（统计学专业论文）基于极值理论的非寿险精算研究.pdf

摘要 本文在详细研究了传统的非寿险精算方法的基础上，主要利用极值理论的优 良性质，即极值理论中的p o t 模型仅考虑分布尾部，而不是对整个分布进行建模， 这就避开了分布假设的难题，对损失分布建模十分有利。并且极值理论可以准确 地描述分布尾部的分位数，这有助于非寿险公司进行风险管理。此外，在此基础 上，将复合泊松过程和极值理论的广义帕累托模型结合起来研究了非寿险的再保 险问题。总体上，本文的主要目的是将整个非寿险精算建立在以极值理论为基础 的框架之内，从而能够精确的刻画损失分布右尾的巨额损失的分布情况，并为非 寿险精算提供依据。在建模过程中，探讨了严密的极值理论广义帕累托分布的建 模过程，包括对厚尾性的诊断、极值分布的最大吸引域检验、门限值的最优选择、 广义帕累托分布的参数估计以及模型拟合效果的检验等，并讨论了不同的门限值 选择方法和参数估计方法，包括极大似然估计、h i l l 半参数估计，矩估计等方 法，并利用非参数检验方法对建立的模型进行检验。在完成建模之后，将非寿险 精算问题构建在广义帕累托分布基础之上，并利用短期聚合风险模型和复合泊松 分布来计算险位超赔再保险的纯保费。 关键词：极值理论广义帕累托分布最大吸引域检验 在险价值期望损失 纯保费 i i i a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , an e wm e t h o do fn o n l i f ea c t u a r y 、析t 1 1e x t r e m e l yl a r g el o s sh a sb e e n p r e s e n t e db ye m p l o y i n gt h ee x t r e m ev a l u et h e o r y t h i sp a p e rn o to n l yb a s eo nal o to f r e s e a r c h e si nc l a s s i cn o n l i f ei n s u r a n c eb u ta l s ot a k eaf u l la d v a n t a g eo ft h ee x t r e m e v a l u et h e o r yw h i c hh a san u m b e ro ff i n ep r o p e r t i e s w h e nr e f e r r e dt oe x t r e m ev a l u e t h e o r ya n dt h ep e a k so v e rt h r e s h o l dm o d e l ，w h a tw ec o n c e r ni sj u s tt h et a i lo ft h e d i s t r i b u t i o n ，n o tt h ew h o l ed i s t r i b u t i o n ，t h e r ei sn od o u b l et h a tt h i sc a na v o i dh a n d l i n g t h ev e r yc o m p l i c a t e dp r o b l e mo fw h i c hd i s t r i b u t i o nt h eu n d e r l y i n gd a t a s e tb e l o n g s ， w h a t sm o r e ，t h eh i 曲q u a n t i l ec a l lb ec a l c u l a t e dw i t hg r e a tp r e c i s i o na n dt h i si s v e r y i m p o r t a n tt ot h ei n s u r a n c ec o m p a n y i nt h eg p dm o d e l i n gp r o c e s s ，f i r s t ，t h et e s to f e x t r e m ev a l u ec o n d i t i o nh a sb e e ni n t r o d u c e d ，a n dt h e nd i f f e r e n tm e t h o d so fo p t i m a l c h o i c eo ft h et h r e s h o l dw e r eg i v e n t h e nw ef i tt h ee x t r e m e l yl a r g el o s sd a t at oa g e n e r a l i z e dp a r e t od i s t r i b u t i o nw i t hd i f f e r e n te s t i m a t e m e t h o d s ，i n c l u d i n g t h e m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t e 、h i l ls e m i - p a r a m e t e re s