（机械制造及其自动化专业论文）基于有限元分析的谐波齿轮传动变形协调研究.pdf

摘要 本文j ：要刑谐波齿轮传动中的柔轮载荷与变形之间的协调变形关系进行了研究，并 通过有限元和数学方法求得满足这种协调变形的载荷分布。进一步对在有限元分析基础 h 皆波齿轮传动的运动特性进行了研究。 文，f 】首先通过对引起柔轮变形因素的研究，认为柔轮的变形是山波发生器和载荷同 时作用的结果。在柔轮波发生器形状确定的情况下，柔轮的变形主要取决于载荷分布， 同时柔轮的变形也影i i 向载荷的分布，载荷和变形是相互影, l a j h 互协调的关系。在柔轮的 惜合端柔轮的变形主要分为柔轮壳体的变形和柔轮轮齿的弯曲、接触变形。幽_ ：l i 二柔轮是 溥壳伴，载荷作用下柔轮的| 1 f 合端产生一扭转角以便使柔轮和刚轮仍然保持啮合以传递 载衙。根抓这点，建立了表征多齿 办调变形的数学模型。 存模型l t 充分考虑了各种影响因素。在求解初始侧隙分布中，没有使刚传统的以法 向距离作为侧隙标准的方法，而是根据谐波齿轮的啮合以及模型的特点以周向角度间隙 作为删隙，并采用维搜索的方法，在啮合齿对的轮廓线上寻找周向角度f i ：l 倒f 最小值作 y , j 浚幽对的l l 如仓侧隙。在位移场的计算中，分别列论了柔轮空载和负载n , j 的状况，以边 界冗强迫位移的形式模拟波发生器的作用，根据适当的简化和假设建立柔轮的板壳j i 有 i i t 4 元分析模型。根掘柔轮的工作状况，分析认为柔轮的有限元研究应当属于几何非线性 问题，并应用薄壳几何非线性理论对柔轮进行有限元分析。 文咔i 进步根据求得载荷分布，对柔轮运动几何学和啮合性能进行r 研究。根据本 文所建直的惜波卤轮传动运动传递模型，剐空载和载荷下啮合情况进行了研究。推导出 啮合端和输小端瞬时传动比公式。柔轮轮齿和刚轮轮齿之问的运动规律取决于柔轮受载 f 的变形形状和啮合端与输出端的转角关系。并根据传动比的变化，分析了其列啮合陆 能及凿波齿轮设计方面的影响。 本文的研究对进步研究谐波齿轮传动的运动性能和齿形设计都具有参考价值和 指导意义。 关键词：谐波齿轮传动。有限元，变形协调，载荷分布，传动比 a b s t r a c t il i er e l a t i o no ft h ed i s t r i b u t i o no fl o a da n dt h ec o o r d i n a t i v ed e f o r m a t i o no f f l e x s p l i n ei sr e s e a r c h e di n t h ep a p e la n dt h el a wo fd i s t r i b u t i o nl o a do nt h ef l e x s p l i n ei sg o f f e n ，b ym e a no ft h ef i n i t ee l e m e n ta n d m a t h e m a t i c sm e t h o d s i na d d i t i o n ，b a s e do nt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t h em o t i o nc h a r a c t e r i s t i co f h a r n l m l i cg e a rd r i v ei sa n a l y z e d f ir s t l y ，t h ef a c t o r st h a tc a u s et h ed e f o r m a t i o no ff l e x s p l i n ea r e a n a l y z e di n t h ep a p e r a st h el o a d d i s hi b u t i o oa n dd e f o r m a t i o ni s r e c i p r o c a li n f l u e n c e d ，t h ed e f o r m a t i o no ff l e x s p l i n em a i n l yd e p e n d s o n t h r e e f a c t m s ，w h i c ha r et h ed e f o r m a t i o no ft h ef l e x s p l i n es h e l l ，t h eb e n do ft o o t h a n dt h ec o n t a c t d e f o r m a | i o no ft h e i l m e s h i n gt o o t h ap r o p e rm o d e lo ff l e x s p l i n ed e f o r m a t i o ni ss e t u pt h a t e x d le s s e s m u l t i t o o t hm e s h i n gi nt h es a m et i m e ，i nw h i c ht h ei n i t i a ld i s p l a c e