（通信与信息系统专业论文）自适应插值技术和预处理迭代算法在电磁计算中的应用.pdf

南京理工大学硕士学位论文 自适应插值技术和预处理迭代算法在电磁计算中的应用 ab s t r a c t t b eel e 口 比 o ma gde t l csc a tt e ringandra d l 而on of 3 d comp l ex 切 r g ets h ave 创 由 泊 d 曰 m u c hm o r e以 加 nil on in eng l n ee ri ng app l i c at 1 o ns.r ece n t ly， li lt el ” i ve in ve stigati ons 玩 w e b e .d o ne to血d 伪 s t 叨d ac c 切 ra t e nuln eric alm e th o dstoso l ve 即 比p ro bl etns . t 七 1 5 击 义 斌 比 时 i on fo 口 眨 姆 s on two ap p r o 朗 h estoac ce l e n 戏 e th e e m 5 汕u l 西呱 t 七 e五 z s t w a yislo d ev el 叩 some公 比 t 目 gori 由 tn， for ex助 叩 l e ， the i nt 阅 po l ation m 日 五 o d . t b e s e c o nd w a yistostud y solneo ffi c l en t i t 改 at l ve s pe 目in g ai gori th msto r edu c e th e con d i ti on n 切 m berof the0 perato reql 城i onsmaj h c o 川的 b u t i o ns inc 】 回e : f 峋l y ， 栩。 di 任 er e n t inte 印 o l at l o nm etbo dsare pr o pos ed， modi fi ed 赴 了 m 扭 。 ti c w a v e fo rm evai u 时 i o nte c h 苗 明e( a w 卫 ) 如dad 即 t l v e 份 叫 u e n c y别 ” n p lingm 日 山 ed ( 舒 s) b ” ed on s t 。 沈 . b ul ir s cb (s一 b) al g o ri th吐 认 飞 闭 com p ared 初th tl 习 d l t i o . al a w etecbniq ue， mo di fi ed a w etec】 1 l l i q u eism 毗 a 沈 切 旧 比阴de ffici 。 吐 . 5 -b 加 t 阅 四 1 而 on m e th edis morehatab le for 份 叫 u enc y do m ain inte rpo i 如。 氏w 址 ch理 犯 5 a i ve栩 由 u l arsc h e m e an d 叫山 re s do m at ri 吮m v o rs i on; it can p 践 沁 e ssa l 田 名 e n . 叮 be r of ， 翅 n p li dg da tafor o b ta in in gar at i o n alin t e 耳 ” l ation 丘 口 ct l on 幼tt io ut 别 叮 玩 初 9 丘 o ms in gu州typro bl elns . s eco n d 】 y，肠s p al 犯 r 如 ltr o d 议 笼 5 幻 形 o a c c e l e ra t edl t e n 欲 i veapp r o ac h es ， r ec ursive 0 的 e 司七 兜 d min 如 阳 i resi d ual m e th ed幼tho d 五 o gonality ( g c r o胡d g c r o 一r)， w 苗 ch心pec t l v e l y use 妞 m 创 r- o ut e r i t er a t l ont ec h 面 que an d den at edre start l n g schem。 toa c e l 曰 旧 t e the trad iti 。 