（计算数学专业论文）本质非负矩阵的指数函数扰动问题.pdf

摘要 本文讨论本质非负矩阵在小的元素相对扰动下，其指数矩阵的扰动界。利用 本质非负矩阵的特点，在范数意义下我们得到了比已有的扰动结果更紧的扰动 界。特别地，对于上三角或下三角本质非负矩阵，我们估计了指数矩阵的每个 元素相对扰动误差界，证明了当本质非负矩阵的每个元素有小的相对扰动时， 它的指数矩阵的每个元素也有小的相对扰动。作为应用，我们把所得的扰动结 果应用到r c 网络以及p h 一分布尾概率的扰动分析上，分别得到它们的扰动误差 界。 布。 关键词：本质非负矩阵、矩阵指数函数、元素相对扰动、r c 网络、p h 一分 ab s t r a c t h l 吐l i sp a p e rw ep f e s e n tt h ee n t f y w i p c f t t l f b a t i o n 出e o r yf o fe x p o n e 嘶a lo f e s s 即t i a l l yn o n n e g a 晰em a t r i c e s w h e n 船c he n 仃yo f 锄e s s e n t i a l l yn o 蚴e g a t i v e 姗t 血h a sas m a l lr e l a t i v ep e 咖r b a t i o n ，w eo b t a i nn l ee 咖r b o u n di n2 一n o 咖f o r 岫 e x p o n e n d a l c o m p a r c dt 0t 1 1 ee x i s 咖gp e n l l r b a t i o nr e s u l t s ，t i l i sb o u n d i sm o 碍t i 曲溉 s p e c i f l c a l l y ，f o ru p p e r _ 仃i a n g u l a ro rl o w e r 仃i a n g i l l a re s s e n t i a l l yn o i l i l c g a t i v em a i c c s ， w ea l s od b t a i nt l l er e l a t i v ee r r o rb o m l df o re a c he n t r yo ft l l ee x p o n e n t i a l o u rr e s u ni n d i c a t c sm a ti f 锄u p p e r _ t f i 柚g u l a r0 rl o w e r _ t r i a n g i l l a re s s e n t i a l l yn o n n e g a t i v em a m xi s p e n l i r l ) e di naw a y t l l a te a c he n t r yh a ss m a l lr e l a t i v ee r r o r s ，t l l e ne a c he n 时o fi t se x p o m m i a lh 嬲s m a l lr e l a t i v ee r r o r s a s 卸a p p l i c a t i o n ，w ea p p l yo i l rp e r t u r b a 6 0 nr e s i i l t st o t l l ep e r c u r b a t i o n 粕a l y s i so f r cn e t w o r k sa i l dt a i lp f o b a b i l i t i e sf o rp h t y p cd i s t r i b u t i o n k | e y w d r d s ：e s s e n t i a l l yn o n n e g 撕v em a 缸x ，m a 砸xe x p o n e n t i a l ，e n 时w i s ep e r a 烀 b a 如nt h e o 吼r cn e t w