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一维非线性光子晶体二次谐波产生的研究 专业：光学 硕士生：郝玉霞 指导教师：郑锡光副教授 摘要 非线性光子晶体由于其独特的光学特性，已经开始成为一个热门的研究课题。 本论文主要对一维非线性周期结构的光子晶体和一维含非线性缺陷光子晶体的光学 特性进行理论研究。主要包括以下两个方面的内容： 首先，以转移矩阵的方法研究了典型一维非线性周期光子晶体结构的线性光学 特性，分析了其透射光谱的特性，并计算出结构相应的模密度。研究发现透射谱与 模密度变化趋势近乎一致。我们选择摹频光位于第一禁带低频带边透射率最大群速 度最小处，相应的倍频光落在第二禁带高频带边，群速度较大处。用转移矩阵和有 效界面法，我们研究了皮秒激光脉冲在一维非线性周期结构中二次谐波的倍频转化 效率，并分别研究了当脉冲峰值强度的强度厶、脉宽r 、结构周期数n 变化时对倍 频转化效率的影响。 其次，我们同样用同样的方法研究了一维含非线性缺陷的光子晶体的光学特性。 发现在其透射谱第一、第二禁带中分别出现了尖而细的透射峰。由于缺陷处场强会 显著增强，且结构的色散谱显示此处的群速度极小，我们把基频光频率调至第一禁 带中的透射峰t = i 处，相应的倍频光落在第二禁带高频带边。研究结果发现，二次 谐波的转化效率可高达5 0 。 本论文研究结果表明，上述两种不同结构的一维非线性光子晶体，因为其较高 的倍频转化效率及可调性，在高能激光、r a m a n 激光以及频率转换的实现上有着非 常重要的应用。 关键词：一维非线性光子晶体，二次谐波倍频转化效率，转移矩阵，有效界面法， 透射谱 s e c o n d h a r m o n i cg e n e r a t i o ni nn o n l i n e a r o n e d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a ls t r u c t u r e s m a j o r ：o p t i c s n a m e ：y u x i ah a o s u p e r v i s o r ：x i g u a n gz h e n g a b s t r a c t n o n l i n e a rp h o t o n i cc r y s t a ls t r u c t u r e sh a v el e a dt oam u c hr i c h e ra n dm o r e c o m p l e x o p t i c a lr e s p o n s e m u c hi n t e r e s th a sb e e ng i v e nt op e r i o d i cn o n l i n e a rp h o t o n i cc r y s t a l s 伊h c s ) r e c e n t l y f i r s t ，w es t u d yt h et r a n s m i s s i o ns p e c t r ao fn o n l i n e a ro n e - d i m e n s i o n a lp e r i o d i c s t r u c t u r eb ym e a n so f t r a n s f e rm a t r i xm e t h o d w ea l s oc o n s i d e rt h em o d ed e n s i t yo f t h e s t r u c t u r e i no r d e rt o s t u d yt h e o r e t i c a l l yt h em e c h a n i s mo fs e c o n d h a r m o n i c ( s h ) g e n e r a t i o ni no u rs y s t e m ，t h ep u m pi st u n e da tt h el o w - f r e q u e n c yb a n d - e d g et r a n s m i s s i o n r e s o n a n c e ，a n dt h es hs i g n a lc o i n c i d e si st u n e da w a yf r o mt h es e c o n d - o r d e r , h i g h - f r e q u e n c yb a n de d g e w ea n a l y z et h ef e a t u r e so f t h es t r u c t u r ea n dt h ef a c t o r st h a te f f e c t e n e r g yo u t p u ta n dc o n v e r s i o ne f f i c i e n c i e su s i n gt h et r a n s f e r - m a t r i xm e