（系统分析与集成专业论文）多时滞递归神经网络的指数稳定性研究.pdf

ly 摘要 摘要 自从递归神经网络提出以来，其稳定性问题一直是神经网络理论界研究的热点这类 神经网络在电路分析、优化计算和联想记忆等领域应用广泛，而各种应用又取决于稳定特 性因此，研究递归神经网络的各种稳定性具有重要的理论和实际意义 本文在激励函数满足全局l i p s c h i t z 条件的情况下，基于线性矩阵不等式技术，采用 l y a p u n o v 函数方法，研究了多时滞递归神经网络的指数稳定性问题，给出了全局指数稳定 判据，而且对指数收敛速率进行了估计全文共分四章内容： 第一章综述了具有优化计算和联想记忆功能的递归神经网络的研究现状主要包括 神经网络的发展历史和常见递归神经网络的类型和研究现状等方面内容，并简要介绍了本 文的主要工作 第二章对全文中使用的符号、定义、假设及相关引理进行了说明 第三章基于线性矩阵不等式技术，运用l y a p u n o v 函数方法，对一类状态多时滞递归 神经网络，提出了一个时滞依赖的全局指数稳定判据，在此基础上给出了指数收敛速率的 估计方法 第四章采用线性矩阵不等式技术，以l y a p u n o v 稳定性理论为依据，对一类具有多时 滞激活函数的递归神经网络进行了稳定性分析，提出了时滞独立的全局指数稳定判据，并 给出了指数收敛速率的估计方法 关键词：递归神经网络；全局指数稳定；多时变时滞；l y a p u n o v 泛函； 线性矩阵不等式( l m i ) a b s t r a c t a b s t r a c t s i n c er e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sw e r ep r o p o s e d ，t h es t a b i l i t yp r o b l e m sb e c o m eh o t s p o to f n e u r a ln e t w o r k st h e o r yr e s e a r c h s u c hn e u r a ln e t w o r k si nt h ec i r c u i ta n a l y s i s ，o p t i m i z a t i o n c a l c u l a t i o na n dt h ea s s o c i a t i v em e m o r ye t c h a v ea p p l i e dw i d e l y ，a n da l lt h ea p p l i c a t i o n sd e p e n d o ns t a b i l i t yp r o p e r t i e s t h e r e f o r e ，t h es t u d i e so nt h es t a b i l i t i e so fr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sh a v e i m p o r t a n ts i g n i f i c a n c eo ft h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a l b a s e do nl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yt e c h n i q u ea n dl y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d ，t h i sp a p e r i n v e s t i g a t e se x p o n e n t i a ls t a b i l i t yp r o b l e mo fr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k s 诹t hm u l t i t i m ed e l a y s ， o b t a i n st h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yc r i t e r i o na n de s t i m a t e se x p o n e n t i a lc o n v e r g e n c er a t ei n t h ec a s eo fg l o b a ll i p s c h i t zc o n d i t i o n a la c t i v a t i o nf u n c t i o n t h e r ea r ef o u rc h a p t e r si nt h i st h e s i s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ep