（基础数学专业论文）一类hamilton系统在多项式扰动下极限环的个数.pdf

一类h a m i l t o n 系统在多项式扰动下极限环的个数 b = 可， u n d e rp o l y n o m i a lp e r t u r b a t i o n t h ea l g e b r as t r u c t u r eo f 埘1 ( 九) i s f l ( 九) = 9 ：( 九) 而( ) + 虻( 九) 如( ) + 夕( 九) ， w h e r ed e 姊( ) s 【孚】，d e 9 蝣( ) 【字】，d e 鲫( 危) 阻w h e nt h e 尬( ) 删d e r i v a t e d 哮 + 1t i m e s ，9 ( ) w 硒d e l e t e d 型塑：竺! ! ：堕生12 鱼! 垒! 里竺：堡! ! ! 垒! 垒! 砒+ 1 4 九( 4 + 1 ) 卜 d e 夕g ( o ，【号1 + 1 ) n ，d e 夕g ( 2 ，吲+ 1 ) n 一1 t h e 肌1 1 1 b e r0 f1 i m i t c y c l e so ft h ep e r t u r b e d s y s t e m 缸en om o r et h a n2 n + 【鸶 + 2i nt h en e 培h b o r h o o do fr + a n dr 一，a p p l y i n g p e r o v sm e t h o d k e y w o r d sh a m i l t o n i a ns y s t e m ；m e l ，n i k o vf u n c t i o n ；d o u b l e - h o m o c l i n i co r b i t ；l i m i t c y c l e ；t h eu p p e rb o u n d 第一章前言 1 1 研究现状 1 9 0 0 年，d h i l b e r t 【1 l 在第二届国际数学家大会上提出了2 3 个数学问题，其中第1 6 个问题的后半部分是：对于平面n 次多项式系统 忙 f ( z ，y ) g ( z ，可) 其中f ，g 为关于z ，可的几次多项式，问：它的极限环个数的最小上界日( n ) 是多少? 可 能出现的极限环相对位置如何? 经过i l y a l s h e n k o 【2 1 和e c a l l e 【3 】修补证明后的d u l a c 【4 】有 限性定理指出：一个给定的扎次多项式系统的极限环个数是有限的但是，对全体佗次 多项式系统而言，其极限环个数的一致上界是否有限、如何估计，即使对n = 2 这种最简 单的非线性情形，仍是一个没有解决的问题目前，一些数学工作者已探索出日) 至少 是随n 以n 2 的速度增长的【5 一h i l b e r t 第1 6 问题仍是平面多项式微分系统定性理论中 最困难的问题之一s s m a l e 吲已将h n b e r t 第1 6 问题列入2 1 世纪有待解决的数学问题 之中 由于第1 6 问题的难度之大，数学工作者开始从较简单的情形入手研究，考虑平面 h 锄i l t o n 系统的扰动向量场 譬篡? ( 1 1 1 ) e 其中o s 1 为小参数，日，p ，q 为多项式，d e 9 日m ，m a x d e 9 p d e 9 q ) = n 设向 量场( 1 1 1 ) 。：o 有闭轨族 u = r ，iiv ( z ( ) ，剪 ( t ) ) r j i l ，日( z ，l ) ，3 肌( t ) ) = 九，1 1 九2 ) 1 其中日= 1 和日= 危2 分别对应系统( 1 1 1 ) 。：o 的中心奇点和奇异闭轨于是，系统 ( 1 1 1 ) 。的极限环只可能分别来自于t ( 1 ) 奇点h = 九1 附近的h o p f 分支 ( 2 ) 奇异闭轨日= 九2 附近的奇异闭轨分支( 奇异闭轨的环性) ( 3 ) 闭轨n ( 危1 2 ) 附近的p o i n c a r g 分支 对于h o p f 分支的讨论，应用h o p f 分支定理【8 】，可将问题归结为奇点焦点量的计 算，而奇点焦点量的计算已经有了很成熟的计算方法【9 】 关于p o i n c a r 百分支的讨论，定义系统( 1 1 1 ) 。