（系统理论专业论文）vague集的代数性质及应用.pdf

摘要 对不确定型问题的研究成为当前许多学者的讨论热点，本文所描述的 v a g u e 集理论也是一种新的处理不确定闯题的工具，它由g a u 等在1 9 9 3 年 首次提出v a g u e 集概念。 全文分两部分：第一章和第二章介绍了各种模糊集理论和v a g u e 集的 一些基础知识，这是第一部分。 第二部分为本文的主要结果，可分为三方面：一是在李凡给出的v a g u e 集和、差、积及商的定义上讨论了两个经典群同态、同构条件下v a g u e 集 的扩张运算问题，见第三章。二是研究了v a g u e 集的群问题，给出了一些 性质，并着重研究了l v a g u e 群的同态和同构，将群中的同态定理和同构 定理推广到l - v a g u e 群上，见第四章。三是在马志锋等提出的区间值v a g u e 集定义上硕究了基于区阅值v a g u e 集上的多譬标模糊决策系统既决策闯题， 见第五章。 关键词：v a g u e 集，f u z z y 格，扩张原理，同构，同态，l - v a g u e 群，区 间值v a g u e 集 昆嚷理工夫学颈士学位论文 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho fu n c e r t a i np r o b l e mb e c o m e sah o tp o i n tt h a t m a n y s c h o l a r sa r eg o i n gt od i s c u s s t h e v a g u et h e o r yd e s c r i b e db yt h i sp a p e ri s a l s oj u s tak i n do f n e w t h e o r yr e p r e s e n t i n gi n e x a c tk n o w l e d g e ，g a um a d e t h ed e f i n i t i o no f v a g u e s e t st h ef i r s tt i m ei n19 9 3 t h ep a p e ri n c l u d e st w op a r t s t h ef i r s t c h a r a c t e ra n dt h es e c o n d c h a r a c t e ri n t r o d u c e d s i m p l y s e v e r a l f u z z y t h e o r i e sa n ds o m eb a s i c k n o w l e d g ea b o u tv a g u es e t sw h i c hw i l lb eu s e di nt h i sp a p e r , t h i si st h e f i r s tp a r t t h e s e c o ，n dp a r ti s t h em o s ti m p o r t a n tp a r ti nt h i sp a p e r , i ti n c l u d e st h r e e p o i n t s ：f i r s t ，i nt h et h i r dc h a r a c t e r , o nt h eb a s i so f t h ec o n c e p to f t h ef o u r t y p e s o p e r a t i o n s o f v a g u e s e t si n t r o d u c e d b yl if a n , o nt h ec o n d i t i o nt h a t h o m o m o r p h i s ma n di s o m o r p h i s mb e t w e e nt w oc l a s s i c a lg r o u p s ，t h ee x t e n s i o n o p e r a t i o n so fv a g u es e t sa r es t u d i e d s e c o n d ，i nt h ef o u r t hc h a r a c t e qw ed i s c u s s v a g u eg r o u p s ，g i v es o m ei n t e r e s t i n gp r o p e r