（系统理论专业论文）点态化的模糊幂群和模糊幂环.pdf

黑型型_ 三盔兰堡主坚壅兰兰竺笙苎 生查些堕竖塑壁兰塑塑! ! 兰 摘要 自从1 9 6 5 年，美国著名的电子工程学家和控制论专家l a z a d e h 发表了 一篇开创性论文模糊集合后，模糊数学迅速发展起来，其在解决模糊 不确定性问题上显示出强大的生命力，作为一门崭新的数学学科，模糊数 学不但拓广了经典数学的数学基础，并且其崭新的数学思想与方法浸透和 扩展到数学的许多领域，使经典数学的若干方面得以在更深刻、更广阔的 意义下向前发展。例如将经典的代数结构与模糊结构相结合，得到一个新 的数学分支一模糊代数。 目前，模糊结构与代数结构相结合起来进行的研究已有大量的文章出 观，一群、，一环理论已经逐渐发展完善成熟，但是模糊数学的发展要求 各种数学结构不但要由论域商其幂集上提升，两且要求向其f 一幂集上提 升，文( 2 ) 考虑了这种模糊代数结构提升的问题，首先提出了模糊幂群的概 念并讨论了模糊幂群的结构及其同态。文( 7 ) ( 8 ) 分别讨论了模糊幂群的性质、 结构及分类。文( 9 ) 提出了模糊幂环的概念讨论了模糊幂环的结构及其同态 本文首次从模期点的角度来研究模糊幂群、模糊幂环的性质，从而得 到模糊幂群、模糊幂环的新的刻画，在此基础上完整的研究了各种模糊幂 群、模糊幂环的结构，并建立了模糊幂群、模糊幂环的转移定理，揭示了 模糊幂群、模糊幂环与分明幂群，幂环的关系，并进一步研究了模糊幂群、 模糊幂环的同态与同构。 关键词：点态化f 一幂群；j 下规f 一幂群；一致f 一幂群；f 一集的主元 同态；同构：点态化f 一幂环：正规f 一幂环：一致f 一幂环 垦望堡三查堂堡主堕塞皇兰垡兰壅 皇查些塑堡塑蔓壁皇蔓塑蔓至 a b s t r a c t s i n c el a z a d e h ，af a m o u sa m e r i c a ne l e c t r o n i ce n g i n e e r i n ga n d c y b e r n e t i c ss c i e n t i s t ，p u b l i s h e d f u z z ys e t s ) i n1 9 6 5 ，f u z z ym a t h e m a t i c sh a s d e v e l o p e dq u i c k l ya n dd i s p l a y e ds t r o n gv i t a l i t y i n s e t t l i n g t h ef u z z ya n d u n c e r t a i nq u e s t i o n s a sab r a n d n e ws u b j e c t ，f u z z ym a t h e m a t i c se x t e n d s m a t h e m a t i c a lb a s i so ft h ec l a s s i c a lm a t h e m a t i c s ，a n di t sb r a n d - n e w m a t h e m a t i c st h i n k i n ga n dm e t h o dh a sb e e ne x p a n d e dt os o m em a t h e m a t i c s f i e l d ，w h i c hm a k e ss o m ea s p e c t so fc l a s s i cm a t h e m a t i c sa d v a n c i n gm o r e w i d e l ya n dm o r ep r o f o u n d l y f o re x a m p l e ，c o n n e c t i n gc l a s s i c a la l g e b r aw i t h f u z z ys t r u c t u r e ，an e wm a t h e m a t i c sb r a n c h - - f u z z ya l g e b r aa p p e a r s c u r r e n t l y ，t h e r eh a v eb e e ns o m ea r t i c l e so nc o n n e c t i n gf u z z ys t r u c t u r e w