t h o da n ds m i t h m e t h o d s e c o n d l y w ei n v e s t i g a t et h es h gp r o b l e mu s i n gt h es a m em e t h o da n df i n do u tt h e d e f e c t i v ep ce x h i b i t sam a x i m u mt r a n s m i t t a n c e ，o n es h a r pp e a kw i t h i nt h ef i r s ta n d s e c o n db a n dg a p s w ec h o o s et h ec a r r i e rf r e q u e n c yo ft h ei n c i d e n tp u m pp u l s ea tt h e s h a r pp e a kw i t h i nt h ef i r s tb a n dg a p t h er e s u l t ss h o wt h a tc o n v e r s i o ne f f i c i e n c yc a n a c h i e v en e a r l y5 0 t h em s u l t sc a nb eu s e di n m a n ya p p l i c a t i o n s s u c ha s f r e q u e n c yu p a n d d o w n - c o n v e r s i o nl a s e r s ，h i i g h e ra n dl o w e rh a r m o n i cg e n e r a t i o n ，a n dr a m a n - t y p el a s e r se t a 1 k e y w o r d s ：n o n l i n e a ro n e d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l ，s e c o n d h a r m o n i c ( s h ) c o n v e r s i o ne f f i c i e n c y , t r a n s f e rm a t r i xm e t h o d ，s m i t hm e t h o d 第1 章绪论 光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a l ) 是由折射率不同的介质在空间周期性分布而形成 的结构。光子晶体的研究属于光学与凝聚态物理学交叉的新领域，是近年来应用物 理学的热门研究课题之一科技界普遍认为，在不久的将来，光子晶体将取代大多 数传统光学器件而引起光学、光电子学、信息科学领域中的一场革命。 i i 光子晶体 1 1 1 光子晶体的概念和基本特性 光子晶体的最基本特征是光子带隙( p h o t o n i cb a n dg a p ，p b g ) ，频率落在带隙中 的电磁波是无法传播的。1 9 4 6 年p u r c e l l 首次提出利用平面镜以大幅度改善电磁二 极管( e l e c t r o m a g n e t i cd i p o l e ) 的发光特性，该想法在随后若干年得到了广泛而深 入的研究，并导致了“光子晶体”这个概念的产生。 1 9 8 7 年y a b l o n o v i t c h 和j o h n 分别独立提出光子晶体的概念【1 2 】。y a b l o n o v i t c h 的目的是控制材料的自发辐射特性，而j o h n 则着眼于光子在无序介质中的局域化效 应但他们的思想都来自电磁波理论中的m a x w e l l 方程与量子力学中的s c h r o d i n g e r 方程之间以及光子和电子之间的类比。根据固体量子力学理论，在半导体材料中， 原子排列形成的晶格结构所产生的周期势影响着其中电子的运动行为，电子将形成 带隙结构。电子的运动满足如下s c h r 6 d i n g e r 方程： i 一砉v 2 + v ( r ) 卜村岬， 心- ， 其中l 王，( r ) 和e 分别为电子的波函数与本征能量，v ( r ) 为作用于电子的势函数，m 为电子的质量， 为p l a n c k 常数。而在电磁波介质中，光子的运动满足如下m a x w e l l 方程： 乳【赤v x h ( r ) 愕即， z ， l 占( r )i c 2 + 其中h ( r ) 和国分别为磁场强度与电磁波本征角频率，8 ( r ) 为介电函数，c 为真空中 的光速。这两个方程之间的相似性表明，在光子晶体中，介电函数s ( r ) 在空间上的 周期性分布将会对光子产生类似于半导体中周期势v ( r 1 对电子运动的影响，因而形 成光子带隙结构，出现了光子禁带。 实际上，已经应用数十年之久的b r a g g 反射镜其实就是一种一维光子晶体，即 介电函数沿一个方向用期性分布：而全介质f a b r y p e r o t 滤光片实际上是一种含缺陷 的一维光子晶体，其间隔层即为缺陷层。