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摘要 基于分数微积分理论的车辆动力学主动控制研究 研究生姓名：陈宁导师姓名：陈南教授 学校名称：东南大学 摘要 分数微积分理论主要是对任意实数阶或复数阶微积分的理论及其应用研究，是经典整数阶微积 分理论的自然推广。 分数微积分理论是一个既古老又新兴的课题，说它古老，它可追溯到十七世纪末g w l e i b n i z 和十八世纪初e u l e r 对分数微积分的一些猜测，并一直不断发展到今天。而说它是新兴的，是因为 直至三十多年前它才成为学术会议和理论研究的专题。 从上个世纪后期至今，分数微积分在科学和工程的众多领域的应用研究取得的一些成果，因而 引起了不同学科领域学者们的广泛关注，已成为目前人们关注的研究热点和课题。分数阶控制理论 和方法是分数微积分理论最主要的应用研究领域之一，一些经典控制理论和方法通过引入分数微积 分而得到进一步的发展，c r o n e 控制和分数阶p i 1 ) i l 控制是其中最具代表性。在过去的三十多年中， 经典控制理论和现代控制理论被广泛地应用于车辆动力学控制中，随着微积分理论的发展，分数阶控 制理论在在车辆动力学控制领域也将引起越来越多的关注。 基于以上的阐述，论文的主要研究工作和创新包括以下四个部分：第一部分是分数微积分在车辆 主动和半主动悬架控制上的应用研究：第二部分将分数微积分理论引入四轮转向车辆的控制策略中； 第三部分研究了含分数导数项的动力学方程的数值计算方法；最后一部分讨论了分数阶趋近律在滑 模控制理论中的应用。具体可以分为： ( 1 ) 本文基于精细时程积分方法，并结合原函数积分原理，针对含有分数阶导数项的高维动力学方 程，提出了一种稳定性好，精度理想的数值计算方法，将方法应用于含分数阶控制项的非线性 高维动力方程的计算。两个应用算例验证了该方法的有效性，一个是用k e l v i n v o i g t 型描述 的粘弹性材料的动力学问题，另一个是分数阶天棚阻尼控制下的非线性悬架控制问题。 ( 2 ) 。天棚”阻尼控制理论是目前在车辆悬架主动和半主动控制中一种极其重要的方法，本文基于 分数微积分理论，提出分数阶“天棚”阻尼概念，进一步提高了“天棚”阻尼控制理论的控制 效果。并将这一新的控制方法应用于车辆非线性悬架的变结构滑模控制、自适应控制和半主动 控制策略，通过数值仿真，表明这方法在不影响车轮与地面的附着性和悬架间变形的情况下， 可以实现对悬架的位移和加速度的明显改善。 ( 3 ) 四轮转向系统是提高车辆在低速的机动性和高速下稳定性的一种重要的车辆操纵性控制技术。 本文主要研究后轮控制的四轮转向系统，其后轮转向角由根据前轮转向角的前馈控制和横摆角 速度反馈控制两部分组成，在前馈控制部分提出了一种分数阶控制律，在原来只考虑前轮转向 角的基础上增加考虑转向角速度的影响，改善车辆的时域响应特性，减小侧偏角超调量峰值， 并一定程度上改善四轮转向车辆的不足转向问题。基于横摆角速度跟踪技术，研究了四轮转向 东南大学博士学位论文 车辆的分数阶p i b “鲁棒控制，该控制策略减小了车辆参数变化对车辆转向响应的影响，提高其 鲁棒性能。 ( 4 ) 在分数阶微分方程初值问题的研究基础上，提出了一种滑模运动控制的新的趋近律一分数阶趋 近律。当系统状态远离滑模面时，该趋近律可以控制状态快速向滑模面趋近，而当状态在滑模 面邻域内，即靠近滑模面时，趋近速度反而变得缓慢，可以改善变结构控制中存在的抖动问题。 通过对d u f f i n g 系统的混沌同步控制的实例应用，验证这一方法的有效性。同样基于这一思想， 提出了分数阶滑模积分补偿器的概念，并应用于具有参数不确定的时滞系统的控制实例中，数 值结果证明此方法比整数阶积分补偿器的控制效果更加理想。 关健词：分数微积分、天棚阻尼控制，车辆悬架，四轮转向系统，分数阶p i d 控制、分数阶趋近律， 滑模控制，数值算法，分数阶动力学方程 n a b s t r a c t a c t i v ec o n t r o lo fv e h i c l ed y n a m i c sb a s e do n f r a c t i o n a lc a l c u l u st h e o r y a p p l i c a n t ：c h e nn i n gs u p e r v i s o r ：c h e nn a n s u b m i t t e dt o ：s o u t h e a s tu n i v e r s i t y a b s t r a c t f r a c t i o n a lc a l c u l u si st h et h e o r yo nt h er e s e a r c ha n da p p l i c a t i o no fd e r i v a t i v e sa n d i n t e g r a lo fa n ya r b i t r a r yr e a lo rc o m p l e xo r d e r i ti san a t u r a le x t e n s i o no ft h ec l a s s i c a li n t e g e r o r d e rc a l c u l u s t h ef r a c t i o n a lc a l c u l u sm a yb ec o n s i d e r e da no l da n dy e tn o v e it o p i c i ti sa no l dt o p i c s i n c e ，s t a r t i n gf r o ms o m es