（系统分析与集成专业论文）基于概率约束的动态矩阵控制算法分析.pdf

南京信息工程大学硕士研究生学位论文 摘要 模型预测控制o v w c ) 是一种基于模型预测的先进计算机优化控制算法。它的典型算法 有三大类：模型算法控制( m a c ) 、动态矩阵控制( d m c ) ，广义预测控制( g p c ) 。它们都是基 于模型预测、滚动优化、反馈校正三大环节。模型( m p c ) 预测控制策略的特点是：模型在 工业现场易于获得，不需要复杂的系统辨识与建模；采用反馈校正基础上的在线滚动优化 取代传统的最优控制，因而可以克服各种不确定性因素的影响，增强系统的鲁棒性，而且 在线计算相对比较简单。 3 0 多年来，预测控制已经发展到针对有扰动、有摄动和有约束的模型预测控制( m p c ) 。 并研究其稳定性、鲁棒性、可行性等。非线f 蛰, w c c n l m p c ) 和约柬m p c ( c m p c ) 已成为预 测控制研究的热点问题。其研究的范围主要涉及到预测控制的以下方面： ( 1 ) 对现有基本算法作技术性的修正。 ( 2 ) 从单变量到多变量的推广，把只适含于稳定对象的算法推广到非自衡系统，把预测 控制的应用范围推广到非线性及分布参数系统。 ( 3 ) 优化目标函数的选取。 ( 4 ) 预测模型的选取。 ( 5 ) 引入大系统方法，以处理高维或信息不全的系统。 ( 6 ) 将基本控制算法与先进的控制思想与控制结构相结合。此外，预测控制还涉及系统 的可行性、稳定性、鲁棒性等方面的研究并且为了满足控制系统实时性的要求。对有约 束系统减少在线优化的计算和使控制算法尽可能透明化等方面也进行了一些有意义的研 究。 模型预测控制的核心是在线滚动优化，在众多理论研究文献中，这一在线优化问题都 被简化成无约束的二次型性能指标优化，这与其实际工业应用的状况相去甚远。在工业过 程中，预测控制的成功应用大多是在多变量有约束的情况下，因此对约束预测控制的研究有 重要的实际意义。 本文主要研究有约束的系统优化控制问题。首先建立有约束的被控对象系统，对于每 一时刻的系统状态所受的约束用概率形式描述，进而根据高斯近似把概率形式约束指标转 换为确定性约束后，同时引入具有补偿作用的观测器来解决在数据传输过程中会产生时延 问题，并且对于所建立起来的科学动态矩阵控制进行误差跟踪，将跟踪误差变化率反馈给 状态观测器来修正算法。随后在理论基础上进行m a t l a b 仿真。通过理论和实际模拟仿真 来证实该算法的可行性。 关键字：动态矩阵控制，概率约束系统，误差变化率，时延补偿 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 a b s t r a c t m o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o li sat y p eo fa d v a n c e dc o m p u t e ro p t i m i z a t i o nc o n t r o la l g o r i t h m s b a s e do nm o d e lp r e d i c t i o n t h et y p i c a la l g o r i t h m so fm o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o la r em o d e l a l g o r i t h m i cc o n t r o l ( m a c ) ；d y n a m i cm a 垃i xc o n t r o l ( d m c ) ；g e n e r a l i z e dp r e d i c t i v ec o n t r o l ( g p c ) t h e yh a v es a m ep n n c i p l e ，s u c ha sm o d e lp r e d i c t i o n ；r o l l i n go p t i m i z a t i o n ；f e e d b a c k e m e n d a t i o n t h et r a i to f m o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o li s ：t h em a t h e m a t i cm o d e lo f c o n t r o l l e ds y s t e m i se a s yt oa c q u i r e ，a n di ti sn o tn e e dt oc o m p l i c a t e ds y s t e ma n a l y s i sa n dp r e c i s em o d e l i n g ；s i n c e r o l l i n go p t i m i z a t i o nb a s e do i lf e e d b a c ke m e n d a t i o ni n s t e a do f c o n v e n t i o n a lo p t i m i z a t i o nc o n t r o l t h e nt