（系统分析与集成专业论文）非线性演化方程的精确解与可积性及其符号计算研究.pdf

摘要 非线性演化方程是描述物理现象的一类重要数学模型，也是非线性物理特别是孤立子理论 最前沿的研究课题之一非线性演化方程精确解和可积性的研究有助于弄清物质在非线性作用 下的运动规律。对相应物理现象的科学解释和工程应用将起到重要作用在非线性演化方程的 研究中。寻找方程的行渡解、构造多孤子解、p a i n l e v d 可积性质的检验等经常遇到复杂的符号 计算和推理，有的是人力难以完成的，因此妨碍了这些问题的深入剖析近年来，符号计算的 蓬勃发展，极大地推动了非线性演化方程的研究非线性演化方程的研究成果不断涌现，尤其 是新的求解方法层出不穷本文以非线性演化方程为研究对象，借助于符号计算这一有效研究 工具，研究了多种直接代数方法在非线性演化方程精确求解中的应用、p a i n l e v 6 分析及其应 用，探讨了几种直接代数方法与p a i a l l e v 6 可积性质之间的内在联系主要工作如下： 第一部分研究非线性演化方程的精确求解分别从三个方面进行研究： 研究了构造非线性演化方程孤立波解的基础性方法一一混合指数方法。改进了混合指数方 法盼关键步骤一一行波约比后常微分方程及递推关系式的求解将传统实指数方法推广到复指 数情形，从而可以获得正则孤渡解、奇异孤波解及周期解在内的诸多形式的行波解 在r i c c a t i 方法、形变映射方法、“统一代数”方法的基础上，给出了构造非线性演化方 程多种行渡解的广义形变映射法该方法的基本思想是利用“秩”对行波约化后的常微分方程 进行分类，对同秩类型和异秩类型的方程借助于不同的一阶可解方程，从而将非线性演化方程 行波解的计算问题转化为菲线性代数方程组的求解问题利用吴文俊消元法求解非线性代数方 程组，即可得到非线性演化方程的多类行波解以耦合m k d v 方程组、耦合d r i n f e l d s o k o l o v w i l s o n 方程组、变形b o u s s i n e s q 方程组等为例，系统地获得了包括指数解、多项式解、有理 解、三角函数解、j a c o b i 椭圆函数解、w e i e r s t r a s s 椭圆函数解、孤立波解及广义孤立渡解、 组合形式三角函数及孤立波解在内的多种形式的行波解由于该方法是构造性和算法化的，可 以在计算机代数系统上完成解的自动推导 采用分步确定拟解的原则，对齐次平衡法求非线性演化方程多孤子解的关键步骤作了进一 步改进以广义b o u s s i n e s q 方程和b k k 方程为应用实例，说明使用该方法可有效避免“中间 表达式膨胀”的问题，除获得标准h i r o t a 形式的孤子解外，还能得到其他形式的孤子解本 文获得了这两个非线性演化方程的具有双向传播特点的孤立波解和孤立子解 第二部分研究非线性演化方程的p a i i f l e v 4 可积性的检验和p a i n l e v 4 分析的若干应用主 要从两个方面进行研究： 由于非线性系统的p a i n l e v d 性质与可积性之间有着十分密切的联系，因此判定一个非线性 系统是否具有p a i n l e v 4 性质就具有非常重要的意义本文分析了非线性演化方程p a i n l e v 性 质的几种检验方法，并利用k r u s k a l 方法得到了广义t t i r o t a s a t s u m a 耦合方程组具有p a i n l e v d 可积性质的必要条件w t c 方法和k r u s k a l 方法是检验非线性演化方程p a i n l e v 4 性质的两 种重要方法，这两种方法备有所长，本文将= 者结合起来并给出了检验p a i n l e v 6 性质的w t c k r u s k a l 算法使用w t c k r u s k a l 算法，不仅可以快速判定非线性演化方程的p a i n l e v d 可积 性，也为寻找新的p a i n l e v 4 可积系统提供了重要途径 研究了基于p a i n l e v 4 性质的若干截断展开方法在非线性演化方程可积性质及精确解研究 中的若干应用讨论了标准截断展开方法在构造不可积系统精确解、可积系统的自b g c k l u n d 变换、多重孤波解和多孤子解中的应用其次，给出了高阶截断展开法在构造非线性演化方程 新型精确解中的应厢，并分析了高阶截断展开法在构造非线性可积系统l “对、d a r b o u x 变 换的应用实例最后将近年来发展起来的构造非线性演化方程行波解的几种直接代数方法统一 于p a i n l e v 6 分析的研究框架之中 第三部分研究符号计算在广义形变映射法和p a i n l e v 4 可积性证明中的应用主要包括- 广义形变映射法将行波解的求解问题转化为非线性代数方程组的计算问题，推演过程往往 涉及到非常繁琐的计算本文在计算机符号系统m a p l e 上开发了一个基于吴文俊消元法的行 波解自动求解软件包n e t s 该软件包可以自动输出非线性演化方程及方程组的多类行波锯 n e t s 软件包对方程或方程组的维数没有限制，适用于多项式类型的非线性演化方程除适 用于非线性偏微分方程外，n e t s 还适用于非线性常微分方程某些特殊类型的非线性演化 方程，经过适当的函数变换转换为多项式类型的菲线性常微分方程后，可鞋借助n e t s 实现 行渡解的自动推导 基于w t c k r u s k a l 算法，本文在计算机符号系统m a p l e 上开发了w k p t e s t 软件包该 软件包可快速完成非线性偏微分方程及方程组p a i n l e v 4 性质的自动检验同时，当给定方程 不能通过p a i n l e v 6 检验时，软件包将返回参数满足的约束条件此外，软件包还能输出方程的 p a 】m l e v 6 截断展开式w k p t e s t 软件包适用范围较为广泛，对方程或方程组的维数没有限制， 不仅适用于常系数方程或方程组，也适用于变系数方程或方程组以及一些扩展类型的方程 关键词：非线性演化方程，孤立子，符号计算，精确解p 面础e v 6 性质。