p e c u l a t i o n so fg w l e i b n i z ( 1 6 9 5 ，1 6 9 7 ) a n dl e u l e r ( 1 7 3 0 ) ，i t h a sb e e nd e v e l o p e du pt on o w a d a y s h o w e v e r , i tm a yb ec o n s i d e r e dan o v e lt o p i ca sw e l l ， s i n c eo n l yf r o mal i t t l em o r et h a nt h i r t yy e a r si th a sb e e no b j e c to fs p e c i a l i z e dc o n f e r e n c e s a n dt r e a t i s e s i nr e c e n ty e a r sc o n s i d e r a b l ei n t e r e s ti nf r a c t i o n a lc a l c u l u sh a sb e e ns t i m u l a t e db yt h e a p p l i c a t i o n si nn u m e r o u ss e e m i n g l yd i v e r s ea n dw i d e s p r e a df i e l d so fs c i e n c ea n de n g i n e e r i n g t h ef i a c t i o n a lo r d e rc o n t r o lt h e o r yi sam a j o ra r e ao fr e s e a r c hi nf r a c t i o n a lc a l c u l u s s o m e c l a s s i c a lc o n t r o l st h e o r i e sh a v eb e e nd e v e l o p e db yi n t r o d u c i n go ff r a c t i o n a lc a l c u l u s t h e c r o n ec o n t r o la n df r a c t i o n a lo r d e rp i d pc o n t r o la r et h em o s tr e p r e s e n t a t i v eo ft h e m i nt h e p a s tt h r e ed e c a d e s ，t h ec l a s s i c a lc o n t r o lt h e o r ya n dm o d e r nc o n t r o la r ew i d e l ya p p l i e di n v e h i c l ed y n a m i c sc o n t r 0 1 a l o n gw i t hd e v e l o p i n go ff r a c t i o n a lc a l c u l u st h e o r y ，t h ea p p l i c a t i o n s t u d yo ff r a c t i o n a lc o n t r o lt h e o r yi nv e h i c l ed y n a m i c sc o n t r o lw i l lb ep a i dm o r ea n dm o r e g r e a ta t t e n t i o n b a s e do na b o v e 也er e s e a r c ha n dc o n t r i b u t i o n si nt h i sd i s s e r t a t i o na r ed i v i d e di n t of o u r a s p e c t s ：t h ef i r s to n e i sa p p l i c a t i o no ft h ef r a c t i o n a lc a l c u l u si nc o n t r o lo fa c t i v ea n d s e m i a c t i v ev e h i c l es u s p e n s i o n ；t h es e c o n di si n t r o d u c i n gt h ef r a c t i o n a lc a l c u l u si n t oc o n t r o l s t r a t e g yo ff o u r 、h e e ls t e e r i n gv e h i c l e ；t h et h i r di ss t u d yan e wn u m e r i c a la l g o r i t h mf o r d y n a m i cs y s t e mc o n t a i n i n gf r a c t i o n a ld e r i v a t i v e s ；t h el a s ti sd i s c u s s i n gaf r a c t i o n a lr e a c h i n g l a wf o rs l i d i n gm o d ec o n t r 0 1 s p e c i f i c a l l y , 参b a s e do nt h ep r e c i s ei n t e g r a lm e t h o da n di n t e g r a lp r i n c i p