（基础数学专业论文）建构主义对数学创新教育的启示.pdf

6 i 士手 二 论文 k l a 5 i f 3 、丁 丁 巨 5 a b s t r a c t t h e h i g h e r s t a n d a r d o f t a l e n t i s a d v a n c e d i n k n o w l e d g e e c o n o m y e r a . w e s h o u l d b r i n g u p t h e p e r s o n o f s y n t h e t i c a l , i n d i v i d u a l , d i v e r s i f ic a t e . s o i t s a n u r g e n t t a s k t o e x e c u t e in n o v a t i v e e d u c a t i o n c o n t r a s t e d t o o u r t r a d it i o n a l s c h o o l p a tt e rn b y c r e a t i v e t e a c h e r s i n a c r e a t i v e w a y . a t t h e s a m e t i m e w e m u s t p a y m o r e a tt e n t i o n t o t h e c h i l d r e n s i n n o v a t i v e s p i r it , a b i l it y a n d c h a r a c t e r . i n n o v a t i v e e d u c a t i o n h a s t h e f e a t u r e o f s u b j e c t iv e , a l l - r o u n d , e x p l o r i n g , d e m o c r a t i c a n d s u r p a s s i n g . a s a r e s u l t o f c r e a t i n g , m a t h e m a t i c s t a k e s a n i m p o rt a n t p a rt i n t h e i n n o v a t i v e e d u c a t i o n . c o n s t r u c t i v i s m i s t h e s t r a i g h t c o n s e q u e n c e o f t h o r o u g h a n a l y z i n g p s y c h o l o g y a n d s p e c i a l l y c o g n i t i v e p s y c h o l o g y o n t h e e p i s t e m o l o g i c a l v i e w ,w h i c h r o o t s t h e t h e o r y o f v y g o t s k y a n d p i a j e t . i t a f f i r m s t h a t c o g n it i o n i s t h e p r o c e s s o f c o n s t r u c t in g a n d p e r f e c t i n g s e l f s t r u c t u r e o n o n e s o w n i n i t i a t i v e e x p e r i e n c e . s i t u a t e d t h e i r b a s i c o p i o n o n s t u d y , c o n s t r u c i v i s t p u t f o r w a r d s o m e n e w i d e a s o n s e l e c t i n g a n d o r g a n i z i n g t e a c h i n g c o n t e n t a n d d e s i g n i n g l e s s o n s , s u c h a s r a n d o m a c c e s s i n s t r u c t i o n , s i t u a t e d l e a rni n g , s c a ff o l d i n g i n s t r u c t i o n , c o o p e r a t i v e l e a rn i n g . mo r e o v e r , it o ff e r s a n e w a n g l e o f v i e w h o w w e u n d e r s t a n d t h e e s s e n c e o f m a t h e m a t i c s , w h i c h i s t h e d y n a m i c , e m p i r i c a l a n d q u a s i e m p