a r i t y jc o m p l e xs y s t e m s ，c o m p l e xn e t w o r k s ， c h a o s ，t o p o l o g i c a le n t r o p y ，s t a r s h a p e dc o m p l e xn e t w o r k s ，s y n c h r o n i z a t i o n ， l y a p u n o ve x p o n e n t ，c o u p l i n gs t r e n g t h 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 签名：砍彦谬 日期：彤年6 月叫日 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 繇融画隽一名：砌簪 日期：年多月2 ，f 日 7 第一章引言 1 1 研究背景 1 1 1 自然界是复杂的 众所周知，在日常生活中，简单性与复杂性是两个不同的概念。然而，区分 简单性与复杂性并不是那么容易、直观和明显例如，冰雪和雪花有什么不同? 以往人们通常认为复杂性总是和生物现象紧密联系在一起的，如生命是如何起源 的、人的大脑是什么、飞鸟是如何聚集成群的都很复杂 观察一缕青烟，开始袅袅上升，然后逐渐加速，突然形成一个螺旋状的烟团， 不断地扩大，向四面八方飘散；天气瞬息万变，开始晴朗的天空，突然风卷云涌， 大雨倾盆；人类生活的地球，熔岩在地下奔突；野生种群无规则地繁衍和湮灭； 人类心脑的纤维颤动和脑电图的无规则波动等等。诸如此类的无规则现象说明自 然界是非常复杂的。 大多数古代哲学家和近现代科学家都坚信自然的本质应该是简单的，近现代 自然科学的发展和机械论自然观的形成也支持这一观点主要表现在：自然的规 律性、还原性、对称性、可逆性、相似性等方面。但是，如果我们考虑非线性科学 对自然界中复杂性现象的研究，就会发现在自然界中，模糊性、非线性、混沌、分 形等复杂性现象是大量存在的。自然界存在结构的复杂性、边界的复杂性、运动 的复杂性，具体体现在不稳定性、多连通性、非集中控制性、不可分解性、非加和 性、涌现性、进化过程的多样性以及进化能力上1 1 。不仅如此，目前对自然系统 的进一步研究，展现了自然存在经验性、不可分离性、非还原性和目的性等。所 有这些不能用简单的还原论方法进行处理，需要有相应的具体方法去认识，这说 明自然的本质并非是简单的 按照传统的理解，简单与复杂是相对的，一个事物在未被认识之前是复杂的， 一旦被认识就成为简单的了从人类认识事物的过程看，这种情形是常见的。比 如公安局破案，在破案之前，觉得扑朔迷离，相当复杂，等到破案之后，发现有些 案子其实很简单。但是，现代科学技术的发展表明，不能把复杂性全部归结为认 识过程的不充分性，必须承认存在客观的复杂性，真正的复杂性应当具备特有的 规定性，即使已被人们认识，即使找到解决办法，它仍然是复杂的我们对复杂 性的认识就会产生这样一种观点：“既存在认识论意义上的复杂性，也存在本体 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 2 论意义上的复杂性；凡本体论意义上的复杂性一定也是认识论意义上的复杂性， 它们在被人认识后仍然是复杂的；但有些复杂性仅仅是认识论范围的，不具有本 体论意义，一旦被认识，它们就不再是复杂的了”f 2 1 2 那么，何谓“复杂性”呢? 苗东升教授认为，在汉语中， “复杂”一词是由 “复”和“杂”两个字组合而成的“复”的主要含义指多样、重复、反复，形成 某种层次嵌套的自相似结构“杂”的主要含义指多样、破碎、纷乱，形成某种不 规则的、无序的结构。但是“复而不杂”和“杂而不复”还不是真正的完全的复杂 性，只有“既复且杂”才是真正的完全的复杂性，它把层次嵌套的自相似性与无 规则性、破碎性、混乱性有机地结合起来这种事物的部分与整体之间既是相似 的，又不严格相似，因为在反复迭代，即生成演化过程中不时有随机因素侵入， 但又是不可预料的，导致严格自相似性的破缺，因而不能用确定论方法描述。