（基础数学专业论文）拉普拉斯变换的数值逆在偏微分方程中的应用.pdf

拉普拉斯变换的数值逆在偏微分方程中的应甩 o 1中文摘要 在记忆材料的热转导、多孔粘弹性介质的压缩、动态人口、原 子反应动力学等问题中，常常碰到抛物型积分微分方程，对于该种 方程的数值求解，国外的v t h o m d ef 1 、5 、7 、1 6 、1 7 、1 8 、 1 9 、2 0 、2 1 、2 2 、2 3 、2 4 、3 1 ，s t i g l a r s s o n 1 9 ，w m c l e a n 5 1 7 、2 0 ，2 4 1 ，c l u b i c h 1 8 1 ，j c l s p e z m a r c o s 1 4 ，j m s a n z s e m a 【6 】，g f a i r w e a t h e r 3 、1 5 ，lw a h l b i n 1 、1 7 、1 9 ，i h s l o a n 7 、1 8 、2 2 2 3 ，y a n p i n gl i n 3 1 j 等，国内的陈传淼 1 、2 9 、黄云清 2 】、徐大 8 、 9 、1 0 、1 1 、1 2 、1 3 1 、汤涛( 3 3 1 、胡齐芽【2 8 1 、张铁【3 5 1 等做了 大量的研究，他们大多采用有限元方法( 1 、5 、1 0 、1 3 、1 6 、 3 1 、2 9 j ) ，样条配置方法( 3 、1 5 ) ，有限差分方法( 1 4 ) 以及谱配置方 法( 【2 5 ) 、 本文考虑一类带弱奇异核抛物型偏积分方程时间、空间全离散 格式 主要结果如下： ( 1 ) 给出一类偏积分微分方程空间采用l e n g e n d r e 谱方法，时间采 用拉普拉斯变换数值逆的全离散格式及数值例子 ( 2 ) 给出一类偏积分微分方程空间采用g a l e r k i n 谱方法，时间采 用拉普拉斯变换数值港的全离散格式及数值侧子。 关键词：弱奇异核；偏积分微分方程；拉普拉斯变换；数值逆； 谱方法 1 1 高校教师在职硕士学位论文 o 2 a b s t r a c t t h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o no fp a r a b o l i ct y p eo f t e no c c u r si na p - p l i c a t i o n ss u c ha sh e a tc o n d u c t i o ni nm a t e r i a lw i t hm e m o r y , c o m p r e s s i o no f p o r o - v i s c o e l a s t i cm e d i a ，p o p u l a t i o nd y n a m i c s ，n u c l e a rr e a c t o rd y n a m i 璐，e t c t h e r ea r el o t so fd o c u m e n t so f v t h o m 6 e 1 、5 、7 、1 6 、1 7 、1 8 、 1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 、2 3 ，2 4 、3 1 】，s t i g l a r s s o n 【1 9 ，w m c l e a n1 5 ， 1 7 ，2 0 ，2 4 ，c h l u b i e h 1 8 ，j c l 6 p e z - m a r c o s 【1 4 ，j m s a n z - s e r n af 6 】，g f a i r w e a t h e r 3 、1 5 】，l w a h l b i n 【1 、1 7 、1 9 1 ，i h s l o a n 【7 ，1 8 、2 2 、 2 3 ，y a n p i n gl i nf 3 1 】i no v e r s e a sa n dc h u a n - m i a oc h e n 【1 、3 5 ，y u n - q i n g h u a n g 【2 】，d a x u 8 ，9 ，1 0 、1 1 、1 2 ，1 3 ，t a o t a n g 【3 3 ，q i y a h u 【2 s ， t i ez h a n g 3 5 】i nh o m e al o to ft h e mu s ef e m ；s p l i n ec o l l o c a t i o nm e t h o d s ； f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d s ；s p e c t r a lc o l l o c a t i o nm e t h o d s w es t u d ya p a r t i a li n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fp a r a b o l i ct y p ew i t ha w e a k l ys i n g u l a rk e r n e l m a i nr e s u l t sf o l l o w s ： g i v e nt h en u m e r i c a le x p e r i m e n t sa n dt h ef u l ld i s c r e t i z a t i o nf o rt h el i n e a r e q u a t i o no ft h el e n g e n d ms p e c t r a lm e t h o di n t h ed i r e c t i o no fo fxa n dt h e i n v e r s i o nt e c h n i q u ef o rt h el a p l a c et r a n s f o r mi nt h ed i r e c t i o no ft ； ( 2 ) g i v e nt h en u m e r i c a le x p e r i m e n t sa n dt h ef u l l d i s c r e t i z a t i o nf o rt h e l i n e a re q u a t i o no ft h eg a l e r k i ns p e c t r a lm e t h o di nt h ed i r e c t i o no fo fxa n d t h ei n v e r s i o nt e c h n i q u ef o rt h el a p l a c et r a n s f o r mi nt h ed i r e c t i o no ft ： k e yw o r d s ：w e a k l ys i n g u l a rk e r n e l ；p a r t i a li n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ； l a p l a c et r a n s f o r m ；i n v e r s i o nt e c h n i q u e ；。