（通信与信息系统专业论文）自适应回波抵消器的研究与仿真.pdf

摘要 摘要 回波( e c h o ) 是原始信号经过延时和形变被反射回到信源的一种现象，是 现代通信网中一个不可避免的问题，对于回波的研究一直是通信领域的一个重 要课题。 本文阐述了通信中回波的产生原因，讨论了回波抵消的原理，在对自适应 滤波理论进行学习的基础上，着重研究了最小均方自适应算法，即l m s 算法， 借助仿真工具s i m u l i n k ，对电话通信中的回波抵消这一具体课题进行了较为深 入的研究分析。 关键字：自适应滤波回波抵消最小均方 a b s t r a c t a b s t r a c t e c h oi sa p h e n o m e n o nt h a tt h eo r i g i n a ls i g n a lr e t u r nb a c kt ot h es i g n a ls o u r c e a f t e rb ed e l a y e da n dd e f o r m a t e d i ti sai n e v i t a b l e p r o b l e mi n t h em o d e m c o m m u n i c a t i o nn e t w o r k e c h oc a n c e l l a t i o ni sa ni m p o r t a n ts u b j e c ti nt h ef i e l do f c o m m u n i c a t i o n i n t h i sp a p e r , t h ep o s s i b l ep l a c e sw h e r ee c h oi st o o kp l a c ef i r e a n a l y z e di n c o m m u n i c a t i o nn e t w o r ka n dt h ep r i n c i p l eo fe c h oc a n c e l l a t i o ni sd i s c u s s e d l e a s t m e a ns q u a r e ( l m s ) a l g o r i t h mi ss t u d i e da f t e rl e a r n i n gt h ea d a p t i v ef i l t e rt h e o r y b y m e a n so ft h es i m u l a t i o nt o o is i m u l i n k ，t h ep r o b l e mo fe c h oc a n c e l l a t i o ni n t e l e p h o n en e t w o r ki sd i s c u s s e di nd e t a i l k e yw o r d s ：a d a p t i v ef i l t e r e c h oc a n c e l l a t i o n l e a s tm e a ns q u a r e i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南丌大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，同 意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学 校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、扫描、数 字化或其它手段保存论文：学校有权提供目录检索以及提供本学位论文 全文或者部分的阅览服务：学校有权按有关规定向国家有关部门或者机 构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前提下，学校可以 适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名 年月日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名；学位论文作者签名： 解密时间：年 月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下 紧离采j 霉：；适苌j j 纛；苛参攀i 犀澎i ；j ；i ：_ ；7 。_ 1 。，i ”，。二+ 二：。f r ：? 。? ；”：。j 一。”一，。 誊秘密炎l o 擎最长l q 年；：可少子埔年 叠，。t “j ； l 娜等i 。1 如，。：童。一一。镰g ，矗。k ， l 蠛舅攀藜：麓骥誊瘦警基步惹独譬 溢三二j z 矗墨蠢i ，矗一二一上。二点i 羔一夏三：量。一 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位 论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开 发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个 人和集体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的 法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：，夕；叨， 潮，。