（系统理论专业论文）模糊近似空间中模糊粗糙集的新定义及应用.pdf

y 6 6 9 3 0 4 昆明理工大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下( 或 我个人) 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内 容夕卜，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研冗成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名 曰 期 鼬毕 狰印月( 7 日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解昆明理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以录用影印或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守) 导师签名：i 报i 区浊 论文作者签名 堕丝 期：独生宰目颦旦 垦明堡上厶堂亟婴筮生堂位丝塞 搓趔堑型垒回生拦趔担撞篡盥堑定竖熟基应出 摘要 在很多实际的系统中均不同程度的存在着不确定性，因此，如何处理这些 信息显得尤为重要，智能信息处理越来越受到广大学者的关注，成为当前信息 科学与应用研究的一个热点。人们要求计算机像人脑一样，能自行识别和处理 客观世界中的不确定问题。 模糊集理论是美国控制论专家扎德于1 9 6 5 年提出的一种处理非精确的现象 的数学工具，该工具着眼于集合的模糊性，利用隶属度的概念来表示集合的模 糊程度。 粗糙集理论是出波兰教授帕拉克于2 0 世纪8 0 年代初提出的一种研究不完 备，不确定知识库和数据的表达，学习，归纳的数学工具。该数学工具着眼于 集合的粗糙程度，借助于不可分辨思想来刻画集合的粗糙程度。 既然模糊集理论和粗糙集理论都可运用观察，测试数据表达知识，进行推 理，因此，自然要寻求这两者的结合，即作为粗糙集描述近似空间中的知识是 模糊概念时，就有模糊粗糙集理论的产生。这样我们可以利用粗糙集的概念考 虑模糊集合的粗近似问题，以及利用模糊集的理论研究模糊丰h 糙集的模糊性。 本文在简要回忆一下模糊集和粗糙集的基本概念后，以粗糙集理论为背景， 在模糊近似空阳j 中给出了模糊粗糙集的另一种定义，讨论了该定义与文献1 3 0 l 定 义的模糊粗糙集的区别，论证了本文所定义的模糊粗糙集的近似精度大于文献 p o 】定义的模糊粗糙集的近似精度；利用模糊集的有关理论定义了模糊粗糙变换， 讨论了模糊粗糙变换的性质，并在此基础上给出了模糊粗糙集的扩张定理：在 模糊粗糙集概念的基础上，从概率论的出发点来研究模糊$ h 糙集，首次提出了 概率模糊卡r 糙集的概念，讨论了概率模糊粗糙近似算予的性质。研究了b a y e s 决策与概率模糊粗糙近似的关系，给出其在医疗渗断方面的具体应用。 关键词：模糊集，料糙集，模糊近似空间，模糊粗糙变换，模糊相糙集 概率模糊耜糙集， 丝塑堡! ：厶：兰亟监宣生堂位丝塞燮塑运型窒回生拦塑塑丝塞的逝定竖曩墓应日 a b s t r a c t t os o m ee x t e n t ，u n c e r t a i n t ye x i s t si nm o s to fr e a ls y s t e m s t h e r e f o r e ，i tisv e r y i m p o r t a n th o wt od e a lw i t ht h e s ek i n d so fi n f o r m a t i o n ，a n di n t e l l i g e n ti n f o r m a t i o n p r o c e e d i n gisg e t t i n gm o r ea n dm o r ec o n c e r n e db ys c h o l a r sa n db e c o m e sav e r yh o t p o i n ti nt h e o r ya n da p p l i c a t i o no fi n f o r m a t i o ns c i e n c e p e o p l en e e dc o m p u t e rt o a u t o m a t i c a l l yr e c o g n i z ea n dm a n a g ei n d e f i n i t ep h e n o m e n ai ni m p e r s o n a lw o r l d 1 i k eh u m a nc e r e b r a f u z z ys e tt h e o r y ，p u tf o r w a r db ya m e r i c a nc y b e r n e t i cse x p e r tz a d e h ，is m a t h e m a t i