耐 g en e ral让 兄 d mi刀 j m um resi d ua 1 m e th o d (g州 r e s) . f in al ly，m u 】 ti . p n d i ti o 刘 由 g m e th odis pr o posed . as 讹 kno w，p nditi 。 血9 抚 c 知 吐 q u e s are 曰 m p fo y ed tos peedup the co nve 堪 界 n ce月 蛇 e ofthe k ry 1 0 v i t e 以i ons ho叭 七 v e r，for p r e c o n d i t l o 钊 叮 gspec l fi ed p r o bl e m s th 。 笼m aybe 卿 e 阁 目 t 。 ， 鱿 i v e 即p r o a c h e s 衍thdi ffer . 吐班甲 别 j esand itisb 盯 d tod e 调恤 dne t h e besto n o . ino 川er toreli eve 面s p robl e n our mo d i fi ed p n d iti 。 血 g me t h o disp r o pose d tocom b 咖 ， v e 阁 p 卿。 n d l ti 。 血g t ec h 苗 q u e s 初thdi 月 七 找 泊 t 协 。 声 滋 i es ， 即 dth e nu n 户 ro ves th e 伪n v e 雌 e n c e bya u to m at l c al lyt ak 加 g ad v adta g esofallav ai l able p r 以 刀 nditi o 。 曰 rs . k 州。 rd: . 诊 m pto ti cw av e fo rm eval ua t i o 氏 st oer- b ul 坛 sc bai gori 山 tn， reculsi ve g e n 曰 旧 1 1刀 记爪 浏 面目 邝 si d 切 al m e 山 od俪t h o rt h o g o nali ty，m u l t l 一 茂 con d iti o 到 m g 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知， 在本 学 位论文中，除了 加以 标注和致谢的部分外， 不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同 工作的同 事对本学位论文做出的贡献均已 在论文 中作了明确的说明。 研究生签名:年月日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电 子和纸质文档，可以 借阅或 上网公布本学位论文的部分或全部内 容，可以向 有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密 论文， 按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名:年月日 南京理工大学硕士学位论文自适应插值技术和预处理迭代算法在电磁计算中的应用 绪论 l l研究背景 现代技术的许多方面都与电 磁场有关。 例如: 利用计算机， 采用数值算法来解决 电磁场问题， 就是近二十多年来发展起来的一门新学科。电磁分析问题实际上就是求 解给定边界条件下的麦克斯韦方程组问题。 因此， 如何精确的获得麦克斯韦方程组在 各种 边界条件下的解就成为了 对电磁 场理论 与工程问 题进行分析的基础。 对于电 磁问 题的求解来说， 获得封闭形式的解析解并给予正确的物理解释一向是人们所向往的解 决问 题的 最佳结果。 然而， 只有少 数典 型的 几何形状和结构相对简单的问 题才有可能 求得 严格的 解析解。 随着科学技术的 发展， 电 磁场问 题的研究已 显得日 趋重要， 现代 技术的许多方面都与电磁场有关， 复杂电磁系统的分析与综合， 高频电磁场与复杂目 标相互作用的分析与计算， . 都成为现代科学技术发展的重要课题。在通讯、雷达、物 探、 电磁防护以及电磁兼容等领域中，电磁场的传输、 辐射和散射问题都起着非常重 要的 作用， 有大量的问 题需要作深入 细致的 研究。 由 于问 题的大型化和复杂性， 要求 得封闭形式的解析解已经不太可能， 就是半解析的近似方法也只能在个别问题中得到 有限的应用。 