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一类拟线性椭圆方程的变号解 摘要 本文运用极小极大方法和相对亏格方法研究拟线性方程变号解的变 号域的个数。设q 是r n 中的有界区域，具有光滑边界。考虑拟线性问题 一a p u = ，( z ，札) ，u w j 印( q ) ， ( 1 ) 其中p 1 ，是p - l a p l a c e 算子 锦u = d i v ( v u l p _ 2v u ) 当，是次临界，厂( z ，t ) l t l p _ 2 超线性时，我们讨论了问题( 1 ) 的变号解的 变号域的个数。 设h p ( t ) = l t p - 2t ，当p n 时记p + = n p ( n - p ) ，当p n 时记p = o o 令a 1 是一锦u = a ( 乱) ，u w 1 p ( q ) 的第一特征值。 假设 ( 凰) f c ( 豆xr ：r ) ，厂( t ，0 ) = o ； ( 日t ) 当1 p p 使得0 f ( z ，) = 片f ( x ，s ) d s 丢t f ( z ，) ，t o ； ( 风) l i m s u pl f ( x ，圳i t l p - 1 1a n d i st h ep - l a p l a c i a no f 让 一p u = ，( z ，t 正) ，t 正w 0 p ( q ) ， p u = d i v ( 1v u l p 一2v u ) ( 1 ) t h ea i mo ft h i sp a p e ri st oe s t i m a t et h en u m b e ro fn o d a ld o m a i n so fn o d a l s o l u t i o n so fp r o b l e m ( 1 ) w i t hfb e i n gs u b c r i t i c a la n df ( x ，t ) l p b e i n gs u p e r l i n e a r a tt = i no r d e rt of o r m u l a t et h eh y p o t h e s e s w es e th p ( t ) ：= i t l p 一2ta n dp = n p ( n p ) f o rp n ，p ：= f o rp n l e ta lb et h ef i r s te i g e n v a h mo f a p 札= a ， p ( “) ，“x = v 唁p ( q ) ( 凰) f c ( a 肽，r ) a n df ( x ，0 ) = o ； ( h 1 ) i f1 p ps u c ht h a t 。 f ( z ，t ) = 0 。，( z ，s ) d s 瓦1 ，( z ，t ) ，。； ( i - 3 ) l i ms u pi ，( z ，t ) i i t l p 一1 1 ，p 是p - l a p l a c e 算子， a p 钆= d i v ( 1 v u l p - 2v u ) 设h v ( t ) = l t l p 2t ，当p n 时记p + = n v ( n p ) ，当p n 时记p + = 令入是一a p u = a h p ( u ) ，钆螂护( q ) 的第一特征值。 假设 ( 凰) 厂c ( 孬r ，瓞) ，f ( x ，0 ) = o ； ( 日，) 当1 p p 使得0 1 ，p 乱= d i v ( 1 v u l p - 2v u ) 是p - l a p l a c e 算子，当p = 2 时p 是标准的l a p l a c e 算子，问题( 1 ) 是标 准的半线性椭圆方程一a u = f ( x ，u ) ，钆础( 1 2 ) 本文主要研究p 2 的情 形。 方程( 1 ) 具有非常重要的物理背景，可以描述许多物理现象，例如非 线性弹性问题，非牛顿流体问题( p = 2 就是牛顿流体) ，非线性洛伦兹 不变场域问题等。 当p = 2 ，为超线性、次临界时，王志强教授首先证明除了一个正解 和一个负解外，方程( 1 ) 还有一个非平凡解。随后许多作者独立地证明 这个解是变号解。当方程是具有径向对称性时，可以找到很多径向变号 解。当p 2 ，厂为超线性、次临界时，以上方法遇到困难。首先定义在空 间w 1 p ( q ) 上的( 1 ) 的能量泛函不是h i l b e r t 空间；其次，拟线性方程的正 则理论不如半线性方程强；最后，经典的m o r s e 理论对p 2 不成立对 于一般的p 1 ，2 0 0 4 年t b a r t s c h ，刘兆理和t w e t h 5 】通过构造下降流 不变集，利用指标理论证明了( 1 ) 有无穷多个变号解。本文主要估计【5 】5 中获得的变号解的变号域的个数。下面给出本文的结论。 定理2 1 如果厂满足第一节中假设( 凰) 一( 风) ，则问题( 1 ) 存在一串变号 解仕“n ) n 孙其中第n 个变号解乱。至多有n + 1 个变号域。 文献【5 】给出了变号解序列，但没有给出关于变号域个数的进一步信 息，本文给出了这一信息。 6 一类拟线性椭圆方程的变号解 为了在下一节中给出定理的证明，这里我们首先引入问题( 1 ) 的变分 框架。记x ：= w d 伊( q ) ，其中范数取为 忆| l 一( zi v u i p ) v p 在定理的条件下非线性泛函圣：x _ r 吣) = ；1 上i v u l p _ 上即，“) 有定义，而且是c - 泛函，它的f r e c h e t 导数表示为 ( 叭u ) ，秒) = v u l jp 2 v “v 出一d 丘m ，乱) 口如，v 乱，秽x 2 于是问题( 1 ) 的解对应于泛函西的临界点 7 一类拟线性椭圆方程的变号解 法 3 主要结果的证明 下面我们给出本文主要结果的证明，我们将采用文献【5 】和【6 】的方 设泛函釜由第二节定义。