毕业设计（论文）-致密性定理的应用研究.doc

学士学位论文致密性定理的应用研究学院、专业 数学科学学院 数学与应用数学研究方向函数论学生姓名学号8指导教师姓名指导教师职称讲师年 月 日 数学科学学院本科毕业论文淮北师范大学本科生毕业论文（设计）诚信承诺书本人郑重承诺所呈交的毕业论文（设计） 致密性定理的应用研究 ，是在指导教师 的指导下严格按照学校和学院有关规定完成的本人在毕业论文（设计）中引用他人的观点和参考资料均加以注释和说明本人承诺在毕业论文（设计）选题和研究过程中没有抄袭他人的研究成果和伪造相关数据等行为，若有抄袭行为，由本人承担一切责任 承诺人：2012年级数学与应用数学 专业 签 名： 年 月 日致密性定理的应用研究摘要致密性定理是数学分析中实数基本定理的其中一个，在实数研究中占据特殊的地位，与有限覆盖定理，区间套定理，单调有界定理，柯西收敛定理，确界定理，聚点定理等定理一起构成实数完备性整个系统，这几个定理相互可以等价证明故本文开始先对其进行研究讨论，在致密性定理与其他几个实数基本定理的循环证明中，采用了多种数学证明中的常见方法，主要以反证法为主，还有就是对区间进行分割讨论对极限的求证和数列性质的理解具有很重要的意义接着以致密性的应用为重点研究对象，考察其在证明连续函数的一些性质上的应用，以有界性，最值性为基础，一些具体例题更能体现，比如连续函数的一致连续的证明等等致密性定理作为实数完备性的一个基础构成，在整个数分的学习上都是既基础又至关重要，需要不断探讨研究，加深理解，方便运用关键词：致密性定理；完备性；连续性The Application and Research of the Compactness TheoremABSTRACTCompactness theorem is one of the real number fundamental theorem in mathematical analysisIt occupies an important position in real number research，composing the integrated system of completeness of real number with finite coveringtheorem，nested sequencetheorem，bounded monotonic principle，Cauchy convergence theorem，definite bound theorem and accumulation point theoremThese therorems can be proven equivalently，so which requires further discussion and studyThere are many methods of mathematical proof adopted in the circular demonstration between compactness theorem and other real number fundamental principles，including reduction and segmentation discussion，which is crucial to the proof of limit and understanding of property of number sequenceThen great emphasis will be put on the application of compactness in proving some properties of continuous function，with boundedness and extremum as the baseSome other specific cases also demonstrate it well，such as the consistent and continuous confirmation of continuous functionAs the basic element of real number completeness，compactnesstheorem ia of great significance to the study of mathematical analysis，which requires futher research and understanding so as to be used in a convenient wayKey words： compactness theorem；the integrated system of