m e n ta n dt h el o a do ff l e x s p l i n ea r eg i v e n b a s e do nt h ee x p e li e n t i a lf o r m u l aa n dt h el a wo ft h ec i r c u m f e r e n t i a ia n g u l a rb a c k l a s h l h es o l u t i o no ft h e m o d e li sb a s e do nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h e nas h e l le l e m e n tm o d e lo ff l e x s p l i n ei ss e tt i pa n da l la n a l y s i s i sd o n ea f l e x s p l i n e sf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sb e l o n g s t on o n l i n e a rp r o b l e mr 】、h ea n a l y s i sp r o g r a ma n s y s i su s e df o rf l e x s p i n e sn o n l i n e a r a n a l y s i s s e c o n d l y , a n e wa p p r o a c hf o r c a l c u l a t i n gt h e b a c k l a s hi s g i v e u ，a n d i tn o to n l yc a l c u l a t et h e c i r c u m f e le n l i a la n g u l a rb a c k l a s h b u ta l s ot i l el o c a t i o no fm e s h i n go fg e a r i tp r o v i d et h en e wp r e c i s i o n e l e m e n tl b rt i l er e s e a r c ho fe n g a g i n gs t a t u s a tl a s t ，b a s e do nm o t i o nt r a n s m i s s i o n ，t h es t a t eo fm e s h i n gi nn ol o a da n dl o a dc o n d i t i o ni ss t u d i e d i t i sg i v e nt w oi n s t a n t a n e o u st r a n s m i s s i o nr a t i o sf o l m u l aa n dt h ea n g l er e l a t i o nb e t w e e nt h em e s h i n gp l a n e a n do u l p u ts h a f ti nr e f e r e n c eo ft h ec h a n g eo fr a t i o s ，t h ei n f l u e n c eo i lt h em e s h i n gp e r f o r m a n c ea n dt h e d e s i g no f h a r m o n i cd r i v e ri sa n a l y z e d 1 1 h e s ec o u l db eg o o df u n d a m e n t a l sf o r i m pj o v i n gt h ed e s i g no fh a r m o n i cg e a rr e d u c e ra n d t h e i r p e r f o r m a n c e s k e y w o r d ：h a r n m n i cg e a rd r i v e ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t h ec o o r d i n a t i v ed e f o r m a t i o n ，t h e d i s t r i b u t i o n o fl o a d ，t h et r a n s m i s s i o nr a t i o 1 i 鼎1 二有限元分析的谤波齿轮传动变形协调研究 1 绪论 1 1 本文背景 谐波齿轮传动机构是一+ 种重要的新型机械传动方式。由于它的独特优点而渐麻用 广泛。它可以用来传递同轴运动和直线位移运动；它还可与通常的齿轮任意组合完成、r 行轴、相交轴、相错轴之间任意速比的传动。因此目前在最新的一些机械和仪器没备中 采用了谐波齿轮传动。 早在1 9 4 4 年，俄国a m 摩察尤为金首先制造出了世界第一台电磁谐波发，i 二器的摩 擦谐波传动器。1 9 5 5 年美国c w 迈塞尔制成了世界第一台谐波减速器，1 9 5 9 年取得专 利。