（系统理论专业论文）不确定半群理论研究.pdf

聊城大学硕士学位论文 摘要 将半群理论与不确定信息处理理论( 模糊理论和粗糙集理论) 相结合，可以获得许 多新的性质，产生半群理论的不确定副本，得到一套与经典半群理论相对应的完整理 论目前，将半群理论与不确定理论相结合进行研究的文章已经出现很多1 9 8 0 年，k u r o k i n i s h 正式开始模糊子半群的研究，它是自模糊代数研究开始以来，最活跃的研究热点问 题之一( 包括模糊子群，因为半群分类为2 0 m ) 国内每年都有一百多篇半群方面的文章 发表1 9 8 2 年，由波兰数学家p a w l a k 提出粗糙集理论，目前该理论已在机器学习、知识 发现、决策分析、人工智能、数据挖掘、模式识别、故障检测等许多方面得到了广泛的 应用k u r o k in 研究了半群中的粗糙理想，首次提出了粗糙子半群和粗糙理想的概念， 证明了在同余( 完备同余) 关系下，半群的子半群的上粗糙集( 下粗糙集，如果非空) 也是其子半群其左( 右、双) 理想的上粗糙集( 下粗糙集，如果非空) 是半群的左( 右、 双) 理想 本文正是在这一背景下，以半群的不确定子结构理论为基础，试图建立完整的半群 和半环的不确定子结构理论论文分为四章 第一章是绪论主要回顾了半群和不确定半群理论发展的历史背景，粗糙集理论的 推广以及粗糙集与各数学分支的结合发展半群理论是在数学内部( 理论研究) 和外部 ( 实践应用) 两种因素的推动下发展起来的一个代数系统通过对其不确定子结构的研 究可以得到粗糙模糊子半群和模糊粗糙子半群理论；在实践中该理论可以应用于自动机 的研究粗糙集理论也正是沿着这两个方向发展起来的该理论不仅是一个处理不确定 数学问题的模型，而且是作为一种新型的处理模糊和不确定知识的数学工具，同时还是 一个处理不完备信息的新颖、有效的软计算方法，在应用学科中有着广泛的应用随着 粗糙集理论研究的不断深入，粗糙集与其它数学分支的结合也更紧密还将出现更多新 的、富有生命力的数学分支 第二章介绍了半群的粗糙子结构和粗糙子半群的同态问题，较为全面地研究了半群 理想的粗糙集证明了在同余条件下，除素理想外，半群的每一种理想的上粗糙集均为 其相应的理想在完备同余条件下，半群的素理想的上粗糙集为其素理想，半群的其它 理想的下粗糙集非空时都为半群的相应理想还介绍了半群的同态问题，得到几个半群 的同态( 同构) 定理，刻画了半群的结构 在第三章中，我们将半群的粗糙理论与模糊理论相结合，研究了粗糙模糊子半群和 聊城大学硕士学位论文 模糊粗糙子半群的一些性质讨论了在同余关系下模糊子半群和模糊理想的性质证明 了在截集意义下粗糙模糊子半群的粗糙集是半群的模糊子半群，粗糙模糊子半群的左 ( 右、双) 理想的粗糙集就是半群的模糊左( 右、双) 理想通过讨论我们可以看出粗 糙模糊子半群是粗糙子半群的推广，半群粗糙模糊子半群的截集是其经典子半群我们 还将等价关系推广到模糊等价关系，构造出模糊同余关系下半群的模糊粗糙子半群和模 糊粗糙理想，给出了判定模糊粗糙子半群的充要条件本章证明了上( 下) 粗糙模糊子半 群及粗糙模糊理想的同态像仍为半群像的上( 下) 粗糙子半群和粗糙理想 第四章在半环子结构的讨论中提出粗糙子半环和半环的粗糙理想的概念，将粗糙子 半群的性质推广到粗糙子半环上来由于半环上的同余关系同时也都是半环中两个半群 的同余关系，因此很自然地将第二章中半群的粗糙理论推广到半环上来，建立半环的不 确定子结构理论半环中含有两种运算，因此半环同半群相比可以有更多的理想，作者 尝试将文献 4 7 1 中的星理想引入，提出半环的粗糙星理想的概念与半群理论类似，笔 者证明了在半环的同余关系下，予半环的上粗糙集还是半环的子半环，半环理想的上粗 糙集还是半环的理想；在完备同余关系下，半环的予半环也是其下粗糙子半环，半环的 各种理想也是对应的下粗糙理想最后讨论了半环同态和同构问题，得到半环只能与它 的商半环同态的结论 关键词：粗糙子半群；粗糙理想；粗糙模糊子半群；粗糙模糊理想：模糊粗糙子半 群；粗糙子半环；同态：同构 i i 聊城大学硕士学位论文 a b s t r a c t b yc o n n e c t i n gt h et h e o r yo fs e m i g r o u pw i t ht h a to fu n c e r t a i ni n f o r m a t i o np r o c e s s i n g ，w e c a l lo b t a i nm a n yn e wp r o p e r t i e s ，as e to fp e r f e c tt h e o r yc o r r e s s p o n d i n gt ot h ec l a s s i c a l s e m i g r o u pa n dp r o d u c es o m eu n c e r t a i nc o p i e so fs e m i g r o u p n o w , t h e r eh a v eb e e nm a n y a r t i c l e so nc o n n e c t i o no fs e