t i m a t ea n dm o m e n te s t i m a t ee c t ， a f t e rt h eg e n e r a l i z e dp a r e t od i s t r i b u t i o nh a v eb e e nb u i l t ，an o n p a r a m e t e rm e t h o do f t e s th a v eb e e ng i v e nt ov a l i d a t et h eg p dm o d e l ，t h e nu n d e rt h eh y p o t h e s i so f c o m p o u n dp o i s s o nd i s t r i b u t i o n ，an e wm e t h o do fc a l c u l a t i o nt h ep u r ep r e m i u mo f e x c e s s - o f - l o s si n s u r a n c ew a sg i v e n k e yw o r d s ：e x t r e m ev a l u et h e o r y g e n e r a l i z e dp a r e t od i s t r i b u t i o n t e s to fm a x i m u md o m a i na t t r a c t i o n v a l u ea tr i s k e x p e c t e ds h o r t f a l l p u r ep r e m i u m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取i , j 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别标注和致谢w , j 的地方- j 一- ， - jh 一i u ， ，、u，、，- 一，- ，j 、 j -jjji j i l - 外jh 一，u 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得云南财经大学或其他教育机构的学位或证明而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表达了谢意。 论文作者签名：7 赵馏匀 9 o 。鲜i 胡 日 关于论文使用和授权说明 本人完全了解云南财经大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文和论文电子版，允许 学位论文被查阅或借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容， 可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编、发表学位论文；授 权学校将学位论文的全文或部分内容编入、提供有关数据库进行检 - , 4 - 系。 ( 保密的学位论文在解密后应遵循此规定) 。 本人签名：霞馏纽 导师签名：勿凯 日期九趱、p 、f 1 引言 1 1 选题依据及研究意义 1 1 1 选题依据 1 引言 非寿险( n o n l i f ei n s u r a n c e ) ，顾名思义不是寿险。非寿险是保险人对被 保险人的财产及其有关的利益在发生保险责任范围内的事故而遭受的经济损失 给予补偿的一种保险。在我国通常把非寿险称为财产保险，也就是采用了所谓的 广义的财产保险的概念。非寿险保险中所指的财产不仅包括一切动产、不动产、 固定或流动资产以及处于生产中的有形资产外，还包括运费、预期利润、信用以 及责任等无形财产。正因如此，在当今市场经济繁荣的情况下，非寿险在经济社 会中起到了“缓冲垫”的作用，为经济的平稳、安全运行做出了巨大贡献。 非寿险精算是建立在风险理论基础上的一门现代技术，是以现代数学和数理 统计学为手段，对非寿险经营活动的各个环节进行数量方面分析研究的方法论科 学，是认识、解释和改造非寿险经营活动的手段。 在西方发达国家，非寿险精算在第二次世界大战之后日趋完善。到了2 0 世 纪7 0 年代，非寿险精算已经发展成为一个独立的分支学科。但是非寿险精算学 在技术上的成熟性和科学上理论上的完备性仍落后于寿险精算。并且，由于非寿 险精算涉及的随机因素更多、计算误差更大、定量分析更困难，所以，非寿险精 算相对而言更加复杂。此外，由于非寿险精算的起步相对比较晚，所以其理论的 系统性还不够完善。 在对非寿险损失分布拟合的研究中，经常会出现一些损失数额特别巨大的观 测值，对这样数据集的进行模型拟合，通常只能对数据分布的中心部分得到一个 精确的数据生成过程，而这样的模型通常都不能很好拟合数据的尾部，即那些损 失数额特别巨大的观测并没有得到精确的数据生成过程国。面对这样的问题，将 适r d r e i s s , m t h o m a s , s t a t i s t i c a la n a l y s i so fe x t r e m ev a l u e sw i t ha p p l i c a t i o n st oi n s u r a n c e ? f i n a n c e ， h y d r o l 0 9 3 a n do t h e rf i e l d s 【m 1 s w i t z e r l a n d ：s p r i n g e rs c i e n c e ? 