（凝聚态物理专业论文）二维磁通的可逆与不可逆运动.pdf

删 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得浙江大学或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：弛乍 签- 7 i i i i ： 加l d 年歹月己7 1 9 i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解浙江大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权浙江大学 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签- i i ! i ：2 啪年厂月2 1 日 导师签名：号盍敬 签字日期：o 年，月砷d ， 致谢 衷心感谢导师罗孟波教授对我的悉心指导和帮助。自本科起，我就在罗老师 的指导和关怀下，开展科研工作，至今已有四年时间了。现在我已经拥有了初步 的科研能力，积累了一定的科研经验，并且顺利地完成了学业。罗老师扎实的功 底，渊博的学识，严谨的态度，以及和蔼谦逊的品格使我获益良多。对于我未来 的发展方向，罗老师也给予了很多热心的帮助以及有益的建议。在此毕业之际， 我再次对罗老师深表谢意! 感谢曹伟平、周铠师兄，感谢孙李真、王晨、郑骏、张广东、沈伟同学，他 们给予我的建议和帮助使我在研究过程中不断地改进不足之处，从而对科研上的 问题有了不同的思考角度和更深入的认知。 本论文的大量计算是在浙江大学物理系凝聚态物理所的曙光计算机组群和 罗老师提供的计算资源上完成的，感谢凝聚态物理所的各位老师和同学。 最后感谢父母和亲朋好友们对我的大力支持，两年的研究生生活离不开他们 对我的关怀和帮助，再次对他们致以崇高的敬意 摘要 本文的第一章介绍了高温超导体的发展历史，重点叙述了磁通动力学在高温 超导体中的地位及其近年来的发展与热点，并引出了本文研究的主要内容一磁通 运动的可逆性与不可逆性。第二章我们介绍了数值模拟中磁通、钉扎的物理模型， 并对我们的模拟方法一一分子动力学方法进行了重点阐述。在第三章中，我们给 出了直流驱动下二维磁通系统在无序钉扎中的几种动力学特性。在第四章中，对 应于直流驱动的几种动力学特性，我们展开了对磁通在交流驱动下可逆运动与不 可逆运动特性的模拟与分析。在周期性的交流驱动的作用下，磁通体系表现出两 种不同的不可逆运动行为。两种不可逆运动具有不同的动力学特性与不同的产生 机制，最后我们还给出了一个以j t , d h 驱动周期与驱动振幅为参数关于可逆性和不 可逆性的动力学相图。在第五章中我们将结论推广到了其他相互作用的非平衡多 体体系，如运动胶体体系。我们认为不可逆运动特性是相互作用的非平衡多体体 系的通用特性。 关键词：高温超导体，计算机模拟，磁通，脱钉，动力学相变 a b s t r a c t i nt h ef i r s tc h a p t e ro ft h et h e s i s ，w ep r e s e n tt h eh i s t o r yo fh i g ht e m p e r a t u r e s u p e r c o n d u c t o r m o r e o v e r , w ef o c u so nt h ed e v e l o p m e n to fv o r t e xd y n a m i c s ，a n d d e s c r i b et h ei m p o r t a n c eo fr e v e r s i b l ea n di r r e v e r s i b l ef l o wo fv o r t i c e s i nt h en e x t c h a p t e r , w ep r o v i d et h ep h y s i c a lm o d e lo fv o r t e xa n dp i n n i n gt h a tw eu s e di no b l n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s a l s o ，w ei n t r o d u c et h en u m e r i c a lm e t h o d m o l e c u l a r d y n a m i cm e t h o d i nt h et h i r dc h