m i g r o u pt h e o r yw i t hu n c e r t a i nt h e o r y i n19 8 0 ，k u r o k in b e g a nt o s t u d yt h e o r yo ff u z z ys u b s e m i g r o u p ，w h i c hb e c a m eo n eo ft h eh o n e s tp r o b l e m si na l g e b r a f i e l d i nc h i n a , m o r et h a n1 0 0r e l a t e da r t i c l e sa r ep u b l i s h e de v e r yy e a r i n1 9 8 2 ，p o l i s h m a t h e m a t i c a np a w l a kp u tf o r w a r dr o u g hs e tt h e o r y ，w h i c hh a sb e e nw i d e l yu s e di nt h ea r e ao f m a c h i n el e a r n i n g ，k n o w l e d g ed i s c o v e r y ，d e c i s i o na n a l y s i s ，a r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e ，d a t am i n i n g ， p a t t e r nr e c o g n i t i o n ，f a u l td i a g n o s i s ，e t c k u r o k ins t u d i e dr o u g hi d e a l so fs e m i g r o u p ，g a v et h e c o n c e p to fr o u g hs u b s e m i g r o u pa n di d e a l si ns e m i g r o u p u n d e rt h ec o n d i t i o no ft h e c o n g r u e n c e ( c o m p l e t ec o n g r u e n c e ) r e l a t i o n ，u p p e r ( 1 0 w e r ) r o u g hs e to f as u b - s e m i g r o u pi s p r o v e dt ob et h es u b s e m i g r o u po f t h es e m i g r o u p ，w h i l et h a to f t h er o u g hs e to f al e f t ( r i g h t ，b i - ) i d e a li sp r o v e dt ob ei t sl e f t ( r i g h t ，b i - ) i d e a l 。 i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，b a s e do nt h e o r yo fs e m i g r o u p ss u b s t r u c t u r et h ea u t h o rt r i e st o c o n d u c te n t i r e l yu n c e r t a i ns u b s t u c t u r eo fs e m i g r o u pm a ds e m i r i n g t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t s o f f o u rc h a p t e r s c h a p t e r1 s e r v e sa ni n t r o d u c t i o n i tm a i n l yr e v i e w st h ed e v e l o p m e n t a lb a c k g r o u n do f s e m i g r o u pa n du n c e r t a i ns e m i g r o u p ，p o p u l a r i z a t i o no fr o u g hs e tt h e o r ya n dp r o g r e s so fr o u g h s e tt h e o r ya n do t h e rm a t h e m a t i c a lb r a n c h e s s e m i g r o u pt h e o r yi sa na l g e b r as y s t e mt h a ti s i m p u l s e du n d e rt w of a c t o r si n i n t e r i o r m a t h e m a t i c s ( t h e o r e t i c a lr e s e a r c h ) a