（系统理论专业论文）非线性微分方程解析近似解的自动推导研究.pdf

2 0 11m a s t e rt h e s i s i i ii ii iii ii i iii i iiiii | y 19 0 4 8 0 5 s c h o o lc o d e ：10 2 6 9 s t u d e n tn u m b e r ：51 0 81 2 0 1 0 0 3 e a s c n an r m a lu n 姗r s v s t u d yo ns y m b o l i cc o m p u t a t i o n o fa n a l y t i ca p p r o x i m a t i n g s o l u t i o n s f o rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s d e p a r t m e n t ： m a j o r ： s u b j e c t ： t u t o r ： a u t h o r ： s c h o o lo fi n f o r m a t i o ns c i e n c ea n dt e c h n o l o g y d e p a r t m e n to fc o m p u t e rs c i e n c e a n dt e c h n o l o g y s y s t e m st h e o r y s y m b o l i cc o m p u t a t i o na n da u t o m a t e dd e r i v a t i o n a s s o c i a t ep r o f e s s o rl i uy i n p i n g c h uh o n g m e i 2 0 11 4 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文非线性微分方程解析近似解的自动推导研 究，是在华东师范大学攻读硕左博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进 行的研究工作及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均己在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期：函l f 年j 月知日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 非线性微分方程解析近似解的自动推导研究系本人在华东师范大学攻读 学位期间在导师指导下完成的侈征博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果 归华东师范大学所有本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论 文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印 刷版和电子版：允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同 意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位 论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( v ) 2 不保密，适用上述授权。 导师签名： 本人签名：糍主2 垄b 二f f 年上月为日 “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上述部 门审定的学位论文均为公开学位论文此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授权) 褚红梅硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 王新伟副教授华东师范大学计算机系主席 顾国庆研究员华东师范大学计算机系 李祥学副教授华东! j 币范大学计算机系 摘要 在自然科学的诸多领域，许多现象都可以通过非线性方程来描述，因此求解非 线性微分方程的解析解以及解析近似解是广大科学工作者的重要研究方向之一本 文将结合著名数学家吴文俊的数学机械化思想和r a c h 归纳提出的关于a d o m i a n 多 项式的四种新算法，并以计算机代数系统m a p l e 为工作平台研究非线性定解系统解 析近似解的机械化算法及其实现本文主要内容包括如下三部分： 第一部分介绍了与本文有关的研究背景，简要回顾了非线性微分方程解析近似 解研究的发展历程，并针对性的综述了国内外在求解解析近似解方面的成果和发展 状况 第二部分介绍了构造非线性微分方程解析近似解的a d m p a d 6 新算法该部分 从a d o m i a n 