a p t e r , w eg i v et h ed y n a m i c a lc h a r a c t e r i s t i c so f v o r t e x s y s t e m su n d e rd cd r i v i n gf o r c e t h em a i ni d e ao ft h i st h e s i si sp r e s e n t e di nc h a p t e r f o u r , w h i c hp o i n t so u tt h e r ea let w od i s t i n c ti r r e v e r s i b l ef l o w su n d e rp e r i o d i c a l d r i v i n gf o r c e o n ea p p e a r si nt h ec h a n n e lf l o wr e g i o na n dt h eo t h e rm o s t l yi nt h e p l a s t i cf l o wr e g i o n t h et w oi r r e v e r s i b l e f l o w sa l er e s u l t e df r o mt h ee f f e c to f q u e n c h e dr a n d o mp i n so nv o r t i c e sb u tt h r o u g hd i f f e r e n tm e c h a n i s m s ad y n a m i c a l p h a s ed i a g r a mo fr e v e r s i b i l i t y a n di r r e v e r s i b i l i t yi s p r e s e n t e d i n r e s p e c t t ot h e a m p l i t u d ea n dp e r i o do fp e r i o d i c a l l yd r i v i n gf o r c e i nt h el a s tc h a p t e r , w ee x p a n do u r c o n c l u s i o nt oo t h e ri n t e r a c t i n gn o n - e q u i l i b r i u mm a n y - p a r t i c l es y s t e m s w es u g g e g t h a tt h ei r r e v e r s i b i l i t yi sau n i v e r s a lc h a r a c t e r i s t i co ft h e s ei n t e r a c t i n gn o n e q u i l i b r i u m m a n y p a r t i c l es y s t e m s k e y w o r d s ：h i g ht e m p e r a t u r es u p e r c o n d u c t o r c o m p u t e rs i m u l a t i o n ，v o r t e xl a t t i c e ， d e p i n n i n g ，d y n a m i c a lp h a s et r a n s i t i o n 目次 i l i l 【谢。i 摘要i i 目次 1 引雷1 1 1 常规超导体与高温超导体3 1 2 高温超导体中磁通格子的相图5 1 3 高温超导体磁通动力学及其研究进展7 1 4 磁通系统的可逆性与不可逆性1 4 2 模型和方法17 2 1 物理模型1 7 2 2 分子动力学方法1 9 3 直流驱动下的磁通系统的动力学特性2 4 4 交流驱动下的磁通系统的可逆与不可逆性2 9 4 1 交流驱动下磁通系统的动力学特性2 9 4 2 可逆运动3 0 4 3 通道类不可逆运动3 2 4 4 塑性类不可逆运动3 7 4 5 机制对比4 0 4 6 动力学相图。4 2 i v 5 其他非平衡多体运动系统4 6 6 结论5 0 参考文献。5 2 作者简历5 5 第1 章引言 超导( s u p e r c o n d u c t i v i t y ) 现象是指材料在低于某一温度时( 超导转变温度瓦) ， 其电阻变为零的现象。