h ec o n t r o l l e ds y s t e mc a nc o n q u e rt h eu n c e r t a i n t yi n f l u e n c e ，i n c r e a s i n gt h er o b u s t n e s sa n d c a l c u l a t i n gb u r d e n o n - l i n ei so p p o s i t es i m p l e f o rn l i n yy e a r s ，p r e d i c t i v ec o n t r o lh a sb e e ng r e a td e v e l o p e di nm o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o l w i t hd i s t u r b a n c e so rc o n s w a i n t sa n dt h e i rs t a b i l i t y ；r o b u s t n e s s ；f e a s i b i e t yh a v eb e e nr e s e a r c h e d n o n - l i n e a rm o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o l ( n l m p c ) a n dc o n s t r a i n e dm o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o l ( c m p c ) h a v eb e r e a r c b e di n c r e a s i n g 1 1 1 er e s e a r c hr e f e r st of i e l da ss h o w ni nf o r o w ： ( 1 ) m o d i f yt h eb a s i ca l g o f i t h r u sw h i c hh a v eb e e ne x i s t e n l ( 2 ) e x t e n ds i n g l ev a r i a b l et om u l t i - v a r i a b l e s ；u t h ea l g o r i t h m so n l yb e i n gt h es 锄ew i t h s t e a d yo b j e c t st on o n - s e l f - b a l a n c es y s t e m s ；s p r e a dt h ep r e d i c t i v ec o n t r o la p p f i c a t i o n a r e at on o n - l i n e a ra n dd i s t r i b u t e dp a r a m e t e r s y s t e m ( 3 ) c h o o s eo p t i m i z a t i o na i mf u n c t i o n ( 4 ) s e l e c tp r e d i c t i o nm o d e l 。 ( 5 ) i n t r o d u c eb i gs y s t e mm e t h o d ( 6 ) c o m b i n ea d v a n c e dc o n t r o lt h e o r yw i t ht h eb a s i cc o n t r o la l g o r i t h m s f u r t h e r m o r e ， p r e d i c t i v ec e n t r e lr e s e a r c ha l s or e f e r st of e a s i b i l i t y , s t a b i l i t ya n dr o b u s t n e s so fs y s t e m r e s e a r c ho nr e d u c i n gt h ec a l c u l a t eb u r d e no n - l i n ea n dm 地t h ec o n t r o la l g o r i t h m s t r a n s p a r o n ti sa l s os i g n i f i c a t i v e n 地k e yo f m o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o li so p t i m i z a t i o nr o l l i n go n - l i n e o nag r e a td e a lo f r e s e a r - c hl i t e r a t u r ep u b l i s h e di nm a g a z m eo rc o n f e r e n c e , t h i so p t i m i z a t i o np r o b l e mc o u l db ep r e d i g e s t q u a d r a t