c i a nt o o lt oc o n d u c tt h ei n a c c u r a t ep h e n o m e n a i tf o c u s e sont h eb l u r r i n g o fs e t s ，a n d e x p l a i n st h ee x t e n to fi n a c c u r a c yo fs e t su s i n gt h ec o n c e p to f m e m b e r s h i pf u n c t i o n r o u g hs e tt h e o r y ，p u tf o r w a r db yp r o f e s s o rp a w l a k ，i nt h ee a r l yo f2 0c e n t u r y 8 0 s ，i sam e t h o dt os t u d yt h ee x p r e s s i o na n dl e a n i n go fi n c o m p l e t eo ru n c e r t a i n k n o w l e d g eb a s e t h em e t h o df o c u s e so nt h er o u g h n e s so fs e t s ，u s e sn o d i v i s i o n c o n c e p tt oe x p r e s st h er o u g h n e s so fs e t s n a t u r a l l yac o m b i n a t i o no ft h e s et w ot h e o r i e scanb es e a r c h e ds i n c ef u z z ys e t t h e o r ya n dr o u g hs e tt h e o r ycanb eu s e dt oe x p r e s sk n o w l e d g et h r o u g ho b s e r v i n g a n dt e s t i n gd a t u m t h a ti s ，t h ef u z z yr o u g hs e tt h e o r yc o m e si n t ob e i n g w h e nt h e k n o w l e d g ed e s c r i b e di na p p r o x i m a t eu n i t ei sf u z z yn o t i o n u n d e rs u c hc ir c u m s t a n c e w em a ya n a l y z er o u g ha p p r o x i m a t i o np r o b l e m sb yr o u g hs e t t h e o r y ，a n ds t u d y r o u g h n e s so ff u z z yr o u g hs e tb yf u z z ys e tt h e o r y i nt h isa r t i c l e ，a f t e rr e c a l l i n gt h eb a s i sc o n c e p t so ff u z z ys e ta n dr o u g hs e t ，a 2 丝明理= l 厶堂亟主班壅生鲎位坌塞拦趔运似窒回生拦塑担丝塞曲堑定竖盈墓应删 n e wd e f i n i t i o no ff u z z yr o u g hs e ti so f f e r e d ，a n dt h ed e f e r e n c eb e t w e e nt h e d e f i n i t i o na n dt h a to fg i v e ni nd o c u m e n t 【3 0 】i sd is c u s s e d ，t h ea p p r o x i m a t ea c c u r a c y i sl a r g e rt h a nt h a to fg i v e ni nd o c u m e n t 【3 0 】u s i n gf u z z ys e tt h e o r y f u z z yr o u g h c o n v e r s i o ni sd e f i n e da n di t sp r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e d ，a n dt h ee x t e n s i o nt h e o r e mo f f u z z yr o u g hs e ti sg i v e n b a s e donf u z z yr o u g hs e tt h e o r ya n dp r o b a b i l i t yt h e o r y a k i n do fp r o b