（系统分析与集成专业论文）二维小波的提升方案及其在图像融合中的应用.pdf

摘要 经典小波分析方法的理论在信号处理和工程应用中获得了巨大的成功，但它不是十 分完美的。在时间域上的局部信息，存储空间和运算速度等方面存在一些不足。于是 w i ms w e l d e n s 对小波构造方法上提出了提升格式。提升格式从时域的角度来构造小波， 基本思想是通过有限步预测和更新来构造小波滤波器，利用提升将小波变换分解成有限 步的提升过程。 用提升格式实现小波滤波的一个重要的优点是它把滤波器问题分解为一些基本的 步骤，不仅其中每一步都是可逆的，并且逆变换非常简单。本论文主要研究了二维小波 及其提升格式，以及适用于该变换的图像融合算法。 本文通过简要地介绍一维小波变换以及多分辨分析，引出了二维可分离小波的分解 与重构算法和小波提升理论。在此基础上，提出一种新的基于行列并行的提升算法，通 过分裂算子将图像分成1 个低频系数和3 个高频系数，利用图像局部结构的相关性和方 向性对高频系数进行预测和更新。在融合过程中，对变换后的低频系数进行加权平均， 对高频系数计算局部能量和，通过整体选取得到融合图像的小波系数，最后对该系数进 行提升小波的逆变换，得到融合图像。在本文中利用m a t l a b 程序实现了图像的二维提 升小波变换和图像融合算法。数值实验表明，此提升方法在融合速度以及融合后的图像 质量上优于传统小波变换和张量积小波提升方法。 关键词：小波变换；提升格式；图像融合；提升分解 a bs t r a c t t h ec l a s s i cw a v e l e tt h e o r i e sa r es u c c e e d i n gi ne n g i n e e r i n ga n ds i g n a lp r o c e s s i n g ，b u t t h e ya r en o tp e r f e c ta n de x i s td e f i c i e n c yi n t e r m so fl o c a li n f o r m a t i o ni nt h et i m e - f i e l d ， s t o r a g es p a c ea n do p e r a t i o ns p e e d t h el i f t i n gs c h e m ew a s d i s c o v e r e db yw i ms w e l d e n s t h e l i f t i n gs c h e m ec o n s t r u c t sw a v e l e t i nt h et i m e - f i e l d ，i t sb a s i ci d e ai st oc o n s t r u c tw a v e l e tf i l t e r s t h r o u g hf i n i t ep r e d i c to p e r a t o r sa n du p d a t eo p e r a t o r s o n ei m p o r t a n ta d v a n t a g eo fu s i n gt h el i f t i n gs c h e m et or e a l i z ew a v e l e tf i l t e r i n gi st h a ti t f a c t o r st h ef i l t e ri n t os o m eb a s i cs t e p s ，e a c ho fw h i c hi si n v e r t i b l ea n di t si n v e r s et r a n s f o r mi s v e r ys i m p l e i nt h i sp a p e r ，2 - dw a v e l e tt r a n s f o r ma n di t sl i f t i n gs c h e m ea n di m a g ef u s i o n a l g o r i t h mw h i c h i ss u i t a b l ef o rt h i sw a v e l e ta r em a i n l ys t u d i e d 1 dw a v e l e tt r a n s f o r m ，m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s a n d o r t h o g o n a l w a v e l e t d e c o m p o s i t i o na n dr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h ma r eb r i e f l yi n t r o d u c e d t h e nt h es e p a r a b l e2 - d w a v e l e tt r a