（系统理论专业论文）若干非线性问题的对称约化及精确解.pdf

2 0 1 0d o c t o rt h e s i s s c h o o lc o d e ：10 2 6 9 s t u d e n tn u m b e r ：5 2 0 712 010 01 e a s c n an r m a l u n v e r s v s y m m e t r yr e d u c t i o n sa n de x a c t s o l u t i o n so fs e v e r a ln o n l i n e a r p r o b l e m s d e p a r t m e n t ： m a j o r ： s o f t w a r ee n g i n e e r i n gi n s t i t u t e s y s t e mt h e o r y s u b j e c t ： n o n l i n e a rm a t h e m a t i c a lp h y s i c s t u t o r ： a n ds y m b o l i cc o m p u t a t i o n p r o f c h e ny o n g author：dongz h o n g - z h o u 2 0 1 0 4 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文若干非线性问题的对称约化及精确解，是 在华东师范大学攻读硕士博彰( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：耋垒图日期：们f 旬年罗月乙日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 若干非线性问题的对称约化及精确解系本人在华东师范大学攻读学位期间 在导师指导下完成的硕士博彰( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范 大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主 管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子 版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学 位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题 和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文= ：， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( ) 2 不保密，适用上述授权。 导师签名：本人龇堇绸 切f t 7 年箩月叫日 木“涉密学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会 审定过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批 表方为有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填 写的，默认为公开学位论文，均适用上述授权。 董仲周博士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 楼森岳教授上海交通大学主席 范恩贵教授复旦大学 孔德兴教授浙江大学 郑宇教授华东师范大学 张大军教授上海大学 摘要 本文基于经典李群理论和计算机符号计算，研究了群不变解的最优系统理论和 算法，将这一算法部分程序化，在符号计算系统m a p l e 上实现；成功地将经典李群 方法与推广的直接方法相结合，研究一些重要的非线性方程的精确求解问题和所得 计算机模拟图形分析例如，研究了以n a v i e r s t o c k s 方程为代表的大气动力学方程， 发现了能反映重要自然现象的精确解如双眼壁台风解 第一章介绍了微分方程的对称理论、群不变解的最优系统、符号计算以及海洋 大气动力学系统模型的理论背景和发展现状，并简单介绍了国内外学者在这些领域 所取得的成果 第二章，利用群不变解的最优系统理论和算法，并结合推广的直接方法，研究了 ( 1 + 1 ) 维双曲m o n g e a m p 6 r e 方程、( 3 + 1 ) 维z a k z n e t s o v k u z n e t s o v 方程、( 2 + 1 ) 维色 散长波方程以及广义n i z h n i k n o v i k o v v e s e l o v 方程，给出了求解李群最优系统算法 过程中重要一步的计算机算法程序：k i l l i n g 型的计算机算法，分别研究了一维、二 维及三维最优系统，并进行一维、二维及三维子代数的约化求解；利用推广的直接 方法得到解与解之间的关系，从而进一步得到原方程的新解；对于所得到的一些新 的精确解，给出了图形分析同时，还给出了( 