n de x t e r i o r m a t h e m a t i c s ( p r a c t i c a la p p l i c a t i o n ) r o u g hf u z z ys u b s e m i g r o u p a n d r o u g hf u z z y s u b s e m i g r o u pc a nb eo b t a i n e db ys t u d y i n gs e m i g r o u p su n c e r t a i ns u b s t r u c t u r e ；i np r a c t i c e ，i t c a l lb ea p p l i e dt oa u t o m a t i cm a c h i n e ，a l o n gw h i c ht h er o u g hs e tt h e o r yh a sd e v e l o p e d t h i s t h e o r yi sn o to n l ya m o d e lo f d e a l i n gw i n lu n c e r t a i nm a t h e m a t i c a lp r o b l e m sb u ta l s oat o o lo f t a c k l i n gf u z z yo ru n c e r t a i nk n o w l e d g ea n dan e w , e f f e c t i v es o f tc o m p u t i n gm e t h o do f p r o c e s s i n gi n c o m p l e t ei n f o r m a t i o nt h a ti sw i d e l ya p p l i e di nt h ea p p l i c a t i o nd i s c i p l i n e a st h e s t u d yo fr o u g ht h e o r yg o e so n ，t h ec o n n e c t i o no fr o u g hs e ta n do t h e rm a t h e m a t i c a lb r a n c h e si s m u c hc l o s e r t h e r ew i l la p p e a rm o r en e w , a l i v em a t h e m a t i cb r a n c h e s i nc h a p t e r2 ，t h ea u t h o ri n t r o d u c e sr o u g hs u b - s t r u c t u r ea n dh o m o m o r p h i s mo fs e m i g r o u p i i i 聊城大学硕士学位论文 a n dc a r r i e so u tac o m p l e t er e s e a r c ho fr o u g hs e to fs e m i g r o u p si d e a l s u n d e rt h ec o n d i t i o no f t h e c o n g r u e n c e ，i ti sp r o v e d t h a tu p p e rr o u g hs e t so fe v e r ys e m i g r o u p si d e a la r ei t s c o r r e s p o n d i n gi d e a l se x c e p tp r i m ei d e a l u n d e rt h ec o n d i t i o no ft h ec o m p l e t ec o n g r u e n c e ， u p p e rr o u g hs e to fs e m i g r o u p sp r i m ei d e a li si t sc l a s s i c a lp r i m ei d e a lw h i l eo t h e rl o w e rr o u g h s e to fs e m i g r o u p si d e a l s ，i ft h e ya r en o te m p t y , a r et h e i rc o r r e s p o n d i n gc l a s s i c a li d e a l s t h e a u t h o ra l s op r e s e n t st h es e m i g r o u pi s s u ea n do b t a i n ss e v e r a lh o m o m o r p h i s m ( i s m o r p h i s m ) t h e o r e m so fs e m i g r o u p i nc h a p t e r3 ，t h ea u t h o re x p l o r e ss o m ep r o p e r t