n s f o r m ，i t sd e c o m p o s i t i o na n dr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m ，a n dl i f t i n gs c h e m ea r e d i s c u s s e d w i t ht h eb a s i ci d e ao fl i f t i n gw a v e l e tt r a n s f o r m ，an e wa l g o r i t h mi si n t r o d u c e d i t u t i l i z e st h eh o r i z o n t a la n dv e r t i c a lo p e r a t i o np a r a l l e l i s m ，t h es o u r c ei m a g e sa r er e d u c e di n t o o n el o wf r e q u e n c yc o e f f i c i e n ta n dt h r e eh i g hf r e q u e n c yc o e f f i c i e n t st h r o u g ht h es p l i to p e r a t o r , u s e st h el o c a lp e r t i n e n c ea n dd i r e c t i o no fi m a g e st op r e d i c ta n du p d a t et h ei n f o r m a t i o n a n o v e lf u s i o nm e t h o db a s e do nt h ea v e r a g ew e i g h ta n dt h es u mo fe n e r g yi sp r o p o s e d ，w i t h a v e r a g i n gt h el o wf r e q u e n c yc o e f f i c i e n t sa n dc h o o s i n gt h eh i g hf f e q u e n c yc o e f f i c i e n t sw i t h t h es u mo fe n e r g y f i n a l l y ，t h ef u s e di m a g ei s o b t a i n e dw i t hi n v e r s i n gl i f t i n gw a v e l e t t r a n s f o r m t h e2 - dw a v e l e tt r a n s f o r mo fi m a g ew i t hl i f t i n gs c h e m ea n di m a g ef u s i o n a l g o r i t h m a r er e a l i z e dw i t hm a t l a bp r o g r a m t h i sl i f t i n gt r a n s f o r mi sb e t t e rt h a nt h e t r a d i t i o n a lw a v e l e tt r a n s f o r ma n dt h et e n s o rp r o d u c tw a v e l e tl i f t i n gm e t h o di nt e r m so ft h e a d a p t i o n ，t h es p e e d o fi m a g ef u s i o na n dt h es p a t i a lq u a l i t y k e y w o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ；l i f t i n gs c h e m e ；i m a g ef u s i o n ； l i f t i n gd e c o m p o s i t i o n l i 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 论文作者签名： 气专。 日期：2 叫年f 月7 日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有关 部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以允 许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后遵守此规定) 作者签名： 气弋 指导教师虢刮战 日期：2 哆f 日期： 第一章绪论 第一章绪论 1 1 小波分析的产生与发展 计算机在处理这些图像信息时，需要大量的存储空间，这对通信信道及网络都造成 很大压力，严重制约着图像信息的高效处理。