2 + 1 ) 维色散长波方程的守恒律 第三章研究了海洋大气动力学的三个模型：n a v i e r - s t o k e s 方程、两层大气模型 方程和带有外强迫加热函数的两层大气模型，其中后两种模型是根据实际海洋大气 动力学原理首次提出的利用群不变解的最优理论和算法，对这三个方程的一维或 二维子代数进行分类进而约化求解，并对所得到的解进行了计算机图形模拟，成功 地得出了台风解，且首次发现了双眼壁结构的台风解图形 第四章，将经典李群方法应用到四场格b l a s z a k m a r c i n i a k 离散方程，得到了 该方程的对称约化，给出了不但包含单孤子结构而且具有奇异性的精确解对于 m k d v 方程和修正的z a k h a r o v i k u z n e t s o v 方程的初值问题，首先利用同伦摄动方法 得到了方程的解析近似解，选取初始函数的不同形式，获得了方程的单孤子、双孤 子以及有理式解然后应用李群方法求解两个初值问题，并与前面利用同伦摄动方 法得到的解进行比较分析 最后一章对全文的工作进行了总结和讨论，概括了工作的优点及不足之处，并 对下一步的工作进行了展望 关键词：李群方法，推广的直接方法，群不变解最优系统，同伦摄动方法，对称 约化，守恒律，精确解，海洋大气，格方程，初值问题 a b s t r a c t b a s e do nt h ec l a s s i c a ll i eg r o u pt h e o r i e sa n dc o m p u t e rs y m b o l i cc o m p u t a t i o n ，t h i s d i s s e r t a t i o ni n v e s t i g a t e st h eo p t i m a ls y s t e mo fg r o u pi n v a r i a n ts o l u t i o n sa n dt h ec o i t e s p o n d i n ga l g o r i t h m s ，r e a l i z i n gp a r to ft h i sa l g o r i t h mp r o c e d u r eo nt h es y m b o l i cc o r n - p u t a t i o ns y s t e m - m a p l e ；c o m b i n i n gt h ec l a s s i c a ll i eg r o u pm e t h o da n dt h eg e n e r a l i z e d d i r e c tm e t h o ds u c c e s s f u l l y , w ei n v e s t i g a t e st h ep r o b l e mo fs o l v i n gs o m ei m p o r t a n tn o n - l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n se x a c t l ya n dt h ea n a l y s i so ft h eg r a p hs i m u l a t i o no b t a i n e db y c o m p u t e r f o re x a m p l e ，w es t u d ys o m ea t m o s p h e r i cd y n a m i c se q u a t i o n si n c l u d i n gt h e n a v i e r - s t o c k se q u a t i o n s ；f i n ds o m ee x a c ts o l u t i o n sw h i c hc a nr e f l e c ts o m ei m p o r t a n tn a t u r a lp h e n o m e n as u c ha sa d o u b l e - e y e w a l lt y p h o o n s o l u t i o n c h a p t e r1i n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n da n dt h ed e v e l o p m e n to ft h es y m m e t r yt h e o r i e s ， t h eo p t i m a ls y s t e mo fg r o u pi n v a r i a n ts o l u t i o n s ，t h es y m b o l i cc o m p u t a t i o na n dt h em o d e l s o fo c e a n i ca n da t m o s p h e r i cd y n a m i c s ab r i e fi n t r o d u c t i o no ft h er e s u l t sa c h i e v e db yt h e d