i cp e r f o r m a n c ei n d e xo p t i m i z a t i o nw i t h o u tc o n s t r a i n t s ，i ti sd i f f e rf r o mp r a c t i c a l i n d u s t r i a l a p p l i c a t i o n o ni n d u s t r i a lp r o c e s s ，m u m - v a r i a b l e sa n dc o n s t r a i n e ds y s t e mi si n e v i t a b l e , s ot h e n r e s e a r c h i n g0 1 1c o n s r a i n t sp r e d i c t i v ec o n t r o lp r o b l e mi ss i g n i f i c a n t m yw o r ki nt h ep a p e ra p p l i e sm y s e l f t or e s e a r c ho n c o n s t m i n a ds y s t e mo p t i m i z a t i o nc o n t r o l p r o b l e m a tf i r s tb a s e dt h ec o n t r o l l o ds y s t e mm a t h e m a t i cm o d e l ，d e s c r i b et h es t a t e sc o n s t r a i n t sa t e v e r yt i m ea sp r o b a b i l i s t i cf o r m , a c c o r d m gt og a u s se q u a t i o n , t h e nu s e 缸a p p r o x i m a t e d i s t r i b u t i o nf o rt h es t a t ee s t i m a t ee i y o rt oc o n v e r tt h e s ep r o b a b i l i s t i cc o n s 口a i r r t si n t od e t e r m i n i s t i c c o n s t r a i n t so nt h ec o n d i t i o n a lm e a no f t h es t a t e ；m e a n w h i l e ，d e s i g na s p e c i a lp r e d i c t i v eo b s e r v e r t oc o m p e n s a t et h et i m ed e l a yp r o b l e m ；t h e na l s ou s i n gt h ef e e d b a c ki n f o r m a t i o n , a d dt a f te r r o r v a r i e t yr a t et oo b s e r v e rt om o d i f yt h ep r e d i c t i v es t a t e f i n a l l yc o m p u t e rs i m u l a t i o na p p r o v e st h e t h e o 珂h a sf e a s i b i l i t a n da d v a n t a g e 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 k e y w o r d s ：d y i l j l l t l i cm a t r i xc o n t r o l ( d m c ) ，p r o b a b i l i s t i cc o r m r a i n e ds y s t e m , e t t o rv a r i e t yr a t e ， t i m ed e l a yc o m p e n s a t i o n m 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以。求实，创新。的科学麓神从事研究工作 2 ，本论文是毳个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 ，本论文中除引文外，所有实验，致据和有关材料均是真实的 4 ，本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果 5 ，其他同击对本研究所傲的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意 作者签名：扭i 鲢 日期：j 斗进 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 作者签名：拯趣 日 期：扭l ：盂! 