t i e s , a n dt h em o s t i m p o r t a n t r e s u l ti s t h e h o m o m o r p h i s m a n d i s o m o r p h i s mb e t w e e nt w o l - v a g u es e t s ，t h e h o m o m o r p h i s ma n di s o m o r p h i s mt h e o r e m si nt h et h e o r yo fc l a s s i c a lg r o u p sa r e e x t e n d e dt ot h el - v a g u e g r o u p s t h i r d ，i nt h ef i r hc h a r a c t e r , o nt h e b a s i s o f t h e c o n c e p to fi n t e r v a lv a l u e d ，v a g u es e t si n t r o d u c e db ym a z h i f e n g ，w es t u d yt h e d e c i s i o nm e t h o di nm u l t i o b j e c t v a g u e d e c i s i o n s y s t e m k e yw o r d s ：v a g u e s e t s ，f u z z y l a t t i c e ，e x t e n s i o n p r i n c i p l e ， h o m o m o r p h i s m ，i s o m o r p h i s m ，l - v a g u eg r o u p ，i n t e r v a lv a l u e d v a g u e s e t s 昆明理工大学学位论文原创性声明 y6 6 9 3 7 0 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下( 或 我个人) 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内 容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成 ： 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：务绰馊 日期：卿乡年2 月日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解昆明理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守) 导师签名：当圭荔 论文作者签名：番锋始 日 期：奶年胆月日 昆明理工大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 1 1v a g u e 集理论的提出 伴随人类研究自然现象的过程，数学理论也相应经历了几个阶段。最初为解决简单 的确定性判断的现象是或非问题而建立的数学方法，这就是c a n t o r 提出的集合论的基 础上发展起来的现代经典数学。 随着社会发展，数学理论也较以前成熟，人们发现经典集在很多应用中会产生许 多矛盾，并且数学家罗素在理论上也证明了这种矛盾，人们把这种矛盾称作“罗素悖 论”。 在现实世界中，人们在对某个事物或事件进行判断、推理、预测和决策时，所面 对的信息常常是不精确、不完全或模糊的，这就要求我们在计算机中模拟人的智能行 为时，计算机能够处理这类信息。在c a n t o r 的集合论的基础上，z a d e h 提出了f u z z y 集【”，这种集合论在模糊控制、模糊专家系统、模糊决策支持系统等智能系统嘲中处 理由模糊性引起的不确定性起到了较好的作用。 而在处理模糊性及其在机器上演绎人类的模糊推理时，f u z z y 集理论又有其局限 性。1 9 9 3 年，g a u 等针对f u z z y 集的优越性及这种局限性首次提出v a g u e 集1 3 】的概念， 使得处理模糊现象的理论更趋完善。可以说v a g u e 集是在f u z z y 集的基础上发展起来 的一种处理不确定不精确问题的新的模糊理论。 1 2v a g u e 集理论及其应用 v a g u e 概念的提出，主要基于人类思维看待事物一分为二的特点，既从正面立场 看问题，又从反面立场看问题。