（通信与信息系统专业论文）纯二维53小波变换及实现.pdf

5 3 小波滤 o 5 3 小波包 现过程。 目前离散小波变换对数字图像进行处理，大都是采用行、列分离处理方式， 其本质上是对纯二维信号的一维分离处理。图像编码国际标准j p e g 2 0 0 0 采用 d a u b e c h i e s9 7 、5 3 小波用于有损和无损图像压缩编码，也是行列分离处理方式 人眼的视觉特点是：时空频率特性的各向异性，人眼在空间频域内沿4 5 。对角 线方向的频率宽度要比水平和垂直方向的频率宽度低1 0 - 2 0 ，可以说图像能 量主要集中于频域平面h i + i ，i 万的“钻石型”低频区域内。纯二维5 乃小波 变换一级分解就把图像低频和高频数据彻底分开，并且低频和高频系数在时域中 各占l 2 ，编码时高频系数占用很少码字或忽略不计；对人眼敏感的低频子带可 继续进行分解，根据视觉敏感程度进行编码，敏感度高，加大编码，敏感度小， 减少编码。 文中简要地介绍了一维5 3 小波滤波器组，采用m c c l e l l a n 变换把一维5 3 小波滤波器组转化为纯二维5 3 小波滤波器组。为了减少运算量，给出其提升格 式；为了能够实现整数小波变换，对提升算子进行取整操作，并采取多级嵌套的 方法进行图像数据的多级分解，给出了纯二维5 3 小波变换和纯二维5 3 小波包 变换，两种变换均包括分解和重构。 论文完成算法的理论研究并给出实现过程，该过程吸收和发展了j p e g 2 0 0 0 中原位运算、边界对称延拓和系数交错的算法精髓，可以实现任意行、任意列、 任意空间位置图像数据的纯二维5 3 小波和小波包变换，并且小波系数的数据量 和原始图像的数据量相等，最低频子带数据最小尺寸为一行或一列，最后对该算 法在p c 机上进行了仿真实验并将它成功移植到d s p 音视频开发平台上。 关键词：纯二维5 乃小波，提升格式，对称延拓，原位运算，系数交错 r e c e n t l yd i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r md i dp r o c e s s i n gt od i g i t a li m a g em o s t l yb y r o wo rc o l u m ns e p a r a t e l y , w h i c ht o o ko n e - d i n e n s i o n a is e p a r a t ep r o c e s s i n gt ot r u e t w o - d i m e n s i o n a ls i g n a li ne s s e n c e w i t ht h ed a u b e c h i e s9 7a n d5 3w a v e l e tf o rt h e l o s s ya n dl o s s l e s si m a g ec o m p r e s s i o nc o d i n gi n t h ei m a g ec o d i n gi n t e r n a t i o n a l s t a n d a r dj p e g 2 0 0 0 ，t h ep r o c e s s i n gi sa l s od o n eb yr o wo rc o l u m ns e p a r a t e l y w i t h t h ea n i s o t r o p yo ft i m ea n ds p a c ef r e q u e n c yc h a r a c t e r i s t i c si nv i s u a lc h a r a c t e r i s t i c so f h u m a ne y e ，t h e 抒e q u e n c yw i dt ho fh u m a ne y ei nt h es p a c ef i e q u e n c yd o m a i na l o n g t h e4 5 。