年? 月7 p 日 第一章引言 第一章引言 第一节回波概述 回波( e c h o ) 是原始声音或信号经过延时和形变被反射回到信源的一种现 象，这种现象在通信网的许多地方都会出现，造成通信质量的降低，阻碍通信过 程的正常进行，严重时会中断通信。 第二节回波分类 在通信系统中，有两种类型的回波，线回波( l i n ee c h o ) ( 注：也叫网络 回波n e t w o r ke c h o 或电回波e l e c t r i c a le c h o ) 和声学回波( a c o u s t i ce c h o ) 。 1 2 1 线回波 在通信中，经常会碰到二线四线的转换，比如在普遍的电话网络中就有用 户环路的两线连接和长途转接器的四线连接，要实现二线四线之间的转换传输 可以通过混合器( h y b r i d ) 来实现，h y b r i d 的电路原理如图1 1 所示 一- a 的信号 a + 一b 的信号一 图1 1 h y b r i d 原理图 l 号 第一章引言 由图1 1 看出，混合器中主要是一个电桥，c 是平衡阻抗。如果a 是通信 的一方，b 是通信的另外一方，a 的发送器发出的信号可以通过电桥上边的线路 发送到b 的接收器，而b 的发送器发来的信号也可以通过电桥下边的线路为a 的接收器所接收。如果平衡阻抗c 与a 方的线路阻抗相匹配，那么电桥上边的 信号不会混入下边，下边的信号也不会混入上边，从而可以实现互不影响的全 双工通信。但是在实际应用中，由于传输网络的特性的变化，平衡网络不可能 与传输网络的特性阻抗完全匹配，a 方发送器发送的信号不可避免的会有一部 分通过混合器反射回a 的接收器，从而形成了线回波。 1 2 2 声学回波 声学回波是由于在移动电话、免提电话或电话会议中扬声器和麦克 风之间的反馈路径所引起的。它经常从不同的表面，如墙壁、天花板等 等反射，经由不同的路径返回。声学回波的形成如图1 2 所示。 反射物 ba 图1 2 声学回波的产生 反 射 物 在图1 2 中，假设a 为通信的一方，a 的发送器如果接一个麦克风，a 的接 收器接一个喇叭，那么喇叭发出的声音( 即b 方传来的声音) 在被各种反射物 反射后就会有一部分信号重新返回到麦克风，从而返回到b 方，这种回波就是声 学回波。 2 第一章引言 第三节回波抵消 对于任何一种回波，回波抵消器都要首先估计回波路径的特性，然后产生 一个回波的副本，再从接收信号中减去回波，便得到期望接收的信号的估值。 这就是回波抵消器工作的基本原理“1 ，如图1 3 所示。 在图1 3 中，假设a 、b 为进行通信的双方，发送器a 发送的信号为x ( t ) ， x ( t ) 在通过近端混合器时产生近端回波信号x 、( t ) ，远端的混合器同样产生一 个远端回波x 、( t ) ( 回波如图1 3 中虚线所示) ，白适应滤波器根据发送信号 x ( t ) ，按照一定的算法运算规则来估计回波，即估计远端回波与近端回波之和， 设y ( t ) 为其估计值。b 方发来的信号为s ( t ) ，但由于信道中回波的存在，在a 方接收到的信号是s ( t ) 与x ( t ) 、x 、( t ) 三个信号的和信号s l ( t ) ，如果从s l ( t ) 中减去回波的估计值y ( t ) ，就会得到s ( t ) 的估计值s 、( t ) ，接收器a 接收的信 号将主要是经回波抵消后的b 方传送来的信号。 由于回波路径是未知的，而且是时变的，所以要达到抵消回波的目的就比 较困难。一种普遍被大家接受的方法是：用自适应滤波器来模拟回波，再从接 收信号中减去这个回波的模拟值，从而达到抵消回波的目的。自适应抵消可以 用数字和模拟两种方法来实现，由于数字滤波器的抵消性能优于模拟滤波器， 故本文将要详细讨论有关数字滤波器的回波抵消问题。 a 图1 3 回波抵消原理图 第一章引言 第四节研究问题的方法及工具 对于任何一项工作而言，研究方法的运用至关重要。正确的方法能抓住事 物的本质，准确揭示其内在规律。同时，恰当地选择研究工具将使工作事半功 倍。本文将由自适应信号处理入手，讨论常用的自适应算法，并基于算法的分 析，确定自适应滤波器的合理结构，选择相应的仿真工具：s i m u l i n k 进行仿真， 并将仿真结果同理论分析相结合，给出科学的分析论证。本节为仿真工具简介。 1 4 1m a t l a b 简介 m a t l a b 是美国m a t h w o r k s 公司于1 9 6 7 年推出的一款用于科学计算和工程 仿真的软件。m a t l a b 是矩阵实验室( m a t r i xl a b o r a t o r y ) 的简称，它具有交互式集 成界面，能帮助用户快速地完成数值分析、矩阵运算、数字信号处理、仿真建 模、系统控制和优化等工作。m a t l a b 采用与数学表达式相同的书写形式，不需 要传统的程序设计语言，相对于其他高级语言来说较易掌握。