i t ha l g e b r as t r u c t u r e t h et h e o r e t i c so ff g r o u p ，a n df r i n gh a v e d e v e l o p e dp e r f e c t l y b u tw i t ht h ed e v e l o p m e n to ff u z z ys e tt h e o r y ，a l lk i n d so f t h es t r u c t u r ea r eu p g r a d e dn o to n l yf r o mt h e i ru n i v e r s e st ot h e i rp o w e rs e t s ， b u ta l s of r o mt h e i ru n i v e r s e st ot h e i rf u z z yp o w e rs e t s i nt h ep a p e r ( 2 ) ，a u t h o r f i r s t l yc o n s i d e r e dt h eq u e s t i o no ft h es t r u c t u r a lu p g r a d e ，c o n c e p to ff u z z y p o w e rg r o u pw a sr a i s e d a n dt h en a t u r ew a sc o n s i d e r e d ，i nt h ep a p e r ( 7 ) ( 8 ) ，t h e s t r u c t u r ea n dh o m o m o r p h i s mo ff u z z yp o w e rg r o u pw a sc o n s i d e r e d i nt h e p a p e r ( 9 ) ，t h ec o n c e p to ff u z z yp o w e rr i n gw a sr a i s e d ，t h es t r u c t u r ea n d h o m o m o r p h i s mo ff u z z yp o w e rg r o u pw a sc o n s i d e r e d i n t h i sp a p e r ，a u t h o rf i r s t l yu s e s f p o i n t t o s t u d yf g r o u pa n d f r i n g f i r s t ，an e wd e p i c a t i o no ff p o w e rg r o u pa n df p o w e rr i n g h a s b e e nf o u n d ；s e c o n d ，t h es t r u c t u r eo fe a c hf u z z yp o w e rg r o u pa n df u z z yp o w e r r i n gh a v eb e e nc o n s i d e r e ds y s t e m a t i c a l l y ；t h i r d ，t h et r a n s f e rt h e o r e m so f f p o w e rg r o u pa n df p o w e rr i n gh a v eb e e ne s t a b l i s h e d ，w h i c hd i s c l o s et h e r e l a t i o n so ff p o w e rg r o u p ，f p o w e rr i n ga n dp o w e rg r o u p ，p o w e rr i n g ； 】2 昆明理工大学硕士研究生学位论文 点态化的模糊幂群与模糊幂环 f i n a l l y ，t h e i rh o m o m o r p h i s m ，i s o m o r p h i s mh a v eb e e ns t u d i e d k e yw o r d s ：p o i n tw i s ef - p o w e rg r o u p ；n o r m a lf - p o w e rg r o u p ； u n i f o r mf - p o w e rg r o u