d i a g o n a li sl o w e rt o10 - 2 0 t h a n 疳e q u e n c yw i d t ho f t h eh o r i z o n t a la n dt h e v e r t i c a l ，s oi tc a nb ec o n c l u d e di m a g ee n e r g ym a i n l yf o c u so nt h e “d i a m o n dr e g i o n o ft h el o wf r e q u e n c yd o m a i n l qi + i 国2i - - 万t h el o wa n dh i g h 丘e q u e n c yo fi m a g e c a nb ep a r t e db yt r u et w o - - d h n e n s i o n a lw a v e l e tt r a n s f o r mc o m p l e t e l yj u s to n c e ，w h i c h o w e s1 2i n d e p e n d e n t l y h i g hf r e q u e n c yc o e f f i c i e n t su s eaf e wc o d eo rn o t h i n g ；l o w f r e q u e n c yc o e f f i c i e n t s c a nb ed e c o m p o s e df u r t h e ra n db ec o d e da c c o r d i n gt o s e n s i t i v i t yo fh u m a ne y e t oi n c r e a s ea n di n d u c ec o d ef o rh i g l la n dl o ws e n s i t i v i t y o n e - d i m e n s i o n a l5 3w a v e l e ti si n t r o d u c e di nt h et h e s i s ，a n di ti st r a n s f e r r e di n t o t r u et w o - d i m e n s i o n a l ( 2 d ) 5 3w a v e l e tf i l t e rb a n k st h r o u g hm c c l e l l a nt r a n s f o r m t o r e d u c ec o m p u t i n gl o a d ，t h el i f t i n gs c h e m ei sg i v e n l i f t i n gs c h e m ea d o p t sr o u n d i n g o p e r a t i o na n dm u l t i - l e v e ln e s t e dm e t h o d f o ri n t e g e rw a v e l e tt r a n s f o r ma n di m a g e m u l t i - l e v e ld e c o m p o s i t i o n t r u e2 d5 3w a v e l e ta n dt r u e2 d5 3w a v e l e tp a c k a g e t r a n s f o r ma l eg i v e n ，w h i c hb o t hi n c l u d e dd e c o m p o s i t i o na n dc o n s t r u c t i o n w i t ht h et h e o r yr e s e a r c ho fa l g o r i t h mf i n i s h e d ，i m p l e m e n t a t i o np r o c e d u r ei s g i v e ni nt h et o p i c ，w h i c ha b s o r b sa n dd e v e l o p st h ea l g o r i t h me s s e n c eo f s i t uo p e r a t i o n ， b o t m d a r ys y m m e t r i ce x t e n s i o na n dc o e f f i c i e n ti n t e r l e a v i n gi nt h ei p e g 2 0 0 0a n dc a n r e a l i z ei m a g et r u e2 d5 3w a v e l e tt r a n s f o r ma n dw a v e l e tp a c k a g et r a n s f o r mi n r a n d o mr o w ，c o l u m na n dp o s i t i o n w a v e l e tc o e f f i ci e n td a t aq u a n t i t yi st h es a m ea st h e o r i g i n a