i r i c a l v i e w p o i n t . u n d e r t h e g u i d a n c e o f c o n s t r u c t i v i s m , a t e a c h e r i s n o t o n l y a n i n f o r m a t i o n i n t i a t o r b u t a n i n s p i r a t o r , o r g a n iz e r , p a r t i c i p a t o r , i n t r o d u c t o r . t h e c o r e o f c o n s t ru c t i v i s m e m p h a s i z e s t h e s u b j e c t i v e p o s i t i o n o f s t u d e n t s . i t s t h e m a i n d u t y o f t h e t e a c h e r s t o m a k e b e n i g n a t m o s p h e r e i n c l a s s t h a t t h e l e a rne r s c a n c o m p l e t e l y e x e rt t h e i r o w n a b i l i t y , e x p l o r e n e w p r o b l e m ，g e t i n t u i t io n i s t i c e x p e r i e n c e a n d n e c e s s a ry p r e p a r a t i o n . r e l a t i v i n g t o t h e m a t h e m a t i c s k n o w l e d g e , it s m o r e i m p o rt a n t t o t e a c h t h o u g h t w a y o n t h e v i e w o f d y n a m ic . w e s h o u l d d e v e l o p t h e s t u d e n t s c o n s c i o u s n e s s a n d m e t a c o g n iz e , w h i c h i s v e ry u s e f u l i n t h e i r f u t u r e l i f e . a s t o t h e s i t u a t i o n o f o u r c o u n t r y , c o o p e r a t i v e l e a min g i s n o t t o b e s n e e z e d , i n w h i c h t h e c h i d r e n c a n m a s t e r t h e c o l l a b o r a t e a b i l i t y a n d h a b i t . o n a l l a c c o u n t s ,w e c a n g e t mu c h fr o m c o n s t ruc t i v i s m f o r o u r ma t h ma t i c s i n n o v a t i v e e d u c a t i o n . k e y wo r d s : c o n s t ruc t i v i s m , ma t h e m a t i c s i n n o v a t i v e e d u c a t i o n , e n l i g h t e n me n t 肇 6 t 士学位论又 1 1 a s t f n s i i i e , 卜 0 引言 己见端倪的知识经济时代，国际间综合国力的竞争日 益激烈， 这种竞争归 根结底是知识的竞争， 是创新人才的竞争。 因 而创新被提到了 前所未有的高度， 成为人们谈论的焦点。 “ 一个没有创新能力的民族，难以屹立世界民族之林。 ” 培养创造性、开拓性己 成为世界教育追求的首要目 标。 数学在现代生活中发挥着愈来愈重要的作用， 无论从事何种职业，都必须 具有一定的创造性地运用数学方法分析问题和解决问题的能力。 所以数学在创 新教育中肩负着举足轻重的作用， 它能激发学生的创造意识， 培养创造性的个 性品质和灵活的思维能力。 我国传统的数学教育中， 重知识的传授与继承， 轻 能力的培养， 学生基础知识虽扎实， 创造力和实践能力却相对贫乏， 具有创新 精神的学生少。在应试教育的阴影下，教师和学生都深陷“ 题海战” 之中，苦不 堪言。 显然传统的以 教师为中心的教学模式阻碍了 对青少年创新意识和创新能 力的培养， 严重地影响了我国创新型人才的成长，已不适应时代的发展， 因而 转变教育观念，施行创新教育已迫在眉睫。 随着世界数学教育改革与数学教育研究的深入进行， 数学教育的认知科学 研究己 越来越引 起人们的关注， 特别是八十年代建构主义学习理论的兴起， 对 数学教育产生了重大而深远的影响。 