分解法的基本原理出发，利用a d o m i a n 多项式的新定义算法改进了构 造非线性方程的a d o m i a n 多项式算法的关键步骤，在一定程度上解决了因冗余项急 剧增加引起的中间表达式急剧膨胀问题然而a d o m i a n 级数解精度不高，只在相当 有限的范围内收敛性好，超出收敛域误差增加很快，针对这一难点，我们将p a d 6 近 似技术嵌入到a d o m i a n 分解算法中，提出了一个改进的a d o m i a n p a d 6 算法，从而进 一步扩大了解的收敛域并提高了解的精度 第三部分以计算机代数系统m a p l e 为软件平台开发了非线性微分方程解析近 似解的自动推导软件包n a p a n a p a 软件包的用户界面很友好，只要按要求正确 输入单个非线性微分方程的接口参数，该软件包就能自动推导出该方程较满意的解 析近似解，另外，该软件包还可以将有些结果以图示的方式直观给出同时该部分也 详细介绍了软件包n a p a 的接口和各个主要子模块的功能和具体流程，最后通过几 个不同类型的方程来说明软件包n a p a 的有效性和灵活性 关键词：非线性微分方程，a d o m i a n 分解法，a d o m i a n 多项式，p a d 6 近似技术， a d o m i a n p a d 6 技术，解析近似解，符号计算 a b s t r a c t i nv a r i o u sf i e l d so fs c i e n c e ，m a n yp h e n o m e n ac a nb em o d e l e db yn o n l i n e a re q u a - t i o n s ，t h e r e f o r et h er e s e a r c ho na n a l y t i ca n da n a l y t i ca p p r o x i m a t es o l u t i o n so fn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sv e r yi m p o r t a n tf o rm a n ys c i e n t i f i cw o r k e r s i nt h i sp a p e r , b a s e d o nf o u rk i n d so fa d o m i a np o l y n o m i a la l g o r i t h m sp r o p o s e db yr a c ha n dt h ei d e ao fw u w e n t s u n sm a t h e m a t i c a lm e c h a n i z a t i o n ，w ep r e s e n tan e wa l g o r i t h mt oc o n s t r u c ta n a l y t i c a p p r o x i m a t es o l u t i o n sf o rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n da l s od e v e l o pas o f t w a r e p a c k a g ea r m e dw i t ht h ec o m p u t e ra l g e b r a i cs y s t e mm a p l e o u rm a i nw o r ki n c l u d e st h e f o l l o w i n gt h r e ep a r t s p a r tii sd e v o t e dt oi n t r o d u c et h er e s e a r c hb a c k g r o u n dr e l a t e dt ot h ed i s s e r t a t i o n f i r s t l y , t h ed e v e l o p m e n to ft h em e t h o d st oc o n s t r u c ta n a l y t i ca p p r o x i m a t es o l u t i o nf o r n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si so u d i n e db r i e f l y t h e n ，v a r i o u sa c h i e v e m e n t sa n dd e v e l o p m e n to fa n a l y t i ca p p r o x i m a t em e t h o d sa r er e v i e w e d p a r ti ii sd e v o t e dt os t u d yt h en e wa d o m i a n p a d 6a l g o r i t h mt