o m e s t i ca n df o r e i g ns c h o l a r si nt h e s ea r e a si sg i v e na tl a s t c h a p t e r2m a k e su s eo ft h ec l a s s i c a ll i eg r o u pm e t h o da n di t sa l g o r i t h m s ，c o r n b i n i n gw i t ht h eg e n e r a l i z e dd i r e c tm e t h o dt oi n v e s t i g a t et h e ( 1 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lh y p e r - b o l i cm o n g e - a m p r r ee q u a t i o n ，t h e ( 3 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lz a k h a r o v k u z n e t s o ve q u a t i o n ，t h e ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a ld i s p e r s i v el o n gw a v ee q u a t i o n sa n dt h eg e n e r a l i z e dn i z h n i k - n o v i k o v - v e s e l o ve q u a t i o n s a nm a p l e sa r i t h m e t i co ft h ek i l l i n gf o r mi sg i v e n ，w h i c hi su s e di n f i n d i n gt h eo p t i m a ls y s t e mo fg r o u p i n v a r i a n ts o l u t i o n s w ei n v e s t i g a t et h eo n e - ，t w o 一，a n d t h r e e - p a r a m e t e ro p t i m a ls y s t e mo fg r o u pi n v a r i a n ts o l u t i o n sa n dg i v eo u tt h ec o r r e s p o n d - i n gr e d u c t i o n so ft h eo n e 一，t w o - ，a n dt h r e e - d i m e n s i o n a ls u b a l g e b r a s t h er e l a t i o n s h i p b e t w e e no n es o l u t i o na n da n o t h e ri so b t a i n e db yt h eg e n e r a l i z e dd i r e c tm e t h o d ，f u r t h e r t og e tn e ws o l u t i o n so ft h eo r i g i n a le q u a t i o n t h eg r a p ha n a l y s i so ft h en e we x a c ts o l u t i o n so b t a i n e dh e r ei sg i v e no u t m e a n w h i l e ，t h ec o n s e r v a t i o nl a w sa r es t u d i e do ft h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ld i s p e r s i v el o n gw a v ee q u a t i o n s c h a p t e r3s t u d i e st h r e ee q u a t i o n so ft h eo c e a na n da t m o s p h e r e ：t h en a v i e r - s t o k e s e q u a t i o n s ，t h et w ol a y e rm o d e le q u a t i o n sa n d t h et w ol a y e rm o d e le q u a t i o n sw i t he x t e r n a l f o r c i n gh e a t i n gf u n c t i o n ，o fw h i c h t h el a s tt w oa r ep r e s e n t e dt h ef i r s tt i m eb yu s b yu s i n g t h eo p t i m a ls y s t e mo fg r o u pi n v a