根据假设，j r 是奇函数，从而水平集 圣。：= u xi 垂( u ) c ) ，c r 和临界水平集 艇：= “xl 西( 让) = 0 ，西( “) = c ) ， c r 是闭对称子集取m 0 使得 t f ( x ，t ) + m t h p ( t ) 0 ，t 0 定义箅子a 。c ( x ，x ) ： a 。( u ) = ( 一p + m ( ) ) 。( ，( z ，t 上) + m h p ( 仳) ) 则的临界点对应于a 仇的不动点。在x 中取等价范数 岐= ( 上j v 卵+ m j 计) v p ， x 中关于范数”i i x 的距离记作d i s t 记 p = 札xiu ( z ) 0 ，v x q ， 砖= 让x d i s t ( u ，士尸) e ) ， e 0 为了方便，记a = a m ，d 士= 硭根据【5 1 ，a 和d 士满足下列性质。 ( d ) i n t ( d + ) ni n t ( d 一) 谚； ( a x ) a ( d 士) ci n t ( d 士) ； ( a 2 ) a 是紧的，即a 将x 中有界子集映成x 中相对紧集； 8 一类拟线性椭圆方程的变号解 ( 圣1 ) 当l 0 ，a 2 0 ，使得对任意也x ，有 ( 圣7 ( u ) ，u a ( 钍) ) x x o i l u a ( u ) t 1 1 ( 1 l u l l x + i i a ( 札) i l x ) p 一2 ， 0 圣( u ) l l x a 2i l u a ( 札) i i 譬1 ； ( 圣2 ) 当p 2 时，存在a l 0 ，a 2 0 ，使得对任意u x ，有 ( 虫7 ( 札) ，u a ( 乱) ) x x a ll i u a ( u ) l l 妥- ， i i 圣( u ) l l x a 2l l u a ( u ) l l x ( i l u l l x - fl i a ( u ) l l x ) p - 2 ； ( m 3 ) 对任意的b r ，存在常数a = n ( 6 ) ，使得当u 妒= u x ：圣( 钍) 耐时 i l u | | x + i i a ( u ) l l x a ( 1 + i i 乱一a ( u ) l l x ) ( 垂a ) 存在o t ，x 中的子空间序列( ) ”n 及正数序列( 忍) 。n 满足 d i m x 。n ， 蚝匕。圣( u ) q t 0 和连续奇 映射形：西。+ 6ud n _ 垂。一6ud 使得 ( i ) 形( d ) cd ( i i ) 对任意的u 西外6ud n 满足( 澎( u ) ) 圣( 扎) 下面的引理见文献【5 】，其证明利用引理3 2 、引理3 3 、引理3 4 引理3 5 对任意的c 0 ，存在6 ( 0 ，c ) 使得 ，y ( 圣。+ 6ud ；中oud ，西一1 ) 一y ( m 。一6ud ；m oud ，西一1 ) + ，y ( 蜒) 定义 c k ：= i n f c 0l ，y ( 圣。ud ；垂oud ，垂一1 ) 后) ， k n 引理3 6c 1 0 1 0 一类拟线性椭圆方程的变号解 证明首先断言瑞= k o d = o 事实上，设u x 满足圣( u ) = 0 和 ( u ) = 0 ，由( h z ) 可知， 。= 圣( 让) ( p l1 ，7 ) i i 让i i p ， 由此可知钆= 0 d ，因此瑞= 仍，由相对亏格的定义，存在6 0 ，使得 ，y ( 中占ud ；西oud ，圣一1 ) = 7 ( 垂oud ；圣oud ，圣一1 ) = 0 因此c l 6 为了估计，我们将它与极小极大值 凤：。聪d i m m w a x 七垂( w ) 作比较对任意的k n ，有仇 成立。 下面的两个引理见f 5 】5 ，其中引理3 8 的证明用到引理3 5 和引理3 6 。 引理3 7 对任意的k n ，c k 风+ 1 引理3 8 对任意的k n 及z 0 ，有c k = c k + l = = 仇+ f = c ，则 ，y ( 蜒) l + 1 特别当k _ 。时，有c 七一+ 引理3 9 如果( 风) 成立，则( 1 ) 的每个满足虫( u ) 厥的弱解u x 至多有k 个变号域。 证明假设u 至少有k + 1 个变号域q 1 ，吼+ 1 定义函数v i x ，i = 1 ，后+ 1 ，其中 忱c z ，：= 。，i = 1 ，尼+ 1 一类拟线性椭圆方程的变号解 因为圣是偶的， c i ) ( v i ) = s u pm ( 仇) ，i = 1 ，k + 1 t e r 记w = s p a n v l ，饥) ，则d i m w = k ，所以 f l k t 一s u p 蜘) 2 善晰) 似鲫) 这与假设圣( u ) 凤矛盾，于是u 至多有k 个变号域。 下面完成定理的证明。 定理的证明由引理3 8 ，可以得到解序列( 土饥惫) 七t 满足 并且 c k = m ( u 七) _ o 。，l i “七| l o 。， u 七噬cx d 再由引理3 7 和引理3 9 知，定理的结论成立。 