li m a g ed a t aq u a n t i t y , t h el o w e s tf r e q u e n c ys u b b a n dd a t ac a l lb eo n er o w o r o i c o l u m n a tl a s t ，t h e a l g o r i t h m i ss i m u l a t e do nt h ep ca n ds u c c e s s f u l l y t r a n s p h n t e dt od s p a u d i o - v i d e od e v e l o p m e n tp l a t f o r m k e y m j r d s ：t r u e2 d5 3w a v e l e t , l i f t i n gs c h e m e ，s y r n m e t r i ce x t e n s i o n ，s i t uo p e r a t i o n , c o e f f i c i e n ti n t e r l e a v i n g 1 1 小波的应用领域。l 1 2 本课题研究目的和意义2 1 3 论文任务及结构。3 第二章纯二维5 乃小波变换及实现5 2 1 纯二维5 居小波滤波器组5 2 1 1 纯二维5 3 小波滤波器组的构造7 2 1 2 纯二维5 3 小波滤波器组的提升格式9 2 2 提升格式嵌套实现图像的纯二维5 3 小波变换1 0 2 3 有限数据边界延拓方法1 2 2 3 1 补零延拓1 3 2 3 2 等值延拓。1 3 2 3 3 周期延拓。1 3 2 3 4 边界对称延拓13 2 4 纯二维5 仔小波变换的实现1 4 2 4 1 纯二维5 乃小波分解15 2 4 2 边界对称延拓l5 2 4 3 第l e v 级分解1 7 2 4 4 小波系数反交错18 2 4 5 纯二维5 3 小波重构2 0 2 4 6 小波系数交错2 0 2 4 7 第乃l ，级重构。2 2 2 5 纯二维5 3 小波包变换的实现2 3 2 5 1 提升格式嵌套实现图像的纯二维5 3 小波包变换2 3 2 5 2 纯二维5 尼小波包分解与重构2 5 2 5 3 纯二维5 尼小波包反交错与交错2 5 第三章开发平台d s p 移植2 7 3 1 简介d s p 2 7 3 2 开发平台d m 6 4 2 2 8 3 2 1 处理器d m 6 4 2 特点2 8 3 2 2 本实验系统平台简介。 3 3 软件设计 第四章仿真结果与分析 4 1 纯二维5 3 小波仿真结果 4 2 纯二维5 3 小波包仿真结果。 4 3 纯二维5 3 小波变换实图仿真 4 4 开发平台d s p 移植 第五章总结与展望 参考文献 发表论文和参加科研情况说明 致谢。 1 1 小波的应用领域 小波是诸多学科互相交融得到的产物。其形成过程中，纯应用数学的函数逼 近理论，数字信号处理的滤波器组理论，以及计算机视觉的多分辨率分析理论这 三个学科起到了主导的地位，如图l - l 所示。 图1 1 小波分析理论和应用领域 下面介绍小波的主要应用领域l l l ： ( 1 ) 小波在数学方面的应用：可以求解微分方程、偏微分方程、积分方程 小波求解微分方程的实质就是将方程由原来的坐标转化到小波系下求解，充分利 用方程在小波系下的系数特性来简化计算。利用小波也可以求解积分方程，其原 理和求解微分方程基本上是一致的。 ( 2 ) 与分形结合解决问题【2 】：分形是大自然中许多事物的形态所具有的普 遍特征，最基本本质是结构上有某种形式或程度的自相似。而不同分解层的小波 变换系数具有自相似的结构，形成小波变换特有的树状结构具有分形的特征。因 此将小波与分形结合来解决一些实际问题。 ( 3 ) 小波神经网络：它兼容了小波与神经网络的优越性，充分利用小波变 换的时频局部化特性并发挥神经网络的自学习功能，从而具有较强的逼近与容错 能力。小波神经网络在解决复杂非线性系统的黑箱辨识方面取得了很好的应用前 景，并已逐步应用到故障识别、语音识别检测等领域。 ( 4 ) 语音增强与识别：小波主要应用在语音信号处理的语音基频率提取、 语音信号的去噪和增强，以及语音识别等领域。 天津工业大学硕士学位论文 ( 5 ) 指纹识别：近年来，小波分析逐渐应用到指纹识 理、特征提取和特征匹配等环节。 ( 6 ) 数字水印：水印信息的小波域嵌入需要综合考虑 和鲁棒性。目前比较通用的解决水印信息小波嵌入域问题的 域各个频段的能量并与人眼视觉特性相结合。 ( 5 ) 图像压缩：小波理论的成熟是与计算机视觉中的多分辨率分析理论密 不可分的，多分辨率分析是对人眼视觉系统原理的模拟。