（凝聚态物理专业论文）一维晶格和bec中的非线性现象.pdf

iii 一维晶格和 bec 中的非线性现象 摘 要 摘 要 非线性是自然界中最有趣的现象之一。从人们早期在流体、等离子体到后来 的固体、化学生物体、地质结构、天体甚至社会学等体系中观察到大幅度波的运 动可以看出，非线性现象既普遍又重要。局域的大幅度的波被称为孤立子，它具 备非线性现象的显著特征。 孤立子能够既不发生衰减也不会改变波形地传播到较 远的地方且具有类似粒子的特性， 这主要是色散效应和非线性效应相互平衡的结 果。近年来，基于物理和其他自然学科中不同领域的孤子行为，人们越来越多地 尝试应用孤子理论来解释新颖的非线性现象。 本文中，我们主要通过多重尺度并结合准离散性近似方法研究一维晶格和玻 色-爱因斯坦凝聚态（bec）中的非线性现象。考虑到最近邻格点间谐振和三次 方、四次方非谐相互作用，非线性晶格中既存在包络孤子，又存在反对称的内部 局域模式扭状、 反扭状包络孤子等一系列非线性元激发。 当计及最近邻格点 间的相互作用理论基本成熟后， 同时包含高次非谐相互作用和各种长程关联谐振 的晶格动力学问题就显得日益重要了。因此，我们将分别研究考虑power-law和 kac-baker两种不同类型的长程谐振相互作用下非线性晶格的孤立子的性质。另 一方面，自从1995年实验上成功地观察到87rb、23na、7li原子蒸气在磁势阱中的 玻色-爱因斯坦凝聚现象以来，许多现象如涉及bec的粒子间相互作用、集体元 激发、相邻凝聚体间相互作用引起的非线性效应成为目前研究的热点。一般地， 囚禁在磁势阱中的bec原子的动力学行为由平均场近似即著名的gross-pitaevskii （gp）方程描述。gp方程既包括囚禁势阱（通常是外部谐振势）还包括非线性 相互作用项，其非线性相互作用强度与原子间二体相互作用的s-波散射长度有 关。有趣的是凝聚体的这一基本运动方程与非线性schrdinger方程有类似的形 式。因此，孤立波的解（亮和暗孤子）和其相互碰撞性质已经被广泛地研究。如 果bec囚禁的外部势阱不是谐振势而是其他形式的势阱， 其基态性质和孤立子性 质又会怎样呢？我们就bec处于非谐外部势阱的基态性质和bec处于光晶格势 阱中的孤子性质进行了研究。 本论文由七部分组成，具体组织如下： iv 在第一章绪论中，着重阐述了自然界中一些典型的非线性现象与孤立子的 关系， 简要地说明凝聚态物理学中的孤立子的行为， 介绍了物理学中常出现的几 种典型的非线性波动特征和性质。 第二章着重叙述了我们研究一维晶格和玻色-爱因斯坦凝聚态（bec）的非 线性现象所使用的方法多重尺度结合准离散性近似方法。 作为具体例子， 应 用多重尺度结合准离散性近似方法, 我们研究了谐振、非谐的近邻和次近邻相互 作用下非线性晶格的振动行为。结果表明非传播孤子在一维非线性晶格的 brillouin 区的任何位置均有可能存在。 与仅考虑最近邻相互作用下的非线性晶格 链的孤子群速相比，晶格中孤子的群速在 brillouin 中央增大且衰减得更快；且 出现一个新的群速为零的位置； 晶格中孤子的幅度也相应增大且最大幅度孤子的 位置趋向于 brillouin 中央。另一方面，我们介绍了玻色-爱因斯坦凝聚现象的发 现和基本现象，描述了目前 bec 中的非线性现象的相关实验和理论研究结果。 第三章和第四章，我们研究了长程谐振相互作用下非线性晶格的孤立子行 为。 第三章， 我们构造了计及 power-law 长程相互作用下的一维非线性晶格模型， 发展了多重尺度法结合准离散性法，发现其非线性晶格在 brillouin 边界仍然存 在不传播的包络孤子。由于 power-law 长程相互作用的影响，这些孤子的群速 发生了变化即在波矢较小处孤子群速变大而在波矢较大处其群速变小。 在第四章 中，我们构造了 kac-baker 类长程谐振和三次方、四次方最近邻非谐相互作用下 的非线性晶格模型， 应用多重尺度方法解析得到了其孤子解。 该解不仅包含前人 已得出的扭结包络孤子， 而且存在一种新的非线性元激发洞孤子。 我们得到 了新的色散关系和孤子的新的群速表达式。 数值模拟表明， 孤子的本征频率不但 可以在声频能隙之间， 还可以位于声频支上； 考虑长程相互作用后， 除波矢0=k 之外的整个 brillouin 区都是不传播的孤子，而0=k处孤子是传播孤子，其群速 已经超过了声速。 在第五、六章中，我们研究了处于不同外部势阱中的玻色-爱因斯坦凝聚态 的一些现象。第五章，我们构造非谐外部势阱，应用非线性微扰理论解析地研究 其基态性质。结果表明，处于非谐外部势中玻色-爱因斯坦的基态能和化学势比 其处于谐振外部势阱中的基态能和化学势更低。 数值模拟显示， 外部势阱的非谐 强度对凝聚体的基态的几率密度和速度分布有重要的影响。 我们在第六章中发展 了一种系统的解析方法研究处于一维光晶格势阱中玻色-爱因斯坦凝聚态的孤立 v 子行为，得到了新的线性色散关系和孤子解的解析表达式。结果表明，凝聚体中 粒子之间的相互作用对凝聚体中的孤子性质有重要的影响。 第七章给出了我们的研究工作总结和后续研究展望。 