60 年代以来，随着电子计算机技术的发展，一些电磁场的数值方法迅速发展起 来， 并得到了 广泛的 应用， 其中主 要有有限 差分方法任 d ) 、 矩量法 洲。 峋 、 谱域方法 (s d a)、直线法洲。 l)、时 域有限 差分方法少 d td ) 和有限元法 ( fem) 等等.从此， 计算电 磁学作为一门 新兴学 科推动 着电磁场理论的 不断发展。与经典分析方法相比 较， 数 值方法在 所能处理的问 题的范围 和复杂程度上表现出巨大的优越性。 因此， 数 值方法被广泛地应用于电磁领域的各个方面， 如微波于毫米波通讯、 雷达、 精确制导、 导 航和地质勘探等11 。 从理论上讲， 数值方法对于任何 频率、 任何形状和大小的物体， 只要建立了 算子 方 程模型， 都能求出 指定精度的解以 满足工 程的 需要。 但实际上， 求解过程却受到计 算机内 存、 计算速度和数据长度等条 件的限 制， 特别是计算速度。 如何解决计算精度 与计 算速度的矛盾一直是人们特别关 心的问 题， 吸引了 众多的 学者去研究 和开发。 人 们采用各种加速手段力争减少求解问题所需的计算量和存储量， 以提高计算精度和计 算效率，并取得了较大的进展。 基于以上研究背景，本文介绍了 几种电磁计算中 应用广泛的加速算法， 分别 是，自 适应插值算法、 基于k 尽l ov 子空间的加速迭代算法和改进预处理方法. 实 例计算结果表明这几种方法都能准确有效的加速电磁计算 。 南京理工大学硕士学位论文 自适应插值技术和预处理迭代算法在电磁计算中的应用 1 二研究历史和现状 雷达发射和接收信号主要有 两种方式. 它们分别为发射接收单个雷达站实现 ( 单 站 方 式 ) 和 发 射 接收 各 使 用 一 个 或 多 个 雷 达 站 实 现 ( 双 站 方 式 或 多 站 方 式 ) 12 。 由 于 工 程 中单 站方式易于实现， 所以 它是 一种较常用的 方式。 但是计算机模拟与工程实际 恰恰 相反 ， 单站计算的 复杂度远远大于双站计算的 复杂度。 这是因 为单站方式是一个发射 信号 对 应一 个接收信号而双站方式 则是一个发射 信号可以 对应多个接收 信号. 在计算 中， 一 个发射信号 对应一 个矩阵 方程， 这就 意味 着要计算一个双站 r c s 曲 线只需 要求 解一次 对应某一发 射信号的 矩阵 方程， 而要 计算一条单站r c s 曲 线则需要求解多 个对 应于不同 发射信号的 矩阵方 程。 例如计算一架飞机水 平方向 扫描18 00的 单站r c s . 若 我们每隔1 “ 取一个点，则需要取1 80个点，即需要求解1 80次不同激励的矩阵方程。但 计算该 飞机的双站r c s 只需 求解一次矩阵方 程。 所以 如何提高单站 r c s 的计算效率己 成为求解电磁散射问题的关键技术之一。 有 许多技术可以提高单站rc s 的 计算效率， 其中一种有效的 技术就是插值技术 131 。 插值技术的 基本思 想是参 数模型估计， 即用简单、 计算时间 短的 有理函数或多项 式模型去替代复杂、计算时间长的单站 r c s 计 算模型来进行曲 线拟合。考虑到单站 r c s 曲 线的 复杂性， 在有理函数阶 数较低的 情况下 并不能 准确地拟合单站 r c s 曲 线， 因此需要对传统理念的曲 线拟合方法做出改进。渐进波形估计技术( 灿ymp t o t i c w avefo n 力 e v a l . 时 ion 简 称 a w e ) 14) ， 是 一 种 研 究 的 比 较 透 彻的 改 进 方 法， 它利 用 有 理 函数 模型来拟合感兴趣角度上的 未知电流向 量， 从而可以减少通过 迭代法解矩阵方 程 求电流向 量的次数，达到节省计算时间的目 的. 研究结果表明， a w e 技术用于单站 rc s 的 快速计算阎 ，比 起一般的 有理函数 逼近方法， 能大大加快求 解速度，并能与 真 实解 保持较高的计算精度。但是a w e 技术也有不足之处，如需要用到电 流向量的高 阶导数信息、自适应策略难以实现等等。 a 认 呢 方 法 也已 经 被 广 泛 的 应 用 于 宽 频 带电 磁 辐 射 、 散 射 特性 分 析 16 门 。 文 献 2 9 提出 一 种新 的 、 更 适 合做 频 域 插 值 的 计 算 方 法 s to e r- b ul 让 sc b 插 值 算 法 isj( 简 称 s b 方法) . 