该现象是荷兰的o n n e s 在1 9 11 年首先在研究汞的低温电 阻时发现的。和铁磁性质，原子光谱线一样，超导性质是一种量子效应。超导体 的另外一个重要的性质是完全抗磁性( m e i s s n e r 效应) ，在1 9 3 3 年被m e i s s n e r 和o c h s e n f e l d 发现。我们把死以下完全排斥磁场的超导体称为第一类超导体。 1 9 5 7 年a b r i k o s o v 用g i n z b u r g - l a n d a u 理论预测应该存在另一类超导体，即第二 类超导体。磁场可以进入第二类超导体，并以磁通( v o r t e x ) 量子的形式存在。磁 通也是一种宏观的量子效应，单个磁通量子的磁通量南= h 2 e = 2 0 7 x 1 0 1 5w b 。 在己发现的超导元素中只有钒、铌、钽属于第二类超导体，其余均为第一类超导 体。然而大多数超导合金以及化合物却为第二类超导体。第二类超导体存在上下 两个临界磁场：下临界磁场鼠l 和上临界磁场风2 。当外磁场何 鼠2 时，超导消失，处于正常态；而 当h 。l h 1 乏的磁通图像。高温超导体的磁通 量子有两个不同的区域：小的核心区域和较大的有磁场通过的周边区域。相干长 度孝决定了核心的大小，而穿透深度兄则决定了周边区域的大小。超导电流在允 大小的区域内围绕核心流动。在1 9 5 0 年g i n z b u r g 和l a n d a u 提出的唯象理论中，引 入有序参量甲( x ) ，其模代表超导电子密度，而它的相位描述超导体的相干特性。 磁通周围的有序参量的相位在不同角度不一样，环绕核心一圈后相位角变化 2 7 【 4 】。 图1 3a b r i k o s o v 磁通的示意图。b 线代表磁场的变化，刀。线代表超导电子密度的变化。 常规超导体与高温超导体有着不同的本征特点。首先，高温超导体相干长度 孝约为l n m 左右，比常规超导体要小近两个数量级。我们知道单元钉扎中心对磁 通线的钉扎能与相干长度的门次方研= 卜3 ) 成正比。所以高温超导体的单元钉扎 能比常规超导体的要小很多。其次，很多高温超导体具有极强的各向异性，这样 的体系可以用准二维的超导平面和平面间的j o s e p h s o n 耦合来描述。另外，磁通 线( f l u xl i n e ) 也可以用超导平面上的涡旋饼( v o r t e xp a n c a k e ) 力1 1 _ l 其间的j o s e p h s o n 链( j o s e p h s o n v o r t e xs t r i n g ) 的图像来描述，如图1 4 1 5 。这样的图像在描述极度 各向异性的体系，如b i 、t 1 或h g 的2 2 1 2 和2 2 2 3 体系或y b a 2 c u 3 0 7 p r 2 b a 2 c u 3 0 7 多 层膜非常适合。由于这种内禀的各向异性，高温超导体的混合态相图表现出非常 复杂的精细结构，其中包括很多以前没有发现的相变线。再次，高温超导体的工 作温度可以非常高，这就意味着存在很强的热涨落，而强的热涨落势必降低集体 钉扎势改进而促进热激活磁通蠕动。最后，高温超导体具有较大的所f 比值，小 的f 使最可几磁通跳跃或隧穿的体积大大减小，大的肪对应小的阻尼常数，7 ，这 些都有利于量子隧穿过程，进而导致很大的量子涨落的幅度和量子隧穿率( 这里 所代表正常态的电阻) 。以上四个基本特点中的任意两个或多个结合在一起就会 构成高温超导体的一个新特点【6 】。 p a n c a k ev o rt e x 图1 4 层状结构超导体的磁通线模型 1 2 高温超导体中磁通格子的相图 a b i r i k o s o v 平均场给出的相图很简单。在常规超导体中，相图只有两根线， 代表了下临界场鼠1 ( d 和上临界场n 0 2 ( r ) 。处于风l ( 乃和鼠2 ( d 之间是混合态。由 于热涨落较弱，鼠2 ( d 和不可逆线凰玎( 7 ) 很接近。而在高温超导体中，其热涨落 较强，m ( t d 以t 较大的区域中形成了涡旋液态，而鼠“乃以下才能形成涡旋固 态( 涡旋玻璃或磁通晶格) 。在下f 临界场肮l ( 乃附近，若固有无序较少，则可能会 形成所谓的再入形式的磁通液态。这主要是因为磁通线密度足够稀疏，磁通线之 间的相互作用成指数形式下降，最后不足以维持磁通线之间的长程有康图1 5 ( a ) 和( b ) 给出了理想第二类超导体平均场理论以及考虑了热涨落的混合态相图的比 较【7 】。 ( b ) h t 图1 5 第1 1 类超导体的( a ) 平均场下的相图，和( b ) 考虑热涨落引起的相图 在高温超导体中，钉扎缺陷破坏了磁通晶体，低温下的磁通成了玻璃态。钉 扎作用还与磁通密度( 即外加磁场强度) 有关【8 】。在低磁场时，磁通线密度小， 磁通线比较硬，钉扎作用比较弱，这时形成无缺陷具有准长程有序的b r a g g 玻璃。 在磁场较大时，磁通线变软，形成无序的涡旋玻璃。图1 6 给出了实际的第二类 超导体相图的平均场图像：弱磁场下，低温度区中是准长程序的b r a g g 玻璃相， 随着温度升高，b r a g g 玻璃相变成为无序的磁通液体相；随着磁场增大，相变成 无序的涡旋玻璃相。 h o 图1 6 高温超导体平均场理论给出的相图 t c 在高温超导体中，还存在第2 峰和不可逆线，使得相图更复杂。图1 7 给出 了y b a c u o 的相图。可以看出除了磁通液体、磁通玻璃、b r a g g 玻璃相外，还存 在第2 峰绵和不可逆线凰盯【9 】。 ，。- 、 b - - , 忑 。 文 图1 7 高温超导体y b a 2 c u 3 0 7 的相图。 1 3 高温超导体磁通动力学及其研究进展 由于磁通动力学在高温超导体中占据重要地位，近几十年来其在实验、理论 - 7 和数值模拟方面都取得了长足的进展，以下分为三个方面对其进行介绍。 ( 1 ) 实验研究： 实验中，人们首先发现了不可逆线的存在。不同于常规超导体中不可逆线 衄“乃和上临界场h 0 2 ( d 非常接近，高温超导体的凰“乃和h 0 2 ( 7 ) 相距很 远，这使得不可逆线在实验上很容易被观察到。不可逆线直接反映了磁通运动的 强弱。其次，证实了磁通格子的一级融化相变。在实验上人们发现磁场中，电阻 在临界温度处首先缓慢下降，然后在较低温度突然消失，线性电阻降为零。若样 品中的缺陷很少，磁通会形成有序的格子。s a f a r 等人【1 0 】首先将这种现象与磁通 格子的一级融化相变联系起来，最后由s c h i l i n g 等人通过实验给出了决定性的结 论【1 l 】，他们在实验中观察到了比热的潜热峰。根据热力学规律，一级相变一般 有潜热放出。再次，通常情况下临界电流或磁化强度是随着外场的增加而下降的， 但是在实验上发现有部分高温超导块材的临界电流随着外场的增加而增加，致使 磁滞回线出现鱼尾形状或第二峰。有两种对鱼尾效应的解释：一种认为是由于钉 扎中心的性质随着外场的改变而变化 1 2 】；另一种认为是由于磁通体系从一种集 体蠕动向另外一种集体蠕动区的过渡【1 3 】。最后还有很多重要发现，比如反常 霍尔效应、b k t 转变、量子隧穿和量子融化现象等等。 ( 2 ) 理论方面： 美国i b m 实验室的f i s h e r 等人和原苏联l a n d a u 理论研究所的v i n o k u r 和 g e s h k e n b e i n 等人相继提出了磁通玻璃理论【1 4 】和集体蠕动理论【15 】，开创了高温 超导体磁通动力学研究的新思路。这两种理论都能很好地解释高温超导体的磁通 运动。相对而言，涡旋玻璃理论更加接近物理本质。在新模型与传统模型的比较 中，f i s h e r 等人意识到在完全抗磁的情况下，超导体中各处的位相是相同的；而 在低温的混合态下，因为钉扎的作用，可能会使得超导体各处的相位有所差异， 其空间上的差别会被冻结下来。因为这个图像与自旋玻璃的图像非常近似，f i s h e r 等人把它命名为磁通玻璃态( v o r t e xg l a s s ) ，姐他们还从理论上论述了一个二 级磁通玻璃融化相变的存在【7 】。另外磁通玻璃态理论还预言了一种新的涡旋态 的存在一一零耗散的涡旋玻璃态【1 4 】。尽管这个预言己经得到了电输运测量和 磁测量的证明，但仍需要更灵敏精确的测量结果。 磁通的动力学行为与材料中的杂质缺陷对磁通的钉扎作用有密切关系。对于 常见的无序钉扎，当钉扎强度弱时，低温磁通形成具有准长程有序的布拉格玻璃 ( b r a g gg l a s s ) 【1 6 1 8 。在钉扎强度不变的情况下，将温度升高到磁通熔化温度 ( m e l t i n gt e m p e r a t u r e ) 时，热涨落效应使磁通点阵发生b r a g g 玻璃态到磁通 液体态( v o r t e xl i q u i d ) 的固一液熔化相变；而当固定温度，增大钉扎强度时， 磁通格子则形成无序的涡旋玻璃相( v o r t e xg l a s s ) 【1 4 。