p a i n l e v 4 检验 p a i n l e v 6 截断展开 a m s ( 2 0 0 0 ) 主题分类号：3 5 g 2 5 ，3 5 q 5 1 ，3 5 q s s ，6 8 w 3 0 ，3 4 a 0 5 ，3 7 k 1 0 a b s t r a c t n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o ni sa ni m p o r t a n tm a t h e m a t i c a lm o d e lf o r d e s c r i b i n gp h y s i c a l p h e n o m e n o na n da ni n l p o r t a n tf i e l di nt h ec o n t e m p a r ys t u d yo fn o n l i n e a rp h y s i c s ，e s p e c i a l l yi n t h es t u d yo fs o l i t o nt h e o r y t h er e s e a r c ho nt h ee x p l i c i ts o l u t i o na n di n t e g r a b i l i t ya r eh e l p f u li n c l a r i f y i n gt h em o v e m e n t o fm a t t e ru n d e rt h en o n l i n e a ri n t e r a c t i v e t i e sa n dp l a ya ni m p o r t a n tr o l e i ns c i e n t i f i c a l l ye x p l a i n i n go ft h ec o r r e s p o n d i n g p h y s i c a lp h e n o m e n o na n de n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n m a n yr e s e a r c ht o p i c s ，s u c ha ss e a r c h i n gf o re x a c te x p l i c i ts o l u t i o n s ，m u l t i s o l i r o ns o l u t i o n ，t h e p a i n l e v 6t e s te ta 1 ，o f t e ni n v o l v ea l a r g ea m o u n to ft e d i o u sa l g e b r aa u x i l i a r yr e a s o n i n g o rc a l c u l a - t i o n sw h i c hc a nb e c o m eu n m a n a g e a b l ei np r a c t i c e ，i nr e c e n ty e a r s ，t h ed e v e l o p m e n to fs y m b o l i c c o m p u t a t i o na c c e l e r a t e st h er e s e a r c ho fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o ng r e a t l y m a n yn e wm e t h o d s f o rc o n s t r u c t i n ge x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a re v e l u t i o ne q u a t i o n sa r ep r o p o s e d t h i sd i s s e r t a t i o n m a i n l ys t d u i e ss o m ea s p e c t so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sw i t ht h ea i ds y m b o l i cc o m p u t a t i o n ， w h i c hi n c l u d es e a r c h i n ge x b c t e x p l i c i ts o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sb ym e a n s o fs e v e r a d i r e c ta l g e b r a i cm e t h o d sp r o p o s e di nr e c e n ty e a r s ，t h ep a i n l e v 6a n a l y s i sa n di t sa p p l i c a t i o n ， t h ei n t e r r a l t i o n sb e t w e e nt h ea l g e b r a i em e t h o d sw i t ht h ep a i n l e 诞a n a l y s i s t h i sd i s s e r t a t i o n c o n s i s t so ft h ef o l l o w i n gt h r e ep a r t s p a r tii sd e v o t e dt os t u d yt h ee x p l i c i ts o l u t i o n sf o rn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sb ys o m e a l g e b r a i cm e t h o d sp r o p o s e di nr e c e n ty e a r s m i x i n ge x p o n e n t i a lm e t h o dp r o p o s e db yh e r e m a n f o rf i n d i n gt h es o l i t a r yw a v es o l u t i o u st o an o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o ni s d e v e l o p e da n dp e r f e c t e d c o r r e s p o n d i n g l y ，a ne x t e n d e dm i x i n g e x p o n e n t i m m e t h o d i so b t a i n e d b ye x p r e s s i n g t h es o l u t i o n s a n i n r i t es e r i e s o f t h er e a lo rc o m p l e x e x p o n e n t i a ls o l u t i o n so ft h eu n d e r l y i n gl i n e a re q u a t i o n sa n di m p r o v i n gt h es o l v i n go fr e c u r s i o n r e l a t i n n s t h ee f f e c t i v e n e s so ft h ee x t e n d e da p p r o a c hi sd e m o n s t r a t e