一九八六年， 在伦敦举行的第十届数学教 育 心理学会 ( p m e - 1 0 ) 的分组会上，冯. 格拉斯菲尔德 ( v o n g l a s f i e l d ) 等发 表了题为 “ 合成单位及构成它们的运算”的研究报告， 人们对支持这一报告的 理论框架- 一认知建构主义 ( c o n s t r u c t i v i s m )产生了普遍的兴趣。两年后， 认知建构主义被人们所广泛接受。至今仍是国际数学教育界最热门的话题之 一，以致于关心数学教育的大多数心理学家多少都可以 被看成是建构主义者。 现代建构主义认为认识并非主体对于客观实在的简单的、 被动的( 镜面式的反 映) ， 而是一个主动的建构过程， 这也就是说， 所有的知识都是被建构出 来的; 在建构的过程中主体己 有的认知结构发挥了特别重要的作用， 后者并处于不断 的发展之中。 建构主义充分肯定了主体在认识活动中的能动作用， 对教育尤其 是数学教育产生了重要的影响。 戴维斯曾这样描写到“ 任何一个考察数学教育 的人都会对 建构主义突然爆发为研究者的核心课题而留下深刻印象。 ” ( d a v i s , 1 9 9 2 )目 前， 建构主义的学习理论已 成为我国 广大教育工作者研究的 1、;牛带沂; 7 , ) 、 一 启阵 !;九 介 热点， 正在渗透到数学教育的各个领域， 它对我们开展的创新教育有什么意义 呢?这正是本文要研究的问题， 本文分三部分， 第一部分对实施创新教育的必 要性、创新教育的涵义、创新教育的特征、创新与数学进行了研究。第二部分 介绍了建构主义的发展、建构主义的学习观和教学观、建构主义数学观。 第三 部分具体研究了建构主义对数学创新教育的启示，在建构主义理论的指导下， 数学教师必须改变机械的和静态的数学教学观， 重新认识教师在教学过程中的 主导作用: 充分发挥学生的主体性， 帮助学生获得必要的直观经验和预备知识， 鼓励学生自主探索， 培养创新意识和提高创新能力; 重视数学思想方法的教学， 提高学生的自 觉意识和元认知能力; 开展合作学习， 培养学生创造性个性品质。 1 创新教育 自9 0 年代以来， 世界范围内发生了一系列新的深刻变化 经济全球化、 信息网络化、 社会知识化， 这种浪潮正在不断的改变人类的生存环境和生活方 式。科学技术突飞猛进的发展，使知识的增长和社会变化的速率也空前加快， 人类只有改变学习方式， 才能适应社会的迅速变化，因而传统的知识传授体系 需要被新的教育体系代替。 1 . 1 实施创新教育的必要性 目 前我国学生负担过重， 减负的呼声虽然一阵高过一阵， 但学生的参考书 却越来越多， 补课的时间是越来越长。 学校普遍素质教育喊得轰轰烈烈， 应试 教育抓得扎扎实实。 应试教育是高效率的知识教学， 把学生知道当作教育的目 的，并不关心或者至少没有重视学生能否在实践中有效地运用这些 “ 知道”了 的 “ 知识” ，更不用说学生创造性地运用这些 “ 知道”了的“ 知识” 。一群群中 小学生， 过早的成了学习的机器， 几乎把所有的生命活力消磨在以传授灌输为 主的课堂教学上。 他们缺乏对生活的热情， 缺乏对大自 然的好奇心， 难以想象， 他们如何迎接新时代的挑战呢?我国的中学生屡获国际奥林匹克竞赛的金牌， 但国人中却无人获诺贝尔奖。 象李政道、 杨振宁等美籍华人却又在别人的国土 上获诺贝尔奖， 难道他们就是我们民族中最优秀的吗?我们的大小留学生到了 拿) 全手位论文 s f h e s i s 国外学习成绩都是出类拔萃的， 但他们的动手能力和创新能力却又不如人， 我 们的学生学习刻苦， 我们的科技却又不发达。 那我们的教育缺乏什么呢?深入 反思， 是否我们缺乏适合创造性人才生长的土壤呢?不得不承认， 我们的教育 机制出了毛病，片面重视知识的传授，忽视创造性的培养。 2 1 世纪是知识经济时代， 人类经济和科技都得到了飞速的发展。 财富的增 长主要依靠知识的革命，脑袋的革命。知识、发明、创造对社会发展的作用越 来越重要。如果说知识经济是以知识为依托和动力的经济形态的话， 那么创新 精神和创造能力就是这一经济形态的灵魂与脊梁。 应试教育产生和发展于农业 经济向 工业经济的转轨时期，当时经济数量上的增长， 主要依靠技术的引进和 运用， 对人才的要求是通用型、标准化、应用型和功利型的。决定了教育的简 单划一，即从上到下，使用统一的教学大纲，统一的教材，统一的教学进程， 统一人才质量标准， 适应了当时社会的需要，发挥了积极的作用。 现代科技发 展和信息革命的发生，使得社会千变万化， 那种忽视个性，习得和模仿式的教 育己经不能满足时代的需要。 2 1 世纪知识成指数迅速增长， 任何人都不可能在 学校教育阶段学到终生所需的知识， 因而未来社会人才的素质再也不是以掌握 知识的多寡来衡量。 知识经济时代对人才提出了更高的标准， 要求人才素质综 合化、 个性化 人才类型多样化。 那种呆板划一的人才标准和人才观念己 不能 适应社会发展的需要， 所以我们要树立全新的教育观念， 要重视人才的全面素 质的培养， 特别是重视人才的开拓精神和实践能力、 进取精神和应变能力、 创 新精神和创造能力。 1 . 2创新教育的涵义 什么是创新教育， 这是个较难定义的概念。 创新、 创造严格来说都是开创 性的， 没什么根本的区别。