completeness of real number；the continuity of real number目录摘要IABSTRACTII目录III一、引言1二、基础知识1三、致密性定理的研究2（一）利用其他几个实数完备性定理来证明致密性定理21、利用聚点定理证明致密性定理22、利用确界定理证明致密性定理433、利用闭区间套定理证明致密性定理34、利用有限覆盖定理证明致密性定理545、利用单调有界定理证明致密性定理646、利用柯西收敛准则证明致密性定理5（二）利用致密性定理证明其他几个实数完备性定理51、致密性定理证明单调有界定理52、致密性定理证明聚点定理63、致密性定理证明确界定理64、致密性定理证明有限覆盖定理65、致密性定理证明确界定理76、致密性定理证明柯西收敛准则7四、致密性定理的应用81、证明连续函数的性质782、致密性定理的实例应用10五、总结14参考文献15IV一、引言致密性定理是研究实数性质的重要定理，也是聚点定理的推论，同时又称维尔斯特拉斯定理，内容是有界数列就会有收敛子列在十七世纪的时候，大数学家Newton、Leibniz 发明了微积分，这种工具极大的推动了数学的发展，在一方面，微积分作为数学工具应用十分广泛，极大的推动了数学乃至社会的进步与发展可是在另一方面，它又存在巨大的逻辑问题为了解决这些矛盾，众多数学家前赴后继，终于提出来实数完备性的几个基本定理，致密性定理就是其中之一致密性定理不仅仅在理论上解决了实数完备性的问题，还在极限论，连续函数的具体应用上有着重要研究价值为了更深入的掌握致密性定理，以便更好的运用它，这篇论文先从如何证明致密性定理出发，分别用了闭区间套定理，聚点定理，确界原理，单调有界定理，有限覆盖定理，柯西收敛准则来证明致密性定理，在此过程可以看到一些在数学分析中常见的证明方法，接着这篇论文试着用致密性定理去回证上述的那几个实数完备性定理，其中反证法是最为常用的如果对其他定理也验证的话，就能得到一整个等价的循环证明经过这两部分的证明，大致上可以初步掌握致密性定理的相关知识本文研究的重点放在了致密性定理的应用上，毕竟定理是要拿来用的，开始先讨论了有关连续函数在闭区间上的有界性和最值性，最后的部分体现了本文独立探究的成果，有关如何验证连续函数的一致连续，以及函数列和其子列进一步的研究等等，这些均属于本文独立探究的成果，也是致密性定理具体应用的实例 二、基础知识本文开始先介绍几个与致密性定理有重要联系的定理，这些定理在一般教科书上都能找到（1）确界定理1：有界数列必有确界（2）单调有界定理1：单调有界数列必有极限（3）区间套定理2：一闭区间列满足以下条件：1） ，；2）则，且是所有区间的公共点（4）致密性定理1：有界数列必有收敛子列（5）聚点定理1：有界无限点集必有聚点（6）有限覆盖定理1：设是的一个开覆盖，则在中必可选出有限个开区间来覆盖（7）柯西收敛准则：数列收敛的充分必要条件是柯西列，即，有了解了这几个实数的基本定理，接下来便是对致密性定理的探究第一步，先探究如何用致密性定理证明其他几个基本定理三、致密性定理的研究（一）利用其他几个实数完备性定理来证明致密性定理1、利用聚点定理证明致密性定理3设是有界无穷数列，那么对该数列进行讨论若是由有限个数重复出现无数次构成，不妨设就是这有限个数中的某一个数，就是说在中重复出现无数次，假设在该数列中出现的项数为显然有为常数列，同时有即可证明 是的某一个收敛子列如果是由无穷多个不同的数构成的，因为点集是有界无穷点集，那么由聚点定理，可以得到有界无穷点列必有聚点，不妨记为取中的一个子列，使其收敛于；因为是的聚点，由聚点定理可知，对于中，必有的无穷项，则存在，使得又由于为任意自然数，那么必有的一个子列，因为，所以有，当时，即也就是说，必有收敛子列，命题得证2、利用确界定理证明致密性定理4不妨设是有界数列令因为有界，那么显然非空且有界，则由确界定理，有界必有确界即存在，使得那么对任意，使得不是的上界这就意味着在中比大的项有无数个是的上界中比大的项只有有限个，在中有的无穷多项就是说，对于， 对， ，即； ，有； 取，有当时，有即存在子列且该子列收敛则致密性定理得证3、利用闭区间套定理证明致密性定理首先给出闭区间套的定义；设为一系列闭区间，若满足以下两个条件；（1），；（2）则称为闭区间套 