塑 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名：娃i 整 日期：盘1 ：圭：业 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 1 1 引言 第一章绪论 预畏j 控制，亦称模型顼颡4 控制( m o d e l p r e d i a i v e c o r i 廿0 1 ) ，是一种基于模型的先进计算杌 优化控制技术。随着计算机的快速发展，人们很自然地想到将先进的现代控制理论应用于 工业过程控制中。但是因为工业过程的结构、参数和环境都具有很大的不确定性，很难建 立起精确的数学模型，而基于现代控制理论设计的控制策略都是建立在精确的被控对象数 学模型的基础上的，这样不但不能得到预期的最优控制效果，甚至有时会产生更差的控制 性能，所以人们一方面开展工业过程建模，参数辨识与自适应控制方面的研究和鲁棒控制 理论研究，同时开始打破传统和现代控制理论的框架，针对工业过程鲋特点寻找以数值计 算和建模为主的控制系统设计方法，预测控制就是在这种背景下发展起来的一种新型的计 算机优化先进控制算法j 。 预测控制的基本思想可以追溯到6 0 年代。z a d e h 和w h a l 锄在1 9 6 2 年就提出了有关最小时 间优化的控制问题，在1 9 6 3 年，p m p o i 提出了预测控制的核心思想一滚动优化，这就是所 谓的“开环优化问题”。但是直到7 0 年代后期，r i c h a l e t 等人在开发基于预测控制算法的 i d c o m 软件并己在法国鲍十几个工业过程对象上获得了成功酶应用基础上，于1 9 7 8 年正 式发表了第一篇基于对象脉冲响应模型的论文“模型预测启发式控制( m p h c ) 闭”1 3 。随后， r o u h a n i 和m e h r a 通过理论分析和计算机仿真研究，进一步总结和完营了基于对象脉冲响 应的预测控制算法，提出了模型算法控制( m o d e la l g o r i t h mc o n t r o l 。m a c ) ，这两种算法采 用的模型都是建立在脉冲响应基础上的。同时人们着手对基于阶跃响应的预测控制进行研 究，典型的如c u l t e r 和r m l l a k e r 于1 9 8 0 年在联合自动控制会议( j a c c ) 上提交的论文 “动态矩阵控制( d y n a m i cm a t r i xc o n t r o l , d m c ) 算法i ，j ”，同时工程疖p r e t t 和c * l l e t t e 在 液化、催化裂化中应用d m c 获得了成功。这两种算法一开始仅局限于慢过程的控制，后 来随着预测控制原理日益为人们所认识，为满足快速系统的要求，r i c h a l e te ta 1 又提出了预 测函数控制川，主要应用于工业机器人控制等。上述两类建立在对象脉冲响应或阶跃响应 基础上的预测控制，是直接从工业生产实践中发展起来的，通常称之为非参数模型预测控 制。这类控制策略的特点是：模型在工业现场易于获得，不需要复杂的系统辨识与建模； 采用反馈校正基础上盼在线滚动优化取代传统的最优控制。因而可以克服各种不确定性的 影响，增强系统的鲁棒性而且在线计算相对比较简单。 8 0 年代后期出现了预测控制的另一个分支即基于参数化模型的预测控制。典型的控制 算法有c l a r k e 等人提出的广义预测控制算法( 饼，c ) 和l e l i c ( 1 9 8 7 ) 提出的广义预测极点配置 控制( g p p ) ”9 1 ，这些算法都是结合自适应控制的研究而发展起来的。 另外，预测控制还有一个分支滚动时域控制( r h c ) 。它最先是由m a y n e ，d q ( 1 9 8 8 ) 提出，并作为l q k 或“的一个变倒发展起来的。r i - i c 采用了状态空闯模型来描述，这 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 有利于采用现代控制理论的方法来分析系统内部机理，因而具有很大的普遍性，并且事实 上g p c 、m p c 都可作为它的一个特例。随着众多学者的不断研究，预测控制的各个分支已 经有了一些初步的统一p l 。 1 2 预测控制最新算法 3 0 多年来，预测控制已经发展到针对有扰动、有摄动和有约束的模型预测控制( m p c ) ， 研究其稳定性、鲁棒性、可行性等。非线性m p c t n l m p c ) 和约束m p c ( c m p c ) 已成为预测 控制研究的热点问题l l ”3 1 。其研究的范围主要涉及到预测控制的以下方面： ( 1 ) 对现有基本算法作技术性的修正。如引入扰动观测器，采用变反馈校正系数等。 ( 2 ) 从单变量到多变量的推广，把只适合于稳定对象的算法推广到非自衡系统，把预测 控制的应用范围推广到非线性及分布参数系统。 ( 3 ) 优化目标函数的选取。如采用最小方差的目标函数，其优点是对无约束情况可以得 到明确的解析解，但对于有约束情况，则需要用二次规划或目标规划的方法求解。而l l 范 数的目标函数，在对象的模型与约束皆为线性时，可转化为线性规划的问题求解，无穷范 数的目标函数则是在解决鲁棒预测控制问题的情况下提出的，在模型与约束都是线性的情 况下也可转化为线性规划问题求解。 ( 4 ) 预测模型的选取。