这 种对象也不能用统计方法描述，因为它们的生成演化过程毕竟有某些规则在不断 重复，具有明显的尺度( 层次) 变换下的不变性，即规律性。 复杂性涉及面很宽，从国内外自然科学、工程技术科学、管理科学和人文社 会科学等领域关于“复杂性”、“非线性”的研究状况来看，复杂性是涉及不同学 科领域的共同问题在不同学科领域中，研究对象和方法不同，因而对复杂性概 念的定义也不同。复杂性是建立在多样性、差异性之上的，我们应当承认不同意 义上的复杂性，承认不同层次有不同的复杂性，允许使用不同的复杂性定义据 劳埃德( s l l o y d ) 统计，西方学者已提出4 5 种复杂性定义。总的来看，复杂性还 不能算作一个严格的科学概念，人们也没有给出一个公认的复杂性定义 复杂性是相对于简单性而存在的，它是在客观事物的联系、运动和变化中表 现出来的一种状态，表达了一种不可还原的特征，而不是孤立、静止和显而易见 的特性复杂性科学打破了线性、均衡、简单还原的传统范式，极大地促进了科学 的发展 1 1 2 复杂性的本质是非线性 大自然普遍存在着复杂的现象，这些复杂现象有如下的共同性质： 一、复杂现象都处于开放的、远离平衡的系统中所谓开放系统，就是指系统 与外界环境有物质、能量和信息交换的系统( 反之称为封闭系统) 。在大自然中， 每一事物和它周围的事物总是有着密切联系的，并受到周围事物的影响，如系统 与系统之间总会有千丝万缕的联系，并发生相互作用。因此，如果将一个系统绝 对地“孤立”起来，系统就不可能生存和发展任何一个复杂系统，只有在开放的 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 3 条件下才能形成。实际上系统总是开放的，由于系统受到外界环境的约束，所以 该系统往往是处于远离平衡状态之中的系统只有在受到外界约束的情况下，才 能造成系统的形态不断地演化，才能使系统产生复杂现象 二、系统是自组织的( s e l f - o r g a n i z e d ) ，具有一个自组织核心。自组织是开放系 统在子系统合作下出现的宏观尺度上的新结构也就是说外界只提供一定的条件 而不进行特别干预，由系统本身自发形成结构，能通过反馈进行自控和自调，以 达到适应外界变化的目的这表明一切复杂现象均是由系统内部的自组织结构所 形成的能够保证系统结构稳定和功能稳定，具有一定的抗干扰性。在与环境的 相互作用中，具有不断复杂化和完善化的演化能力。 三、系统内部存在着非线性的相互作用事物发展变化的根本原因在于事物 内部的矛盾，系统内部存在着多种多样的矛盾，其中起决定性作用的矛盾与相互 作用会造成自然界的复杂现象。组成系统的子系统之间存在着相互作用，一般来 讲，这些相互作用是非线性( n o n l i n e a r i t y ) 的，它们不满足叠加原理。因此子系统 在形成系统时，会涌现出新的性质，自组织行为就是系统演化中涌现出的一种新 性质，它与子系统之间的非线性相互作用有密切的关系。所列举的众多复杂现象 表明，一切复杂现象都是由系统内部存在着的非线性相互作用所造成的具体说 来，假如事物或系统中的各个部分之间的相互作用是线性的，那么其结果必然导 致系统的衰亡，因为此时使得事物只能处于无限增长或衰减的极端均匀的简单状 态。而实际上事物间的相互作用是非线性的，它表现在事物间的相互约束、相互 反馈上。当非线性增长太快时，则使事物间的相互作用减慢；当非线性增长太慢 或衰减时，则使事物间的相互作用加快。因此，有了非线性，才有了形态的多重性 ( 如定常状态、周期状态、拟周期状态、非周期状态、局部的复杂结构等等) 。 四、过程的不可逆性。经典科学中的基本物理定律，对于时间都是对称的， 也就是说，在方程中，时间是可逆的，过去和将来没有什么区别，只要给定运动 方程和初始信息，就能决定过去，预报将来因此，经典科学是以稳定、有序、单 一、对称与平衡为其主要特征的，毫无复杂性可言。 