也就是当人眼在较近处 观察物体的时候，能够看到较多的细节，分辨率较高；而当人眼距离物体较远处 观察物体的时候，能够看到物体的概貌，分辨率较低。而图像信息经小波分解之 后所形成的子带信息正好符合人眼的这一特性。因而先量化编码小波分解后的低 频信息( 近似系数) ，然后再按照分解的频带信息逐步编码高频信息( 细节系数) ， 按照给定的比特率等要求可以随时终止编码的过程进而完成图像信息的压缩，解 压也非常简单p 4 】。图像压缩是数据压缩中最为复杂的一种，其定义为在保证图 像质量的条件下，尽可能用较少的比特数去表示数字图像中原有信息的一种技 术，有时也称为图像编码i s - 6 。原始图像数据中存在着相当多冗余信息，在存储 容量和通信信道有限前提下，利用图像压缩技术对其进行处理，是解决这些问题 有效措施。图像压缩标准j p e g 2 0 0 0 是基于小波变换的，其具有从高比特率到低 比特率遍历所有比特率的超级压缩特性，同p e g 比较，其对图像的压缩效果十 分明显 7 - 9 1 。 以上应用领域中的小波具有一个共同的特点，就是在应用小波时，仍然采用 行列可分离式进行分解和重构，对于多维数据，同样地处理方法未必适合，在编 码时，还要使用大量的码字。 1 2 本课题研究目的和意义 目前离散小波变换对数字图像进行处理，大部分都是行、列分离式处理方式， 其本质上是对纯二维信号的一维分离处理，图像编码国际标准j p e g 2 0 0 0 采用 d a u b e c h i c s9 7 、5 3 小波用于有损和无损图像压缩编码，也是行列分离处理方式 1 0 - 1 4 。实际上，二维数字图像有一个重要的统计特性：即它的二维频谱的能量集 中在二维低频区，这里的二维低频是指水平低频或垂直低频，水平和垂直都处于 高频区的图像是很少有的。人眼的视觉特点是：时空频率特性的各向异性。人 眼在空间频率内沿4 5 0 对角线方向的频率宽度要比水平和垂直方向的频率宽度 低1 0 0 ，可以说图像能量主要集中于“钻石型”区域内。纯二维5 3 小波 变换一级分解就把图像低频和高频数据彻底分开，并且低频和高频系数在时域中 第一章绪论 各占1 2 ，在编码时，高频系数占用很少码字或忽略不计；对人眼敏感的低频子 带可继续进行分解，根据人眼视觉敏感程度进行编码，敏感度高，加大编码，敏 感度小，减少编码。这样的分解对图像编码和特征提取是十分有利。 为了实现图像的纯二维小波分解与重构，采用m c c l e l l a n 变换由一维5 3 小 波滤波器组构造纯二维5 3 小波滤波器组，该变换方法保持了消失矩。为了减少 图像分解与重构的运算量，对构造的纯二维5 3 小波滤波器组采用提升格式实现 为了便于编程实现，给出了纯二维5 3 小波分解与重构的过程，该过程吸收和发 展了j p e g 2 0 0 0 中边界对称延拓和数据交错的算法精髓，图像数据的行数和列数 不拘泥于2 ，可以是任意整数，图像数据左上角行列坐标不拘泥于偶数，可以 是奇数或偶数的任意组合，可以实现最低频子带数据最小尺寸为一行或一列。该 编码算法对今后的图像压缩标准的发展起到一定的启发和借鉴价值，对新一代的 图像标准有着重要的应用价值。 1 3 论文任务及结构 本文的结构如下： 第一章描述了小波的应用领域和课题研究的目的意义； 第二章详细地介绍了如何由j p e g 2 0 0 0 中的一维5 3 小波滤波器组推导出纯 二维5 3 小波滤波器组的过程，并给出了各个滤波器在坐标系下的系数值，为了 减少运算量，对所得到的滤波器组系数进行优化，提出了其提升算法，得到预测 算子和更新算子，参考和借鉴了j p e g 2 0 0 0 中的一维5 3 小波分解和重构规程的 实现格式，给出了纯二维5 3 小波和纯二维5 3 小波包的实现过程。 第三章介绍了d s p 硬件开发平台，讲述了其内部结构以及对纯二维5 乃小波 算法的应用平台移植的软件设计。 第四章给出了纯二维5 3 小波算法和纯二维5 ：3 小波包算法实验结果以及 d s p 上的开发平台移植，并且通过纯二维5 3 小波进行实图仿真分析，实验结果 得出纯二维5 3 小波分解能使图像信息能量更多地保留在人眼敏感“钻石型”区 域的信息，与人类视觉特性更符合。 第五章总结与展望。 天津工业大学硕士学位论文 4 第二章纯二维5 3 小波变换及实现 第二章纯二维5 3 小波变换及实现 本章介绍了如何由j p e g 2 0 0 0 中的一维5 ：3 小波滤波器组构造纯二维5 忍小 波滤波器组的过程。对于纯二维小波变换的多种构造方法，本文采用m c c l e l l a n 变换方法构造纯二维5 3 小波滤波器组，为了减少运算量，进一步提出其提升格 式。