尤其是在非线性预测控制中，由于非线性预测控制要比线性预测 控制复杂的多，因而，目前研究主要集中在选取特殊的非线性模型，如w i e n e r 模型，b i l i n e a r 模型、广3 ( i - l a m m e r s t e i n 模型，v o l t e r r a 模型等。 ( 5 ) 引入大系统方法，实现递阶或分散的控制算法，以处理高维或信息不全的系统。 ( 6 ) 将基本控制算法与先进的控制思想和控制结构相结合，从而形成了自适应预测控制、 模糊预测控制、鲁棒预测控制、神经网络预测控制、递归学习预测控制等。此外，预测控 制还涉及系统的可行性、稳定性、鲁棒性等方面的研究，并且，为了满足控制系统实时性 的要求，最近，对有约束系统减少在线优化的计算和使控制算法尽可能透明化等面也进行 了一些有意义的研究。 1 3 预测控制的研究方向 预测控制是理论研究落后于实际应用的一种控制算法，尽管模型预测控制在工业上应 用十分成功，特别是在复杂对象和多变量的系统如石油化工行业中已经取得了十分显著的 控制效果，但是还存在着许多问题有待更深入的研究和探索。预测控制对n 口c 和n l m p c 的研究主要是涉及方向为l l ”j ： 1 线性预测控制算法( l m p c ) ： ( 1 ) 有约束条件下的多目标预测控制 最近几年在此方面已取得了一些研究成果，但是算法在线计算负担较重，不论在理论 2 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 上还是应用上都有待进一步研究。 ( 2 ) 预测控制算法( 加p c ) 的推广 基本m p c 算法在理论和应用上都很成熟，开发算法参数少、鲁棒性强、通用性好、易 于被工程技术人员接受的m p c 控制器，替代p i d 控制器，这必将提高工业过程控制的整体 水平。 2 非线性预测控制算法( n l m f c ) 由于n l m p c 问题的非线性形式表达不同，其算法普遍存在着局限性，相应的理论研究 也不够完善，问题和研究方向为； ( 1 ) 有约束n l m p c 算法 在目标函数中引入简单的终端状态惩罚，把无限时域转化为有限时域来维持稳定性， 并不能保证可行解的存在，n l m p c 非凸性的优化解收敛性难以保证。应用智能方法可以 解决此问题，但是不便于理论分析，并且算法也过于复杂。所以n l m p c 的稳定性理论研 究仍是主要课题。 ( 2 ) 非线性系统的建模和参数估计 建立一个切合实际的非线性系统模型，并且适合在线滚动优化求解的算法。研究有效 的非线性系统辨识方法。 ( 3 ) 鲁棒n l m p c 算法 目前鲁棒性讨论大多局限于模型失配时的稳定性分析，寻找理论上鲁棒的n u 腰c 算 法更具实际意义。 ( 4 ) 满意控制应用到n l m p c 中 对于复杂工业过程，多约束，多目标是普遍存在的，继续探索快速有效的预测控制方 法，基于满意优化原理来解决多约束多目标多自由度n i 。m p c 问题，具有实际意义，在这 方面研究刚起步，有待进一步研究。 ( 5 ) 进一步开发简单实用的n l m p c 算法 将n l m p c 与智能方法结合，如模糊、神经网络、遗传算法、小波理论等等，开发简单、 计算量小、具有在线自适应的实用算法，目前相关的文章越来越多的出现在各种会议和期 刊上【1 蝴】 1 4 本文研究的目的和内容 模型预测控制的核心是在线滚动优化，在众多理论研究文献中，这一在线优化问题都 被简化成无约束的二次型性能指标优化，这与实际工业应用的状况相去甚远。在工业生产 过程中，预测控制的成功应用大多是在多变量有约束的情况下的。早期有关约束预测控制 的报道主要有【“，文章 2 5 基于多变量简化模型使用二次规划方法，提出了一种能处理输 入，输出约束的广义预测控制算法，并成功应用于精馏塔控制。文章 2 6 是在模型预测控 3 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 制的基础上，分别考虑了对控制输入量幅值和变化速率的约束，然后使用二次规划求解。 文章c 2 7 中是基于无穷范数优化目标函数，设计出能处理输入约束问题的控制器，具有计 算速度快，稳定性好等优点。文章 2 8 通过对不稳定模型的分解处理，得到一种能满足输 入约束条件的稳定广义预测控制算法。文章c 2 9 引入一个具有输入约束，基于小波神经网 络模型的区域预测控制算法。文章 3 0 提出了一种约束预测控制快速算法，即在每一个时 刻只丰毒确求解当前要实施的控制量，对未来的控制序列则用线性反馈控制器来近似，从而 降低了预测控制在线求解的维数，提高了算法实施的快速性。文章 3 1 研究了线性不确定 系统区域极点与状态方差约束下的动态输出反馈可靠控制器的设计问题。 综上所述，诸多约束预测控制算法解决了很多实际问题，但是其对于约束条件的研究 是针对实际对象的，而预测模型本身可能会与实际对象不太匹配，再者通过预测状态观测 器重构的系统状态往往与实际状态有偏差，如果仍然使用原始的约束条件来限制预测值， 系统的控制效果会受影响，可能违背约束。本文所要研究的是概率约束优化控制问题。首 先建立有约束的被控对象系统，因为随机干扰的存在，系统的状态和约束呈非线性关系， 并且系统状态很容易偏离约束。