的m e l 7 n i k o v 函数 矗( 九) = 乒q ( z ，秒) d z 一尸( z ，! ，) d 3 ， 1 0 时，系统在闭轨线族r 附近分支出的极限环( 即大环) 个数的上界为他 ( 2 ) 当一 扼厕i z 2 丽如 一厕 令z = 丽s i n 丁，出= 厕c o s 下打， 、a ( m 计算积分式 ， z 2 a ( h ) 一z 2 妇= 詈a 2 ( ) ， 一丽 则 即 因为p ( ) = 锱， 所以 即 7 r ；( 1 + d ( 1 ) ) 如( ) 、，乏7 r ；( 1 + d ( 1 ) ) 如( 九) 一九； 务( 1 删) p 务( 1 俐) p ( ) 一九 由( 3 3 1 ) 和由( 3 3 2 ) 可知厶( ) ，j 1 2 ( 九) 可以利用广义幂级数展式解析延拓到复平 面，那么除 = o 和 = 。是奇点外， = 一 也是奇点，因为 = 一：是微分方程 ( 3 3 1 ) 和( 3 3 2 ) 的正则奇点，所以微分方程( 3 3 1 ) 和( 3 3 2 ) 在危= 一 邻域内有收敛 的广义幂级数解，下面我们讨论在危= 一 附近的广义幂级数解 1 7 引理7 如( ) 和厶( ) 的p i c a r d - f u c l 塔方程组( 3 2 1 ) 在 = 一j 附近的广义幂级数解为 如( ) = d 。一丢( 九+ 三) l n ( 九+ 主) + ( 九+ 丢) ( d - 一言d z ) + 厶( ) = 丢也+ 篙d 。( + 丢) l n ( + 去) + ( 危+ 三) ( d 3 一壶d 。) + 证明：在 = 一 附近 记t = + j ， = t 一 代入( 3 3 1 ) 得 j 1 5 2 k ) + ( 击一扣= o 则( 3 3 5 ) 的特解为x 1 ( t ) = ( 1 + 毗) 代入( 3 3 5 ) 得 i = 1 础_ 1 ) 扩z + 壹叫舢删( 川- 1 ) 胪z + ( 击一差) ( + 比较等式两边的对应项系数得 一2 项系数：p ( p 1 ) = 0 号p = o 或p = 1 ( 3 3 5 ) t p 一1 项系数：伽1 p ( p + 1 ) 一i = o ，容易得出p = o 不成立，所以当p = 1 时，1 = i 将( 3 3 5 ) 通分得1 6 2 矗2 ( t ) 一4 矗2 ( ) + 3 如( t ) ：o 代入特解x 1 ( t ) ：t ( 1 + 曼叫i ) = l 得 1 6 t 2 ( i ( i + 1 ) 毗- 1 ) 一4 t ( i ( i + 1 ) 叫t - 1 ) + 3 ( 1 + i = 1t = l t 计1 次项系数为：伽。+ = 嚣揣叫。 1 8 o = “ p 北山 澍 0 = 晓 龇 将( 3 3 6 ) 通分得1 6 t 2 砖2 ( t ) 一4 t 曩2 ( ) 一1 6 t e ( t ) + 1 5 如( t ) = o 代入特解托( ) = t ( 1 + 墨仇) 后护“次项系数为：+ - 2 而由口t 2 一 ，可推出也2 一击a 带， 础h 一击“ 础，：拖c 易蒜班 = 础) 生学砒 = 丢+ 慕t n 亡一壶t + 如( t ) = d 3 托( ) + 出蜀( t ) = 三计嚣圳n 川( d 3 一扣+ 用九+ ；替换t 得 如( 妨= 去d 。+ 鼍d 。( h + 三) l n ( h + 三) + ( + 去) ( d 。+ 壶d a ) + 我们从原点到无穷远点沿负实轴作割线，由于割线上存在奇点一 。于是我们沿负实 轴上侧添作以一j 点为中心，以r 为半径的半圆钟，沿负实轴下侧添作以一 点为中 心，以r 为半径的半圆耳，之后形成单值解析区域g 1 ，记g l = c 九ci o o o ) 算= 危cm + 丢l = 叫m 九 o ) 三 = c | 丢+ r r e 一j m = o + ) 2 0 见图( 2 ) l f = 九c | - 丢+ r r e 一j m 危= o 一) 工手= c o 。 