为了有效地和快速地对图像进行分析和处 理，常常将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另一些空间，并利用这些空间特 有性质方便进行一定的加工，最后再恢复到图像空间以得到所需的效果。图像变换是许 多图像处理和分析的数学基础。 小波分析【1 - 3 】是图像变换的最重要的的技术之一，它在图像处理的很多领域发挥着 越来越大的作用。小波分析是2 0 世纪8 0 年代后期形成的二个新兴数学分支，近2 0 年 得到了迅猛发展，已经被广泛应用到数值分析、信号处理、图像处理、模式识别、地震 勘测、计算机视觉等领域。 小波分析的发展历史最早可追溯到1 9 1 0 年，h a a r 提出的第一个小波给出了利用盒 函数构造的l 2 俾) 空间中的一组规范正交基。1 9 8 1 年，s t r o m b e r g 对h a a r 系进行了改进， 证明了小波函数的存在性，并构造了一组具有指数衰减且有限次连续可微的正交基，这 些工作为小波分析奠定了基础。1 9 8 8 年m a l l a t 巧妙地将计算机视觉领域的多分辨分析 的思想引入到小波分析、小波函数的构造、按小波变换的分解及重构，从而成功地统一 之前提出的具体小波函数的构造，给出了构造正交小波基的一般方法。1 9 8 9 年，作为正 交小波基的推广，c o i f m a n n ，m e y e r 和w i c k e r h a u s e r 等又引入了正交小波包的概念。 经典的小波理论尽管在9 0 年代初期已经显得非常完美，但在实际应用中仍然存在 许多缺陷。例如，小波的计算速度需要进一步的提高、小波实现难度应简化以及克服常 见小波基函数不能无损表示信息的弊端。小波函数的构造涉及较多的数学知识，工程技 术人员往往局限于应用已有的小波函数直接进行图像处理，但相同的图像信息采用不同 类型的小波函数进行处理往往会得到不同的结果，给实际工作造成一定的困难。 1 9 9 5 年，w i r es w e l d e n s 和e s c h r o d e r 正式提出了小波提升格式及第二代小波的概 念【4 】o 提升格式也被称为第二代小波构造方法。1 9 9 6 年，w i ms w e l d e n s 在给出经典小 波中双正交滤波的提升格式，并证明了它的提升过程。利用提升将小波变换分解成有限 步的提升过程，并完全脱离了傅立叶变换，利用提升研究整数到整数的小波变换【5 6 】。与 第一代小波构造方法的主要区别是它不依赖于傅氏变换，小波基函数不再是由某一个函 湖北大学硕1 二学位论文 数的平移和伸缩而产生，所以特别适合于有限区域、曲面上及非均匀采样等领域中的小 波设计，而这些都是基于傅氏变换的小波设计无法完成的。 从信号处理的角度来看，作为一种新的时频分析工具，小波克服了傅立叶分析方法 表示信息时能够清晰地揭示出信号的频率特征但不能反映时间域上的局部信息的缺陷， 而局部性质的描述无论是在理论还是在实际应用方面都是十分重要的【7 ，8 j 。 然而小波提升完全在时空域对信号进行变换，实现对信号频域特性的分析，并且可 以通过设计不同的预测算子和更新算子得到具有某些特殊功能的小波函数，更好地解决 实际问题，使得对非平稳信号的处理变得相对容易。并且利用提升格式分解重构运算速 度快、占用内存小等特点，提高了信号处理的效率和质量。 1 2 图像融合发展现状 图像融合是数据融合的一种特殊情形，其信息均是以图像的形式表达，它对人的视 觉产生作用。图像融合是根据某一算法，将从不同传感器( 或同一传感器在不同时间或 不同观测角度) 得到的同一场景的多幅图像经过综合处理，从而得到一幅新的、满足某 种要求的、对目标或场景的描述更为精确、更为全面、更为可靠的图像，以便于人眼的 观察和计算机的迸一步处理。它的主要目的是综合各类图像数据的优点，提高图像的解 译能力【9 1 。正是由于这些特点，图像融合技术已广泛地应用于军事、遥感、计算机视觉 和医学等领域。 图像的融合过程可以发生在信息描述的不同层。根据信息表征层次的不同，图像融 合一般可分为像素级融合、特征级融合和决策级融合三大类。由于像素级图像融合是基 础且比较直观，在图像融合领域最受关注。近二十年，针对不同的实际需要，提出了许 多图像融合方法，主要有神经网络方法、加权合并方法、统计的方法，以及基于多尺度 分解的方法，包括基于图像金字塔( 拉普拉斯金字塔、梯度金字塔、比率低通金字塔和 形态学金字塔等) 方法【1 0 】和基于小波变换方法【1 1 , 1 2 j 等。 其中基于多尺度分解的方法用得较多。虽然传统的基于多尺度分解的方法能获得一 定质量的融合图像，但执行时间长，且需要较大的内存支持，不适于实时系统使用。而 基于小波变换的图像分解方法其具有非冗余性、方向性以及与人眼视觉相吻合的分层结 构，在众多的像素级融合方法中，基于小波变换的融合方法具有良好的效果，并已成为 现今研究的一个热点。 综合考虑融合图像质量和执行速度，本文提出了新的基于提升小波变换的快速图像 融合方法。