关键词关键词： 一维非线性晶格，bec， power-law 长程谐振，kac-baker 长程谐振, 非谐相互作用，多重尺度结合准离散性近似法，孤立子，基态 vi nonlinear phenomena in one-dimensional lattices and bose-einstein condensates abstract nonlinearity is a very fascinating phenomenon in the nature. from earlier fields such as fluids and plasmas to previous systems like solids, biological chemistry, geologies, universes and even society, one often observes large-amplitude wave motions, which is an important typical nonlinear phenomenon. localized large-amplitude waves called solitons represent one of the most striking aspects of nonlinear phenomena. soliton, like particles, can travel over long-distances without attenuation and changes of wave shapes, which is the result from the balance of the interplay between dispersion and nonlinearity. the great stability of solitons has led to numerous attempts in recent years to explain many novel phenomena in terms of solitons in different branches of physics and other sciences. in the phd dissertation, we study nonlinear phenomena of one-dimensional lattices and bose-einstein condensates (bec) by using multiple-scale method combined with quasi-discreteness approximation. as is well known, nearest- neighbor harmonic and cubic, quartic anharmonic interactions may cause nonlinear lattices exhibit series of elementary excitation, which exist not only envelope solitons but also asymmetric intrinsic localized modes: envelope-kink, and envelope-antikink solitons. this stimulates that it becomes more and more interesting and important to study the issue of lattice dynamics with higher anharmonic and long-range interactions. we study firstly soliton properties of nonlinear lattices with power-law and kac-baker long-range harmonic interactions, respectively. on the other hand, due to the observation of bose-einstein condensation in magnetically trapped atomic vapors of rubidium, sodium, and lithium in 1995, many phenomena of bec such as nonlinear effects arising from inter-particle interactions, collective excitations, interactions between adjacent condensates, have attracted considerable attentions of scientists. in the mean field approximation, the dynamics behaviors of atoms of bec can be described by the vii well-known gross-pitaevskii(gp) equation. the gp equation, besides a confining potential (usually of parabolic type), contains a nonlinear interaction term, which is proportional to the s-wave scattering length characterizing the two-body interaction among the atoms. it is of great interest that this fundamental equation of motion for the condensate takes the form of a nonlinear schrdinger (nls) equation. thus, properties of the solitary wave solutions (bright and dark solitons) and of