简言之， 就是要培养出具有创新意识、 创新能力和 创新人格的新型人才。 创造性是一种十分复杂的心理现象， 不同的心理学家有 着不同的研究角度和研究方法。 给它下一个描述性的定义是指: 在给定的情景 下，产生出某种新颖、 独特的、有社会意义或个人价值的产品的智力品质 ( 林 崇德，1 9 9 5 ) 。 各国学者一致认为， 创造性不仅以发明创造， 科学理论的建构， 新产品、 新成果和艺术作品等物化的形式表现出来， 更重要的是体现在人的发 譬 森，)石 f r 几二 又 展上， 包括个性的健全、 脑力和智力的促进。创造性是一种连续的而不是一种 全有或全无的品质， 创造性人皆有之，至少创造性潜能人人皆有。陶行知先生 在 创造宣言中就指出: “ 处处是创造之地，天天是创造之时，人人是创造 之人。 ” 创造性没有等级，学生发明一种新游戏，与爱因斯坦提出相对论一样， 都是创造性活动。 人的创造性潜能的释放， 主要依赖于人的自 主创造意识和创 造性动机 ( 罗杰斯) 。因而我们在开展中小学创新教育时，就应该把目 标定位 为开发学生的创造性潜能，启蒙创造意识， 激发创造动机， 形成创造性生活习 惯，即创造性地学习， 而不是要求学生有重大的发明创造。同时， 教育具有培 养创新精神和压抑创新精神的双重功效。没有丰富的知识和敏捷的思维能力， 就没有创新的基础。 而在传授知识之时可能制造条条框框， 在训练思维之时可 能赶走灵感，在注重全体之时可能忽略个性，在讲究规范之时可能压抑自 由， 双重力量相伴而生， 实施创新教育要最大限度地强化培养创新精神的 正面力量，遏制负面力量，提高创新意识和创新能力。 1 .3创新教育的特征 创造教育自本世纪初提出， 迄今己近百年。 但我国现阶段的创新教育更具 有时代特征。 8 0 年代之前， 创造教育主要是针对传统教育压抑儿童个性、 主动 j性 和创造性而提出来的。当时往往是面向少数英才， 注重创造技能的训练。而 现阶段的创新教育是素质教育的灵魂和核心， 是高层次的素质教育。它不仅是 为了满足人的创造本性的需要， 而且是为了迎接知识经济时代的挑战， 把它纳 入到国家创新体系中， 把培养创造性人才作为关系到国家、民族、社会主义制 度的兴衰存亡的大事来抓。具体说来，现阶段的创新教育有以下主要特征。 第一: 主体性未来社会要求每个人都成为主宰自己命运的主体， 这就决 定创新教育是学生作为认知的主体， 积极参与到学习活动中去， 有目的的学习、 探索、建构知识体系，有选择、创造性地 自 我认识、自 我调控，为实现自己的 目 标而学习，使学习成为学习者的需要。 第二:全面性现代的创新教育是面向全体学生，提高学生的整体素质， 全方位培养学生的创新精神，提高全民族的创造力。 一方面，因为创造性是每 个学生都具有的，要挖掘不同学生的创造性，使他们自由地发展。另一方面， 摹 s - 士学位论文 l a s i f r s t h e 5 i 5 创新教育要引导学生掌握全面的、百科全书式的基础知识， 开发学生各方面的 潜能，使学生在德、智、 体、美、劳等方面发展， 这是学生赖以创新的基础和 源泉。 第三:探究性创新教育离不开对问题的探究，否则就没有学习的热情， 就不可能有学生的独立思考， 不可能有学生主动积极的参与和相互之间思维的 激烈碰撞而进发出智慧的火花。可以说， 探究是创新的源泉， 所以应当鼓励学 生独立思考，积极探索，训练批判性思维能力，提出独到的见解。激发学生探 究的兴趣， 引导学生创造性地思考， 发展自主学习的能力， 形成创造性的人格。 第四:民主性 创新要求有民主的环境和氛围， 学生只有在没有任何形式 的压抑与强制的情形下， 才能自由自 主的思考、 探究，无所顾忌的发表见解， 提出理论的假设， 大胆果断而自 主的决策和实践， 才有可能创新和超越。 应试 教育在教师的权威地位下， 学生不敢和没有机会发表自己的见解， 最大的弊端 就是使学生表现出依赖性、奴性，思维愈来愈笨拙与迟钝，这怎么可能有创新 呢 ? 第五: 超越性创新教育本质上就是引导和激励学生不断超越与前进的教 育。如前所述，中小学生的创新只能是相对于学生原有的水平而言，或相对于 同学群体的水平而言确有新的开拓与前进， 有独特的做法与解法。 所以要激励 学生不仅仅是继承和接受知识， 而应是培养创造性习惯， 使学生不满足于自我， 进行探索和突破，实现超越，把超越现实自 我作为自 身最高价值追求。 1 . 4 创新与数学 全部数学史就是一部生动活泼的创造史， 整个数学大厦就是一幢充满创造 活力的大殿堂。 不少数学家曾以明确的语言肯定了 数学的创造性质， 如美国 数 学家哈尔默斯就曾指出， “ 数学是创造性的艺术，因为数学家创造了美好的概 念;数学是创造性的艺术，因为数学家象艺术家一样地生活，一样地工作， 一 样地思索;数学是创造性的艺术，因为数学家这样对待它。 ”而且数学事实证 明，一切数学知识的诞生， 数学理论的应用都是创造性智慧的结晶。 在这种活 动过程中萌发着创造的思想，产生着创造的方法，孕育着创造的意识，培养着 创造的能力。