这种由固相有序到固相 无序的相变主要是因为无序的集体钉扎效应引起的。在高温超导体的混合态中， 当有外加电流时，磁通受到洛伦兹力的驱动而运动，而钉扎的存在将阻碍磁通的 运动，在临界电流厶以下钉扎力抵消洛伦兹力使得磁通固定不动，进而保持无能 量耗散的超导状态。钉扎作用越强，厶就越大。这样的行为使得超导的大电流输 运成为可能。 ( 3 ) 数值模拟： 利用计算机模拟来研究高温超导体混合态中的磁通运动，不仅能够得到高温 超导电磁的性质与输运性质，还能够探索非平衡态系统的行为。高温超导体中磁 通的动力学行为与磁通之间的排斥作用、外加驱动作用、热噪声作用以及材料中 杂质缺陷形成的钉扎作用等有着密切的关联。 1 9 9 4 年v i n o k u r 和k o s h e l e v 【1 9 首次利用解析理论和数值模拟方法研究了二 维磁通格子在外电流驱动下的运动，并且提出了在无序钉扎系统中，随着驱动力 的增加，磁通格子的运动存在从塑性流动相到运动晶体的动力学相变，见图1 8 。 在强钉扎环境中，曲线瓜t ) 描述运动晶态与塑性流动之间的动力学相变；删e 石( d 则表示磁通线塑性流动与热帮助蠕动之间交叉的临界力。 o0 0 0 2o 0 0 40 0 0 60 0 0 80 0 1 t e m p e r a t u r e 图1 8 强钉扎系统的相图 f p 图1 9 动力学相图，尽是钉扎强度，凡是外加驱动力 一1 0 - s 2 5 1 s 0 筋 蛇 叫 舫 o 0 o 0 u 1 0 1 1 9 9 6 年由m o o n 和s c a l e t t a r 2 0 等人模拟了二维无序磁通格子在不同钉扎强 度下的动力学相图，见图1 9 。其中凡是洛伦兹力，毋是钉扎力。疋和凡将三 个相，运动玻璃态，塑性流动态以及被钉扎磁通玻璃态分隔开来。 这一年的4 月，g i a m a r c h i 和d e u s s a l 研究了随机钉扎分布环境中磁通格子 对外加驱动力的响应，并发现了与b r a g g 玻璃态相似的运动玻璃态。磁通格子在 规整的弹性耦合的静态通道中流动【2 1 】。 图1 1 0 结构因子与d e l a u n a y 三角形分布 随后k o l t o n 和d o m i n g u e z 2 2 】以及o l s o n 2 3 等人也用数值模拟的方法研究 磁通运动的功率谱，静态结构因子和磁通的d e l a u n a y 三角形排列，见图1 1 0 。 图1 1 0 ( a ) 中表示的是脱钉之后，磁通在塑性流动时的结构因子，这是一种类液 态的结构。它对应的d e l a u n a y 三角形表示钉扎起到了非常大的作用。图1 1 0 ( c ) ， ( d ) 与( e ) ，( f ) 则是非别对应着磁通格子软硬的区别。当磁通格子比较软的时候，磁 通的排布只在垂直于驱动力方向形成有序结构；而当磁通格子很硬的时候，磁通 在五y 方向均有序，形成了类似于晶体的结构。这些结果表明在磁通相互作用较 小的软格子中，尽管驱动力增大，但磁通格子始终在未耦合的通道中运动；而在 磁通之间作用较大的硬格子中，随着驱动力增大，磁通格子从近晶相变化到具有 耦合通道的运动晶体相。磁通格子软硬程度与外加驱动力的相图在图1 1 1 中给 出。由此也可以看到高温超导体中拥有更丰富的物理内容。 d r i v i n g 辩讥 图1 “无序钉扎中二维磁通的动力学相图。纵坐标表示磁通格子的软硬程度，横坐标表示 外加驱动力 最近，利用分子动力学方法还模拟了无序点钉扎中的三维磁通线的脱钉和蠕 动 2 4 】。磁通的低温结构与点钉扎的钉扎强度有关，可以是弱钉扎的b r a g gg l a s s 或者较强钉扎的v o r t e xg l a s s 。零温下磁通呈现连续的脱钉跃变，yo c ( f 一瓦) 声， r o 是临界脱钉力。对r o 附近不同温度的模拟数据进行标度后发现：零温的临界 脱钉也控制着低温下的磁通蠕动过程。运用标度理论准确地给出了临界指数和标 度函数，见图1 1 2 。结果表明在弱钉扎强度下，b r a g gg l a s s 的磁通系统发生非 a r r h e n i u s 蠕动；而较强钉扎的v o r t e xg l a s s 磁通系统发生著名的a r r h e n i u s 蠕动。 ( 1 - f j f ) t 。1 7 简 图1 1 2 ( a ) v o r t e xg l a s s 系统的v f 曲线，( b ) 是对( a ) 的标度处理 他们还对磁通线运动的“微观”过程进行了研究，具体在图1 1 3 中给出。