该理论认为由于人类在思考问题时常常会从正反两方 面进行考虑，并且具有不确定的判断，因而采用两种隶属度来描述这种认知，这两种 隶属度一种是从正面的立场看问题从而得到的支持程度。另一种是从反面的立场看问 题而得的反对程度。 v a g u e 集理论为处理模糊、不精确、不完全数据提供了一种新的数学工具，现已 广泛应用于数据挖掘嗍，机器学习嗍，知识发现【6 】，近似推理”，决策分析【1 2 1 ，人工 智能、医疗诊断系统【1 3 】等领域，并取得了很好的效果。 1 昆明理工大学硕士研究生学位论文 1 3 处理不确定性问题的其他理论及v a g u e 集与它们的区别和联系 目前处理不确定性问题的理论很多，如模糊数学( f u z z ys e t s ) 、粗糙集理论e 1 岳竭， v a g u e 集理论，直觉主义模糊集( i f s ) 2 3 删，可拓集合理论等。它们在处理不确定性和 不精确性问题方面有一定的相容性和相似性，但侧重点不同。 粗糙集着眼于集合的粗糙程度，而v a g u e 集着眼于集合的模糊性。从研究对象看， v a g u e 集研究的是属于同一类的不同对象的隶属关系，重在属于或不属于程度，而粗 糙集研究的是不同类中的对象组成的集合之间的关系，重在分类。 v a g u e 集理论与可拓集合理论都可用来描述不确定问题，但v a g u e 集理论在描述 数据的不确定性时，肯定与否定相互之间转换的关系并不明显，而可拓集合理论中部 分与整体或部分之间是可转化的。在定义上，可拓集合分为四部分：肯定属于的部分； 肯定不属于的部分：原来不属于但可以变为属于的部分；既属于又不属于的部分。可 拓域中的元素的隶属关系在变化条件时也可以变化，v a g u e 集不具此特点。 v a g u e 集与直觉主义模糊集( i n t u i t i o n i s t i ef u z z ys e t s ) 在表达数据不确定性时具有 同等的表达能力。本人赘同b u s t i n c e t 3 3 1 等的观点，谢b v a g u es e t s a l e i n t u i t l o n i s t i cs e t s ， 只是直觉主义模糊集的表示形式与其有所差别。 1 4 本文知识简介 文章共分为五章，第一章简要介绍了v a g u e 集理论的产生及v a g u e 集与其它描述 不确定问题的几种理论的区别和联系。第二章介绍了v a g u e 集的定义及简要性质，并 讨论了v a g u e 集上代数系统的f u z z y 格。第三章研究了v a g u e 集的扩张运算问题。第 四章在格上研究v a g u e 群的同态及同构问题。第五章提出了区间值v a g u e 集的概念， 并讨论了它在多目标模糊系统中的决策问题。第三、四和第五章的内容是本文的主要 工作。 2 昆明理工大学硕j ：研究生学位论文 第二章v a g u e 集的基础知识 f u z z y 集理论最基本的特征是：承认差异的中介过渡，也就是说承认渐变的隶属 关系，即个f u z z y 集f 是满足某个( 或几个) 性质的一类对象，每个对象都有一个互 不相同的隶属于f 的程度，隶属函数“。( x ) z ) 给每个对象分派了一个0 或1 之间的 数，作为它的隶属度。但是要注意的是隶属函数给每个对象分派的是0 或1 之间的一 个单值。这个单值既包括了支持x e x 的证据，也包括了反对x e z 的证据：它不可能 表示其中的一个，更不可能同时表示支持和反对的证据。 v a g u e 集解决了f u z z y 集理论的这个不足。在v a g u e 集中，给每个对象同样分派 隶属度，不同的是该隶属度是 0 1 】的一个子区问，这个子区间既给出了支持z e x 的证 据，同时也给出了反对x x 的证据。与f u z z y 集相比较，v a g u e 集能更好更准确的表 达模糊信息。 2 1v a g u e 集的基本定义 定义2 1 1 2 1 令x 是一个点( 对象) 的空间，其中的任意一个元素用x 表示，z 中 的任意一个v a g u e 集y 用一个真隶属函数0 和一个假隶属函数力表示，t ，是从支持 z e z 的证据所导出的隶属度下界， 是从否定x e 爿的证据所导出的下界，t v ( x ) 和 矗( d 将区间【o 1 】的一个实数与其中的每一个点联系起来。即： t r ：x _ 【o ，1 】，疗：z 斗【o ，1 】其中：t v ( x ) + 矗( x ) 兰1 。 