2 0 0 7 一l 一 l 引言 那些损失额特别巨大的观测值视为异常点而不予分析固然可以得到一个相对漂 亮的模型，但是这样作对非寿险企业的全面、客观的风险控制和精算过程来说却 是极为不科学的，甚至一旦发生这些极端损失事件保险企业将面临破产。因此， 本文试图将非寿险精算问题，特别是针对极端事件的数据生成过程纳入到一个完 整的、科学的、基于极值理论( e x t r e m ev a l u et h e o r y ) 的体系当中去，以期能对非 寿险精算当中的极端事件建模有所借鉴。 1 1 2 研究意义 对于统计工作者而言，极值理论由于它的研究对象的不同寻常性而具有特别 的吸引力。作为一种对随机现象的研究，极值理论的研究最早可以追溯到2 0 世 纪早期，但是直到2 0 世纪5 0 年代，才开始真正引起科研工作者的注意，并开始 对它建模。极值模型的应用始于工程设计和水文，现在已经广泛应用于金融、保 险、气象、材料、电信等各个领域。本文着重研究极值理论在非寿险精算中的应 用。 在保险中，如果考察1 9 7 0 以来世界范围内所发生的金额最大的3 0 起索赔( 见 表1 一1 ) ，不难从这些事件中找出一些共同的特征： ( 1 ) 它们对保险业和再保险业造成了巨大的影响； ( 2 ) 人们很难对它们做出远期预测； ( 3 )纵观整个保险业的历程，这些事情发生的概率很小，通常被称之为极 值事件或者稀有事件( r a r ee v e n t ) 。 粗略地讲，保险业中的极值事件就是那些发生概率很小，但又对保险企业造 成重大影响的，甚至是毁灭性的事件，这些极值事件如果发生，一般都超过了单 个保险企业的理赔能力，或对其造成严重的冲击。由表1 - 1 可以清楚的看到，表 中所列的每一个极值事件所造成的损失都超过了单个保险公司的偿付能力，或对 其的财务和经营状况造成了严重的冲击，对这些承保公司而言，其结果都是灾难 性的圆。 。r d r e i s s ，m t h o m a s ，s t a t i s t i c a la n a l y s i so fe x t r e m ev a l u e s w i t h a p p l i c a t i o n st oi n s u r a n c e ，f i n a n c e ， h y d r o l o g ya n do t h a f i e l d s 【m 】s w i t z e r l a n d ：s p r i n g e rs c i e n c e ，2 0 0 7 口a l e x a n d e rj m c n e i l e s t i m a t i n gt h et a i l so f l o s ss e v e r i t yd i s t r i b u t i o nu s i n ge x t r e m ev a l u et h e o r y 【j 】a s t i n b u l l e i t i n 1 9 9 7 ，2 7 ，11 7 - 1 3 7 1 引言 事实上，如果选定一家保险公司，然后收集该公司的每次索赔额的历史数据 进行分析，往往会发现在保险业中有一个有趣的现象：即“占总次数2 0 的那 些索赔额的数额之和大约是公司历史索赔总额的8 0 ( 有些公司还不止8 0 ) ! ( 参阅e m b r e c h t s 等( 1 9 9 7 ) ) 。因此如何准确的刻画这些极值事件便是统计工作者 刻不容缓的任务。 极值理论在金融领域也越来越受到金融工作者的重视。对于金融资产收益 率，过去，人们常常利用正态分布建模，从而用方差来度量风险。然而，早在 1 9 6 3 年，m a n d e l b r o t 在他的文章中就已经指出：高额的金融资产收益率是非正态 的，是“厚尾”的。所谓厚尾分布，意即它的极值实现值要比正态分布的大，并 且更加频繁。这个问题和保险中的极值事件是有这相同的本质的。此后的大量研 究证明了m a n d e l b r o t 的观点是正确的，并且发现传统的估计金融资产收益率的 v a r ( v a l u ea tr i s k ) 值的方差一协方差法、历史模拟法、蒙特卡罗模拟法是低效 的。事实上，v a r 就是损失分布的一个极端分位点。通过估计损失分布来估计分 位点，在实际应用中存在许多影响估计效率的问题。一般来说，观测数据中，极 端值出现得比较少，特别是越极端的值越难出现，因此使用历史模拟法、蒙特卡 罗模拟法来获得模拟值，寻找满足条件的分位点时，常常会低估v a r ，同时这些 估计对极端观测值的反应也很灵敏。而使用方差一协方差法也会因为正态假设不 能反应金融数据的厚尾性而使得v a r 被低估。而这种低估会使企业的决策建立在 一个比较高的风险水平之上。这正如a l e x a n d e rj m c n e i l 教授在1 9 9 7 年所指出 的“在某种意义上，对极端值的分析中，从来就不可能有足够的数据。