a b i l i t yf u z z yr o u g hs e ti sg i v e nf i r s t ，m o r e o v e r ，i t sp r o p e r t i e sa r eg i v e n a n di t sa p p l i c a t i o ni nm e d i c a ld i a g n o s ei s d is c u s s e d k e yw o r d s ：f u z z ys e t ，r o u g hs e t ，f u z z ya p p r o x i m a t i o nu n i t e s ，f u z z yr o u g h c o n v e r s i o n ，f u z z yr o u g hs e t ，p r o b a b i l i t yf u z z yr o u g hs e t 丝塑堡! ：厶堂亟主堑壅生堂位途塞燕翘重型至闻主筮塑担拦塞丝逝定塞蕉基堕盥 1 1 模糊集理论概述 第一章绪论 随着社会和科学技术更加进步、发展，人们认识事物的需要在增加，并且 水平在提高。现有的科学技术总是不能满足人们认识的需求。数学作为一项认 知自然、社会的工具，人们要求它能够处理更为复杂的不确定现象，特别是人 文科学、社会科学和思维科学中的不确定现象，也要求计算机像人脑一样，能 自行识别和处理客观世界中的不确定问题。 美国著名的控制论专家扎德是位很有见识的科学家，他f 视并为解决这类 问题与19 6 5 年，发表了模糊数学一文，大胆地对现代数学的基石集合论进 行修改和补充，提出了用模糊集合作为表现模糊事物的数学模型。宣告了新兴 学科模糊数学的诞生，从此模糊数学作为一门新的数学分支而逐步发展起来。 它给数学，科学，哲学提出一系列广泛、深刻的问题，人们称之为数学史继经 典数学、统计数学之后的又一个新数学理论时期。 模糊数学的发展沿着两条途径：一方面是研究模糊性的内在规律，也就是 探讨模糊语言和模糊逻辑。在这个方向上，模糊数学与人工智能、知识工程、 专家系统等分支的有机结合，以增进电脑活性，更好地模拟人的思维，对客观 事物进行识别、聚类、论证、决策、评价、控制、优化等等：另方面是把模 糊集合当作一个能概括更多样化数学概念框架，建立处理模糊现象的确切性的 数学理论，以拓广数学基础，产生像模糊拓扑、模糊拓扑空间、模糊测度、模 糊积分、模糊群论、模糊图论、模糊规划、模糊概率、模糊粗糙等新的方向， 使经典数学的若干方面在更广阔更深刻的意义下向前发展。同时探讨模糊数学 与传统数学在理论方面的关系，从而深化人类对数学中若干基本概念的认识。 由于模糊数学打破了形而上学的束缚，即探究事物“非此非彼”的明晰状态， 又考察事物的“办此办彼”的过度性态，因而它的适应性也就比传统数学广泛 的多，应用的触角伸向了科学、技术、管理的许多领域，如信息革命与机器智 能、自动控制、系统理论、信息检索、意志决策、经济管理、语言识别、人工 智能、计算机科学、生物学、心理学、社会学等等。 1 2 粗糙集理论研究概况 粗糙集作为一种处理不精确、不确定与不完整数据的新的数学理论，最初 是由波兰数学家p a w l a k i i o l 于1 9 8 2 年提出的。由于最初关于粗糙集理论的研究大 部分是用波兰语发表，因此当时没有引起国际计算机界和数学界的重视，研究 地域也仅局限在东欧一些国家，直到2 0 世纪8 0 年代术才逐渐引起各国学者的 竖盟堡l ：厶堂亟盟五生堂位逭塞拦猢堑型垒回主拦趔担鳖塞的堑定竖丛基厘刿 注意。近几年，由于它在机器学习与知识发现4 】i “”j 3 q 、数据挖掘2 】【8 】【”】13 4 、 决策支持与分析mj 1 1 4 等方面的广泛应用，研究逐渐趋热。1 9 9 2 年，第一界关 于粗糙集理论的国际学术会议在波兰召开。19 9 5 年，a c mc o m m u n i c a t i o n 将其 列入新浮现的计算机科学的研究课题。1 9 9 8 年，国际信息科学杂志( i n f o r m a t i o n s c i e n c e s ) 还为粗糙集理论的研究出了一期专辑。 粗糙集是建立在分类机制基础上的，它将分类理解为在特定空间上的等价 关系，而等价关系构成了对该空i 剖的划分。羊且糙集理论将知识理解为对数据的 划分，每一被划分的集合称为概念。粗糙集理论的主要思想是利用已知的知 = 库，将不确定或不准确的知识用已知的知识库中的知识来刻画。该理论与其它 处理不精确或不确定理论的最显著的区别是它无须提供所处理的数据集合以外 的任何先验信息，所以这个理论与概率论、模糊数学和证据理论等其它处理不 确定或不精确问题的理论有很强的互补性。 粗糙集理论的研究由于其历史较短，所以至今为止粗糙集的概念的定义还没 有完全的同一，比较经典的一种就是原始的p a w l a k 意义下的，也有由上下近似 构成的一对集合来命名的13 1 ，还有以上近似和下近似构成的集合类来定义的 1 6 1 ， 定义的观点不同往往带来的研究的侧重点的不同。