db va p p l i c a t i o nt os o m e n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sw i t hp h y s i c a li n t e r e s t ，n o to n l ya r es t e a d ys o l i t a r yw a v es o l u t i o n s r e c o v e r e d ，b u ta l s ot h ed i v e r g i u ga n dt h ep e r i o d i cs o l u t i o n sa r eo b t a i n e d b a s e do nr i c c a t im e t h o d ，d e f o r m a t i o nm a p p i n gm e t h o da n du n i f i e da l g e b r a i cm e t h o d ，a g e n e r a l i z e dd e f o r m a t i o nm a p p i n g m e t h o di sp r e s e n t e df o rf i n d i n gt r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n st on o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s a c c o r d i n gt o “r a n k ”，t h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa r ec l a s s i f i e d i n t ot w ok i n d so fe q u a t i o n s t h ee s s e n c eo ft h i sm e t h o di st ot a k ef u l la d v a n t a g eo ft w od i f i e r e n t s o l v a b l ef i r s t o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n dc o n v e r tt h ep r o b l e mo ff i n d i n gt r a v e l l i n g w a v es o l u t i o n sf o rn o n l i n e a rp d et ot h ep r o b l e mo fs o l v i n gn o n l i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o n st h e n o n l i n e a rs y s t e mi ss o l v e db yu s i n gw ue l i m i n a t i o na n das e r i e so ft r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n sa r e t h e no b t a i n e d s e v e r a li l l u s t r a t i v ee q u a t i o n ss u c ha sc o u p l e dm k d v e q u a t i o n s ，c o u p l e dd r i n f e l d - s o k o l o v - w i l s o ne q u a t i o n s ，v a r i a n tb o u s s i n e s qs y t e me t c a r ei n v e s t i g a t e db yt h i sm e t h o as e r i e s o ft r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n sa r en b r a i n e di nas y s t e m a t i cw a y w h i e hc o v e r e de x p o n e n t i a l 如n e t i o ns o l u t i o n s ，p o l y n o m i a lh l n c t i o ns o l u t i o n s 。r a t i o n a lf u n c t i o ns o l u t i o n s ，t r i g o n o m e t r i cf u n o t i o n s o l u t i o n s ，j a c o b ie l l i p t i cf u n e t i o ns o l u t i o n s ，、v e i e r s t r a s se l l i p t i cf u n c t i o ns o l u t i o n s ，s o l i t a r yw a v e s o l u t i o n ，c o m b i n e d - f o r ms o l i t a r yw a v es o l u t i o n sa n ds oo n t h eg e n e r a l i z e dd e f o r m a t i o nm a p p i n g m e t h o di sc o m p l e t e l ya l g o r i t h m i c ，s oi tc a nb ei m p l e m e n t e di nc o m p u t e ra l g e b r a t h eh o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o df o rc o n s t r u c t i n gs o l i t a r yw a v es o l u t i o n sa n ds o l i t o ns o l u t i o n si sf u r t h e rd e v e l o p e do n o b t a i n i n gq u a s i s o l u t i o nb ys t e p b y s t e pp r i n c i p l e t h em a i na d v a n c a g eo f 曲ee x t e n d e da p p r o a c hi st oa v o i dt h ep r o b l e mo f “i n t e r m e d i a t ee x p r e s s i o ns w e i i ”t h e e f f e c t i v e n e s so ft h em e