r e s e n tac o m p r e h e n s i v ed e s c r i p t i o no ft h er e s e a r c hs t a t u sa b o u t r e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sw i mo p t i m i z a t i o nc a l c u l a t i o na n da s s o c i a t i v em e m o r yf u n c t i o n s i t m a i n l yi n c l u d e st h ed e v e l o p i n gh i s t o r yo fn e u r a ln e t w o r k s ，c o m m o nt y p e sa n dr e s e a r c hs t a t u so f r e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sa n ds oo n m o r e o v e r ，t h em a i nw o r ko f t h i sp a p e ri sb r i e f l yi n t r o d u c e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h es y m b o l s ，d e f i n i t i o n s ，h y p o t h e s e sa n dr e l a t e dl e m m a su s e di nt h i s i nt h e 廿l i r dc h a p t e r ，b a s e do nt h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yt e c h n o l o g y ，u s i n gl y a p u n o v f u n c t i o nm e t h o d , w ec o n s i d e rat y p eo fs t a t ew i t hm u l t i t i m ed e l a yr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k , p r o p o s eag l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yc r i t e r i o nw i t l ld e l a yd e p e n d e n t , a n dp r o v i d ea l le s t i m a t e m e t h o do fe x p o n e n t i a lc o n v e r g e n c er a t eo nt h i sb a s i s i nt h ef o r t h c h a p t e r ，w ea n a l y z et h es t a b i l i t y o ft h er e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sw i t h m u l t i t i m e d e l a y s a c t i v a t i o n f u n c t i o n s ，g i v ea ne x p o n e n t i a ls t a b i l i t y c r i t e r i o no f d e l a y i n d e p e n d e n t ，a n da l s od e r i v eam e t h o da b o u te s t i m a t i n ge x p o n e n t i a lc o n v e r g e n c er a t eb yu s i n g t h el m i t e c h n o l o g ya n dt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y k e y w o r d s ：r e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k s ；g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ；m u l t i - t i m ev a r y i n gd e l a y s ； l y a p u n o v - k r a s o v s k i if u n c t i o n a l ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) ，pi叶鼍 。 ，”，v 目录 目录 摘要i a b s t r a c t i l 目录 第一章绪论1 1 1 神经网络的主要发展历史1 1 2 神经网络的主要类型2 1 3 递归神经网络动力学模型分类3 1 4 时滞的类型及其对递归神经网络动态特性的影响4 1 5 本论文的主要工作4 第二章预备知识6 2 1 符号说明6 2 2 相关定义和假设6 2 3 相关引理。7 第三章一类状态多时滞递归神经网络的全局指数稳定性1o 3 1 引言1o 3 2 问题描述1 1 3 3 时滞依赖全局指数稳定性结果1 1 3 4 仿真例子与小结16 第四章一类具有多时滞激活函数的递归神经网络的全局指数稳定性18 4 1 引言18 4 2 模型描述18 4 3 全局指数稳定结果19 4 4 仿真例子与小结2 9 结论3 1 参考文献：3 3 致谢：3 7 曲阜师范大学顾：l ：学位论文 第一章绪论弟一早z 百y 匕 1 1 神经网络的主要发展历史 人脑是由极大数量基本单元( 即神经元) 经过复杂的相互连接而形成的一种高度复杂 的、非线性的、并行处理的信息处理系统单个神经元的反应速度是毫秒级，比计算机的 基本单元( 逻辑门) 要低5 6 个数量级由于人脑的神经元数量极大( 约1 0 1 0 个) ，每个神经 元可与几千个其他神经元连接( 总连接数约为6 1 0 3 ) ，对有些问题的处理反而比计算机 快得多 1 同时，在能耗方面，神经网络更具有显著优势可见，其性能要比现代计算机高 得多人工神经网络就是从模拟人脑智能的角度出发，构造一种更接近人类智能的信息处 理系统来解决实际工程和科学研究领域中传统的冯诺依曼计算机难以解决的问题 简言之，人工神经网络( 简称神经网络) 是一种具有大量连接的并行分布的处理器， 它具有通过学习获取知识并解决问题的能力，且知识是分布存储在连接权中( 对应 于生物神经元的突触) ，而不是像常规计算机那样按地址存在特定的存储单元中 3 7 然而，纵观神经网络的发展历程，几经兴衰，可以将其划分为如下几个阶段 2 ，3 第 一阶段是启蒙期( 1 8 9 0 - - 1 9 6 9 年) 1 8 9 0 年，美国心理学家j a m e sw 发表了第一部详细论 述脑结构及功能的专著心理学，对相关学习和联想记忆等基本原理做了开创性的研究 工作1 9 4 3 年，心理学家m c c u l l o c hw s 和数学家p i t t sw 首先从信息处理的角度出发，采 用数理模型的方法对神经细胞的动作进行研究，提出了形式神经元的数学模型，即m p 模型1 9 4 9 年，心理学家h e b bd 0 通过对大脑神经细胞、学习和条件反射的观察和研究， 在其所著的行为组织一书中提出了修正神经元连接强度的方法，即h e b b 规则作为 人工智能的神经网络系统的研究，则是在2 0 世纪5 0 年代末6 0 年代初开始的许多人从工 程的角度研究用于信息处理的神经网络模型以及具有学习能力的模式识别装置1 9 5 8 年，r o s e n b l a t tf 设计发展了m p 模型，提出了多层感知机，即p e r c e p t r o n ，试图模拟动物和 人脑的感知和学习能力应用感知机模型，搞清楚了当时令人们疑惑的两个问题，即信息 是如何存储或记忆的以及存储的信息是如何影响识别和行为的1 9 6 0 年，w i d r o wb 和 h o f f m 从工程角度出发，提出了自适应线性单元模型a d a l i n e ( a d a p t i v el i n e a re l e m e n t ) 及一种有效的网络学习方法，即通常所说的w i d r o w - h o f f 学习规则或称占学习规则第二 阶段为低潮期( 1 9 6 9 1 9 8 2 年) 随着神经网络研究的深入发展，人们遇到了来自认识、应 用和实现等方面的各种困难和迷惑问题，一时难以解决对神经网络的学习能力问题，引 曲阜师范大学硕： ：学位论文 起了学术界的很大争议很多学者放弃了对神经网络的研究兴趣，相应的研究经费支持大 大降低，从而使神经网络的研究陷入低潮第三阶段为复兴期( 1 9 8 2 1 9 8 8 年) 随着超大 规模集成电路的重大发展和并行处理技术的逐渐成熟，当今的超级计算机在大型复杂科 学计算方面显示出巨大的威力，但是人们习以为常的东西却很难使计算机“学会这一 切迫使人们去思考：智能问题是否完全可以由人工智能中的逻辑推理规则来描述? 人脑 的智能是否可以在计算机中重现? 