五、系统对初值的变化具有很强的敏感性。初值敏感性，即所谓的“蝴蝶效 应”或积累效应，是指在系统的运动过程中，如果起始状态稍微有一点变化，那么 随着系统的演化，最终导致系统行为发生巨大的变化。这种初值敏感性使得我们 无法对系统做出精确的长期预测 进入2 0 世纪，随着耗散结构、自组织结构、协同学、突变论、混沌等非线性 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 4 科学的发展，经典科学受到很大冲击人们认识到，非线性是一切动力学复杂性 之源自然界和现实生活中所有系统都是非线性的由于非线性作用，我们所面 临的是一个复杂的、不可逆的、随机的、千变万化的现实世界。 2 0 世纪下半叶，非线性科学获得了前所未有的蓬勃发展。非线性科学是- - i 研究非线性现象共性的基础科学，被誉为2 0 世纪自然科学中的“三大革命之一” 3 ，4 ，5 。科学界认为：非线性科学的研究不仅具有重大的科学意义，而且具有广 泛的应用前景事实上，这门学科几乎涉及自然科学和社会科学的各个领域，并 在不断地改变人们对现实世界的许多传统看法。非线性科学的研究涉及确定性与 随机性，有序与无序，偶然与必然，量变与质变，整体与局部等数学范畴和哲学 概念的再认识。它将深刻影响人类的思维方法，涉及现代科学的逻辑体系及其变 革这样一些根本性问题。一般来说，非线性科学的主体包括：混沌( c h a o s ) 、分岔 ( b i f u r c a t i o n ) 、分形( f r a c t a l ) 、孤立子( s o l i t o n ) 和复杂性( c o m p l e x i t y ) 的研究，其中， 混沌的研究占有极大的分量 混沌又称浑沌，传统上，“混沌”常常用来描述混乱、杂乱无章、乱七八糟 的状态。从这个意义上说，它与无序的概念相同但混沌有时又指宇宙之初某种 原始的没有分化的状态，还可以进一步引伸出人类在认识上处于浑浑噩噩的朦胧 状态 6 中国古代对混沌的最初认识，即混沌是指元气，古希腊对混沌的认识和 中国古代相近近代科学由于以研究自然界的秩序和规律为其宗旨，所以数百年 来，它把混沌现象排除在外。1 9 世纪中期，自然科学首先讨论混沌问题的是热力 学1 9 世纪末2 0 世纪初，庞加莱在研究三体问题时遇到了混沌问题他在科 学与方法书中提出了庞加莱猜想，他把动力学系统和拓扑学有机地结合起来， 并指出三体问题中，在一定范围内其解是随机的实际上，这是一种保守系统中 的混沌。2 0 世纪以来，随着耗散结构、协同学的发展，侧重研究系统是如何从混 沌到有序的发展，找到了一些系统从混沌到有序发展的机制和条件1 9 6 3 年洛伦 兹在论文“决定论非周期流”中讨论了天气预报的困难和大气湍流现象，给出了 三个变量的自治方程，即著名的洛伦兹方程，导出了混沌解，从而揭开了对混沌 现象研究的序幕。2 0 世纪8 0 年代以来，人们着重研究系统是如何从有序进入新 的混沌及其混沌的性质和特点随着自然界中一些混沌现象的相继发现和计算机 能力的不断增强，混沌理论进入到实际应用阶段。混沌与其他学科相互交错、渗 透、促进和发展，使得混沌不仅在生物学、数学、物理学、化学、电子学，还在经 济学、气象学，甚至在音乐、美术、体育等多个领域中得到了广泛的应用。 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 5 目前非线性科学最重要的成就之一就在于对混沌现象的认识 7 。自2 0 世纪 7 0 年代以来，混沌和有关奇怪吸引子的理论有了很大的发展，并直接影响到数学、 物理学的许多分支【8 ，具有重要的实际意义 1 2 复杂性研究的进展 在科学发展史上，简单性与复杂性一直是在相比较的意义上使用的一对概念， 没有给出精确的界定。