p ；t h em a i ne l e m e n to f f - s e t ；h o m o m o r p h i s m ； i s o m o r p h i s m ；p o i n t w i s e f - p o w e rr i n g ；n o r m a lf p o w e rr i n g ；u n i f o r m f p o w e rr i n g i3 昆明理工大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下( 或 我个人) 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内 容外，本论文不合任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者鼢艿磊 日t a ：w 毕年i o 月了7 日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解昆明理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文 ( 保密论文在解密后应遵守) 导师签名： 涨子食k 论文作者签名蕴 日 期：丝= 竺生 ：月之旦 6 删t 人学顾小彤f 究生学位论丘 点态他的模蝴幂群与模糊幂环 第一章绪论 1 1 模糊集理论简介 人类认识和改造社会伊始，首先利用简单明确的方法束找寻现象的规 律性，并建立相应的数学概念，使其能够反映人们对于客观现象量的特征 的认识，c a n t o r 集合论正是建立在此基础上的。c a n t o r 集合论的提出为处理 确定性现象提供了有力的数学工具，并且奠定了集合论在经典数学中的重 要地位。但是就客观现实而言，大多数情况并不具有这种确定性，因此必 坝扩充经典集合，以适应更加复杂、不确定的现象，为了解决这一问题， 炎国著名的电子工程学家和控制论专家上a z a d e h 于1 9 6 5 年发表了模糊集 合一文，扩充了经典集合论。提出了用模糊集合作为表现模糊事物的数 学模型，模糊集合的提出，使用简单方法对复杂系统做出合乎实际的处理 成为可能。模糊集合的这一特性，使其在自动控制、系统分析、知识描述、 圈像识别、信息复制、医学诊断等不确定性决策方面有着明显的实际效果， 为计算机科学的发展提供了强有力的工具。因此，模糊数学成为继经典数 学、统计数学后的又一新的数学理论。 1 2 模糊代数简介 模糊数学作为一门新的数学学科，不但拓广了经典数学的数学基础， 并且其崭新的数学思想与方法已浸透和扩展到数学的许多领域，使经典数 学的若干方面得以在更深刻、更广阔的意义下向前发展。将经典的代数结 构与模糊结构想结合得到了一个新的数学分支一一模糊代数，目前关于模 糊代数方面的研究已有大量的文章出现，模期群、模糊环理论已经逐渐发 展完善成熟，而模糊数学的发展要求各种数学结构不但要由论域向其幂集 上提升，而且要求向其模糊幂集上提升，文( 2 ) 提出了模糊幂群的概念讨论 了模糊幂群的结构及其同态。文( 7 ) ( 8 ) 分别讨沦了模糊幂群的性质、结构及 分类。文( 9 ) 提出了模糊幂环的概念讨论了模糊幂环的结构及其同态。 昆l w 理t 大学颂十研究生学位论义 点志化的模糊幂群1 模蝴幂蚪 这一系列研究成果的取得，使模糊代数结构的研究达到了一个新的高 鹱。 1 3 本文知识简介 本文在目前，一代数方面所作的工作的基础上，利用模糊点来研究模糊 幂群、模糊幂环的性质和结构，建立模糊幂集的转移定理，最后讨论了模 糊幂群、模糊幂坏的同态与同构。 本文共分六章：第一章绪论，简单介绍了模糊集理论和模糊代数理沦： 第二章是预备知识，给出了阅读本文须了解的相关模糊代数的知识：第i 尊是点态化的模糊幂群，利用模糊点来研究模糊幂群的性质和结构得出 了关于模糊幂群结构的新的刻画，并且利用模糊集的主元讨论了模糊幂群 与分明幂群的关系；第四章点念化模糊幂群的同念与同构，初次提出了模 糊幂群的转移定理，揭示了模糊幂群与分明幂群的关系，得出了模糊幂群 的同态、同构定理；第五章是点念化的模糊幂环，利用模糊点柬研究模糊 幂环的性质和结构，得出了关于模糊幂环的新的结构；第六章点态化模糊 幂环的同态与同构，初次提出了模糊幂环的转移定理，揭示了模糊幂环与 分明幂环的关系，役出了模糊幂环的同态、同构定理。 