此时称矿( x ) = t v ( 工) ，1 一力( x ) 】为z 上的v a g u e 值，称矿= i t ，1 一 】为石上的v a g u e 集。 出上述定义可知，在v a g u e 集中x 的隶属度被定义为【o 】上的个子区间 i t ，( x ) 1 一 ( x ) 】内。其中： ( 1 ) 0 ( z ) 是v a g u e 集矿的真隶属函数值，它表示支持x z 的证据的必要程度。 ( 2 ) f v c x ) 是v a g u e 集r 的假隶属函数值，它表示反对x s z 的证据的必要程度。 ( 3 ) l 一 ( z ) 表示了支持x e x 的证据的可能程度。 ( 4 ) ( 1 - 0 ( x ) 一 ( x ) ) 表示关于x e z 的不确定程度。 墨些型王查兰堡：! 型! ! 兰鲎些堡兰 如果差值( 1 t v ( x ) 。 ( x ) ) 越小，就说明我们对x 的了解就越精确，当 1 - t r ( x ) 一 ( x ) = o 时，v a g u e 集就退化成f u z z y 集： 如果l ，( x ) 和1 - ( x ) 同时为1 或0 ，这取决于x 完全属于还是完全不属于x ，此 时我们获得的关于x 的信息是完全精确的，也就是说v a g u e 集v 已退化成经典集。 例如：如果( z ) ，l 一力( x ) 】- 【0 5 ，0 s l ，那么可以得到f r ) = 0 5 ，矗“) = 0 2 。这一结 果可以解释为：x 属于z 的程度为0 5 ，而它不属于x 的程度为0 2 ，用投票模型解释此 例为：要求1 0 人对某一断言作判断，判断的结果为“正确”、“错误”和“不表态”( 生 活中对某一断言不表态是常有的，如投票时弃权) ，假如其中有5 人认为是“正确” 的，2 人认为是“错误”的，还有3 入“不表态”。 v a g u e 集v 的记法有： 当z 是连续的时候，有y 。i r ，( x ) ，1 l ( x ) l x ，x z ；t v ( z ) + ( x ) 1 当z 是离散的时候，有v = f ，( ) 1 工( x ) 工。，x ，x ，其中 ，= l o s f ，( ) + 工( ) s 1 。 定义2 i 2 【刀令y ( j ) 是一个v a g u e 值，如果f p o ) = o ，f v ( x ) = 1 ，称y ( 工) = 【o ，o 】为 零v a g u e 值。如果0 ( x ) = l ，力( x ) = 0 ，称矿( x ) = 【1 ，l 】为单位v a g u e 值。 定义2 1 3 7 1 两个v a g u e 集爿和b 。其中彳= n ，1 一f a ，b = i t 日，1 一厶】，4 b 定义 为：“f 8 且l 一厶1 厶，即t j - - a 。 定义2 1 4 7 1 两个v a g u e 集一和曰，其中4 = h ，1 一九】，b ：，1 一厶】，则 a = b 定义为：t = 嵋且1 一九= 1 - 厶，即t j = “且l = 厶。 定义2 1 5 m 一个v a g u e 集爿的补集孑定义为：孑= 峙，l 一厶 ，其中 t i c x ) 2 ( j ) ，1 一- ，j ( x ) = 1 一t a ( x ) 。 定义2 1 6 【7 1 设x 是一个点空间，爿和b 是x 上的两个v a g u e 集，则v a g u e 值 一( x ) = h ( x l l 一无( 圳；多( x ) = ( 曲，1 一厶( z ) 】的并( u ) 、交( n ) 可分别定义如下： ( 1 ) 4 ( x ) u 四( x ) = i t ( 功，1 一厶( x ) 】u 【f 8 ( j ) ，1 一厶 。 ，月( x ) vt n ( x ) ，( 1 - l ( x ) ) v ( 1 一厶( x ) ) 】 4 垦型型王查堂堡型!塞生堂焦笙苎一 ；【f 。q ) vf 。 ) ，1 一以0 ) 兀0 ) 1 ； ( 2 )爿( x ) n b ( x ) = i t 。( x ) ，1 一l ( z ) 】n p e ( x ) ，1 一厶( j ) = 【，。( x ) at n ( 工) ，( 1 - 兀( 功) ( 1 一 ( 曲) 】 = i t 。