oc o n s t r u c ta n a l y t i ca p p r o x i m a t es o l u t i o n so f n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i sp a r to u rr e s e a r c hi n c l u d e s t w oa s p e c t s ，f i r s t l y , b a s e do nt h eb a s i ci d e a o fa d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，t o g e t h e r t h en e wa l g o r i t h m so fa d o m i a np o l y n o m i a l sp r o p o s e db yr a c h ，w ei m p r o v e ds o m ek e y s t e p so ft h ea d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d f u r t h e rt oi m p r o v e t h ee f f i c i e n c yo ft h i s a l g o r i t h mb ya p p l y i n gs o m eo t h e rt e c h n i q u e s ，t h e s es k i l l sa l s oe f f e c t i v e l yc o n t r o l l e dt h e f a s t i n ge x p a n s i o no ft h em i d d l ee x p r e s s i o n s a n o t h e rt h i n g ，a st h ea d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o di su s u a l l yc o n v e r g e n ti na v e r yl i m i t e da r e a , a n do u t s i d et h ec o n v e r g e n c ea r e a t h ee r r o r si n c r e a s e dv e r yq u i c k l y w ee m b e d d e dt h ep a d 6t e c h n i q u ei n t oo u ri m p r o v e d a d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o dt oe n l a r g et h ec o n v e r g e n c ea r e a i np a r th i ，b a s e do nt h ei m p r o v e da l g o r i t h m ，am a p l ep a c k a g en a m e dn a p ai s d e v e l o p e d t h i sp a c k a g ei su s e r - f r i e n d l ya n de f f i c i e n t l y , a sl o n ga so n ei n p u ta ne q u a t i o n a sw e l la st h ei n t e r f a c ep a r a m e t e r s ，o u rp a c k a g ew i l lo u t p u ta n a l y t i ca p p r o x i m a t es o l u t i o n s w i t h i naf e ws e c o n d s b e s i d e s ，s e v e r a lg r a p h sg e n e r a t e df r o mt h ea b o v es o l u t i o n sa r e d i s p l a y e da n dd e m o n s t r a t eaf a v o r a b l ec o m p a r i s o n m e a n w h i l e ，i nt h i sp a r tt h ei n t e r f a c e a n dp r o c e d u r e sa r ei n t r o d u c e di nd e t a i l s f i n a l l y , s e v e r a ld i f f e r e n tt y p e so fe x a m p l e sa r e g i v e nt oi l l u s t r a t et h ev a l i d i t ya n dp r o m i s i n gf l e x i b i l