该算法对多个源图像分别进行提升小波分解，采用不同的融合策略合并相应 2 第一章绪论 的低频近似系数和高频细节系数，最后通过提升小波逆变换得到融合后的复合图像。 1 3 本文的主要工作 本论文首先介绍了可分离二维小波变换和图像融合的发展现状及目前常用的小波 变换方法和融合技术；在此基础上引入了提升小波理论，并提出了新的二维小波的提升 方案以及图像融合规则。在传统小波变换算法的基础上提出了行列并行的提升算法；最 后给出详细实例说明，并和传统图像融合方法以及张量积小波变换算法进行分析比较。 本文具体内容和安排如下： 第一章，绪论 陈述了本文的研究目的、研究意义及研究背景，对国内外在该领域中的研究状况作 了简要的介绍。基于提升小波变换和提升小波变换的图像融合技术的发展、应用及面临 的问题进行了分析。 第二章，小波变换 本章主要对小波分析进行了深入的研究。研究了一维和可分离二维小波变换。 第三章，小波的提升格式 首先说明了提升格式提出的必要性及其优点，然后介绍了有关小波的提升格式的理 论。小波的提升格式就是利用提升将小波变换分解成有限步的提升过程，提升格式的基 本思想是通过有限步预测和更新来构造小波。最后提出了行列并行的自适应的小波提升 变换的分解和重构算法。 第四章，基于提升小波的图像融合算法 探索了在提升小波的基础上进行图像融合的研究。本文借助提升小波提出了一种基 于行列并行和自适应性的多聚焦图像融合算法。首先对各源图像进行提升小波变换，对 信号的高低频率部分采取不同的融合规则，组合融合图像的小波系数，最后对该系数进 行小波逆变换，得到融合图像。 第五章，实验结果与分析 数值实验表明，该算法能够较好地解决多聚焦图像融合问题，生成的融合图像效果 优于传统图像融合方法。这种方法不仅能够完好地显示了源图像各自的信息，而且能很 好地将源图像的细节融合在了一起，并得到更好的融合效果。 第六章，全文工作总结及展望 本章为全文的总结部分，综合叙述了本文主要做的工作，阐述了本文工作中的创新 点，并对图像融合技术今后的发展方向进行了展望。 3 湖北大学硕士学位论文 2 1 傅立叶变换 第二章小波变换 弟一早 ，j 、波艾恹 2 1 1 连续函数的傅立叶变换 令厂o ) 为实变量x 的连续函数，厂o ) 的傅立叶变换以l f f f o ) 】- 表不，则 f ，o ) ) = f ) = 。f ( x ) e - j 2 d x ( 2 1 ) 式( 2 1 ) 中j 一= i ，若已知f ) ，则利用傅立叶反变换可求得 ，0 ) - ，一1 f ) ) 一”。f ( u ) e j z = d x ( 2 2 ) 式( 2 1 ) 和( 2 2 ) 称为傅立叶变换对，如果f ( x ) 是连续的和可积的且f q ) 是可积的， 可证明此傅立叶变换荐在。事实上这些条件几乎总是可以满足的【t 3 坷。 这里厂 ) 是实函数。它的傅立叶变换f ( u ) j i 匾常是复函数，f ( u ) 的实部、虚部、振 幅、能量和相位分别表示如下： 实部尺 ) = rf ( x ) c o s ( 2 9 m x ) d x ( 2 3 ) - ，一 虚部， ) 一t 厂o ) s i n ( 知娥) 如 ( 2 4 ) 振幅if ( u ) i = 【r 2 ) + j 2 0 ) 】“2 ( 2 5 ) 能量e 白) ；l f ) 2r 2 似 ) + ，似) 2 ( 2 - 6 ) e - j 2 撇一c o s 2 t o o ：一j s i n2 a u x ( 2 - 7 ) 傅立叶变换中出现的变量u 通常成为频率变量。 傅立叶变换很容易推广到二维的情况，如果f ( x ，y ) 是连续和可积的，且f ( u ，) 是可 积的，则存在如下的傅立叶变换对 f 厂( 工，y ) ) = ，( “，矿) = 忙，( x ，y ) e 川椰蚴 ( 2 8 ) 4 第_ 二章小波变换 f _ 1 f ，l ，) ) = ， ，y ) = r 广。f ，v ) e 7 h 似州d u d v ( 2 9 ) ，一 式中u ，1 ，是频率变量。 与一维的情况一样，二维函数的傅立叶振幅、相位和能量谱分别由下列关系给出： if ( u ，v ) i 一【r 2 ，v ) + ，2 ，v ) 】l 2 妒 ，v ) 一a r c t a n u ，v ) 尺 ，l ，) 】 e ( u ，力。r 2 ，矿) + ，2 ，p ) 2 1 2 离散函数的傅立叶变换 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 假定用取一个相互间隔缸单位的抽样方法将一个连续函数f ( x ) 离散化为一个序列 ， 。) ，l ( x 。+ a x ) ，l x o + ( n - 1 ) a r ，将序列表示成 厂( x ) = l ( x o + z 缸) ( 2 1 3 ) 式( 2 1 3 ) 中1 7 假定为离散值o 1 ，2 ，n 一1 。换句话说，序列 ，( 0 ) ，厂( 1 ) ，厂( 2 ) ，( 一1 ) 用来表示取自相应连续函数的任意个等问隔抽样值。