图 1 1 3 中，当力稍稍大于r o 并且温度为零时，中等时间尺度下磁通线在弱钉扎环 境中均匀地运动，这保证了m o v i n gb r g ( m b r g ，运动b r g ) 的秩序【2 l 】。而磁 通线在强钉扎环境中则是以不均匀的方式运动，结果在运动中造成了额外的混 乱。甚至对于m b r g ，在不同磁通之间也有暂时的速度涨落，如图1 1 3 ( d ) 。即 在较短的时间量程内弱钉扎中的磁通运动也是随机的：磁通线表现出间歇性的运 动；例如，在同一时间内，一部分磁通运动，而另一部分静止，类似的情况出现 在系统不同的区域。整个系统的运动就是单个、随机运动的加和，其中蠕动占据 支配地位，随机钉扎作用是至关重要的。如图1 1 3 ( c ) 和1 1 3 ( d ) 所示，在脱钉之 上的磁通线形状取决于钉扎强度。 a = 0 2 国!，-黼x,-m飘0 0 鞴矽絮黾 滚芝 戆鹣靠：l ! l 图1 1 3t = 0 时的磁通运动。( a ) 和( b ) 中空心圆圈代表钉扎，线条代表磁通运动的轨迹；( c ) 和( d ) 中的实心圆圈代表的是钉扎，蓝色的线条代表的是磁通的运动轨迹。 1 4 磁通系统的可逆性与不可逆性 磁通系统的可逆性与不可逆性是近期的一个研究热点【2 5 。磁通体系在周 期外加驱动力下呈现两种不同的动力学特性。如果在周期驱动力下运动若干周期 一1 4 后，各个磁通能够回到初始的位置，称为可逆性( r e v e r s i b i l i t y ) ；如果磁通不能够 回到初始位置，并且随着作用时间的增多，而越运动越偏离初始位置，称为不可 逆性( i r r e v e r s i b i l i t y ) 。这两种行为可以根据磁通的净偏移累积量来区分。可逆行 为与不可逆行为之间存在着相变【2 5 。这两种不同的动力学特性被认为是广泛 存在于非平衡的多体系统中的，比如说w i g n e rc r y s t a l s 【2 6 ，d r i v e np a t t e m f o r m i n gs y s t e m s 【2 7 ，m a g n e t i cb u b b l ea r r a y s 2 8 ，运动胶体系统 2 9 】和第二类 超导体中的磁通系统【1 】。 图1 1 4 给出了运动胶体实验中的不可逆情况，各种颜色的轨迹意味着各个胶 体在周期驱动力作用下并没有回复到初始位置，而是随着时间越运动越偏离，从 而留下了诸多轨迹图。d j p i n e 等人发现当外加驱动力的振幅增大，则会出现不 可逆行为，并且不可逆行为的开始位置与l y a p u n o v 指数的快速增长相关密切 【3 0 3 1 。这表明在接近可逆与不可逆相变处，系统对扰动非常敏感。 图1 1 4 实验中运动胶体的不可逆情况下留下的轨迹 二维的磁通系统在小的运动范围内表现出可逆性，而在大运动范围内则会出 现不可逆性，这个临界的范围随着磁通密的增加而减小。还有研究表明不可逆性 是由于随机分布的钉扎造成的。在二维的磁通系统中，存在着很多的动力学相， 它们与驱动力的振幅和频率，磁通格子的软硬程度，钉扎强度等因素有关。通道 流动( c h a n n e lf l o w ) ，塑性运动( p l a s t i cm o t i o n ) ，以及近晶相运动( s m e c t i cm o t i o n ) 是磁通系统中非常重要的动力学过程【3 2 3 4 。但是这些动力学过程与周期驱动 下的不可逆性之间的关系并不是很明确。所以，在本论文中，我们研究可逆性与 不可逆性在c h a n n e lf l o w 与p l a s t i cf l o w 中表现。我们试图理解二维磁通系统中造 成不可逆现象的原因，进而揭示不可逆行为在其他非平衡多体系统中形成的原 因。 第2 章模型和方法 在纯净的第二类超导体当中，混合态时磁通以a b r i k o s o v 三角磁通格子的形 式存在。当我们在超导体内加入钉扎时，由于钉扎的局部吸引作用，可以使得磁 通“落入”钉扎势阱中，改变磁通的构象，并起到阻碍磁通的运动。当钉扎作用力 足够强时，磁通格子更多地呈现出与钉扎一致的排布方式。 2 1 物理模型 对于高温超导体薄膜，实验上可以通过离子束轰击的方法产生柱状钉扎。利 用这种方法，可以控制钉扎的排布以及钉扎的强度，使得我们的二维的磁通模拟 具有实际的意义，如图2 1 。 