r i a n ts o l u t i o n sa n di t sa l g o r i t h m s ，o n e d i m e n s i o n a lo r t w o d i m e n s i o n a ls u b a l g e b r a so ft h e s e t h r e ee q u a t i o n sa r ec l a s s i f i e da n dt h ec o r r e s p o n d i n g r e d u c t i o n sa n ds o l u t i o n sa r eg i v e n f o rs o m ei n t e r e s t i n ge x p l i c i ts o l u t i o n s ，t h ef i g u r e sa r e g i v e no u tt os h o wt h e i rp r o p e r t i e s t h et y p h o o ns o l u t i o ni so b t a i n e ds u c c e s s f u l l y a n dw e f i n dt h ep i c t u r et h a tc a nb eu s e dt os i m u l a t ead o u b l e - e y e w a l ls t r u c t u r eo ft y p h o o nf i r s t l y u c h a p t e r4g i v e so u tt h es y m m e t r yr e d u c t i o n so fad i s c r e t ee q u a t i o n ：t h eb l a s z a k - m a r c i n i a kf o u r - f i e l dl a t t i c ee q u a t i o nb ym e a n so ft h ec l a s s i c a ll i eg r o u pm e t h o d a n d t h es o l u t i o n sw h i c hh a v en o to n l yt h eo n e s o l i t o ns t r u c t u r eb u ta l s ot h es i n g u l a r i t ya r e o b t a i n e d f o rt h em k d ve q u a t i o na n dt h em o d i f i e dz a k h a r o v k u z n e t s o ve q u a t i o nw i t h t h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m ，t h eh o m o t o p yp e r t u r b a t i o nm e t h o di su s e dt og e tt h ea n a l y t i c a l a p p r o x i m a t es o l u t i o n s c h o o s i n gt h ef o r mo ft h ei n i t i a lv a l u e ，t h es i n g l es o l i t o n ，t w o s o l i t o na n dr a t i o n a ls o l u t i o n sa r ep r e s e n t e d a p p l y i n gt h ec l a s s i c a ll i eg r o u pm e t h o d i n t ot h et w oi n i t i a lv a l u ep r o b l e m s ，t h es o l u t i o n sa r eo b t a i n e d w h i c ha r ea n a l y z e da n d c o m p a r e dw i t ht h a to b t a i n e db yu s i n gt h eh o m o t o p yp e r t u r b a t i o nm e t h o d t h el a s tc h a p t e rc o n c e r n st h es u m m a r ya n dd i s c u s s i o nf o rt h ew h o l ew o r ko ft h i sd i s s e r t a t i o n ，i n c l u d i n gt h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so ft h ew o r k ，a sw e l la st h ep r o s p e c t f o rt h en e x tw o r k k e yw o r d s ：l i eg r o u pm e t h o d ，g e n e r a l i z