当今，m a t l a b 已 经广泛应用于航空航天、汽车制造、半导体制造、电子通信、医学研究、财经 研究和高等教育等领域。研发人员借助m a t l a b 软件能迅速测试设计构想，综合 评价系统性能，快速设计更好的方案来确保更高的技术要求。因此，m a t l a b 被 誉为“巨人肩膀上的工具”。概括而言，m a t l a b 有如下几个显著特点：”1 ( 1 ) 编程效率高。编程方式接近于我们的手写计算，符合人的思维习惯； ( 2 ) 使用方便。m a t l a b 是一种解释型语言，把编辑、编译、连接、执行融 为一体，编程设计快速便捷； ( 3 ) 扩充能力强。m a t l a b 有丰富的函数库可供调用，用户还可以根据自己 的需要方便地建立和扩充新的函数库，并支持混合编程，能方便地调用由f o r t r a n 或c 语言写的子程序； ( 4 ) 高效方便的矩阵和数组运算； ( 5 ) 强大的绘图功能，具体操作简单易行； 1 4 2s l m u l i n k 简介 s i m u l i n k 是m a t l a b 提供的一种可视化仿真工具，用于对动态系统进行建 4 第一章引言 模、仿真和分析。s i m u l i n k 提供了专门用于显示输出信号的模块，可以在仿真 过程中随时观察仿真结果。同时，通过s i n u l i n k 的存储模块，仿真数据可以方 便地以各种形式保存到工作区或文件中，供用户在仿真结束之后对数据进行分 析和处理。另外，s i m u l i n k 能把具有特定功能的代码组织成模块，并把这些模 块组织成具有等级结构的子系统，因此s i m u l i n 具有内在的模块化设计的特点。 基于以上优点，s i m u l i n k 作为一种通用的仿真建模工具，广泛应用于通信仿真、 数字信号处理、模糊逻辑、神经网络、机械控制和虚拟现实等领域“1 。图1 4 为m a t l a b 和s i m u l i n k 的工作界面。 图1 4m a t l a b 和s i m l j l i n k 的工作界面 第一二章自适应滤波及其算法 第二章自适应滤波及其算法 第一节自适应信号处理的发展及应用 自适应信号处理的研究工作开始于2 0 世纪中叶。在1 9 5 7 年至1 9 6 0 年间， 美国通用电气公司的p h o w e l l s 和p a p p l e b a u m 研究和使用了简单的白适应滤 波器，用以消除混杂在有用信号中的噪声和干扰。美国斯坦福大学的b w i d r o w 和m h o f f 在自适应理论方面做出了很大的贡献，发明了最小均方自适应算法， 即l m s 算法。1 9 6 5 年，自适应噪声对消系统在斯坦福大学建成，并成功地应用 于医学中0 1 。当今，数字集成电路和微电子技术的发展给自适应信号处理技术 的应用提供了十分优越的条件，出现了很多自适应信号处理成功应用的例子： 自适应控制、自适应噪声对消、自适应波束形成、自适应均衡、逆模拟等。 第二节自适应滤波 从连续的( 或离散的) 输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过程 称为滤波，相应的装置称为滤波器。滤波器研究的一个基本课题就是：如何设 计和制造最佳的滤波器。所谓最佳滤波器是指能够根据某一最佳准则进行滤波 的滤波器，而最佳准则有很多，比如均方误差准则( m s e ：m e a ns q u a r ee r r o r ) 、 最小二乘准则、最大信噪比准则、统计检验准则等。应用最广泛的一种最佳准 则是最小均方误差准则。 自适应滤波器是这样的处理器：它在输入过程的统计特性未知时，或是输 入过程的统计特性变化时，能够自动调整自己的参数，以满足某种最佳准则的 要求。简单而言，自适应滤波器是以环路的形式工作的，输入的信号首先被一 个系数可调的滤波器滤波，滤波的结果又与一个理想信号或期望信号进行比较， 得到的误差又反过来用来调整滤波器的系数。经过这样反复的迭代，最终可以 使误差达到最小0 3 。当输入过程的统计特性未知时，自适应滤波器调整参数的 过程称为“学习过程”。而当输入过程的统计特性变化时，自适应滤波器调整参 第二章自适应滤波及其算法 数的过程称为“跟踪过程”。 维纳根据最小均方误差准则( 滤波器的输出与期望信号之差的均方值最小) 求得了最佳线性滤波器的参数，这种滤波器称为维纳滤波器，它获得了极其广 泛的应用，成为研究其他滤波器的参照基础，我们首先来了解维纳滤波器。 第三节维纳滤波器 如图2 1 所示为一个横式滤波器，假设输入信号矢量为x ( n ) ，滤波器的抽 头系数即权值矢量为w ( 1 2 ) ，y ( n ) 是滤波器的输出，d ( n ) 为滤波器输出的期望 值，即期望响应，e ( n ) 为期望响应与滤波器输出的误差。 