l eo fp r i m i t i v ef u n c t i o n , t h e a r t i c l ep r o p o s e san e wn u m e r i c a la l g o r i t h mf o rh i g h d i m e n s i o n a l i t yd y n a m i cs y s t e m w h i c hs o m ef r a c t i o n a lo r d e rd e r i v a t i v et e r m sa r ec o n t a i n e d t h en e wc o m p u t a t i o ns c h e m e h a sb e t t e ra c c u r a c ya n ds t a b i l i t y f u r t h e r m o r e t h i sn u m e r i c a la l g o r i t h mh a sb e e ne x t e n d e d t od e a lw i t ht h en o n l i n e a rs y s t e mc o n t a i n i n gs o m ef r a c t i o n a ld e r i v a t i v e s f i n a l l y , t w o e x a m p l e sa r eg i v e nt ov e r i f yt h ev a l i d i t yo ft h i sm e t h o d o l o g y , t h ef i r s to n ei st h ed y n a m i c p r o b l e mo fv i s c o e l a s t i cm a t e r i a ld e s c r i b e db yk e l v i n - v o i g tm o d e l a n dt h es e c o n di st h e f r a c t i o n a lo r d e rs k y h o o kd a m p i n gc o n t r o lo fan o n l i n e a rs u s p e n s i o n i i i 东南大学博士学位论文 睁t h et h e o r yo fs k y h o o kd a m p i n gc o n t r o li sa ne x t r e m e l yi m p o r t a n tm e t h o do nv e h i c l e s u s p e n s i o na c t i v ea n ds e m i a c t i v ec o n t r 0 1 b a s e do nf r a c t i o n a lc a l c u l u st h e o r y ，t h ea r t i c l e p r o p o s e sac o n c e p to ft h ef r a c t i o n a lo r d e rs k y h o o kd a m p i n ga n dt h ee f f e c to fs k y h o o k d a m p i n gc o n t r o li si m p r o v e d f u r t h e r m o r e ，t h en o v e lc o n t r o la p p r o a c h i sa p p l i e di n s l i d i n gm o d ec o n t r o lo fv e h i c l en o n l i n e a rs u s p e n s i o n , a d a p t i v ec o n t r o la n ds e m i a c t i v e c o n t r o ls t r a t e g yo fv e h i c l es u s p e n s i o n t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s u l t si n d i c a t et h e a p p r o a c hm a yo b v i o u s l y d e c r e a s et h e s u s p e n s i o nd i s p l a c e m e n t a n da c c e l e r a t i o n m e a n w h i l e i th a s n ta n yn o t i c e a b l ee f f e c t0 1 1t h ed e f o r m a t i o no fs u s p e n s i o na n da d h e s i o n p e r f o r m a n c eb e t w e e nt i r ea n dg r o u n d 专f o u r 飞e e ls t e e r i n gs y s t e mi sa l li m p o r t a n tv e h i c l eh a n d l i n gs t a b i l i t yc o n t r o lt e c h n o l o g y t oe n h a n c et h ev e h i c l em a n e u v e r a b i l i t ya tl o ws p e e d sa n di m p r o v et h es t a b i l i t ya th i g h s p e e d s an e wc o n t r o ll a ww h i c hc o m b i n i n gaf r a c t i o n a lo r d e rf e e df o r w a r do ff r o n tw h e e l s t e e r i n ga n g l ew i t haf e e d b a c ko fy a wr a t et or e a rw h e e ls t e e r i n gi sp u tf o r w a r d t h ef r o n t w h e e ls t e e r i n ga n g l er a t ei sc o n s i d e r e di n t h i sc o n t r o ls t r a t e g y 。