e dd i r e c tm e t h o d ，o p t i m a ls y s t e mo fg r o u p i n v a r i a n ts o l u t i o n s ，h o m o t o p yp e r t u r b a t i o nm e t h o d ，s y m m e t r y r e d u c t i o n ，c o n s e r v a t i o n l a w s ，e x a c ts o l u t i o n ，o c e a na n da t m o s p h e r e ，l a t t i c ee q u a t i o n ，i n i t i a lv a l u ep r o b l e m i i i i v 口三互 i = i 豕 第一章绪论 1 1 对称理论 1 2 最优系统 1 3 海洋大气动力系统模型 1 4 符号计算 1 5 本文的选题和主要工作 第二章方法简介及应用 2 1 方法简介 2 2 李群方法的双曲m o n g e a m p 6 r e 方程应用 2 3 李群方法的z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程应用 2 4 推广的直接方法应用及守恒律。 2 5 推广的直接方法和李群方法的结合应用 2 6 本章小结 第三章李群方法在海洋和大气方面的应用 3 1 n a v i e r - s t o k e s 方程 3 2 两层大气模型方程 3 3 带有外强迫加热函数的两层大气模型方程 3 4 本章小结。 第四章格方程和初值问题求解 4 1 四一场格b l a s z a k m a r c i n i a k 方程 4 2 m k d v 方程的初值问题 4 3 修正的z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程的初值问题 4 4 本章小结 v 1 1 3 4 4 5 7 7 0 6 6 3 9 1 1 7 1 1 3 3 7 3 0 l l 2 3 3 4 4 4 6 7 7 7 7 8 9 1 1 2 3 5 7 9 2 s 虬叽吆 好 鳄 卯 修 也 坫 第一章绪论弟一早珀了匕 随着人类文明的不断进步，在发现和认识自然界的过程中，人们遇到了很多 微分方程，为了更好的认识所要研究的内容，许多学者开始研究所碰到的方程，在 这漫长的过程中，人们完善了线性理论，而非线性科学也在各个领域得到蓬勃的 发展，其中最为活跃的领域就是数学物理单从字面上也不难看出，数学物理是 一门数学和物理结合的交叉学科，数学的目的是尽可能地利用各种数学技巧来 求解物理学家碰到的各种问题，以有利于更好地描述各种物理现象，物理学工作 者则是应用已有的结果对所研究内容进行分析，以发现用物理实验所不能得到 的结果，进而得出新的结论来指导数学工作者继续进行研究，两者相辅相成、相 得益彰，既促进了物理学科的发展，也对数学方法及理论研究做出贡献在数学 和物理学家的共同努力之下，提出了研究微分方程的许多方法，例如反散射变换 ( i n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m a t i o n ) 【1 ，2 】、双线性方法( b i n e a rm e t h o d ) 【3 ，4 】、贝克隆 变换( b i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ) 5 - 7 】、达布变换( d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ) 【7 ，8 】、潘 勒维截断展开( t r u n c a t e dp a i n l e v 6e x p a n s i o n ) 方法 9 】 1 3 】、齐次平衡法【1 4 - 1 7 】等 等，当然，对称理论在微分方程的研究中也得到广泛应用 1 1 对称理论 s o p h u sl i e 建立了无穷小变换理论和李群理论【1 8 1 - 【2 0 】，l i e 的无穷小方法提 供了寻找常微分方程解的最广泛的可应用的技巧，一阶或线性常微分方程的标准求 解方法都可用对称来刻画；对于非线性常微分方程，若成功的话，l i e 方法可提供一 个把解化为一系列积分的方法，并可在符号计算程序中应用把该方法应用到偏微 分方程上，又可获得群不变解、守恒律以及分歧理论中的不变中心流形【2 1 - 【2 3 】 等l i e 的最初想法极大地影响了包括经典力学、流体动力学、弹性力学以及其它应 用领域的重要微分方程系统的研究，在后来的2 0 世纪，对称的概念演变成为数学物 理最具突破性的发展之一李群方法在具体物理系统中的应用虽然繁琐，但却可以 进行机械运算虽然用笔和纸计算一个适度的微分方程系统的连续对称群很可能会 失败，但符号软件包却非常适合这样的计算事实上，符号软件包通常可以获得李对 的守恒形式重写给定系统的一个或多个偏微分方程；其次，引进辅助势变量；最后， 求得所得偏微分方程系统的点对称无穷小生成元的形式决定是否具有非局部对 