the collapsing solutions (blowing-up) have been deeply investigated. what are the ground state and solitons properties, if bec confined in other external potentials other than harmonic one? we study the ground state properties of bec confined in an anharmonic external potential and solitons properties of bec in optical lattices, respectively. the thesis consists of seven chapters, which are organized as follows. chapter 1 is an introduction of the nonlinear phenomenon and the basic physical theory, while the relation of natural cases to solitons, especially to behaviors of solitons in condensed matters. some typical characters and properties of the solitrary waves as well as the nonlinear equations are introduced. by applying the multiple-scale method combined with quasi-discreteness approximation, we study in chapter 2 the nonlinear phenomena of one-dimensional lattices and bec. as an example, we study the lattice vibration of a nonlinear lattice with the first and the second nearest neighbor harmonic and anharmonic interaction by using multiple-scale method combined with the qiasi-discreteness approximation. it is shown that nonpropagating solitons exist in all brillouin zone. compared with the group velocity of soliton in a nonlinear lattice chain with only nearest-neighbor interactions, this kind of group velocity at the zone center is enhanced but reduced rapidly. a new position of zero velocity for the soliton exists in the first brillouin zone. our results show that the amplitude of this kind of soliton becomes larger and the greatest amplitude appears at the zone center. additional introduction for the experimental phenomena of the observation and the corresponding nonlinear experiments and theories of bec are also given. in chapters 3 and 4, we study the solitons behaviors of the nonlinear lattices viii with long-range harmonic interaction. in chapter 3, we introduce a nonlinear lattice mode with power-law long-range harmonic interaction. by developing multiple scales methods combined with quasi-discreteness approximation, we conclude that nonpropagating envelope solitons still appear, but its group velocity is very different. we find that for a small wavenumber, the soliton group velocity becomes larger while for a large wavenumber the soliton group velocity becomes smaller when the long-range interaction is present. in chapter 4, we propose a nonlinear lattice model with kac-baker-like