它利用阶数可 变的有理函数 作为替代模型，将感兴趣的频率范围分为若干子 区间 ， 然后根据每个子区间被拟合曲 线的复杂度自 适应的调整有理函数的阶数。 s b 算法的 另一个特点是它不需要待定 有理函 数的各项系 数， 避免了 矩阵 求逆的过程， 相 比 a w e 方法， 5 一 b 方法更容易实现。 广 义 最 小 余 量 迭 代 算 法g 州 田 五 5 凹 其 原 始 的 形 式 是 基 于 全 域kry lov空间 的 ， 它 从 迭代的 初始余 量出发，构造与求 解问 题同 等大小的k 叮 io v 空间， 从而得到未知量的 解 ( 即 : 全 域 k 巧 lov 空间 基的 线 性 组 合 ) . 显 然 ， 构 造与 待 求问 题同 等 大 小的k 口 lov 空 间 要 受 到内 存的 限 制， 既 不 现 实 ， 也 不 可 能. 一 般 的 处 理 方 法 是 将 全 域的k 口 lov 空 间 截 断 ， 在 这 个截 断 的k 巧 lov子 空 间 中 来 寻 求问 题 的 一 个 近 似 解 。 再 从 当 前 的 近 2 南京理工大学硕士学位论文 、 自 适应插值技术和预处理迭代算法在电磁计算中的应用 似解出发 重新构造新的 k 口 】 ov 子空间， 得到更 逼近真实解的下一个近似解。如 此重 复下去， 直到得到可以接受的近似解。由上述方法产生的g n ip 卫 5算法常被称为重复 循环的g m r e s ( m ) 迭代算法。这 种方 法解决了 全域k 习 l ov 空间的存储难 题， 但也同 时 降 低 了 全 域k 可 io v 空 间g m r e s 迭 代 算 法 优良 的 超 线 性 收 敛 特 性 110) . 重复循环策 略的引 入，使得上一次 循环中 k 巧 l ov 子空间中可能包含的 有价值的 历史信息 被简单的丢弃， 这是造成全域k 口 】 o v 空间g 卜 i r 卫 5 迭代算法 超线性收敛特 性丧失的根 本原因。 具体表现在如下的两个方面:其一，由于 上一次 循环中 k 尽 l ov 子空间的 信息被下一次的 k 卫 了 1 o v子空间的 信息所替代， 从而 使得重复 构造的k 尽 l ov 子空间 与上一 次构造的 k x y lo v 子空间 之间 的正交性不能 得到保持。因 而解空间 需要 更多的k 叮 1 0 v 子空间来线性表达， 表现在迭代过 程中 就是迭代算法的 步数显著增多。 其二， 由 于迭代算法的收敛速度在很大程度上 受到 系数矩阵特征值分布漪 征 谱) 的影 响， 特别是一 些相对较小特征 值的 影响， 而全域k 叮 l ov 空间g m r e s 迭代算法的一 个最大的优点 就是在其迭代过 程中能自 动的消去这些较小 特征值 对收 敛性的影 响。 这 是因为 全域k 尽 lo v 空间 不仅是构 成解空间 的一组正 交基， 而且也是构成其系数矩阵 特征向 量空间的 一组正交基。 而 重复 循环的 引入使得一 些较小特征值对应的特征向 量 并不能由 当前循 环构造的 k 叮 i o v子空间来 线性表达， 从而不能如全域 k 巧 l ov 空间 c 侧 田 王 5 迭代算法那样逐步消去特征值的影响， 造成了重复循 环的g m r e s (m) 迭代算 法收 敛速度缓 慢。 幸运的是，它在 构造 k 口 l ov 子空间的同 时， 也额外得到了 待求 矩 阵的 特征谱信息 ( 即系数矩阵的 特征值和 特征向 量的 信息) 。 众所周知， 迭代法的收敛 速度在很大程 度上取决于系 数矩阵的 谱特性。 预处 理方法的出 发点 就是通过改善矩阵 的 谱特 性， 从 而达到提高迭代算法收 敛性的目 的。 这说明， 对于 重复 循环的g m r e s( m ) 迭代过程中有价值的历史信息， 如特征谱信息的有效利用， 同样可以提高其收敛速度， 降 低迭 代步 数， 从而达到减小总体运算量的目 的。 因此， 为了 弥补g m r e s( m ) 迭代算 法中 重复 循环 策略的负面影响， 尽可能的 逼近全空间g m r e s 迭代算法超线性的收敛 特性， 可以 通过保留g mr e s( 回迭代过程中重复 循环时丢弃的 一些有用的历史信息， 并 利用它们来 加速当 前的迭代过程。 根据 信息 利用策略的不同， 将基于g n 田 卫 5 迭 代 算法的加速技 术分为四类。 