x r 丌1x ( n 一x ( n 2 、x ( n m + 1 、 图2 1 横式滤波器结构图 若设滤波器的阶数为m ，在n 时刻： 输入信号矢量为：x ( n ) = 【x ( n ) ，x ( n - 1 ) x ( n m + 1 ) 】t ( t 表示取转置) 抽头权向量为：w ( n ) = w o ( n ) ，w 1 ( n ) ，w m 1 ( n ) t 滤波器的输出为：y ( n ) = w ( n ) 1 x ( n ) = x ( n ) 1 w ( n ) 系统输出误差为：e ( n ) = d ( n ) - - y ( n ) 系统输出的均方误差为：孝( w ( n ) ) _ e 咐n ) n = e d ( n ) 1 2 2 d ( n ) i n ) t x ( n ) + w ( n ) t x ( n ) w ( n ) t x ( n ) 】 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 第二章自适应滤波及其算法 ：e i d ( n ) 1 2 - 2 d ( n ) w ( n ) t x ( n ) + w ( n ) t x ( n ) x ( n ) t w ( n ) ：e i d ( n ) 1 2 卜2 w ( n ) t e d ( ( n ) 】+ e w ( n ) m ) x ( n ) t w ( n ) 】 ：e 1 d ( n ) 1 2 卜2 w ( n ) t e d ( n 皿( n ) 】+ w ( n ) t e 【x ( n ) x ( n ) t 】w ( n ) ：e l l a ( 2 】一2 b ) t 1 ( n ) + w r ( n ) t r w ( n )( 2 3 3 ) 其中，r 为输入信号矢量的自相关矩阵，r 为期望响应与输入信号之间的互 相关矢量。3 。 若考虑x ( n ) 、d ( n ) 为广义平稳随机信号，则系统输入信号及期望响应的统 计量的计算应和时刻无关，故有： 输入信号矢量的自相关矩阵：r - = e x ( n ) x ( n ) t 】= e x x t 】 ( 2 3 4 ) 期望响应与输入信号之间的互相关矢量：r = e d ( n ) x ( n ) _ e d x ( 2 3 5 ) 因此，( 2 3 3 ) 可写作：亭( w ) = e i d ( n ) 门+ w 1 r w 一2 w 1 r ( 2 3 6 ) ( 2 3 6 ) 式即为图2 1 所示横式滤波器的均方误差输出性能函数，它是滤波 器权系数w 的二次函数0 1 。由于r 是对称的，即r = r t ，又由于r 是正定或 半正定的，即：对于任意矢量v ，有：v 1 r v = e v t x x l v = e v v x v l x = e ( v t x ) 2 】o ，由数学知识知：w 的二次函数( w ) 一定有最小值。 为了直观，我们考虑仅有两个实权时系统的均方误差输出函数和权值的关 系“1 ，如图2 2 ，从图可以看出： 兰1 4 t 一 图2 2 误差性能表面 笫二章自适应滤波及其算法 ( 1 ) 孝( w ) 为一碗形面的立体图形，称为性能表面( p e r f o r m a n c es u r f a c e ) ； ( 2 ) 依据所采用的均方误差性能测量的方法，要求系统自适应调整权值， 以使它的均方误差输出达到最小，此时系统权值的调整达到最佳，权向量称为 “最佳权向量”，图中碗底对应的即为最佳权向量w o p t ，此处均方误差输出为 善m i n ： ( 4 ) f ( w ) 是一个w 的二次性能曲面函数，它仅有全局最佳点，而无局 部最小点存在； 由以上分析，要求性能函数f ( w ) 达到最小的最佳权向量w o p t ，可以用对 彳( w ) 求梯度的方法得到： v n 亭( w 产vn e 1 e ( n ) l = 2 r w 一2 r( 2 3 7 ) 在最佳权向量处的梯度值应为零，于是： 2 r w - 2r = 0 ( 2 3 8 ) 方程( 2 3 8 ) 叫正规方程，解( 2 3 8 ) 就可得出自适应系统在最小均方 误差输出情况下的最佳权值向量w o p t ： w 郇t = r1 r( 2 3 9 ) 由线性代数知识可知，若想得到( 2 3 9 ) ，自相关矩阵r 必须是满秩的，即必 须有逆。 将( 2 3 9 ) 式代入( 2 3 6 ) ，于是： 4 m i n ：e id ( n ) + w o p t t r rr 一2 w o p t t r ：e id ( n ) t2 _ w 。d t t r ( 2 3 1 0 ) 利用上式及r w o p t = r ，变换( 2 3 6 ) 式可得。 善( w ) = m i n + ( w ( n ) 一w o p 0 1 r ( w ( n ) 一w o p t ) ( 2 3 11 ) 在理想输入为无噪声情况下，系统的最小均方误差输出善m i n 可以趋于零， 而在通常情况下，亭m i n 将不为零。 这种最小均方误差线性滤波器就是维纳滤波器，( 2 3 9 ) 式称为正规方程 的维纳解。 由( 2 3 9 ) 式解w e p t 的方法叫直接矩阵求逆法( d m i ) ，这种方法简单， 但运算量大，尤其在滤波器的阶数大时更是如此，所以一般并不用此法，而是 用其他的更快的方法来寻找最优解向量，最陡下降法就是其中的一种。 