t h o di sd e m o n s t r a t e db y a p p l i c a t i o nt ot h eg e n e r a l i z e db o n s s i n e s qe q u a t i o n a n dt h eb i d i r e c t i o n a lk a u p k u p e r s h m i d te q u a t i o n t h eo n e s o l i t o n t w o s o l i t o na n dt h r e e - s o l i t o n s o l u t i o n sw i t hm u l t i p l ec o l l i s i o n sa r ed e r i v e df o rt h e s et w o e q u a t i o n sw i t ht h ea s s i s t a n c eo fm a p l e b o t ht h es o l i t a r yw a v es o l u t i o n sa n ds o l i t o ns o l u t i o n so b t a i n e dh e r ea r eb i d i r e c t i o n a l p a r ti ii sd e v o t e dt ot h ep a i n l e v 6t e s ta n dt h ea p p l i c a t i o n so fp a i n l e v 6a n a l y s i sf o rn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n t h e r ea r ec l o s er e l a t i o n sb e t w e e nt h ep a i n l e v 6p r o p e r t ya n dt h ei n t e g r a b i l i t yo fn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s t h e r e f o r e ，i ti so fg r e a ti m p o r t a n c et oc h e c kw h e t h e ran o n l i n e a re q u a t i o n p o s s e s s e st h ep a i n l e v 6p r o p e r t yo rn o t s e v e r a lw e l l l m o a la p p r o a c h e sf o rt h ep a l n l e v 6t e s to f n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa r ea n a l y z e da n dc o m p a r e dt h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sw h i c hg e n e r a l i z e dh i r o t a - s a t s u m a e q u a t i o n sp o s s e s st h ep a i n l e v 4p r o p e r t yi so b t a i n e db ym e a n so fk r u s k a s i m p l i f i e dm e t h o d t h ea i mo ft h i sp a p e ri st oi n t r o d u c et h es o - c a l l e dw t c k r u s k a la l g o r i t h m t os t u d yt h ep r o p e r t i e so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，w h i c hc o m b i n e st h ew t c a p p r o a c ha n d t h ek r u s l n ls i m p l i f i c a t i o n b yu s i n gt h i sa l g o r i t h m ，n o to n l yc a nw es t u d yw h e t h e rt h en o n l i n e a r e q u a t i o n sp a s st h ep a i n l e v 4t e s to rn o tv e r yq u i c k l y ，b u tt h et r u n c a t e dl a u r e n ts e r i e se x p a n s i o n r e l a t e dt oi n t e g r a b i l i t yp r o p e r t i e s ，s u c ha sb e c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n s ，l a xp a i r s ，h i r o t a sb i l i u e a r r e p r e s e n t a t i o n ，s p e c i a ls o l u t i o n s ，a r er e c o v e r e da tt h es a m et i m e i na d d i t i o nt oc h e c k i n gt h e p a i n l e v 6i n t e g r a b i l i t y ，t h ew t c k r u s k a l a l g o r i t h ma l s op r o v i d e sa ne f f e c t i v et o o lt os e a r c h i n gf o r n e wp a i n l e v 6i n t e g r a b l es y s t e m s s e v e r a ld i f f e r e n tt r u n c a t e de x p a n s i o nm e t h o d sb a s e do i lt h ep a i n l e v 4p r o p e r t ya r ei n v e s t i g a t e df o rf i n d i n ge x a c te x p l i c i ts o l u t i o n sa n di n t e g r a b i h t i e so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s f i r s t l y ，t h ea p p l i