隧1 w 理下夫学顾1 ：1 1 f 究生学他论艾 点态化的模糊幂群0 模糊幂环 第二章预备知识 2 1 点态化的，一群 l9 8 1 年戚振开在其点态化的f 一群一文中将基本集z 上的f 一集a 视为 其全体f 一点构成的一种特殊偏序集，在a 内引进( 乘法) 运算，进而定义 了f 一广群、半群、独异点( m o n o i d ) 和群，并指出只要是含逆的这种代数 结构就与相应的分明体系不同，是一种新的结构。我们首先来介绍点态化 ，一群的概念和性质。 定义2 1 1 ” 设z 为群，仅在点x x 处取值五( o ，1 ，而在其余点处取 零的，一集称为群x 上的，一点，记作_ ，点x 称作它的承点。 定义2 1 2 ( 1 1 当0 v ，爿( 6 ) 8 ( c p 卢 v = 五，且 b ，c m 。) = ( 6 f ) ( ) 州。1 = a4 ( ) d a b = 爿， 贝i j a b ( a ) 2 爿( 6 ) b ( f ) ， v = 五与 a b ( a ) = 五矛盾。同理可证，b a 且v 肛b ( c ) ) l ，爿( 6 ) 口( c ) p = 旯，且 b a l 6 ) + c 口( 。) = ( 6 + c ) ( 6 ) 日( 。) = a a 伯) 8 ( n 一十b ，贝0 ( 爿+ 丑) ( d ) 爿( 6 ) b ( c ) p ；五与 ( 爿+ 8 ) ( 口) = a 矛盾。同理可证，屯e a 且v 声，或q b 且 v 亦不成立。故有 虬a 且v 冬b ( c ) ，或c ，b 且v a ( b ) 。 由此t 4 ( 6 ) b ( c ) = v ，则以( ) + ( 。) = ( 6 + c ) p ) 用。) = ( 6 + c ) ，= 叱爿+ b ， 故( a + 8 ) + b 。 2 i 昆明理工大学硕士研究生学位论文点态化的模糊幂群与模糊幂环 另一方面，v a e a + b 爿+ 口，必有口 口【+ 口】，又即+ b ) + 曰) ，故 a o + 占) 0 ) ，郎a 口+ 丑) ，所以4 + 丑g 似+ b ) ，因此一+ b 一似+ b ) 。 同理可证( a b ) - b ) 。 5 2 点态化f 一幂环的结构 5 2 1 正规f 一幂环 定义5 2 1 1 设芦是环x 上的f 一幂环，d 为卢的零元，若o 为环x 上的 含零f 一子半环，则称芦为环置上的正规f 一幂环。 命题5 2 1 1 卢是环x 上的正规f 一幂环，则蝴卢，y a 。e a 必有 a o ( d ) ，且必现4 ，有4 p ) 一芦- o ( o ) 。 定理5 2 1 1 口是环置上的正规，一幂环，若s u p p o z ，则0 为f 一环。 证明厅是环z 上的正规f 一幂环，则由定理5 1 1 知，0 为环并上的f 一 子半环， 且0 。是0 上的零元。 v a e o ，因为s 明) p 0a x ， 则 3 , u e ( o ，d ( d ) 】，( 一口) ，e o ，且a + ( 一口) ，一( 口+ ( 一口) ) 。，t 吒，d 。( 。) ，即( 一口) ，为a 。的 负元，因此0 为环x 上的f 一环。 定理5 2 1 2 设卢为环z 上的正规f 一幂环，若s 卯尸卢一j ，则卢是环盖 上的f 一环。 证明 芦为环z 上的正规f 一幂环，则由定理5 1 1 可知，声是环x 上的 f 一子半环，且d 。( 。】e o 卢+ 。v a 卢，口 + d d - ) i ( 4 + d ) o ( 。) t 吼，故o o ( 口) 为 芦的零元。对上述a 。，因为x 为环，s t r e e # - x ，则弛芦，u e ( o ，1 1 使 ( 一口) p b 卢，且q + ( 一口) ，- 【口+ ( 一口) k 。一口 ，s d 口( 。) ，所以( 一口) ，为a 的逆元， 因此口是环z 上的f 一环。 推论5 2 1 1 设芦为环x 上的正规f 一幂环，若弘卢，使s u p p a x ， 则口是环z 上的f 一环。 定理5 2 13芦是环z 上的难规f 一幂环，a e j 8 ，若一为含零f 一子半 环，则一a 0 爿。 证明卢是环x 上的正规f 一幂环，则o o e o 。又a 为含零，一子半环， 故a i a + 0 3 0 0 ( 口) + 0 1 0 _ a + ( 卅) 3d 0 ( 。) + ( 一a ) - a 。 