第一类是k 即 l ov子 空间扩大技术(au g m e n tati ontec腼q ue) 、 第 二 类 是 特征 谱 重 复 循 环 技 术 (s 侧 戈 喇 代 忿 . n 访 9 仪 沁 ho i q 坡 ) 、 第 三 类 是 特 征 谱 预 处 理 技 术 (s 户 戈 tra1 preco n di ti 。 山 n g 枉 尤 h qu e) 、 第四 类 是内 外迭 代 技术 ( inner . o ul eri记 ration 仪 沁 h q ue ) . 正 交 化 嵌 套的 广 义 最 小 余量 算 法ocroll l 和ocro一 rl l2 分 别 属 于 第 四 类和第二 类加速算法。 用 迭代法求解f e m、 m o m中 的大型线 性方程组时， 预处理方法， 如 对角 预处理 田 1切1131、 对 称 超 松弛 预 处 理 ( ss o r) ll41、 不 完 全 因 子 分 解 预处 理 o l 切 阅、 稀 疏 近 似 逆 预 处 理 (s 峋11614 招 1等， 常 被 用 来降 低 系 数 矩 阵 的 条 件 数， 改 善 迭 代 算 法的 收 敛 性 。 南京理工大学硕士学位论文 自 适应插值技术和预处理迭代算法在电磁计算中的应用 然而， 随着系数矩阵a 性态的 不同， 上述预处理方 法的预处理效果也会不一样。 一 般 情况下， 以ag预处理， 适用于 对角占 优的 矩阵; sso r 在对 称正定 情况下 会有很好的 预处理效果; 】 l u分解己 经成功的应用于非对称稠密 矩阵， 但是这种分解方法非常病 态，结果会导致三角求解不稳定和预处理方法失效; s ai 以非零模式选取下求解 f robe 面us 范数的最小值为基础，因此其预处理效果受到非零模式选取方式和怎样求 解 最 小 二 乘 问 题的 影 响 。 多 重 预 处 理 技 术 ijgj 能 够 克 服 各 种 预 处 理 方 法 之 间 的 差 异 ， 充 分发挥不同预 处理方 法各自 的优势，更好地加速 迭代算法的收敛。 i j本文所 傲的工作和结构安 排 本文主要 研究了a w e插值算法、 基 于5 让 哈 r- b ul in 犯 h 算法的自 适应有理函数插 值 方法、 正交化嵌套的广义最小 余量迭代算法以 及一种改进的 预处理方法， 并分别用实 例证明了这几种方法的快速性和准确性。本文各章安排如下: 第二章:自 适 应插值 算法 在快速求解宽角度和宽频带电 磁辐射、散射特性中的 应用。 第三章: 正交化嵌套的广义最小 余量迭代算法( g c r o 、 ocr o 一r)在求解宽角 度双站 r c s 中 的应用。 第四章:多重预处理方法。 第五 章: 结论部分，对所研究工 作进行了 总结， 并对未 来的 研究工作部分做了 展望。 南京理工大学硕士学位论文 自适应插值技术和预处理迭代算法在电磁计算中的应用 2自 适应插值算法在快速求解宽 角度和宽 频带电磁辐射、散射特性中的 应用 2. 1插值 方法简介 在自 然科学和技 术科学 领域， 我们常常不满足于知道一 个区间内 有限 个位置点的 数据， 而 想得到 整个区间内的数 据信息， 或是己 经知 道了一 组数据， 希望根据这组数 据信息估计出 周围一些感兴趣点的 值。 这时我们就需要用到插值函 数来进行函 数逼 近，以 得到所需要的数据信息。 常用的插值方法包括:多项式插值，有理插值和三角插值。 其中，三角插值使用 三角函 数co s( mx) 和s in(瓜) 的组合来构 造插值函数(m、 n 是整数) ， 广泛应用于时间序 列和周 期现象的数值 f 。 团er分析中。 多项式插值构造简单， 计算方便， 在数值计算 和实际 工程中有着广泛的应用， 其中 常用的 有: 牛 顿插值多项式、 拉格朗日 插值多项 式、 三次样条插值和 b 一样条函 数. 对于 用插值方法逼近一个已 知函数f(x)， 在许 多情 况下， 多项式插值是完全令人满意的. 但是， 但想求f ( x)的 一个近似值， 而x 的 位置 靠近f ( x)的极点或者在f(x)的 另一些奇异点附近时，多项式插值就不能给出 满 意的结果了，而有理函数插值就能做到，常用的有理函数插值方法有 p ad德逼近和 c a 朗 h y方 法。 本文所介绍的自 适应插值算法分别以 有理函数插值和多项式插值为基 础，下 面简单的介绍几种常用的有理函 数和多项式插值方法。 