9 第二章自适应滤波及其算法 第四节最陡下降算法 最陡下降法是一种不用矩阵求逆的解正规方程的方法，它通过递推求加权 矢量的最佳值8 1 。 先设一个w 的初值w ( 0 ) ，可以想象，沿着孝( w ) 减小的方向调整w 应 该可以找到w o p t ，因为梯度的方向是亭( w ) 增加最快的方向，所以负梯度的 方向就是善( w ) 减少最快的方向，这样可用如下的递推以寻找w o p t ： w ( r l + 1 ) = w ( n ) 一v n f ( w )( 2 4 1 ) 其中“称为步长。将( 2 3 7 ) 代入( 2 4 1 ) 得： w ( n + 1 ) = w ( n ) 一2 ( r w - - r ) = ( i - - 2 r r ) w ( n ) + 2 卢r ( 2 4 2 ) 利用( 2 3 9 ) 可得：r = r w o p t( 2 4 3 ) 将( 2 4 3 ) 代入( 2 4 2 ) 得：w ( n + 1 ) = ( i 一2 f i t r ) w ( n ) + 2 y r w o p t( 2 4 ，4 ) 将( 2 4 4 ) 两端同时减去w o p t 得： w ( n + 1 ) 一、o p t = ( i 一2 r ) w ( n ) + 2 r w o p t - - w o p t = ( 1 - - 2 zr 1 w ( n ) - - ( i - - 2 a r ) w o p t = ( i 一2 r ) ( w ( n ) 一w 0 p t ) 即：w ( n + 1 ) 一w o p t = ( i 一2 r ) ( w ( n ) - - w o p t )( 2 4 5 ) 这就是最陡下降法加权矢量的递推公式。 2 4 1 收敛一i 生 令v ( r 1 ) = w ( n ) 一w o p t 则( 2 4 5 ) 变为：v ( n + 0 = ( 1 - 2 u l q v ( n ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) 从而：v ( n ) = ( 1 - - 2 tr ) “v ( o ) ( 2 4 8 ) 因为r 是对称阵，故存在正交矩阵可将其对角化。令：q 是r 的正交归一 化矩阵，即r = q a q - 1 = q a q t ( 2 4 9 ) 第二章自适应滤波及其算法 肌= d i a g ( 凡扎靠护卜_ 重10)0 其中a 锄一。) = l i ( 2 4 i ，j 则( 2 4 8 ) 可变为：v ( n ) = q 0 2 2a ) “q 1 v ( 0 ) f ( 1 2 风) ”01 = q l i q 。1 v ( o ) ( 2 4 1 1 ) l0 ( 1 - 2 1 ) ”j 有：q 一1 v ( n ) = ( 1 2 a ) “q 一1 v ( o ) ( 2 4 1 2 ) 则( 2 4 1 2 ) 可以变为：v ( n ) = ( i 一2 a ) “v ( o ) 2 一y ”募。卜 眨。， 于是：v i ( n ) = ( 1 2 t 丑) “v i ( o ) i = o ，1 m 一1( 2 4 1 5 ) l i m ( 1 2 za ) n = 0 ( 2 4 1 7 ) 从而；l i m ( i 一2 a ) n = 0 由( 2 4 8 ) l i m v ( n ) 2 0 由( 2 4 6 ) ：l i m w ( n ) = w o p t 第二章自适应滤波及其算法 2 4 2 权向量的过渡过程 l 在( 2 4 1 5 ) 中，令1 2 p 五：e 巧 i ：o ，l m 一1 ( 2 4 ，1 8 ) ” 则( 2 4 1 5 ) 可变为：v i ( n ) ：e r f v i ( o ) 可见：v i ( n ) 按指数规律变化，其时间常数为：t2 i 百丽- 1 当取得很小时，tz 瓦1 百1 = 。，1 m l q o m 一1 q m i m 1 ( 2 4 1 9 ) ( 2 4 2 0 ) 从而：q ( 胛) ：q i k 壤 ) ：q , k 吨( o 气 ( 2 4 2 2 ) k = ok = o m 1 , 由( 2 4 8 ) ：w i ( 。) - w i o p t + q j a o ) e ( 2 蚴) k = o 可见：加权矢量分量按m 个指数函数之和的规律由初值收敛到最佳值，指 数函数的时间常数与特征值成反比。1 。 2 4 3 均方误差的过渡过程 在( 2 3 1 1 ) 中，令v ( n ) = w ( n ) 一w o p t ，得： f ( w ) ：fm i n + v ( n ) t r v ( n ) ( 2 4 2 4 ) 将( 2 4 9 ) 代入上式：f ( w ) _ f m i n + v ( n ) t q a q _ 1 v ( n ) ：f m i n + ( q t v ( n ) ) t a ( q 一1 v ( n ) ) 一 ，h h ，l 、翟 ，。