r e 一三一r ，j m = o + ) 写= 【 ci r e 一三一叫m h = o 一) 弋 ：、c 一 、 ， 3 4 极限环个数的估计 由( 3 1 1 ) 舰( 九) = 而( ) 南( ) + 厶( h ) 如( 危) ，d e 夕如( 九) 【孚】，d e 夕龙( h ) 【字 其中，元( 九) = n o + n 1 + n 2 九2 + ，厶( ) = b 0 + 6 1 危+ 6 2 2 + 由引理6 可知，在 = 0 附近( 九) 、如( ) 的广义幂级数展式为 所以， 如( ) = 鲁一2 九l n + ( e t 一1 ) + 差 2l n 九+ ( 一善e - 一差) 2 + 屯( ) = 詈+ 8 + e a 九2 一三e a 3 + 尬= 善n 。+ 詈6 0 2 mm + ( 鲁。低+ 釉m 2m + ( 昙。z + 8 6 。+ 釉n 一 = a o + b 1 1 n + a 1 + b 2 危2l n + a 2 2 + 2 1 当如o 时，l i m p ( ) = c ( c 为常数) ，| - 一 当d 2 = o ，d 1 o ，d 4 = o 时，。1 i m ，尸( ) = 鲁( 极限值是有限数) n 一亍 因为振幅很小，所以f ( 九) 的辐角改变量为6 ，即酣n 叼f ( ) 6 当d 2 = o ，d l o ，d 4 o 时，l i m p ( h ) = o o 卜一寺 因为 p ( ) = 由( 3 4 1 ) 可知， 所以 d 4 + 甓d 4 ( 九+ ；) l n ( 危+ j ) + ( 危+ j ) ( d 3 一击d 4 ) + d 2 一i ( + ) l n ( + j ) + ( + ；) ( d l 一；d 2 ) + f ( 九) = 片( ) + 龙( 九) p ( ) ：堑型垒i 2 曼塑! 燮垒i 2 + 甜。r 夕f ( 九) = 甜。叼临( ) ( + 丢) + 龙( ) p ( ) ( 危+ 丢) 】t 甜n r 夕矿b ， 令九+ ：= r e 徊，则南2 ；e 一8 ，所以。叼南2 一p ，其中p ( 一丌，o ) ，所以辐角改变量 为丌 又因为1 i m ，p ( 九) ( 九+ ) = c + ( c 为常数) ， n _ 一j 所以 同理可得 c 寸o r 9 f ( 九) j + 7 r + 6 = 丌 a(危)(z2+b() 1 5 引理9 ，m 凳o 甘畿畿 如 一= i q = r e j l 2 + t j 仇如 r e + i ，m 而 ( r e 厶r e 如+ ，m 如j m 如) + i ( r e j l d 仇如一r e 如j 仇而) ( r e 如) 2 + ( ，m 如) 2 所以，j m 凳o 车= 争冗e 如j m 如r e 厶j m j l d ，即是凳等 命题2 当o 一九6 时，在l i - 和l f 上，畿甓 证明：由引理6 可知，在九= 0 附近 j 1 0 ( ) = 善一2 九l n 危+ ( e - 一1 ) 九+ 三 2 l n 九+ ( 一言e - 一誓) 2 + 删= 詈栅怕肛扣+ 令九= 7 e 诏，在计上时，l i l 九= l n r + 们；在l f 上时，l n = l i l r 一疵 计： 眦= 罴曲+ 一+ j m j l 2 = 0 r e 厶= 鲁+ 2 r n r + ( 1 一c - ) r + 差r 2 l nr + ( 一善c - 一兰r 2 ) + j m j i d = 2 丌r + 和2 + 因为畿= o 而畿= 再虿面币誊考等等告警妄j 移：而o ，所以在l j - 时， 畿畿 三f ： 觑如= 詈曲+ 一+ ，m 如= 0 r e j l 0 = 鲁+ 2 r n r + ( 一c ，) r + 差r 2 n r + ( 一蔷c - 一差r 2 ) + ，m 如= 一2 丌r 一差舻+ 因为畿= o 而畿= 再而面素蓍蔷等等薯鲁警赫o ，所以在l f 时， 畿畿 命题3 当九_ 一o o 时，在l 手和写上，r e p ( ) ，m p ( ) 证明：在l 事上：九= r e ”，危= 7 i ( 1 + d ( 1 ) ) 所以， r e p ( ) = d ( 7 ) j m p ( ) = r ( 1 + d ( 1 ) ) r e p ( 九) j r n p ( 九) 在l i 上：危= r e 一霄， = r ；( 一t ) ( 1 + d ( 1 ) ) 所以， r e p ( 九) = d ( 一r ；) j m p ( 九) = 一r ( 1 + d ( 1 ) ) r e p ( ) j m 尸( 九) 由命题2 和命题3 可知，j m p ( 危) 0 ，所以j m f ( ) = 0 兮尼( 九) = 0 令矗( ) 在l f 上的孤立零点个数是盯1 ，在三i 上的孤立零点个数是眈，即盯1 + 观 【字卜后 町n 叼f ( 九) 丌( 盯l + 1 ) 巧。