t h e r e f o r et h et r a n s i e n t r e s p o n s es u c ha s o v e r s h o to fs i d e s l i pa n g l ea n du n d e r s t e e r i n gp r o b l e mo f4 w sa r e i m p r o v e d b a s e do nt h ey a wr a t et r a c k i n gt e c h n i q u e af r a c t i o n a lo r d e rp i “d pr o b u s t c o n t r o lo f4 w si sa l s op r o p o s e d t h ec o n t r o ls t r a t e g yc a nd e c r e a s et h ei n f l u e n c eo f p a r a m e t e ru n c e r t a i n t yt ov e h i c l es t e e r i n gr e s p o n s ea n d i n c r e a s ei t sr o b u s t n e s s 睁o nt h eb a s i so fs t u d y i n go nt h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mo ff r a c t i o n a lo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，t h ea r t i c l ep r e s e n t san e ws l i d i n gm o d er e a c h i n gl a w ( f r a c t i o n a lr e a c h i n gl a w ) f o rv a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r 0 1 、h e ns y s t e ms t a t e sa r ef a ra w a yf r o mt h es l i d i n gs u r f a c e t h er e a c h i n gl a wc a nd r i v et h es t a t e sm o v et os l i d i n gs u r f a c er a p i d l y o nt h ec o n t r a r y ， w h e nt h es t a t e sa r ei nt h en e i g h b o r h o o do fs l i d i n gs u r f a c e o r 也es t a t e sc o m en e a rt ot h e s u r f a c e ，t h ea p p r o a c h i n gs p e e db e c o m e ss l o w e r t h e r e f o r e ，t h ea p p r o a c hc a ns u p p r e s so r w e a k e nt h ec h a t t e r i n gp r o b l e mi ns l i d i n gm o d ec o n t r 0 1 a ni l l u s t r a t i v ee x a m p l eo fc h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o nf o rd u f f i n g h o m l e ss y s t e mi sg i v e nt od e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so f t h ep r e s e n t e da p p r o a c h s i m i l a r l y ，t h ef r a c t i o n a li n t e g r a lc o m p e n s a t o rf o rs l i d i n gm o d e c o n t r o li sa l s op r o v i d e da n da p p l i e di nc o n t r o lo ft h ed e l a ys y s t e mw i t hp a r a m e t e r u n c e r t a i n t i e s t h en u m e r i c a lr e s u l t si n d i c a t et h i sc o m p e n s a t o ri sb