由于 仅仅很少的一些点进入尾部区域，因此对分布尾部的推断就更不确定。此外 推断对大的损失观测值也很灵敏，新的极值损失引入数据集也许对分析有很强的 影响 叫。毫无疑问，不论是在保险领域还是金融领域最关心的就是这些极端风 险，首先要控制的也是它们。为了解决这一问题，以便更精确地估计v a r ，统计 学家很自然地将极值理论引入到这个问题的研究中。在实际的分析中，认为v a r 。a l e x a n d e rj m c n e i l e s t i m a t i n gt h et a i l so f l o s ss e v e r i t yd i s t r i b m i o nu s i n ge x t r e m ev a l u et h e o r yf j 】a s t i n b u l l e i t i n 1 9 9 7 2 7 1 1 7 - 1 3 7 a l e x a n d e rj m c n e i l t h o m a ss a l a d i n t h ep e a k so v c rt h r e s h o l dm e t h o df o re s t i m a t i n gh i g l iq u a n t i l e so fl o s s d i s t d b u t i o n s 【j 】i n x x v i l t hi m e m a t i o n a la s t i nc o l l o q u i u m , p p 2 3 4 3 a l e x a n d e rj m c n e i l & t h o m a ss a l a d i n d e v e l o p i n gs c e n a r i o sf o rf u t u r ee x t r e m el o s s e su s i n gt h ep o tm o d e l 阴， l 引言 这个概念也可以很好的应用于非寿险精算领域。 从以上分析可以看出，极值统计作为一种研究极端现象的工具，具有不可替 代的作用。而在极值统计中，关键的问题是极值分布中各个参数和尾部高分位数 的估计。因此，本文的研究无论是理论上，还是实践上都具有重要的意义。 1 1 国内外研究综述 1 2 1 极值理论的主要极限研究成果 极值理论的极限理论研究以f r 台c h e t ( 1 9 2 7 ) ，f i s h e r ，r a 和t i p p e t t ，l h c ( 1 9 2 8 ) 最早，他们给出的关于最大顺序统计量标准化的广义极值分布极限理论奠 定了经典极值理论的基础。此外y o nm i s e s ( 1 9 3 6 ) 和g n e d e n k o ( 1 9 4 3 ) 进一步详细 而完整地给出了标准化顺序统计量序列的非退化极限定理，并且对这些极限定理 的吸引域问题进行了初步的探讨和描述。l a u r e n sd eh a a n ( 1 9 7 0 ) 在他的博士毕 业论文中详细而完整地对极限定理的吸引域问题进行了描述，此后，他的这篇论 文成为极值理论研究中被广泛引用的经典文献之一。除此之外，对于极值定理 的吸引域问题的详细和严密的讨论也可以在g a l a m b o s ( 1 9 7 8 ，1 9 8 7 ) ，f a l ke t a l ( 1 9 9 4 ，2 0 0 4 ) 还有l a u r e n sd eh a a n 和f e r r e i r a ( 2 0 0 6 ) 的文献中找到。 1 2 2 极值统计的主要研究成果 在极值分析中主要有两类模型，一类是极值定理模型( e v t ) 。这类模型主要 对组类最大值建模，即所谓区组最大化方法( b l o c km a x i m u mm e t h o d ) 或者称为 “g u m b e l sa p p r o a c h ”以纪念g u m b e l 最早提出这种方法。在b m m 中，极限定 理保证了组内最大的极限分布必定是f r 6 c h e t 、w e i b u l l 或者g u m b e r 分布之一， 或者它们的统一形式广义极值分布( g e v ) 。尽管b m m 方法已经被证明可以被 应用于许多分析当中去，但是，这种方法也受到了许多批评，其中之一就是这种 。d eh a a n l ：o nr e g u l a rv a r i a t i o na n di t sa p p l i c a t i o nt ot h ew e a kc o n v e r g e n c eo fs a m p l e e x t r e m e s m a t h e m a t i c a lc e n t r et r a c t3 2 ，a m s t e r d a m ( 19 7 0 ) 。