叼f ( ) 7 r ( c r 2 + 1 ) 掣巧。r 9 f ( ) 丌( 盯。+ c r 2 + 2 ) 丌( 【字卜七+ 2 ) = 丌( 【孚】- 后+ 1 ) 同理可得，l ：- u l j n 叼f ( h ) 7 r ( 【孚】一七+ 1 ) 当几为偶数时，n = 2 z + 2 后 d e 9 石( ) = d e 9 厶( ) 一七【孚】- 后= f + 七一1 一七= f l 咖龙( 九) = 咖枷) 一七【字卜七= j + 七一2 一七= f 一2 a d 。o r 9 f ( 九) 2 7 r u 一1 ) + 6 + 2 7 r + 4 6 + 6 + 2 丌2 4 7 r l + 6 6 当佗为奇数时，佗= 2 2 + 2 后+ 1 咖矗( 九) = 咖，0 ( ) 一七【孚卜七= 2 咖片( 九) = d e 9 肿) 一后【字卜七= 2 1 8 d 1 0 r 夕f ( ) 2 7 r f + 6 + 2 7 r + 4 6 + 6 + 2 丌f 一2 7 r 4 7 r f + 6 6 f ( 九) 在d 1 内孤立零点的个数= 【去a d 。o 叼f ( ) 】2 f ，则m ( 九) 在d 1 内孤立零 点的个数2 z 因为，p o i n c a r 色分支出极限环的个数2 f 同宿闭轨分支出极限环的个 数2 后，所以系统( 1 3 1 ) 。在闭轨线族r ，l 附近分支出的极限环个数2 2 + 2 七= 仇 ( j ，) 0 1 ， 五( 九) = b 七+ 1 九+ 1 l i l 九+ o ( 九+ 1 l n ) ，由弓i 理8 可知，a 磊( ) = 九如( 九) f ( ) 在，甜，算，l fu 坛，l j - ul 孝上f ( ) 的辐角改变量与( f ) 中所讨论的完全一 样，下面我们讨论在c # 上f ( 九 x 第四章在闭轨线族r 矿和r 一附近分支出极限环( 左、右小 环) 个数的上界 因为闭轨线族r h + 和r ，l 一是关于y 轴对称的，本文主要讨论闭轨线族n + 附近分支 出的极限环个数的上界，同理就可得出如一附近分支出的极限环个数的上界 命题4 当m 2 时，坛叶l = 西2 。+ 1 ( 九) e + 皿2 。+ 1 ( 九) 与，其中垂2 。+ 1 ( 九) 是关于危 的多项式，d e 9 圣2 。+ 1 ( ) 【翌尹】皿2 m + 1 ( 九) 是关于 的多项式，d e 9 皿2 m + l ( ) 【堡手】。 证明：同命题1 的证明方法 4 1 尬( ) 的代数构造 根据闭轨线r _ i i + 关于z 轴对称，可以化简得 尬( 九) =l l 讯t r + + q ，巧沪如咖 + 2 j n 一1 q ，幻 勿+ 1 z i ( 2 危+ z 2 一三z 4 ) d z i + s 【墨手1 口+ p + 一r 习 c 2 ，巧 巧+ 1 + r z 件量，。点可器r 0i q 【孚】叶卢+ 1 可1 一 令m = i + p + 2 7 ，可得 舰( ) = + j s 【! 专】q + 卢+ 1 = j c 蕊，巧 巧+ l ( 2 ) 。( 一壶) 7 。2 i + 2 卢+ 4 7 可d z ( 2 允) 。( 一丢) 7 即+ 州可如 蒜m h 一批+ ；+ 芝，。荟：，端蒜m h 一批+ - t + j 【曼手】a + p + 7 = j 。，。