提升格式嵌套实现图像的纯二维5 3 小波和小波包变换，为了编程实现和跨 平台给出了两种变换的实现过程。 2 1 纯二维5 3 小波滤波器组 j p e g 2 0 0 0 中一维5 3 小波滤波器组如图2 - l 所示，居( - 刀) 、乃( 功为低通分解 和重构滤波器，占( 一刀) 、占( 厅) 为高通分解和重构滤波器( 图中滤波器系数比1 维 5 居小波滤波器组系数的理论值缩小了互倍) ，上2 和个2 分别为l ：2 抽取因子和 2 ：1 内插因子【2 】。 制r 叫2 一一 l + ( 厅) + 山2 一 叶个2 叶居( 刀) 一个2 一占( 功 重构端 ( a ) 一维5 3 小波滤波器组 一 生= !q122 冬 所厅) 一l 8 l 43 41 4 1 8 0 。 ；仞) 0 0 1 4 1 2 1 40 厨疗l01 4 1 21 400 占印) 0 1 8 1 4 3 4 1 4 一i 8 ( b ) 各滤波器系数 图2 1 一维5 3 小波滤波器组及各滤波器系数 少( 刀) j p e g 2 0 0 0 标准中一维5 3 小波用于图像的无损压缩，一维5 3 小波滤波器组 采取图2 - 2 ( a ) 所示的嵌套形式对图像数据分解，分解后的频域子带图如图2 - 2 ( b ) 所示，图2 2 m ) 中l ，2 ，3 ，4 四个区域在时域各占l 4 系数，4 代表高频人眼不 敏感区域，对图像进行编码时，可以占用很少的码字或忽略不计；2 ，3 区域中 低频和高频数据掺杂在一起，图像的重要信息和不重要信息分不开，在编码时都 要进行编码；1 区域是低频子带数据，可继续进行分解，是人眼敏感的图像重要 天津工业大学硕士学位论文 信息，均需编码。人眼视觉特性对图像的敏感频域子带频谱图如图2 3 所示，成 “钻石型”区域。而纯二维5 3 小波变换能够一次分解就把图像的人眼敏感区的 低频数据和人眼不敏感的高频数据彻底分开，并且低频和高频各占l 忽系数，编 码时高频系数占用很少码字或忽略不计，对l 尼低频系数继续进行分解，并根据 人眼视觉的敏感程度进行相应地编码，敏感大的区域，增加码字；敏感小的区域， 减少码字，大大地减少了码字使用量。 砜吃，芒 坍咱) j ，2 呻屯( 喁，一) “一喝) + j ，2 x ! 舻( ，# 2 r ) z ( = ； 分解端 + j ，2 如( 喁，z ) j ，2 j 匆( ， 2 。) 屯( 喁，i ) 个2 颅惕) _ 1 ( 塌，霹) 个2 啼反塌) - 卜t2 一钗嘎 锄( 噶，彳) 个2 履嵋) - i 嘞( 伪，z ) t2 d 啊) 广t2 一从绣 重构靖 ( a ) 一维5 3 小波变换嵌套形式 4g o , r 7 习4 彩。”穆缓 ：凹1 厶 石7 统。 。么 4 乙：l ，l 4 丌 0 3 ， 屯( 矿功 x 删，岭 x h 拱，吩 锄( 以力 ( b ) 一维5 3 小波分解后的各子带频谱图 图2 2 一维5 3 小波变换及各子带频谱图 。q 。 丌7 万m 图2 3 人眼视觉敏感区域 脚 第二章纯_ - 维5 3 小波变换及实现 构造纯二维小波一般有三种方法：m c c l e l l a n 变换、层叠结构以及提升结构 m c c l e l l a n 变换构造的滤波器组，能够保证精确重构，并且保留了一维小波在频 率混迭处的零点个数，即消失矩，是由一维双正交滤波器组推导出纯二维钻石滤 波器的有效方法；层叠结构在正交或者双正交的多维滤波器组的构造方面很擅 长，然而不能保证消失矩；提升方法的提出，为多维小波的构造提出了新的视野， 通过提升格式构造的多维不可分离小波，其共同特征是在提升格式中设计内插滤 波器，根据不同的内插滤波器可以得到不同维数不可分离提升小波滤波器组 o s - 1 6 1 。下面介绍本文利用m c c l e l l a n 变换构造纯二维5 3 小波滤波器组的过程。 2 1 1 纯二维5 3 小波滤波器组的构造 把图2 1 中分解端和重构端的低通滤波器、高通滤波器，通过如下的 m c c l e l l a n 变换，可以得到纯二维5 3 小波滤波器组如图2 4 所示。 如吃r 小矿神叫肛一叫州如b 吃) l 虱啊，一恐) 叶山一一叶肿占( 啊，吃一 乃( 刀i ，刀2 ) 、乃( 伪，恐) 为低通分解滤波器和低通重构滤波器，箩“，恐) 、占( 喝，恐) 为高通分解滤波器和高通重构滤波器。山膨和个肜分别为1 ：2 五株抽取因子和 2 ：1 五株内插因子。