1 9 6 1 年丌始介绍到我国。然而，谐波齿轮传动广泛应用于各个领域还足在二二、| - 世 纪六卜年代中期。 谐波传动是种依靠弹性变形运动来达到传动目的的新型传动。由于它改变_ 厂传统 的传动原理，因而具有结构简单、重量轻、传动比范围大( 单级传动比为5 0 5 0 0 1 “) 、 传动精度高、承载能力大、齿隙小，甚至可达到无侧隙传动，同时啮合齿数多，故在某 些领域中正在取代原来传统的齿轮传动机构。谐波齿轮机构与其他凼轮传动机构不同的 是，i , j i 向密闭空间传递运动，此一特点更令其独占鳌头。 为满足空间技术、能源、仿生、海洋工程等一系列新兴技术发展的需要，国内外都 集中了一定的科技人员对其进行研究，同时由于其本身具有的挑战性，也吸引了许多其 他行业( 如数学) 的专家、学者致力于其研究和发展，并已取得了一定的成绩。如阿波 罗1 5 月球车在驱动装置、机器人的驱动装置等都使用了谐波齿轮传动。”。 由谐波齿轮传动原理可知，谐波齿轮传动和普通的圆柱齿轮传动有许多不同之处， 如普通齿轮传动同时啮合的齿数为l 2 对，而谐波齿轮传动同耐啮合的齿数可达总齿 数的3 0n , 4 4 0 ；普通齿轮传动一般选用渐开线齿廓，传动时齿轮在啮合过程t 1 ；共轭 运动，而谐波齿轮传动是利用柔轮的弹性变形来形成柔轮与刚轮的错齿运动，并不能复 现齿加工时的共轭运动，只能看成近似的共轭；普通齿轮的强度设计准则是建立在材料 力学和弹性力学基础之一卜，以轮齿根部的弯曲应力和齿面接触应力的设计、校核计算为 依据f 内，而在谐波齿轮传动中，齿根校核计算往往i 能作为唯一的依据，还要根据薄壳 的弹性l + h 论来建立强度设计准则，因为失效位置已经不限于齿，而扩大到整个柔性壳体。 由 i 柔轮受力状态比较复杂，内部应力高频率交变循环，使其易形成疲劳破坏。上述种 种不同之处以及柔轮的受力特点，是谐波齿轮设训与一般齿轮传动设计相比又很大不 同。 1 2 问题的提出 谐波齿轮传动在传动领域内发展速度较快，有拥当一部分研究者在从事着该传动= = _ 埔十响根儿分析的i 片波齿轮传。变形帅鲥研究 作。虽然阑内外学者几乎对该领域所有问题都进行过不同程度的研究，但许多问题至今 还没有定论，有些规律并没有被揭示，仍有大量的基础工作有待丌展。 划i 皆波齿轮传动啮合原理的深入研究是探讨如何提高其啮合性能和探索新的齿形。 j1 ：凿波齿轮传动中轮齿的相对运动关系复杂，闪此早期对1 1 出台原i 里的研究是建立存经 验利实验的麟硎 上的。h 前的研究力向是考虑载荷作用下柔轮轮齿的弹性变形刘谐波齿 轮传动啮合质量的影响。 窿受载后，柔轮与刚轮同时啮合的各齿对将产生非均匀分椰的啮合力。这砦力的大 小、f 1 ：心范嘲，除了取决于传动装置所传递的扭矩之外，还同时取决于轮齿波发生器与 柔轮尺、j _ 间隙、元件的刚度和制造精度等因素。而众所闹知，这些啮合力作用在柔轮上， 将使柔轮改变原来的形状发生变形，而同时变形的形状也将影响啮合力的分布，因此， 柔轮的变形和啮合力之间相互i ：力、调，达到一种平衡状态使柔轮能平稳的传递扭矩。此外， 柔轮的变形形状对谐波传动的运动关系产生很大的影响，而载荷作用下谐波齿轮运动关 系的研究至今还没有提出一些相关的理论。其主要原因是这种协调变形关系没有一套完 整的理沦。柔轮的变形和啮合力之间的i 办调关系的研究是其他研究的基础。 因此，寻找满足变形协调规律的载荷分布规律，是设汁谐波齿轮传动最基本的先决 条件。然而，于这一问题的复杂性，求解边界条件的不确定性、以及柔轮齿圈、简体、 波发! l i 器、轮齿等刚度变化的非线性性质，而大大增加7 ，解决问题的难度。仔细剖析现 有的汁算方法，发现其问题刁i 少。这些问题中，有的存在本质性的错误，更多的是为了 简化计算，忽略了一些重要的影响因素，故这些计算方法都有其局限性。当然，出于这 问题所涉及的因素太多，太复杂，要想使载荷分布规律的计算能获得符合实际的精确 结果，即使存今后也是十分困难的课题。本文的目的足在前人研究工作的基础一卜，建立 一个比较切合实际的理论计算方法，使之既计算简便，又有一定的精确度。 13 文献综述 自潴波齿轮传动问世以米，国内外许多学者对其做了大量的卓有成效的研究，并已 公，l ：发表了数百篇论文及有关著作，提出了一些成套的设计计算方法。但也有一一些蔓要 问题。理论一t - 尚未取得完全一致的看法，有些研究又只能依赖于试验。因此，谐波齿轮 传动i | l ：；有蝗理论问题亟待解决。根据近些年来的研究资料，目前谐波齿轮的研究可概 括为： 脚j 1 j 性研究：将谐波齿轮传动应用到已有的或新的结构巾，成为一种新的产品结构， 从而发挥谐波齿轮的优点。如文献【2 1 。 新淑形的研究：最早谐波齿轮传动中采用2 8 酽的直线齿廓，随后出现渐j l ：线齿廓 得到j “泛的使用。但是渐丌线在谐波传动中出现的缺j 使得齿形研究成为热点。荚阿、 门木等人量的学者进行了这方【丽的研究“”“”“。州。 结构1 艺性和加工工艺性研究：谐波齿轮传动中各零件的加工复杂程度不干h 同。其 一发生器和具有几百个轮齿的柔轮最为复杂。因此，其的自【l 工工艺和结构工艺也成为 难点。