o r k ，p h t y p ed i s 埘b u t i o n 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名：鏊磕 论文使用授权声明 日期：型! ：乡 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名：手兰茎导师签名作者签名：查兰丕导师签名丝日期 加6 、j 坤 第一节引言 矩阵指数函数在数学、物理、生物、金融、工程技术等诸多领域有着相当重 要的应用，矩阵指数函数的计算已成为许多学者深入研究的课题，并发表了诸 多文献，如【8 】、【1 2 】、【1 5 】、【1 6 】、【2 3 】、【2 4 】、【2 9 】、【3 0 】、【3 2 】、 3 3 、 3 8 】等 等。矩阵指数函数的扰动分析对于算法设计和计算误差界的估计有着重要的作 用，【1 8 】、【2 0 、【2 l 】、【3 7 】等文献都对矩阵指数函数的扰动问题进行了深入的 探讨。n n e y 与l a u b 【1 8 】从矩阵指数函数的f 柑c h e t 导数的范数入手，对矩阵指 数函数的条件数进行估计，k v i s 【2 0 】贝q 利用矩阵范数的i 角不等式估计矩阵指 数函数的上界，m a t l l i a s 【2 l 】从矩阵指数的基本定义出发，即 e a = ，a + 鲁+ 鲁+ + 等+ 对矩阵指数函数进行逼近，而v a nl o a l l 【3 7 】则利用等式 舻司= e m + z e 神别斛跏幽 对矩阵指数函数扰动问题进行了深入的研究。但是，已有的扰动结果基本上都 是对一般的矩阵在一般的范数意义下的小扰动下取得的，当矩阵有特殊结构或 扰动矩阵有特殊结构时，已有的误差界往往不够理想。 本文将着重讨论本质非负矩阵指数函数的扰动问题。矩阵a = ( 啦，) 2 一n 称为本质非负矩阵，如果啦f20 对所有的i j 成立。本质非负矩阵的 指数函数在m a r k o v 链分析、应用概率分布和电子电路设计方面有着广泛的应 用( 1 9 】、 2 5 】、【3 l 】、【3 4 】) 。假设e = ( ) 是a 的扰动矩阵，且e 满足 8 玎j e i i ， 即a 的每个元素有小的相对扰动，我们将估计误差界 嵝! 二兰! ：二幽1 0 e 舭0 1 第一节引言 即 a = ( 动 ) ， a ( a ) = a l d e t ( 以一a d = o ， 厅( a ) = l i a i a 一1 ，( oga ( a ) ) ， a ( a ) = m a x r _ e ( a ) j a a ( a ) ) ， p ( a ) = m a x p ip a ( ( a + + a ) 2 ) ) ， p ( a ) = m a x i a i j a a ( a ) ) ， 并且在无特别说明的情况下，我们所取的范数均为2 一范数，即 a 1 1 = m a x l 口d 2 a ( a + a ) ) 3 第二节预备知识 本节将引入一些矩阵指数函数相关的知识，为本文之后的讨论提供基础。 首先，我们引入矩阵指数的定义。 对于方阵a ，定义 e a 兰，a + 筹+ 筹+ + 鲁+ 显然，等式右侧的无穷级数对任意矩阵a 收敛。 对于矩阵指数函数，b e i l m a n 1 】引入了一个重要等式，该等式很大程度上简 化了我们对矩阵指数函数的扰动研究。 引理2 1 ：设a 、e 均为n 阶复矩阵，t 0 ，则 ，f e ( + 司t = e “+ e 耻一5 e e ( + 届扣d s ( 2 1 ) j q 证明：首先，注意到矩阵指数函数e “t 是如下初值问题 ，差邵) = 似， t o ix ( o ) = ， 的唯一解。 则对于 y ( t ) = e ( + 聊 有 爰l ，o ) = ( a + e ) y ( t ) ， 将上式右边项a y ( t ) 移至左侧，并分别乘以e “。，即 e m 差，( t ) 一a y ( t ) 】= e 一小e y ( t ) 第二节预各知识 其中 a ( t ) ：f 。