近代数学的发展过程中充分表露了这一切，如高斯、鲍耶、罗巴 ”一、古 几 尸 了 分 ， 丁一卜 时 全 z 切夫斯基等冲破欧氏绝对空间， 对平行公理做直接的否定， 创立了相容的双曲 几何;哈密尔顿从二元数惊奇地跳跃三元数，直捣四元数的成功 恩格斯把 数学视为 “ 人类悟性的自由创造物” ，可以说数学具有创造的本性。 青少年学习数学既要获取数学家群体创造的数学知识和技能， 更要吸收数 学家们在创造过程中反映出的创造意识、思想和方法， 为自己 今后的创造奠定 基础。要主动的参与数学活动，从事数学探求。数学创新意识与能力是在对自 然界和社会中的数学现象产生好奇心与质疑， 从数学的角度予以独立思考， 进 而发现和提出数学问题并在解决问题的过程中形成的。 数学创新教育即要创设合适的教学情境，给出学生从事数学活动的空间， 激发学生的好奇心，产生数学质疑。并在教师的指导下，开展数学的交流与合 作，让学生在数学实践中发现数学，理解数学，创造数学。 2 建构主义与建构主义数学观 “ 在教育心理学中正发生着一场革命， 人们对它叫法不一， 但更多地把它 称为建构主义的学习理论 ( s l a v i n , 1 9 9 4 ) 。 建构主义在现代的兴起可被看成， 从认识论的角度对心理学特别是认知心理学的研究成果进行深入分析的直接 结果。 因此一些学者认为建构主义是学习理论中行为主义发展到认知主义的进 一步发展。他们强调学生原有的认知结构，强调学习的主动性、社会性、情境 ,睦， 对学习和教学提出了许多新的见解， 也为我们更深入地认识数学的本质提 供了新的视角，即所谓的 “ 建构主义的数学观” 。 2 .1建构主义的发展 建构主义的发展受到了当代哲学思想的影响，比如波普尔、图尔敏、拉卡 托斯、库恩等的科学哲学思想、新进化论，以及当今的现代哲学等。在学习与 教学领域中，建构主义受到了几个重要人物的影响，包括: ( 1 ) 杜威的经验性学习理论杜威强调，教育必须建立在经验的基础 上，教育就是经验的生长和经验的改造，是在经验中，由于经验和为着经验的 一种发展过程。学生从经验中产生问题，而问题又可激发他们去探索知识，产 f il 士学位论文 % uti t f r s t h f si l 生新观念。 ( 2 ) 维果斯基的思想很多学者认为维果斯基是社会建构主义的直接先 驱， 他强调社会历史文化背景对学习有重要影响。 在说明教学与发展的关系时， 他认为 “ 儿童的教学可定义为人为的发展” 。维果斯基提出了 “ 最近发展区” 的思想， 认为教学必须考虑儿童己达到的水平并要走在儿童发展的前面。 他把 学习者的日常经验称为 “ 自 下而上” 的知识， 而把他们在学校学习的知识称为 “ 自上而下”的知识，前者只有与后者相联系才能成为自 觉的、系统的知识; 后者只有与前者联系， 才能获得成长的基础。 社会环境不仅是个人智力发展的 必要条件，而且也具体地决定了智力发展的方向。 特别是， 智力的发展事实上 就是 “ 社会经验的内化” ，这样说来，即必须各个个别儿童在头脑中相对独立 地去完成，也清楚地表明了认识活动特别是学习活动的建构性质。 ( 3 ) 皮亚杰的发生认识论 他认为认识既不是起源于主体，也不是起源 于客体，而起源于主客体的相互作用。 通常，个体在遇到新的刺激时，总是试 图用原有认知结构去同化它，以求达到暂时的平衡。同化不成功时， 个体用顺 应的方法，即通过调节原有认知结构或新建认知结构，来达到新的平衡。在皮 亚杰看来， 学习并不是个体获得越来越多的外部信息的过程， 而是学到了 越来 越多的有关他们认识事物的程序， 即建构了 新的认知结构。 行为主义认为学习 是刺激反映联结的过程， 即外部信息机械累积的过程。 他们不研究学习者 头脑中发生了什么变化，在他们看来， 变化的只是学习的任务，而皮亚杰把研 究的重点放在学习者解决问题时， 认知是如何发生的。 例如: 为什么一个5 岁 的小孩看到水从一个玻璃杯倒入另一个形状不同的玻璃杯时， 会认为水量发生 了变化， 而在 7 岁以后就认为相等了呢?皮亚杰认为，儿童学到的是一种解决 问题的程序， 或形成了一种新的认知图式， 它不是原有图式的延续或信息的机 械积累， 是创造性的。 从某种意义上来说， 学习是通过反省抽象来创造的过程， 同化只有在儿童积极参与建构时才有可能发生。 现代建构主义的核心观点是: ( 1 ) 认识是主体对客观实在的积极主动的建构过程， 而非简单的被动的 ( 镜面式的)反映; c e r s i 叫 、 协 遍一 论， 即认为数学学习并非学生对教师所授予知识的被动接受， 而是一个以原有 认知结构为基础的主动的建构过程。 从我国的教学实践来看， 许多教师是深受 行为主义观点的影响的。事实上， “ 题海战术”就是以此为渊源的，使学生不 断的强化训练， 在刺激与反应之间建立紧密联系，而不是强调理解、 认知和创 造性。 这样的教学活动抹杀了学生之间所必然存在的个体差异， 使学生处于被 动状态。 建构主义的数学观具有重要的教学涵义，由于数学对象并非现实世界 中的真实存在， 如果学习者不能首先在头脑中实际地去“ 建构” 出相应的对象， 也即使借助于语言“ 外化”了的对象重新转化为思维的内在成分， 就不可能获 得真正的数学知识。 另外，由于所说的建构活动并非是指我们应当在头脑中机 械地去重复有关对象的逻辑定义， 而主要是一个“ 具体化” 和“ 同化” 的过程， 因而每个学习者都必须相对独立地去完成所说的建构工作， 也就十分清楚地表 明了数学学习活动的主动性和创造性质。 