2 2 昆明理工大学硕士研究生学位沧支点态化鹊模糊幂群与模糊幂环 定理5 2 1 4 设卢是环x 上的正规f 一幂环，则v a 卢，孔x 使得 v 兄( 0 ，p ( 0 ) 】，爿，( 一上) 。爿。 证明卢是环x 上的正规f 一幂环，则v a c ，o o 爿+ ( 一爿) t 0 ，故 3 x 彳，y p ( 卅) ，使h + 乩= 0 + _ ) ，) p = 0 0 ( 。) ，即石+ y ；d ，a = d ( d ) 。又x 是环，且as d ( d ) ，肛s d ( 。) ，故有y 一z ，且九蔫d ( d ) ，p = 0 ( d ) ，即x l 爿 ( 一x ) 。( 计( 一爿) ，所以对v o a s 0 ( o ) ，h e a ，( 一x ) 一a 。 定义5 , 2 1 ，2 设卢是环z 上的f 一幂环，令j = 缸。爿f ( 一口) 。一a t ， 万= u 口。la j j ，爿芦 ，石= 也di ( 一6 ) 。研。 显然石是环z 上的f 一子环； 对于正规f 一幂坏口：v a e ，a 0 。 命题5 2 1 2设卢是环x 上的正规f 一幂环，则万是环j 上的f 一子环。 定理5 2 1 5 声是环卫上的正规f 一幂环，则p = p 一口o ( 。) + d o + a d ( 。) 1 面。 证明 芦是环z 上的正规f 一幂环，由定理5 2 1 4 可知，v a 卢，3 a z ， 使得4 。) 互a ，( 一口) 。( 。) f 丽一a ，则n 。扣，+ o 爿+ d ；4 。另一方面， v b 。4 ， 肛s 0 ( 0 ) ，b _ = 0 0 ( 。) + 6 = ( o p ) + ( 一口) 。( 。) ) + 6 p 互口。( 。) + ( 一n ) d 扣) + 6 p 】口。( d ) + ( 一月) + 一；( 。，+ 0 ，即a c _ _ a o + 0 ，因此彳i 口o 。) 十d 。同理可证a 兰0 + 口o t 。) 。 故卢罱 爿耸口。扣l + 0 譬0 + 口d 扣ln 。( o ) ；爿 。 定理5 2 1 6 设卢是环x 上的正规f 一幂环，则 q ) v a 。6 p ，d + 0 = 6 p + 0 讳口 + o 省b p + o ； ( 萤v 口 ，b 卢，o + a 。= 0 + 6 。0 + 口 d + 6 。 证明只证# 由a z + 0 = 气+ o ，得口 = 口 + + d 。同理，气口 + o 。 叉口 ，b 。卢，即( 一口) 。，( 6 ) 。卢故( - a ) + 6 。d ，( 一6 ) 。+ n 。0 ： 又因为 ( 一b ) 。+ a = ( 一b + 口) 川= 卜( - a 十b ) 】兰 一( - a + 6 ) k 。= 一【( 一口) + b 。 d ， 而 ( 一n ) 。十b 。o ，所以( 一n ) + 屯0 ，9 l i j 口 + 0 = 札+ o 。 一v 。，b ，芦，若口。+ 西= 屯+ 否，则( 一n ) 。+ 6 。0 c _ o ，( 一6 ) 。+ 口。石o ， 鞋带b 。口 + o ，口 钆+ ( ) ，故吒+ o 口，+ d + o = 口 + o ，口 + o 西。+ o + o j 6 。+ o - 所以口 + d = 乩+ d 。 2 3 昆明理工大学硕士研究生学位论文 点态化的模糊幂群与模蝴幂环 同理可证。 命题5 2 1 3 设卢是环x 上的正规f 一幂环，则v 6 。万，有钆+ d ；o + 6 。 证明 v b 。卢，弘卢，使b 。e a ，又卢是环x 上的正规f 一幂环，则 由定理5 2 1 5 可知，丑c ，e o ，口o ( 。) 彳，使得b f - 口。+ c 。又因为b p 卢，则由 卢的定义可知( 曲) 。( 一爿) ，则同样3 d ，d ，( 一口) d 扣) ( 一爿) ， 使得 ( 一6 ) p 害d + ( 一口) 。( 。) ， 贝0b “+ o + ( 一6 ) h 篇口o o ) + c p + 0 + d + ( 一n ) 口f 。) 口d 扣) + o + ( 一口) 0 f 。) - o ，即b f + o ；o + 气。 定理5 2 1 7设口是环x 上的正规f 一幂环，则e l 。是环x 上的正规f 一 幂环，且引。一矾。其中多l 。= 扣。+ o l n 。剪，衫。= + 石k 西。 证明易证芦l 。是环x 上的f 一幂半环，且e 为卢i 。的零元。