e t t e rt h a nt h a to f c o n v e n i e n ti n t e g r a lc o m p e n s a t o ri nc o n t r 0 1 k e y w o r d s ：f r a c t i o n a lc a l c u l u s ，s k y h o o kd a m p i n gc o n t r o l ，v e h i c l es u s p e n s i o n ， f o u r - w h e e l s t e e r i n gs y s t e m ，f r a c t i o n a lp c o n t r o l ，f r a c t i o n a lr e a c h i n gl a w ，s l i d i n g m o d ec o n t r o l ，n u m e r i c a la l g o r i t h m ， f r a c t i o n a lo r d e rd y n a m i c a le q u a t i o n i v 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 研究生虢终日期：率句 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研 究生院办理。 日期： 伊彳扩弓f 第l 章绪论 第1 章绪论 1 1 分数微积分理论 1 1 1 分数微积分发展简史 分数微积分( f r a c t i o n a ld e r i v a t i v e sa n di n t e g r a l s ，或f r a c t i o n a lc a l c u l u s ，简写为f ) 即指函数对 变量非整数阶求导或非整数阶积分，是古典微积分理论的自然推广，成为数学分析的一个分支。分 数阶微积分之所以称其为古老的，是因为分数阶微积分并不是一个新的概念，它的起源可以追溯到 l e i b n i z 、g a u s s 和n e w t o n 发明微积分的年代。早在三百多年前，l h o s p i t a l 在给l e i b i n z 的信中就提 道“w h a ti f t h eo r d e rw i l lb en = 1 2 7 ”即在求导d o d t n 时，1 1 = 1 2 怎么办? l e i b n i z 在1 6 9 5 年9 月3 0 日的回信中回答道：“i tw i l ll e a dt oap a r a d o x , f r o mw h i c ho n ed a yu s e f u jc o n s e q u e n c e sw i l lb e d r a w n l e i b n i z 表示这个问题有些似是而非，但是他预言将来一定会得到有用的结果。在给l h o s p i t a l 的信中，l e i b n i z 还提出了这样的问题：“c a n t h e m e a n i n g o f d e r i v a t i v e s w i t h i n t e g e r o r d e r b e g e n e r a l i z e d t od e r i v a t i v e sw i t hn o n i n t e g e ro r d e r s ? ”即整数阶微分的内涵能扩展到非整数阶吗? 3 0 0 多年来，由 l e i b n i z 提出的关于分数阶微分的问题一直在研究中，许多数学家为此付出了巨大的努力，如l i o u v i l l 、 r i e m a n n 、e u l e r 和w e y l 对分数阶微积分理论都作出了重大贡献，还有f o u r i e r 、a b e l 、l a c r o i x 、g r u n w a l d 和l e m i k o v 等等。1 8 1 9 年，法国数学家s f l a c r o i x 出版了一本7 0 0 页关于微积分的书【l 】，其中有 不到两页的内容探讨了非整数阶微分，这是第一次出版涉及任意阶微分的书。之后出版的一些专著 中也有分数阶微积分的内容。直到1 8 3 2 年，l i o u v i l l e 才给出了分数阶微分的第一个合理的定义。1 8 4 7 年，r i e m a n n 对分数阶微积分的定义作出了进一步的补充。正是r i e m a n n 和l i o u v i l l e 以及g r u n w a l d 和l e t n i k o v 所做的研究工作使分数阶微积分理论有了历史性的发展。 虽然f c 理论是一个具有3 0 0 年历史的研究课题，由于缺乏明确的物理和几何解释以及长期没 有得到实际应用背景的促进，分数阶微积分的发展一直比较缓慢。直到二十世纪随着物理学、力学 的发展，当人们发现一些具有记忆性质的材料性能和行为与分数导数存在某种内在的联系才开始对 其研究发生兴趣，分数阶微积分非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，在经典模型中， 这些性质常常是被忽略的。如今，分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学 及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题同时许多由分数 阶微积分来建模的现实世界中的系统也展示出丰富的分数阶动力学行为，其中包括粘弹性、有色噪 声、电磁波、电解液的极化、分数阶分子动力学等等。