有火壁的文献给出了解决力【i 工中难点的方法，如文献 2 5 2 6 。 啮合原理的研究：剥浩波齿轮传动啮合原理的深入研究足探讨如何提高其峨合性能 2 批于有跟元分析的谐波曲轮传动变彤坍调研究 和探索齿轮加工新工艺的基础。由于谐波齿轮传动中轮齿的相对运动关系复杂，因此早 期对其啮合原理的研究是建立在经验和实验的基础上的，最典型的实例是对柔轮运动轨 迹的简化导致了直线齿廓的产生。其后出现了全面地考虑柔轮弹性变形的各种q 出合分析 理论。目前的研究方向是考虑载荷作用下柔轮轮齿的弹性交形对谐波齿轮传动啮合质量 影响。如文献 2 2 2 3 儿2 4 。本文主要在这方面进行研究。 1 3 1 载荷分布规律的研究 要列负载时柔轮的进行研究，首先的问题就是受载后柔轮的变形。而精确的载荷确 定是求得柔轮变形曲线的前提，因此，在本文中又对载荷分布也进行了研究。我们知道 变形受载荷影响，同时变形又将载荷重新分配。因此本文从协调变形的基础上对载荷进 行求解。 从现今收集到的资料来看，国内外学者对谐波齿轮传动啮合齿对问载荷分布规律所 进行的研究还不是很多。 苏联学者m h 伊万诺夫对谐波齿轮传动有很深的研究。他著的谐波齿轮传动 一书”1 在我国早已翻译出版。这本书比较系统地介绍了谐波齿轮传动的各个理论问题， 各种设计计算方法，试验研究方法等。它对研究谐波齿轮传动的科研人员会有很大帮助。 在这本书中，作者介绍了确定啮合齿对间载荷分布规律的实验方法，并相应给出了实验 结果。但仅此而已，作者没有从理论上对其进行研究。这样，后续的一些理论分析及计 算公式的确定，如应力分布状况、强度计算公式等都要依赖于这个实验结果，未能形成 一套完整的理论系统，这不能不说是本书的一个遗憾。 皿n 沃尔阔夫是研究谐波齿轮传动的又一苏联学者。他与伊万诺夫的研究方法截 然不同，成为苏联谐波界的又代表人物。他基本上不是从啮合理论着手，而主要是从 谐波齿轮传动的构造、运动学、运动学等方面考虑，来分析研究谐波齿轮传动。该书比 较系统地分析介绍了谐波齿轮传动构件间的相互作用情况、传动装置元件中的载荷及应 力分布，同时也比较全面地论述了强度计算方法和制造工艺，并列举了许多结构实例。 该书第五章第2 4 节介绍了计算谐波齿轮传动啮合齿对间的载荷分布规律的方法， 其基本思想如下： 载荷分布f f l i 线在如下的假设下进行的，即 式中p 一一在第i 个齿的载荷 只c o s o ! = m ( i 1 ) r 轮齿静止接触区内的柔轮齿顶半径 m 作用在从动件上的力拒； z 。同时接触齿对数。 基于有限元分析的谐波齿轮传动变形协调研究 其次，假定力的分布与刚度和变形成正比，即： 式中e 和4 分布为第f 对齿的总刚度和总变形。 p 第f 对齿上的载荷。 ，原始齿廓空载时啮入段啮入侧隙，其他区段内 = 0 。 ( 1 2 ) 主要解题思路如下：先求出齿的总刚度c 。和齿的空载啮合侧隙，。，然后由式( 1 2 ) 玑 求出齿的变形一的分布，最后确定力的总和只中的= q ( 4 一，) 的分布。 分析这种求解方法及解题过程，式( 1 一1 ) 中假定在全部啮合区内力的作用半径不 变。在实际的传动中，在某些区域作用半径是变化的。此外压力角也是变化的。这种求 解方法忽略了半径和压力角的变化，给计算结果造成了误差。式( 1 2 ) 也很正确地体 现了轮齿啮合中地几何和力学性质。但是式( 1 2 ) 中提到的c 仅仅是齿的总刚度，没 有考虑柔轮变形的影响。而众所周知，谐波齿轮传动中柔轮具有较大的柔度，并且在波 发生器与柔轮之间还存有一定的安装间隙，所以，谐波齿轮柔轮受载后，柔轮壳体本身 势必要发生较大的变形，同时还要产生一定程度的畸变。因此，在研究啮合齿对的载荷 分柿特性时，不能忽略柔轮本身变形的影响，即式( 1 1 ) 中的c ，不仅仅是轮齿的刚度， 还应考虑柔轮的刚度。 在文献 6 中，作者假定柔轮齿所受力正比于柔轮齿和刚轮齿的周向几何重叠量， 即正比于柔轮啮合干涉量，初定了柔轮齿间的力分布规律。然后用边界元素法求出柔轮 齿的变形，再求变形后柔轮齿与刚轮齿的周向几何重叠量来修f 力分布规律。如此反复 计算，最后使啮合区内的各齿对间的周向几何重叠量趋近于零，求得精确的力分布规律。 浚文首次将有限元中的边界元素法用到求谐波齿轮齿对问的载荷分配规律上。纵观 全文，理论推导，模型建立都很正确。然而，按该方法进行计算得到的最终结果与文献 5 的计算结果相一致。正如前面所述，文献 5 中，由于c ，没有考虑柔轮变形的影响和 没有考虑系统的安装间隙等原因，其计算结果是存在较大误差的。该文理论计算结果与 实验结果出入较大的原因，可能是有限元计算时，边界条件的选取与实际相差较大，另 外，没有考虑系统的安装问隙和柔轮的畸变也是一个重要的原因。 文献 7 是又一苏联作者l 。h 虎克斯的一篇论文。虎克斯认为轮齿的受载伴随着 它的弹性变形，并且作用在每一对轮齿上载荷的不同，将引起轮齿不同的瞬时速度。因 此，可借助轮齿的运动，来求出齿对间载荷的分配规律。 4 ) 一 t( c a h = 只 n 基于有限元分析的谐波齿轮传动变形协调研究 这种将力与速度联系起来的观点很新颖，是确定齿对间载荷分配规律的又一可取的 方法a 但问题是如何准确地求解出柔轮轮齿在受载状况下的瞬时速度呢? 