又 v a + d ，b 。+ o s 卢l o ，( 口。+ o ) 一b ，+ o = 0 + d ) + 【( 一6 ) ，+ d 】= 口 + 【o + ( 一6 ) 。】+ o 。 + ( 6 ) 。+ d 】+ 0 -【d + ( 一6 ) 。】+ d ，因为 口 + ( 6 ) ，卢 ，则 ( n 。+ o ) 一( 乜+ o ) 西i 。，即_ ；b l 。是环x 上的f 一幂环，又o 为含零f 一子环， 所以方i 。是环x 上的正规f 一幂环。 设，：西i 。一矾，令，( n 。+ o ) t a z + o ，由定理5 2 1 6 可知，是双射。 又v a 。+ d ，b + o 卢i 。，厂【( 口。+ d ) + 以+ o ) 】。f ( a z + 钆+ o ) 4 ，【0 + 6 ) z ，+ o 】 a + 6 ) 。+ 石- ( 口。+ 百) + ( 钆+ 石) 一f ( a 。+ o ) + ，( 屯+ d ) 。又，【一( 口z + d ) 】= 厂( ( 一口) 。+ d ) ；( 一4 ) 。+ 石t 一( n 。+ 石) = - f ( a 。e ) 】，所以厂是同态映射，因此 j ，t 吃。 5 2 2 一致f 一幂环 定义5 2 2 1设口是环z 上的f 一幂环，o 为卢的零元，若0 为f 一子环， 则称口是环x 上的一致f 一幂环。 定理5 2 2 1 设口是环x 上的一致f 一幂环，则v a , 6 ，v a s u p p a 有 昆明理工大学硕士研究生学位论文点态化的模糊幂群与模糊幂环 月怛) 一o ( d ) 。 证明 由定理5 1 2 知，o + o t o ，且朔声，a + ( - a ) 1 0 。v a o ( 。) d ，因 为0 为群， 则( 川) d ( 一。) 0 ，且n d + ( 一n ) d 一口o ( 。) d 卜町d + 0 i o ， 故 o ( a ) a o ( - a ) 一o ( o ) ，0 ( 口) 1 d ( 一a ) 1 0 ( o ) ，即v 口e s u p p o ，有d ( 口) 一d ( 口) 。由此， v a e # ，v a 坤) e a ，月胎) ( 彳) 了c d p ) e o ，有吼( 。) + 吒一t 一0 + 6 ) 胁m 一，( ”一c d 【。) ， 即以0 ) a 。1 ( 扫) 1 0 ( o ) ，a ( a ) - a “( 6 ) 一d ( d ) 故w 芦，v as u p p a ，有a ( a ) 1 0 ( o ) 。 注：由该定理，我们可? 以看出，一致模糊幂环中每个元素的所有模糊 点的隶属度是相同的。 推论5 2 2 1 设卢是环z 上的一致f 一幂环，则v a e o ，( 一口) d 。 定理5 2 2 2 设芦是环z 上的一致f 一幂环，则v a ，b e 卢，若一n b - o ， 则a b 。 证明口是环z 上的一致f 一幂环，则由定理5 2 1 5 ，v a ，占芦， 弘o t 计j ，0 0 v ) 吾，使a - 口o ( + 0 ，bb o ( o ) + d - 假设a n b ，t 0 ，妫j q e a n b ， 或，l e o ，使ql a 】+ 或- l , o ( + l ，又由推论5 2 2 1 可知， ( 一d ) ，0 ，故 口。i o ) - b o 。) + + ( 一d ) ，e b o i 。) + d ，即口d + o b o l 口) + d + d = b o 扣，+ 0 ， 同理 b o 扣，+ o c _ a o 扣，+ 0 ，故+ d l a o 扣+ d ，因此a b 。 定理5 2 2 3 设芦是环x 上的一致f 一幂环，则卢+ 为环z 上的f 一环。 证明 筘是环x 上的一致f 一幂环，则由定理5 1 1 可知，声是环石上的 f 一子半环，且o o ( o ) 0 芦。v a 卢， q + d d ( 。) 一( 口+ d ) 1 。( 。) - q ，故o o 。) 为 卢的零元。对上述口 ，拍卢，6 d j ，使得口 4 - t o 町+ d ，则3 c d ，使 口 - t o ( 。 + c ，由推论5 2 1 1 可知，( 一c ) e o ，故若令口i t ( 一c h + ( 一6 ) 。 ，则 n 。+ 口i - ( ( 。) + q ) + 【( _ c ) + ( 曲) ) 】一以c o o ( 。) ，即口j 为吒的负元，所以卢为环 x 上的f 一环。 