光子晶体概念的提出使人们对多层膜的认 识更加深刻。 如果介电函数沿空间两个或三个不同方向周期性地分布，则形成二维或三维光 子晶体。在二维或三维光子晶体中，在合适条件下可形成完全光子带隙，即一定频 率的光沿任何方向都禁止在晶体中传播。无论一维、二维或三维光子晶体，其中电 磁波模式的态密度分布都按一定规律被极大改变，并可出现群速度反常现象，导致 某些非线性光学现象可能被数量级地增强。电磁波模式的态密度分布与群速度反常 是光子晶体的另一重要特性。 当光子晶体中引入缺陷时，在光子带隙中可能出现允许传播的所谓局域模( 或 称缺陷模) 。缺陷模具有极高的态密度和独特的传播性质。利用缺陷模独特的传播 性质，可研制出高效率的新颖的光波导以及其他光学器件。 1 1 2 光子晶体的制作 在实际的应用中，人们希望得到具有较宽完全光子带隙的光子晶体材料。然而， 自然界中的光子晶体很少，绝大多数光子晶体都是人工制造出来的。自光子晶体概 念提出后，经过不断的探索，如今，人们已经提出了许多制造光子晶体的方法。下 面介绍制造光子晶体的几种常用方法： 精密加工方法利用了成熟的工业技术，是一种比较稳定可靠的方法。自光子 晶体概念提出后，人们对是否存在具有完全带隙的三维光子晶体颇多猜疑，直到 1 9 9 0 年k m h o ，c t c h a r t 和c m s o u k o u l i s 等从理论上证实了第一个具有完全 禁带的三维光子晶体金刚石结构 3 1 。1 9 9 1 年，y a b l o n o v i t c h 等【4 1 采用精密机械 钻孔的方法制作出第一个光子晶体，其结构具有金刚石结构的对称性，具有位于微 波波段l o 1 3 g h z 的光子带隙。另外，还有来自半导体微电子工业技术，即利用微 刻蚀技术，包括光刻蚀术、电子束刻蚀术、反应离子柬刻蚀术等半导体精密加工技 术。利用这些技术，可以比较容易地大量制作二维的光子晶体，其带隙可直至红外 和可见光波段。但是这种方法的工艺流程比较复杂，且造价昂贵。 胶体颗粒自组织生长方法由于三维的胶体晶体在近红外及可见光波长尺度 有较好的长程周期性，人们已开始利用胶体颗粒悬浮液的自组织特性来制备光子晶 体。所使用颗粒的大小一般为微米或亚微米量级，能悬浮于液体中。由于颗粒带电， 其表面所带电荷之间的静电作用使这些悬浮颗粒之间有短程的排斥相互作用以及长 程的v a i ld e rw a a l s 吸引力。经过一段时间，悬浮的胶体颗粒会自动按容器形状，从 无序的结构相变成有序的晶状结构( 称蛋白石，o p a l ) 这种方法可以用来制造近红 外和可见光波段的光子晶体【5 7 】。 光全息方法用多束光相干可在空间形成驻波图案( 光学晶格) ，通过改变光 束的数量以及光束之间的夹角与偏振方向，相干图案也发生变化，而且图案相干极 大的间距和相干光的波长有相同量级，微粒在这样的干涉图案下将形成类似的空间 分布。因此，控制光的干涉即能得到具有不同空间结构的光子晶体【8 1 ，现已能够制 备全带隙的二维光子晶体【9 】以及三维光子晶体模板【1 0 】。 1 1 3 光子晶体的应用 以下简要介绍应用光子晶体所制作出的一些高性能器件nl - 2 0 ： 基于光子晶体具有光子带隙的特性，可制造出各种高效和新颖的光学器件。如低 阈值的激光器、宽带带阻滤波器、新型陀螺仪、高效率的发光二极管以及低损耗的 反射镜等。 利用掺杂光子晶体中的光子缺陷态可以制造高品质因数的微谐振腔、极窄带的 选频滤波器和低损耗的光波导等器件。 另外，人们采用非线性介电材料在空间中周期性排列得到非线性光子晶体，其应 用前景也十分诱人，如制造非线性光子晶体限幅器、光子存储器、光子开关，甚至 是光子计算机。 总之，光子晶体己成为光学与材料科学中理论和实验研究的一个热门领域，并已 出现许多基于光子晶体独特性质的重要应用。作为一类新型的光学材料，光子晶体 的潜在功能有多大还不清楚，对它的研究还有很多工作要做，但由于光子晶体的特殊 性能，它必将有广阔的应用前景。光子晶体的出现对未来光电子产业的发展将产生 深远的影响。 1 2 非线性光子晶体的概念和性质 人类社会对信息容量和带宽的需求呈现加速增长的趋势，但目前的电子交换和 信息处理网络的发展已经接近电子速率的极限。为了解决电子瓶颈限制问题，已开 始在交换系统中引入光子技术，实现光交换、光交叉连接( o x c ) 和光分叉复用 ( o a d m ) ，即全光通信系统，其中的主要关键技术和器件都涉及到大量的非线性光 学和超快响应研究，如多波长激光发射的变频、孤子源 2 8 3 2 1 、高速光学调制器、 全光学开关、光学双稳态( o p t i c a lb i s t a b i l i t y ) 【3 3 - 3 4 1 、拉曼放大器、在光纤传输中 产生的多种非线性光学效应( 如受激拉曼散射s r s 与受激布里渊散射s b s ) 以及快 响应的光电接收器等。然而，主要的问题仍然是缺乏高非线性、低吸收、高损伤阈 值、响应足够快速的非线性光学介质材料及其结构 2 2 2 7 1 。