f “ j 0j 0 证明：由引理2 2 可知， 其中 - “e 。( t m e 。( t - 一嘲e 皿出出1 j 0 n 一1 e d + p = e d 。+ a 膏( t ) + r 。( t ) 七= l a ( 驴f 。f “一 j 0j 0 “e d ( 一t 1 ) e d ( t l t 2 ) e d “d 拓出l j 0 取( t ) 一z 。z “z k l e d ( “e d ( k l - e ( d + h 砒出z 而e d ( “- ) ，e d 一- 一k ) 是n 个严格上三角矩阵，它们的乘积为o ，所 以兄。( f ) = 0 。即得结论。_ 上述推论表明当a 是上三角矩阵时，( 2 2 ) 式可以表示为有限项之和。弓 理2 2 与推论2 1 在本文之后的证明中将起关键作用。 6 第三节已有的矩阵指数函数扰动结果 从而 st m ( t ) 2 e + 吖( 句l l f 咖 噬；产s 揣肛肿叫”| e ( 跏怖 i i e m l i 2l i e m l l 厶”。 ”。” 值得注意的是 燥叫妒e 州圳陋) 一 1 在引理3 1 的证明中，求解l i 巩( 圳上界时需要利用到| j 玩一1 ( 刚的上界， 故i i e m | | 的上界值m ( t ) 扩与l l e m | i 的误差会在求解| f 巩( 洲上界时随着的增 大而扩大，直接影响到心 + e ) l 上界求解的精确度，从而影响( ) ； 2 在导出引理3 1 时的证明中，利用单调性将积分式内的项凹( s ) 以 及e + ”( 。) 扣都放大至区间【o ，t 1 上的最大值，这对( ) 上界的求解精 度也会造成影响。 在v a n l o a n 【3 7 】中，通过给出0 e 。j | 的上界，再利用引理3 1 ，可得到( t ) 的估 计界。i f e m 0 的不同上界可导出曲 x 第三节已有的矩阵指数函数扰动结果 a = ( ：二j 扎 则 i = 以雨j ，o ( a ) = o 首先当o d 0 时，有 0 a l | a 一6 o ( a ) 其次可以看到 e l t ：e t 厕_ + o o 。t _ + o o 而由直接计算得 e m = ( ：一e 一以v 5 ) 一( ：；) ， t 一+ 2 对数范数。 d a l l l q u i s t 【9 】利用对数范数证得 i l e m i | ( 弦 此时 ( t ) 圳冽e 俐2 e ( p ( ) 一。似) 对数范数具有许多性质【3 5 】，且与o ( a ) 有如下关系： ( a ) p ( a ) 之吐( a ) ； ( b ) 如果q ( a ) 0 ，则存在可逆矩阵y 使p ( 1 ，a y - 1 ) 0 由( 6 ) 知，当a ( a ) o 时，有 p ( a ) = ! 孚三一6 。：a ( a ) 3 s 曲“r 分解。 设 q + j 4 q = d + 是a 的s c 危”分解，其中d = d i a g ( ) ，为严格上三角矩阵。 由2 一范数的酉不变性得l i e 2 i i = 哕d + ) 。而由( 2 3 ) 式可得 n 一1 i l e d + i l i e d 。l i + 1 1 4 t o ) k = l 其中 | | a ( 驯j z z “z “舱d ( h “) j 川e d ( h 4 ：f l ”| i j e 眈刈出。d t ， 因此 此时 夕c 舢tf f “ j o j 0厂蚣础。甜) f i 唧蔷 雌蛳薹譬 ( t ) 圳圳e 胁( o 珞( ) 2 其中 膨舶、：寻业业 雠) 2 薹警+ = 0 该估计值的求解过程要利用( 岛( s ) ，s 【o ，芒】) 的单调性取该区间上的最大 值坞( t ) ，而慨( s o ) ( s o o ，t 】) 可能与 妇( ) 相差很大。 