在一定的条件下，在特定的研究领域内，复杂性与简单性 的区别是有客观根据的，复杂性应有确定的内涵与外延，说事物复杂不等于对它 的无知。2 0 世纪中叶以来，随着科学技术的迅猛发展，不同国家、不同学科的研 究人员，从不同的角度开始了对复杂性的探索系统科学的先驱贝塔朗菲等于2 0 世纪4 0 年代末就已提出研究复杂性问题，预见到系统科学本质上是研究复杂性的 科学 国外比较规模化的有关复杂性科学方面的研究一般认为是在2 0 世纪7 0 年代 末或者8 0 年代中期开始的。首先是对混沌系统的研究，我们知道洛伦兹的实验错 误导致了混沌现象的发现1 9 7 5 年，美国数学家李天岩( l i ) 和约克( y o r k e ) 将 洛伦兹的发现一般化，提出了著名的李一约克定理【9 ，从而正式定义了“混沌” 的概念。物理学家瑞勒( r u e l l e ) 和塔肯斯( t a k e n s ) 用混沌理论去研究流体力学 中的百年难题湍流机理问题许多经济学家也从不同角度成功地将 昆沌理论 应用于经济管理的研究中1 9 9 0 年美国马里兰大学的物理学家奥特( o t t ) 、格 里博士( g r e e b o g i ) 及约克( y o r k e ) 三人首先从理论上提出了混沌控制方法，后 来简称为o g y 方法。这些成果拉开了运用混沌理论与方法研究复杂性的序幕，为 人类认识和控制复杂系统开辟了新的途径。 我国科学家是在2 0 世纪8 0 年代初开始研究复杂性的，和国外研究一样，物理 学是复杂性科学应用最广泛的领域之一。中国科学院郝柏林院士1 9 8 3 年研究了物 理学中的混沌、分岔和湍流问题3 2 0 世纪9 0 年代初，钱学森先生提出了“开放 的复杂巨系统理论”f l o 。钱学森通过对系统科学及其应用的探索和研究，特别 是在建立系统学的过程中，逐步认识到复杂性研究的重要理论意义与实践意义。 他指出：“复杂性问题，现在要特别地重视因为我们讲国家的建设、社会的建 设，都是复杂的问题”，“解决这些问题，科学技术就会有一个很大的发展。我们 要跳出从几个世纪以来开始的一些科学方法的局限进行复杂性探索”( 见光明日 报，1 9 9 0 1 2 3 0 ) 他认为，所谓复杂性是开放复杂巨系统的动力学特性，解决这类 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 6 复杂系统的问题，采用还原论方法不行，必须用“从定性到定量综合集成法”。综 合集成的实质是专家经验、统计数据和信息资料、计算机技术三者的有机结合， 构成一个以人为主的高度智能化的人一机结合系统，发挥这一系统的整体优势， 去解决问题 近年来，国内外对于“复杂性”研究的关注程度大有增长之势，究其原因，一 方面是人们对学科交叉发展与整合的重要意义的认识越来越深；另一方面是从整 个科学发展所面临的挑战来看今后的发展 当今，复杂性探索，开放复杂巨系统的决策控制问题的研究，具有十分重要 的理论意义与现实意义。主要表现在：其一，现代科学各部门的未来发展，高新 技术的开发，都需要从复杂性科学中获得新思路、新方法其二，复杂性探索的发 展将改变科学世界的图景，引起科学思维方法的转变，实现从还原论到涌现论的 飞跃，以及还原论与涌现论的辩证统一其三，研究各种复杂巨系统，对于复杂 系统、复杂事物进行自觉控制，具有现实的指导意义 1 3 本文的主要工作 复杂性的研究离不开系统，特别是动力学系统的发展第二章中，我们首先 介绍了系统的基本概念以及动力系统学科的发展，并且通过一些量来刻划动力学 的复杂性。混沌是一个很重要的概念，我们描述了l i y o r k e 混沌、d e v a n e y 混沌 和拓扑混沌，并阐述了它们之间的蕴涵关系同时我们还描述了迭代映射的复杂 性，主要运用符号动力系统和图论的有关知识对s i g m a - d e l t a 映射的复杂度进行了 估算。 系统和网络是密不可分的，第三、四两章主要研究了复杂网络，介绍了网络 的一些基本概念和重要发现，之后主要讨论了网络的同步现象。