被 抽样函数的离散傅立叶变换可表示为 荆= 专篓m p 一( 2 - 1 4 ) 式( 2 1 4 ) 中“= 0 , 1 , 2 ，n 一1 而 f ( x ) = 罗f 弦7 2 “7 ( 2 1 5 ) 氖 式( 2 1 5 ) 中石= 0 ，1 , 2 9 * 0 9 n 一1 。 在式( 2 1 4 ) 给出的离散傅立叶变换中，u ；0 , 1 ，2 ，n 一1 的值对应于在值 0 ，幽，2 a u ，( - 1 ) a u 处连续变换的抽样值。用f ( u ) 来表示f “) 。除了f ) 的抽样 湖北大学硕士学位论文 始于频率轴的原点之外，这个表示法和离散的， ) 所用的表示法相似【1 6 1 7 1 。可以证明a u 和缸的关系为 醵i1 n 敏 在二维的情况下，离散的傅立叶变换对表示为 f 积) 甜秽译对 举x 卜 il r 0 x ox 1x 2x k x ( 2 1 6 ) 图2 - 1 连续函数抽样 f - 面1m 未- 1 n 磊- 1 厂p 懈删) ( 2 - 1 7 ) 式( 2 1 7 ) 中u ；0 , 1 , 2 ，m 一1 ；v ；0 ，1 , 2 ，。a v 一1 ， 舷加嘉篓篓盹y 训酬肌删) 协 现在连续的函数的抽样是在二维的格子上进行的，此格子在x 轴和y 轴上分别以宽 度缸和缈划分，如一维的情况一样，离散函数( x ，y ) 表示函数厂0 0 + z 缸，y 。+ y a y ) 对 于zs0 , 1 , 2 ，朋一1 矛1 1 y - 0 , 1 , 2 ，n 一1 点的取样。对f ，1 ，) 有类似的解释。在空间域和频 率域中的抽样间距由下式相联系 j 缸1 1 m 缸( 2 - 1 9 ) l a v 一1 n a y 6 第二章小波变换 2 2 小波变换 2 2 1 引言 小波变换的统一理论框架虽然是在近十年内发展起来的，但小波理论的思想早在2 0 世纪初就出现了，并成为数学、物理、工程等不同研究领域中各自独立地研究不同尺度、 不同分辨率下的数字信号的方法f 1 7 。2 伽。 法国数学家m o r l e t 提出了小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ) 的概念，并与法国理论物理 学家g r o s s m a n 共同提出了连续小波变换的几何体系，其基础是平移和伸缩下的不变性， 这使得在将一个信号分解成对空间和尺度的独立贡献同时又不丢失原有信号的信息成 为可能。法国数学家m e y e r 和比利时数学家d a u b e c h i e s 以及g o r s s m a n 则通过构成2 俾“) 的一个准正交完全集的方式选取连续小波空间的一个离散子集，证明了一维小波函数砂 的存在性。 1 9 8 8 年，m a l l a t 将计算机视觉领域内的多尺度分析方法和思想引入到小波分析中， 提出了多分辨率分析的概念，给出了构造正交小波基的一般方法和与f i 丌相对应的快速 小波算法一m a l l a t 算法，并开创小波理论在信号处理中的应用。小波分析已广泛地应 用于量子场论、地震勘探、计算机视觉等许多领域。原则上讲，传统使用傅立叶变换的 地方，现在都可以用小波变换来取代，小波分析优于傅立叶分析的地方是它在时间域和 频率域同时具有良好的局部化性质1 2 1 1 。 2 2 2 连续小波变换 设妒o ) l 2 俾) ( l 2 俾) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ，其傅 立叶变换为妒。当妒( ) 满足允许条件( a d m i s s i b l ec o n d i t i o n ) 巳= 正臀舨( 2 - 2 0 ) 时，称妒( f ) 为一个基本小波成母小波( m o t h e rw a v e l e t ) ，将母函数妒o ) 经伸缩和平移后， 就可以得到一个小波序列 7 湖北人学硕上学位论文 妒。 o ) 。下1 妒0 二鱼) 露，b e r ，口一o ( 2 2 1 ) 、口 口 式( 2 2 1 ) 中口为伸缩因子，b 为平移因子。口也称为尺度，在小波变换中，我们 用尺度概念来代替原来傅立叶变换中的频率概念，大尺度对应于缩小信号，而小尺度对 应于放大信号，对于任意函数f ( t ) e l 2 俾) 的连续小波变换为 ，6 ) 一 一f 口i 舭正厂p 万( 孚渺 ( 2 2 2 ) 其重构公式( 逆变换) 为 m 一扛加渺( 譬如删 沼2 3 ， 由于基小波妒o ) 生成的小波妒。占o ) 在小波变换中对分析的信号起着观测窗的作用， 所以妒o ) 还应满足一般函数的约束条件 j = 。i , , ( t ) ld t ( 2 2 4 ) 妒( ) 是一个连续函数，这意味着，为了满足完全重构条件式( 2 2 4 ) ，妒( ) 在原点必须 等于0 ，即 妒( 0 ) 2 j = 。