神经网络研究的复兴标志是：1 9 8 2 年，美国加州工学 院生物物理学家h o p f i e l d 教授发表的一篇突破性学术论文 4 ，以及于1 9 8 4 年发表的另 一篇重要论文 5 h o p f i e l d 提出了一种新的神经网络模型，并可以用集成电路实现，很容 易被工程技术人员和计算机科技工作者理解，因此引起了工程技术界的普遍关注尽管在 所提出的网络模型中没有引入太多的新概念，但其以一种新的创造性的方法将这些概念 综合运用，定义了神经网络的“能量函数，给出了网络稳定性的判据，使所提出的网络具 有联想记忆和优化求解问题能力h o p f i e l d 的研究成果为神经计算机( n e u r o e o m p u t e r ) 的 研制奠定了基础，同时开创了神经网络用于联想记忆和优化计算的新途径1 9 8 7 年6 月，i e e e 在美国s a nd i e g o 召开了神经网络国际会议，国际神经网络学会随之成立；1 9 8 8 年1 月，神经网络杂志创刊；1 9 9 0 年3 月， i e e e 神经网络会刊问世；各种学术 期刊的神经网络特刊层出不穷透过这些现象，可以很清楚地看到神经网络研究出现了更 高的热潮第四阶段为发展繁荣期( 1 9 8 8 年至今) 自各种与神经网络研究相关的期刊创 世以来，神经网络的研究得到了空前的发展利用神经网络的各种特性，形成了神经网络 的许多研究方向，进而形成了声势浩大的神经网络研究热潮 1 2 神经网络的主要类型 一个神经网络模型通常由一组输入、输出、神经元和连接权构成根据不同的划分标 准可将神经网络划分成不同的种类按连接方式来分主要有两种：前馈神经网络和递归 ( 反馈) 神经网络前馈网络主要是函数映射，可用于模式识别和函数逼近递归神经网络 因为有反馈的存在，所以它是一个非线性动力系统，并且可用电子线路来实现联想记忆和 求解优化等问题由于神经网络的记忆信息都存储在连接权上，根据如何获取连接权来划 分，一般可分为有监督神经网络、无监督神经网络和固定权值神经网络 6 有监督学习需 要外界存在一个“教师”，进而可对一组给定的输入提供应有的输出结果无监督学习不 存在外界“教师 ，学习系统完全按照环境所提供数据的某些统计规律调节自身参数或结 2 曲阜师范大学硕士学位论文 构，以表示外部输入的某种固有特征与有监督和无监督神经网络相比，固定权值神经网 络不需要进行学习，权值是根据要解决的问题事先确定的具有反馈的固定权值递归神经 网络，如目前受到广泛研究的h o p f i e l d 网络、细胞神经网络 1 1 、双向联想记忆网络 1 2 和c o h e n g r o s s b e r g 网络 1 3 等，主要应用在优化计算、联想记忆和模式识别等方面 1 ，2 ，3 ，6 ，7 由于递归神经网络是一个非线性动力系统，在优化计算、联想记忆等方面具有显著优 势，自从h o p f i e l d 提出了用来求解优化问题和联想记忆的h o p f i e l d 递归衬i 经网络并给出 稳定性证明和电路实现以来，近几年关于递归神经网络动态特性的研究，如平衡点的稳定 性、极限环、分岔、振荡和混沌吸引子等，就没有间断过，到目前为止仍为神经网络研究 领域的热点 1 3 递归神经网络动力学模型分类 因为递归神经网络具有固定的权值、外部的输入和内部的状态，所以可将其看作以权 值和外部输入为参数的关于内部状态的行为动力学，也可以说递归神经网络是在权矩阵 空间和输入输出状态空间的d i c a r d 乘积下的一个动力系统 7 神经网络动力学模型有多种，每种模型都有它特有的动力学行为和特征根据基本变 量是神经元状态( 指神经元外部状态) 或局部场状态( 指神经元内部状态) ，或者从外部状 态和内部状态作为建模方法来分，可将神经网络分为两类：静态神经网络模型 3 9 ， 4 1 和局部场神经网络模型( 即动态神经网络模型) 2 1 ， 4 5 这两种模型在递归神经网络中 代表两类基本的建模方法局部场模型包括h o p f i e l d 型神经网络( 即原始h o p f i e l d 神经网 络及各种变形的h o p f i e l d 神经网络) 和细胞神经网络模型 1 0 等静态场模型包括盒中脑 状态模型 8 和优化型神经网络模型 9 根据处理信号的不同方式，可将神经网络分为连 续性系统和离散性系统根据外部输入信号的特点，可将神经网络分为自治( 常值输入) 系 统和非自治( 时变输入) 系统根据时滞的有无，可将神经网络分为无时滞系统和有时滞系 统根据神经网络在硬件实现中产生的时滞的不同，可将神经网络分为定常时滞和时变时 滞系统、单时滞和多时滞系统( 包括离散时滞系统) 、分布时滞和中立型时滞系统等 2 2 总之，根据不同的划分标准，形成了大量的神经网络模型，这些模型都是从不同侧面来反 映神经网络的功能和特性 3 曲睁师范大学硕：i ：学位论文 1 4 时滞的类型及其对递归神经网络动态特性的影响 众所周知，在神经网络的电子实现中，时滞是不可避免的虽然定常时滞网络模型能 够很好地逼近由少量胞元组成的电路但在大多数情况下，时滞是时变的，并且可能延伸 到整个过去历史这样，按照不同的划分标准，时滞可以分为不同的类型按是否随时间变 化来分有：定常时滞和时变时滞；按时滞的多少来分有：单时滞和多时滞多时滞又有几 