定理5 2 2 4 设卢是环z 上的一致f 一幂环，a 卢，若a 是f 一子环， 则彳一o 。 证明 若声是环z 上的一致f 一幂环，a 卢是f 一子环，则o o 。4 ，即 a n o _ o ，则由定理5 2 2 2 可知a d 。 定理5 2 2 5若环x 的每个元素的阶都是有限数，则x 上的f 一幂环霹 1 5 昆明理工大学硕士研究生学位论文 点态化的模糊幂群与横糊幂环 恒为环x 的一致f 一幂环。 证明卢是环盖上的f 一幂环，则由定理5 1 1a - j 知，o 为环苫上的f 一子 半环。y x 。e o ，因为x 的每个元素的阶都是有限数，则| ，- , e n ，使得t t x - o ， 且k + + 五一+ 0 1 k - 屯“o 一啦l - ( 艇) - - o e o ，显然d 0 ( 。) 是o 的零 元，且姆h d 为h 的负元，所以o n g x 上的f 一子环，因此卢为环x 的 一致f 一幂环。 推论5 2 2 2 有限环的f 一幂环恒为一致f 一幂环。 定义5 2 2 2 设x 是环，v a e f ( x ) ，记( - 9 4 n ( _ 。ix 。e a t ，称( 一1 ) 4 为的负集。 定理5 2 2 6 设芦是环x 上的一致f 一幂环，则w 卢，- a i ( 一蛐a 证明芦是环x 上的一致f 一幂环，则蝴卢，由定理5 2 1 5 可知， 3 a 。五( 一口) 。( 。) 二j ，使得a - 口。( 。) + d ，( 一“) 一( 一口) 。( 。) + d ，贝uv a ( 4 ) ， | c ，e o 使吐 - ( 一口) o ( 。) + 勺， 由推论5 2 2 1知， ( 一c ) v e o ， 故 ( 一口) 一( 一c k + 4 0 ( 。) e o + a - a ，所以口 e ( - 1 ) a ，b p a c _ ( 一1 m 。反之，。 v a 。( 一1 ) a ，( 一口) 。4 ，由a + ( 以) - 0 ，( 一口) 。+ ( 一4 ) e ，则了匕( 卅) ，q e o ，使 ( 一4 ) 。拈。- c , ，故口。- 札+ ( 一c ) ，( a ) + d 一( a ) ，所以( 一”4 ( 一4 ) ， 因此 一a - ( 一1 m 。 定理5 2 2 7 设芦是环x 上的一致f 。幂环，则姒芦，a 互，且芦一声， 口1 0 是环x 上的一致f 一幂环。 证明声是环x 上的一致f 一幂环， 由定理5 2 2 6 可知， v a f l ，a - ( 一1 ) 爿。 v a 。e 爿，则( 一口) ( 一1 m t 卅，即日 爿，所以asa 。 另一方面，显然j 爿，所以a j ，故声- u 埘p 卢 - u 扫瞌；爿卢卜扫。 易证罗i o 是环x 上的f 一幂半环，且o 为芦i o 的零元， v a + o ，b 。+ d 卢i oa + o 一0 0 + d ) i 口 + o + 【( _ 6 ) 。+ o 】，4 + 【d + ( 一6 ) 。】+ o _ 口+【( 一6 ) 。+ d 】+ d - 0 。+ ( 6 ) ，) + f ， ，因为 口。+ ( 一6 ) 。卢 ，贝u ( 以+ o ) 一【( 6 ) ，+ d 卢i ，i i l l 卢i 。是环x 上的f 一幂环，又o 为一致f 一子环， 所以口i o 是环x 上的一致f 一幂环。 5 3 点态化f 一幂环与分明幂环的关系 望翌墨三盔兰堡! 婴壅生兰堡堡苎 皇查些塑堡塑墅芝堡塑! 坠 定理5 3 1 若伊，+ ) ，( 卢，) 是环x 上f 一幂半群，则若卢为环x 上的f 一幂 环弛卢，使w 卢，3 c 卢，使得a - b + a ，b = c + a 。 证明一令b ；o ，c a ，则由命题5 1 2 显然可得。 幸= b e ( b + 一) ，而s 气a + 址) ( 毋+ 爿) l 曰+ 4 茸名， 则 以4 ，即 ( 曰+ 4 ) 冬a 。同理可证4 ( b + 4 ) 。故b + 爿；爿。则由a 的任意性可知口为 | 8 的零元。同理可证：芦，3 c 卢，使c + 4 。b ，即c 一( 一a ) ，因此| 8 为环 爿上的f 一幂环。 