l | | 恤 v q = m v 由 第二章自适应滤波及其算法 ：4 m i n + ( q j v ( n ) ) t a ( q j v ( n ) ) ( 2 4 2 5 ) 令v ( n ) ，= q 一1 v ( n ) ，则( 2 4 2 5 ) 可变为： f = f m i n + v ( n ) ，t a v ( n ) 5 乡m j n + 吨( ”) 哇( 栉) 屹。( 刀) 0 j f 凡1 1 0k 一，j f 。 n + 丑t 2 ( 门) i = 0 将( 2 4 1 9 ) 代入上式可以推知 ( ，2 ) “( 胛) 屹一，( 露) ( 2 4 2 6 ) 可见：均方误差按m 个指数函数的规律由初始值收敛到最佳值，而此时的 时间常数为乃。一。瓦1 百 由以上推导。1 ：均方误差和加权矢量都按m 个具有不同时问常数的指数函 数之和的规律变化，以均方误差来看，它的最终收敛取决于最慢的一个指数过 一 1 程，其时间常数为：- g m a x = 。- 斗7 、血 然而，为保证收敛，又要受气。的约束，故当r 的特征值分散时，最陡 下降法收敛的性能较差。 有关于收敛时间并没有十分精确的定义，但是一般可以用回波减小2 0 d b 所 需要的迭代次数来衡量。 为了采用最陡下降法，需要知道均方误差性能函数的梯度的精确值，这就 要求输入信号和期望响应平稳且其二阶统计特性已知，但是实际中这往往不可 能，于是为了解决这个问题，有人就用梯度的估计值来代替梯度的精确值，其 中一种估计代替就导出了最小均方误差自适应算法( l m s ) 。 、， 卯42 丝0 8p0 ，l 吃五 枷 + n m f = w 卢， 第二章自适应滤波及其算法 第五节l m s 算法 在最陡下降算法中，我们用到了如下的权值和梯度的递推： w ( n + 1 ) = w ( n ) 一v n 善( w )( 2 4 i ) 1 v n f ( w ) _ vn e 1 e ( n ) l 。 ( 2 3 7 ) 若以e ( n ) 2 代替e 1e ( r 1 ) l2 ，即以瞬时平方误差性能函数代替均方误差性能 函数，那么梯度估值为：v n f ( w ) _ v n e ( n ) 2 = - - 2 e ( n ) x ( n )( 2 5 1 ) 将( 2 5 1 ) 代入( 2 4 1 ) ，可得l m s 算法的加权矢量递推公式： w ( n + 1 ) ：w ( n ) q - 2 ge ( n ) x ( n ) ( 2 5 2 ) 如果对( 2 5 1 ) 式两边取均值，经数学推导： e v n f ( w ) = 一2 e d ( n ) x ( n ) - - x ( n ) x ( n ) 1 w ( n ) 】 = 2 ( r w i ) = v n f ( w )( 2 ，5 3 ) 可见：l m s 算法中梯度的均值是最陡下降算法中梯度的无偏估计。 考虑( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ，则( 2 5 2 ) 式可化为 w ( n + i ) = w ( n ) - f - 2 f i t ( d ( n ) 一y ( 1 1 ) ) x ( n ) = w ( n ) + 2 ( d ( n ) 一x ( n ) 1 w ( n ) ) x ( n ) = w ( n ) + 2 1d ( n ) x ( n ) 一2 ax ( n ) x ( n ) 1 w ( n ) = ( i 一2 , u x ( n ) x ( n ) t ) w ( n ) + 2 x ( 胡( n ) ( 2 ，5 4 ) 对( 2 5 4 ) 两边取均值，同时利用x ( n ) 与w ( n ) 的不相关性得： e w ( n + 1 ) _ e 【( i 一2 g x ( n ) x ( n ) r ) w ( n ) + 2 x ( n ) d ( n ) = ( 1 - - 2 e 【x ( n ) x ( n ) 1 】) e w ( n ) 】+ 2 e 【x ( n ) d ( n ) = ( 1 - - 2 ar ) e w ( n ) q - 2 gr ( 2 5 5 ) 将( 2 5 ，5 ) 与最陡下降法中的加权系数 w ( n + 1 ) = ( i 一2 a r ) w ( n ) + 2 r w o p t( 2 4 4 ) 相比较可知：l m s 算法中，加权矢量的均值e w ( n ) 的变化规律与最陡下降 法中w ( n ) 的变化规律一样，从而最陡下降法中有关加权矢量的结果对l m g 1 4 第二章自适应滤波及其算法 中加权矢量的均值均适用。 综上：l m s 算法中梯度的均值是最陡下降算法中梯度的无偏估计，从而有 关最陡下降法的加权矢量的结果完全可以用于l m s 算法，l m s 中加权矢量的迭 代最终也趋向于最佳维纳解，只是由于以e ( n ) 2 代替e 1e ( n ) 门，每次迭代是基 于不准确的梯度估值，因而这个自适应过程是带噪的，权值在趋于最佳的过程 中具有震荡性。在此，我们直接引用l m s 算法的有关结论，具体推导过程可见 所附的参考书目。