大家知道，谐 波齿轮传动承载后，柔轮不仅要发生轴向变形，周向扭转变形，还要消除径向安装间隙 发生径向变形，同时接触齿对也要发生一定的弹性变形。所以，柔轮的变形是很复杂的， 其受载状况下轮齿的瞬时速度也是很难确定的。而该文在求柔轮轮齿的瞬时速度时，却 粗略地认为柔轮圆周上各点的速度按直线分布。显然，这种假定的依据不足。另外，该 文没有考虑柔轮、刚轮齿廓空载啮合侧隙的影响。我们知道，空载啮合侧隙的分布情况 是影响娠对间载荷分布规律的一个很重要的因素，在确定载荷分稚规律时，忽略它的影 响是不合适的。所以，该文的计算结果同样是不能令人信服的。 文献 9 中提到的表征多齿对同时啮台的数学模型很有新意，计+ 算方法也较为简单， 在引算中使用了有限元方法来得到柔轮的位移场，也不失为一种方便的做法。但在计算 中也同样忽略了载荷作用半径和压力角的变化。另外，在有限元计算使用的是小变形线 性薄壳理论，我们知道，柔轮壳体变形是大挠度变形，因此造成了计算结果的偏差。 综上所述，国内外学者从不同侧面，采用不同的方法对谐波齿轮传动啮合齿对问载 荷分布规律进行了不同程度的有益的研究。但这些研究有的只注重试验测量，有的又仅 侧重理论分析计算。而这些计算方法或者理论上不很成熟，或者计算误差较大。就目前 情况来看，还没有形成一个十分完善且又令人信服的计算方法。因此，完善和深入谐波 齿轮传动啮合齿对间载荷分布规律的研究，建立一个比较正确的计算方法是本文研究工 作的主要目的。 1 3 2 有关传动比的研究 运动学研究的成功与否，关键取决于柔轮运动规律的确定，即柔轮、刚轮、波发生 器三者之间传动比的定义。在文献 4 w ，首先将剐轮和柔轮抽象为中性层上的圆r 和 椭圆f ；其次，假设两轮为无滑动滚动，则当波发生器旋转时，两轮中之一应转过一个 取决于中性层周长差的角度。得出结论：传动比为从动轮直径对两轮直径的差值之比。 通过分析，我们不难得出这里所定义的传动比实际上是指输入轴和输出轴的平均传 动比。以转角定义传动比是不准确的，对于刚性齿轮传动来讲，因轮齿上的点与轮轴上 的点的转角相等，可以采用这种近似定义算法，但谐波齿轮传动因其柔轮的柔性变形， 轮齿的转角与轮轴的转角存在瞬时不等性。 我国学者沈允文在这方面也做出了大量有意义的工作。在其著作 2 1 q u ，他认为谐波 齿轮传动是行星齿轮传动的- - ；f e o 变态形式。在这种前提下，借助于平均积分角速度定理 2 1 ，用研究一般行星齿轮传动运动学的方法来讨论谐波齿轮传动的运动学，得到与文献 4 相同的结果。 在这些文献中，只给出了输出( 输入) 端的传动比，并没有对啮合端的传动比进行 深入的研究，也没有给出这两种传动比的差异。虽然谐波传动实际起作用的仅是输出( 输 入) 端的传动比，但啮合曲线各瞬时角速度比不可忽视，它是确定柔轮理想齿形和柔轮 啮合曲线的参量。若忽视了此因素，则齿形与啮合曲线不协调，必然导致啮合干涉。因 此本文对啮合端和输出( 输入) 端的传动比以及空载和负载传动比变化进行更进一步研 基于有限，b 分析的谐波齿轮传动变形协调研究 究找出其相互之间的关系。 1 4 本文的主要工作 根据目前谐波齿轮传动研究和应用中已经取得的成果及仍然存在的问题，可以发现 谐波齿轮传动啮合齿间载荷分布规律的研究的关键是要建立一种协调变形关系，在满足 这种关系下得到的载荷。本着这个宗旨，本文主要完成如下工作： 1 根据谐波齿轮传动的几何运动模型的基础上建立表征多齿同时啮合协调挛 形数学模型，在模型中考虑了载荷作用点和压力角的变化。 2 在求解啮合侧隙时，以周向转角作为啮合侧隙，同时采用一维搜索的优化方 法求得啮合侧隙 ， 3 用a n s y s 建立空载和负载柔轮有限元模型，用a n s y s 中的几何非线性理论对 有限元模型进行计算，求得柔轮变形的位移场。 4 以d 1 2 0 机型谐波齿轮为例，用协调变形数学模型进行求解，得出m = 4 9 0 n m 时，柔轮的载荷分布情况。 5 将理论计算结果与实验结果进行比较，分析误差原因 6 在有限元模型基础上提出谐波齿轮传动，l 何运动学模型，利用有限元汁算结 果，推导出空载和额定载荷情况下谐波齿轮传动啮合端和输出( 输入) 端瞬 时传动比的计算公式。并对三种状态下两种传动比进行分析对比a 6 基十有限元分析的谐波齿轮传动变形协调研究 2 基本原理及模型的建立 在绪论中已经指出，谐波齿轮传动是依靠波发生器迫使挠性构件( 柔轮) 变形所产 生的连续移动的变形波来实现运动或动力的传递，故就其传动机理来说，既不同于刚性 构件的啮合传动，同时也与一般常见的具有挠性构件的传动( 如带传动、链传动等) 有 着本质的区别，因而谐波齿轮传动运动学颇为复杂。要想研究其齿对问的载荷分布规律， 就要对其运动规律进行初步探索。 2 1 前提假设 本文的研究对象为圆柱柔轮，且为波发生器内置式。考虑到谐波齿轮传动的实际二l _ ： 作特性，为了方便计算，在讲述其运动规律前作如下假设： 1 柔轮在工作过程中，柔轮轮齿形状不发生变化，+ 只有齿槽中部产生变形。有限元计 算和实验实测均表明，柔轮部分的变形只限于靠近齿根部处于径向间隙内的那段齿 高。