我们把每一时刻的系统状态所满足约束机率用概率形式描 述，进而根据高斯近似将概率形式的约束指标转换为确定性约束后，同时引入具有补偿作 用的观测器来解决在数据传输过程中会产生时延问题，并且对于所建立起来的科学动态矩 阵控制算法进行误差跟踪，将跟踪误差变化率反馈给状态观测器来修正算法。随后在理论 思想的指导下，用m a t l a b 语言编程来实现算法，进行计算机仿真，并分析此算法的可行 性和优越性 3 2 3 7 1 。 1 5 本文的组织结构 第一章为引言，介绍了模型预测控制算法产生的起因以及几十年来的发展历程；阐述 了预测控制的最新算法和今后的研究方向；最后着重介绍了本文所要解决的问题、工作安 排。 第二章讲述了模型预测控制的基本思想，主要介绍了动态矩阵控制算法。 第三章是本文的核心，在基本的动态矩阵控制算法基础上，提出新的改进算法，并通 过理论推导证明。 第四章也是本文的一个重要部分，通过计算机仿真，比较分析两种算法的优缺点。 第五章阐述了本文所提算法的不足，指出今后的研究方向。 4 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 2 1 基础知识准备 第二章模型预测控制基本算法n 1 考虑至0 系统存在着随机干扰对状态重构性能的影响，引出最优观测器k a l m 滤波 器吐它是按照状态重构误差j ( t ) 的方差为最小准则来设计和求解观测器的反馈增益矩阵 f 。k a l m a r 滤波器就是在系统存在随机干扰的情况下，能够使系统状态重构误差j ( 七) 的方 差为最小的现时( 或预报) 观测器，设计方法如下。 在随机干扰的情况下，被控系统的状态空间表达式为： l z ( i + 1 ) = 尉( t ) + b u ( k ) + i y ( t ) i y ( 七) = c r ( + 1 ，) 枷v 上式中，“和“t ) 分别是输入输出随机干扰序列，1 ，( 1 ) 是过程噪声，以女) 称为测量 噪声。被控系统在随机干扰下的模型结构如图2 i 所示： 假设：( 1 ) 过程噪声_ i ，( 旬和测量噪声以七) 均为零均值白噪声，即： 嚣美嚣三： 它们的自协方差矩阵分别为 ：然：j 2 普r ，q o 。足，o 均为对称阵。对于单输入单 l 可“t ) w 。( 七) 】= 一 输出系统，v ( i ) 和“女) 为标量，q 和足分别为它们的方差。 图2 1 随机干扰下的系统模型结构 ( 2 ) h i ) 与仲) 统计无关，即它们的互协方差阵：固 v ( d 1 ，r ( 七) 】= o 5 ( 3 ) 系统初始状态爿( o ) 也是随机的，其均值e 瞵( o ) 】为已知，然而z ( 0 ) 与噪声 “t ) 和 1 1 昨) 都是统计无关。 取观测器方程为： ( 。) 2 竺( 。) + 砌( 。一1 ) 一 ( 2 2 ) f ( t ) = z ( i ) + 置( d 【y ( t ) 一c r ( i ) 】 并取重构状态初始值：p ( o ) = e ( 0 ) 】 5 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 观测器方程式( 2 2 ) 中第一式为预报方程；第二式为修正方程，其中j | 【( i ) 为时变反馈增 益矩阵。取观测器的重构性能指标为状态重构误差j ( i ) 的方差，即： ，= e 暖7 ( t 浮( t ) 】= e 暖( 枷( 2 3 ) i l l 其中，j ( t ) = z ( 七) 一膏( t ) 为重构误差。 着重构误差膏( t ) 的协方差矩阵为： l 群( i )i ( t 玩( d i ( i 厩 ) 户( 七) ：e 暖( t 谚r ( t ) 】：d 五( 。霉( 七)霹! )置 囊( 七) b ( t 塌( 七) 置( i ) 砭( i ) 霹( 七) ( 2 4 ) 则重构性能指标可以表示为矩阵p ( 的迹，即j = t r e ( k ) ( 2 5 ) 最优观测器设计就是求解反馈增益阵芷( 旬使观测器的重构性能指标( 2 3 ) 和( 2 5 ) 取最小值。 令状态预报误差：砟( i ) = x ( 1 ) 一牙( 女) 则由系统状态方程( 2 1 ) 和预报方程( 2 2 ) 可得预报误差为： j ，( i ) = a x ( k 一1 ) + o u ( k 1 ) + r - ( i 一1 ) 一从 - i ) - b u 耻- 1 ) = a x ( k - 1 ) + f v ( k 1 ) ( 2 6 ) 同时可得重构误差： j ( 的= 从( 七一1 ) + b u ( k 一】) + i 、i 一1 ) 一肛( 1 一1 ) 一曲( t 一】) 一r ( t c r ，( 七) - x ( k ) w ( k ) = t z ( t - 1 ) + r k k 1 ) 一k ( k ) c x p ( t ) 一k ) 坝t ) ， m = b ( j r ) 一茁( i ) c r ，( i ) 一置( i ) 以i ) = p j r ( 女) c ，一j 【( 的“t ) 考虑到j ，( d 与“t ) 统计无关，由此得j ( 的协方差矩阵为： 以d = 皿x ( 舭1 ( i ) 】 = e 【u - k ( k ) c ) x ，( i ) 一置( t ) “1 ) 】【( ，一置( t ) c ，( t ) 一x ( i ) “七) 1 】 = ( ，一x ( t ) c ) e 暖p ( k 谚r ( d l q k ( 0 c d 7 + k 辑) 研以t ) 矿( ) k 7 ( ( 2 8 ) = u k ( k ) c 渺( 七) u - k ( k ) c ) 。