目前，对粗糙集研究主要集 中在：粗糙集模型的推广，问题的不确定性研究，与其它处理不确定、模糊性 问题的数学理论的关系与互补，纯粹的数学理论方面的研究，粗糙集的算法研 究和人工智能其它方向关系的研究等，最近还有一些关于粗糙集和神经网络结 合在股票分析中的应用研究 2 6 1 ，这说明粗糙集在分析投资方面已经有了很大的 发展空| 日j 。这些研究有的是受应用产生的，有的是纯理论的。 1 3 1 粗糙集模型的推广 p a w l a k 粗糙集模型的推广一直是粗糙集理论研究的主流方向，目日u 主要有两 种方法：( 1 ) 构造性方法：( 2 ) 代数性( 公理化) 方法。构造性方法是对原始 h 糙集模型的一般推广，其主要思路是从给定的近似空间出发去研究粗糙集和 近似算子。代数方法也称为公理化方法有时也称为算子方法，这种方法不是以 二元关系为基本要素，它的基本思想是一对满足某些公理的一+ 元近似算子 l h ：2 斗2 “，即粗糙代数系统( 2 “，u ，n ，三，h ) 中近似算子是事先给定的，这种 方法研究的明显优点是能够深刻了解近似算子的代数结构，其缺点是应用性不 够强。 1 3 2 不确定性问题的理论研究 粗糙集理论中知识的不确定性产生的原因主要有两个：一个原因是直接来 6 睦啮堡上厶里亟蛆基生堂位迨塞拦趔重型窒间主攫塑担丝塞曲逝定塞盈基应趟 源于论域上的二元关系及其产生的知识模块，即近似空问本身，如果二元关系 产生的每个等价类中只有个元素，那么等价关系产生的划分不含有任何信息。 划分越细，每个知识模块越大，知识库中的知识越粗糙，相对于近似空间的概 念和知识就越不确定，这时处理知识的不确定的方法往往用信息上熵来刻画， 知识的粗糙性实际上是其所含信息多少的更深层次的刻画l i 2 2 1 i ! “12 7 1 4 0 1 。单从这 个角度看，粗糙集理论与信息论的关系就比较密切，不少学者在这方面做了研 究工作”i 。 1 3 3 算研究 粗糙集理论中有效算法研究是粗糙集在人工智能方向上的个主要方向。 目前，粗糙集理论中有效算法研究主要集中在导出规则的增量式算法 3 9 1 ，约简 的启发式算法川川“，粗糙集的并行算法【2 0 】，以及与粗糙集结合的神经网络算法 等l s l 【3 7 】1 3 8 。这些研究的成功应用有的已经获得商业价值。 1 3 4 其它数学理论的联系 对粗糙集理论的研究的不断深入，与其它数学分支的联系也更加密切。例如， 从算子的观点看粗糙集理论，与之关系较紧的有拓扑空问、数理逻辑、格于布 尔代数、算子代数等：从构造性和集合的观点看，它与概率论、模糊数学、证 据理论、图论、信息论等联系较为密切。粗糙集理论不但需要这些理论作基础， 同时也相应地带动这些理论的发展。 至今为止，就我们所知粗糙集理论研究与应用只限于给出数掘的知识处理， 对于由文本和连续图象的处理我们尚未见到。目前，纯粹的数学理论与粗糙集 理论结合起来进行研究的文章已经出现，并不断有新的数学概念出现，如粗糙 逻辑川 9 1 、粗糙理想、粗糙半群等等。随着粗糙结构与代数结构、拓扑结构、 序结构等各种结构不断整合，必将出现新的富有生机的数学分支。 1 4 本文知识简介 文章共分五部分。第部分我们简要介绍了粗糙集和模糊集的研究概述和 研究现状，紧接着我们给出了相应的预备知识，第t 部分我们讨论了模糊近似 空间中的模糊粗糙集的新定义，第四部分我们利用模糊集理论的观点研究模糊 粗糙集，定义了模糊粗糙变换，讨论其性质，在此基础上给出了模糊粗糙集的 扩张原理，第五部分讨论了一种新的模糊粗糙集模型概率模糊粗糙集。 照明堡l 厶堂亟姐塞生堂位监塞拦塑堑丛窒间生丝蝴塑丝篡尥堑定塞拯基应出 第二章预备知识 2 1 粗糙集理论的基本概念 设u 是非空有限论域，只是u 上的普通等价关系序对a = ( u ，r ) 称为近似空 间。v ( x ，y ) u u ，若( x ，y ) r ，则称对象x 与y 在近似空间中是不可分辨的。u r 是u 上由r 生成的等价类全体，它构成了u 的一个划分。可以证明，u i - 的划分 j 丁以与u 上的二元等价关系之间建立一一对应。u r 中的集合称为基本集或原子 集。若将u 中的集合称为概念或表示知识，则a = ( u ，r ) 称为知识库，原子集表 示基本概念或知识模块。任意有限的基本集的并和空集均称为可定义集，否则 称为不可定义集。可定义集也称为精确集，它可以在知识库中被精确的定义或 描述，可表示已知的知识。可以验证所有可定义集可构成u 上的一个拓扑。 粗糙集理论的成功应用必须基于对其理论所包含的各种概念的比较清晰的 理解。 对于论域u 上任意一个子集z 不一定能知识库中的知识来精确地描述， 即x 可能为不可定义集，这时就用爿关于a 的一对下近似a p r x 和上近似面来 “近似”的描述，其定义如下： a p r x = t j “x 孤x 】x = z u i x x ) ( 2 1 ) a p r x = u 【x 】l x n x 庐) = x u | x 】n z ( 2 2 ) 下近似a p r x 也称为z 关于彳的正域，记做p 。