以非线性光学介质组成 的非线性光子晶体是有希望满足所有这些基本性能要求的极佳选择。 在非线性光学介质中，电极化强度p 与场强e 之间已不再是简单的线性关系， 还含有二次、三次等非线性关系，如下式表示： 波动方程为： p ：s o z ( 1 ) e + s o z ( 2 ：e e + 6 0 z ( 3 ) i e e e + ( 1 - 3 ) v 2 e 一懈m 雾确可a 2 p n l ( 1 - 4 ) 在非线性光子晶体中，不仅线性介电函数或折射率被周期性调制，而且非线性 4 源也被周期性调制，从而产生不同于传统非线性光学介质中的一些性质和现象，如 准相位匹配( q p m ) 等。同时，由于结构共振效应和场局域化效应，电磁波模式的态 密度与群速度也被显著调制。这导致某些非线性光学效应可能被显著抑制、而另一 些非线性光学效应可能被显著增强，形成非线性光学效应选择性的一种新机制。因 此，在非线性光子晶体中将可能出现许多新的光学现象、效应和应用。 另一方面，利用非线性光学效应也可以对光子晶体的能带结构进行调制，例子 之一是k e r r 非线性光子晶体。一般情况下，光子晶体组成材料的介电函数或折射率 为常数，带隙的位置和宽度是固定的。而在k e r r 非线性材料中，介电函数为 占：“l 圳e ( z ) l z 】 1 - 5 其中五为k e r r 系数，波动方程为， 筹柑( 1 圳耶) e _ 0 ( 1 4 - 4 ) 通过改变光的强度，可以改变材料的介电函数，从而改变光子晶体的能带。近年来 利用光子带隙性质实现二阶非线性过程成为一个热门的研究课题。 二次谐波的产生与增强相位匹配是获得较高的频率转化效率中一个十分重 要的因素，对于各向异性双折射晶体，如z _ f n b o , 或朋：，0 4 ( k d p ) ，可利用双 折射特性来补偿晶体的色散，以达到相位匹配的目的。1 9 7 0 年，n b l o e m b e r g e n 与 a j s i e v e r s 首次研究了非线性周期结构中的二次谐波产生( s h g ) f t f l 增强 3 6 】。准相位 匹配( q p m ) 的概念的提出了为满足相位匹配条件增加了另一新的调节参数：对于沿z 方向分布的一维周期性介质，其二阶非线性极化率可在其倒格子空间展开为傅立叶 级数的形式， z 2 ( z ) = 露卜e 州2 州舢。( 1 - 6 ) 当相位匹配条件不满足时，可利用倒格矢来补偿波矢失配，即准相位匹配： t = k ：( 2 c o ) 一2 k , ( c o ) 瓯= 0 ( 1 7 ) 其中g 。为倒格矢，a 为周期。g 卅= 肌= 2 ( m = o ，土l ，垃，3 ) 。三是z 方向 l 的单位矢量。这一想法具有重要意义并引起了人们的极大兴趣。1 9 7 6 年j p v a nd e r z i e l 与m i l e g e m s 首次在实验上测得1 7 层l 4 波长g a a s a l x g a l x a s 结构的反射光 中二次谐波的产生 3 5 1 。从此，理论和试验上研究一维非线性光子晶体中二次谐波 的产生和增强成为一个新的热点课题 3 7 - 4 3 1 。2 0 0 2 年，c o w a n 和y o u n g 数值模拟 结果表明，二次谐波转化效率可增大至6 个数量级 4 4 】。之后，j t o r r e s 和d c o q u i l l a t 等人从试验上证明在一维g a n 光子晶体中，当强的基频场和相位匹配条件同时具备 时产生的二次谐波强度要比块材大5 0 0 0 倍【4 5 】。对于典型的周期结构【3 7 】，在相位 匹配条件不满足的情况下，引入材料色散可将基频波和二次谐波分别调至第一、第 二带隙的带边位置( 如图1 1 ) 。引入色散从理论计算的角度很容易实现，但从制作 的角度却非常的困难。科研工作者发现，光子晶体带隙结构及特性能够通过调节结 构周期数、介质层厚度、材料色散实现基频光和二次谐波的调节。由于在一维光子 晶体带隙两边光子的态密度很高，因此可提高二次谐波产生的效率，这就是所谓的 双共振二次谐波产生。 如果在一维非线性光子晶体中引入缺陷【2 l 】，发现在这种缺陷结构的谱线的带 隙中分别出现了尖而细的透射峰( 如图1 2 ) 晶体中的光子态密度更集中于缺陷层 中( 如图1 - 3 ) 。如果把五m 和五w 分别调至相应缺陷位置，发现二次谐波的转化效率 得到大幅度地提高。因此，可以用长度仅为几个微米的简单非线性光子晶体结构来 替代m m 或c n l 量级长度的准相位匹配装置。这在高能激光、r a m a n 激光以及频率 转换的实现上有着非常重要的应用3 7 。 6 i p u ps 村i 吨_渺 图i l 一维a b 周期排列的光子晶体的透射谱( 考虑材料的色散) 。周 期n - - - 2 0 ，折射率啊= l ，n 2 = 1 4 2 9 5 7 ，a b 层厚度分别为 u - - - , 4 1 u ( 4 h ) ，b = a , ( 2 n 2 ) ，中心波长凡= l 坍，其中q = t o o d o 。 