i t yo ft h ep a c k a g e k e y w o r d s ：n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，a d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，a d o m i a n p o l y n o m i a l ，p a d 6a p p r o x i m a n tt e c h n i q u e ，a d o m i a n p a d 6t e c h n i q u e ，a n a l y t i ca p p r o x i - m a t es o l u t i o n ，s y m b o l i cc o m p u t a t i o n 第一章 1 1 1 2 第二章 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 第三章 3 1 3 2 3 3 3 4 第四章 4 1 4 2 目录 绪论 研究背景 本文的选题和主要工作 构造非线性微分方程解析近似解的a d m p a d 6 新算法 a d o m i a n 分解法的概述 a d o m i a n 多项式的新定义 p a d 6 近似技术 新的a d m p a d 6 算法 本章小结 软件包n a p a 软件包n a p a 的接口及使用 软件包n a p a 的实现 软件包n a p a 的应用 本章小结 总结与展望 总结 展望 附录an a p a 软件包的使用 参考文献 致谢 在读期间完成的论文目录 l 1 3 4 4 6 l 2 4 5 5 6 2 1 2 2 2 4 8 5 6 1 l 1 l 1 1 2 4 4 4 4 4 4 5 5 第一章绪论 随着科学技术的不断发展，原来惯用的线性模型已不能很好地反映宇宙中的许 多自然现象，于是越来越多的学者试图通过建立非线性模型来更精确地描述客观世 界的变化规律，这一设想在很长一段时间内取得了一定的进展非线性系统的研究， 很大程度上都将归结为相应的非线性方程的解法研究，与数值解相比解析解有助于 人们理解物理参数对解的影响，以便通过理论分析进一步弄清所研究问题的实质 然而不管是理论研究还是实际应用，非线性问题的求解远比线性问题的求解困难的 多近几十年来，随着符号计算和高性能计算机的诞生和不断发展，非线性系统的 研究受到了广大数学家和物理学家的广泛重视，并取得了很出色的研究成果 1 1研究背景 符号计算是随着计算机科学理论与技术的发展而产生的一种新型计算技术，它 与数值计算不同，其研究对象主要是以符号和公式为主体的算法我国在符号计算 领域的基础研究走在世界的前列2 0 世纪7 0 年代吴文俊先生创立了初等几何定理证 明的机械化方法，并把该方法拓展到微分情形，这一开创性成果积极推进了基于符 号的计算机处理方法，并发展了利用计算机进行分析演算与推理的理论和实践吴 文俊的数学机械化工作一直被国际数学和计算机科学界称之为吴方法【1 卜【4 】，事实 也证明该方法不仅标志着数学研究的实质性进展，也为很多高科技问题的解决提供 了有力的工具目前，该方法己在一些交叉研究领域得到了成功的应用，如理论物 理、计算机科学、信息科学、自动推理、工程几何、机械机构学等等，解决了若干 项技术问题并为促进我国技术产业的发展做出了积极的贡献 宇宙具有很强的非线性性，因此在自然界以及许多科学研究和工程技术等领域 中，普遍存在着各种非线性的现象，其中许多现象都可以通过非线性方程或方程组 来描述然而真正能够构造出有效的解析解的方程实属凤毛麟角因此，构造非线 性微分方程或方程组的解析近似解是一项十分重要并且有意义的研究工作近二十 年来符号计算在诸多学科中都获得了蓬勃发展，尤其针对求解非线性微分方程这 一难题，国际上也出现了很多很好的工作，例如，es c h w a r t z 将符号计算与微分方程 1 1 研究背景 李群分析相结合，编写了微分方程对称计算的符号计算软件包【5 6 1 w h e r e m a n 借 助指数函数的级数展开提出了利用计算机推导非线性演化方程孤波解的符号计算 方法m j b i a z a r n 借助a d o m i a n 分解法的思想编写了推导非线性微分方程a d o m i a n 多项式的程序yc h e r r u a u l t n 等人也借助a d o m i a n 分解法的思想编写了相应的软 件包b a b o l i a n 【1 0 1 等人对a d o m i a n 分解法进行了深入探讨，并提出了快速a d o m i a n 算法，且研发了相应的符号计算软件包在微分方程摄动分析等领域甚至还出现了 有关符号计算方法的专割1 1 j 然而我国在符号计算方面的应用研究起步较晚，特 别是关于微分方程领域的符号计算研究，几乎是随着符号计算系统的不断发展及 吴方法在符号计算系统上的机械化实现，在国内才逐步掀起了研究的热潮1 1 2 ，并 