这里的朋值为如下所示： = 这里以低通分解滤波器钡惕，吃) 为例来讲解构造过程，一维z 变换的公式为： 坝力= 顶功，” 由公式2 1 得一维5 3 小波系数及功的z 变换为： 及力= d 及刀) = g n ) z - ( 2 1 ) 天津工业大学硕士学位论文 令z = ，则代入上式得： 2 乃( 扩) = 乃( 刀户咖” 摩- 2 ：c o s 0 + 三2 x c o sc o - l 2 c o s 2 448 利用m c c l e l l a n 变换方法，设定变换函数为： c o s c o = i ( c 。s q + c 。s 哆) 则把公式2 - 2 代入钡纱) 得： 号+ 丢2 三竺半一三 2 ( c o s c 0 1 + c o s c 0 2 ) 22 一 44 2 4 ii = 号+ 丢( 兰l 生墨) 一三( c 。s 2 q + c 。s 2 吐+ 2 c o s q c 。s ：) + 去 ：l + 刍互：垒茎：一三( 刍：刍：兰+ 互：垒：三+ 2 刍垒刍茎：刍：垒刍：茎! ) 88 、444 7 寺坐半一击( 私弓。2 蟛q 心神杯l + 2 弓q 神弓一鹌 由二维z 变换定义： 以弓，乞) = 缸功气”彳4 ( 2 - 3 把公式2 3 跟上式对照后，得到竹，一仍) 滤波器的系数值，其它滤波器系 数构造过程与此类似。这里不再赘述。最终得到的在坐标系下的纯二维5 3 小波 滤波器组各滤波器系数如图2 5 所示。 2 - 1 0 l 2 嘿 8 一l o l 2 3 啊 第二章纯_ 维5 3 小波变换及实现 图2 5 纯二维5 3 小波滤波器组各滤波器系数 2 1 2 纯二维5 3 小波滤波器组的提升格式 利用欧几里德算法对纯二维5 3 小波滤波器系数进行分解构造出其劳伦多项 式，得出其提升格式如图2 - 6 所示，尸为预测算子，为更新算子i t7 】。该提升格 式是图2 4 所示的纯二维5 3 小波滤波器组的等价结构，若忽略数值的运算精度， 对图像的分解和重构结果是完全相同的，该提升格式的优势是可以减少分解与重 构的运算量，运算量将近减少一半。若忽略图2 - 6 中高频子带五株抽取器前和五 株内插器后的常数，则图2 - 6 即成为有名的红- 黑小波。 图2 6 所示的提升格式不能用于无损压缩，若对经过提升算子运算后的数据 取整，并且高频子带五株抽取器前和五株内插器后的常数改为l ，则图2 - 6 可以 改造为图2 7 ，图中的lji 表示对经过算子的信号z 取整，其值为小于信号的最 大整数。图2 7 的提升格式中，小波变换域数据均为整数，可以用于图像的无损 压缩，也可以借助于分辨率渐进或质量渐进的方式用于有损压缩。 “强，呢 山+ 个 j ，m - - p - - 个 分解端重构端 ( a ) 纯二维5 3 小波提升格式 ( b ) 提升算子 图2 - 6 纯二维5 3 小波提升格式及提升算子 “，吃) 2 - 7 的分解端完成一级小波分解，这里一级包含两次分解，第一次分解产生高频 子带信号( 耐，磋) 和低频子带信号：( 耐，噬) ，第二次分解把x l e v z ( 彳，嘭) 继续 划分为次高频子带信号劫删( 垛硝) 和次低频子带信号儿( 巧，噬) 。一级分解产 生的信号的时域和频域关系如图2 - 9 所示，图( a ) 中：( 彳，厦) 、( 坷，磋) 、 比( 群，噬) 、讫删( 砧嘭) 的系数均统一在玉枷。) 比( 惕，恐) 的坐标系中示意，各子 带信号的坐标关系如下： 五加。) 皿( 惕，伤) 、x l e v 。( 耐，噬) 的坐标关系为( 珲，愿) = ( 坷，磋) 肜； - t f e v z ( 耐，匾) 、丘( 砟噬) 的坐标关系为( 眉，) = ( 吖，省) ； ：( 巧，噬) 、肼( 冻噬) 的坐标关系为( 坷一l ，绣) = ( 坏嘭) ： 五如。) 儿( 惕，伤) 、( 耐，噬) 的坐标关系为( r 4 - 1 ，吗) = ( 彳，厦) 。 图2 - 9 ( b ) 依次为纯二维5 3 小波一级分解产生的z ( 硝，噬) 、( ，彳，厦) 、 比( 群，噬) 、讫删( 砧噬) 四个子带的频域特性关系图。图中的，。，：轴频域 变量范围为：一7 劬丌，一7 缟7 r 。 重构靖 图2 8 纯二维5 3 小波一级分解与重构的提升格式 2 3 4 5 喁 2 3 _4 5 喁 缸叫。“呵，嘎卜o k z ( 硝，厦) _ ok ( 币嗜) 啼o ( 硝，厦) 哼厶肼( 喀嘭) 静 ( 吖，噬) a ( a ) 时域关系( 符号代表数据所在的坐标位置) 批洲，7 。霸m 蝴，7 了 2 。“：，碰餐熬 畿黔i 2 * 4 。：，黪_一 ：氇，7 。， 2 啦瓮瑟爹一， 、， 0 一 ；嚣 l ；c 刀，妒x 孓莲乏 ( b ) 频域特性关系 图2 - 9 纯二维5 3 小波一级分解各子带信号时域和频域特性关系 图2 1 0 举例给出了一个4 * 4 的数据经一级小波变换分解后的各子带信号在 各个坐标系的相对位置，从而可以看出各个坐标系之间的比例关系，由于喝与 天津工业大学硕士学位论文 硝、吃与蟛坐标系重合，故括号中的坐标值为彳、嘭坐标系下的坐标值。