3 . 1 . 2 数学教师作用的重新认识 按照建构主义教学观， 教师的主导作用是毋庸置疑的， 他不再是简单的知 识授予者，而是要帮助学生发挥主体作用，积极进行数学建构活动，培养学生 的探索创新能力。 他是数学建构活动的激励者、组织者、参与者、指导者和评 估者。 3 . 1 . 2 . 1 教师是数学学习活动的激励者 教师要激发学生的数学学习动机， 包括数学学习的社会性动机和认知性动 机 ( 好奇心、求知欲、兴趣等) 。教师应让学生充分认识到数学在当 今社会发 展中的作用， 而不只是一堆无用的符号和公式。 “ 兴趣是创造之源” ， 如果没有 兴趣，是不可能会有创造的。教师首先要利用数学的应用广泛性、 趣味性， 优 美性激发学生对数学学习的兴趣，产生创造的热情。 例如，有一位数学教师在讲对数表之前，拿出一张纸对学生说: “ 这张纸 厚0 . 0 8 3 0 毫米， 现在对折三次， 厚度还不到1 毫米，要是对折3 0 次， 请大家 估计一下厚度是多少?”学生纷纷估计，教师又说:“ 我经过计算，这厚度要 超过十座珠穆朗玛峰叠起来的高度。 ”学生们都很惊讶，根本不信。教师很自 豪硕士宇 二 i、 、 【 匕 e 、 止又 然的引入对数表的学习中， 这样使学生感到数学是有趣和有用的， 调动了积极 .陛 o 从更深的层次看，要培养学生对数学美的鉴赏能力， “ 缺乏这种审美感的 人永远不会成为真正的创造者”( 彭加莱) 。 例如: 在复 数教学 中， 对于 欧 拉 公 式 e = c o s x + i s i n x ， 令 x = 二 ， 得e ,n + 1 = 0 , 奇巧而有趣的是，数学中的 “ 五朵金花”中性数0 、基数1 、虚数单位i , 圆周率二，自 然对数的底数 e竟能组成一个重要的 “ 最美的等式” ，不可谓不 绝，体现了数学的简洁美，和谐美。事实上，数学中的美无处不在，要培养学 生这种数学的美感，激发创造灵感。 3 . 1 . 2 . 2教师应当 很好地发挥教学活动组织者的 作用。 传统的教学活动中， 教师较多考虑 “ 教” 的技巧而较少探索 “ 学” 的规律， 使学生处于被动接受的位子上。 建构主义者认为那种满堂灌的传授方式， 使学 生长期处于服从和容纳状态， 形成惰性和依赖性。 因而教师必须对数学知识的 建构进行设计和组织， 将书本上的内容转化成具有探索性的数学问题， 使学生 主动参与，完成知识的建构过程。 例如: 有的数学教师以问题的形式对 “ 相交弦定理”的学习过程做出如 下设计:( 1 ) 圆的两弦有几种位置关系;( 2 )若圆的两弦所在的直线相交， 按其交点与圆的相关位置来讨论有几种情形;( 3 ) 观察交点是圆心的情况下， 被交点分成的四条线段有哪些特殊关系;( 4 ) 研究交点在圆内的一般情况下， 四条线段的哪些关系仍保留，归纳成数学命题: ( 5 ) 探求相交弦定理的证明并 用 “ 定值”的形式表述;( 6 )能否找出这个定值;( 7 )在理解定理的基础上， 巩固练习;( 8 )若交点在圆上或圆外，定理的结论是否成立，能否得到一般的 结论? 这样以问题为教学的出发点， 能调动学生的学习积极性， 扩展其思维空间， 有利于学生创造性的发挥。 并且逐渐引导学生自己去设计具有探索性的数学问 题，训练思维的开放性。 3 . 1 . 2 . 3教师应发挥重要的导向作用 由于教学活动是在学校进行的一种社会化活动， 学生通常不能清楚地意识 c - 士字位论及 肇 到所建立的知识或己 有经验的局限性， 更不能自 觉地去设定学习目 标， 并自 发 地形成更为合理的思维方法或建构起系统的理论知识。 所以教师应在教学中很 好地发挥 “ 启发者” 、 “ 置疑者” 、和 “ 示范者”的作用。 当学生遇到困难时，教师不应成为从天而降的 “ 救世主” ，而应成为一个 有益的启发者， 调动学生原有的认知结构， 适时点拨， 循循诱导， 使其摆脱困 境，启动创造机制。而当学生取得独立进展时，教师应当予以及时反馈，明确 其进一步的 前进方向。 例如: 己知x e r ， 常数a * 0 , 口 二 ， ，、 _ 1 + f (x ) 且 a l wa j 林 十u ) 一 了 一 万 7 不 i 一j林) 问 f ( x ) 是 否 是 周 期 函 数 ， 证 明 你的 结 论 。 对 于 此 题， 关 键 是 要引 导 学 生 观 察 f (x 十 。 ) 寻 土 a - ) 的 结 构 ， 提 示 其 是 否 与 熟 知 的 某 个 公 式 有 些 、呢 ? 引 导 其 1 一 f 联 想 。 f : + 引 毕 土 喇 ， 与 要 求 的 函 数 f (x ) 有 什 么 联 系 呢 ? tg x 是 周 期 函 -一又4 ) 1 一 1 a ( ) 数， 它 的 周 期 为 二 ， 猜 想 出 f ( x ) 可 能 是 周 期 函 数 ， 且4 a 可 能 是 它 的 周 期 ，这 时鼓励学生更进一步地去证明，求得最后结果。 如前所述， 现代学习心理学中， 对学生所持的各种观念，人们现今普遍采 取了一种更为宽容的态度。