在假设网络达到 同步的情况下，讨论其稳定性对于星型网络的同步问题，我们应用线性稳定性 分析的方法，给出了其达到稳定同步的耦合强度的范围。 第二章复杂系统 2 1 系统的基本概念 “系统”一词是大家熟悉的，系统无处不在。一台计算机、一个校园网、一个 国家、动植物群落、太阳系都分别是一个系统，这些系统的形态和性质是大不一 样的系统可以相互包含与被包含，可以相互交叉和融合。系统是普遍的客观存 在，每一个人都生活在系统之中，而且是生活在多种多样、相互交叉的系统之中。 但是，并非任何事物都可以随心所欲地被称为系统 中外学者从不同的角度对系统的定义作过描述例如，美国的韦伯斯特( w e b s t e r ) 大辞典把系统称为“有组织的或被组织化的整体、相联系的整体所形成的各种 概念和原理的综合，由有规则的相互作用、相互依存的形式组成的诸要素的集合”。 一般系统论的创始人奥地利生物学家冯贝塔朗菲( l u d w i g v o nb e r t a i a u f f y , 1 9 0 1 1 9 7 2 ) 把系统称为“相互作用的多要素的复合体”。如果一个对象集合中存在两个 或两个以上的不同要素，所有要素按照其特定方式相互联系在一起，就称该集合 为一个系统其中的要素是指组成系统的不同的最小的( 即不需要再细分的) 组 成部分钱学森院士在回顾我国研制“两弹一星”的工作历程时说：“我们把极其 复杂的研制对象称为系统，即由相互作用和相互依赖的若干组成部分结合成的 具有特定功能的有机整体，而且这个系统本身又是它所从属的一个更大系统 的组成部分。” 系统具有特定的结构，表现为一定的功能和行为。系统有如下的属性：集合 性、相关性、层次性、整体性、涌现性、系统对环境的适应性。系统是作为一个整 体出现并且作为整体存在于环境之中、与环境发生相互作用的，系统的任何组成 要素或者局部都不能离开整体去研究系统的局部问题必须放在系统的全局之中 才能有效地解决，而系统的全局问题必须放在系统的环境之中才能有效地解决。 系统的功能和特性，必须从系统的整体或总体来加以理解，加以要求，使之实现 并且优化。系统的整体观念是系统概念的精髓。系统整体的性质和功能不等于各 个要素的性质和功能的简单加和，是整体才有的、孤立的部分及其总和不具有的 特性，我们称之为整体的涌现性 所谓系统，是由相互联系、相互作用的许多要素结合而成的具有特定功能的 统一体f 1 1 。随着科学技术的发展，2 0 世纪的人类社会，出现了许多大型、复杂 的工程技术和社会经济问题，他们都是以系统的面貌出现，客观地要求从整体上 7 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 8 加以优化解决因此，系统科学的出现是历史的必然。自组织是系统科学的重要的 概念，它是复杂系统演化时出现的一种现象复杂系统是相对牛顿时代以来构成 科学研究重点的简单系统相比较而言的，复杂系统是复杂科学研究的基本对象， 它与简单系统的最大区别在于系统的整体涌现性 目前关于复杂系统的定义还很不统一，但是对于复杂系统的基本特性的认识 却比较一致。一般认为复杂系统具有以下特征：非线性与动态性、非周期性和开放 性、奇怪吸引性、结构自相似性( 分形) 另外，复杂系统还具有突现性、不稳性、 不确定性、不可预测性等特征。值得注意的是，1 9 9 9 年4 月美国科学( s c i e n c e ) 杂志出版了“复杂系统”的专辑。两位编者r i c h a r dg a l l a g h e r 和t i ma p p e n z e l l e r 在 其以“超越还原论”为标题的导言中，对他们所指的“复杂系统”作了如下简单描 述：通过对一个系统的分量部分( 子系统) 性能的了解，不能对系统的性能作出完 全的解释，这样的系统称为“复杂系统”前面所谈到的复杂性，可以说主要是谈 系统的复杂性。接下来我们主要介绍一下动力系统的有关知识。 