设仍为有界无穷数列，现已知，使得假设没有的有限子覆盖，不妨令，将其二等分那么必有一个区间含有的无穷项记该区间为，同样对其二等分，保留含有的那部分区间，记为如此重复下去，可以得到闭区间套满足：，有包含的无穷多项，由闭区间套定理，有且仅有一个，使得因此，不妨取，存在，使得这时候，存在；取，存在，使得；归纳可得，取，存在，使得由于含有的无穷多项，可以得到，存在又，由闭区间套定理，有即存在收敛子列，换句话说，致密性定理得证4、利用有限覆盖定理证明致密性定理5首先取为有界无穷数列，设对，那么可证，对，必然有包含的无限项若不然，则对，使得含的有限项下证此假设不成立：设是一个覆盖由有限覆盖定理可知，闭区间的任意覆盖必然存在有限个子覆盖那么中存在有限个开区间，其中任意开区间都只含有的有限项然而，在前面我们已经定义了，这就产生矛盾了所以上述假设不成立，那么就是说，对，必然有包含的无限项在此情况下，不妨令，则，同时有显然这就可以说明是的子列，并收敛于综上述，命题得证5、利用单调有界定理证明致密性定理6首先有，设是有界无穷数列，那么包含的无限项记，将其二等分，取中点，若包含的无限项，那么取，否则取，以此进行下去，取，若包含的无穷多项，则令，否则取，不论哪种情况下，都有 ，我们注意到含有的无穷多项，每一次分割都对应一个，因此，得到的子列以及数列、由单调有界定理可知，和必然收敛同时有又，那么由迫敛性可知，收敛，即致密性定理得证6、利用柯西收敛准则证明致密性定理一个数列收敛的充要条件是，都有在这里先取为有界无穷数列若是常数列，那么显然该数列有收敛子列，也就说明致密性得证若不然，不妨假设任意一子列均不收敛，由柯西收敛定理的逆否命题，即， ，当时，有这里，我们不妨取，任意取一个单调递增子列，那么显然有，则，又由的任意性，可以看出，无上界，这与前文一开始的假设数列是有界数列矛盾所以，该数列必然存在收敛子列，即致密性定理得证通过这部分的内容，我们可以掌握致密性定理是如何被证明的，下面我们尝试用致密性定理回证这几个定理（二）利用致密性定理证明其他几个实数完备性定理1、致密性定理证明单调有界定理 假设是单调递增的有界数列，那么由致密性定理可知，必存在收敛子列，不妨设其收敛于，即由定义，对，当时，有因为是单调递增数列，那么对，有，所以有显然可得也是的极限，即单调有界有极限命题得证 同理易证当是单调递减有界数列的情形2、致密性定理证明聚点定理设是有界无穷点集，那么取其中互异点组成数列，由致密性定理，存在收敛子列，记其极限为，即由定义，当时，有因为是由互异点组成的，那么由聚点的定义可知，即为的聚点，所以聚点定理得证3、致密性定理证明确界定理是闭区间套，则有，显然和分别为单调递增，单调递减数列，同时仍然是有界数列，那么由单调有界定理，这两个数列必然收敛有极限，又由致密性定理，两个数列都存在收敛子列，不妨设的收敛子列为，并假设其极限为，即显然子列收敛极限必然跟原数列一样，由闭区间套定义，得，进而有显然子列的单调性跟原数列保持一致，由和的单调性， 即，有又，使得那么，有下证的唯一性假设还存在，使得即，有又因为是闭区间套，那么有即得所以闭区间套定理得证4、致密性定理证明有限覆盖定理设为一闭区间，为其一开覆盖，假设有限覆盖定理不成立，也就是说任意取的开区间，都无法构成的开覆盖接下来推翻该假设，不妨将其二等分，得到两个区间，这两个闭区间肯定存在某一个使得定理结论对其不成立，不妨记为定理结论对其不成立的那个区间再对二等分，同样得到上述过程如此进行下去，可以得到闭区间套，且每个都不能被有限覆盖由有界，根据致密性定理，有收敛子列，记，又由闭区间套的性质，显然可得则有易知因为是的覆盖，所以存在，且使得又则能够找到一个足够大的，使得这与不能被覆盖矛盾，故原定理成立，即有限覆盖定理得证5、致密性定理证明确界定理设非空有上界，使得将二等分，得到两个闭区间，这两个区间必然有一个含有的点，若为这个包含的点的区间，则记其为否则，记为对再均分，记含有中点的那部分为，按照这个步骤重复下去得到一个闭区间套，其中任意闭区间均包含的点显然数列有上界，由致密性定理可知， 必然存在收敛子列，且假设则易证即为的上确界事实上，由，得到又由闭区间套定义以及所以那么有，对上述，同时，使得又存在，使得由确界定义可知，即为的上确界于是，确界定理得证6、致密性定理证明柯西收敛准则只用证充分性即可为柯西列，有那么，则不妨取因此，有，即为有界数列，由致密性定理，必然存在收敛子列令由定义，有，有即收敛所以柯西收敛准则得证这样，我们初步掌握了致密性定理是如何证明其他几个定理，再结合第一部分，致密性定理在实数完备性中的作用也得以看出而且，我们在数学分析中的学习，不仅仅是定理本身的证明，还有定理的运用，接下来我们就探究致密性定理是怎么证明连续函数的性质的四、致密性定理的应用1、证明连续函数的性质7有界性：若是闭区间上的连续函数，则在必有界证明 反证法假设在上无界，那么，总能找到对应的，使得，这样，对应得到一个数列显然，这是个有界数列由致密性定理可知，必有收敛子列进一步假设其极限为，即因为由假设无界，所以有根据子列的性质，很容易得到，但是又因为是连续函数，所以有而子列的极限是，则这就与假设矛盾了，所以可知在上有界最值性（最大值，最小值）8：如果在上连续，那么在一定有最大值和最小值证明 