f e r r e i r a 丸，d eh a a nl ，p e n g l ：o no p t i m i z i n gt h ee s t i m a t i o no f h i g hq u a n t i l e so f ap r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n s t a t i s t i c s3 7 ( 5 ) ，4 0 l 4 3 4 ( 2 0 0 3 ) i 引言 方法只利用了每一个块( b l o c k ) 中的最大值，这毫无疑问损失了原始数据集中包 含的一部分数据信息。此外，也有研究者认为有些数据集本质上就不包含分块的 特征，如果使用b 删方法那么分块就存在着很大的主观性。基于此s m it h ( 1 9 8 7 ) 提出了p o t ( p e a k so v e rt h r e s h o l d ) 方法论，这类模型主要用广义帕累托分布 ( g p d ) 来描述。这类方法是对观测值中所有超过某一较大门限值( t h r e s h o l d ) 的数 据建模。由十广义帕祟托模型有效地使用了有限的极端观测值。因此，通常认为 在实践中很有实际意义。无论是e v t 模型还是g p d 模型，关键的问题是对模型中 的参数，特别是极值指数的估计。根据估计方法的发展过程，在极值统计学研究 的初期，其模型基本上都是建立在以极值理论的极限结果为基础的参数化模型之 上。到了2 0 世纪7 0 年代中后期，极值统计学逐步进入了半参数模型时代，并且 对于极值模型的参数估计也都从本质上开始构建于半参数体系之上。继 h i1 l ( 1 9 7 5 ) 和p i c k a n d s ( 1 9 7 5 ) 的开创性研究之后，极值模型的半参数估计的极 限性质的严谨证明以及对于极值指数( e v i ) 的一个广义估计方法一矩估计体系的 建立被认为是极值统计学领域的一个里程碑。这个体系的建立主要归功于 d e k k e r se ta l 和d eh a a n ( 1 9 8 9 ) 以及其他一些研究者的贡献。 极值领域的另一个里程碑是以对广义帕累托分布的极限结果的研究，以及由 此而建立的极值指数的极大似然估计方法为标志的，这种估计方法的建立可以参 考b a l k e m a 和d eh a a n ( 1 9 7 4 ) 以及p i c k a n d s ( 1 9 7 5 ) ( d o 此外，d r e e se ta l ( 2 0 0 4 ) 在p o t 方法的基础上提出了一种新的方法论，a r a u j os a n l o se ta l ( 2 0 0 6 ) 在自 己的论文中将这种新的方法论命名为p o r t ( p e a k so v e rr a n d o mt h r e s h o l d ) 。对 于上面的g e l 和g p d 模型的理论的系统介绍可以参见 p e m b r e c h t s ( 1 9 9 7 ) ，r d r e i s s 和t h o m a s ( 2 0 0 0 ) ，s c o l e s ( 2 0 0 1 ) 等。 在极值估计中，极值指数和高分位数的估计构成了极值估计的主要内容。在 估计g e v 和g p d 模型的极值指数和高分位数时，不论采用参数化方法还是半参数 化方法，首先要确定门限值，找出门限值以上的观测数据；或者，换句话说，就 是对所观测到的样本值的顺序统计量进行有效分割，得到用于估计的观察数据， 然后才能用参数方法和半参数方法估计极值指数和高分位数。但是，值得指出的 是，如何确定门限值，对样本进行最优分割，一直是困扰极值工作者的一个难题。 正p i c k a n d s1 1 1 j ：s t a t i s t i c a li n f e r e n c eu s i n ge x t r e m eo r d e rs t a t i s t i c s a n n s t a t i s t 3 ，11 9 - 1 3 1 ( 1 9 7 5 5 l 引言 门限值越大，可以分析的数据就越少。这时，被分析的数据比较接近分布的极端， 分析的偏差减少，但由于数据过少，估计的方差增加：反之，门限值过小，被分 析的数据增加，分析的方差减少，但偏差却增加了。对这个问题的研究，统计工 作者提出了许多方案。e b r e c h t s ( 1 9 9 7 ) 建议使用模拟法，通过研究不同门限值情 形下极值指数的形状来确定门限值的大小；d j d u p u i s ( 1 9 9 8 ) 建议从参数的稳健 性出发来确定门限值；但更多的作者 ， 如 b e i r l a n t ( 1 9 9 6 ，2 0 0 2 ) ，d a n i e ls s o n ( 2 0 0 1 ) ，a g u i1l o u ( 2 0 0 1 ) ，a f e r r e i r a ( 2 0 0 2 b ) ，g m a t t h y s 和j b e i r l a n t ( 2 0 0 3 ) 等建议使用最小化某一均方误差或渐近二阶 矩来获得门限值。在这一准则下，g m a t t h y s 和j b e i r l a n t ( 2 0 0 3 ) 圆， j b e i r l a n t ，g d i e r c k x 和c s t a r i c a ( 2 0 0 2 ) 对g e v 模型建立一种指数回归模型， 得到了极限指数的较好估计。