2. l i 帕德逼近 当 一 个 给 定 展开 点 的 各 阶 导 数 信 息 都已 知 时， 帕 德 逼 近 121 是 求 解 有 理 函 数 系 数 的 一种有效方法。 它通过将有理函数与被逼 近多项式f ( x)在给定点处的泰勒展开式进行 等价来求取有理函数各项系数，因此，需要知道的展开点的导数阶数n必须满足 n 之 p 十 q ， 其中 p 、q 分 别 是 有理 函 数 分 子 分 母 阶 数. 假设 展开点为x = 0 ，则多项式f (x) 在x = 0 的泰勒展开式为 二 卜 鑫 分 !)”， 洲万 +1 ) t 声 、 . j、 ， j 。柑十 1 . r 一. ( n+ 1 ) ! (2. 1 . 1) 将它的部分和记作 声 1 、 八x)= 乙7 k二0 、 . )( 0 ) x (2. 1 .2) 、 南京理工大学硕士学位论文 自适应插值技术和预处理迭代算法在电磁计算中的应用 它满足条件 尸 (k ) ( 0 ) = f (k ) ( 0 )无 = 0 ， ， n (2. 1 . 3 ) ( p ， q ) 阶有理函数表 达式为 . _ _ _ 二_ _ _ 尸， 1_ _ 、 n， 、“。宁 “ . 弄 宁 . ” 宁 “。 弄月。 吸 弄， 八 . 八吸 x. = 一= - -二 ， 甘 、 产1 上 人 ，上 _ 二 上 ，仑pl 护 、 ，ul井丁一 丁勿舟口 、 丹1 (2. 1 4 ) 其中 ，ap( x)和凡(x)互 质， 且 满 足 条 件 瑞( 0 ) = 厂 二 ，( 0 )k = 0 ， ， 尸 + q(2. 1 . 5 ) 令 。 二 粤 厂 ” (0) ， 贝 。有 理 函 数 、 ， ，、 ，八 ， ，、 与 。 ，二 ，。 +o 的 关 系 满 足 下 式 气 一 艺 c 气 一几k = 。 ， p + q j =0 当j 尸 时 ， a，二 0 ; 当 j q 时 ， 乌 = 0， b0 = 1. 如 j m时 勿= 0 ， bo = 1 。 在 求 解 有 理函 数 多 项 式 系 数 al， 屯 时 ， 先 将 (2.2. 2) 式 代 入 (2.2. 3) 式当 中 ， 整 理 后匹 配 等号 两 边 相同 次 方归 一 几 ) 项 的 系 数 ， 可以 得 到 求 解鸟 的 矩阵 方 程 (2.2. 5) ， 得 到气 后， al 可 由 下 面 的 矩 阵 方 程 (2. 2. 0 得到: ml 一习 凡 书 ml 书+ 3 ml 氏 久 一介 l 气 (2. 2 . 5 ) 帐凡ml: -i+l 几凡凡 几m+气.: 几 甫 _ ， 00 00 残 0 : 叭 _ 2 . ml -a， (2. 2 . e m+气ml+:ml+ 干州lrll囚日园 0气码.:ml 气码伙.:气 根 据 p ade 逼 近的 最 佳 一 致 性理 论， p( 习 m ) 中 的 l 和m在 满 足 (2. 2. 乃 式 关 系时 逼 近误差最小，即: ! 工 = m ， t l l 一 m l + m为偶 数 卜1 ， l + m为奇 数 (2，2 .乃 将(2 .2. 5) 和(2 .2.6) 式所求结果代入(2 .2.3) 便可以 得到给定宽角度范围内 任意角度的 导 体电流分布 ， 进而求出 散射场及宽角度三维导体的rc s . 2. 2. 2 实例 计算结果 实 例1 : d o ub le o gi ve， g g e 比 ， 未 知 量 为4 6 35. 尺寸定义如下: 当-2.5 x 0 且一 汀 梦 汀 时，定义 南京理工大学硕士学位论文 自适应插值技术和预处理迭代算法在电磁计算中的应用 值函 数121 】 。 简单地说， 三次样条 插值函数就是通过样点， 具有二阶连续可微的分段三 次多项式函数。 首 先 考 虑 样 条 插 值 函 数 5 (x)是 否 存 在? 从 定 义 可 知， 在 每 个 小 区 间 x， xl+ ， 上 ， s(x)是三次多项式，如 5 ( x) = 马 + 吞 x + cl x z + 试 x3 xl x 气 + . 需要确定4 个待定系数，共有n 个小区间，就需要4n个待定系数，而这里给的约束条 件是 (2 . 3 2 ) 在节点处 连续， 即: 5 ( 气 一 0)= 5 ( 气+ 0) s ( xl 0) = s ( xi + 0)(2 .3. 3) 5 (石 一 0 ) = 5 ( xl + 0 )( 1 = 1， 2 ， ，n 一 1) 总 共 有 4 n 2 个。 