由上述性质，在闭区间上有界，那么由确界定理，有界必有确界，则集合有确界，不妨设和分别为的上下确界，在这里，我们先证最小值，即证在取得的最小值为因为是的下确界，那么对于任意的自然数，存在，使得必然成立又因为是在上的下确界，所以有，由迫敛性可知又因为取任意自然数，每个对应一个，这样我们得到有界数列由致密性定理可知，有收敛子列，设其极限为，即由题设，在连续，则所以有这样也就证明了是在的最小值同理可证是在的最大值因为是在上的上确界，那么对于任意自然数，总能找到，且使得成立同时由于是在的上确界，故有继而由迫敛性，得到由于每个自然数对应一个，则有有界数列根据致密性定理，我们可以得到存在一个收敛子列，并设其极限为，即因为在连续，则有进一步有即证是在上的最大值综上述，连续函数在闭区间上的最值性得证一致连续性9：如果在闭区间连续，那么在上一致收敛证明 反证法假设在上非一致收敛，也就是说，存在，任意，在存在、，尽管存在，然而在下述过程中，不妨取，对应存在 ，尽管，但是；，对应存在，尽管，但是； ，对应存在，尽管，但如此进行下来，我们可以得到两个数列，显然，这两个数列被包含，以为研究对象，即该数列有界，那么由致密性定理得知， 必定存在收敛子列设其极限为，即同理也有另一方面，有在连续，即于是有这样得到然而，这与矛盾故假设不成立，即函数在闭区间上一致连续2、致密性定理的实例应用首先，我们先引入这样一个命题：命题如果数列无界，那么必有子列，使得称此定理为下文中的引理下证此引理证明 因为无界，那么对任意正整数，总能找到某个正整数，使得当k时，有现取，当1时，有1继续取，存在正整数（如果不存在这样的，使得，这就与相矛盾）一直进行下去，我们可以得到的一个子列，使得，即进一步，我们可以得到，如果说无上界，那么就有，如果无下界，那么就有由上述定理再加上致密性定理，我们可以证明接下来的几个结论）如果是一个无界且非无穷大的数列，那么它必然存在两个子列，使得（是常数），证明 由已知，是一个非无穷大的数列，那么总能找到，对任意自然数，存在自然数，使得不妨先取，当时，有再取，当时，有如此进行下去，我们得到一个的子列，该子列满足在这里，由致密性定理，我们很容易看到存在一个收敛子列，记其极限为，则显然的子列仍然是的子列，那么结论一半已经证明了再来证明另一半我们从抽掉了子列，那么它剩下来的子列肯定是无界的，记其剩下的子列为，若不然，则称有界，又有界，而题设是一个无界数列，这就相互矛盾了所以子列必然无界，由上述引理可知， 存在子列，使得综上述，结论得证2）如果是一个有界但是不收敛的数列，那么它必有两个收敛子列，极限不同，即，证明 因为有界，那么由致密性定理，必然存在收敛子列，令又因为是以个不收敛的数列，那么就是存在，对任意，当时，有那么在这个区间之外还有无穷个点，记这无穷个点组成的数列为，因为有界，那么显然也有界，由致密性定理很容易得到，在这里，显然 3）设为连续映射， 令，证明：数列收敛的充分必要条件是证明 在这里，我们主要讨论致密性定理的应用故只证充分性下用反证法 如果是发散数列，那么存在，使得，且（由上题的结论可知）不妨设由的连续性可知，往证对均有倘若不然，则存在，使得，不妨设（若，同理可证）因为在点连续，所以存在，使得， （#）都成立由条件，对上述，存在，使得有在这里我们记，注意到是子列的极限，故总使得记是满足上述条件的最小正整数，则有 = （*）现在因为，同时因为（#）得到这与（*）矛盾 再说明中结论的不合理性 如果对任意的都有，则必有否则就会有这与分别为子列的极限矛盾因此必定是往证当充分大时，只能有（或者）倘若不然，则与均含有中无穷多项，于是对，使得而（或者是而），如此便有这与题设条件矛盾现不妨设当充分大的时候，但这又与是的某一个子列的极限相矛盾综上所述，在题设条件下数列必定收敛4）设在上连续，又有，使得，证明：存在，使得证明 因为，所以是一个有界数列，由致密性定理， 存在收敛子列，且设因为是闭区间，则有由于，又因为归结原则，可得到因为是上的连续函数，从而仍由归结原则得5）如果是定义在上每一点都局部有界的函数，那么在整个闭区间也有界证明 反证法假设在上无界，即对，存在，使得；对，存在，使得对，存在，使得这样得到的一个子列6）设函数在上连续，且有唯一的最值点，若有数列且证明：证明 反证法如果，则存在以及，使得，由此可知，为有界数列，由致密性定理可知必有收敛子列为了方便，不妨记其子列为其本身，并记由的构造可知又在上连续，故这与是唯一的最值点矛盾，从而必有7）数列有界的充要条件是的任意子列均有收敛子列证明 先证必要性因为是有界的，所以它的子列肯定也是有界的那么由致密性定理，子列必然存在收敛子列再证充分性，反证法假设为无界，那么由引理，必然存在子列，使得与题设的的子列均收敛相矛盾所以有界即充分性得证8） 函数在有界区间上一致连续当为上任意一个柯西列时，也是柯西列证明 由于本论文主要研究致密性定理，故对该题只证充分性，用反证法即可如果在非