c a t i o no fs t a n d a r dt r u n c a t e de x p a n s i o nm e t h o dt oc o n s t r u c te x a c ts o l u t i o nf o r n o n - i n t e g r a b l ee q u a t i o n s ，a u t o - b e c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n s ，m u l t i p l es o l i t a r yw a v es o l u t i o n s ，m u l t i s o l i t o ns o l u t i o n sf o ri n t e g r a b l ee q u a t i o n sa r ed i s c n s s e d s e c o n d l y , t h ea p p h c a t i o no fh i g h e r - o r d e r t r u n c a t e de x p a n s i o nm e t h o dt oc o n s t r u c tn e w t y p e so fe x a c ts o l u t i o n s ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n s a sw e l la sl a x p a i r sa r ef u r t h e rc o n s i d e r e d t h e ns e v e r a lk i n d so fa l g e b r a i cm e t h o dt oc o n s t r u c t e x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a re v e l u t i o ue q u a t i o n sa r eu n i f i e df r o mt h ev i e w p o i n to ft h ep a i n l e v 5 a n a i y s i s p a r ti i ii sd e v o t e dt oi m p l e n t a t i o no fg e n e r a l i z e dd e f o r m a t i o nm a p p i n gm e t h o da n dt h e w t c k r u s k a la l g o r i t h mi nt h ec o m p u t e ra l g e b r a i cs y s t e m t h eg e n e r a h z e dd e f o r m a t i o nm a p p i n gm e t h o dt oc o n s t r u c tt r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n sf o rn o n - l i n e a re v o t u t i o ne q u a t i o n se n v o l y e st e d i o u sc a l c u l a t i o n s t h ea p p l i c a t i o no f c o m p u t e ra l g e b r ac a n b ev e r yh e l p f u li us u c hc a l c u l a t i o n s i nt h i sp a p e ra n a p p l i e dm a p l ep a c k a g en e t s i sd e v e l o p e do n t h eb a s e so fw i sc h a r a c t e r i s t i cs e t sm e t h o df o rs o l v i n gn o n l i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o n s w h i c hi sa c o m p l e t ei m p l e m e n t a t i o n o ft h eg e n e r a l i z e dm a p p i n gm e t h o d w eh a v ec o m p u t e d n e a r l yo n e h u n d r e dn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s u t i l i z i n gt h ep a c k a g en e t s ，i ts u c c e s s f u l l yr e c o v e r e das e r i e so f t r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n s t h i sp a c k a g ec a nh a n d l ep o l y n o m i a ln o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sw i t h a n yn u m b e r o fi n d e p e n d e n tv a r i a b l e sa n d a n yn u m b e r o fd e p e n d e n to n e s ，i nw h i c he a c he q u a t i o n i sap o l y n o m i a li nt h ed e p e n d e n tv a r i a b l e sa n dt h e i rd e r i v a t i v e s s o m es p e c i a lt y p eo fn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n sc a l lb ed e a l tw i t hn e t sa f t e rp r o p e rd e p e n d e n tf u n c t i o nt r a n s f o r m a t i o n a m a p l ep a c k a g e ，n a m e dw k p t e e t ，i sp r e s e n t e dt os t u d yw h e t h e ro rn o tn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n sp a s st h ep a i n l e v 6t e s t t h i sp a c k a g