+ k ( 1 ) r k l ( i ) 式中， ，( d = e 兀i ，( t ) 霹( 七) 】= e i 【4 岩( i 1 ) + n i 一1 ) 】d 坟( i 1 ) + r “t 一1 ) 】7 )( 2 9 ) 吖( 七) 是状态预报误差j ，( 的协方差矩阵。考虑到j ( 七一1 ) 与“i 一1 ) 统计无关，村( t ) 有如 下形式： 肘( 七) = 五皤( 七一l 谚7 ( 七一1 m 7 】+ 司r v ( 七一1 ) v 7 ( 七一d r 7 】= 4 p ( 七一l m 7 + r q r 7 ( 2 1 0 ) 由( 2 8 ) 式得出：，( t ) = 肘( d m ( k ) c 7 k 7 ( k ) - k ( k ) c m ( k ) + k ( k x c m ( k ) c 7 + 固芷7 ( i ) 为了书写简便，将上式中各矩阵带有的( 七) 省略，并且令d = ( c m c 7 + 册，对上式通过 配项，并考虑到膨和d 均为对称阵，则上式可写成： 6 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 p = m + k d k 7 一k d d c m m c 7 k 7 + m c 7 d c m m c 7 d 一1 c m = 肼+ j ( d ( x 7 一d c m ) 一m c 7 ( 岸7 一d c m ) 一m c 7 d 。c m = m + k d ( 置一m c 7 d 一1 ) 7 一m c 7 ( 足一m c 7 d d ) 7 一m c 7 d 4 c m( 2 1 1 ) = m + ( i c d m c 7 x k m c 7 d 一1 1 ，一m c 7 d 。1 c m = ，+ ( k m c 7 d 1 ) d ( 足一m c 7 d 一1 ) 7 一m c r d 一1 c m 因矩阵d = c m c 7 + 月是正定的，所以上式右边第二项是非负的。为了使重构性能指标t r e ( k ) 为最小，增益矩阵k 取值应使第二项为零，即：k m c 7 d = 0 由此便得最优的反馈增益矩阵豳，七) 记为r ( ， k ( ) = m ( k ) c 1 c m ( 固c 1 + 盂】“( 2 1 2 ) 茁。( ) 又称k a l m a n 增益矩阵。当置( t ) 取k ( 七) 时，由( 2 1 1 ) 式。得出 ，( t ) = m ( k ) - m ( k ) c 7 c m ( k ) c 。+ 矗】。c m ( k ) ( 2 1 3 ) k a l m a n 滤波器就是由以上方程所组成的一组递推公式： x ( 七) = a x ( 七) + b u ( k - 1 ) 工( 七) = x ( + 置( 七) 陟( 一c x ( k ) 】 k + ( i ) f f i m ( k ) c 7 c m ( k ) c 7 + 月】- i( 2 1 4 ) f ( 七) = ，t 尸( 七一1 ) a 7 + r 1 2 r 7 尸( 七) = 肼( ) - k 。( i ) c m ( t ) j ( 0 ) 和p ( 0 ) 给定，k = l 2 ， 应当指出： ( 1 ) k a l m a n 滤波器增益矩阵k 。( ”是时变的，不是按照极点配置法求得，因而有一个能 否确保观测器稳定的问题。k a l m a n 定理已证明，若被控系统是既能控又能观的，则k a l m a n 滤波器是大范围渐近稳定的，而且当q 和r 为常值时，对于不同的初值p ( 0 ) 。只要p ( o ) 0 ，则矩阵p ( t ) 必定按照指数衰减到稳态值p ，相应肘( t ) 和f 仲) 也将分别衰减到它们的稳 态值，它们的稳态值与p ( o ) 大小无关，( p ( o ) 0 ) 。因此，实际应用时，为了减少在线递推 计算量，可以事先离线计算出稳态的k a l m a n 滤波器增益矩阵置。，并且以f 代替k ( ， 构成固定增益阵的状态观测器。通常称这种观测器为稳态k a l m a a 滤波器。 ( 2 ) 事先给定协方差矩阵q 和r ，因为在实际中难以获得其准确值，所以把q 和r 作 为可调参数，在离线计算增益矩阵足时，可以预先定性地按照系统中的过程噪声和测量噪 声强弱取若干组不同的q 和晨值，然后计算相应得若干k 。实时控制中分别试用，从中选 取滤波效果最好的r 。 ( 3 ) 豳r 七) 近似与q 成正比，与r 成反比关系。因此k a l m 锄滤波器可以简单理解为，是 按照系统中过程噪声1 ，( ) 和测量噪声仲) 的强度即q 和r 的大小，通过最合理地调整观测 器中修正项的校正作用来实现的。这在实际意义上也是很好理解，因为当q 较大。