1 0 第四节本质非负矩阵的指数函数扰动 由例3 3 知 则 毛( t ) = 1 + a t 妒( t ) e o t e 耐( 1 + 耐) ( 1 + a t ) 2 4 定理4 ，2 的结论 庐( t ) 曼3 矗、孑丽e 3 d 正；巧3 矗 + 6 ) e 3 妇+ 毋 5 直接计算的结果 由 以( 嚣一乳v 6 ) ， e c + 昱弦= ( ：+ e l e 一5 。7 6 ) 得 忙功删：华 峭a + e ) 一i i = 竺生一 从而由a ( a ) = o 可得 妒( 以= 止眢华冬e a t e 疵 显然，定理4 。2 所得的结论具有一定的优势之处。特别是当t 或a 比较大时， 定理4 ，2 的界明显优于已有的界，更接近于i j i ( t ) 的精确值。 1 6 第六节上三角本质非负矩阵的指数函数的元素相对扰动 我们发现对于上三角本质非负矩阵，可以避免使用范数，直接得到一个较小 的指数矩阵的元素相对扰动界。对于下三角本质非负矩阵，结果相似。 为了分析方便，我们以d + 来表示上三角本质非负矩阵，其中d 是n 阶对 角阵，是竹阶非负严格上三角矩阵。 定理6 1 ：设n 阶实对角阵d 、非负严格上三角矩阵的元素经过小的相对扰动之 后的对应矩阵为石、，即满足 则 i 西一d i e i d i ， ( 1 一f ) 费( 1 + e ) ( 1 一e ) ”一1 e 一6 p ( d ) e ( d + p e ( 西+ 膏h ( 1 + e ) n l e p ( d ) t e ( d + ) t 证明：由( 2 3 ) 式知 产+ ) + 喜z 2 产厂“w m 吨忆胪嘲 由于 因此 e 一p ( d ) e d e 西e 印( d ) e d 驴厕t + 孰z “z “一毋h 懈m 也礼舻铂 础一营，舭叫础产厂“订舻一虮砒嘞慨 ( 1 + e ) “一1 e e p ( d ”e ( d + ) t 类似可得 e ( d + ”( 1 一e ) “一1 e 一p ( d ) t e ( d + ) t - 由此不难得出，若( e ( 。+ ) ) 可= 0 ，则( e ( 石+ 霄) 。) 巧= o ，而对于e ( d + 批的所有 2 0 鋈墼鋈羹蠢囊羹冀羹雾羹篓篓羹雾霪冀 蓁鬟薹羹囊霎冀 塑雾雹葶雾冀塞鎏蓦曼鬻嶷醺霪移垒霄茎豇“喜羔“蓄鸯霪毽垒贺t j 碡筢 班露明妻萋噬鹰1 j 西苤句少暇州耐犹动瞪j 姜霈新警嶷鎏葡我葡萎如。 雕薹醐；译镉僻壤研 x 叁耋奎堕 【3 l 】ps l l i v a l 【u m 虬j ，w i l l i a 瞄，q y c 柚d c m a r i n o v 伽m 吖娩d 的肼出坤缸耐细w 叩坳 执g d m 母咖m 咖n f 肛舢础部w f 舭即f 妇砌删协嘶f 细，c f 删l f 咖删hs i a m j ，m a t r i x a n a l a p p l ，1 7 ：2 9 8 3 1 0 ，1 9 9 6 3 2 】r b s i d j e e 印d 舡。a 妒舢坩只配虹护扣rc 册妒硼嘶gm 口施e 掣d m 如垃a c m 1 h n s m a m s o f a m ，2 4 ( 1 ) ：1 3 0 - 1 5 6 ，1 9 9 8 【3 3 】r b s i d j e 卸d w j s t e w a r t an “m e 砌f 朋硒，矿f 4 增p 置即坩e 舢删工e 毛p 册聊砌b d ，捌增加 胁砌v 出池c o m p u t a t i o n a ls t a n s n c s d a 诅a i l 嘶s i s ，2 9 ：3 4 5 3 6 8 ，1 9 9 9 【”】w ：j s t e w 越如肋d 如“d nf dm e 删e 虎口f 函砌n 胁r 幻vc n 船p r i n c e t o nu n i v e r s i 可 p 圮s s ，p r i n c 酣叩，n e wj e r s e y 1 9 9 4 【3 5 】t s t r 石m d n 如g 口一m 小耙n d r 毗s i a mj n u m b la d a l ，1 2 ：7 4 l - 7 5 3 ，1 9 7 5 【3 6 】孙继广矩阵扰动分析科学出版社1 9 8