称，势对称技术提供了得到包含非可逆映射的有意义的线性化方法 受到b o u s s i n e s q 方程的某些对称约化不能用经典李群方法得到这一事实的启 发，c l a r k s o n 和k r u s k a l ( c k ) 【5 2 ，5 3 提出了一个简单直接的方法，不用任何群的理 论来寻找非线性系统的所有可能的相似约化，这就是约化微分方程的c k 直接方法， 关于直接法与经典和非经典方法的比较，读者可参见文献 5 3 - 6 0 1 2 0 0 0 年，楼森岳教授等 6 l 】在c k 直接方法的基础上提出了条件相似约化方 法，并得到了新的结果【6 2 ，6 3 后来，楼教授又和马红彩博士【6 4 1 6 8 】改进了c k 直接方法，不但能求得方程新解与旧解之间的关系，而且也可寻找方程的李和非李 2 第一章绪论华东师范大学博士学位论文 对称群，称为推广的直接方法，该方法不但适用于不可积系统，而且李群变换的表达 式要比用标准方法得到的简单的多 楼森岳教授和焦小玉博士等以对称理论为核心，结合摄动和同伦理论的思想， 提出了近似相似约化法和同伦近似相似约化法，并在许多方程中得到成功应用 【6 9 1 - 7 5 1 由李对称理论而发展演变的各种方法对研究微分方程起到重大作用，进而对数 学、物理、生物、力学、大气海洋学以及工程学等现代学科产生了巨大影响，其在各 科学领域的应用价值更是不可估量，难怪有人称叹 3 0 1 ： i ti si m p o s s i b l et oo v e r e s t i m a t et h ei m p o r t a n c eo fl i e sc o n t r i b u t i o nt om o d e ms c i e n c e a n dm a t h e m a t i c s 1 2 最优系统 微分方程的李对称群理论的一个主要应用是寻找群不变解，利用对称群的任意 子群，都可通过求解特征方程来把原方程约化为含有更少自变量的方程对多维偏 微分方程，这些子群的分类问题具有重要作用，给定一个保持偏微分方程不变性的 群的任一子群，都对应一组群不变解，因为几乎总是含有无穷多的这样的子群，所以 列出系统的所有可能的群不变解通常是不可行的，这就需要一个有效的、系统的方 法来决定哪些子群能产生不同的群不变解，进而寻找这些解不等价的类别，这就有 了群不变解的最优系统，通过该系统，任何其它的群不变解都可得到 利用李群的伴随表示能诱导出所有同维子代数之间的一个等价关系这一事实， o v s i a n n i k o v 【7 6 】给出了一维最优系统的构造方法，给出子代数之间的一个等价关 系，并利用该等价关系对所有群不变解进行分类，g a l a s 【7 7 】和i b r a g i m o v 7 8 】曾对 该方法做过研究o l v e r 3 0 】用了稍微不同的技术来研究最优系统，他利用有限维 李代数的k i l l i n g 型是在对应群的伴随表示下的不变量这一性质，根据k i u i n g 型的 符号对该一维子代数进行简化，所有情况讨论之后也就得到该子代数的等价分类， 文献【7 9 讨论了两种方法的联系o v s i a n n i k o v 【2 9 】概述了高维最优系统的构造方 法，并给出了一个简单的例子，但在他的讨论中，并没描述消去等价子代数的步骤 g a l a s 【7 7 给出了一个来解决上面问题的方法，但并没像o v s i a n n i k o v 所述那样首先 去掉代数的中心g a l a s 不仅计算了可解代数二维最优系统，而且讨论了不可解代数 的情况，但一般比较困难后来，k 6 t z 【8 0 】计算了v l a s s o v m a x w e l l 方程的包含非可 解三参数旋转群s o ( 3 ) 的对称群的直到四维的最优系统，p a t e r a 等人【8 1 1 发展了一 个与之不同但有关联的方法来分类子代数，并有许多学者利用该方法系统地研究了 数学物理中的许多偏微分方程系统 7 9 ，8 2 ，8 3 ，8 4 但上面的文献中并没给出最优 3 华东师范大学博士学位论文 第一章 绪论 系统最优性的证明，屈长征教授和张顺利教授等人做出很好成果，文献 8 5 】给出了 一维热传导方程的对称群的一至五参数最优系统的有力证明，而文献【8 6 】不但给 出了一个来自射影几何的平面曲线运动的非线性发展方程的对称及一维最优系统， 并给出了该一维最优系统最优性的证明 1 3 海洋大气动力系统模型 随着时代的发展，人类文明不断进步，却无法改变气象灾害对社会经济发展 和人民生命财产安全造成的影响，为了尽可能地减少各种自然灾害对人类的破 坏，越来越多的科学工作者专注于此方面的研究，如楼森岳教授领导的课题组已经 取得很好成果【8 7 ，8 8 许多气象灾害如台风、海啸、低温、高温等都与海洋大气 有关，而海洋和大气都是处于不断地运动中，并且运动的本质都是流体运动，因此 有必要研究流体物理中的有关方程，其中，e u l e r 方程和n a v i e r s t o k e s 方程都是流 体物理中的基本方程，也是海洋大气动力系统中的两个基本模型，e