涮涮 ( 1 ) 当o 1 五m a x 时，l i me w ( n ) = w o p t mi旦 ( 2 ) e w i ( n ) = w i o p t + q m 以( o k “ ( 2 5 6 ) 即：l m s 算法中各加权系数的均值按m 个指数函数之和收敛到最佳 ( 3 ) 额外均方误差 采用了l m s 算法以后，收敛后得到的均方误差由两部分组成，即： 孝= 乞+ 彘” ( 2 5 7 5 ) 其中芎。i 。是维纳滤波器得到的最小均方误差，亏k 是由于l m s 算法引入 的均方误差，被称作额外均方误差( e x c e s sm e a n s q u a r e de r r o r ) 。 ( 4 ) 失调 失调定义为稳态时的额外均方误差亭。与最小均方误差言。i 。的比值 m ：4 e x c ( ) ：“凇：竺 二 。t ( 2 5 8 ) m i n1 m “ 其中m 是滤波器的阶数，t m s e 是滤波器收敛到平稳时所用的时间，单位是 “迭代次数”，如果知道采样频率，很容易和实际的时间对应起来。 在( 2 5 8 ) 中t r r 是r 的迹，且有： t r r = 丑= e x 2 ( 刀一f + 1 ) 卜m p i n ( 2 5 9 5 ) 其中p i n 为输入信号的平均功率，由此式，输入信号自相关矩阵的迹等于 各个权上信号的平均功率之和。 通常情况下，我们需要把失调控制在1 0 以下，也就是说，使我们用l m s 第二章自适应滤波及其算法 算法得到的结果与最优维纳滤波器到的滤波结果相差不多，这样的性能才可能 达到实际应用的要求。 ( 5 ) l m s 学习曲线 学习曲线( 1 e a r n i n gc u r v e ) 定义为自适应滤波器的某些参数随着迭代次 数的变化而变化的曲线，一般情况下是均方误差随着迭代次数的变化曲线。通 过学习曲线，我们可以形象地观察到自适应滤波器的一些性能，诸如是否收敛、 收敛速度、以及稳态性能等等 我们在计算l m s 算法的学习曲线时，一般是对一组具有相同初始条件和步 长口的自适应l m s 滤波器，加以具有相同统计特性的、相互独立的各态历经平 稳随机输入信号，这样我们可以求出估计误差e 的幅度的平方值随着迭代次 数的变化曲线，对这组曲线求出总体平均就得到了l m s 算法的学习曲线。一般 情况下，总体的样本数都在1 0 0 以上。图2 3 是l m s 算法的学习曲线的一个例 子。 n u m b e ro f 矗玎a 吐矗硌 图2 3 l m s 算法的学习曲线 1 6 第一章自适应滤波及其算法 第六节自适应滤波器的应用 由于自适应滤波器可以很好地工作在未知的环境中，而且具有跟踪时变信 号( 指信号的统计特性随时间变化) 的能力，因此，这些特性使白适应滤波器 在信号处理和控制系统中得到了广泛的应用，如通信、雷达、声纳、地震学、 生物学等等。虽然这些应用的场合相差很大，但是在这些应用领域中的白适应 滤波器却有着很大的共性，即它们都是由一组输入矢量和期望的响应计算出估 计误差，再用这个估计误差来调整滤波器的系数。他们最主要的区别就是如何 得到期望的响应，根据获得期望响应的方式的不同可以将自适应滤波器的应用 分为以下几个大类。1 ： 2 6 1 识别 自适应滤波器可以用来得到未知系统的最佳线形模型，这种应用被称为识 别。如图2 4 所示 系统 图2 4 自适应识别 作为识别应用时，自适应滤波器与未知系统由同一个输入来驱动，未知系 统的输出作为理想信号。这个理想信号与滤波器的输出相减后得到误差信号， 来调整滤波器的系数。当滤波器收敛后，误差很小，滤波器与系统有相同的输 入输出，即滤波器可以“识别”出未知系统的线形模型。识别已经被广泛应用 到了系统识别、地层建模等领域中。 1 7 第二章自适应滤波及其算法 2 6 2 反向建模 图2 5 为自适应滤波器的反向建模应用。 图2 5 自适应均衡 反向建模可以用来得到未知系统的反向模型，在线形系统中，这个反向模 型具有与未知系统互为倒数的传输函数。这种应用中，系统与滤波器接成串联， 以输入的延时作为理想信号。滤波器收敛以后，未知系统与滤波器的串联组合 只相当于一个理想的延时，所以滤波器得到的即是未知系统的反向模型。反向 建模可以应用到自适应均衡、盲均衡等领域。 2 6 3 自适应预测 自适应滤波器作为预测器应用时，其结构如图2 6 所示，信号的当前值作 为理想的响应，信号的过去值作为滤波器的输入。当滤波器收敛以后，自适应 滤波器可以由输入信号的过去的值来预测出信号的当前值。预测的应用领域有： 线性预测编码、自适应差分脉冲编码调制、信号检测、谱分析等。 系统 图2 6 自适应预测 1 8 第二章自适应滤波及其算法 2 6 4 自适应干扰抵消 干扰抵消可以从主信号中抵消掉参考信号的线形组合成份。如图2 7 所示。 主信号 参 图2 7 自适应抵消 主信号作为理想信号，参考信号作为自适应滤波器的输入。理想信号与滤 波器的输出的差作为误差信号调整滤波器。当滤波器收敛以后，所有与参考信 号( 干扰信号) 有关的线形组合成份都被从主信号中减去，从而达到了干扰抵 消的目的。其应用领域包括自适应噪声抵消、回波抵消、自适应波束成形等。 1 9 第三章自适应l 目波抵消的实现 第三章自适应回波抵消的实现 第一节提出问题 当我们研究问题时，“由简单到复杂”通常是一个容易被大家接受的方法， 关键是问题的实质必须被明确地予以揭示，如此才能达到研究的目的。 