a f e r r e i r a ( 2 0 0 2 b ) ，j d a n i e l s s o n ( 2 0 0 1 ) 等利用自 助法得到了g e v 模型门限值的渐近结果。s r e s n i c k ( 1 9 9 8 ) 利用光滑的矩估计对 极值指数建模，得到了它的估计，并研究了它的极限性质。p g r o e n e b o o m 等人 ( 2 0 0 3 ) 利用核估计对极值指数进行了建模和估计，比较了h i l l 估计方法、矩估 计方法、拟似然估计和核估计得到的极值指数的性质。r h u i s m a n ，k k o e d i j k 和 c k o o l ( 2 0 0 1 ) ，i a b a n 和m m m e e r s c h a e r t ( 2 0 0 4 ) 利用最小平方法分别对h a ll 族和幂指数型的尾的极值指数进行了估计，得到了理想的结果。v b r a z a u s k a s 和g s e r f l i n g ( 2 0 0 3 ) 对p a r e t o 分布的极值指数构造了一种新的稳健估计，并提 出了在实际中对p a r e t o 分布的诊断，检验方法。 在最近对厚尾分布的减少估计偏差的研究中，g o m e se ta l ( 2 0 0 7 a ) 学提出了 一种二阶偏差减少估计方法，称为加权h i l l ( w e i g h t e dh i l l ) 估计。利用这种方 法得到的尾指数估计的渐近方差等于用h i l l 估计得到的尾指数估计的渐近方 差，同时它具有一个更小渐近偏差，基于此可以认为这种方法得到了一个方差最 小偏差减少的估计值，有作者认为该方法的提出为极值理论研究提出了新的有趣 的研究方向。 f e r r e i r & a ：o p t i m a la s y m p t o t i ce s t i m a t i o no f s m a l le x c e e d a n c ep r o b a b i l i t i e s j s t a t p l a n i n f e r e n c e1 0 4 ， 8 3 - 10 2 ( 2 0 0 2 ) 口m a t t h y s ，g ，b e i r l a n t , j ：e s t i m a t i n gt h ee x t r e m ev a l u ei n d e xa n dh i g hq u a n t i l e sw i t he x p o n e n t i a lr e g r e s s i o n m o d e l s s t a t s i n 1 3 ，8 5 3 - 8 8 0 ( 2 0 0 3 ) g o m e s ，m ip e s t a n a ，d ：as i m p l es e c o n do r d e rr e d u c e db i a s t a i li n d e xe s t i m a t o r j s t a t c o m p u t s i m u l 7 7 ( 6 ) ，4 8 7 - 5 0 4 ( 2 0 0 7 a ) l 引言 最近，f r a g aa l v e se ta l ( 2 0 0 7 b ) 在根据d eh a a n ( 1 9 7 0 ) 论文中提出的结 论的基础上提出了混合矩估计( m i x e dm o m e n te s t i m a t o r ) 方法，这种方法的优点 是它对所有实数范围内的极值指数都是适用的，而且它的公式结构比较简单，此 外它的渐近方差在极值指数为负数时等于矩估计方法估计结果的渐近方差，在极 值指数非负时等于用极大似然估计得到的结果的渐近方差，更重要的是对于极值 指数接近于零和超越门限值样本量很小的模型，混合矩估计的收敛速度比极大似 然估计要快。 在估计出极值指数之后，往往还要进一步估计高分位数。前面已经说道，v a r 只是损失分布的一个极端分位点。它的估计值事实上就是通过描述损失分布的尾 部而得到。l a u r e n sd eh a a n 等人( 1 9 9 3 ) 构造了高分位数的估计量，并讨论其大 样本性质。d a n i e l s s o n ( 1 9 9 7 a ) 引入了k 阶矩率估计量，借助自助法，讨论了高 分位数的超出概率问题。b e r m u d e z 等人( 2 0 0 1 ) 利用贝叶斯方法对高分位数和尾 概率同时进行了估计。f e r r e i r a ( 0 0 2 a ) 管同样利用自助法讨论了高分位数的逆问 题，尾概率的估计问题，f e r r e i r a ( 2 0 0 2 b ) 管研究了利用矩估计方法求高分位数时 的样本分割问题，她采用的方法是自助法。g m a t t h y s 和j b e i r l a n t ( 2 0 0 1 ) 则通 过建立指数回归模型得到了高分位数的估计量。 