妒( f ) 班l 0( 2 2 5 ) 为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，除了完全重构条件外，还要求小波妒( f ) 的傅立叶变换满足下面的稳定性条件： 彳s i 眵( 口，6 ) 1 2s b( 2 - 2 6 ) 式中0 1 ， 所对应的离散小波函数妒，o ) 即为 妒，声o ) = 口i 2 妒( 三二竽) = 口：2 妒( 口j 7 f 一勋。) ( 2 - 2 9 ) 而离散化小波变换系数则可表示为 c j = e ，( f 五( o a t 一 其重构公式为 厂) = c 萋萋c ，j 妒肚l j f ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 式中c 是一个与信号无关的常数。小波变换系数c 七同样要满足界限条件： 彳s 善i c 似is 口(2-32) 9 湖北大学硕士学位论文 2 2 4 多分辨率分析 多分辨率分析理论【2 3 1 是m a l l a t 在研究图像处理时提出的，他是建立在函数空间概念 基础上的理论。多分辨率分析不仅为l 2 俾) 空间正交小波基的构造提供了一个简便方法， 而且为小波的分解和重构提供了快速算法，即为m a l l a t 算法。 定义多分辨率分析是指将信号投影到具有如下性质的一组函数空间序列 】- 皿； 一致单调性 c 圪ckc 虼ck ，c 圪2c 渐进完全性 n = 0 ，u = 2 ( r ) i z i z 伸缩完全性 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) f t ) v j 营f ( 2 t ) e v j l ( je z ) ( 2 3 5 ) 平移不变性 厂p ) 营f ( t 一露) ( v ne z ) ( 2 - 3 6 ) 正交基存在性 | 矽，使得影o 一咒) ) 膨是的正交基，即一s p a n q 6 ( t 一刀) ) ，有 - 6 。 ( 2 3 7 ) 1 从定义可以看出，若( f - n ) 为空间的正交基，则办一p ) = 22 妒( 2 - j ，一露) 必为空间 的标准正交基，所有的子空间 胆均为由同一经伸缩后的平移系列张成的尺度空 间，称妒( f ) 为多分辨率的尺度函数。 多分辨率分析基于连续分辨率2 7 和2 川存在信息差别，因此有可能直接利用不同分 辨率时信号的信息差来对信号进行分析，信号在分辨率2 7 和2 川之间的多分辨率分析的 信息差称为在分辨率2 7 的细节信号。由于信号对分辨率2 7 和2 川的分析分别等于在和 + ，向量空间的投影，因此细节信号也可以用萨交投影的概念来定义。 1 0 第二章小波变换 2 3 二维小波的分解和重构算法 2 3 1 小波系数分解的快速算法叫ai ia t 算法 由多分辨率分析【2 3 】的定义可知，q b ( t ) y r 覃l v j ( t ) 分别是尺度空间和小波空间的标 准正交基函数，由于c 旷，cw _ l ，故矽o ) 和矽) 均属于v - 1 空间，这样，多o ) 和妒( f ) 也可以用p 。空间的正交基办。o ) 作线性展开： 妒o ) 一矗。o ) 办一o ) 一三办。o 拗( 力一，1 ) 驴o ) = h 。o ) 办，。o ) 一芝j i l 。o 渺( 丑一刀) 其中展开系数o ) = ，j i l ，伽) 一 ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 公式( 2 3 8 ) 和( 2 3 9 ) 描述的是相邻两尺度空间基函数之间的关系，通常被称为 二尺度方程， o ) 和0 ) 被称为低通滤波器系数和高通滤波器系数。 其中 设任意，( f ) 哆一。在一。空间的展开式为 f q ) 2 ；c j _ l i c 2 ( - j + 1 ) 2 妒( 2 7 1 f 一七) 将，( f ) 分解一次( 即分别投影到，空间) ，得 ( 2 4 0 ) f q ) 一c ， 2 77 2 0 ( 2 7 t k ) + 2d ，乒2 一7 2 c ，( 2 7 f 一七) ( 2 - 4 1 ) c ，上= = 正2 叫2 ( 2 吨一k ) d t d ，乒一 = j ：2 7 7 2 万( 2 7 f k ) d t 一般称c j 为尺度系数，d ， 为小波系数。 ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 由二尺度方程公式( 2 4 1 ) 可得 0 ( 2 7 f k ) 一2 罗j l l o ( ，1 ) 驴( 2 小1 f 一放一，1 ) 7 = 2 办。彻一放) ( 2 - j + l f 一班) ( 2 - 4 4 ) 将公式( 2 4 4 ) 代入公式( 2 4 2 ) 得 湖北人学硕上学位论文 c 肚t j l l 。沏一2 k ) f r f ( t ) 2 卜p d 佗驴( 2 小1 f m ) d t 。j l 。