实际 上，小波变换分解和重构过程中，统一在五触。) 皿( 伪，吃) 的坐标系中计算各子带 系数，各子带系数互不重叠，这种在统一坐标系下直接计算各子带小波系数的过 程就是原位运算。原位运算能很大程度上节省内存空间，尤其是在硬件平台上实 现方面。 曩，眦觚，吃) 也讲“，绣)锄( 硝，匾) x 。 0 0 ，oo 硝 。及一1 0 1、 口 、诤 锄( 罐国锄( 礞由 嗄噬)顾噬) 图2 1 0 子带信号在各个坐标系下的比例关系 2 3 有限数据边界延拓方法 由于在小波变换中，理论上原始数据都假定是双向无限长序列，然而，在实 际应用中，只能通过采样采取有限长的样本来进行变换，所以研究的数据都是有 限长的，这样对其支撑区外的数据必须进行相应的定义才能更好地进行小波变 换，即数据的边界延拓问题1 1 s - 1 9 。在小波变换过程中，无论分解还是重构，每次 运算前的数据都要进行边界延拓，方可进行。这样做的目的是使小波滤波器组分 解前后数据量保持不变，以及最大限度地减少边界效应。 如图2 - 8 所示，纯二维5 3 小波变换分解过程，原始数据石抽州。，( 喝，刀，) 先进 行延拓后，再与提升算子进行卷积运算，然后经五株抽取因子采样得到分解后的 数据锄( 硝，噬) 和屯胛( 眉，厦) ，对分解的数据锄( 彳，厦) 延拓后继续进行二次分解 得到各子带为比( 环蟛) 、锄( 环碍) ；重构时，对分解的数据吒叱( 坷，噬) 等子 带信号数据进行五株内插因子采样后进行延拓，再与提升算子进行卷积得到的子 带为锄( 眉，绣) 和洲( 省，绣) ，再对这2 个子带进行延拓进行二次重构，最后相 加起来就得到原数据玉枷n z 。( 惕，伤) 。因此原始数据在分解和重构前进行边界数据 延拓是非常重要的。下面介绍几种常见的数据延拓方法。 第- 章纯二维5 3 小波变换及实现 2 3 1 补零延拓 对二维图像数据，补零延拓是指在定义域以外的数据玉。，( 踢，) 值为0 ， 这种延拓方式虽然看起来计算简单，大部分数据都是0 ，但是存在致病缺点，通 常情况许多突变信号会在边界端额外地增加，形成虚假的高频信息，在数据分析 和图像处理应用中，使人们对数据边界端进行分析时频信息时产生较大误差；每 级分解都必然造成数据量的增加，无法保持分解前后数据量不变。如果边界端增 加的数据被舍弃，则不能完全重构原信号，所以对于数据信号量大需要多级分解 的情况下，这种方式不适于图像压缩等方面【1 8 】。 2 3 2 等值延拓 等值延拓为数据在定义域外，五舢n 皿( 惕，恐) 的值等于临近边界的值。等值延 拓方法虽然在边界端没有额外地出现突变信号，提高了边界处数据的信息分析准 确性，缺点是随着分解数据级数的递增，总体数据量也越来越大，比补零延拓增 加的要多点，计算量也增大，同样不能舍弃边界增加的数据，否则信号不能完全 重构，不能保持数据量【l 刀。 2 3 3 周期延拓 周期延拓是指在支撑区以外的五枷n 比( 强，) 分别按行、列- , 、厶为周期重 复延拓，这种延拓方式，同行或同列的数据两端相距较远，相关差，同样在边界 端会额外地出现许突变信号，同样具有数据边界端的高频系数大的缺点，并且仅 当行、列长度是2 ”时，才能保持数据量不变【l 叼。 2 3 4 边界对称延拓 边界对称延拓方式是指对五枷。) 比( 喝，恐) 支撑区以外的值以边界为对称轴按 照行、列上下、左右的进行数据的对称延拓。 设二维原始数据阵列为： l2 5 6 91 0 1 41 5 34 78 ll1 2 1 61 7 经边界对称延拓方式延拓后的结果如图2 一1 1 所示，原数据在图中均用加粗 字表示，以方便与延拓的数据进行区分。 由以上得知，边界对称延拓后的数据行、列分别是以2 ( 二一1 ) 、2 ( 厶一1 ) 为 周期的数据序列，对于双正交小波进行分解和重构运算，这种延拓方式能够保持 天津 数据量。对称延拓没有额外地出 过渡，计算准确性好。通常情况 波器的长度同是奇数或偶数，对 对称延拓方式进行边界延拓 1 8 - 2 0 卒又刊殖削巩一维，乃，j 、坡德、饭器组是满疋狱止父符任，仃、夕u 义郡是俞致 长度，故采用了边界对称延拓方式。 