( 曲at n ( 功，1 一无( x ) v 厶( 力】： 2 2v a g u e 集的基本性质及运算 命题2 2 1 设a ，b ，c 是论域x 上的三个v a g u e 集，则我们可以德到关于v a g u e 集 的如下性质： ( 1 ) a n b = b n a ，a u b = b u a ； ( 2 ) a u ( b u c ) = ( a u b ) u c ，a n ( b n c ) = ( a n b ) n c ； ( 3 ) u a = a ；a n a = a ； ( 4 ) a n = ，a u ，= ，其中妒= 【o ，0 】，= 1 ，1 】。 定义2 2 i t 8 1 设论域x 具有加运算，v a g u e 集4 和b 相加所得到的和c 仍然是一个 v a g u e 集；写作c = 4 + 台，它的真假隶属度分别为： f ( ( z ) = v 也( a ( 瑚， 卜正( z ) = ：篡。( ( 1 一厶( z ) ) n ( 1 一兀( y ) ) ) 定义2 ，2 2 1 8 1 设论域x 具有减运算，v a g u e 集名和b 相减所得到的差c 仍然是一个 v a g u e 集，写作c = 爿一b ，它的真假隶属度分别为： t c ( 2 ) = ：善，( “( 卫) 如( y ) ) ， 1 一五如) 一v 。( ( 1 一 ( x ) ) ( 1 一厶( _ y ) ) ) ； 定义2 2 3 设论域z 具有乘运算，v a g u e 集爿和b 相乘所得到的积c 仍然是一个 v a g u e 集，写作c = a x b ，它的真假隶属度分别为； t c ( 2 ) _ v ( t a ( x ) 0 0 ) ) ， 1 一正( z ) = v ( ( 1 一l ( x ) ) a ( 1 一厶( j ，) ) ) ； 定义2 2 4 【8 1 设论域x 具有除运算，v a g u e 集爿和b 相除所得到的商c 仍然是一个 v a g u e 集，写作c = a i b ，它的真骰隶属度分别为； 璺型些王查兰堡主塑塑竺兰垡堡三一一 ，c ，( z ) = v ，( 一( x ) “。( _ y ) ) ， i 一兵( z ) = 。v 蜘( ( 1 一无( ) ( 1 一厶( y ) ) ) 2 3v a g u e 集上的软代数系统 定义2 3 1 设x 是非空集合，将x 上的所有v a g u e 集构成的集合记为y ( x ) 。 定义2 3 2 在矿( x ) 上定义二元运算u ，f t ，：va ，b y ( x ) ，其中 a = t a , i 一厶】，占= t 81 一厶】，有运算 u ：au b = 【v t b ( 1 一l ) v ( 1 一五) ； n ：anb 2 i t “，( 1 一九) ( 1 一厶) 】； ：a = 【六，1 一 将u ，n 推广到无限的情况，对指标集s ，有： ua 。2 v t a , ，v o 一厶) 】 。酗一。a i , 4 , , 。a 。1 一丘为 定理2 3 1 代数系统( y ( z ) ，u ，n ，。) 具有下列性质：va ，b ，c y ( x ) ，有 ( 1 ) 交换律： ( 2 ) 结合律： ( 3 ) 幂等律： ( 4 ) 分配律： ( 5 ) 吸收律： ( 6 ) 对偶律： ( 7 ) 对合律： 彳ub = bua ，anb = bna ： 爿u ( b u c ) = ( a ub ) u c ， 彳n ( b n c ) = ( a nb ) n c ： a ua = 4 ，爿n a = “： “u ( b n c ) = ( 彳u b ) n ( a u c ) ： a n ( b u c ) = ( 一n b ) u ( a n c ) ： au ( an b ) = 一，an ( aub ) = 占： ( 么u 丑) c = a 。n b 。，( a n 嚣) 。= 彳。u 嚣 ( 爿。) 。= a ： ( 8 ) 0 - - t 律：存在最大元 1 ，1 和最小元 0 ，o ，使au 1 ，1 = 1 ，1 ，a 0 0 ，0 = o ，0 。 6 昆明理工大学硕士研究生学位论文 证明：( 1 ) 一( 3 ) 由定义易证：f 证( 4 ) 一( 8 ) ： ( 4 ) 事实上，4u ( bnc ) = 【，l 一厶 u ( 【0 ，l 一厶】n ，1 一工， ) = 【0 ，1 一f a u 【t 。 f 。，( 1 一厶) ( 1 一厶) 【f h v ( ，。 t 。? ) ，( 1 一) v ( ( 1 - 厶) ( 1 - 六) ) 】 2 【( v “) ( t v ) ，( ( 1 - f a ) v ( 1 - 厶) ) ( ( 1 一六) v ( 1 一尼) ) 】= ( v t e ) ( 1 一 无) v ( 1 一厶) i n 【( f 。