m c n e i l ( 1 9 9 8 ，1 9 9 9 ) ，f m l o n g i n ( 2 0 0 0 ) ，r l s m i t h ( 2 0 0 0 ) ，m c n e il ( 2 0 0 0 ) ，t g b a l i ( 2 0 0 3 ) 等分别对g e v 和g p d 模型进行了建模，通过极大似然估计对极值指数 进行估计，然后估计了高分位数，导出了v a r 的表达式，并利用西方几个著名股 指进行了实证分析。g r a m a z a n 和s f a r u k ( 2 0 0 1 ) 对怎样将极值理论中的广义帕 累托模型应用到风险管理和v a r 计算进行了系统的介绍，利用g p d 模型， g a r c h ( 1 ，1 ) ，g a r c h ( 1 ，1 ) 一t 模型同时对s & p 5 0 0 股票指数建模并进行比较，说明 了利用广义帕累托建模的可行性和优越性。当然，对于高分数的估计还要一些其 他方法，详细的介绍可以参见p e m b r e c h t s ( 1 9 9 7 ) 。特别地，a j m e n e i l ( 1 9 9 6 ) 利用d a n i s h 数据集建立了损失额的广义帕累托分布模型；a j m e n e i l 和t h o m a s s a l a d i n ( 1 9 9 7 ) 利用p o t 方法对损失额分布进行建模并通过模拟方法讨论了门限 ”f r a g aa l y e s jm i ，g o m e s m i ，d eh a a n ，l n e v e s c ：m i x e dm o m e n te s t i m a m ra n dl o c a t i o n i n v a r i a n t a j t e m a t i v e s n o t a sec o m u n i c a q o e sc e a u l1 4 2 0 0 7 ( 2 0 0 7 b ) ( s u b m i t t e d ) 4f e r r e i r a a ：o p t i m a l a s ) a n p t o t i ce s t i m a t i o no fs m a l le x c e e d a n c ep r o b a b i l i t i e s j s t a rp l a n i n f e r e n c e1 0 4 8 3 一l0 2 ( 2 0 0 2 ) 。f e r r e i r a a d eh a a nl p c n 鲁l ：o no p t i m i z i n gt h ee s t i m a t i o no f h i g hq u a n t i | e so f ap r o b a b i l i wd i s t r i b u t i o n s t a t i s t i c s3 7 ( 5 ，4 0 l 4 3 4 ( 2 0 0 3j l 引言 值的选取问题，并说明了多大的样本量才能保证高分位点估计的精确性； a j m e n e i l 和t h o m a ss a l a d i n ( 1 9 9 8 ) 利用p o t 方法构造了极值事件的点过程模 型，给出了一个对损失额分布和损失频率的联合描述，并讨论了极值理论在保险 中应用的同质( 非同质) 风险下的p o i s s o n 过程。 1 2 3 极值理论最大吸引域条件检验的研究 并不是所有的分布都属于极值分布的吸引域，例如，p o i s s o n 分布和负二项 分布就不属于极值分布的吸引域。因此，极值理论条件检验的研究对于极值的理 论的应用意义重大。它是应用极值理论的前提。极值理论条件检验的研究只有为 数不多的文献，早期的成果r d r e i s s ( 2 0 0 1 ) 作了一个简单回顾。d i e t r i c h ，d e h a a n ( 2 0 0 2 ) 在满足一些二阶条件的前提下提出了一个广义极值条件检验方法。 h o l g e rd r e s s ，l a u r e n sd eh a a n ，d e y u a nl i ( 2 0 0 6 ) 在满足一些二阶条件的前提 下提出了另一种极值条件检验方法，该方法假设极值指数大于一0 5 。j u r g h u s l e r ，d e y u a nl i ( 2 0 0 6 ) 对上面提到的两种极值条件检验方法进行了讨论，通 过模拟方法比较说明了两种检验方法中加权方程参数的不同选择对检验统计量 犯第一类型错误的影响并分别讨论了两种方法各自的势函数。 1 2 4 极值分布的收敛速度研究 有关极值理论的一个重要问题就是极值序列收敛到极值的分布的速度问题。 f i s h e r 和t i p p e t t ( 1 9 2 8 ) 发现尽管正态分布属于极值分布的吸引域，但是极值序 列收敛到极值分布的速度却非常缓慢。现代对于极值理论的收敛速度的研究始于 a n d e r s o n ( 1 9 7 1 ) ，对于1 9 9 2 以前的有关这个问题的研究g o m e s ( 1 9 9 4 ) 进行了概 括。在满足v o n - m i s e s 条件和一定可微性的条件下，g o m e s 和d eh a a n ( 1 9 9 9 ) 根 据不同的距离定义讨论了极值指数为实数情况下的精确微扰近似的收敛速度问 题。