原始数据支撑区为：五纠) 比( 碍，嘿) ，弼 弼，v o 伤 嵋；边界延拓后的 原始数据经分解后需提取出来，为了使各子带系数的排列形式规则，便于比特面 编码，将( 硝，厦) 在存储形式上分为两组，即( 砟噬) 和恤( 坏噬) ，所 以这里给出其各子带一级分解反交错后的支撑区分别为： 划删，阱群 阱阱噬 阱 j ( 砟n 引郦卧倒噬 阱 缸c 删，阱纠 阱卧噬 m 锄c 删，阱省 卧阱嘭 阱 ol一2 345 6 1 7 | 01 l1 0 黟1 0 1 1 0 1 2 一1 1 卜1 0 ；7 1 765 ；67 ；8 ；7 l6 ； 2 3 2 l l 23 43 l2 l 376 5 ；67，87 ；6 41 11 09 ；1 01 1 ； 1 21 1 1 0 | l51 61 5l l1 5 ；1 6 ，1 7 ；1 6 l1 5 ； i 61 l j 1 0 。9 ii 0 ； 1 1 ；1 2 1 1 l lo | 77 ；6 l5 i6 i7 l 8 ； 7 i 6 l 图2 1 l 边界对称延拓 2 4 纯二维5 3 小波变换的实现 为了便于工程应用，借鉴j p e g 2 0 0 0 标准中5 3 小波变换过程的优点，给出 了纯二维5 3 小波的变换过程。该过程包含纯二维5 3 小波分解( 原位运算) 、边 界对称延拓、系数反交错、系数交错和纯二维5 3 小波重构( 原位运算) 5 个部 分。 第二章纯二维8 3 小波变换及实现 2 4 1 纯二维5 3 小波分解 假定z ( 绣，吃) 是经过d c 层进和整数分量变换后的图像的像块( 即j p e g 2 0 0 0 定义的像块t i l e ) ，像块的支撑区为枷伪 m l ，棚恐 h i ，枷，历l ，棚，刀l 可 帅雠蝴一一k 耐艄腊式l 毒i - i 若l ：1 ， i 台l i 尹墨i | _ l 的最小非负整数，( r 表示取大于等于“”的最小整数) ， 则该像块的最大分解级数为形一= m i n ( 。矿叱耐) ，实际分解级数 形形一，分解级数与子带总数的关系为2 形+ l 。 而皿“，) 初始化为z ( q ，吃) ，当前分解级数为l e v ，若e v _ 北，分解继续， 否则分解结束。 具体实现过程如表2 1 所示。 2 4 2 边界对称延拓 为了使小波分解前和分解后的数据量保持不变，且各子带边界处的小波系数 值小，分解与重构过程均采用边界对称延拓方式。以u o ，弼一1 ，1 o ，l j l 为对称轴， 在支撑区珲 e x t ) g o t o l n 2 i f ( 一嵋- 1 ) d i r = - 1 达到第一行右端，扫描方向反转 e l s ei f ( 一) d i r = 1 达到第伪行左端，扫描方向反转 g o t ol n l l n 2 ：，= 1 ，= 嵋一1 ，d i r = - 1 第伪行以叶一1 为对称轴向右延拓，扫描方向向左 l n 3 ： j = j + d i r延拓样本列索引 j o ( 吩，l i 一1 + ，) = 拓( 叩，力 第一行向右延拓一个像素 ，= ，+ l i f ( ， e x l n g m ) g o t ol n 4 i f ( j _ - - 嵋- 1 ) d i r = - 1达到第啊行右端，扫描方向反转 e l s ei f ( j - - v o ) d i r = i 达到第一行左端，扫描方向反转 g o t ol n 3 l n 4 ：惕= 嵋+ i 转向下一行 i f ( q e x l 妒) g o t oc n 2 i f ( 一强- i ) d i r = - 1达到第列下端，扫描方向反转 e l s ei f ( 一) d i r = 1 达到第0 y t j 上端，扫描方向反转 g o t oc n i c n 2 ：，= 1 ，= 鲜- 1 ，d i r = - 1 第吃列以为一l 为对称轴向下延拓，扫描方向向上 c n 3 ： j = i + d i r 延拓样本行索引 如( 确一l + 慢) = 如( z 吃) 第恐列向下延拓一个像素 ，= ，+ l i fl i e x l jg o t oc n 4 i f ( 一嵋- i ) d i r = 一1达到第仍列下端，扫描方向反转 e l s ei f ( 一) d r = l 达到第列上端，扫描方向反转 g o t oc n 3 c n 4 ：吃= 伤+ l 转向下一列 i f ( n z h + ) g o t oc n o d o n e 结束 2 4 3 第后y 级分解 对像块按照以下五步进行提升运算。为2 d f i l t d l 对数据进行第 e v 级一次分解，为2 df i l t d 2 对数据进行第l e v 级二次分解为交错处理 运算符i i 表示取小于“的最大整数。 j p e g 2 0 0 0 中一维5 3 小波变换，对于数据像块中的一个数据，在考察运算 量时，加法不考虑在内时，一级分解过程计算量大约为2 次，而纯二维5 3 小波 一级