u l e r 方程是描 述无粘性流动的基本方程，而n a v i e r - s t o k e s 方程是描述粘性流动的基本方程三 维空间中n a v i e r - s t o k e s 方程解的存在性、正则性等基本问题至今仍未得到解决 物理上而言，开放流场的空间演化一般表现为有序向无序状态的演变，其内蕴机 理可理解为湍流生成机制，开放流场中往往存有不同尺度的旋涡结构，它们的空 间演化及其相互作用( 动力学行为) 主导了流场的空间演化在许多物理领域，如 流体、等离子体、凝聚态、天体物理学以及海洋大气动力系统中，e u l e r 方程是最 基本的方程之一，e u l e r 方程是在雷诺数很大时n a v i e r - s t o k e s 方程的极限情形，求 解e u l e r 方程和n a v i e r - s t o k e s 方程是计算流体动力学的重要内容之一，n a v i e r - s t o k e s 方程更是所有问题的出发点 8 9 ，美国克莱( c l a y ) 数学研究所的科学顾问委员会把 n a v i e r - s t o k e s 方程列为七个“千禧难题”( 又称世界七大数学难题) 之一关于这两 个基本模型，有很多相关的文章被报道【8 7 ，9 0 ，9 1 ，9 2 1 对这两个方程的精确求解， 只是问题解决的刚刚开始，随着科学和技术的发展，大量由它们衍生出来的数学方 程需要研究因此，关于e u l e r 方程和n a v i e r - s t o k e s 类方程的深入研究对于现代物 理学和科学技术的重要性是不言而喻的，不仅有助于说明观测现象，了解其动力学 机制，而且有助于预测气象灾害，从而减少各种灾害所造成的损失 1 4 符号计算 符号计算是以符号、公式为对象的研究数学问题的算法求解的学科，它包含算 法设计、分析、实现与应用四个方面，是数学与计算机科学的交叉学科，计算机代数 4 第一章绪论华东师范大学博士学位论文 ( c o m p u t e ra l g e b r a 或s y m b o l i ca n da l g e b r ac o m p u t a t i o n ) 是符号计算的一个分支，是 一门利用数学、计算机进行代数和解析处理或操作的学科，它兴起于2 0 世纪6 0 年 代初，公认的是以1 9 6 0 年美国麻省理工学院的m c c a r t h y 推出的l i s p 语言为标志， 是介于数学、计算机和人工智能之间的一门边缘学科把数学公式或数学语言转化 为计算机可识别可操作的符号形式，由计算机代替人工推导，实现公式的机器推演， 从而大大提高演算速度，使原来令人望而生畏的复杂计算变得简单快捷，在科学日 新月异迅速发展的今天，计算机代数无疑成为一门主流学科在过去的几十年间，计 算机代数已经取得了诸多成就如，r i s c h 【9 3 】证明了，数学函数在闭形式下的积分 问题是可判定的b e r l e k a m p 9 4 】给出了有效分解多项式的随机化算法，并给出了这 个代数算法在抽象代数域上的更一般的程序随后。新的有效的对无限超几何的精 巧算法【9 5 】及l o v a s z 的格点约化算法 9 6 ，9 7 】也分别由g o s p e r 和l e n s t r a 等给出 随着一些符号计算软件工具( 例如m a p l e 、m a t l a b 等) 的相继发布，计算机代数的发 展更加快速迅猛由于计算机符号计算能代替人工的推导、演算速度成千上万倍的 增加，使得原来令人生畏的复杂计算变得简单快捷，所以它能不断被应用到其它研 究领域，如天体力学、广义相对论、分子物理、航空学、生物学和化学、高能物理、 电子光学、自动化等等应用到微分方程系统中，楼森岳教授编隹j l j l i e 对称及对称约 化m a p l e 程序包，李志斌教授利用吴消元法求解微分方程，范恩贵教授利用计算机推 广t a n h 方法，朝鲁教授利用吴微分特征集求对称，陈勇教授等给出了判定一个偏微 分方程是否具有p a i n l e v 6 性质的构造算法并在m a p l e 平台上实现等等，这些成果都 促进了微分方程的研究 1 5 本文的选题和主要工作 在研究微分方程过程中，最重要的是寻找方程的解，但在找寻解之前可先找出 方程解之间的关系，找到该关系之后，就要试图求得方程的一个解，其中，可以先找 到方程的对称，然后利用得到的对称约化原方程，再求得约化方程的解，最后回代求 得原方程的解在利用对称约化过程中，因对称数量庞大且有时比较复杂，为了便于 约化且不失完整性，则可用到群不变解的最优系统对于数学物理及海洋大气中许 多方程，在诸多专家和学者的研究工作的基础上，本文主要利用经典李群方法和推 广的直接方法以及群不变解的最优系统理论，并借助于数学软件m a p l e 这个有力的 工具对其进行研究 本文主要内容包括： 1 利用经典李群方法，首次得到了( 1 + 1 ) 维的双曲m o n g e a m p 6 r e 方程和( 3 + 1 ) 维z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程的对称群，基于群不变解理论，获得了方程的群不变 