种类型，例如在单层网络结构或多层网络结构的情况下，按照各传输通道中时滞是否相同 来分有f ，型和r ，型两种需要注意的是，即使每层内的传输时滞是相同的，不同层中的传 输时滞一般也是不同的针对网络的过去历史信息对当前的状态是否有影响，可分为分布 时滞和非分布时滞( 即离散时滞) 对于时滞系统，所得到的稳定判据通常有时滞独立稳定判据和时滞依赖稳定判据两 种不同表现形式一般来讲，时滞独立稳定判据对时滞的大小及时滞的变化率没有限制， 而时滞依赖稳定判据要依赖于时滞的大小或其变化率对于定常时滞情况来讲，时滞独立 稳定性判据对于存在大时滞的情况，结果一般不保守但对于存在小时滞的情况，结果就 很保守时滞依赖稳定性判据对于存在小时滞的情况，结果一般不保守但对于大时滞的 情况，结果将很保守而对于时变时滞的情况，虽然时滞独立稳定性判据( 例如基于y o u n g 不等式和h a l a n a y 不等式等代数不等式所得到的结果) 完全不依赖时滞的任何信息( 例如 时变时滞的大小和时变时滞的变化率) ，但是此时的稳定性判据往往因为包含大量的可调 参数而不易验证同时，由于对连接权系数进行绝对值运算，神经元的抑制作用也得不到 体现，进而又增加了保守性不论采用何种分析手段，保守性和可验证性是分析时变时滞 神经网络稳定性不可调和的矛盾，进而也是研究时变时滞神经网络稳定性比研究定常时 滞神经网络稳定性要困难的缘由所在 1 5 本论文的主要工作 近十年来，时滞局域递归神经网络的稳定性分析的研究成果显著例如，文献 2 3 - 2 6 就研究了定常时滞神经网络的全局渐近稳定性值得注意的是，在实际的递归神经网络中， 通常情况下时滞往往是随着时间的变化而变化的因此，时变时滞更为普遍在网络的运 行过程中，定常时滞往往是时变时滞的一种理想化的近似所以，研究时变时滞递归神经 网络的稳定性比研究定常时滞递归神经网络的稳定性更具有实际意义除此之外，递归神 4 曲阜师范大学硕士学位论文 经网络的平衡点收敛速度的快慢是衡量网络性能的一个重要指标为了降低神经计算所 需要的时间，在递归神经网络的设计中，通常要求网络中的平衡点具有指数收敛性为此， 本论文在激励函数满足全局l i p s c h i t z 连续的条件下，研究了一类多时变时滞局域递归神 经网络平衡点的存在唯一性和全局指数稳定性鉴于具有时滞的神经网络系统，所得到的 稳定判据通常有时滞独立稳定判据和时滞依赖稳定判据两种不同形式，本文第三章就是 针对一类状态多时滞递归神经网络，给出了保证平衡点全局指数稳定的时滞依赖稳定判 据而第四章则研究了一类具有多时滞激励函数的神经网络不依赖于时滞大小的全局指 数稳定判据该模型包含了一大类神经网络模型，具有一定的代表性论文运用 l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函方法和线性矩阵不等式( l m i ) 技术得到了保证系统全局指数稳 定的充分判据，进而以l m i 形式给出，易于用m a t l a b 中的l m i 工具箱进行求解 5 曲阜师范大学硕士学位论文 第二章预备知识 在本章，将对全文中使用的部分符号、定义、假设及相关引理进行陈述和简单证明， 以便在后面的章节中使用 2 1 符号说明 ，b ，z m ( a ) ，丸( b ) 和0 8 0 = ( b r b ) 分别表示方矩阵b 的转置、逆、最大特征 值、最小特征值和欧几里得范数，b 0 ( b o 使得对于任意的考，r ，考g ，激励函数毋( “) 满足如下有界扇区条件( 或单调非减的全局l i p s c h i t z 条件) 。笔竽铷 亿， 其中，6 ， 0 称作l i p s c h i t z 常数，= 1 ，2 ，1 jt 考虑如下神经网络系统 d u _ ( t ) = - a “( ，) + w g ( “) + 形g ( “( f f ( f ) ) ) + u ， ( 2 2 ) d t 其中，”( f ) = ( ( ，) ，u 2 ( f ) ，u 。( ，) ) r r ”表示神经网络状态向量，a = d i a g ( a i ，口2 ，) 表示 自反馈矩阵，口，表示自反馈系数( 或无源耗散率) ，g ) = ( g 。( ) ，g ：( 甜：) 9 t 9 晶( 材。) ) 7 表示 满足假设2 1 的激励函数，w = ( ) 删。表示无时滞状态的连接权矩阵( 或瞬时的连接权矩 阵) ，联= ( w 1 。) 