2 2 动力系统学科简介 1 5 9 1 年奥地利格拉茨大学讲师开普勒( k e p l e r ) 前往布拉格，成为天文学家第 谷不拉赫( t y c b o ) 的助手。开普勒根据第谷的准确观测数据，发现了行星运动三 定律，其中对当时正统派理性思潮最为震动的一条是，每个行星沿着以太阳为一 个焦点的椭圆轨道而运动在当时理性思潮的影响下，人们普遍认为行星绕太阳 旋转的轨道是圆，因为圆是完美曲线 为什么行星运动的轨道是椭圆曲线而不是“完美”的圆呢? 半个多世纪以后，牛顿( n e w t o n ) 于1 6 8 7 年在其名著自然哲学的数学原理 中，提出万有引力定理，而后用数学的形式常微分方程，推出了开普勒定律， 完成了日心地动说的力学解释，也同时开始了以常微分方程为对象的动力系统的 研究 一个常微分方程组 寨= 吣，巩z e r “ 描述的随时间演化的系统，是一个经典意义下的动力系统，设其满足初始条件 x ( 0 1 = x o x o 舻 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 9 的解为妒( t ，z o ) ，且存在区间是r ，则映射妒：月r “一r “满足： ( h 1 ) 妒( o ，z ) = z ，v z r ” ( h 2 ) 妒( s + t ，茁) = 妒( s ，妒( 亡，o ) ) ， v s ，t ，冗，z r ” 更一般地，称满足条件( h 1 ) 和( h 2 ) 的映射妒：r xx x 为连续动力系统或 流，其中x 为底空间特别地，称满足条件( h 1 ) 和( h 2 ) 的映射妒：z x x 为 x 上的离散动力系统。 注：流和离散动力系统的关系：对拓扑空间x 上的一个流妒，将它限制在 z 上，就得到一个离散动力系统，此时称该离散动力系统嵌入于流妒。反之，设 ，：x x 是同胚映射，可知，) 是一离散动力系统对于任一离散动力系统 ，是否存在x 上的一个流妒，使，嵌入妒呢? 一般来讲，不一定有肯定的结 论；但是通过扭扩( s u s p e n s i o n ) 的办法，可以将，嵌入到高一维流形上的流中 动力系统是2 0 世纪最富有成就的一个数学分支，也是非线性科学的一个重要 组成部分，在不少领域中有重要的应用一个动力系统是由拓扑空间及其上的连 续自映射所构成的系统，该系统研究的问题，大致可以分为两类：一类是孤立地 研究一个自映射迭代生成的动力学复杂性质，即长时间的性态；另一类是把一个 动力系统看作是某个空间内的一个点，研究诸如在微小扰动下动力性态的改变。 从2 0 世纪六七十年代以来，随着计算能力的不断提高，在耗散系统中发现了 奇怪吸引子和混沌近来又发现一批从孤立子可演化为混沌的非线性演化方程， 从而推动了无穷维动力系统研究动力系统不仅是非线性科学的研究对象，而且 也是研究非线性“复杂性”的有力工具，其理论和方法已广泛渗透于许多重要领 域和众多学科 动力系统底空间的不同结构使得动力系统的类型是多样的，而底空间上映射 的非线性性质又使得动力系统的大范围性状是复杂的。尤其是2 0 世纪6 0 年代以 来，随着计算数学和计算机技术的发展，采用数值模拟的计算可视化方法，得到 了许多令学术界惊叹不已的发现，如分岔、混沌、孤立子和分形等，极大地推动 了动力系统的研究及其在非线性科学研究中的应用，同时数值分析方法( 数值实 验、数值模拟、数值仿真等) 也成为一种重要的研究方法。 混沌是动力系统的时间演化行为，反映出系统的动力学复杂性这里，拓扑 熵和l y a p u n o v 指数是描述动力学复杂性的重要概念此外，奇怪吸引子、湍流的 结构是动力系统的空间复杂性，分形 3 1 是描述这类空间复杂性的重要概念。 