long-range harmonic potential, cubic and quartic anharmonicity. soliton solutions of this model are derived analytically by virtue of multiple-scale method. it is shown that the nonlinear lattice exhibits both usual asymmetric envelope solitons and a new elementary excitation: hole solitons. based on calculation of the dispersion relation, we find that the frequencies of these solitons lie not only within but above phonon frequency band of brillouin zone(bz). numerical simulation shows that the non-propagating solitons exist at other sites except zone center 0=k, and the group velocity of these solitons at 0=k is supersonic. in chapters 5 and 6, we study some phenomena of bose-einstein condensates confined in other external potentials other than harmonic external potential. in chapter 5, we present an anharmonic external potential model to study analytically ground state properties of bose-einstein condensates by using nonlinear perturbation theory. it is shown that the ground state energy and the chemical potential of bec are lower than those in harmonic trap. numerical simulation shows that the anharmonic strength of the external poential has an important effect on density and velocity distributions of the ground state. in chapter 6, we develop a systematic analytical approach to study the soliton properties of bose-einstein condendate in optical lattices. the novel linear dispersion relation and the algebraic soliton solution are derived analytically. it is shown that the interaction strength has an important effect on soliton properties of bose-einstein condensate. a brief summary is given in chapter 7, while a possible academic prospect are opened. ix key words: one-dimensional nonlinear lattices; bose-einstein condensates; power- law long-range harmonic interactions; kac-baker long-range harmonic interaction; anharmonic interactions; multiple-scale method combined with quasi-discreteness approximation; solitons; ground state. 王登龙 湘潭大学博士学位论文 2004.10 1 第一章 绪 论 本章摘要 第一章 绪 论 本章摘要： 着重阐述自然界中一些典型的非线性现象与孤立子的关系， 简要地说明凝聚态物 理学中孤立子的行为， 介绍了物理学中常出现的几种典型孤立子方程及其解的波动特征和性 质。 自然界中具备非线性现象的图案无处不在，它遍布在兽类、鸟类、昆虫、宇 宙、鱼类、植物、花草、生物、人体、以及物理和化学实验现象中。人们研究这 一系列的非线性现象给科学世界带来了一系列的变革。 这些变革的趋势现已初露 端倪，表现在不同学科之间的渗透、融会，大批新兴学科亦应运而生；不少学者 已撰写了有关专集，如“非线性力学” 、 “分形物理学” 、 “混沌动力学” 、 “非线性 电磁学” 、 “非线性光学” “非线性量子力学理论”等等。另一重要表现是，非线 性科学的崛起， 对它的研究成为当代科学奋进的主流， 一些学者已将之誉为上世 纪继相对论和量子力学之后自然科学的“第三次大革命” 。