1 2 一类拟线性椭圆方程的变号解 参考文献 【1 】a a m b r o s e t t ia n dp h r a b i u o w i t z ，d u a lv a r i a t i o n a lm e t h o d s i nc r i t i c a lp o i n tt h e o r y a n da p p l i c a t i o n s ，j f u n c t a n a l ，1 4 ( 1 9 7 3 ) ，3 4 9 - 3 8 1 【2 】t b a r t s c h ，c r i t i c a lp o i n tt h e o r yo nt h ep a r t i a l l yo r d e r e dh i l b e r ts p a c e s ，j f u n c t a n a l ，1 8 6 ( 2 0 0 1 ) ，11 7 1 5 2 f 3 】3t b a r t s c h ，k c c h a n g ，a n dz - q w a n g ，o nt h em o r s ei n d i c e so fs i g nc h a n g i n g s o l u t i o n so fn o n l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m s ，m a t h z ，2 3 3 ( 2 0 0 0 ) ，6 5 5 - 6 7 7 【4 】t b a r t s c ha n ds j l i ，c r i t i c a lp o i n tt h e o r yf o ra s y m p t o t i c a l l yq u a d r a t i cf u n c t i o n s a n da p p l i c a t i o nt op r o b l e m sw i t hr e s o n a n c e ，n o n l i n a e ra n a l ，2 8 ( 1 9 9 7 ) ，4 1 9 4 4 1 【5 1 5 t b a r t s c h ，z l l i u ，a n dt w e t h ，n o d a ls o l u t i o n so fap - l a p l a c i a ne q u a t i o n ，p r o c l o n d o n m a t h s o c ，9 1 ( 2 0 0 5 ) ，1 2 9 - 1 5 2 f 6 】6 t b a r t s c h ，z l l i ua n dt w e t h ，s i g nc h a n g i n gs o l u t i o n so fs u p e r l i n e a rs c h r o d i n g e r e q u a t i o n s ，c o m m p a r t i a ld i f f e n t i a le q u a t i o n s ，2 9 ( 2 0 0 4 ) ，2 5 4 2 【7 1k 一c c h a n g ，s o l u t i o n so fa s y m p t o t i c a l l yl i n e a ro p e r a t o rv i am o r s et h e o r y ，c o m m p u r e a p p l m a t h ，3 4 ( 1 9 8 1 ) ，6 9 3 7 1 2 1 8 】8k 一c c h a n g ，m o r s et h e o r yo nb a n a c hs p a c ew i t ha p p l i c a t i o n s ，c h i n e s ea n n m a t h ， b 6 ( 1 9 8 3 ) ，3 8 1 3 9 9 【9 】k 一c c h a n g ，i n f i n i t ed i m e n s i o n a lm o r s et h e o r ya n dm u l t i p l es o l u t i o n sp r o b l e m s ， b i r k h a u s e r ，b o s t o n ，1 9 9 3 【1 0 】e n d a n c e ra n dy d u ，o ns i g n c h a n g i n gs o l u t i o n so fc e r t a i n s e m i l i n e a re l l i p t i c p r o b l e m s ，a p p l a n a l ，5 6 ( 1 9 9 5 ) ，1 9 3 2 0 6 【11 】g d i n c a ，p j e b e l e a na n dj m a w h i n ，v a r i a t i o n a la n dt o p o l o g i c a lm e t h o d s f o rd i r i c h - l e tp r o b l e m sw i t hp - l a p l a c i a n ，p o r t u g a l m a t h ，5 8 ( 2 0 0 1 ) ，3 3 9 - 3 7 8 1 2 】d g i l b a r g ，n t r u d i n g e r ，e l l i p t i cp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fs e c o n do r d e r ， 2 n de d i t i o n ，s p r i n g e r ，b e r l i n ，1 9 9 8 1 3 一类拟线性椭圆方程的变号解 【1 3 】s j l ia n dj q l i u ，s o m ee x i