i e so fr o u g hf u z z ys u b s e m i g r o u pa n df u z z y r o u g hs u b s e m i g r o u p b yr e l a t i n gs e m i g r o u p sr o u g ht h e o r y t o f u z z yt h e o r y f u z z y s u b s e m i g r o u p sa n df u z z yi d e a l sa r ed i s c u s s e du n d e rt h ec o n d i t i o no ft h ec o n g r u e n c e i nt h e s e n s eo fi n t e r s e c t i n gs e t s ，f u z z yr o u g hs e t so faf u z z ys u b s e m i g r o u pi sp r o v e dt ob ei t sf u z z y s u b s e m i g r o u p ，w h i l et h a to ff u z z y i d e a li sa l s op r o v e dt ob ei t sf u z z yi d e a l t h r o u g h d i s c u s s i o n ，w ec a ns e et h a tr o u g hf u z z ys u b s e m i g r o u p i st h eg e n e r a l i z a t i o no fr o u g h s u b s e m i g r o u p t h ea u t h o ra l s og e n e r a l i z e se q u a lr e l a t i o nt of u z z ye q u a lr e l a t i o n ，c o n s t r u c t s s e m i g r o u p sf u z z ys u b s e m i g r o u p sa n di d e a l su n d e rt h ec o n d i t i o no ff u z z yc o n g r u e n c er e l a t i o n a n dg i v e ss u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so f j u d g i n gf u z z ys u b s e m i g r o u p i nt h ec h a p t e r , t h ei m a g eo fu p p e r ( 1 0 w e r ) r o u g hf u z z ys u b s e m i g r o u pa n dr o u g hf u z z yi d e a l sa r ep r o v e dt ob e t h eo n e so fs e m i g r o u p i nc h a p t e r4 ，t h ea u t h o rg i v e st h ec o n c e p to fr o u g hs e m i r i n ga n de x t e n d sp r o p e r t i e so f r o u g hs e m i g r o u pt os e m i r i n g s i n c et h ec o n g r u e n c er e l a t i o no fs e m i r i n gi sa l s ot h eo n eo f i t s t w os e m i g r o u p s ，i ti sn a t u r a lt og e n e r a l i z er o u g hs e tt h e o r yi nc h a p t e r2t os e m i r i n ga n d e s t a b l i s h e su n c e r t a i ns u b s t r u c t u r et h e o r yo fs e m i r i n g t h e r ee x i s tt w oo p e r a t i o n si ns e m i r i n g ， s ot h e r em a yb em o r ei d e a l si ns e m i r i n gt h a ni ns e m i g r o u p t h ea u t h o ra t t e m p t st oi n t r o d u c e s t a r - i d e a l ( d o c u m e n t 【4 7 1 ) i n t os e m i g r o u pa n dp u t sf o r w a r dt h ec o n c e p to fs e m i r i n g sr o u g h i d e a l s s i m i l a rt