ei sb a s e do nt h es o c a l l e dw t c k r u s k a la l g o r i t h m ， w h i c hc o m b i n e st h es t a n d a r dw t c a l g o r i t h ma n d t h ek r u s k a ls i m p l i f i c a t i o na l g o r i t h m t h e r e f o r e w ec a nn o to n l ys t u d yw h e t h e rt h e 百y e ne q u a t i o n sp a s st h et e s t o rn o t ，b u ta l s oo b t a i ni t s t r u n c a t e de x p a n s i o nf o r mr e l a t e dt os o m ei n t e g r a h i l i t yp r o p e r t i e s i na d d i t i o n f o rt h em o d e l s w h i c hd on o tp a s st h ep a i r d e v 6t e s t ，t h ep r o g r a mo u t p u t st h ec o n s t r a b l tc o n d i t i o n sw h i c ht h e p a r a m e t e r ss a t i s f y t h ep a c k a g ec a r th a n d l ep m y n o m i mn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sw i t ha n y n u m b e ro fi n d e p e n d e n tv a r i a b l e sa n da n yn u m b e ro fd e p e n d e n to n e s ，i nw h i c he a c he q u a t i o ni s ap o l y n o m i a li nt h ed e p e n d e n tv a r i a b l e sa n dt h e i rd e r i v a t i v e s s o m es p e c i a l t y p eo fn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n sc a nb ed e a l tw i t hw k p t e s ta f t e rp r o p e rd e p e n d e n tf u n c t i o nt r a m s f o r m a t i o n m o r e o v e r ，t h i sp a c k a g ec a na l s oh a n d l et h en o n l i n e a rm o d e l sw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s k e y w o r d s ：n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ，s o l i t o n ，s y m b o l i cc o m p u t a t i o n ，e x a c t s o l u t i o n ， p a i n l e v 6p r o p e r t y , p a i n l e v 6 t e s t ，p a i n l e v 6t r u n c a t e de x p a n i s o n a m s ( 2 0 0 0 ) ：3 5 g 2 5 ，3 5 q 5 1 ，3 5 q 5 8 ，6 8 w 3 0 ，3 4 a 0 5 ，3 7 k 1 0 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 躲彳螂名：彦弋文 日期：击斜i d 日期：立业 第一章绪论 孤立子( s o l i t o n s ) 、混沌( c h a o s ) 及分形( f r a c t a l s ) 作为三种最重要的非线性现象，频现于 众多的研究领域，如物理( 包括流体力学、等离子体物理、凝聚态物理、基本粒子理论乃至天 体物理等分支) 、化学、生物、力学等孤立子理论是非线性科学的一个重要方向，它既反映 丁一类非常稳定的自然现象例如江河中的某一类水波、光纤中光信号的传播等，体现了大 类非线性相互作用的若干特征，并为许多应用问题( 如光孤子通讯) 提供了启示七十年代以 后，孤立子理论研究得到了迅猛的发展，国内外相继出版了许多这方面的专著 1 1 一 13 】如今， 对孤立于的研究已自成体系，作为一个独立的研究门类，一批介绍和发表孤立子研究进展与研 究成果的非线性专列，如p h y s i c ad 、c h a o s ，s o l i t o n sa n d1 曙a c t a l s 相继闻世，国际上著名的 期刊p h y s i c sl e t t e r sa 等也开辟专栏报道相关研究成果不仅如此，孤立子的实践应用也具有 非常广阔的前景，例如利用光孤子不改变其波形、波速，光纤孤子通信具有失真小、保密性好 等优点，对它的研究及应用吸引了人们越来越多的注意如今，孤立子已渗透到几乎所有的自 然科学领域激光、超导。晶格、位错、等离子体、分子系统、生物系统、流体动力学、地球 科学、生命科学等许多学科分支，都与孤立予有着极为密切的关系可以说，孤立子理论的研 究及其应用具有重要的理论意义和实践价值 为了理解各种非线性问题的物理机理，众多学者建立了若干非线性模型描述随时间而演 变的过程的非线性模型通常被称作非线性演化方程或非线性发展方程孤立于理论研究的个 重要内容，就是寻找非线性演化方程的精确解，分析方程的可积性质近年来，非线性演化方 程的研究十分活跃，相关研究成果不断涌现。尤其是新的研究方法更是层出不穷以下我们从 非线性演化方程精确解构造方法、可积性质的研究、符号计算在非线性演化方程研究中的应用 三个方面加以综述 1 1非线性演化方程精确解及可积性研究的若干工作 1 1 1 非线性演化方程精确解构造方法 对于非线性演化方程解的研究一般是从以下三个方面进行的其一，在难以求得显式解的 情形下，对解的适定性( 存在性、唯一性和稳定性) 进行分析；其二，借助于计算数学理论和 计算机技术。对解进行数值模拟和分析；其三，应用某些数学技巧或假设构造适当的变换使 方程简化并求出某些显式解近年来，非线性演化方程精确解的构造性方法的研究得以蓬勃发 展，提出并发展了一系列行之有效的方法，如反散射方法、d a r b o u x 变换、b g c k l u n d