相继发展了一些构造非线性微分方程解析解的直接代数方法及机械化算、法【1 3 , 1 4 就a d o m i a n 分解方法而言，9 0 年代初，方锦清【1 5 】在吴文俊先生成就的鼓舞下，开展 了”一些混沌系统的复杂性与分解法的数学机械化及其在非线性系统中的应用”的 研究，他不但把数学机械化的思想应用于非线性微分方程求解，而且把a d o m i a n 分 解法进行了重要改进，并在计算机上实现了其机械化，成功研制了求解非线性微分 方程组的机械化软件包2 0 0 7 年顾惠峰和李志斌【1 6 对b a b o l i a n 【1 0 | 等人提出的快速 算法做了深入研究并进一步完善了该算法，他们编写的符号推演软件包不仅可以求 解复杂的非线性微分方程，还可应用于求解非线性微分方程组，这一研究极大的扩 展了快速算法的应用范围然而这些软件包的效率很低，而且所获得解的收敛域通 常都非常有限这些不足也极大地限制了这些软件包的使用 随着高性能计算机和符号计算系统【1 7 一【2 1 】的不断发展，线性问题的求解变得 越来越容易，而非线性问题仍颇难直接求解，于是就出现了许多基于线性问题的 构造非线性方程解析解的方法其中最典型的就是摄动方法【2 2 】2 9 1 该方法在科学 和工程领域的发展中起到了重要的作用，利用该方法可以揭示出弱非线性问题的 许多重要特性和有趣现象摄动方法求解的核心是依赖于小( 大) 参数或所谓的摄 动变量的存在换句话说，摄动方法的本质是应用摄动变量将一个非线性问题转 化为无穷多个线性子问题，并用前几个线性子问题的解之和来逼近该非线性问题 的解因此可以说摄动量的存在是摄动方法的基础，然而这也大大限制了摄动方 法的使用因为并不是所有的非线性问题都存在摄动量，并且当非线性问题的非 线性增强时摄动近似解并不能真实的反映所研究问题的实质为了获得更复杂方 程的解析近似解，一些非摄动方法应运而生，如l y a p u n o v 人工小参数法，6 展开法， a d o m i a n 分解法【3 0 】一【3 9 1 以及近年来由廖世俊提出并发展起来的同伦分析方法印，4 1 l 等由于a d o m i a n 分解法强大的普适性和计算的简便性，该方法已被广泛应用于很 多非线性问题的求解中但令人遗憾的是，由a d o m i a n 分解法得到的近似解在很多 情况下收敛域都非常有限，一旦超出收敛域误差增长很快，因而采用一些加速收敛 的技术来增大收敛区间是很有意义的工作为此，许多学者用p a d d 技术对a d o r n i a n 2 1 2本文的选题和主要i 作 分解法得到的级数解进行加速逼近，从而大大提高了解的精度并扩大了解的收敛 域有关这点将在以后章节中给出示例说明 1 2 本文的选题和主要工作 如前所述，求解非线性微分方程解析近似解的研究是一项非常重要且很有意义 的工作a d o m i a n 分解法是构造非线性系统解析近似解非常有效的方法之一众所 周知a d o m i a n 分解方法中求解a d o m i a n 多项式1 8 ，1 0 1 4 2 1 一刚的过程虽然十分繁杂，但 却是a d o m i a n 分解方法的关键步骤手动求解a d o m i a n 多项式和a d o m i a n 级数解 的解表达式计算量很大且很容易出错，但幸运的是该方法是完全程式化的方法若 将整个求解过程算法化进而机械化，将为非线性方程及相关领域的应用研究工作提 供有效的工具国内外学者针对这一难题也设计了许多不同的软件包然而这些软 件包只是代替了往日的手工计算，将繁杂的求解过程交由计算机去自动完成这些 软件包的计算效率很低，而且这些软件包没有对级数解进行精确逼近故所得的级 数解收敛域相当有限超出收敛域解的误差增加很快 本文在前人研究工作的基础上，对非线性微分方程解析近似解的求解提出 了一个改进算法，即新的a d o m i a n p a 能算法，该算法是将2 0 0 8 年由r a c h 利用同 一分解参数不同取值的截断算子重新定义的a d o m i a n 多项式1 4 3 】算法代替了传统 的a d o m i a n 分解法中求解a d o m i a n 多项式的过程，并引入了p a d 6 逼近来获得原级 数解的有理逼近解，该有理逼近解明显扩大了a d o m i a n 级数解的收敛域并提高了解 的精度另外我们结合著名数学家吴文俊的数学机械化思想1 1 4 1 ，并借助计算机代 数系统m a p l e1 2 将新算法进行了机械化实现，其中的软件包n a p a 可自动推导出所 求非线性定解系统的解析近似解通过应用于若干个不同类型的非线性微分方程的 求解，验证了该软件包的有效性和高效性因此，软件包n a p a 可以作为求解非线性 微分方程解析近似解的有效工具 3 第二章构造非线性微分方程解析近似 解的a d m p a d 6 新算法 由美国的数学物理学家g a d o m i a n 提出和发展起来的逆算符理论方法 4 1 ( 即a d o m i a n 分解法) 在众多领域的非线性问题的研究过程中显示出了强大的解 