“j ) ，它可以解释为由那些根据 现有知识判断出肯定属于的对象所组成的最大集合。上近似a p r x 可以解释为 由那些根据现有知识判断出可能属于肖的对象所组成的最小集合。u a p r x 称为 石关于a 的负域，记做n e g ( x ) ，可以解释为由那些根据现有知识判断出肯定不 属于x 的对象所组成的集合。a p r x a p r x 称为的边界，记做8 n ( x ) ，它可以解 释为有那些根据现有知识判断出可能属于但不能完全肯定是否一定属于x 的 对象中所组成的集合。 从上面的定义可以看出，下近似a p r x 是爿中含在中的最大可定义集，而 上近似a p r x 是a 中含x 的最小可定义集。因此，x 是可定义集的充要条件是 o p r x = a p r x ；当爿不可定义时，a p r x a p r x ，此时称是粗糙集。称 ( 2 u - n ，a p r ，a p r ) 为粗糙集代数系统。 x 关于a 的近似质量定义为 r 4 ( x ) = j 旦竺xj 1 u j ( 2 3 ) 世盟堡i ：厶堂亟虹壅生：i 三位途塞 拦塑堑丛窒闷主搓趔担楚塞的堑童塞巫基应刖 其中 表示集合彳的基数。近似质量反映了知识x 中肯定在知识库中的部分占 现有知识的百分比。 关于一的粗糙性测度定义为 p a ( z ) = 1 一i 型l 1 动i ( 2 4 ) 显然，o s p a ( 肖) 玉1 ，x 是可定义集当且仅当p 。( z ) = 0 ，x 是粗糙集当且仅当 p 。( ) 0 ，粗糙性测度反映了知识的不完全程度。 2 ，2 模糊集的概念 定义1 1 9 1 论域u 上的一个模糊集合a 是出u 上的一个隶属函数：a ：u 斗f 0 ，1 1 来表示，其中a ( x ) 表示元素x 隶属于模糊集合a 的程度。 定义2 ”1 设4 ，b f ( u ) ，若对任意的x u ，有爿0 ) b ( x ) ，则称a 包含于b 或b 包 含a ，记作a b 。若a b ，b a 周对成立，则称a ，君相等。记作a ：b 。 分解定理j 设a f ) ，则a = ，。2 , 4 ，其中州。称为丑与a 。的模糊截集， 目u ，j i 其隶属函数定义为：( 触。) ( x ) = 五、a 。( x ) 。 扩张原理d 1 设三是完备格，：肖一y 是普通的映射。则由映射厂诱导出的映 射：7 ：j ，a 哼7 ( 爿) 叫做由厂诱导的z a d e h 型函数。若f ( a ) 的隶属函数由等式 ( 一) ( y ) = v 爿( x ) l 工z ，f ( x ) = y 所确定。 2 3 模糊粗糙集模型 随着在人们的实际生活中所涉及更多的是模糊概念和模糊知识，反映在粗糙 集模型中主要有两种，一种是知识库的知识是清晰的而被近似的概念是模糊的， 另一种是知识库的知识和被近似的概念都是模糊的】m l 。 定义1 | 2g 】设( ( ，尺) 是近似空问，r 是u 上的普通等价关系，a f ( u ) ，分别称 = u 五鱼，a = u 2 a , t ，ha 的下、上近似集。( ，爿) 称为模糊粗糙集。对于v x u l e 【0 , i 】z e f 0 ，i 】 隶属度( x ) = ( 删u 叫? 生) ( x ) 2 。e vj 】五“生( x ) ，爿( x ) = ( 州u 。予以) ( x ) 2 州v 。l a a a a ( x ) 分别表 示根据知识r ，x 肯定属于或可能属于a 的隶属度。 丝明堡：! ：厶堂亟班宜生堂垃监童 熊塑近似窒闷主拦趔担趱塞的逝定丛送应划 第三章模糊近似空间中模糊粗糙集的新定义 3 1 模糊近似空间中模糊粗糙集的新定义 定义1 设u 是论域，r 是u 上的一个模糊等价关系，称二元组( u ，r ) 为模糊 近似空间。 定义2 设( u ，尺) 为模糊近似空间，v a f ( ，定义模糊集4 在模糊近似空问 ( u ，r ) 中的下、上近似集仍为模糊集，v x u ，其隶属函数分别为： ( x ) 2 嘴 爿( 帅一r ( x ，y ) 爿( y ) ) j ( x ) = s u p a ( y ) r ( x ，y ) 爿( y ) y c u 约定当对v y u 有1 一r ( x ，y ) 彳( y ) 时，( x ) = 0 。当v y u ，有r ( x ，_ y ) 爿( y ) 时， 爿( x ) = 0 。 定义3 当4 = j 时，称模糊集a 在模糊近似空间中是可定义的；当4 a 时， 称模糊集a 在模糊近似空间中是粗糙的，此时也称a 是模糊粗糙集。 命题1 设( u ，r ) 为模糊近似空间，v a f ( ，若v x u ，爿( x ) = ，z 【0 , 1 ，则 模糊集a 在模糊近似空间中是可定义的。 命题1 的证明是容易的。 命题2 设( u ，尺) 为p a w l a k 近似空间，即设u 是论域，r 是u 上的一个普通等 价关系。