胄较小 7 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 时，系统真实状态x ( k ) 受v ( 七) 影响较大，输出量y ( k ) 受“t ) 影响较小，y ( k ) 中的主要成 分是受噪声影响较大的真实状态x ( k ) ，这种情况下，要使重构状态j ( ) 接近真实状态x ( k ) ，显然应该加大置( i ) ，使修正项的校正作用加强；而当q 较小，r 较小时，系统真实状态 z ( 的受v ( 七) 影响较小，输出量y ( k ) 受“t ) 影响较大，y ( k ) 中的噪声成分主要是“的，要 较小y ( 七) 中含的“t ) 对重构状态j ( i ) 的影响，显然应该减小k ( k ) ，使修正项的校正作用 减弱。 ( 4 ) k a l m a n 滤波器也可以采用预报观测器的形式，即用现时输出y ( i ) 重构下一步状态 j ( + d 。采用预报观测器的形式的k a l m a n i 8 波器的递推方程组如下： j ( 七+ 1 ) = 衍( 七) + 口“似) + 足( 七) 【) ，( 七) 一( 骨( 纠 k ( 七) = a p ( k ) c 7 r + c e ( k ) c 7 】- i( 2 1 5 ) p ( t ) = 胛( t ) 一7 + r q i 7 一k ( k ) c p ( k ) a 7 初始条件j ) 和p ( o ) 给定。 同样可以采用稳态蹦m 姐滤波器，k a l m a n 增益k 由方程l l i ( 2 1 5 ) 中第二式和第三式通 过离线迭代计算获得。将获得的k 阵带入第一式，便构成了预报型稳态k a l m a n 滤波器。 2 。2 模型预测控制概述 2 2 1 模型预测控制的动态系统响应 由系统理论可知，一个动态系统未来的输出总是由自由运动和强迫运动两项组成的， 即：y ( k + o f y p ( k + o + y ( k + o , i 0 ，k 为当前时刻， 其系统输出动态响应结构可由下图2 2 所示。y a ( k + o 是系统未来尸步的期望输出。y ， 是系统的参考输入 。l 媵堑5 盘，：珲1 一 、_迎o 厂、 2 ：一 i i 。z ，l u 0 0f i t ) t 罗毛二 1 i i 甜2 )w k + 3 l 【 - - - 。_ j k - 2k - lki 【+ lk + 2 图2 2 动态系统未来输出分解 8 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 其中，y ( k + ) 系统在t 时刻的未来各步输出； ) ，( k + 0 系统在埘刻的未来各步自由响应输出，它是由系统过去各步的输 入量口( i f ) 的作用所产生的或由系统在当前朋t 刻的运动状态所 决定的运动； _ y ，( i + 0 系统在埘刻的未来各步强迫响应输出，它是系统未来各步输入 u ( k + 0 ，f i 所产生的输出运动。 2 2 2 模型预测控制系统的基本原理 根据上图2 2 中的系统输出分解图和下图2 3 中的m p c 控制系统的原理结构图可知模型 预测控制算法的基本思想是：利用已知系统模型和系统过去的控制量和输出量计算出系统 未来预测输出，并按照系统期望输出与预测输出之间差值在线反馈校正，求出系统最优控 制量。它的核心步骤是基于模型预测、滚动优化、反馈校正。 图2 3 m p c 系统原理框图 1 模型多步预测 利用被控过程模型计算出过程系统未来p 步( p 0 为设计参数) 输出的自由运动项，即 系统的初始预测值( i + 1 ) = 【y p ( t + 1 ) ，蚱( t + 2 x ，y p ( k + - p ) 7 ，t 为转置符号。 2 反馈校正 考虑到预测模型和实际系统特性之闻肯定存在差别，这个误差必然造成根据预测模型 计算出来的系统未来尸步初始输出预测值匕( i + 1 ) 与实际过程未来尸步初始输出之间存在偏 差( 称为模型预测误差) 。此外，实际系统总是存在着各种外部扰动，在尉刻以前作用于系 统的扰动势必影响系统的未来预测输出，但是由于模型预测系统未来初始输出，仅参考系 统的控制输入作用，并未考虑被控系统所受到的外部干扰，因此即使模型特性与实际过程 特性完全一致，也将会不可避免的带来模型预测误差。为了减少由模型误差和过去外部扰 9 南京信息工程大学硕士研究生学位论文 动引起的模型预测误差，提高预测精度，一般采用模型预测误差来校正由模型计算出来的 系统未来预测输出，即： 弗( t + o f f i y ，( t + o + ，陟( 的一y ，( t ) 】，i = l ，2 ，( 2 1 6 ) 式中，歹p ( 七+ f ) 是系统在埘刻的未来第f 步预测输出的重构； y ( k ) 是系统在埘刻的实际输出测量值； y ，( 七) 是由预测模型所得到的尉刻的系统输出； p ) = y o ) 一y ，( 七) 是前一步的模型预测误差i 一是校正系数，通常为了简单取 = 1 ，f = l 2 ，p 。 为了书写方便上式( 2 1 6 ) 可用向量形式表示： 斥( t + 1 ) = 耳( t + 1 ) + 凡y ( 的一y p ( k ) 】 ( 2 1 7 ) 其中，= ，x 【11 l b ； 耳( i + 1 ) = 【，( i + 1 ) ，办( 1