ot h e o r yo fs e m i g r o u p ，u n d e rt h ec o n d i t i o no ft h ec o n g r u e n c er e l a t i o n ，u p p e r r o u g hs e to fs u b s e r r t i r i n gi sp r o v e dt ob ei t ss u b s e m i r i n g ，w h i l et h a to f i d e a l si sa l s op r o v e di t s i d e a l s u n d e rt h ec o n d i t i o no ft h ec o m p l e t ec o n g r u e n c er e l a t i o n ，t h es u b s e m i r i n gi sa l s o s e m i r i n g sl o w e rr o u g hs u b s e m i r i n g ，w h i l et h a t o fi d e a l si si t sc o r r e s p o n d i n gu n d e rr o u g h i d e a l s i nt h ee n d ，t h ea u t h o rd i s c u s s e sp r o b l e m so fh o m o m o r p h i s ma n ds t r u c t u r ei ns e m i r i n g a n dc o n c l u d e st h a ts e m i f i n gi so n l yh o m o m o r p h i s mo fi t sq u o t i e n ts e m i r i n g 聊城大学硕士学位论文 k e yw o r d s r o u g hs u b s e m i g r o u p ；r o u g hi d e a l s ；r o u g hf u z z ys u b s e m i g r o u p s ；r o u g h f u z z yi d e a l s ；f u z z yr o u g hs u b s e m i g r o u p s ；r o u g hs u b r i n g ；h o m o m o r p h i s m ；i s o m o r p h i s m v 原创- 性声明 本人郑重声明：所提交的学位论丈是本人在导师的指导 下，独立进行研究取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 论文中不舍其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料。对 本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本人承担本声明的法律责任。 学位论文作者签名：毯趁日期二! 塑。壁 聊城大学硕士学位论文 前言 半群和半环理论是经典代数中群论和环论的推广，许多分析和处理科学和工程技术 问题都使用由这两种理论为基础建立的数学模型例如，在自动机理论中就用到了半群 和半环 模糊和粗糙集理论都属于不确定信息处理理论二者在处理不确定和不精确问题方 面都推广了经典集合论它们都可以用来描述知识的不确定性和不完全性然而它们的 侧重面不同，从知识的“粒度”上来看，模糊集使用隶属函数这个基本概念对经典集合进 行了改造，着眼于知识的模糊性而粗糙集是一个集合关于某个已知的可利用的信息库 ( 近似空间) 的一对上、下近似来描述从集合对象间的关系来看，模糊集强调的是集 合边界的病态定义，即边界的不分明性，粗糙集则强调的是集合对象间的不可分辨性； 从研究的对象来看，模糊集研究的是属于同一类中的不同对象的隶属关系，重在隶属程 度，而粗糙集是研究的不同类的对象集组成的集合之间的关系，重在分类从研究应用 问题的效果看，模糊集中的隶属函数的确定要使用专家系统来确定，不同的专家系统对 同一问题的定义不完全统一，因此使用不同的专家系统或隶属函数研究同一问题得到的 结论不会完全一致，这表明模糊理论研究问题时带有一定的主观性；而粗糙集理论研究 问题时无需集合之外的任何先验信息，完全从已知的集合的信息出发，对信息进行分类、 约简得到的结论较为客观 模糊和粗糙集理理论都有自己的优点和不足之处，当模糊理论处理分类问题时，就 显得无能为力，因为同一类不同对象的隶属度都不相同，难以对知识进行有效地分类同 样粗糙集理论不包括不精确或不确定信息处理的机制，当使用粗糙集理论处理这类问题 时便显示出它的不足之处如何将模糊和粗糙集理论的优点结合起来应用于理论研究或 实践中便成为一个重要的研究课题目前已有将二者结合起来研究代数系统的文章出现， 提出了模糊粗糙群( 半群、环) 和粗糙环及粗糙模糊群( 半群，环) 等新概念随着这 两种理论与纯粹数学理论的结合，必将产生更多的、富有生命力的数学分支 本文继续文献【4 3 】研究了半群中的几种粗糙理想，证明了在同余关系下，半群的双 ( 