v a f ( u ) ，按定义2 ，则v x u ， ( x ) = 赠 一( y ) i l r ( x ，y ) 爿( y ) ) _ 戆 爿( 川y i x 】一 a ( x ) = s u p a ( y ) r ( x ，y ) 爿( y ) = s u p a ( y ) y x h ) l 。e f ，引 命题2 晓明张文修等编著的粗糙集理论与方法一书中所定义的普通等 价关系下的模糊粗糙集是本文中模糊近似空问上的模糊粗糙集的新定义的一种 特殊情况。本文研究的模糊粗糙集的新定义是建立在模糊等价关系上的，因而 该定义的适用范围要广。 3 2 与其它模糊粗糙集算子的比较 定义1 设( u ，r ) 为模糊近似空问，v a f ( ，定义a 关于( u ，r ) 的粗糙度 肼( 爿) 为 i n 缱明堡上厶堂亟监窭生堂位迨塞拦塑堑世窒闷生丝塑担撞塞丝逝定竖巫基应出 硝俨卜器 当网= 。时，约定既c 爿，= 。；称玎一c 爿，= 哥为爿关于c u ，r ，的近似精度。 显然，0sp n ( 爿) s 1 ，0 刁月( 彳) l ，若a 是可定义的，则有p n ( 爿) = 0 ，7 。( 彳) = 1 。 定理1 若s r ，a f ( u ) ，则ne4 n ，a ，a r 。 证明 由于s r 当且仅当v x ，y u 有s ( x ，y ) 茎e ( x ，y ) ，于是有 4 s ( ) 2 噶 4 ( 帅一r ( x ，y ) 彳( y ) 嘴 爿( 帅一s ( y ) 一( y ) 卜4 x ( x ) 从而4 。4 。同理j 。冬j ” 定理2 若s r ，a f ( u ) ，则p s ( a ) p n 似) 。 证明由定义1 和定理1 即得。 注定理2 说明划分越细，所得近似的粗糙度就越小。 文献 3 0 l 中也提出了一种模糊近似空间上的模糊粗糙集，定义如下： 定义3 1 3 0 1 设( u ，尺) 为模糊近似空间，v a f ( e ，) ，定义模糊集a 在模糊近似 空阳j ( u ，r ) 中的下、上近似集仍为模糊集，v x u ，其隶属函数分别为： 4 ( x ) = i n h l 一n ( x ，y ) ) va ( y ) v “ a ( x ) = s u p r ( x ，y ) a ( y ) v e u 命题1 设( u ，r ) 是模糊近似空间，a f ( ，记、j 分别为文献【3 0 1 中定义 的模糊粗糙集的下、上近似集，爿，、a ，分别为本文中给出的模糊粗糙集的下、 上 近似集。则下式成立： 4 l 至a 4 l a 证明 只需证4 4 。，a j 爿i 。v x u 功= i 蟑卜趟五力) v 爿i 已f 爿叫1 一斌五力钺力) _ 4 ，( 功 v uv “ 娃堕理：! 二厶堂熊丛嚣生堂位迨塞搓物运丛窒间虫拦塑担趱塞曲堑定竖丛基应圳 集。 a ( x ) = s u p r ( x ，y ) xa ( y ) s u p a ( y ) | r ( x ，_ y ) 爿 ) = a i ) j e “蚱u 所以4 4 i a a i a 成立。 这罩可以看出本文所定义的模糊粗糙集的下、上近似更贴近于该模糊粗糙 命题2 本文新定义的模糊近似空间中的模糊粗糙集的近似精度高于文献【3 0 中模糊粗糙集的近似精度。 由命题1 即知命题2 成立。 3 3 模糊近似空间上模糊粗糙集的- i 生质 引理1v a ，b ，c 【0 , 1 ，下列等式成立 日v b c 口v b = n k a v b i c 6 ) 证明显然。 定理1 设，r ) 为模糊近似空问，w ，b f ( u ) ，则 ( 1 ) a a ( 2 ) 爿u b = a u b ：丛金鱼= 一a n 堡 ( 3 ) = = a ；a = 一a ( 4 ) a = a ：a = 一a ( 5 ) u = u ；= ( 6 ) 若a b ，则旦，a b 证明这罩只证一半性质，其余一半完全类似。 ( 1 ) 4 ( x ) = 孵爿( y ) j l m ，y ) s 爿( 埘茎赠砷一m 爿( 纠= m ) 爿( x ) = s u p 爿( x ) 1 月( x ，工) 爿( 工) 兰s u p a ( y ) l r ( x ，y ) 爿( y ) = 爿( x ) 1 fl 。“ 所以一a a a 成立。 ( 2 ) 由引理可知，u ，下列等式成立 岜嘎垄上厶堂蝗盟嚣生室焦地塞 搓塑逗型窒间主拦糊担撞塞的堑定塞巫墓应出 爿( j ，) vb ( y ) i r ( x ，y ) ( 爿( y ) vb ( y ) ) = 一( y ) r ( t y ) 一( _ y ) ) v b ( y ) j r ( x ，y ) b ( y ) ) 由于对任意的y 上式成立，所以有 s u p a ( y ) vb ( y ) l r ( x ，y ) ( 4 ( y ) vb ( y ) ) v “ = s u p ( 爿( j ，) i r ( x ，y ) 爿( y ) ) v b ( y ) i r ( x ，y ) b ( y ) v e f + s u p a ( y ) i r ( x ，y ) 爿( y ) ) v s u p b ( y ) l r ( x ，y ) b ( y ) ) y “v ( ， j ( x ) v 否( x ) = ( a u b ) ( x ) 所以a u b = a u b 成立。 ( 3 ) 型( x ) 2 翳 ( 一) ( 帅一r ( x ，y ) 兰( 爿) ( y ) = i 。n 。f ， 1 一a ( y ) 1 1 一尺( x ，y ) 兰1 一彳( y ) ) = 1 一s u p a ( y ) l r ( x ，y ) 一( ) ，) y e t ； = 1 一爿( x ) = ( 爿) ( x ) 所以aa 成立。 ( 4 ) a ( x ) = s u p a ( y ) r ( x ，y ) 爿( y ) ) l e 一 = s u p s u p a ( z ) l r ( y ，= ) a ( z ) i l e ( x ，y ) 4 ( y ) ) v “7 = s u p s u p a ( z ) r ( x ，z ) a ( z ) l e ( x ，y ) 爿( y ) ) p e 【，v e ， = s u p a ( x ) r ( x ，y ) 爿( y ) ) v e f + = j ( 工) 坠嘎型上厶室亟研冠生鲎位逭塞拦趔运型至回生拦趔狸鳖塞的逝定竖丛墓应趟 故a = a 成立。 ( 5 ) 由于对于任意的x u ，u ( x ) = 1 ，所以 型( x ) 。i n f u ( y ) 1 1 一r ( x ，y ) s 爿( y ) 21 因此型= u 。 ( 6 ) 由于a b ，所以v y u ，有a ( y ) b ( y ) 。 旦( x ) 2i 醇 曰( y ) 1 1 一r ( x ，y ) b ( y ) = l 一。( ，i 。n f e 州。) b ( y ) i l r ( x ，y ) 茎口( y ) 州。l i 。n ( 。fe 。( ，) b ( y ) j 1 一r ( x ，y ) b ( y ) l n ( 。i ，n ，1 f ；( ，1 爿( y ) j 1 一只( x ，y ) - a ( y ) x 。( ，) 。一i n n ( ，f ，) ( 。( ，) 爿( y ) i 彳( y ) 1 一r ( x ，y ) b ( y ) a ( x ) i x ( x ) = 0 ) 所以垦3 4 成立。 小结 本文讨论的模糊近似空间中模糊粗糙集的新定义，是p a l a w k 近似空间上 粗糙集模型和模糊粗糙集模型的推广。该定义与文献3 0 1 中模糊粗糙集的定义比较， 在保留原有一些性质的基础上，近似精度却提高了，因此该模型更具有实际应 用的价值。 岜盟理l 厶! ：亟型 筮生鲎位途塞 丝塑逗丝窒间虫拦塑担挺塞盥堑定竖丛墓应出 第四章模糊粗糙集的扩张定理 4 1 模糊粗糙集的格运算性质 定义1 设三l 与上：是完各格，映射f ：斗l ：叫做保并映射，如果对厶的任意 一个子集a 都有f ( v a ) = v f ( a ) 。 定义2 【6 】设r 为粗糙集之集合x = ( x ，x 。，) r ，l 是格，则x 中的一个模糊粗 糙集a = ( 4 ，爿，) 由一对映射a ，a 。，来刻划： a 1 ：x 1 _ la t x i i l a ( x ) s a c ，( 工)v x ， 记模糊粗糙集为f r 集。 定义3 【1 7 8 】设a l ：x 斗( 记为爿 l v 9 ，a f ，：x f ，斗上( 记为4 ，l w ) ，其中 ( x ，z f ，) 为粗糙集， 上为格，v a 三， ( 爿 ) 。= x x l 爿，( x ) 口 并 ， ( 4 ，) 。2 x x ，l a ，( x ) a x 则( ( l ) 。，( 卅f ，) 。) 称为f r 集( 爿l ，a f ，) 的口截集。为 方便起见，彳用骧示，4 ，用j 表示，则( 4 ) 。= 4 。，( 4 ，) 。= j 。 定理1 【l5 1 ( 分解定理) 设l 是完备格，一a l n ，j p ，则 2u 口。 a = u 口j 。 其中， v x ， ( 口4 。) ( x ) = 口 。( x ) ： v x 工，( 口j 。) ( x ) = d j 。( x ) ： 定义4 1 6 1 设a = ( 4 ，j ) ，b = ( 查，百) f r ， a cb ，若( x ) 查( x ) ，( v x ) 且j ( x ) 兰面( r ) ，( v x x ，) ，即一a 旦且一a c b ； a = b ，若4 ( 工) = 旦( x ) ，( v x x ) 且j ( x ) = 百( z ) ，( v x ，) ，即一a = 旦且一a = 一b c = a u b ，若( x ) = m a x a ( x ) ，旦( x ) ) ，( v x x ) 且i ( x ) = m a x 一a ( x ) ，百( x ) ) ，( v x x ，) 即c = ( ，己) = 爿u 曰= ( a w b ，一a w b ) ： d = a n b t 若塑( x ) = i n f a ( x ) ，旦( x ) ) ，( v x x ) s 邑凹型二! ：厶堂亟皿壅生堂位途塞搓麴运世窑阊主撞期塑蕉塞盥堑定塞丛基应刖 且d ( x ) = i n f a ( x ) ，口( x ) ) ，( v x j f ，) 即d = ( 旦，d ) = a n b = ( n 旦，a n b ) 。 