在实际通信过程中，存在许多复杂的往往不可预测的影响因素。如果在描 述通信系统时过多涉及细节问题，就会过于繁琐，甚至无法进行研究。这时我 们通常简化模型，突出主题，在对核心问题分析研究得出有用结论后，再逐一 加入其他影响因素，使简单的模型逐渐接近于实际的系统，从而对系统有准确 完整的认识。在自适应回波抵消器的研究中，我们也遵循这一规律。 我们考虑如下的一个问题，借以引入整个研究过程。如图3 1 所示： a 图3 1 回波抵消研究模型 图3 1 为一个电话通信的简单模型，a 、b 是进行通信的两方，a 方的发送 器a 发送一个信号x ( n ) ，这个信号在经过d a 后为x ( t ) ，经信道传向b 。但是， 由于混合器的存在，会有两种类型的回波返回a 方的接收器：近端回波和远端 回波。x 、( t ) 是近端回波，x 、( t ) 是远端回波，它们采样后的值分别是x 、( n ) 和 第三章自适应回波抵消的实现 x 、( n ) 。b 方传来的信号是s ( t ) ，经采样后为s ( n ) 。 由于混合器的不理想，近端回波的幅度大约是发送信号幅度的1 5 1 1 0 ， 线路较长时，幅度可衰减到1 1 0 ，因而在线路较长时，近端回波x ( n ) 的功率和 接收信号s ( n ) 的功率大体相等，远端回波的功率为近端回波功率加上线路的衰 减。近端回波的延时较短，远端回波的延时较长。 y ( r 1 ) 是自适应滤波器的输出，令s l ( n ) = s ( n ) + x 、( n ) + x 、( r 1 ) ，s l ( n ) 经回波 抵消后变为s 、( n ) ，也就是对s ( n ) 的估计值。 基于以上分析，加之在m a t l a b 中，信号的表示没有单位的限制，所以我们 采用相对能量的方式来表示a 、b 两方的信号的能量，我们在此假设信号x ( n ) 的平均功率为1 ，相对x ( r 1 ) 而言，近端回波x 、( n ) 的平均功率是0 o l ，远端回波 x 、( n ) 的平均功率约为x ( n ) 的平均功率的十分之一左右，设为0 0 0 1 ，信号s ( n ) 的平均功率为0 0 1 4 ( 这是一个相对值) 。回波可以简单地用如下方法来模拟产 生：将x ( n ) 经增益与延时变换便得到回波，不同的延时与增益对应不同类型的 回波。近端回波的延时为5 个抽样单位，振幅增益为1 1 0 ；远端回波的延时为 3 6 0 个抽样单位，振幅增益为1 3 0 。 我们的任务就是要设计一个自适应回波抵消器，将信号s 1 ( n ) 中回波的能 量( 远端回波能量与近端回波能量之和) 衰减为信号s ( n ) 能量的l o 。在这里 我们限定a 方发送信号x ( n ) 的最高频率为3 4 0 0 h z ，且不考虑噪声影响。 第二节确定参数 在这一节里，我们先来确定仿真中将要使用到的各个参数。 3 2 1 产生发送信号 不失一般性，我们用一个高斯白噪声模拟a 方发送器发出的信号，并用4 0 k 的频率对其采样，采样信号通过一个截止频率为3 4 k 的低通滤波器，然后再经 由抽取( 隔五采一) ，我们就得到了一个最高频率为3 4 0 0 h z 、采样频率为8 k 的 发送信号x ( 1 2 ) 。图3 2 示出了发送信号产生过程，图3 3 示出了各个模块的参 数设置，图3 4 示出了x ( n ) 的波形。 2 l 第三章自适应到波抵消的实现 g a u s s i a n o j s e 3 4 i z g e n e r a t o r f | r g e c i r n g i o n 图3 2 发送信号x ( n ) 的产生过程 。x ( n ) g a u s sj a nn o i s e g e n e r a t o r 模块f i rd e c i m a t i o n 模块 低通滤波器模块 图3 3 各模块参数设置 第三章自适应回波抵消的实现 3 2 2 确定滤波器阶数 图3 4x ( n ) 信号波形图 在实际应用中，回波的延迟时间可以有不同的值，对通信质量造成不同的 影响。当回波超过2 0 毫秒时，人耳就会感到不舒服。一般要求抵消器能抵消最 长延时为5 0 毫秒左右的回波，那么用于抵消回波的自适应滤波器需要多少阶 呢? 假设由信号x ( n ) 产生的回波为x b ( r 1 ) ( 包括远端回波和近端回波) ，而回波 抵消的原理是根据输入信号x ( n ) 再运用自适应算法来估计回波，因此x ( n ) 、 x b ( n ) 理所当然地是自适应回波抵消器的两个输入，一个基本的依据应该是：当 信号x ( n ) 的回波x b ( r 1 ) 进入自适应滤波器时，信号x ( r 1 ) 还应该存在于滤波器之 内，这样，在自适应算法的作用下，自适应滤波器的权值不断调整，回波的估 计值逐渐趋于回波的真值。 因为前已说明，信号x ( n ) 的采样频率为8 k ，即采样周期为1 s m s ，两个采 样点之间的时间间隔为1 8 m s ，考虑图2 1 ，滤波器中的每个延时单元的延时也 应该为1 8 m s ，如果我们令滤波器的阶数为4 0 0 阶，假定回波信号x b ( n ) 在4 5