正如一位物理学家所 说1： “相对论的建立排除了对绝对空间和时间的牛顿幻觉；量子力学的建立则 排除了对可控测量过程的牛顿迷梦； 非线性科学的建立排除了拉普拉斯决定论的 可预见性的狂想” 。非线性科学是研究非线性现象共性的一门学问，它的研究主 体是混沌、分形和孤立子，而且这三者是彼此相互联系。 第一节 非线性现象与孤立子 1963 年， 美国气象学家洛伦兹(lorenz)2为了预报天气变化， 把大气动力学 方程组简化为 12 个方程用计算机做数值模拟。 结果发现： 在相同的初始条件下， 重复模拟结果会随计算时间的增加而彼此分开， 最后变得毫无相似之处。 这表明 作短期天气预报是可行的，作中长期天气预报是不可能的。随后 lorenz 在一次 科学演讲中提到： 一只蝴蝶在巴黎扇动一下翅膀， 两周以后可能会在得克萨斯引 起一场龙卷风，这就是著名的“蝴蝶效应” 。从科学的角度来看， “蝴蝶效应”反 映了混沌运动的一个重要特征是系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。 而经 典动力学的观点认为： 系统的长期行为对初始条件是不敏感的， 即初始条件的微 小变化对未来状态所造成的差别也是微小的。 可见， 混沌理论向传统观点提出了 挑战。混沌理论认为在混沌系统中，初始条件的微小的变化经过不断放大，对其 第一章 绪论 2 未来状态会造成极其巨大的差别。 因此， 混沌理论排除了拉普拉斯决定论的可预 见性的狂想。事实上混沌表现出一种随机的、不可预测的运动方式。在决定论中 也存在随机行为， 这就是混沌的一种特定属性。 著名科学家钱学森对混沌的定义 为，混沌是宏观无序、微观有序的现象。中国科学院院士郝柏林3教授对混沌定 义是： 某些完全确定论的系统， 不加任何随机因素就可能出现与布朗运动不能区 分的行为； “失之毫厘，差之千里”的对初值细微变化的敏感依赖性，使得确定 论系统的长时间行为必须借助概率论方法描述， 这就是混沌。 即混沌是确定论系 统的内在随机性。因此，我们可以对混沌这样理解：混沌是指确定的宏观的非线 性系统在一定条件下所呈现的不确定的或不可预测的随机现象， 是确定性与不确 定性、规则性与非规则性、有序性与无序性融为一体的现象，其不确定性或随机 性不是来源于外部干扰，而是来自于内部的“非线性交叉耦合作用”的数学表达 式是动力学方程中的非线性项。正是由于这种“交叉”作用，非线性系统在一定 的临界下才表现出混沌现象， 才导致对其初值的敏感性， 才导致内在的不稳定性 的综合效果。 混沌理论的深刻之处在于揭示出确定论系统的随机性， 体现了随机 性存在于确定论之中， 确定性自己规定自己为不确定性确定性系统自己产生 了随机运动。它从根本上修正了长期以来形成的牛顿力学的完全决定论的形象， 展现出在牛顿理论的框架内可以容纳这种不确定性的本来面目。 最早对孤立子这种非线性现象的描述的可能是 1844 年，英国科学家、造船 工程师拉塞尔4,5（russell）在对英国科学协会作题为论波动4的报告中，记 载了他在 1834 年曾一次偶然的机会在运河中观察到的一种奇特的现象： “我正在 观察由两匹马拉着船在 edinburgh 到 scotland 的运河中，离 edinburgh 有 6 英里 的一条狭窄的运河中行驶。 当船突然停止前进时， 运河中被船推动的水并没有停 止，而以汹涌翻腾的状态聚集在船头。然后以巨大的速度滚滚向前，离船而去。 我骑马跟踪并追上了它，发现这个波包的形状保持不变，且以大约每小时 89 英里的恒定速度向前滚动，并保持它原来长约 30 英尺、高约 11.5 英尺的外形。 直到追到了 12 英里后， 它的高度才渐渐的减小， 最终消失在河道的拐弯处。 ” 什 么力量使水堆在没有依托的情况下竟然能运动那么远的距离而基本保持不变？ 这是一个令人深思的奇怪现象。于是，一些科学家对此现象进行了研究。他们用 水槽做实验，发现果真如此。一个水堆，在没有任何依托的情况下，一般不可能 在运动中保持形状不变。什么力量有这么神奇的效果？原来是非线性在起作用。 王登龙 湘潭大学博士学位论文 2004.10 3 一个运动水堆会散开以致消失， 这是正常现象， 这种散开在物理上可以叫做色散。 但当水堆的幅度越高，这高部分的运动速度越快，结果就会产生头重脚轻（ “头” 在前面而“脚”在后）的现象。按理这水堆应当跌碎，但是由于同时存在色散作 用，当这两种作用正好达到平衡时，就会出现上述情形。因此，这一“奇怪现象” 是非线性的一种典型体现。 理论上，我们可以这样理解，对于一个单纯的色散过程，设波动方程的形式 为 0=+ xxxt （1.1） 式中， 33 /,/xt xxxt =。此方程的解是 ()() = k k tkxiatxexp,。 （1.2） 将（1.2）代入（1.1） ，得到 3 k=。 （1.3） 不难看出，式（1.2）所描述的波动系统由一系列沿负x轴传播的单色平面波叠 合而形成的波包。由于各个分波的波矢量k值不同，其传播速度也各不相等。因 此， 即使初始时刻各个分波的合成结果呈波包状， 以后也会因各个波速的不等而 最终导致波包的变形和弥散。 另一方面，对于一个无色散的过程来说，如果它可用下面的非线性方程 06= xt （1.4） 来描写，其解应取如下形式 ()tx6+=。 （1.5） 它表示沿负x轴传播的一列非线性波，其传播速度6=v与波幅的大小成正比， 从而也依赖于振动的振幅。 这一性质是非线性振动和非线性波所特有的， 正是它 导致了波包在传播时发生形变； 由于波幅较大处波的传播速度大于其前方波幅较 小处的波的传播速度，因而在传播过程中，前者将逐渐赶上后者，而使波包前半 部的形状变陡，即使它的前半部凝聚变窄。 若把方程（1.1）和（1.4）结合起来成为下列方程： 06=+ xxxxt 。 （1.6） 第一章 绪论 4 这就是荷兰数学家kortewey和他的学生de vries根据流体力学研究了浅水波的 运动， 在长波近似和小振幅的假定下， 建立的单项运动浅水波的非线性浅水波方 程，即著名的kdv方程6。其中 xxx 是弥散项，使初始的局部脉冲扩展开来，并 随着波的行进而改变波形； 而非线性对流项 x 趋向于在脉冲已经很大的地方增 大该脉冲并由此使扰动凸起， 这两种对抗因素的巧妙平衡为孤立波的形成提供了 条件。 所有拟序结构都具有非线性效应和弥散力巧妙平衡这一共同特征， 深刻地 反映了非线性系统相干结构中惊人的有序。 为我们提供了一种从稳定角度考察事 物的新方法。 1965年，kruskal和zabusky通过数学模拟方法深入地研究了等离子体中孤 立波碰撞的非线性相互作用过程， 意外地发现两个孤立波在碰撞后居然都能保持 各自的波形和行进速度不变。 这一性质使人们想起质点粒子和波粒二象性等熟悉 的现象， 只有粒子的碰撞才会有类似的情形出现。 从而就将这种波定名为孤立子， 以反映非线性波的粒子性7。因此，孤立子是一种特殊的相干结构，是由于系统 中的色散效应与非线性效应这两种作用相互平衡的结果， 体现了拟序结构的最纯 粹的形式。 孤立子是自然界中普遍存在的现象。 如木星的红斑涡旋、 用隧道电子显微镜 成像方法发现的晶体中的电荷密度波、 在小尺度湍流环境中长期存在的有序大尺 度组织、神经元轴突上传递的冲动电信号、大气中的台风、激光在介质中的自聚 焦、晶体中的位错、超导体中的磁通量等。社会经济系统中也广泛地存在着非线 性相互作用。由非线性机制产生的孤立子，无论其现象还是本质，都可能启发我 们更好地理解某些社会经济现象，如社会财富、社会权利等的稳定集中，某些社 会意识等的长时间稳定传播。 非线性科学与人类科学技术和现实生活都有着密切的联系。 目前， 非线性科 学不仅是局限于自然学科领域的研究，它也已经拓展到社会学科领域。如 1997 年 3 月的东南亚金融风暴就是经济学中的“蝴蝶效应”具体事例 1。1997 年 3 月，当东南亚国家的经济、金融形势还处于一片稳定、繁荣的状态时，当国际货 币基金组织（imf）等国际金融机构正对东南亚国家的金融状况倍加称赞时，一 只来自美国华尔街的“大蝴蝶”索罗斯突然扇动他的翅膀，骤然掀起了泰国、印 尼的金融风暴， 随即引发了整个东南亚的金融大危机， 进而引发了包括东亚许多 王登龙 湘潭大学博士学位论文 2004.10 5 国家在内的金融危机。索罗斯于1997年3月开始在泰国外汇市场上大量抛弃泰 铢购入美元，从而引发了1997年5月的泰国金融危机。随即他又“扇翅”飞到 印度尼西亚，扇起1997年7月印尼金融风暴。接着，他又带动一群“蝴蝶”把 整个东南亚金融市场扰得“倾盆大雨” “洪水泛滥” 。1997年秋，索罗斯这只“大 蝴蝶”又飞到韩国，扇翅掀起了韩国金融市场的暴风骤雨。从而震惊了imf及 美国等西方七国，让他们真正领略到了“蝴蝶效应”的威力。这场金融风暴愈刮 愈烈，持续一年之久，它让亚洲甚至全世界的人们都为之惊骇，也使imf及西 方七国束手无策。 与此同时， 也让全世界的人们深刻地领略了蝴蝶效应现象在金 融界乃至经济领域的真实存在性和巨大的影响。 它还迫使人们必须研究蝴蝶效应 现象发生和发展规律，从而健全金融体制与金融风险防范能力。 第二节 物理学中的孤立子 近30年来，从天文学到“基本”粒子，从浅水波传播、流体力学到晶格理 论、非线性光学、等离子体物理、固体物理、凝聚态物理、超导物理、弹性力学、 统计力学、声子、位错、工程学、材料科学、气象学、海洋学、高分子物理、分 子生物学、经络等领域中均发现了孤立子这一非线性现象1。 物理现象本质上是非线性的。非线性问题与物理学相伴而生，物理学形成 伊始，开普勒（kepler）对天体轨迹的研究，就是对非线性问题探索之发端1。 1813 年法拉第8（faraday）通过振动水槽实验发现水中有槽振动频率一半的分 频， 法拉第可算是观察分岔现象之始祖。 1834 年拉塞尔4,5（russell） 在edinburgh 到scotlandde的运河中发现了孤立波。此后，庞加莱9（poincare）在天体物理 的研究中，瑞利10（rayleigh）在声和光的衍射研究中，雷诺11（reynolds）对 流体湍流的研究中均发现了不少非线性问题。 限于篇幅， 以下仅举物理学研究领 域中几个典型事例中孤立子方程的简要推导。 1. 非线性晶格振动问题导出非线性晶格振动问题导出 kdv 方程方程 户田(m.toda)在研究非线性晶格振动时，把一维晶体看成具有质量的弹簧 拉成的链条，用( )txn表示第n个弹簧关于其平衡位置的偏离，则用牛顿定律可 得差分方程组 ()()() 11 2 + = nnnn xfxfxfxm, 2, 1, 0l=n( )xf表示弹力，户田设 ( )() x exf =1 （1.8） 并令() nn xfs = 78 (1997)985. 4 l. v. hau, b. d. busch, c. liu, z. dutton, m. m. burns, and j. a. golovchenko, phys. rev. a, 58 (1998)r54. 5 f. dalfovo, s. giorgini, l. p. pitaevskii, and s. stringari, rev. mod. phys., 71 (1999)463. 6 j. c. bronski, l. d. carr, b. deconinck, j. n. kutz, and k. promislow, phys. rev. e, 63 (2001)036612. 7 b. wu, and q. niu, phys. rev. a, 64 (2001)061603(r). 