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 1 0 2 3 迭代映射的复杂性 2 a 1 预备知识 动力系统的一个重要的课题是研究与系统复杂性有关的问题在描述系统复 杂性的语言中，混沌是一个重要的概念鉴于混沌现象在自然界中的大量存在， 关于混沌的研究不仅是现代动力系统学科最活跃的分支之一，它也成为非线性科 学领域的主要课题之一“混沌”一词是由李天岩( t y l i ) 和约克( jay o r k e ) 于 1 9 7 5 年首先提出，他们在“周期三意味着混沌”f 9 的文章中给出了混沌的一种数 学定义。此外，还有d e v m l e y 混沌、s m a l e 马蹄、横截同宿点、拓扑混沌以及符号 动力系统等定义然而迄今为止，混沌一词还没有一个公认的普遍适用的数学定 义这里我们主要描述的是两类最具代表性的混沌：l i - y o r k e 混沌和d e v a n e y 混 沌，两者之间的相互关系如何是一个近2 0 年的公开问题。 拓扑熵是反映系统复杂性的另一个重要概念，在每一个紧致连续系统上可 定义一个称为拓扑熵f 1 2 ，1 3 的非负拓扑共轭不变量用以度量该系统在相空间 上引起的运动的“混乱程度”。拓扑熵的概念最初由r l a d l e r ，a g k o n h e l m 和 m 且m c a n d r o w l l 4 引进，随后r b o w e n 1 5 又在可度量化的拓扑空间上给出了不依 赖于紧致性的拓扑熵定义在紧致空间上可以证明拓扑熵的开覆盖定义和b o w e n 定义是等价的 在描述系统复杂性的语言中，还有一个重要的概念就是系统的回复属性在拓 扑动力系统中，传递性、拓扑弱混合、拓扑强混合是三个最基本的回复属性2 0 0 0 年b l a n c h a r d 等人在传递性和拓扑弱混合性之间成功地插入了一类回复属性：扩散 性( s c a t t e r i n g ) 。如何有效地在三种最基本的回复属性之间插入更多有意义的回复 属性进而对系统回复属性进行更为精细的刻划，这是目前人们十分关心的问题 这一节我们通过对几种混沌概念的比较以及它们之间关系的分析，以求更好 地了解和把握系统的复杂性。最后给出一个特殊的例子s i g m a - d e l t a 映射，并 讨论了其复杂性。 定义2 1 ( l i y o r k e 混沌) 1 0 ，1 6 ：设( x ，) 是紧致度量系统，d 是x 的一个度 量，称，在x 上是混沌的，若存在不可数集合s c x ，满足如下条件： ( 1 ) l i r as u p d ( f “( z ) ，“( ) ) 0 ，v x ，y s y ( 2 ) l i m i n fd ( f “( z ) ，f “( ) ) = 0 ，v x ，y s 其中s 称为，的混沌集。 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 注：若定义21 中的集合占在戈中稠密，则称( x ，) 是稠密的l i y o r k e 混 沌 此定义中的两个极限说明子集的点。，s 相当分散又相当集中根据l i y o r k e 混沌定义，1 9 8 3 年m a y 认为一个混沌系统应具有如下三种性质：第一，存 在所有阶的周期轨道；第二，存在一个不可数集合，该集合只含有混沌轨道，且 任意两个轨道既不趋向远离，也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一 轨道都不趋于任一周期轨道，即该集合不存在渐近周期轨道 1 6 】；第三，混沌轨 道具有高度的不稳定性。 一个动力系统( x ，) 称为是拓扑传递的( t o p o l o g i c a l l yt r a n s i t i v e ) 【2 1 ，如果对 于x 的任意两个非空开子集a ，b ，存在n n ，使得，”( 且) n b 庐，或等价地 说，如果存在一点。x ，它的的轨道在x 中稠密此时，这个点就称为传递点， x 的所有传递点的集合记为x 一。