内、外、双、伪、近等) 理想的下粗糙集是半群的理想；在完备同余关系下，如果当 其各种理想的下粗糙集非空时，则也是半群的理想由于粗糙代数和模糊代数产生的时 聊城大学硕士学位论文 问较短，在文献中的定义也不尽相同，因此本文中对许多概念进行了统一定义：本文的上 ( 下) 粗糙子群、粗糙( 左、右、双、内、外、近) 理想均指的是在半群的经典子半群 或理想的上( 下) 粗糙集作成半群的经典理想时才称为半群的上( 下) 粗糙理想，也就 是说凭借集是经典的，而其子结构是租糙的这种定义与传统的模糊子半群是一致的这 一部分还讨论了半群的同态问题，半群只能与自己的商半群同态 然后又将这几种理想推广到半群的粗糙模糊子半群或理想，接着又简单地讨论了模 糊同余关系下的模糊子半群和半群的几种模糊理想的上模糊粗糙集，都是半群的模糊子 半群或相应的模糊理想在完备同余关系下，半群的模糊子结构的下粗糙集也是半群的 下模糊子半群或模糊理想另外还简单的讨论了半群的模糊同余关系下的模糊粗糙集的 几点性质 最后一章将粗糙子半群的性质推广到含有两个运算的半环上，提出了粗糙半环的的 定义讨论了半环的粗糙子结构研究了半环的同态问题 本文的写作的得到导师姚炳学教授的悉心指导和帮助，在此致以衷心感谢! 限于作者的知识水平有限，文中难免存在许多不妥之处，敬请各位老师不吝批评、 指正 2 聊城大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 半群理论发展的历史背景 半群的代数理论，从它的基本对象，核心概念，主要课题的提出到它的行之有效的 方法的建立，都是在数学内部( 如它与算子理论、拓扑学、概率论等学科结合渗透) 和 外部( 特别是计算机科学) 的强烈推动下进行的至今开展研究近6 0 年，特别是近几十 年来，新兴学科( 如：形式语言与自动机理论、码论等交叉理论的发展的需要) 等交叉理 论的发展的需要，使半群理论发展迅速序结构作为代数结构的一部分，很自然的被引 入到半群中因此序半群的研究成为半群理论研究的一个方面，c l i f f o r d 和p r e s t o n ( 1 9 6 1 1 9 6 7 ) 所撰的两卷半群的代数理论( t h ea l g e b r a i ct h e o r yo f s e m i g r o u p s ) 和 lf u c h s1 9 6 1 年用俄文编写的偏续集代数系均被国际数学界公认为数学经典著 作s p r i n g e r 出版的半群论坛( s e m i g r o u pf o r u m ) 自2 0 世纪7 0 年代创刊至今已成 为国际著名的学术刊物之一我国自上世纪7 0 年代末，在郭隶琦教授等人的带领下对组 合半群和序半群开始人手研究，培养了一大批硕士、博士出版了三本专著：刘仲奎教授 的半群的s 系理论，喻秉钧教授的半群的双序集理论和谢祥云教授的序半群 引论 2 不确定半群理论研究的发展 1 2 1 半群的模糊理论的研究的发展 模糊理论是- - f 崭新的数学分支，1 9 6 5 年美国控制论专家l o t f iz a d e h 在他的论文 ( f u z z ys e t s ) ) 中首次提出“f u z z ys e t 的概念f u z z ys e t 产生之后，虽然产生了一些争 论，但由于它在应用领域取得了巨大的成功，引起了一大批科学家的注意主要来自两 个方面：一方面来自工程技术人员，他们致力于挖掘在f u z z y 集理论在实践中的应用； 聊城大学硕士学位论文 另一方面来自理论专家，他们认识到可以利用f u z z y 集理论在数学领域内开辟新的研究 方向实际上f u z z y 集理论理论正是沿着这两条路发展的，就理论研究而言，f u z z y 集 理论是建立起经典理论结构的f u z z y 副本，希望得到一个完美、和谐的模糊数学世界， 这样将f u z z y 集理论与代数相结合是一件很自然的事情1 9 7 1 年，r o s e n f e l d 1 1 引入 f u z z y 子群标志着f u z z y 代数的诞生和研究工作的展开，我国和印度在1 9 8 0 年至1 1 9 9 0 年在模糊数学领域的研究是在国际上领先的，主要是得益于模糊数学在应用领域的成 功1 9 8 2 年，l i u 5 2 进一步引入群的f u z z y 不变子群，环的f u z z y 理想等概念促使 f u z z y 代数研究迸一步深入到个代数分支的方方面面产生了f u z z y 子群，f u z z y 子环， f u z z y 子域，f u z z y 子格，f u z z y 模等概念1 9 8 0 年，k u r o k i 正式开始f u z z y 子半群 的研究同其它代数机构类似，f u z z y 半群研究的大部分工作都是在建立一个经典半群 上的f u z z y 子结构我们不仅要提出这么一个令人困惑的问题：什么是f u z z y 群，什么 是f u z z y 半群? 1 9 9 1 年及其后，d i b 2 通过引入f u z z y 空间，f u z z y 二元运算之后，引 入了一个新的意义下的f u z z y 