沏一放) 一伽一2 k ) c ，t ( 2 - 4 5 ) 用同样的方法可得 d ，i h 1 ( 所一2 k ) c ，一l ( 2 - 4 6 ) j 尺度空间的尺度系数c 肚和小波系数矗， 可由j 一1 尺度空间的尺度系数c 一。经滤 波器系数h o o ) 和 。o ) 加权求和得到。递推公式( 2 - 4 5 ) 和公式( 2 4 6 ) 即为m a l l a t 小 波分解算法公式，见图2 2 。 c mc m + lc m + 2 0 0 0c m + n 图2 2m a l l a t 小波分解算法 利用同样的思路，可得下面的m a l l a t 小波重构算法公式： c 卜1 , m = c , k h 。( m 一2 七) + 乏d j , k h i ( 掰一2 k ) ( 2 - 4 7 ) 在信号的小波分析中，小波分析重构系统必须满足下列两个条件： ( 1 ) 完全重构性，原始信号可以由它的子带信号完全重构； ( 2 ) 子带信号的数据点数的总和不应多于子原始信号的数据点数，否n d , 波变换编码 的压缩效率将降低。 对于无限长度的信号，因其频带是严格受限的，根据抽样原理，对其子带信号进行 严格的抽样就能满足上述条件。然而对于有限长度的信号，经过小波变换的线性滤波， 子带信号的数据点数将大于原始信号的数据点数，从而引起边界外延。如果满足条件( 1 ) 的完全重构行，子带信号在严格抽样时的数据点数将增加，不滤满足条件( 2 ) 如果去 掉因线性滤波而增加的点数以满足条件( 2 ) ，则由于信息的丢失，重构信号将产生畸变， 不能满足条件( 1 ) 。为了同时满足条件( 1 ) 和( 2 ) ，必须对原始信号进行边界延拓， 形成一无限长信号，以减少信息的丢失。 1 2 第二章小波变换 2 3 2 二维小波的多分辨率分析及m ai i a t 算法 设在三2 俾) 中己给定一个多尺度分析 ，及相应的尺度函数妒o ) ，定义_ 尺度下的二 维空间矿为 = ( 2 - 4 8 ) l 由咖一 ) - 22 妒( 2 。z 一咒) 是的标准正交基可知，伽，一o ) 妒，朋( ) ，) 】。胆一定是哆的 标准正交基。 令为在q 中的正交补空间，则有 l j - 12 一- 一- = 孵o ) o o ) ；够o ) o 眠o ) o 孵 ) o ) = y ，o 形；0 矿? o ? ( 2 4 9 ) 其中嘭，露和曰分别称为二维小波空间。显然，桫j , n 伽( ) ，) 。胆， 蛾，。 渺j , m ( y ) 。胆和缈j , n o 渺j , m ( y ) 。，。口分别构成了曰，孵和曰的标准正交基，且 空间嘭，曰，砰和曰两两正交。 假设s 厶为对应于尺度空间e 的展开系数：口二。，卢纛和) ，二。分别为对应于小波空 间曰，露和曰的小波展开系数；h 0 0 ) 和如) 分别为低通滤波器系数和高通滤波器 系数，则有下列二维小波变换的分解公式： & 二一h ，( 七一2 i ) h 。沏一2 0 s 。j 一- i 彤。荟”趔沙- 伸趔j k j k 卜, m 1 ( 2 5 0 ) y 二= h - ( 七一2 i ) h 。( 胁一2 0 j t j 。- i s 二= h 。( 七一2 i h 。( ，珂一2 ，) s 矗 其重构公式为 j 。- m i = s 二似一复蜘。铆一刀) + 善口二办t 似一复) 办。仰一2 ，) + 雾咖( 七- 2 f ) 矗- ( 明捌) + ”i 7 j 办- 捌) ，l ( m - 2 ) ( 2 - 5 1 ) 1 3 湖北人学硕上学位论文 3 1 引言 第三章小波的提升格式 2 0 世纪9 0 年代中期，s w c l d c n s 等提出了小波提升方案( 1 i f t i n gs c h e m e ) ，并给出了 经典小波中双正交小波的提升方案( 又称提升格式) 1 3 , 2 4 - 2 7 。提升方案是在空域中直接 构造小波，大大拓展了小波分析的研究领域。 由于小波的成功应用，在信号处理中引入了许多构造小波变换的方法。信息科学中 常见的离散变换，如离散傅里叶变换( d f d ，离散余弦变换( d c t ) 以及离散小波变换，由 于其基函数或者为三角函数从而系数为无理数，或者系数本身为无理数( 如d a u b c c h i c s 类小波等) ，然而，在诸如计算机等设备上只能够进行有限位的运算，因此，在各种变 换的实现过程中对系数进行截断处理，即用有理数对数据进行近似不可避免。但是，这 样做时面临两个问题：( 1 ) 算法的精度与计算复杂性。为了得到较高的精度，对无理数 作截断时取有效位数字少，精度往往达不到要求，而想达到高精度则需要足够长的位数， 从而导致计算复杂度的增加。还有，在滤波等运算中作近似处理后，完全重构的性质将 会改变，花费大量精力设计出的完全重构滤波器仅为近似的：( 2 ) 硬件实现难度。为了 得到高精度截耿的多位浮点数，会给硬件实现带来不便，浮点的位数越多，实现难度越 大。