因 此 还 需 要2 个 条 件 才 能 确 定s( x). 通 常 可 在 区 间a， b 的 端 点 a = xo ，b = 气 上 各 加 一 个 条 件 称为 边 界 条 件. 它 是 根 据 实 际 问 题的 要 求 给定 ， 常 见 有 以下三种类型: (l ) 给 定 两 端点 处 的 一 阶 导 数 值 y0， y 蕊 ， 使 s (x0) = y0，s ，( 礼 ) = 儿(z.3. 4) ( 2) 给 定 两 端点 处 的 二 阶 导 数 值 几， y 飞 ， 使 s (x0) = y0，s .(x) = j，n(2.3. 5) 特殊形式是 s ( xo ) 二 s (x.) = 0 称为自 然边界条件。 (3 )假 设函 数y = 了 。 ) 是b 一 a 以 为 周 期的 周期 函 数， 这 时 要 求s( x) 也 是 周 期函 数， 应该满足周期条件: 5 ( xo+ 0 ) = 5 ( 凡一 0 ) s (x0+ 0) = 了 ( 、一 0)(2. 3. 旬 5 ( 、 + 0 ) = 5 (气一 。 ) 这时 有yo= 凡， 这 样 确 定的 s( x)， 称 为 周 期 样 条 函 数 。 从 理 论 上 讲，s( x)中 的 4 ” 个 待 定 常 数 可 由4n个限 制 条 件 来 确 定. 但 实 际 计 算 s( x) 时， 可以 采 用 更 简 单 的 方 法 确 定5 ( x)的 表 达 式， 设 节 点 处 的 一 阶导 数 值 为s (x， ) = 叭， 已 知m 后 ， 5 ( x)在 以 _ .， x，1 (i = 1 ，2，.“ ， n) 上 就是满足条件 s( xl _ : ) = 另 一 5 ( xt ) = 升 s (x， _ ，) 二 mt _ 。 s (x，) = ml 的 三次埃尔米 特插值多 项式: 南京理工大学硕士学位论文 、 自适应插值技术和预处理迭代算法在电磁计算中的应用 s(x)=竺 五 业 碧 竺 二 卫 : 一 些绝2互 等 竺 里 1、 班 三二五 2黔 三卫 mt 一 全 二 三:萎 玉王二卫 风 ( 1 = 1 ， 2 ， ， n ) (2. 3 . 7) 其中 x 以 xt- :， xl l， 八 = xl 一 xl -i 可 见 只 需 确 定ml ， 利 用s( x)在xl 处 二 阶导 数 连 续， 即 s (x.一 0) = s (x，十 0)来 建 立求琳的 关系式。由 式(2.3 .刀 得 。 . ， 、 6 x 一 z x，-一4 不6 x 一 4 戈 _ ， 一 z x， “ x) “ 一下产一ml-l十 一下厂一叭 6 (x1-1+龙一 z x ) + 一 一 蔺一 - (2:38 ) 仅 一 另 _ ， )x 任 1 气. ， xl 于是 。 ，。 、 246， 0气 毛一 v ) = 下琳份 1 十 了风一 万 l yl一 另 一 ) 马nl坏 同 理 可 得 ，s( x)在 xl，xl+ . 1 上的 二 阶 导 数 . ，、 6x 一2 戈一4 工. 。 百 ( xj = 一m+ 帐: 6 (x， 十戈 二 ， 一z x) + 一 又 不一 6 x 4 xl一 z xl+: 峨 x 任 xi ， 戈 + 1 1 琳小 1 以+ 一另 ) 于是 . ，。 、426 ， 百味 + u)= 一 二 - ml一 下一 mt+l 一 二 ; 一 认+ 一 yl) nl +i拐 +1气1 根 据 连 续 条 件 s (x，一 0)= s (x，十 0) 可 得 各 ml-l、 2 停 十 牛 )m， + 牛ml+ 。 一 3(井 争.之 月 二 兰 份煞 - .书 ) nt马气1乓+l传十乓+l乓+i伪+鹅+1nl 用 李 十 典除 等 式 两 边 ， 经 整 理 得 方 程 组 鸟拐+ 1 凡 琳 _ : + 2 琳+ 片 气， = 9， (i = 1 ， 2，.“ ， n 一 1) (2. 3 . 9) 其中 人 ，t 八 =了一戈 - ， 肠 =1 一人 = 玛十nl+ . 八 八+ h，+， (2. 3 . 1 0 ) ; 二 3俩 旱 + 旱 ，= 可 (x，x，+，)+ f(x.rt，气 ” 式 (2.3 9) 给出 了 n + 1 个 未 知 数残 乃， :. ， 气的 n 一 1 个 方 程， 尚 缺 的 两 个方 程由 相 应 的 边 界 条 件 补 足 . 