图l - 2 一维含缺陷结构光子晶体的透射谱。 zx薹zll 囊罨墨霹鼍静茎 一 尊2 0 j _ - 1 0 o 1 一 誓8 0 一艟 0 x f r o ) 图1 - 3 缺陷处慕频和二次谐波场分布。 1 3 本论文的研究内容 本论文的研究工作主要包括两部分内容：第一部分是关于一维非线性周期结构 光子晶体的二次谐波倍频转化效率的研究；第二部分研究了含一层非线性缺陷层一 维光子晶体的二次谐波倍频转化效率的研究。 1 3 1 一维非线性周期结构光子晶体的二次谐波转化特性的研究 一维非线性周期结构光子晶体中二次谐波的产生和增强机制由于其具有潜在 的应用背景，因而备受科研工作者的关注。我们对1 4 波长的一维周期结构非线性 光予晶体中二次谐波的产生进行了研究。内容包括： 1 ) 在做合理近似和考虑初始边界条件下导出倍频转化解析公式。 2 ) 研究了一维非线性周期结构光子晶体的透射谱和电磁模密度分布。 3 ) 计算并讨论了结构的周期数n 、入射脉冲的峰值强度厶、及入射脉冲宽度f 0 的变 化对二次谐波转化效率的影响。 4 ) 分别研究了基频光分别调至第一禁带高频带边或远离低频带边时对二次谐波转 化效率的影响。 1 3 2 含非线性缺陷层的一维光子晶体的二次谐波转化特性的研究 在周期结构中引入缺陷结构，会在带隙中出现态密度很高的局域模。研究发现， 当引入非线性缺陷层时，在局域模频率下，电场强度被局域在非线性缺陷层附近， 在远离缺陷层的区域，场强迅速衰减。基于这种特性，我们研究了含非线性缺陷的 一维光子晶体二次谐波转化效率并对其应用于器件设计进行初步探讨。具体内容包 括： 1 ) 在做合理近似和考虑初始边界条件下导出倍频转化解析公式。 2 ) 研究了中间含一层非线性缺陷结构光子晶体的透射谱和色散谱。 3 ) 计算并讨论了结构的周期数n 、入射脉冲的峰值强度厶、及入射脉冲宽度的变 化对二次谐波转化效率的影响。 4 ) 研究了非线性缺陷层折射率吃的变化对二次谐波转化效率的影响。 利用光子带隙性质实现二阶非线性过程已经成为一个热门的研究课题目前正受 到各国科研工作者越来越多的重视。本论文开展上述几个方面的研究将有助于理解 光与物质的相互作用机制，并为实际的器件设计做前期铺垫，这在基础研究和实际 应用中都具有一定的意义。 本学位论文共分5 章，除了本章之外，其余部分安排如下：第2 章叙述光子晶体 光学性质的计算方法：第3 章描述一维非线性周期结构二次谐波倍频转化效率方面的 研究结果；第4 章描述一维含非线性缺陷光子晶体二次谐波倍频转化方面研究结果； 第5 章为总结与展望。 9 第2 章一维非线性光子晶体特性的计算方法 非线性光学的发展丰富了光子晶体的研究内容，非线性光子晶体中出现了许多 新的光学现象、效应，如光子的频率转换、带隙孤子、双稳态、多稳态和光学限制 等特性【4 6 】，这在光学数字技术中有很重要的应用，可用于光学逻辑元件、存储元 件及光学晶体管等 4 6 - 4 9 。在本章中，我们用转移矩阵法推导出了一维非线性光子 晶体中基频和倍频光的透射率，介绍了一维周期结构中电磁模密度的理论方法及倍 频转换公式，并引入了有效界面法用于计算一维非线性光子晶体。 2 1 一维非线性光子晶体的透射率 2 1 1 特征矩阵 我们首先考虑光垂直入射到介质a 的情况，如图2 1 所示 4 9 5 1 。 图2 - 1 垂直入射时的电磁矢量图。 我们规定入射波、反射波、透射波电矢量的正方向都是垂直纸面向外，则e 和 h 两者都平行于界面，并且在界面两侧他们都是连续的。我们分别用露、蓐表示 在入射介质中正向行进和负向行进的两种波。假设界面两侧均为各向同性均匀介质， 其界面处无表面电荷或表面电流，且是非磁性以= 1 。在界面上利用边界条件，有： 1 0 e o = 懿+ e i = e ， 风：( g 一蓐) ：野。e ：也 ( 2 _ 1 ) 其中，r o 仇为有效导纳。对于倾斜入射的情况，玎不仅和入射角有关，而且还和e 与h 相对于入射平面的方位有关。我们将电磁矢量e 和h 分解为两个相瓦独立的 分量，一个分量的电磁振动方向位于入射平面内，这个方向的电磁矢量我们称之为 t m 波( 横磁波) ，又称为p 偏振或p 分量；另一个分量的电磁振动方向垂直于入射 平面，这个方向的电磁矢量我们称之为t e 波，又称s 偏振或s 分量。如图2 - 2 。 图2 - 2 倾斜入射时的电磁矢量图。 这时对应的光学导纳可表示为： ，7 。= n c os 臼 刁，= nc os0 卜而( 铂占+ c ) ( 叩。占+ c ) ( 2 - 2 ) 式中n 为介质的折射率，0 为光波在此介质中与界面法线的夹角。 下面我们再考虑光通过单层介质膜a 的情况。单层薄膜的两个界面在数学上可 用一个等效的界面来表示，见2 3 图。在界面l 处，应用e 和h 在界面两侧连续的 边界条件： e o = e o + 岳= + 1 - i o = 埘+ 蛎= 仉( 昂一瓦) 圮畸 2 图2 3 单层薄膜的等效界面的示意图。 ( 2 3 ) 对于另一界面2 上具有相同坐标的点，只要改变波的位相因子，就可以确定它 们在同一瞬时的状况。