p i n ：r a d i u sr p 图2 1二维磁通平面模型( 磁场垂直于该平面) 在实验当中由于具体的钉扎强度的形式不可控，一般是通过改变钉扎半径来 调节钉扎强度的，而在模拟中我们却可以直接改变钉扎的作用强度【3 5 】，进而研 究磁通的动力学过程。 在高温超导体薄膜当中，磁通的运动可以用过阻尼方程描述：【2 3 ，2 4 ，3 6 3 8 】 毋l = f _ 4 - f v 4 - f d + f t 其中裱示粘滞系数( 模拟中7 7 取为1 ) ，e 是磁通的运动速度。 右边第一项表示磁通之间的排斥力， 亏”( 乃) = 艺导墨( 心五) 危 ， ( 2 1 ) ( 2 2 ) 其中k - ( x ) 为一级修正贝塞尔函数，a 表示薄膜的有效穿透深度，氏= 芴裹是 单位长度的能量，确是磁通之间的距离，扇是单位矢量。磁通相互作用随着确 的增大而迅速衰减。在我们的模拟中，截断半径取为凰= 6 2 。 右边第二项是钉扎对磁通的吸引作用【3 9 - 4 1 ， 户即( ) = 一；, v pf p 万r , p 。( 一啪妒 ( 2 3 ) 其中r 驴是磁通与钉扎中心之间的距离，灵驴是单位矢量，钉扎的半径取为r p = 0 2 2 ，o ( x ) 是h e a v i s i d e 阶跃函数。昂是最大钉扎力，代表钉扎的强度。 第三项局为外加驱动力，是磁通与外加电流的作用而得到的洛伦兹力。在 我们的模拟中，我们使用了不随时间变化的直流作用力 孝= e 曼 ( 2 3 ) 和随时间变化的交流驱动力 f = f as g n s i n ( 2 n t r ) j( 2 4 ) 两种不同的驱动作用。交流变化的驱动力是一个以r 为周期的方波形外加电流所 产生的。这里的s g n ( x ) 是- - 个符号函数，当x 是正的时候，s g n 返回“l ”；当x 是 负的时候，s g n 返回“一1 ”。 右边最后一项为随机的热噪声力，其关联为 - = 0 和 = 2 r k 8 t 3 。, b 3 ( t - t ) ，其中口，= x ，y 表示2 个方向。计算中力的大 小凡瘌毋的分布均满足如下高斯分布： 咿) 2 面未妒e x p ( 簟2 2 打2 ) ( 2 5 ) 在我们实际的模拟中，方差大小的取值与模拟所取的时间间隔h 有关 _ 2 r l k b t h ( 2 6 ) 时间间隔h 越小， 越大，但力与时间的乘积砌却是变得越小。h 越小， 结果越好，但是根据计算机的精度和程序执行效率的要求，h 也不能一直减小。 二者达到的平衡是我们计算的理想参数，需要反复测试调试来得出。 我们对这个模型进行分子动力学模拟，积分的实现用到了二阶龙格库塔方 法，边界使用的是周期性边界条件。模拟当中取到的长度、能量、力、时间、温 度单位依次为兄、国、矾、r o - r 2 2 国、e j o k b 。 我们模拟的系统钉扎在样本中随机排布，并且在r p 的范围内不重叠。在外 加驱动作用下，部分磁通在钉扎外部的样品间隙中运动，而部分磁通落入钉扎， 被钉扎住。被钉扎的磁通，除非受到能够克服钉扎的吸引作用的力，否则磁通只 能被局限在钉扎内。 2 2 分子动力学方法 我们的模拟程序采用的是分子动力学方法( m o l e c u l a rd y n a m i c s m e t h o d ) 4 2 。分子动力学模拟方法是研究复杂系统的有力工具，是原子、分子尺 度上求解多体问题的重要的计算机模拟方法。分子动力学是用运动方程来计算系 统性质的，因此能够得到系统的静态特性，也能得到其动态特性。对于平衡系统， 可以在一个分子动力学观察时间内作时间平均来计算一个物理量的统计平均值， 如磁通系统的平均能量，结构因子等；而对于一个非平衡系统过程，也能够研究 在一个分子动力学观察时间内( 一般为1 - - 1 0 p s ) 发生的物理行为，如构象的变 化、定向运动的平均速度等。分子动力学是基于粗粒化模型的假设，忽略其内部 结构和性质，对整体做分析。分子动力学假定原子的运动是由牛顿运动方程决定 的，这意味着原子的运动是与特定的轨道联系在一起的。当量子效应可以忽略， 绝热近似严格成立时，分子动力学的这一假定是合理可行的。 从1 9 7 0 年起，分子力学发展迅速，系统地建立了许多适用于生化分子体系， 聚合物，金属与非金属材料的力场，使得计算复杂体系的结构与部分热力学光谱 性质的能力大为提升。分子动力学模拟的优点在于系统中粒子的运动有正确的物 理依据，精准性高，同时可获得系统的动态与热力学统计信息，并可广泛的适用 于各种系统及各类特性的探讨。