5 华东师范大学博士学位论文 第一章绪论 解，再通过所得对称的相应向量场，构造了方程的群不变解最优系统，对于最优系 统中关键的k i l l i n g 型的计算，本文给出了一个m a p l e 算法要把( 1 + 1 ) 维的双曲 m o n g e a m p 6 r e 方程约化为常微分方程，只需给出一维最优系统即可，而对于( 3 + 1 ) 维的z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程，则需给出维、二维以及三维最优系统对原方程进 行约化求解 2 把推广的直接方法应用到( 2 + 1 ) 维色散长波方程，建立了方程的新解与旧解 之间的关系，并由此得到方程的对称，基于( 2 + 1 ) 维色散长波方程的的一个已知解， 通过选取任意函数的形式，就可利用得到的解之间的关系得到( 2 + 1 ) 维色散长波方 程的具有丰富结构的解，并给出许多图形说明其性质，由于对称与守恒律之间的密 切关系，最后研究了( 2 + 1 ) 维色散长波方程的守恒律 3 结合推广的直接方法和李群方法，首先得到了广义n i z h n i k n o v i k o v - v e s e l o v 方程新解和旧解之间的关系，并可获得该方程的李点对称群和非李点对称群，再利 用得到的对称，约化原方程，对于约化方程，又可利用经典李群方法求得对称约化及 精确解，代入变换公式，就可计算广义n i z h n i k n o v i k o v v e s e l o v 方程的新解 4 利用经典李群方法和群不变解的最优系统，研究了与海洋大气有关的三个 方程：n a v i e r - s t o k e s 方程、两层大气模型方程和带有外强迫加热函数的两层大气模 型方程，给出了对称群和对称代数，并利用群不变解的最优系统对李代数的一维子 代数进行了分类，进而约化求解对于( 2 + 1 ) 维的两层大气模型方程，还给出了二维 最优系统进行二维子代数约化对给出的三个方程的有意义的显式解，这里都给出 图形来描述其性质，并发现了可以模拟台风双眼壁结构的的图形，这与2 0 0 9 年9 月 1 7 日台风彩虹的静态卫星图相似 5 把李群方法应用到四场格b l a s z a k m a r c i n i a k 方程，得到了方程的对称约化， 并获得了四场格b l a s z a k m a r c i n i a k 方程的不但包含单孤子结构而且包含奇异性的 解 6 对于m k d v 方程和修正的z a l d a a r o v k u z n e t s o v 方程的初值问题，利用同伦摄 动方法得到了方程的解析近似解，通过选取初始函数的不同形式，获得了方程的单 孤子、双孤子以及有理式解这里，获得方程的双孤子解时没有用到双线性形式和 朗斯基行列式 7 应用李群方法研究m k d v 方程和修正的z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程的初值问 题，通过边界曲线和边界条件的不变性，推导出李点变换群对应的无穷小生成元的 形式，利用其具体形式，对原方程进行约化求解，并与前面通过同伦摄动方法得到的 解进行比较分析 6 篮一= 生 弟一草 方法简介及应用 求解微分方程精确解过程中，经典李群方法和推广的直接方法是两种有效方 法，本章将对这两种方法以及对称约化中用到的最优系统进行简单介绍，然后再应 用在几个微分方程系统中 2 1 方法简介 2 1 1 李群方法 考虑下面的n 维忌阶偏微分方程系统： 乃( z ，u ，8 u ，a 2 u ，a 七u ) = o ，歹= 1 ，2 ，m ， ( 2 1 ) 其中，z = ( x l ，x 2 ，z n ) 是自变量，u = ( u l ，札2 ，乱m ) 是因变量，a l u 表示u 对z 的所有f 阶偏导数 磊亲生百：u x , i l x i 2 x q ，$ 1 ：1 ，2 ，州：1 ，2 ，尼 瓦蕊孤2 。1 ，2 ， n 忙l 2 ， 乜 由经典李群方法【2 6 ，2 9 ，3 0 ，3 1 ，3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 5 ，先把李对称代数的无穷小生成元表 示成如下向量场： y = 喜托去+ 妻j = 1 未j ， 由对称定义，上述向量场应使得( 2 1 ) 式在n + m 度量空间上的下述变换形式不变 z ；= x i + e 五- t - d ( e 2 ) ， 哆= 嘶+ e - i - o ( e 2 ) ， 其中，e 是群参数，五= x ( z ，u ) ，= u j ( x ，仳) ，且满足v 的k 阶延拓p r ( 七) y 保持 曲面( 2 1 ) 不变，即 p r ( k ) v f j 弓：。= o ，歹= 1 ，2 ，m ， ( 2 2 ) 1 华东师范大学博士学位论文 第二章方法简介及应用 这里 p r ( w = y + ；m 鲁nu 叼1 _ _ 生o + ；m 。；羡铷u 肌2 幻砾0 + + j = l1 0 ，z o p