正向行进的波的位相因子应乘以e - t s s ，而负向行进波的位相 因子应乘以p 吨。其中， 疋- 2 五rn 。d 。c 。s o o ( 2 4 ) 所以，式( 2 - 3 ) 可写为： e o = 扩+ e 峨 n o = r l o ( e 杰e 峨一p 一峨) 用矩阵的形式可表示为： 剐篡峨篡墟 ( 2 - 6 ) ( 2 7 ) 5 2( 以 峨 p p + n 一 e e = = + 他一坨 e e 即 在基片中没有负向行进的波，于是在界面2 处应用边界条件： 写成矩阵的形式： 岛= + e l i 吼= 仇( 一) 将此式代入( 2 7 ) 式，得 单层薄膜a 的特征矩阵为 m o = 1 上 22 0 11 2 2 r 二s i n 瓯 c 0 s 以r o n ls i n a o c o s 8 , 1 2 r o 1 2 r ( 2 8 ) ( 2 - 9 ) ( 2 1 0 ) 吼 上硫上观 + 一 疋 易 一2，一2 = = f 。 比 因 盯i i i i i 儿 一 哪 矗 少 秘 ，l0 昂 风 幽 噙 ，一仇 乞 咖 s l 鲫 魄 t 包含了薄膜a 的全部有用的参数，其中： 仉= 虬c o s e 。- ( p 分量) 1 仇：虬c o s 见一( s 分量) ( 2 - 1 1 ) 对于含有多层介质膜的膜系结构，由于各界面的切向分量连续，所以经过线性变换， 可得膜系的转移矩阵为： m = m t m 2 m i mn 其中，m j 为第j 层介质的转移矩阵在入射界面和透射的最后界面处有： 于是， h o = k e o 日 ，+ l2 暂。e 。 ( 2 1 2 ) 岛卧啦h 令卧也帐m l l 。z 膜系的透射率为： 丁= 丽 由矩阵的理论可推得： ( 2 - 1 3 ) ( 2 1 4 ) r = i = _ 墨譬可 ( 2 ) i r o ( m l l + ，咒1 2 7 r “) + 脚2 1 + 印+ l l 2 2 一维周期结构光子晶体电磁模密度的计算 l 在一维光予晶体中，电磁模密度( d o m ) n - 定义为 5 2 】： p ( c 0 1 = 如d o ( 2 1 6 ) 其中，k = k ( c o ) 为色散关系式。我们用传输矩阵和一维散射理论【5 3 】推导出一维光子 晶体的透射系数和透射率，进一步求出p ( c o ) 的解析表达式。先来看一下一个单位振 幅电磁波从左边垂直入射到一维光子晶体的一个基本周期中的情况，假设在x = 0 处 的相位为零，透射波振幅为t ( u ) ，d 为一个周期的物理长度。 1 t _ _ r ab o | e - 一 一 图2 - 4 光在一维光子晶体的一个周期中的传播。 定义复透射系数为： t ：x + i y ：元一 t a n = y x ( 2 1 7 ) 透射率t = t t ，x 、y 分别表示t 的实部和虚部。西为光通过一个周期后的相位 变化，可写成k d ，k 为光在介质中的波数。色散关系为 t a n k d = y ( o ) x ( o ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 8 ) 式对国微分，并利用t a n 2 0 + 1 = s e c 2 口，可得： p ( c o ) = d k d c o = ( y x x y ) d ( x 2 + y 2 ) ( 2 1 9 ) 由以上推导可知，只要求出介质透射系数的实部和虚部，根据( 2 1 9 ) 便可得到结 构的e d o m ，以上推导同样适用于n 个周期的情况。 由图2 - 4 可知，单个基本周期结构的传输矩阵为【5 3 】： 1 f，f 肛km i lj ( 2 - 2 0 ) 通过引入无限多个这种基本周期单元组成介质材料的b l o c h 函数鳓和b l o c h 位相b ， 利用c a y l e y - h 锄i l t o n 定理【5 4 】知n 个周期一维光子晶体的传输矩阵为： m ”= m s i n n f l s i n f l i s i n ( n 1 ) f l s i n p ( 2 - 2 2 ) = 1 g 知4 4 1 t * ni c z 矧 l ，i 11s i n n f l s i n ( n - 1 ) p 一= = - - - - - - - - - - - - - - 一 t n t s i n f l s i n8 盈：一r s i n n f l t n ts i n8 ( 2 - 2 4 ) 这样便可求出t r ，的实部。k 和虚部珞。n 个周期一维光予晶体的透射系数可写为： t ，s n = x ，s n + i y ，s n = 尿4 嘴*nn、n 联立( 2 - 2 1 ) 。( 2 - 1 7 ) 和( 2 - 2 4 ) ： ( 2 - 2 5 ) yx s i n n f l s i n 一( x 2 + y 2 ) s i n s i n ( n 1 ) “ s i n 2n p 一2 x s i n n f l s i n ( n 一1 ) f l + ( x 2 + j ，2 ) s i n 2 ( 一1 ) ，一! ! ! 