由于分子动力学的计算能力强大，能满足各类需 求，许多实用方便的动力学仿真软件包已经问世，成为研究所，高校，医院，工 厂的重要研究工具。 分子动力学模拟的通用过程大致如下： l 输入模拟参数：如温度、粒子数、压强、尺寸、模拟时间、时间步长、周期 性条件、驱动模式等。 2 体系初始化：包括粒子位置、速度等变量的初始化。 3 计算所有粒子的受力：根据具体选用的力场参数计算该时刻粒子之间的相互 作用力与相互作用能。 4 求解运动过程：选择合适的算法，解出牛顿运动方程，求得下一时刻粒子的 位置和速度。根据新得到的系统构象来计算各模拟参数。 5 计算相关物理量：计算出需要观测的物理量并保存。 6 重复第3 、4 、5 步骤直至体系演化完给定的时间长度或者是达到某收敛条件。 7 模拟完成，输出结果。 对于我们的系统而言，磁通是一种宏观的量子效应，可以建立粗粒化模型研 究其动力学性质。在研究磁通运动时，磁通被粗粒化为一个粒子，并满足过阻尼 方程，见公式2 1 。 这里给出一般微分方程的解法， 了d u ( t ) ：k ( 甜( f ) ，f ) d f ( 2 7 ) 在计算机上求解微分方程( 2 7 ) ，我们只能用离散化的时间间隔衍来求解。因此 需要建立一个有限差分的离散化格式。以差分代替微分，导出位置或速度的递推 关系。根据给出的初始条件，每个时间间隔破对系统进行更新。 使用离散化格式来对微分方程进行泰勒展开， 砸圳叫，) + 荤和卅疋 ( 2 8 ) 其中余项r n 给出近似的误差。根据上式建立一个差分格式，其离散化误差为h 量级。令n = 2 ，余项凡我们改用0 记号，得到 a _ u ( t ) ：h 一1 “o + 办) 一甜o ) 】+ d ( 办) ( 2 9 ) 口l d 了u ( t ) ：h 一1 【甜o ) 一“( f 一向) 】+ d ( 办) ( 2 1 0 ) ( 2 9 ) 与( 2 1 0 ) 是两种最为基本的差分格式，称为向前差商和向后差商。使用前向 差商我们可以得到普遍解决方程( 2 7 ) ( 其中初始时刻t 有初值嘶) 的欧拉算法。 即 甜( f ) = “ 甜( f + h ) = u ( t ) + h k ( u ( t ) ，f ) ( 2 1 1 ) 欧拉算法是一步法的典型例子。这种方法使用前一时刻的值作为唯一的输入参数 决定下一时刻的值。若我们取多个时刻的值并加以加权平均，得到下一时刻的值， 这种方法我们称之为龙格库塔方法，它能极大地提高计算精度。 经过测试二阶龙格库塔方法便能获得理想的模拟效果，所以在模拟过程中 我们采用二阶龙格。库塔方法。这里给出二阶龙格库塔方法的具体实现。 根据微分方程和给定初值， 去叫y ，f ) ( 2 1 2 ) 取时间步长为厅，计算y ( f ) = j ：f ( t ，y ) d t 。假定计算了第拧步的值肌，我们有第 n + l 步的值 y 洲= j ：”厂( f ，y ) 坊+ r “厂( f ，y ) d t = 少。+ r + 1 ( f ，y ) d t ( 2 1 3 ) 可以看出，主要问题祧a 疋1 3 异恹刀一j f t 。n “f ( t ，y ) d t 。将厂( f ，y ) ：i 折t a y l o r 级数展开， 并取一级近似的话，我们得到 儿川乙+ l 2 , y n + l 2 ) + ( ，2 ) 鲁 ( 2 1 4 ) 由于时间间隔h 很小，因此卜“l 2 趋于0 ，也就是说对积分的贡献非常小。我们 可以认为在很小的时间范围内 厂( ，y ) 厂( f 川2 ，虬+ l 2 ) ( 2 1 5 ) 可以得到 y 。+ l y 。+ 矿( f 肿l ，2 ，y 。l 2 ) = 此+ 矽( f 。+ h 2 ，y 肘1 2 ) ( 2 1 6 ) 这种算法中出现的y 川，：可以使用e u l e r 算法提前计算得出，即 ：+ 丢矽也，y 。) ( 2 1 7 ) 综上可得， j ，川+ 矽( t n + l 2 ，y n + l 2 ) 儿+ h f ( t + 办2 ，此+ 丢矽( 。儿) ) ( 2 1 8 ) 写成简单的形式为， 少。+ l = y n + h k 2 k 2 = 厂( f 。+ 办2 ，j ，。+ l h k l ) ( 2 1 9 ) k l = f ( t 。，儿) 可以看出根据上一时刻的变量可以求出下一时刻变量的值。在我们的模拟中，根 据磁通和钉扎的初始位置，计算出初始时刻的磁通受力，对下一时刻进行更新。 我们研究这种不断演化过程，得出磁通系统的一些重要物理性质。 第3 章直流驱动下的磁通系统的动力学特性 首先，我们