一 可 d y z r zd y z nq 歹 r | i 九慨 一州 一叫 引一砂 一槲 一硝 一q 蛳 r = r = 由命题l 和命题4 ，可得 m 1 ( ) = 卯( ) 塔+ 9 l ( ) 耳+ 夕2 ( 危) e + 夕3 ( 九) 嚣 其中夕0 ( ) ，9 1 ( 危) ，卯( ) 和卯( 忍) 均是关于九的多项式 ( 4 1 1 ) 因为m = i + p + 2 一y i + 2 ( p + 7 ) i + 2 0 一q ) 2 ( i + 歹一口) ，根据命题1 和命 题4 可知：d e 跏( ) 【孚】，d e 9 9 - ( 危) 【孚】，d e 即z ( 九) 【字】，d e 即s ( 九) 【孚】 引理1 0 当一； o 时，贯( ) = 孕( 1 + 4 ) ，e ( ) = 牟( 1 + 4 危) 证明：由( 2 1 ) 可知，暑，2 = 2 + z 2 一 z 4 = 瓠z 2 一( 1 + 而) 】【( 1 一而) 一z 2 】 令a ( ) = 1 + 、t 蕊，b ( 九) = 1 一、t 干丽，则 令2 = z 2 ，则 e ( ) = 2 一a ( j 1 ) 姒砩= 等| 令t = z 一掣，则 b ( ) 珊) ：雩 令t = 华s i n p ，则 ( 掣 ) 2 一( z a ( 九) + b ( ) 2- 驰) ：雩( 盟掣) 。c o s z 伽 口 2 ：孕( ，糊) 1 2 如 ， z 厕何 一学 且一 得 将( 4 2 6 ) 通分得1 6 t 2 靠2 ( t ) 一4 站2 ( t ) + 3 昂( t ) ：o 代入特解x ：( ) ：( 1 + 量毗) t = l t 叶1 次项系数为：加。+ - = 嚣揣叫。 由t t ，= i ，可推出叫z = 蔷 o o + 3 t ( 1 + 姚) = o 扛= 1 x ：( t ) = t + 蔷t 2 + 誓t 3 + 墨= 矧t ) 志出 = ( t + 蔷t 2 + 盖t 3 + ) 三二呈! 乒出 = 一1 一兰t - n t 一言t 一墨t 2 n t + 薹t 2 + 石( ) ；哦j g ( t ) + 呓j 写( t ) = 一呓一兰呓t l i l t + t ( 啦一蔷呓) + 用 + 替换t 得 石( ) = 一d ；一耋呓( 九+ 丢) l n ( + 三) + ( 九+ 丢) ( d ：一言d ；) + 因为_ i i 鼍昂( 九) = 2 偷( 九+ 舯+ 。( 1 ) ) ，所以d ：= 2 偷，磁= o ，即 枷) - 2 佩 + 扣学砌+ 冉警砌+ 冉 将九= t 一；代入( 4 2 3 ) 得 黜t ) 击心+ ( 击一跏= o ( 4 2 7 ) 。4 。 则( 4 2 7 ) 的特解为磁( t ) = ( 1 + 协) 代入( 4 2 7 ) 得 i = 1 一土妒一- t r 。 一 晓 ml + 澍 4一 一 砖 wl + 斟 矿61 一+u l一+ n ：、 + u 饥 汹 + 2一 1一u 比较等式两边的对应项系数得 + ( 击一装胪+ ( 五西一石) ( + 一2 项系数：u 一1 ) = 0 兮u = o 或u = 1 一1 项系数： 1 u + 1 ) + 钆一萼= o ，容易得出u = o 不成立，所以当u = 1 时， 1 = 一 将( 4 2 7 ) 通分得1 6 t 2 e 2 ( t ) 一4 t e 2 ( t ) 一1 6 t ，+ ：( t ) + 1 5 e ( t ) = o 代入特解磁( ) = t ( 1 + ) 后t 1 次项系数为：u 。+ - = 巧由口= 一 ，可推出u ：= 一击 嚣= t 一丢艮击“ 础) = 础) 赢砒 = 础) 生学出 ：三+ 警m t 一未汁 e ( t ) = 呓砖( ) + 磁x ：( t ) = 三+ 羔t i n t + t ( 呓一壶磁) + 用 + 替换t 得 e = 丢计翱 + 扣九+ 三) m + 扣一如+ 因为 马脚) = 2 压( + 抛+ o ( 1 ) ) ，所以呓= 2 以丌，啦= o ，即 删：2 佩 + 扣学砌+ 冉警m + 扣 从( 4 2 2 ) 和( 4 2 3 ) 我们可看出正则奇点可能是一 、o 、o 。，由引理1 2 可知 = 一 是解析点，则 = 0 和 = o o 是正则奇点所以在 = 。o 附近的广义幂级数解为 站( 危) 一尼 或九：，e ( 九) 一 ；或 ；p ( ) 一 o 或 或危 0 = +u 移 澍 一+u 力 +u 仇 m + 站( ) ，e ( h ) 在( 一 ，o