璺丝生! ! 里生 2 - 2 6 “s i n 2 n p 一2 x s i n n f l s i n ( n 1 ) f l + ( x 2 + y 2 ) s i n 2 ( 一1 ) 1 6 令z = 姜删。= k u d = t 锄- l ( 剐，因此 n = d d k 印n = 面1d d t a n 一1 ( 乙) = 石1 雨z i _ , ( 2 - 2 7 ) 其中d = n d ，磊表示z i 。对功的微分。 引进参数 ，y s i n n f l 么”2 x s i n n i l - ( x 2 + y 2 ) s i n ( n - 1 ) f l ( 2 - 2 8 ) 善= x t r l = y t 再由( 2 2 1 ) ，可将式( 2 2 8 ) 化简为： 因此 z v = z t a n g f l c o t f l ( 2 2 9 ) ( 2 2 9 * ) t a n e p = t a n ( k d ) = z = z t a n n f l c o t f l ( 2 3 0 ) 其中，z = x 】，。 由( 2 2 7 ) 和( 2 - 2 9 ) ： p m21 ( 1 2 ) s i n ( 2 ) s i n f l r l 。+ 1 7 菇( 1 一手2 ) 卜刁f ( 1 一手2 ) dc o s 2n f l + 行2 s i n ( n f l ) s i n f l 2 式( 2 3 1 ) 使用于任何一种折射率随空间变化的周期结构。 2 2 1 九4 周期结构的一维光子晶体的d o m ( 2 3 1 ) 由a ，b 介质层交替周期排列组成的一维光子晶体，对应的折射率分别为m ， 物理厚度为口，b ，为中心波长凡对应的频率。 1 7 俨咖鲁= 盖 ( 2 - 3 2 ) 由( 2 3 1 ) 式可知，要求出凡4 结构的一维光子晶体的d o m 肌，必须先求出 六善。，仍r ，c o s 等参数。对于任意两层介质组成的一个基本周期单元，且基本周期 的透射率t e t t 则有，复透射系数【5 2 】： ，= 黪e 协s ， l 一冠，“g “_ j “ 根据( 2 2 9 ) ， 其中， z ：t ，竺蔓上上业二羔1 21111 旦：望! “ 1 2r 12 c0s2q + r 2 ， y ：n 堕丛旦_ 盟二量_ 生生生卫 “ 1 2r ，c0s2q + r 。 r2 卜_ 1 2r 了慧2 两qr2一 i2c0s + l2 善= r l = z 1 2 = 编= 而4 n l n 2 r i ：= ( ，i ：) 2 = 江兰) 2 r 6 + n 2 p 2 n l a c o l c q = 6 国c ( 2 3 3 ， ( 2 3 4 ) ( 2 - 3 3 ) 、( 2 - 3 4 ) 、( 2 3 4 ) 对任意一维周期结构的光子晶体的基本周期都适用。 因为互2 + r i 2 = 1 ，由( 2 - 3 3 ) 可得九4 结构的一个基本周期透射系数的实部 和虚部： 式中万= 缈，有 根据( 2 2 9 ) x m = 五z 函币c o s z 丽m - r 1 2 “l 一2 尺。c o s 石万十足2 4=正：而丽sin；war 2 彤 “1 2 r ，c o s 石万+ 冠，2 叮 “= k = 下 (236)12 r 一1 2c o s 7 窃r + 残 一 c o s 蹦= 警 s i n 舾 刁2 1 f f 。：一三! ! 里翌 。 五2 弘瓦1 -1 2 ( 2 3 7 ) 把( 2 3 7 ) 代入( 2 3 1 ) ，即可求出含有n 个周期矗4 结构的一维光子晶体的d o m 。 通常我们用v ”肌使肌在数值上规一化，v l r u l k = ( c 2 ) i n 1 + l n 2 。 2 2 2 矗4 九2 周期结构的一维光子晶体的d o m 现在我们再来讨论一下矗4 一凡2 周期结构的一维光子晶体的办的表示方法。 首先，( 2 3 2 ) 可改写为： 1 9 同样可得出： 万c 2 ( o o 石c 缈0 c os ( 孥) 一r 1 2 c o s ( 竿) z , i , 14 - + i + 12 。t iz1 了矗百荔了才 s i n ( 芝 ) + r 1 2 s i n ( - ”- - i - - ) l 。川。：t 了矗了蕊乏石了意一 一 r ： 1 - ，一- ，z 2i 1 ：。j i j i i l ：。：i ；。：。：i ：；。；。可 j ，4 一“，2 一 j 7j 。，4 o ，2 = 气+ 。：= 盖：! 兰兰：圭：! 兰! 一： ( 2 3 2 * ) ( 2 3 7 * ) 将( 2 - 3 7 。) 代入( 2 3 1 ) ，即可求出含有n 惝 2 0 4 - 凡2 结构的一维光子晶体 的m 2 3 光在非线性介质层中的倍频转化公式 图2 5 光学二次谐波的产生。 = = 厶| 寸厶丁 = = 口 6 栉 一 璺 竽 频率为m 的单色基频光( f w ) 通过非线性介质层，这里我们只考虑频率为2 的倍频光( s h ) 的产生。在不考虑介质吸收的情况下，运用振幅空间慢变化近似， 即曼：娶生“女笔掣，基频光和倍频光相互的祸合波方程可表示为【5 5 1 ： ox一0 x i 冬堕= f 鲁，驰) e 胁拙 l ( z zc 即l 掣= ，去删p q 。 假设相位匹配条件成立，即龇= 0 ，初始边界条件为e 。( o ) o ，e 3 ( o ) = 0 ： ( 1 ) 若相瓦作用长度比较短，且倍频转化效率比较低，不考虑基频光的损耗时： f 蜀( x ) = 巨( o ) 1e 2 ( x ) ：i o 竺l 2 留( o 讧 2 。3 9 + l “匕 ( 2 ) 有一定相互作用长度，倍频转化效率较高时，基频光损耗较大，不可忽略： i 互= 互( o ) s e e n a x ) 1 易：f 而巨( 0 ) t a l l 以删 ( 2 。3 鲈” 鼽口= 舞串咿羔即， 光强和其复振幅的关系( x ) = c 。e 0 7 1e ( x ) 1 2 2 ，f _ 1 ，2 。定义光倍频转 化效率： r = ，2 ( z ) “0 ) ( 2 - 4 0 ) 2 , 4 有效界面法( s m i t hm e t h o d ) 对于光在多层介质膜中的传播用如图2 6 ( a ) 所示的有效界面法【5l 】来分析。这种 方法的思想是使选定的膜层从膜系中分离出来，整个膜系组合可以用两个有效界面 表示。所以我们只须考虑光在一个单层膜中的多次反射，就可推广得出整个膜系的 特性。而光在单层介质膜中的传播特性可参见图2 6 ( b ) 。光从入射界面进入膜层内， 在入射界面和透射界面相继多次反射和透射，我们对各部分的反射和透射光求和就 得到反射波和透射波的合振幅。 、 7 l 、 7 - k ， 尹、 图2 6 ( a ) 有效界面法示意图。 1 虱2 - 6 ( b ) 单层介质膜中光的传播示意图。 2 5 含缺陷一维非线性光子晶体的模式色散关系 考虑如1 虱2 - 2 所示的含缺陷一维光子晶体结构 6 1 - 6 5 ：周期交替排列的两种介质 层a 和b 中间植入缺陷层d 。多介质层结构的生长方向为z 轴，每一介质层位于x y 平面。 假设入射面为y z 平面，缺陷层两边为对称结构( 如图2 - 2 所示) 。周期排列层a 、b 和 缺陷层d 的厚度分别为、和；介电常数分别为岛，毛和白；磁导率分别为 以，总和心；由此可求得相应的折射率，和n d ；层a 和b 的排列周期为w ，且 = 睨+ 。假定平面波以入射角度占入射。研究时考虑由互相正交的两种模式 即横电波( t e ) 模和横磁波口m ) 模所组成的一套完备基。 图2 7 含缺陷层的一维光子晶体结构的示意图。 对于一维光子晶体，在平行子介质层平面的方向上具有平移对称性。因此，波 矢分量丸为不变量；然而，在垂直于介质层平面的方向上不存在平移对称性将但 由于其变化具周期性，根据b l o c h 定理，第m = l ，2 ，3 ) 层介质中t e 偏振波的电场 分量可表示为： ，巧，z 一) 沙( m - 1 ) w e , k , yc - e 2 _ _ _ , 一毛形2 ) ，b d t ，z z 0 ( - 嵫2 _ z - z , w d 2 ) ( 2 - 4 1 ) ，f ，k ，z 一乇弦如州矽e t k r y ( 一形2 z 一毛形2 ) 其中，e ( 4 ，弓，k , ，= ) = 4 p 一怕+ 日p ：，= 函i 了砑，c 为真空中光的 传播速度；为b l o c h 矢( 这里我们限制其在第一b r i l l o u i n 区取值，即 硝，曩。砰， ， e e e ，：，l l | 力 石 k b ( 万，形) ；z d 为缺陷层的中心坐标；乇和乇分别表示缺陷层两边左、 右半无限一维光子晶体的第m 个周期中介质层( ，= 口，6 ) 的中心坐标。y 、z 方向上的 磁场分量相应地为电场分量的偏导数。 对于t m 偏振波，b l o c h 定理适用于磁场分量，而相应的y 、z 方向上的电场分 量可通过磁场分量的偏导数求得。 首先讨论t e 模。根据介质层界面处电场和磁场切向分量连续的条件，可以用转 移矩阵方法推导出所研究的光子晶体结构的色散关系。图2 7 为一维含缺陷层光子晶 体的转移矩阵分析图。 i b曩b量d霉b曩 由m a x w e l l 方程出发，有： 故， 图2 8 含缺陷的一维光子晶体。 皿= 一- l ； l 段哆 下y l 斗 z ( 2 - 4 2 ) ( 2 - 4 3 ) 也一去( 矿峰坪桫 c z 4 s ) = 去( 哗咋、矿1 秒 ( ：4 s ) 已 a 一瑟 一鳓 嘴卸 驴 t 引入矩阵 t ( n ，u j ，z ) p ：矿陀l ! 堡p 一：7 2l ( 2 4 7 ) 以 根据界面处、以切向分量连续的条件，在界面处有 于c ，心，呒， 墨 = 于c 嘞，以，一，( 乏 c z 一4 s ， 同样，在界面处也有： 于c ，以，一呒，( 墨 = 于c 嘞，心，( 乏) c ：棚，