题能力和重要的学术价值数学理论和实际应用也都证实，由于a d o m i a n 分解法 可以统一求解一大类非线性数学物理问题，并且计算过程简单方便，相比摄动近 似解其计算结果也更符合客观实际，因而其备受国内外众多学者的青睐通常认 为a d o m i a n 分解法具有如下性质： 第一，该方法适用于求解一大类非线性系统( 包括非平衡以及随机的各种系统) ， 并且不用限制随机过程的统计性质，而只需假设系统输入的随机过程与系统本身是 相互统计独立的，具有强大的普适性，简单方便，在收敛域范围内精确度高，计算量 少等优越性 第二，该方法也可适用于强非线性和强随机性情形，并且不必做任何线性化近 似、封闭截断等其他方法所做的假设，因此处理结果更符合客观实际 第三。该方法容易与”吴方法”结合起来在计算机上实现对整个方法和计算过程 的自动符号推导及运算，方便数学机械化研究 2 1a d o m i a n 分解法的概述 考虑用下列算符方程式表示的非线性系统 4 1 ： f u = 夕( ) ， ( 2 1 ) 其中u = u ( ) ，g ( t ) 为随机过程，f 为非线性算符f 可分解为非线性算符n 和线性 算符l + r ，其中l 必须是线性最高阶常微分算符并且是可逆的，其逆算符为l - 1 ( 从o 到t 的n 次积分，n 为最高阶微分的阶数) ，r 为其余线性算符，所以( 2 1 ) 可以进 一步表示为： l u + r u + n u = g ( t ) ， ( 2 2 ) 4 2 1 a d o m i a n ：5 ) ；解法的概述 l u = a ( t ) 一r u 一u ， ( 2 3 ) 应用逆算符三_ 1 于方程( 2 3 ) 的两边，则有下列等价方程式： u ( t ) = f ( t ) 一l 一1 r u l 一1 n u ， ( 2 4 ) 其中，( 亡) 由夕( t ) 及初始条件或边界条件的积分决定，如，( t ) = u ( o ) + u ，( 0 ) + 三一1 夕( t ) 非线性项n u 可被分解为： n u = 入m a m ， ( 2 5 ) m = 0 其中当a = 1 时，以m 称为a d o m i a n 多项式，其最初的定义形式为： 伽丽1 杀删l 亿6 ， 乎 a d o m i a n 及其合作者先后发展出了多种计算a d o m i a n 多项式的算法【4 2 】，阻一s o 这里就不一一列出了 ： a d o m i a n 分解法除了应用上述相应算符分解以及求逆运算，还必须把方程的解 表示为无穷级数之和因此可令该非线性系统分解后的级数形式的解析解为： u ( t ) = a ”让。( t ) ， ( 2 7 ) m = 0 将( 2 5 ) 和( 2 7 ) 代入方程( 2 4 ) 中，可得到如下的等价方程： o o 入仇u r n = m ) 一l 一1 兄入m u m l 一1 入m ， ( 2 8 ) m = 0 m = 0m = 0 为了方便可令a = l ，因此各阶解分量( ) ( m 0 ) 可由下述迭代过程依次求 得： l u m ( z ) = f ( x o ) ( m 三o ) ， 1 ( 2 9 ) 【t t m + l ( x ) = 一l 一1 r 乱m l 一1 a m( m o ) 进而可求得m 阶解析近似解的表达式为 m 垂= ( 2 1 0 ) n = o 5 2 2a d o m i a n 多项式的新定义 2 2a d o m i a n 多项式的新定义 2 0 0 8 年，r a c h 将g a d o m i a n 及其合作者先后提出的传统多项式及改进多项式 的计算方法用统一的方法进行了重新定义并归纳为四类这种新定义主要借助截断 算子和3 个分解参数将非线性项n u 的t a y l o r 展开式重组成一系列的参数化部分和 这四类a d o m i a n 多项式的定义算法如下所述： 泛篡k 。a ，羞 亿 其中( 如) = ( 九；p 1 ，p 2 ，p 3 ) = n m ：- 0 1 厶= o m = 【，( u ) 】， 【a 】n m = 去( 一伽) n 嵩，( 咖) 1 口洳，( m ) 】n 独( m ) 】m 独( m ) ( 2 1 2 ) 在上匾的定义中，运算符”r 和”】”表示截断算子，p 1 ，p 2 和p 3 表示3 个分解参 数，并且它们的取值分别是m 或m ，n 的数学表达式，其中m ，礼表示求和项的个 数，e 。表示前m 项a d o m i a n 多项式的和四种多项式的定义就是通过对p 1 ，p 2 ， p 3 在四种情况下取如下不同的组合值而归纳得到的下面将分别给出r a c h 新定义 这四类a d o m i a n 多项式时p 1 ，p 2 ，筇的取值情况和相应的定义算法表达式： ( 1 ) 第一类( i ) a d o m i a n 多项式a g ) 4 3 1 定义第一类a d o m i a n 多项式州) 时，三个分解参数的取值分别是：p y ( m ) = m ，格( m ) = 。