定理5 3 2f 一幂半环芦是环x 上正规f 一幂环一| 含零f 一子半环 b 卢，使w ，j c ，使得a = b + a ，b c + a 一 定理5 3 3，一幂半环声是环z 上一致f 一幂环一jf 一子环b p ，使 v a 辟，j c _ ；b ，使得a = b + 爿，b = c + a 。 定理5 3 4设卢是环x 上的f 一幂环，o 为芦的零元，则 0 为，一子半环一o 为f 一子半环； 0 为含零f 一子半环# o 为含零，一子半环； o 为f 一子环# o 为f 一子环； 证明由定理5 1 2 ，5 2 2 1 易得。 推论5 3 1 f 一幂半环芦是环x 上f 一幂环一声为环x 上f 一幂环； 卢是环并上的正规f 一幂环一卢为环彳上正规f 一幂环； 卢是环盖上的一致f 一幂环一卢为环z 上一致f 一幂环。 其中户t 埘1 4 卢) 命题5 3 3 v 芦f ( x ) ，卢- s u p p f l 。其中s u p p f l = s u p p a a f l 。 推论5 3 2 卢是环x 上f 一幂环一s u p p 卢为环x 上幂环； 芦是环x 上的正规f 一幂环一s u p p 声为环x 上正规幂环； 卢是环z 上的一致f 一幂环一s 明) p 卢为环x 上一致幂环。 小结：本小结通过引进主元的概念，揭示了点念化，一幂环的结构与以 其每个元素的主元集为元素所组成的，一幂环的结构是一致的，迸一步通过 揭示主元与其承集的关系，建立了点态化f 一幂环与分明幂环的等价关系。 在下章中我们通过研究点态化f 一幂环的局部来揭示其整体结构，这就更 方便我们研究其性质及其同态和同构。 昆明理工大学硕士研究生学位论文点态化的模糊幂群与模糊幂环 第六章点态化f 一幂环的同态与同构 6 1 点态化f 一幂环的转移定理 设x 为环，令贾；忸。i x e x ，a ( o ，珊，其中x 。为环x 的f u z z y 点，又对任何 a ( o ，1 】，令j j = _ z x ) 。 命题6 1 1 霄关于f u z z y 点的加法z + y 。；0 + y ) 。，关于f u z z y 点的乘 法h y 。i o + y ) 。，构成含零子半环。 证明 显然雪为半环且对v x 牙有x + d i - o + d ) m x ，一0 1 + 。一 命题6 1 2 对于任何a e ( o ，1 】，丘关于f u z z y 点的加法，乘法构成环并且 同构于环x 。 证明显然j 为环x 的子半环且x + d s o + d ) = x a = 0 + 工 ，z i + ( 一x ) = l x + ( 一z ) ；0 一( - x ) + x ，即x 为环。 又命_ 一j ( x e x ) ，即知置s z 。 设x 为环，卢f ( x ) ，v a e 卢，记v z e ( o ，1 1 ，五；缸。k 爿，x x ，又记 v a e ( o ，1 】，反= 佤i 五c 爿，4 芦 ，且爿c j ，五c x 一。，互c a 。 命题6 1 3 设x 为环，卢f ( 工) ，w 卢，若五* 彩，则五s s u p p ( a z ) 。 命题6 1 4设x 为环，j i b f x ) ，v a ，b 声， 妒( 一，b ) _ c 卢诤v a ( 0 ，1 ，妒0 ，b ) 昌c 卢j ( 6 1 ) 其中妒( ，) 均表示对两个变量或对一个变量取有限次加法或负运算( 指卢或 厉中的运算) 。 证明 v a ，b ，爿= u 互，b = u 反，则伊( 4 ，b ) ；伊( u 互，u 豆) ，现 梢0 ，1 1i 【0 1 1( o ，1 】 e 【u1 1 讪e 妒( u 互，u 甄) ；u 伊( 五，豆) ( 6 2 ) i c 0 j 1z ( 0 ，1 l掘u ，l i 协。u 妒( 互，反) ，则j a ( o ：1 】，p = ，x 。妒口。，瓦) 妒( u 互，u 反) ， 即u 妒( 互，反) 妒( u 互，u 巨) 。 ( 0 ，lj 目仉1j e ( 0 ，1 】 反之，v x 。妒( u 互，u 巨) ；c ，3 y ，u 五，u 巨， 使 x 。；妒( y ，z 。) 由f 一点加法定义可知 “= p 留，故x ，= 妒( y ，：，) ，所以 昆明理工大学硕士研究生学位论文 点态化的模糊幂群与模糊幕环 扎u9 圆，最) 。即妒( u 五，u 只) u 妒( 五，最) 。 现证( 6 1 ) 若妒( ，) 表示对两个变量取有限次加法 一v a ( 0 ，1 1 ，若妒圆，最) 一t 厦，则妒( 爿，占) 一