因而柔轮变形时，齿槽中部犹如弹性铰链把各刚性轮齿联接起来，所以只有齿 槽中部产生变形，而轮齿形状依然保持不变，不影响传动的啮合性能。 2 柔轮的变形形状是以柔轮中线的变形特征来描述的。所谓柔轮中线是指圆柱柔轮光 滑壳体的中面与横截面的截线。柔轮在运动过程中具有足够的柔性，这使得载荷作 用下柔轮中线变形曲线足够光滑。 3 柔轮变形时平截丽的假定依然适用，不讨论轮齿齿圈的轴向空间变形，因而柔轮轮 齿对称纵截面在变形后仍然为平面，而且垂直于柔轮中面的变形曲面。变形时，柔 轮的所有特征圆均为柔轮原始曲线的等距曲线。 4 在变形力和啮合力作用下，柔轮中线的弹性变形状态是不稳定的。实际上，啮合过 程中，由于接触点配置状态不同，将引起弹性线相对于某一平均位置的微幅摆动。 这种摆动的幅度和周期，将随同时参与的啮合的齿数的增多而减少。由于谐波齿轮 传动同时参与啮合的齿对数一般均较多，所以这种微幅摆动可以忽略。 2 2 啮合平面几何运动关系 在假设中曾提出柔轮变形时平截面假定依然适用，也就是说可认为谐波齿轮在传动 中作平面啮合，所以只需研究其中一个截面的情况即可。 基于有限元分析的谐波齿轮传动变形协调研究 2 2 1 谐波齿轮传动原理模型 犷藤 蹩么 图2 1 谐波齿轮装配模型 f i g 2 - - 1i l l u s t r a t i o nf i g u r ef o rt h ec o n f i g u r a t i o n o f h a r m o n i cd r i v e r 根据上节的介绍谐波齿轮传动装配模型如图2 - 1 所示，其中c n 为柔轮椭圆曲线：c s 为刚轮上与c 。曲线在长轴处相切的圆，称为刚轮的基准圆，且： d r + 2 c o g m = d g ( 2 一1 ) 其中：为最大变形系数，即在波发生器长轴处变形量与柔轮模数m 之比值，d “为刚轮 基准圆直径；c 。( 点划线) 为波发生器轮廓曲线。图中所示虚线圆为柔轮变形前的中 性线的形状( 以为d 。直径的圆) 。 谐波齿轮传动运动过程模型如图2 - 2 所示，因为模型为轴对称模型，所以图中仅 绘制了局部模型加以说明。直角坐标系0 - x 。y 。固定在刚轮上，其原点位于刚轮的旋转中 心0 ，v 。，轴通过刚轮轮齿的齿槽中心；o 。一瓢y 。是固定在柔轮轮齿上的直角坐标系，原点 位于柔轮椭圆曲线的0 。点，x 。轴与柔轮椭圆曲线相切于0 n 点， 基于有限元分析的谐波齿轮传动变形机调研究 y a y 。轴穿过坐标系所在轮齿 的齿宽中心；o - x m 是固定 在波发生器上的直角坐标 系，它的y 。轴为椭圆长轴， 并定义： 一万瓦与y 。轴的夹角 r 项石与n 夹角： q ) - - y “与y ，的夹角； x x 器勰一三个 2 2 2 坐标系间的变换关系 由上一节所建立的模型可知，柔轮、刚轮和波发生器之间的运动关系表现为坐标系 0 - - x 。yo l m x 。yr 及o - - x 6 y n 的转换关系。 从一x 。y 。系变换到o - - x 。y 。的矩阵m m 和从o - - x c 乳变换到0 - - x a y u 的矩阵m 鲫。下面 给出的变换矩阵是 c o s s i n p s i n t , m 脚= i - s i n c o s ￥p c o s y i 2 _ 2 ) l 00 1 j c o s 吵一s i n g t p s i n o 一矿) l m 础= 1 s i n g c o s p c o s o , 一咖 ( 卜3 ) l 00 1 j 从0 一y 。系变换到o - x 。y ，的矩阵m g 和从o - - y 一变换到o - - y c 的矩阵m ，6 a 下面 给出的变换矩阵是 基于有限元分析的喈波齿轮传动变形协调研究 c o s ( f l m 鲫：l s i n p f 0 c o s o m 即：js i n p 1 0 一s i n q ，0 c 。s 口0 01 i ( 2 4 ) ( 2 5 ) 从u k 一。l t y 一糸父秧剑0 - - x , l y , 明矩阵m r h 和从0 - - xt , y h 燹换到0 , - - x l t y r 的矩阵m h 月。 下n e a 出的变换矩阵是： rc o s ( g + ) s i n ( ( + ) ps i n 吖凡2 i s n 0 f + c 。f 0 + p 。；8 f 2 6 l 1 l c o s ( g + 2 ) 一s i n ( g + )p s i n “ m 巩一2 l8 i n ( f 0 + ，c 。s c f 0 + ，一尸；。s l 2 7 ) i 1 l 3 谐波齿轮传动变形协调模型 谐波齿轮传动由于其同时参与啮合的齿对数较多及元件的弹性变形，使得其啮合状 态极为复杂。这就使得谐波齿轮传动齿间啮合力的计算复杂而困难。为了更确切、更客 观地反映谐波齿轮传动齿间啮合力分布状态，有必要对此问题加以深入研究。 2 3 1 变形仂、调条件 谐波齿轮传动的主要特点之一是多齿同时参与啮合传递载荷。谐波齿轮传动系统在 载荷的作用下，柔轮壳体扭转变形。为了便于说明问题，本文设定刚轮固定，柔轮的初 始位置作为参考位置。