vt 。) ，( 1 一一) v ( 1 - 五) 】= ( 4u b ) c l ( auc ) ： 同理可证。a f l ( b u c ) = ( a nb ) u ( a n c ) 。 ( 5 ) 事实上，au ( 4 n 丑) = r ，1 一厶】u ( i t ，i - 厶 ni t 自，1 - 厶】) = i t 4 ，1 六】u 【f 一 如，( 1 。厶) ( 1 一厶) 】2 i t _ v ( t _ t 。) ，( 1 - 六) v ( ( 1 一无) ( 1 一厶) ) 】_ i t 。，1 - l 】；爿； 同理可证，a n ( a ub ) = b 。 ( 6 ) 事实上，( 爿u b ) 。= ( 【，i ：f a u 【t b , 1 - 厶】= ( v ，( 1 厶) v ( 1 兀) 】) 。( 【，一vf 8 ，1 。兀a 厶 ) 。2 【厶 丘，1 - ，v 气】2 厶，( 1 - t a ) ( 1 一t d ) 】= 4 nb ； 同理可证，( a nb ) 。= 彳。u b 。 ( 7 ) ( 爿。) 。= ( 厶，1 - t 。】) 。= 【屯，1 - 六】= a ； ( 8 ) a n 1 ，1 2 t d 1 ，( 1 一无) 1 】= i t _ ，1 一l 】，au o ，o = i t v 0 ，( 1 一六) v o 2 【0 ，1 - 兀 ； 定理2 3 2 ( v ( - z ) ，u ，n ，) 是软代数系统，但不是b o o l e 代数系统。 证明：由定理1 知( 矿( 并) ，u ，n ，。) 是软代数系统，但因为对一般的爿， au a = 【1 ，1 ，并不总成立，即( 矿( z ) ，u ，n ，。) 不满足补余律，所以，不是b o o l e 代数系统。 例如，a = 【o 3 ，0 5 】， a 。= o 5 ，0 7 】，4 u 一。= o 5 ，0 7 】【1 ，l 】，( 矿( ) ，u ，n ，c ) 不是b o o l e 代数系统。 定义2 3 - 3 v a ，b 矿( x ) ，a 与b 相等( 彳= 丑) 定义为：= 如且六= 五 定义2 3 4v a ，b y ( x ) ，定义二元关系 ”：4 b 当且仅当，。g “且 1 垦婴型王查兰堡! ：里! 塑生兰些堡兰一 厶兀称 ”为矿( x ) 中的包含关系。 定理2 3 3 ( y ( x ) ， ) 是偏序集。 证明：va ，b ，c v ( x ) ，有 ( 1 ) 自反性：a _ a 由定义直接得； ( 2 ) 反对称性：若a b r b a ，则a = 口。事实上，由“ ”的定义得t 月 且 ；“0 且 以，所以有f 。! ，a 且厶 ，故a = b a ( 3 ) 传递性：若a b 且b _ c ，则爿_ c 。事实上，由“_ ”的定义得“f 。 且兀 ；t ，且 五，所以有“t ( ：且厶矗，故爿 c a 所以，( v ( x ) ， ) 是偏序集。 由定理1 的证明知v ( x ) 关于二元运算u ，n ，满足交换律、结合律、吸收律，则可 得到： 推论2 3 1 ( v ( x ) ，u ，n ) 是格。 2 4v a g u e 集形成的f u z z y 格 定理2 4 1 设g 是，上的复原映射，即对v a ，满足g ( 占( 口) ) = 盘，则v ( x ) 对下 列运算u ，n ，。2 ： u ： 【，月，1 - 厶】ui t j ，1 一厶】= 【t jvf 8 ，1 一厶a 厶 ； n ： t 。，1 - l 】n t bl a 】2 【a 如，1 - v 厶 ； c g ： i t “，1 - 无】c g = g ( l ) ，卜g ( t 4 ) 构成f u z z y 格。 证明：因为( o ，1 2 ，v ， ) 是完全分配格，所以( v ( x ) ，u ，n ) 是完全分配格。 由定义可推出 ，1 一厶】 i t 。，1 - a 】当且仅当“b 且厶a 。事实上，若 ，1 一厶】 【，。，1 一厶】，则由格的性质有【，1 一无】u 【b ，1 兀】= ，。，1 ，厶】，又 【f ，1 - 兀】u 【f 日，l 。厶】3 【f j v f 口，l l 厶】；则有t 口= t v t 日且l - 厶= l 一无 兀， 即“；f v f 8 且兀2 兀 厶，所以f s t e 且 厶。反之，若f 4 f b 且厶厶，则 【，1 。兀】u 【f 8 ，1 】5 i t jv