脚表示与时滞状态相关的时滞连接权矩阵，f 0 表示信号传输时 滞，u = ( u ，u ) 7 表示外部常值输入网络状态初始条件为坼( f ) = 咖( f ) ， 呵f 0 ，汪1 ，2 ，刀，其中，咖= ( 咖，也，九) 7 c 称作网络的初始值，c = c ( - - r ，o 】，尺) 表 示将区间【一r ，o 】映射到实空间r ”的连续函数的b a n a c h 空间，且记恻l = s u p ( p ) l i _ f ：- p ) o 定义2 1 考虑神经网络系统( 2 2 ) ，称平衡点= ( ”? ，甜：，”：) r r ”为系统( 2 2 ) 的定常解，即满足代数方程a u = w g ( u ) + 彤g ( “) + u ；称平衡点“是全局渐近稳定的， 曲阜师范火学硕一i ：学位论文 如果该平衡点是l y a p u n o v 意义下局部稳定的且是全局吸引的；称平衡点u 是指数稳定 的，如果存在正常数七 o 和y o 使得忱o - u | i r ”， ( 2 3 ) 其中，= x o + s ) ，- h s 0 ，假设存在连续，非负和非减的连续函数v i ( j ) 0 ，v a s ) o 和 v 3 ( s ) 0i iv t ( 0 ) = 吃( 0 ) = 0 ，若存在连续泛函y ( ) ：c ( 一h ，0 】，r ) 哼r 满足如下条件 ( a ) v i ( 0 x 1 1 ) y ( 薯) v 2 ( 0 x 1 1 ) ； ( b ) 掣蚋( ) ，掣为沿着式( 2 3 ) 的解的导数 ( c ) v 1 ( s ) 专c o ，如果s 专o 。； 则称式( 2 3 ) 的零解是全局渐近稳定的，称y ( 薯) 为l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函 特别地，常用的二次型l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函具有如下形式 y ( ) = x r ( t ) p x ( t ) + 【。，( 考) ( 考) 必， ( 2 4 ) 其中，p 0 和q 0 2 3 相关引理 引理2 1 给定任意两个向量置yer ”，则存在两个适维矩阵p 和q = q 7 0 ，两个 正常数m o ，刀 0 使得下式成立 一，矩x7 q + 2 ，7 p y n 2 y 7 p r ( 聊q ) p y ( 2 5 ) 证明因为 一m x 7 q + 2 从7 尸】， = - 【( 脚q ) 1 佗x - ( m q ) - 1 彪( ，z p ) 】，】7 【( m q ) 2 x 一( 聊q ) _ 1 7 2 ( ，炉) y 1 + 刀2 j ，r p7 ( 聊q ) 一1 p y n 2 y 7 p 7 ( 朋q ) - 1 尸】， 7 曲阜师范人学硕士学位论文 则引理2 1 显然成立 引理2 2 1 4 给定任意两个适维实矩阵彳，b 和一个正标量h 0 ，则存在一适维矩 阵q = q 7 0 ，使得下列不等式成立 a 了b + b r a h a7 幽+ _ 1 b7 q - 1 b ( 2 6 ) 证明因为 定义矩阵 则 三三 q = ( q 2 ) 7 ( q 2 ) ， ! 一! c = q z ( h 2 a h2 q b ) ， llll _一_一一_一 一 c 1 c = ( 2 a 1 - h2 8 1 q 叫) q ( 办2 a - h2 q 川b ) = h a r q a b 7 a a r b + h b r q 。b 0 ， 进一步整理，即可得到式( 2 6 ) 引理2 3 假设函数g ( 扰) 满足o 型塑二丛堕p ，“，1 ，尺，甜l ，p 0 ，则函数 f ( x ) = g ( x + u ) - g ( u ) 满足下述条件 则 证明因为 此外， 则引理2 3 得证 f | 厂( s 灿矿1 2 0 0 ， 帆x ) l l - pl x l i r 厂。) 凼l i f 厂( s ) 凼0 l iro 厂。, l d s l z 0rp 怙。凼l l j 1 p 材2 ， 8 ( 2 7 ) 。 曲阜师范人学硕：l 学位论文 则 引理2 4 对于给定的适维矩阵x 和单位矩阵，如果0 x 0 1 ，则 | | ( ，_ 酊1 i i 南- ( 2 8 ) 证明因为 这样， ( ，一x ) ( ，一x ) 一= i ， ( ，一x ) = ( ，一x + x ) ( ，一x ) 。1 = ( ，一x ) ( ，一x ) 。1 + x ( ，一x ) 一1 = ，+ x ( ，一x ) ， 一x ) 。i i - - 1 1 + i l x li ( - x ) 1 i l ， 进一步整理即得引理2 4 引理2 5( s c h u r 补引理) 3 6 对于给定的对称矩阵 q = 巨卧。， 其中q ，是一个对称矩阵，江1 ，2 ，则下列条件等价 ( a ) q 0 ； ( b ) q l l orq 2 2 一醴瓯1q 1 2 0 ； ( c ) q 2 2 0 为有界时变时滞，靠( f ) 吃， t ( f ) 心 0 ，q 0 ( 汪l ，2 ，n ) 7 i ：i e 对角矩阵d = a f a g ( a , ，畋，以) 0 ，h 0 ，使下面的不等式成立 = l l 尸一a d + a h 其中“ 表示对称项， p 彤 d 彤 - 2 ( 1 一p 1 ) 口一2 地q l p w n d 0 一2 ( 1 一肛j v ) 8 。