由于载荷和波发生器的综合作用，柔轮在力的作用下，产生一个 补偿其本身变形和轮齿变形的转角0 ，是柔轮和刚轮仍然保持啮合以传递载荷。如果柔 轮所产生的护角加大，就可以消除一定范围内的齿的间隙从而产生多齿对同时啮合。据 此可以建立如下变形协调关系。 瓯+ s 一0 0 ( 2 8 ) 哦= 厂( 只，e ，r )( k = 1 , 2 ，n ) ( 2 - - 9 ) 1_】_l o 0 1 矿妒 n 培0 s c 基于有限元分析的谐波齿轮传动变形协调研究 式中盈表示载荷引起第七齿对总的周向转角变形 矗初始侧隙( 这里用周向转角表示) 吒第女齿对间作用的法向载荷 咋第t 齿对上的接触点半径 柔轮的齿数 在( 2 - 8 ) 中引入变量。则( 2 - 8 ) 变成 坑+ 吼一p = m ( 其中m 0 ) ( 2 1 0 ) 根据接触准则认为当m = o ，该齿对已经接触。因此，所有接触齿对都有，”= 0 。 玩表示由于载荷作用引起的第女齿对的总的周向变形量，其主要有两部份组成： ( 1 ) 由于其他齿对上载荷力的作用，柔轮壳体产生圆周方向上的变形，使第对 啮合齿也随之产生移动。即法向载荷对五的影响。 ( 2 ) 由于载荷e 的作用，引起啮合齿对在啮合时产生的弹性变形量。因此式( 2 - - q ) 可以分解成两个部分： 以，= z ( 曩，e ，e ) ( 2 1 1 ) 以：= ( _ ，e ) ( 2 1 2 ) 2 3 2 平衡条件 谐波齿轮传递力矩，由于其处于平衡状态，因而每个轮齿上各个接触点的载荷所产 生的转矩之和应等于施加在该轮上的转矩m ，即 z i e “c 。s d 。：m ( u j ) ( 2 1 2 ) 式中r 第个齿对上的接触载荷 “，吼第个齿对上接触点处的半径和压力角 r ，波发生器波数 西一个承载区同时接触的齿对数 基于响限元分析的谐波齿轮传动变形协调研究 轴向载荷分布系数 2 3 3 谐波传动变形协调模型 根据协调变形条件、接触条件和平衡条件可得到谐波齿轮传动变形协调模型 2 4 模型的求解 6 n + 6k 1 + s k = 0 以。= ( e ，f 2 ，) 以：= ( ，e ) ( 2 1 3 ) 以 c o s a = m ，( 巧) 谐波齿轮接触模型含有较多的参数求解较为复杂，各参数具体的求解方法将在以后 的章节介绍。这里介绍一下求解的基本过程。 确定要分析计算的横向截面，并确定载荷系数，在本文算例取齿宽方向上的中截 面作为计算截面，并取- ，= 9 。 求出计算截面中模型( 2 1 3 ) 中所涉及到的各参数变量的大小或与载荷之间的函 数表达式。 在计算截面中，假定最小间隙齿对处于啮合状态，通过( 2 1 3 ) 式可得到护和r ， 若所得到的占大予或等于余下齿对中的空载啮合侧隙岛和由于瓦作用柔轮壳体产生周 向变形瓯，之和的最小值，则认为该齿对也处于啮合状态，记入式( 2 1 3 ) 中，从新求 解。直到啮合齿对数不再增加为止。 在求解模型时，空载的啮合侧隙吼可预先求出，但柔轮壳体的变形量吼- 和柔轮齿 啮合时的弯曲变形量瓯：与载荷有关，而我们所求的就是载荷分布，不知道载荷分布状 况是无法求出变形。为了解决这一问题，本文采用了一种逐步逼近的计算方法来求得载 荷分篙嚣墨麓到在计算中将用到有限元软件，柔轮模型又比较复杂。需要花大量时删、 荆，冥基翥鸯梨臻嚣麓嚣霎嚣冀薪耄嚣蒙又j 嚣量淼嚣蕊蒜器精力来施加约束。而每一次重新计算都要重新施加载荷。通过文献h j 知，1 皆、铍蹰托”四日 6 幕于有限元分析的谐波齿轮传动变形协调研究 为多齿啮合，啮合齿数可达3 0 , 4 0 。根据本文算例柔轮齿数是2 4 0 ，满载运行时啮合 齿数为7 2 9 6 ，。如果按照上述的方法逐齿的增加迭代，将重复迭代七、八十次，需要 耗费大量的时阍和精力，这样计算在实际的应用中是不现实的。 在本文中用先给出初始的载荷分布规律，然后用循环逼近的方法求得精确的载荷分 布。这种方法的求解过程如下： 1 确定可能的啮合齿数z ，和初始载荷分布规律。 2 根据这个规律代入到有限元程序，从而求得柔轮的周向变形量坑。 3 将以。和其他参数代入( 2 1 3 ) 中，求出新的较为精确的载苟分布规律。 4 如果此时的臼的值大于( 唧) 。，。则将该齿放入啮合齿中，执行第2 步；否则 执行第5 步。 润这个躲矧燃紫黼分械籼叫掣。融鹪z 步。 否则，执行第6 步。 6 ，输出计算结果。 ，l - ：述h 算过程中的大小由要求计算结果的精确度决定。本文的计算是将误差控制 在5 以内。 2 。5 本章小结 夯章从谐波齿轮传动机构的几何运动学关系角度出发，介绍了谐波齿轮的相对运动 规律。给出了表征其啮合关系的坐标系，以及坐标转换关系。 在这种运动规律的基础上建立了柔轮和刚轮相互啮合的柔轮协调变形模型，并给出 了相应的解法。在模型中为了得到精确豹载荷分布以及变形协调规律，充分的考虑了压 力角及啮合半径的变化，克服了以往求解载荷分布在这方面的缺陷a 基于有限元分析的谐波齿轮传动变形协调研究 图2 3 模型计算流程图 f 嘻2 3t h e f l o wc h a r to f m o d e 1 4 基于有限元分析的谐波齿轮传动变形挑调研究 3 柔轮有限元模型建立 谐波齿轮传动系统承载后，啮合载荷沿圆周呈非均匀分布，由于啮合载荷与柔轮中 性线不相切，而且柔轮本身具有较大的柔性，柔轮与波发生器之间圆周上又有大小不同 的径向间隙，所以，柔轮在载荷作用下发生周向扭转变形的同时，还要产生一定的径向 变形。