，硝( m ) = o o ， r r a c h 也已经证实了a g 等价于加速收敛 的a d o m i a n 多项式【4 2 】，即a c c e l e r a t e da d o m i a np o l y n o m i a l 其相应的e ( 。) 的定义算 法为 4 3 1 e 船= 锱) ( 如) = 薹0 0 岛( o ou v - - u 0 ) 礼品，( u o ) 】。狮 方程( 2 1 3 ) 等价于 e 黔黜= 薹掣嚣m o ) 其中鸥( ) = m ：- 0 1u 该算法的具体计算过程如下： 6 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 2 2a d o m i a n 多项式的额定义 首先给出前几项e ( j ) 的表达式 e ，= ，( 格) ， e ) = ，( 毋+ u h e f = ，( “矿+ “p + 珏妒) ， e g ) = ，( u 轳+ ，+ u + u f ) ， e 孑= ，( 让扩+ “i 。+ 让+ 甜f + 乱) ， 其次结合上面的表达式和下面的迭代关系就可以求出多项式a g ) 篓：三兰曼。一e 祭， ( m = o ) ， ( m 1 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 ) 第- - 类( i i ) a d o m i a n 多项式a g 。) f 4 3 】 定义第二类a d o r n j a n 多项式a 9 7 时，三个分解参数的取值分别是：p i 飞m ) = m ，p 气m ) = 。o ，p 气m ) = o 。，并且r a c h 也已经证实了a g 。等价于第一类改进 的a d o m i a n 多项式f 3 “，即t h em o d i f i e da d o m i a np o l y n o m i a lo ft h ef i r s tk i n d 其相应 的e ( j j ) 的定义算法为【4 3 】： e ( i i ) - - s ( m i i ( 咖 斌n = 0 ( 妻v = 0 旷砌“蠢伽0 ) 】础狮( 2 1 7 ) 方程( 2 17 ) i 李价于 e m ( i i ) - - - 卵( 剐= 薹幽掣巡嚣m o ) 亿，8 ， 其中粥n ( e u 口) = 留 该算法的具体计算过程如下： 7 2 2 a d o m i a n 多项式的新定义 首先给出前几项e ( ，j ) 的表达式 e ，。= ，( 格1 ， e 7 = ，( 钆3 1 十产( u 孑1 ( u ，1 ， 鳄d = s o , z 1 + 产) ( 铭n ( “，d + 秕n + 产( 扎鲤学翌， e 9 7 ) = ，( u 矿7 ) + ，( 1 ) ( t 正孑d ) ( u r ，+ t 正d + 仳譬d ) + ，( 2 ( u 矿。，j 。f u 。( i i ) t u 匀( i i _ ) _ l u 一( i i ) , 、2 + 产( 格1 竣掣逝， e r = ，( u 矿f ) + ，( 1 ) ( u f ，) ( 札r d + 让j + 仳孑d + j ) + 产( 格1 签堂掣监逝+ 产( 格1 鲤堂掣当垃 - t - f ( 4 ( u p ) 鲣丝等幽， 其次结合上面的表达式和下面的迭代关系就可以求出多项式a 9 7 ) ( m = 0 ) ， ( m 1 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 3 ) 第三类( i h ) a d o m i a n 多项式a 譬7 7 ) 定义第三类a d o r n i a l l 多项式a 9 7 7 时，三个分解参数的取值分别是：p r ( m ，佗) = m 一礼+ 1 ，p 7 气m ) = m ，毋。气m ) = 0 0 ，并且r a c h 也已经证实了a g 。7 等价于 第二类改进的a d o r i l i 锄多项式【3 ，即t h em o d i f i e da d o m i a np o l y n o m i a lo ft h es e c o n d k i n d 其相应的e ( ) 的定义算法为【4 3 j ： e 驴) - 职 ( ) = 【薹皓( 薹u v - - u o ) n 蠢，( 咖) 】v _ m - n + l k m ， ( 2 2 1 ) 竹= u = u o 方程( 2 2 1 ) 等价于 其中s m 一舛l ( ) = 等 坠掣蠡他0 ) ( 2 2 2 ) 8 u m e d d “ u p m e e 三 三 d d u m u m a a ，ilj、ll 一俩 = 0 a 哪 锷 ，fm 口m e 2 2a d o m i a n 多项式的新定义 该算法的具体计算过程如下： 首先给出前几项e ( ) 的表达式 e p = f ( u z ) ， e 7 ，) = s ( - z 7 。) + ，( 1 ( u 舻7 ，) u ) ， e r 7 ，) ：，( u 孑) + ，( - ( u f 。