k a u f m a a n ( 2 0 0 0 ) 在一个更弱的条件下证明了g o m e s 和d eh a a n ( 1 9 9 9 ) 的结论。 or 一d r e i s s ，m n l o m a s ，s t a t i s t i c a la n a l y s i so f e x t r e m e v a l u e sw i t ha p p l i c a t i o n st oi n s u r a n c e ，f i n a n c e ， h y d r o l 0 9 3 a n do t h e rf i e l d sf m l s w i t z e r l a n d ：s p r i n g e rs c i e n c e 。2 0 0 7 镭d i e t r j c h d d eh a a n l h o s i e r , j ：t e s t i n ge x t r e m ev a l u ec o n d i t i o n s e x t r e m e s5 ，7 1 3 5 ( 2 0 0 2 ) 曙h o l g e r d r e s s , l a u r e n sd eh a i r d e y u a l ll i a p p r o x i m a t i o n st ot h et a i le m p i r i c a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o nw i t h a p p l i c a t i o nt ot e s t i n ge x t r e m ev a l u ec o n d i t i o n s ( 2 0 0 6 ) “j u r gh u s l e r d e v u a nl i o nt e s t i n ge ) ( t r e m ev a l u ec o n d i t i o n s e x t r e m e s9 ：6 9 8 6f 2 0 0 6 ) l 引言 r a o u l t 和w o r m s ( 2 0 0 3 ) 以及d i e b o l t 和g u i l l o u ( 2 0 0 5 ) 对收敛速度问题进行了更 进一步的讨论。 1 2 5 国内极值理论研究概括 目前国内对极值估计的理论研究主要是程士宏，潘家柱( 1 9 9 8 ，2 0 0 0 ) 以及黎 德元( 2 0 0 6 ) 等。程士宏，潘家柱利用弱收敛和正则变换函数等工具对已有的估计 方法的渐近性质进行了研究。黎德元和其他作者合作研究了极值条件的检验问 题，并对两种不同的检验方法进行了详细的比较。应用研究集中在广义帕累托模 型及其在股票收益率中的应用，具体可参见田宏伟( 2 0 0 1 ) ，封建强( 2 0 0 2 ) 等。朱 国庆、张维( 2 0 0 1 ) 综述了极值在科技、工程等领域，特别是在金融风险管理领域 的应用；周开国、缪柏其( 2 0 0 2 ) 运用极值理论以香港恒生指数为样本进行实证分 析，发现极值方法在度量风险时要明显优于方差一协方差方法；而杨耀辉等( 2 0 0 4 ) 从收益率波动性与分布两方面进行考虑，建立起计算时变风险值v a r 和e s 的模 型，结果表明基于广义极值分布的v a r 模型能更好地刻画高频时间序列的尖峰厚 尾及杠杆效应特性，而e s 模型则有效地弥补了v a r 模型的不足之处。 总之，应用领域的研究主要集中在广义帕累托模型及极值指数已有估计方法 的介绍，然后利用该模型对股票收益率进行分析。并没有对极值理论条件的检验 问题，门限值的最优选取问题等进行讨论。 表1 - 11 9 7 0 2 0 0 2 年期间实际范围内金额最大的3 0 起索赔 损失日期事件国家 2 0 5 111 9 9 2 0 8 2 3 “安德鲁”飓风美国、巴哈马群岛 1 9 3 0 12 0 0 1 0 9 1 1 9 1 1 事件美国 1 6 9 8 91 9 9 4 - 0 1 1 7 “贝里奇”地震美国 7 4 5 61 9 9 1 - 0 9 2 7 “米雷列”台风日本 6 3 2 l1 9 9 0 - 0 1 - 2 5 “达里亚”冬季风暴法国、英国 6 2 6 31 9 9 9 1 2 2 5 “洛塔尔”冬季风暴法国、瑞士 6 0 8 71 9 8 9 0 9 1 5“雨果”飓风波多黎各、美国 4 7 4 91 9 8 7 1 0 1 5 风暴与洪水法国、英国 4 3 9 01 9 9 0 0 2 - 2 5 “薇薇安”冬季风暴欧洲 4 3 6 21 9 9 9 - 0 9 2 2 “巴物”台风日本 3 8 9 51 9 9 8 - 0 9 2 0“乔治”飓风 美国 3 2 0 02 0 0 1 0 6 0 5 “阿里森”热带风暴美国 3 0 4 21 9 8 8 0 7 0 6“阿尔法”钻井平台爆炸英国 l 引言 2 9 18 2 5 9 2 2 5 4 8 2 5 0 0 2 4 7 9 2 1 7 9 2 0 1 5 1 9 3 0 1 9 2 3 18 6 4 1 8 3 5 1 8 2