2 q 0 ( 3 2 ) 2 呜。；。 ； 曲阜师范大学硕： ：学位论文 l i = 2 k p 一剐- a p + 2 k d a 2 2 = 2 q + d w o + 略d - 2 h 则系统( 3 1 ) 的平衡点u 是全局指数稳定的，且 其中， z = 札( 尸) + 善n ( 7 q f ) 三二呈；竺兰+ k ( 。) ( ) ( 3 3 ) 证明： 取坐标变换x ( ) = “( ) 一u ，将系统( 3 1 ) 的平衡点u 变换为如下系统的原点 警= 喇卅w o f ( m ) ) + 善n 唧m 哪) ) ) ， ( 3 4 ) 其中初始条件x ( f ) = 妒( f ) ，t e l h ，o 】，h = m a x ( h , ) ，其范数i i 1 1 - - s u pi i , b o ) l i ； 一 ：日s o x 0 ) = ( j c l ( f ) ，屯( ，) ，矗( f ) ) r 表示系统( 3 4 ) 的状态向量，乃( 一( 嘞= 毋( _ ( ，) + “；) 一g ( 甜；) r l ( o ) = 0 ，j = l ，2 ，刀，显然厂0 ( f ) ) = ( z ( j c l ) ，正( 吒) ，z ( 吒) ) 7 满足 o 掣6 ，_ l 2 ，丹 ( 3 5 ) 二 j o 。 因为线性坐标变换不改变系统的性质，所以，只要变换系统( 3 4 ) 的原点是全局指数 稳定的，则系统( 3 1 ) 的唯一平衡点z ，就是全局指数稳定的下面证明系统( 3 4 ) 的原点 是全局指数稳定的 考虑如下l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函 n y ( 删= e 2 k x r ( f ) ( f ) + 2 善f f ( ，2 b 厂r ( 删q m ( s ) ) 凼 亿2 打兰i = 1 z r z ( j ) 出 沿着系统( 3 4 ) 的轨迹对泛函( 3 6 ) 求导，得 1 2 ( 3 6 ) 曲阜师范火学硕：l ：学位论文 矿( x ( f ) ) = 2 k e 2 打，( t ) p x ( t ) + 2 e 2 灯，( f ) 戥( f ) + 2 p 2 向f 7 ( x ( r ) ) q 厂( x ( f ) ) 一2 ( 1 - i ，( f ) ) p 2 刚m f ( x ( t - ，( ，) ) ) q ，( x ( 卜f 以) ) ) “妇2 打窆i = 1 碣r z ( j ) 幽+ 2 e t m 厂7 ( x ( f ) ) 脱( f ) 根据引理2 3 ，r z ( s ) 凼圭4 # ( f ) ，f = 1 ，2 ，刀，从而 根据式( 3 5 ) 可得 ( 3 7 ) 4 乜2 向主t = lz r z ( s ) 出2 妇2 矗，( f ) 。缸( f ) ( 3 8 ) 0 2 e 2 灯f r ( x o ) ) 日 x ( f ) 一厂( x o ) ) 】 由式( 3 7 ) 一( 3 9 ) 得到 矿( x ( f ) ) 2 k e 2 打x ro ) p x ( f ) 一2 e 2 矗x r ( t ) p a x ( t ) + 2 k e 2 白x r ( t ) a d x ( t ) + 2 e 2 矗x 7 ( t ) p w o f ( x ( t ) ) + 2 e 2 打x r ( f ) p w f f ( x ( t - v ，( f ) ) ) - 2 e 2 打f r ( x ( t ) ) d a x ( t ) + 2 e 2 打f r ( x ( t ) ) h a x ( t ) - 2 e 2 打f r ( x ( f ) ) 可( x ( f ) ) + 2 口2 缸f r ( x ( f ) ) d w o f ( x ( t ) ) + 2 e 2 b 厂7 ( x c t ) ) zd w f f ( x ( t - v ，( f ) ) ) + 2 e 2 知f r ( x ( f ) ) q 厂( x ( ，) ) - 2 e 2 白( 1 - t , ) e - 2 执f 7 ( x ( t - v ，( f ) ) ) q 厂( x ( r - q ( r ) ) ) = e 2 k t x r ( t ) ( 2 k p p a a p + 2 k a d ) x ( t ) ( 3 9 ) + 2 e 2 打x r ( t ) ( p w o a d + a h ) f ( x ( t ) ) + 2 e 2 打，( f ) p w j ( x ( t - v ，( f ) ) ) + p 2 矗f 7 ( x ( t ) )