信号处理、工程控制理论、电子学、生物学、 混沌和分形理论等新兴学科的迅速崛起，促进了f c 在理论上取得较大进展。 分数微积分理论的研究历经数百年，但直到近三十年才有将其作为主题的专著和会议出现。1 9 7 4 年，两位著名学者k 。b o l d h a m 和j s p a n i e r 的专著 2 1 分数阶微积分的发表，标志着分数阶微积 分的理论与应用研究进入了一个新的时代。后来s a m k o ，k i l b a s 和m a r i c h e v 等许多学者出版了相关 论著【3 ，4 1 m i l l e r 和r o s s 的专著【5 】主要是论述分数阶微积分和分数阶微分方程。广义分数阶微积分 以及其在特殊函数和积分变换中的应用在文献【6 l 中给出，分数阶微积分算子的基本性质以及分数阶 微分方程的解及其应用实例可以参见专著1 7 1 ，分数阶微分和积分在复域上的基本性质见专著p ，引。 在这些专著中，作者给出了分数阶微积分及其在函数理论和微积分方程中应用的经典和现代的一些 研究结果。 第一次国际会议是1 9 7 4 年6 月由b r o s s 在美国的n e wh a v e n 大学组织的第一届分数阶微积分 及其应用大会( f i r s tc o n f e r e n c eo nf r a c t i o n a lc a l c u l u sa n di t sa p p l i c a t i o n s ) ，并编辑出版了会议论文集 i l 。1 。第二届国际会议于1 9 8 4 年在英国的g l a s g o w 举行，会议出版了题为 f r a c t i o n a lc a l c u l u s ) ) 的论 文集。1 9 8 9 年在日本东京举办了第三次国际会议，会议的论文集为( f r a c t i o n a lc a l c u l u sa n d 东南大学博士学位论文 a p p l i c a t i o n s ) ) 。上世纪九十年代以来，这个主题出现在许多国际会议和专题研讨会上。例如，2 0 0 4 年7 月份在法国的b o r d e a u x 召开的国际会议“f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a t i o na n di t sa p p l i c a t i o n s ”第一次学 术会议，以后分别在2 0 0 6 年在葡萄牙的和2 0 0 8 在土耳其的安卡拉举办了第2 、3 届，而且这一学术 会议已经成为国际分数微积分理论的定期举办的最重要学术会议，并已确定2 0 1 0 年第4 届在西班牙 和2 0 1 2 年第5 届在中国南京举办。此外，每年仍有一些小型学术专题会议在世界各地举办。 但从目前的研究进展看，分数微积分理论及应用的研究仍处于初步阶段，在许多方面有待进一 步探索和研究。 1 1 2 分数阶控制理论及方法 分数阶控制理论是基于分数微积分理论发展进来新的控制理论方法，它不仅把控制理论研究和 应用开创了新的领域，拓宽了控制器设计的范围，可得到更理想的控制，而且分数微积分中的一些 特性，例对历史的“记忆”特性、任意相移、对常数的导数不等于零和分数阶系统的鲁棒性等有利 于控制系统的稳定性、鲁棒性和时域动态性能的提高和改善。 基于f c 理论的控制方法早在上世纪四五十年代就开始探讨，但直到八九十年代才引起关注。 1 9 4 5 年b o d e 在研究反馈放大器的设计时，提出理想开环系统的频率特性，ig ( j c 0 ) l = 常数细o ) ， g ( j o 卜n ( 1 y ) ( o 0 0 ) ，其中y = l 6 ，即保证相位裕度3 0 0 ，这样当系统为闭环时，就能保证当增益有较大 变化时系统仍具有3 0 0 的相位裕度和保持稳定性i l 1 9 5 8 年，t u s t i n 在研究导弹目标的位置控制时i l2 】， 希望系统在横截频率附近或低于这一频率的范围相位裕度保持为常数，因此他提出了系统的开环传 递具有这样的形式c , ( s ) = a o ( o o s ) k ，在他的例子中k = 1 5 。1 9 6 0 年，m a n a b e 将非整数阶积分应用于 在控制系纠”d 州，1 9 6 1 年c a r l s o na n dh a l i j a k 研究了采用分数阶积分器的伺服控制【l7 1 8 j ，从此基于分 数微积分的控制理论和方法逐步发展起来，1 9 9 1 年，法国b o r d e a u x 大学a l a i no u s t a l o u p 提出了分 数阶鲁棒控制方法c r o n e 控制( 法语缩写：c o n t r 6 1 er o b u s t ed o r d r en o ne n t i e r 非整数阶鲁棒控制) 1 9 , 2 0 】，并从第一代c r o n e 发展至第三代，已经将该方法应用于汽车的悬架控制中【2 1 - 2 5 。1 9 9 6 年 m a t i g n o n ，d 研究了分数阶系统的辨识问题、分数阶系统的稳定性条件、可控性和可观测性【2 略7 1 。 19 9 9 年p o d l u b n y ，1 将分数微积分方法应用于p i d 控制1 2 8 1 ，近十年来，这一广义的分数阶p 1 1 严( 其中九、 “为正实数) 控制方法一直是分数阶控制方法研究的热点，出现了大量的研究论文和应用，并提出了 许多设计参数调节的规则和方法1 2 川。2 0 0 5 年s a b a t i c rj 等s a b a t i e rj ，给出了分数阶系统的r 稳定性定 义，并应用l m i ( 线性矩阵不等式) 技术分析