，它是x 的一个稠密的g 6 型子集 ( x ，) 称为是完全传递的( t o t a l l yt r a n s i t i v e ) ，如果对任意的n n ，f “是传 递的 映射，：x + x 敏感依赖于初始条件【2 0 ，2 2 是指：如果存在e 0 ，对任 意的z x 和任意的d 0 ，存在y x ，当d ( z ，y ) o 1 9 8 9 年r l d e v a n e y 1 7 给出了混沌的另一种定义： 定义2 2 ( d e v a n e y 混沌) ；设x 是一个度量空间，一连续映射，：x x 称为在 x 上混沌，如果 ( 1 ) f 是拓扑传递的； ( 2 ) f 的周期点在x 中稠密； ( 3 ) f 具有对初始条件的敏感依赖性 由下面的定理我们可知( 1 ) 和( 2 ) 蕴涵着( 3 ) 。 定理2 1 1 1 8 ，1 9 ，2 0 j ：设x 是一个无限的度量空间，：x x 是连续的，如果 ，是拓扑传递的，且具有稠密周期点集，则f 敏感依赖于初始条件。 定义2 2 中条件( 2 ) 比较强，所以现在我们一般称满足条件( 1 ) 和( 3 ) 的为 d e v a n e y 混沌 简而言之，混沌的映射具有不可预测性和不可分解性、但仍有一种规律性这 三个要素这是因为，对初始条件的敏感依赖性，使得混沌系统是不可预测的又 由于拓扑传递性，使得它不能被细分或不能被分解为两个在，下相互影响的子系 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 1 2 统尽管如此，但在混沌行为中确实存在着规律性的成分，即有稠密的周期性。 混沌的第一特性是对初始条件的敏感依赖性，第二个也是比较强的特性是拓 扑弱混合2 2 1 。 一个系统( x ，) 称为是拓扑弱混合的，如果它的卡氏积( xxx ，f f ) 是拓扑 传递的。拓扑弱混合是一个比较强的混沌特性，它蕴涵l i y o r k e 混沌 x 的一个子集m 称为是极小的，是指m 是非空、闭的不变集( f ( m ) m ) ， 且m 不包含具有上述三个性质的子集 一个非空闭集m x 是极小的当且仅当m 的任一点的轨道在m 中稠密， m 中的点称为极小点。 z x 是回复的，如果存在数列啦十。，使得l i m ，“；( z ) = 。显然，所有 的极小点都是回复的。 第三个特性是正拓扑熵和扩散性( 2 3 从某种意义上说，l i y o r k e 和d e v a n e y 混沌的定义是通过迭代映射的行为来描述系统的复杂性，而扩散性则是通过覆盖 的复杂度f 2 4 1 来描述系统的复杂性 设( x ：，) 是一个紧致拓扑动力系统，开集族4 是紧空间x 上的一个开覆盖， 记f - 1 ( 4 ) = f - i ( a ) i a a ) ，显然也是x 的一个开覆盖，x 上的全体开覆盖组 成的集合记为r 记n ( a ) = i n fc a r d a i a 是a 的子覆盖) ，其中c a r d ( s ) 表示集合 s 的基数，由x 的紧性知1 n ( a ) 0 ，则称，是拓扑混沌的 拓扑熵的定义仅要求x 的紧致性，无需要求x 是可度量化的，而b o w e n 的 拓扑熵定义适用于，) 是可度量化的一致连续系统为叙述方便，下面仅在紧 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 1 3 致度量空间上给出b o w e n 拓扑熵定义 1 6 j 。 设( x ，) 为紧致度量系统，d 为x 上给出的一个度量设n n 和e 0 ，称 子集合fc x 为，的一个( n ，e ) 一张成集，如果对于任给的z x ，存在f ，使 得d ( f ( z ) ，f k ( ) ) ， = 0 ，1 ，n 1 记，的所有( n ，s ) 一张成集的基数的下确 界为( e ) ；称子集合ecx 为，的一个( n ，) 一分离集，如果对z ，y e