8 y. wu, and r. cote, phys. rev. a, 65 (2002)053603. 9 y. wu, x. yang, and y. xiao, phys. rev. lett., 86 (2001)2200. 10 m. edwards, r. j. dodd, c. w. clark, p. a. ruprecht, and k. burnett, phys. rev. a, 53 (1996)r1950. 11 n. k. wilkin, j. m. f. gunn, and r. a. smith, phys. rev. lett., 80 (1998)2265. 12 v. s. filho, a. gammal, t. frederico, and l. tomio, phys. rev. a, 62 (2000)033605. 13 h. saito, and m. ueda, phys. rev. lett., 86 (2001)1406. 14 e. a. donley, n. r. claussen, s. l. cornish, j. l. robert, e. a. cornell, and c. e. wieman, nature (london), 412 (2001)295. 15 p. coullet, and n. vandenberghe, phys. rev. e, 64 (2001)025202. 16 l. m. kuang, and z. w. ouyang, phys. rev. a, 61 (2000)023604. 第六章 一维光晶格势阱中 bec 孤立子的行为 104 17 w. m. liu, b. wu, and q. niu, phys. rev. lett., 84 (2000)2294. 18 v. a. brazhnyi, and v. v. konotop, phys. rev. a, 68 (2003)043613. 19 g. x. huang, v. a. makarov, and m. g. velarde, phys. rev. a, 67 (2003)023604. 20 g. theocharis, d. j. frantzeskakis, p. g. kevrekidis, b. a. malomed, and y. s. kivshar, phys. rev. lett., 90 (2003)120403. 21 s. komineas, and n. papanicolaou, phys. rev. lett., 89 (2002) 070402; phys. rev. a, 67 (2003)023615; phys. rev. a, 68 (2003)043617. 22 b. p. anderson, and m. a. kasevich, science, 282 (1998)1686. 23 c. orzel, a. k. tuchman, m. l. fensclau, m. yasuda, and m. a. kasevich, science, 291 (2001)2386. 24 f. s. cataliotti, s. burger, c. fort, p. maddaloni, f. minardi, a. trombettoni, a. smerzi, and m. inguscio, science, 293 (2001)843. 25 m. greiner, o. mandel, t. esslinger, t. w. hansch, and i. bloch, nature (london), 415 (2002)39. 26 m. cristiani, o. morsch, j. h. muller, d. ciampini, and e. arimondo, phys. rev. a, 65 (2002)063612. 27 f. s. cataliotti, s. burger, c. fort, p. maddaloni, f. minardi, a. trombettoni, a. smerzi, and m. inguscio, science, 293 (2001)843. 28 o. morsch, j. h. muioller, m. cristiani, d. ciampini, and e. arimondo, phys. rev. lett., 87 (2001)140402. 29 s. burger, f. s. cataliotti, c. fort, f. minardi, m. inguscio, m. l. chiofalo, and m. p. tosi, phys. rev. lett., 86 (2001)4447. 30 j. w. fleischer, n. k. efremidis, t. carmon, d. n. christodoulides, and m. segev, opt. photonics news, 13 (2002)49. 31 j. w. fleischer, t. carmon, m. segev, n. k. efremidis, and d. n. christodoulides, phys. rev. lett., 90 (2003)023902. 32 j. w. fleischer, m. segev, n. k. efremidis, 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