而另一方面，在信号处理的许多应用中( 如图像处理) ，要处理的原始数据为一定 范围的整数( 如o 到2 5 5 之间) ，因此，对其作滤波等运算时，如果滤波器系数能够用 整数或者二进制分数精确表示，则可以提高算法速度的同时降低算法的软、硬件实现难 度。1 9 9 1 年，c h a m 提出了一类整数d c t 的概念，但是，他所提出的整数d c t 由于不 构成原始d c t 的逼近，同时由于设计过程复杂，对于一般点数的整数d c t 不存在快速 算法，因此该法没有得到推广。直到1 9 9 5 年，s w c l d c n s 等人提出利用提升格式构造非 线性变换，不仅得到了新的小波变换，将现有小波变换的计算复杂性进一步降低，而且 将提升格式的思想用于离散变换的整数实现，得到了整数d c t 以及整数重叠式变换等 离散变换的构造方法【2 1 , 2 2 】。 提升格式可以构造第二代小波，也就是利用提升将小波变换分解成有限步的提升过 程，将第一代小波变换映射到第二代小波变换。它与第一代小波构造方法的主要区别是 它不依赖于傅立叶变换，小波基函数不再是出某一个函数的伸缩和平移而产生，所以特 1 4 第三章小波的提升格式 别适合于有限区域、曲面上及非均匀采样等领域中。 文献【3 】指出已存在的第一代小波变换都可以转换成第二代小波变换的形式。也就是 说具有有限支撑的第一代小波变换都可以被分解成一系列简单的提升步骤来实现，而且 所有能够用m a l l a t 算法实现的小波变换都可以用提升格式来实现，并且算法更快，更简 0 士 i 口o 3 2 小波提升方案的基本原理 第一代小波的研究工具主要是f o u r i e r 分析，即从频域来分析问题。而提升小波则 是直接在时( 空) 域分析问题，使问题变得更加简单，并且可以将所有传统小波都通过提升 方法构造出来。提升小波变换是一种新的有效小波变换，它改进了经典的小波变换并获 得了一些独特的性质。这种小波变换摒弃了经典小波的一些复杂的数学概念，它也不需 要经典小波变换中的伸缩和平移变换和f o u r i e r 分析。这种新的小波变换是在经典小波 变换的多分辨率的思想上发展起来的，并且证明它与经典小波变换是完全等效的。同时， 它具有经典小波变换无法比拟的优点。提升小波变换具有以下特剧2 5 l ： ( 1 ) 数学概念简单，算法简单。小波的构造完全在实域内进行，无需f o u r i e r 分析 理论； ( 2 ) 分解、重构算法容易实现。所用到的工具相当简单，主要为l a u r e n t 级数的 e u c l i d e a n 除法； ( 3 ) 算法运算量少、速度快，节省存储空间。例如9 7 小波的提升格式比响应m a l l a t 算法运算量减少3 0 左右； ( 4 ) 容易构成整数到整数的小波变换； ( 5 ) 运算过程简单，可以实行即位( i n p l a c e ) 运算； ( 6 ) 可以构造出所有已有的小波变换，并且得到部分新的小波变换。 在本文中，作者用提升方法构造传统小波，并将构造后的提升小波用于图像处理中。 提升格式的基本思想【2 6 1 是通过有限步预测和更新来构造小波。它是建立小波分解的 一种非常灵活的工具。提升格式把一个序列分解为偶数序列和奇数序列，用奇数序列去 预测偶数序列，再用偶数序列的真实值和预测值的偏差去修正( 更新) 奇数序列。提升格 式包括分解和重构两个过程。 小波变换的提升分解由三步组成，即分裂( s p l i t ) 、预测( p r e d i c t ) 和更新( u p d a t e ) ， 1 5 湖北人学硕士学位论文 相应的线框如图3 - 1 的a ) 图所示。 对给定的信号s 一如似10 sks2 j ) ，经过一级小波变换后得到低频信号和细节信号 分别记为s j - 1 和d h ，下面具体讨论每一步分实现过程。 o d d j 1o d d j 1 a ) 小波变换的提升格式 b )逆小波变换的提升格式 图3 1小波提升方案基本框图 1 s p l i t 分裂过程将信号分裂成两个较小的数据子集，分裂后的两个信号相关性愈强，效果 愈好。将信号s ，中位于偶下标位置的元素构成一个集合，记为p 啪一：将位于奇下标位 置的元素构成一个集合，记为o d d ，即 f 湖矿朋引 为互补。由公式( 3 1 7 ) 可 得： 曩q ) ，9 0 0 j ) z o ( z ) = 一g 。z - 1 ) ( 3 1 8 ) 曩d ) 一一h 0 0 d ) 磊o ) = h e o 以) 从懒惰小波( l a z yw a v e l e t ) 开始，通过提升方法可以把一个已经存在的小波经变换生 成一个具有某种特性的新小波，下面的定理便说明了这一构造方法。 定理1 ( 提升定量) 1 2 3 , 2 4 如果伽，g 为互补的滤波器组，那么任何与五互补的有限 长滤波器g 一可以表示为： g 一( z ) 一g ( z ) + h ( z ) s ( z 2 ) ( 3 1 9 ) 其中：s ( z ) 一罗z - 七为l a u r e n t 多项式。反之，任何具有形式g 一的滤波器一定与i i i 互 焦 补。 定理2 ( 对偶提升