认为它们都是建构活动的产物，对于错误的观念， 可能是由于不同的认知方式所造成的， 提出了 “ 替代观念”这一说法。如学生 常出 现的 错误:s i n ( a + b ) = s i n a + s i n b , lo g o ( m + n ) = l o g o m + l o g o n， 是 源 于分配律的滥用和对己学知识、 方法的不恰当推广。 因而对于学生所犯的错误， 切忌简单的否定， 否则会扼杀个性和创造性，使学生千篇一律，循规蹈矩， 不 敢提出什么新的想法。 教师应当寻找错误产生的根源， 努力通过自己的创造性 劳动做 “ 活生生的”示范，抓住本质，正面提供适当的 “ 对照物” ，甚至挖掘 错误中的闪光点，向正确观念转化。 例如: 己 知。 、刀 是实系数方程x 2 + x + p = o 的 两 个虚根， 且 a 一 刀卜 3 ， 求 p的值。 错误解答: 根据韦达定理有 a 十 刀 二 一 1 ，a 刀 = p ， 9 = 1 a 一 刀 二 ( a 一 ,8 ) = ( a + / 3 ) 2 - 4 a ,6 = 1 - 4 p ， 可得p = - 2 。 显然p 二 一 2 时， 原方程有实 数根， 与 题设 矛 盾。 正确解法: 设a = a + b i ， / 3 = a - b i ( a , b e r , b 0 ) , 纂 ) 厂 代入代 入 。 一 刀 1= 3 ， 得 b = 要 ， 所 以 。 二 。 ， 二 要 。 乙 以上纠正了错误，也给了正确解法，但不是最佳的。问题:( 1 ) 遇到一元 二次方程的根与系数的问题，尤其是含有两根之差时，通常利用 ( a - 刀 ) 二 ( a 十 刀 ) 2 - 4 a 刀 ， 所以 平方 是 常 规 思 路， 错因 :i z i 2 m z 2。 能 用 上 述错解中的 “ 平方”的思路实现解题目的吗?( 2 ) 上述正确解法似乎给人一种 感 觉: 遇到复数问 题均设a = a + b i , p = a - b i ( a , b e r ) ， 化复 数为 实 数吗? 引导 学生分析上述错误的过程，发现:i .尽管在复数集中 z i 2 s z 2 ，但却有 i z i 2 = i z 2 i ， 能否利用这种“ 平方” 关系解题呢?i i .错解中 漏用一条件“ a . q 是 实 系 数方 程x 2 + x + p = 0 的 两 个 虚 根” ， 而 错解中 的( a + 刀 ) 2 - 4 a ,q = 1 - 4 p 又 正好 是 判 别 式 ， 由 a . 刀是 虚 根 知 1 - 4 p b c ， 求 证 一 匕十! + 一 上 一 ) 0 ， 这 是 一 道 结 论 - 一一a一b b一“一a 可进一步加强，命题可以再深入推广的好题， 具有很大的灵活性和伸缩性。教 师应当适时提出:怎样加强原命题呢?这是一个富有吸引力和挑战性的问题， - 一 一- 。一1 1 2 并以 此为 起点 构 造一 个 个台 阶 让 学 生去 攀登。 引申1 :一十 一十 一 二 一 ) 0 ; - -一a 一 b h 一 c c 一 a 引申2: a一h i 十 + h一c 红: 0 ; l 申 3 i + a一h 4 一 _ 0 。 命 题 还 可 c 一 ab一c c一a 以继续向多个变量推广， 没有终极的答案， 教师应鼓励不同层次的学生都参与 使他们都能得到自己的答案，训练他们的开放性思维能力。 3 . 2 . 3鼓励学生自主探索，发展思维的创造性 、簧 硕士学位; 全 又 k l a s t e r s 丁 i ! t 叹 学生主体性的发挥， 远不止课堂上积极回答问 题， 上黑板演示等， 而应该 表现为内在思维上的主动。从这个角度来说， 应该鼓励学生自主探索，多提问 题， 使思维始终处于问题提出问题求解问题解决的状态中。 我们中国 人讲做学问，可现在的学生只会学，不会问。 提不出问题是不可能有创新的， 所以首先要培养学生提出问题的能力。 如某教师在抛物线的教学中设计问 题 : 直线 y = 2 x + m 与抛物线 y = x 2 相交 于a , b 两点， _， 求直线的方程。 要求学生补充适当的条件，使直线方程 得以 确定。学生纷纷议论，提出了许多问题，如: ( 1 ) i a b i -万;( 2 )设。 为 原 点 ， l a o b = 9 0 ; ( 3 ) a b 中点纵坐标为6 ; ( 4 ) a b 过抛物线的焦点f 等问题 。 涉及到的知识点有韦达定理、 弦长公式、 中点坐标公式、 抛物线焦点坐标、 两直线互相垂直的充要条件等。 在以 往的教学中， 学生向 来都是做答， 处于 被 动地位。设计问 题， 让学生主 动去探索，真正有一种主体意识和创造意识。 在教学中，特别要注意防止学生用一种习惯了的固定思维模式去考虑问 题，尤其是不要轻易将方法和结论 “ 施舍”给学生，而应当鼓励学生去猜测、 去探索。 如教材中在数学归纳法学习之后有例题: 平面内有n 条直线，其中任 何 两 条 不 平 行 ， 任 何 三 条 不 共 点 ， 证 明 交 点 的 个 数 f (n ) = 喜 n ( n - 1 ) 。 在 这 里 问 一 ，一一2 题的结论已给出， 因此证明的过程仍是围困在演绎体系中， 甚至学生要做的只 是按部就班的套用数学归纳法的三步骤， 纯粹是一种机械式的。 