d ) ( u f j j ) + u 7 ，) + ，( 2 ( u 孑盯) 鱼竽， e ，。f ) ：f ( u z 7 ，) ) - 4 - f ( ，( 饥孑7 j ) ( u ，+ u 。，+ u g j ，) + ，( 2 ( u 孑7 j ) 鱼：等蔓竺竺 + ，( 3 ( 格j 叭j 鲣3 1 竺， e f 。，) = f ( u ( o ) + f ( 1 ) ( u z ) ( t 正，7 7 + 乱7 ，十u f 7 d + u z 7 d ) + 产( u ) 鲣型掣+ 产( u p ) 出等哑+ 产( 仳p ) 掣， 其次结合上面的表达式和下面的迭代关系就可以求出多项式a 袋盯) ( 2 2 3 ) ( m = o ) ， ( 2 2 4 ) ( m 1 ) ( 4 ) 类( i v ) a d o m i a n 多项式a g y ) 【4 3 1 定义第四类a d o m i a i l 多项式a g y 时，三个分解参数的取值分别是：p ，y ( m ，n ) ：m 一佗+ 1 ，p y ( m ) = m ，毋y ( m ) = m ，并且r a c h 也已经证实了a g y 等价于经 典的a d o m i a n 多项式m ，即t h ec l a s s i c a la d o m i a np o l y n o m i a l 其相应的e ( 。矿) 的定 义算法为【4 3 1 ： e 册= 咿( _ 【 叁刍( 薹u v - - 4 ) ) n 蠡衔o ) 】v m - n + l k 如孤 ( 2 2 5 ) 方程( 2 2 5 ) 等价于 e 驴= 驴( 剐= 筐坠掣蠢m o ) 】妣m ( 2 舶) 其中一斛l ( 让口) = 筹 9 d r 口m e d d ， j 斗 u 口m e e 三 三 、j、j u m u m a a 、i-_-j(1il 2 2a d o m i a n 多项式的新定义 该算法的具体计算过程如下： 首先给出前几项0 0 v ) 的表达式 e p y ) = s ( u z y ) ， e y ) = s ( u z y ) + ，( 1 ( u 孑y ) u ，y ) ， e 孑y ) = ，( 钍孑y ) + ，( 1 ( u f y ) ( u r y + u 箩y ) + ，( 2 ( u 轳y ) 、鱼逝2 1 ， e ，y ) = ，( u g y ) + ，( ( u y ) ( u ，y ) + u y ) + t 工 y ) + ，( 3 ) ( 乱孑y ) 妲卫 + ，( z ( u 孑”) ( 堕譬竺+ u y ) 让y ) ， e f y = ，( 乱孑y ) + f c ( u z y ) ( u v ) + u z y + u g y + u y ) + f c 。( 仳m ( 学+ 钍p u + 学+ u p u + f c s ( u m ( 牮+ 掣u n + 产) ( u n 掣， 其次结合上面的表达式和下面的迭代关系就可以求出多项式4 9 y ) ： ( 2 2 7 ) ( m = o ) ， ( 2 2 8 ) ( m 1 ) 下面表1 将对上述内容进行归纳总结，并给出定义不同的a d o m i a n 多项式时采 用的分解参数值及其对应的别名： 表l 四类a d o m i a n 多项式对应的参数及其别名 p 1 p 2 p 3别名 i ( a # ) mo oo o加速收敛的a d o m i a n 多项式 ( a 并) mm 第一类改进的a d o m i a n 多项式 m ( a 并“) m n + l m o o 第二类改进的a d o m i a n 多项式 i v ( a ) m 叶1 m m 经典的a d o m i a n 多项式 由于别名所代表的a d o m i a n 多项式的收敛性【5 2 】【6 5 】己被证明【4 3 ，5 1 , 4 6 ，s o ，因此相 应的这四类a d o m i a n 多项式的收敛性也是显而易见的 、j 矿 u m e 一 、j、j1 y y + 口 u m e e 三 三 、j、j y y u m u m a a ，j(1、 2 3p a d a 近似技术 2 3 p a d 6 近似技术 在数值计算领域中，用级数多项式来逼近一个函数并进而提出各种有效的数值 方法已司空见惯，并在很多情况下获得了成功，这不仅是纯数学领域中经常使用的 手段，也是实际应用中赖以发展的方法之一但这种方法的应用有时会暴露出某些 缺陷，这些缺陷一般表现为级数解的收敛速度较慢或其收敛范围相当有限，不适合 于自变量t 很大的情况因此b o n y d 【笳】等人进行理论分析认为级数解不适合于更 精确地表示初、边值问题 然而理论及事实证明如果采用有理函数作为逼近工具，大多数情况则能获得出 人意外的好结果这一工具不仅能改善级数