定理2 设r 为粗糙集之集合，并= ( x ，。，) 尺，l 是格，x 上的模糊粗糙集之 全体记为r 则代数系统( f ，u ，n ) 是格。 推论1 设r 为粗糙集之集合，x = ( _ ，x ，) r ，l 是完备格，上的模糊粗糙 集之全体记为r ，则代数系统( f ，u - n ) 是完备格。e l iv a ，上( f ，) a ，= ( ，j ，) ，令 e = u 爿，f = n a ，( e = ( 亘，i ) ；f = ( ，i ) ) 则 ， 曼( x ) = s u p a _ ( x ) ，( v x 扎) ，面( x ) = 脚j ，v x x ( ， j e ，e ， ( x ) 2i n f ，( x ) ，( v x x l ) ，f ( x ) = i n f a ，( x ) ，v x f ， 定义5 设和l ：+ 是完备格，其元素均为模糊粗糙集。映射厂：l ，+ jl ：叫 做模糊粗糙集的保并映射，若v a ，l i * ( f n a ，= ( 。，j ，) ，有f ( u a ) = u f ( a ，) ，即 f ( u a i ) = f ( u a ，u _ 。) = u ( f ( a ，) ，f ( a ) ) 。 4 2 模糊粗糙变换及其性质 定义1 设r ( 爿) ，r ：( y ) 分别是近似空间( ，r 。) 与( y ，r ：) 上的粗糙集。映射 f ：x y 诱导的映射厶：r ，( x ) _ 月：( y )( 工。，z 。，) j 厶( x ，五，) = ( k ，r ，) 称为论 域到y 的粗糙变换。 其中g ( x ，x ，) 垒( y i 厂( z ) = y ，x z ， ， y l f ( x ) = y ，z x 。，) ) 。 定义2 设f r l ( x ) ，f r ：( y ) 分别为近似空间( x ，r ) 与( lr 2 ) 的模糊粗糙集， f ：x 斗，诱导的映射一。：f r ，( z ) 斗朋。( y )( 丛爿) 斗而( ，彳) = ( 旦，口) 叫做厂诱导 的模糊粗糙变换。 其中一。( ，爿) 的隶属函数由下面的等式确定： 宣( x ) = v a ( x ) l x ，( x ) = y ) b ( x ) = v l a ( x ) i x z ，厂( x ) = y ) 上两式也简记为 。( ，一) ( j ，) = ( v 4 ( x ) k x ，厂( x ) = y ，v a ( x ) l x x ，i 厂( x ) = y ) ) 。 6 娃咀理! ：厶生亟班壅生堂位迨塞 搓塑逗世窑间虫拦趔担拦篡的逝定塞丛基应刖 定义3 设厂：鼻斗y 是近似空间( x ，r ，) 与( y r ：) 的映射，由厂诱导出的 映射一：f r 。( y ) 斗f r ：( ) ( 旦，b ) _ ，( 垦b ) 垒( ，爿) 叫，诱导模糊粗糙逆变换， 其中( 里，b ) 是由隶属函数由等式( x ) = 宣( ( x ) ) ，爿( x ) = 曰( 厂( x ) ) 所确定a 上式也简- y l 为厶一，( 查，丑) ( x ) = ( 查，曰) ( 厂( x ) ) = ( 墨( ，( 工) ) b ( ( x ) ) ) 。 定理1 模糊粗糙变换是保并映射。 证明设办。：f r 。( 工) jf r ：( y ) 是由映射厶：r ( ) 斗r ( y ) 诱导的模糊粗糙变 换。 v a ，ef r ，( x ) ，a ，= ( ，j ，) ，( f ，) 。显然u ( 4 ，- 3 ，) f r ( 爿) 由定义2 1 ，我们有v y y k ( u ( ，a i ) ) ( y ) = ( v ( u ，) ( x ) 卜x ，f ( x ) = y ，v ( u a 一) ( x ) i x x 。，f ( x ) = y ) j ，f e = ( v 苫4 ，( x ) i x x t ，厂( x ) 2 y ) ，v 善，( x ) 卜x ”，( x ) = y ) ) 2 * ( v 4 ，( x ) 降x t ，厂( x ) 2 ，v a ，( x ) 障z ”，( x ) 2 y ) 5 二一m ( ，省) ( y ) = u ，。( ，j ) ( y ) f 。( u ( 4 ，爿- ) = u 六。( ，4 ，) j e ， 综上所述模糊粗糙变换是保并映射。 4 3 模糊粗糙集的扩张定理 定理1 ( 扩张定理) 设厂：x jy ，是完备格，则v ( 4 ，爿) f r ( x ) ，有 厂，。( ，j ) = ( ua f ( a 。) ，ua u ( - a 。)