但这个结论是 怎么来的，学生没有体会知识的生成过程， 就象波利亚所说的“ 帽子里掏出来 的兔子” 。如果把它改为:平面内有 n条直线，最多有多少个交点?此时问题 出现了两个探索层次( 1 ) 欲使交点的个数最多， 直线的位置关系应如何?( 2 ) 由n = 1 , n = 2 , 发现， 猜想、 论证。 效果会更好些， 学生经历了 猜想操作的过程， 也有利于更深刻的理解数学归纳法。 若只注重结论的传授和方法的应用， 一味 地模仿，会导致学生思维发展的停滞，聪明才智被扼杀。 3 . 3再现 “ 脚手架” ，提高创新能力 支架式教学主张应为学习者建构对知识的理解提供一种概念框架， 最终达 爵 、;、 贾.1 - 一丁 、弓伙卜 、一 、 到学生对知识的独立建构， 使监控学习的责任逐渐由老师向学生转移。 从我们 目前的数学教育来看，即是要再现数学思想方法，诱导实现数学的重新创造， 达到数学知识水平和数学素质的提高，培养学生的自 觉意识和元认知能力。 3 . 3 . 1重视数学思想方法的教学，提高学生的创造能力 数学归根结底是人类建构活动的产物，由于它的形式特性， 数学思想方法 相比具体的数学知识来说更有意义。 只有清楚地认识到隐藏在具体数学知识背 后的思想方法， 我们才能更深刻地理解和更牢固地掌握具体的数学知识， 才能 真正把数学课 “ 讲活” 、 “ 讲懂” 、 “ 讲深” 。就新的创造性工作而言，具体的数 学知识只是提供了必要的基础，关键在于分析问题和解决问题的能力的大小， 这在很大程度上来说是对于有效的思维模式地自 觉运用和创造。 另外， 从教学 的角度分析， 大多数学生将来并不从事专门的数学研究， 也未必用得上任何稍 微高深一点的数学知识，而数学思想方法则有着十分广泛的普遍意义。 它不仅 可以用于数学研究， 而且可以用于人类社会生活与文化研究的各个领域。 特别 地，正是数学思想方法不依赖于任何物质形式， 我们可单纯凭借“ 思维的想象 和创造” 去构造出各种可能的量化模式， 从而为人类的创造性才能的充分发挥 提供了理想的场所。因而，我们应把帮助学生学会数学地思维， 学会数学地观 察世界、解决问题看成数学教育的主要目 标。 中学数学课程内容是由具体的数学知识和数学思想方法组成的有机整体， 数学思想方法蕴涵于数学的知识体系之中， 并没有明确的揭示和总结。 但数学 教材的每一章乃至每一道题， 都体现了两者的有机结合。 这是因为没有脱离数 学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识， 这就产生了 如何处理数学思想与数学方法的教学问题。 一般认为， 首先是应当遵循渗透性 原理。即在具体的知识教学中， 通过精心设计的教学情境与教学过程，引导学 生领会蕴涵在其中的数学思想方法，在潜移默化中达到理解和掌握。 如在 “ 用公式法求一元二次方程的根”这一节课中，如下设计: 解一组方程:( 1) x 2 一 4 =0 ，根据平方根的性质， 得 x=2或 x 二 一 2 。( 2) ( x 十 3)2 =l， 根据平方根的性质， x +3习或x +3= 一 1 ， 得x 二 一 2 或x=一 4 。 归纳出直接 开平方的方法:当方程的一边是完全平方形式， 另一边是非负数的平方时，直 舫士学 二 ; ， 又 箭 接开平方即可求出方程的根。 ( 3 ) x 2 + 4 x + 3 = 0， 此时无现成的完全平方， 如 何将左边转化成完全平方形式而将未知转化成己知， 按直接开平方法求解呢? 引出讲解配方法， 然后做几个练习， 熟悉配方法的步骤。 ( 4 ) x z + p x + 2 = 0 c ( 5 ) x i + p x + q = 0 ， 使学生逐步适应用字母代替数的思想方法。 ( 6 ) a x + 6 x + c = 0 ( a # 0 ) , 得出求根公式。 这一段中，配方法是数学中重要的方法，学生基本上是首次接 触， 对其中深刻的数学思想很难理解。 如果设计不当， 对推导过程不着意引导， 学生对这节课的理解就是: 记住求根公式，对于任给的一个一元二次方程，都 能准确、 迅速地求出它的根。 记住求根公式就行了， 而蕴涵于其中的归纳概括、 转化、 配方、 一般化等数学思想方法都不见了， 代之以程式化、 模式化的东西， 久而久之， 学生就会形成错误的机械学习的习惯。由于数学思想方法是对数学 本质的认识和处理，因而不可能一下子就掌握，需要教师长期的反复的渗透。 3 . 3 . 2努力培养和提高学生的元认知能力，形成良好的思维品质 这实际上可以看成是建构主义的一个必要结论， 因为任何认识最终都必须 通过主体相对独立的建构活动才能完成， 因而对主体的相对独立性提出了很高 的要求。 支架式教学主张学生的主体参与， 最终将指导和监控学习的任务从教 师向学生转移。要培养学生成为“ 会数学地思考”的人，独立完成建构活动， 掌握数学思想方法，形成正确的数学观念，都离不开认知活动中的自 我意识， 离不开元认知水平的提高。 元认知简单地说就是关于认知的认知， 是以 人的认 知活动的各方面为意识对象，并对人的认知活动进行监控、 调节和评价，其实 质就是人对