半群，同r o s e n f e l d 经典意义不同的是，d 舔给出了另一 种意义下的f u z z y 子代数，称之为( a , b ，乞，岛，v q ( a ，6 ) ) 一f u z z y 子代数 1 9 9 9 年， d e m i r c i 在经典集合上引入了模糊相等和模糊函数的概念 3 1 ：2 0 0 1 年，他进一步给出了模 糊运算和s m o o t l 群的定义 4 1 ，并深入研究了它的子群和同态【5 l ，值得注意的是，这种群的 定义摆脱了经典半群的束缚，但与原来的群又有很密切的联系，因而为我们研究包括半 群在内的其它代数问题，提供了新的思路 1 2 2 粗糙集理论研究的发展 作为处理不确定信息的另一个有力工具，粗糙集( r o u g hs e t ) 是由波兰数学家 z p a w l a k 于1 9 8 2 年提出的【6 】这种理论实际上是一种数据分析理论研究成果大部分是 用波兰语发表的，因此并未引起国际计算机界和数学界的重视，研究范围仅限于东欧一 些国家直到2 0 世纪8 0 年代末，由于该理论在数据决策与分析、模式识别、机器学习与 知识发现等方面的成功应用，才逐渐引起世界各国学者的广泛关注1 9 9 2 年在波兰召开 了关于粗糙集理论的第一届国际学术会议，1 9 9 3 年在加拿大b a n 行召开了关于粗糙集理论 的第二届国际学术会议，2 0 0 1 年5 月在重庆召开了中国第一届r o u g h 集与软件学研讨会和 9 t hi n t e r n a t i o n a lc o n f e r e n c e0 1 1r o u g hs e t s ，f u z z ys e t s ，d a t am i n n i n ga n dg r a n u l a r c o m p u t i o n 1 9 9 5 年，a c mc o m m u n i c a t i o n 将其列为新浮现的计算机研究课题，1 9 9 8 年 4 聊城大学硕士学位论文 国际信息科学杂志( i n f o r m a t i o ns c i e n c e s ) 还为粗糙集理论的研究出版了一期专辑国内 几乎所有的计算机刊物都刊登粗糙集方面的学术论文，有关租糙集与其它不确定信息处 理理论的关系出版了许多综述和专著 7 - 1 2 1 粗糙集理论是建立在分类基础之上的，它将分类理解为在特定空问u 上的等价关系 置，而等价关系构成了对该空间的划分粗糙集将知识理解为对数据的划分，每一划分 的集合称为概念其主要理论思想是利用已知的知识库将不确定或不精确的知识用已知 的知识库中的知识来( 近似) 刻画该理论与其它处理不精确问题理论的最主要区别是： 它不需要提供解决问题所需处理数据之外的的任何先验信息，所以对问题不确定性的描 述和处理是比较客观的由于这个理论不包括不确定或不精确的信息的机制，所以这个 理论与概率论，模糊数学和证据推理等其它处理不确定或不精确的信息的理论有很强的 互补性 1 2 3 粗糙集理论与模糊数学的关系 粗糙集理论和模糊理论都是处理不确定信息的理论，但二者是不同的粗糙集处理的 知识是不完备的，而处理对象本身是精确的，因而当用粗糙集处理不确定或不精确的原 始数据时，该方法无法确定元素所在的类，显得无能为力而证据理论和模糊理论等具 有处理不确定或不精确数据的机制，因而将他们与粗糙集结合起来是一件很自然的事情， 研究问题的效果应当比单纯地使用一种方法会更好 1 3 粗糙集研究的现状 到目前为止，对粗糙集的研究主要集中在：租糙集模型的推广：问题的不确定性研究； 与其它处理不确定性问题理论的关系；纯数学理论方面的研究；粗糙集的算法研究和人 工智能其它方向关系的研究等这些研究有的是应用推动产生的，有的是纯理论的 1 3 1 粗糙集模型的推广 p a w l a k 粗糙集模型的推广一直是粗糙集研究的主流方向，目前主要有两种研究方法 ( 1 ) 构造性方法( 2 ) 公理化方法 聊城大学硕士学位论文 ( 1 ) 构造性方法是对原始的p a w l a k 粗糙集模型的一种推广其主要思路是从给定的 近似空间出发去研究粗糙集和近似算子它是以论域上的二元关系或布尔代数作为基本 要素，然后导出代数系统i ，l 上n ( z 矿，印r ) ，这种方法所研究的问题来源于实际，建 立的模型有很强的应用价值主要缺点是不易了解近似算子的代数机构 在p a w l a k 粗糙集模型中有三个最基本的要素：一个是论域u ，一个是u 上的二元关系 胄( 或划分) ( 它们构成了近似空间( u ，r ) ) ，还有一个是被近似描述的经典集合工因 此，推广的形式也有三个方向，即从论域方向，从关系方向和从集合方向 从论域方向推广目前只有一种，就是双论域情形【1 3 ，这时二元关系就变成两个论 域的卡氏积的一个子集 关系的推广：一种是将论域上的二元等价关系推广到任意二元关系下的粗糙集模型 【1 5 】；另一种是将对象x 所在的等价类变成x 的一个邻域，从而推广导出基于邻域算子的 粗糙集模型【1 6 1 ；也有将关系推广到更为一般的布尔代数的，以此出发去定义粗糙集和近 似算子的【1 7 】；更一般的，有的将普通关系推广成模糊关系或模糊划分而获得模糊粗糙集 模型 1 8 - 2 1 】 。 