因此，载荷作用下柔轮的变形情况是极其复杂的。本文选择了a n s y s 公司开发的 a n s y s 软件末进行有限元分析计算。a n s y s 程序是一一个功能强大的灵活的设计分析及优 化融结构、热、流体、电磁、声学于一体的大型通用有限元商用软件，可以广泛应用于 机械制造、土木工程、航空航天等领域。本文的主要工作是建立简化的有限元模型，选 择适当的单元类型，考虑柔轮受波发生器作用，引入强迫位移及载荷，对柔轮位移场进 行有限元分析。 3 1 有限元分析模型的建立 本文是以国产d 1 2 0 机型为例进行研究，基本结构参数如表1 所示 表3 1 谐波齿轮的基本参数 t a b l e3 - lt h ep a r a m e t e r so fh a r m o n i cg e a r ，j 具剐轮柔轮 胜力角齿数烁力角 变位系数 齿数压力角 变位系数 撕数模数m模数m 口( 。)z ea ( 6 ) x ( ，| 2 r口( 。) x 9 02 0 o5 2 4 22 04 0 l0 52 4 02 0 39 5 其柔轮基本形状如下图 由 图3 1 杯形柔轮 f 螗- 3 1c u p - - l i k ef l e x s p l m e 基于有限元分析的谐波齿轮传动变形协调研究 齿宽b r = 2 0 m m ，长度l = l o o m m ，壁厚s = o 9 m m ，柔轮材料为2 0 c r 2 n r 4 。以后各章 节讨论问题参数相同，不再重复叙述。 建立有限元分析模型主要包括实体的形成、单元类型的选择、网格划分和根据实际 工作情况确定适当的边界条件，以及所建模型是否适当对于分析结果的精度确有较大的 影响。 3 2 基本模型的建立及单元的选择 3 2 1 基本模型的建立 a n s y s 提供了强大的模型生成功能。利用这些功能，可以快速、方便地建立实际工 作系统的有限元模型由图3 一l 可以看出，柔轮属于圆柱形的薄壁壳体，形状比较规则， 可以作为薄壳处理。对于壳体单元，由于其单元性质的局限性，不可能建立一个和真实 柔轮一模一样的实体模型，因此，要在基本上不影响分析结果的基础上，对摸型进行简 化。柔轮可简化为图3 2 所示的计算模型。 图3 2 柔轮简化模型 f i g3 2 _ i h ep r e d i g e s t e df l e x s p l i n em o d e 在简化中，主要考虑以下因素： 1 以往对柔轮进行有限元分析在建模到多考虑柔轮结构的对称性而选用1 4 柔轮， 但由于柔轮本身承受载荷并不是轴对称载荷，选取i 4 柔轮建立模型在进行负载分析不 合乎实际情况，负载时不能反映整个柔轮应力分布规律，因此本文分析时取整个柔轮建 立模型。 2 ，对于柔轮底部与箱体连接的凸缘部分，出于其对壳体的危险截面部分的应力和位 移影响不大，因此将其简化为图3 - - 2 的形式，即把底部看成圆环形式，孔半径为d 4 2 。 由于所选减速器柔轮与箱体是螺栓连接，所以将圆环内缘各节点自由度完全约束。 3 图3 - 1 中齿圈部分与壳体连接处( 圆内部分) 存在过渡曲线，以壳体元来表示比 较复杂，因此本文忽略柔轮壳体厚度的变化，将柔轮壁假设为均匀等厚的圆筒，长度取 1 ，厚度取h 。 轼于有限元分析的谐波齿轮传动变形协渊研究 4 整个计算模型由两种厚度组成，齿圈等效光滑圆环部分和其余部分。根据文献， 圆环的抗弯刚度约为齿根处光滑环抗弯刚度的1 6 7 倍。又因为圆环抗弯刚度与壁厚的 三次方成正比，所以，等效光滑圆环的壁厚应为齿根处壁厚的j n i 扛1 1 8 6 倍，本文等 效部分壁厚为i 1 8 6 1 3 = 1 5 m m 。 3 2 2 单元的选择 一般来说，单元的类型和种类的选择依赖于结构或总体求解域的几何特征、方程的 类型及求解所希望的精确程度等因素。 由图3 一l 可以看出，柔轮属于圆柱形的薄壁体，形状比较规则，可以作为薄壳处 理。根据所提供的结构分析的单元形式，板壳元s h e l l 。6 3 是一种简单灵活的单元，可以 存空间任意方位很好的描述壳体的几何特性，精度较高，单元问满足协调变形关系，能 很好的收敛到真实解上。此外，这种单元处理过渡、交接问题的能力很强。因此，本文 选择板壳元s h e l l 6 3 作为文中有限元分析的主要单元形式。 a n s y s 程序提供了几种不同的网格划分器，对于几何模型在形状上的不同特点，选择不 同的网格划分器，可以得到比较好的效果。根据柔轮模型的形状，本文选用映射网格划 分单元，单元形状为四边形单元“q u a d ”。 图3 3 是网格划分后的有限元模型。 图3 3 柔轮有限元分析模型 f i g 3 - - 3t h em o d e lo ff t e x s p li n e f o rf i n i t ee l e m e n t 6 7 2 0 个单元 6 9 6 0 个节点 基于有限冗