例 如， 边 界 条 件 为 (2. 3. 4) 时 ， 给 出 端点 导 数气= y0， 礼= yn代 入 (2. 3 .9) 中，得 到n 一 1 阶方程组， 矩阵 形式为 南京理工大学硕士学位论文 自适应插值技术和预处理迭代算法在电磁计算中的应用 91 一 凡 几 g2 (2 . 3 . 1 1 ) 码码 人 .22 人， 户公 2 2一 刀 气 ， 2 氏 _ 1 g叼 乱_ : 一八 _ i y。 肠2 2人 r.esseee.j 如果边界条件为 (2 .3.5) 时，则由式 (2 .3.8) 可得两个相应的方 程: 2 、 + ， = 3 牛 业 一 冬 几 一 90 场 、 一 ，、 = 3 玉 淤 鲁 ，一 二 连同 方程组(2.3 . 9) 一 起，组 成阶线性方程组，矩阵形 式为 ( 2 . 3 . 1 2 ) ，.ltes.eees.esjles.esesweesesesesj 9091.:纵乱91跳: u日曰日且日目泪且 执眨公耘卜冲股 人 1 2凡 八，.与 ，二2 2凡 对应周期边界条件的方程组矩阵形式为 卜 一 l 凡 肠 2 热 (2. 3 . 1 3 ) 人:2凡 ， 人 9 ，1 其中气 = ma，八= 气 人+ 气 ，人=1一 八， 二 = 3俩 旱 十 “ 气 沙 l)= 可 (x0，a f(x】，、 ” 线性 代数 方程组(2 :31 1) ( 2. 3 . 1 2) ( 2. 3. 1 3)的 系数矩阵 均为 严格对角占 优的， 故都有 唯 一 解 。 三 对 角 方 程 组 可 用 追 赶 法 121 求 得 、 乃，.“ ， 气。 然 后 ， 代 入 公 式 (2. 3. 7) ， 立 即 得到 三 次 样条 插 值函 数s( x) 在 各 个 子 区 间 xl，xj+ . 上 的 表 达 式 ， 继 而 进 行内 插. 2 浅2自 适应三次 样条插值算法 上一节我们给出了 三次样条插 值算法的一般原理， 这一节我们讨论其 在f m m中 快速求解宽角度单站rc s 时的应 用和如 何自 适应选取插 值点。 假 设 宽 角 度 范 围 为只 到 久， 弓 ， 风 区 间 上 感 兴 趣 的 角 度 值定 义为 只1 = 1 ，2，. ，n ， i( 6)表 示夕 处的 电 流向 量， i ( 的为 其一 阶 导 数 值， r cs( 的 表 示夕 处rcs 计 算 结 果 . 误差 门 限 设 为叩 5 .自 适 应 三次 样 条 插 值 算 法 流 程可 叙 述 为 : 1 8 南京理工大学硕士学位论文自适应捅值技术和预处理迭代算法在电磁计算中的应用 计算 弓 、 凡 处 的 电 流 向 量 真 实 值1 闷 ) 、 i( 休 ) 及一 阶 导 数 值厂 以) 、 i (o=) . 利用 式 (2.3. 7) 计 算 每 个 感 兴 趣点召 处的 电 流向 量 估 计 值1 以 ) ， 然 后 计 算 r c s 估计值r csi ( 召 ) 叹十0. 、 一一 ，一 -一 二 一 一 、 一 ， 一- 1 - - - - ， - 令 烤 怡 半并 计 算 电 流 向 量 真 实 值 了 低 ) ， 将 己 知 了 (q)、 1 印和 stepl卿 1 件)j= 1， 2，3代 入 方 程 (2.3. 11 ) 计 算 出八 凡 ) s tep3 :对 区间 喊 ， 凡 1 、 以，6z1 分 别 利 用 (2.3. 刀式 计 算 每 个 感 兴 趣点 材 处的 电 流向 量 估 计 值1 以 ) ， 然 后 计 算rcs 估 计 值r csz 闷 ) s tel 闷 :对 区 间 喊 ，05， 若 r cs，(a)一 * cs:(a) t eps则 不 插 点 ， 反 之 ， 氏 = 且 喜 鱼 ， 2 计 算已 处 真 实 值 i( 0. ) ; 区 间 103几1 进 行同 样的 操 作 ， 定 义 风， 计 算1 帆) steps: 将 已 知 厂 姆 ) 、 厂 ( 风 ) 和 i( 弓 ) = 1 ， 2，. 一 ， m ( m 为 当 前 插 值 点 的 个 数 ) 代 入 方 程 (2. 3 .11 ) 计 算出 了 (久 ) k = 3 ， 4，.， m s t 月 拓 :r cs. 闷) = r csi 姆) ， 对分出 的每一个子区间 重复s t e p 3 s t印 7:对 分出 的 每