将集合和近似空间进行推广，文献圈在这一方面做了许多工作，并在许多应用领域 取得了丰硕成果 ( 2 ) 代数方法也称公理化方法，有时也称为算子方法，这种方法不以二元关系为基 本要素，它的基本要素是对某些公理的一元近似算子厶日：2 ”专2 “，即粗代数系统 ( ，u n ，厶) 中近似算子是事先给定的，该方法研究的明显优点是能够深刻了解近 似算子的代数结构，缺点是应用性不强 1 3 2 不确定性问题的理论研究 粗糙集不确定性主要是由两个原因产生的：一个是直接来自于论域上二元关系及其 产生的知识模块，即近似空间本身，划分越粗，每一个知识块越大，知识块中的知识就 越粗糙，相近似空间的概念和知识就越不确定，这时处理知识不确定性的方法用s h a n n o n 信息熵来刻画 2 3 - 2 5 租糙集理论中知识不确定性的另一个原因来自于租糙近似的边界当边界为空集时 知识完全确定，边界越大知识就越粗糙或越模糊至今，粗糙集理论刻画概念的不确定 性一般用正则条件熵，粗糙测度和粗糙熵1 2 6 寻找一个较为合适的度量知识不确定性的 6 聊城大学硕士学位论文 方法也成为粗糙集研究的一个方向跚 1 3 3 与其它处理不确定性信息理论的关系 在粗糙集理论与其它不确定性方法的理论的研究中，主要集中在它与概率论、模糊 数学、信息论和证据理论的相互渗透和补充 1 3 4 算法研究 有效算法研究是粗糙集理论在人工智能方面的一个主要方向目前，r o u g h 集理论 中有效算法研究主要集中在导出规则的增量式算法，约减的启发式算法，r o u g h 集并行 算法刚，以及与神经网络与遗传算法等 1 3 5 与其它数学理论的联系 随着粗糙集理论研究的不断深入，与其它数学分支的联系也更紧密从算子观点来 看，与之关系较为紧密的有拓扑空间、数理逻辑、模态逻辑、格与布尔代数、算子代数 等；从构造性和集合观点来看，它与概率论、模糊数学，证据理论，图论，信息论等联 系较为密切粗糙集理论不但需要以这些理论为基础，同时也带动了这些理论的发展 目前纯数学与粗糙理论相结合的文章已经很多 3 0 - 4 2 ，不断涌现出新的思想概念，如 粗糙逻辑，粗糙理想，粗糙群，粗糙半群等等我们认为，随着这种结合的进行，还将 出现更多新的、富有生命的数学分支 1 4 论文的主要内容和结构 本文是在目前半群的粗糙理论基础之上，继续研究了半群的粗糙理想，并将半群的 同态问题自然推广到粗糙予半群上其次，以粗糙子半群和模糊子半群为理论基础，研 究了半群的粗糙子结构、粗糙模糊子半群和模糊粗糙子半群最后，作者提出了半环的 粗糙子结构问题，并以半群的粗糙理论为基础研究了半环的粗糙子结构和同态问题 论文共四章，第一章为绪论，第二至四章为论文主体内容，各章相对独立，但第二 7 聊城大学硕士学位论文 章又处于基础地位，后两章的许多命题的证明直接来自于第二章有关结论 聊城大学硕士学位论文 第二章粗糙子半群的性质 自从z p a w l a k 于1 9 8 2 年提出了粗糙集理论 6 1 ，该理论已被广泛应用于专家系统， 决策支持系统，机器学习，归纳推理，模式识别，知识发现和数据挖掘等领域，表现出 广泛的实用价值和应用性将粗糙集与代数结合是一件十分自然的事情，粗糙集中的大 部分概念与运算是通过等价关系的集合运算来定义的，称之为粗糙集理论的代数表示如 粗糙子群【嚣】，半群中的粗理想等d 6 ，4 3 1 本章我们首先介绍半群中的粗糙集 2 1 半群中的粗糙集的一般性质 设s 是一个半群，p 是s 上的一个同余关系，即p 是s 上一个等价关系且 v ( 啊6 ) ，( 岛d ) p = ( a c , b d ) p 记【口】，为a 所在的p 同余类 半群s 上的一个同余关系p 是完备的，如果对v a , b s , t a l ，【6 l = a b l p 由粗糙集理论可知，同余关系p 决定了一个半群s 上的一个近似空间( s ，p ) ，其中s 为 论域 设为s 上任一子集，由粗糙集理论，可定义厂( a ) = n , q le m p n a t g k p 一( 4 ) = 口s lc a p a ) 分别称为 的p 上近似、下近似我们称p ( 且) = ( p 一( a ) ，p 一( a ) ) 为p 粗糙集由粗糙 集的上、下近似的定义，我们易得如下定理： 定理2 1 1 眇设p 是半群半群s 上的一个同余关系，a , b s ，则 ( 1 ) p - ( a ) a p 一( a ) ； ( 2 ) p 一( a u b ) = p 一( a ) u p 一( 曰) ； ( 3 ) 以( 且n b ) ；p - ( a ) n p - ( 丑) ； ( 4 ) a b 兮p - ( a ) p - ( 口) ； 9 聊城大学硕士学位论文 ( 5 ) a b = 争p 一( a ) p 一( 口) ； ( 6 ) p - ( a u 口) 2 皿( ) u p - ( 口) ； ( 7 ) p 。( a n b ) p 一( a ) np 一( 曰) 证明：( 1 ) v 8 儿( a ) ，则有f 8 抽a ，而o f 口k ，因此口a 从而p - ( a ) 砖v