t h el e n g e n d r es p e c t r a lm e t h o d 高按教师在职礤士学位论文 第一章序言 微分方程能描述一个系统在某一固定时刻的状况，它不能反映 过去的效果积累但在热传导、n - y - 反应、动力学和热电理论中， 它幻常常需要反映这个系统的“记忆”功效，这就导致我们在基本 的偏微分方程中增加一个积分项，从而得到偏积分微分方程 我们将研究下面一类偏积分微分方程数值解的拉普拉斯数值逆 的全离散格式 u t ( x ，t ) = f oz ( t s ) u 。( z ，s ) d s + ，( z ，) ( 1 1 ) ( 其中核卢( t ) = t 1 2 ，在t = 0 点是奇异的) 一1 z 1 ，0 t ，有 如下边界条件： ( 1 ，t ) = 0 ，0 0 ) ，映射为 如下函数； ( 1 1 2 ，) ( ”= 后0 5 ) 。芦，( s ) 幽j ( 1 4 ) 满足下列性质( 见【6 】中的p 3 2 0 ) ： ( i v 2 ( ，m 朋( 妁= 丌f ( s ) d s ( 1 5 ) 因此a r - 1 2 j _ 1 2 能看成不定积分算子的平方根，通过运用分数次计算 的理论( 见f 4 】) ，我们能定义微分算子d = d d t 的平方根d m ： d m d 狮菇f d s = f i t ) ， 1 1 - - 1 2 d 1 2 ，= 恒等算子 高校教师在职硕士学位论文 在( 1 ，1 ) 的齐次方程两边运用d m 可得 d 1 2 d u = 7 r 1 2 $ ( 1 6 ) 因此方程( 1 1 ) 的齐次方程可被看作介于我们熟悉的方程：d u = a u x x 与d 2 u = 玩。( o ，b 为正常数) 之间的一类方程 近年来，国内外有很多人研究了这类方程陈传淼、v t h o 蒯e 和l b w a h l b i n 1 】采用向后e u l e r 格式，空间方向采用线性有限元， 积分项通过内积求积技巧进行离散，得到解的正则性条件及误差估 计j c l 6 p e z m a r c o s 1 4 1 研究了一类非线性的积分微分方程，采用 了一阶时间全离散差分格式w m c l e a n ，v t h o m d e 5 】使用了e u l e r 和 二阶向后差分格式，空间方向用g a l e r k i n 有限元方法，并给出了问题 ( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的正则性估计s a n z 一8 e r n a 6 l 也研究了这类问题，在时 间方向，他采用了向后e u l e r 格式和一阶卷积求积逼近积分项，对光 滑与非光滑的初始值导出了相应的误差估计徐大【8 】考虑了e u l e r 和c r a n k n i c o l s o n 格式和一阶、二阶卷积求积，得到了带权的误差 估计f 1 5 】使用g a l e r k i n 和配置方法进行时间离散，得到最优阶误差 估计【3 】空间方向使用正交样条配置方法，得到空间半离散的稳定 性和收敛性【1 9 】时间方向使用有限元，而且允许变时间步长【2 5 】 空间方向采用g a u s s - l o b a t t o 积分点上拟谱配置方法得到无条件稳定 性及最优误差界f 2 2 】考虑了不连续g a l e r k i n 方法( d g ) ，稀疏求 积公式，得到问题的先验和后验估计，并给出了自适用算法，【2 4 】 先通过l a p l a c e 变换及逆变换把解表示为光滑围道上的积分，从而可 以采用并行算法来数值求解【】s 时间方向使用一阶，二阶向后差 分，空间方向采用分片线性元，利用卷积积分得到最优阶误差界 【3 3 j 考虑的是v o l t e r r a 积分微分方程，核k ( t ，s ) = 0 一s ) ，0 a 1 ， 作者采用多项式样条配置法，利用适当的分级网格，可使相应的配 置逼近具有m + 1 一q 的超收敛阶，由于时间离散必须保留前面所 有的值，它将要求大量的d 存，为了克服这些困难，黄元清【2 】提出 了一种累加格式，使得存储量和工作量均能够大大减少【17 】是【2 】2 在弱奇异核偏积分微分方程上的具体应用，并采用变步长进行时间 离散j 日s l o a n ，v t h o m d e 7 1 建议减少求积区间，使用高阶的求积公 式【3 4 】中采用了“几何网格”，使得工作量减少谱方法是一种既 拉昔拉斯交换的数值逆在倡微分方程中的应用 经典又广泛使用的求解偏微分方程的数值方法，至今，谱方法已和 有限差分法，有限元法一起成为偏微分方程数值求解的三种基本方 法它尤其适合于解非常规则，几何区域维数非常大的情况甚至 能更好的控制受扰动和不稳定现象影响的数值问题的解谱方法和 拟谱方法广泛的应用于许多工程领域的数值计算，而且它的数值分 析理论也不断地完善【3 2 ，3 0 】最近，人们结合变分方法来对谱方法进 行研究，用来找到逼近误差( 用l 。范数或能量范数表示) 和解的正 则性或者是离散参数之间的依赖关系事实上，通常情况下解不是 j i 己穷可微的谱方法是以正交多项式( 三角多项式，c h e b y s h e v 多项 式，l e g e n d r e 多项式等) 作为基函数的g a l e r k i n 方法，t a u 方法或配 置法它们分别称为谱方法，t a u 方法或拟谱方法( 配点法) 统称 为谱方法在数值计算中，谱方法往往由配点法来实现，它是一种 离散方法，其中的配置点可以选择高斯点给出一类偏积分微分方 程空间采用l e n g e n d r e 谱方法、g a l e r k i n 谱方法，时间采用拉普拉斯 的数值逆的全离散格式及数值例子这个方法还很少有人涉及 全文按如下安排： 第一章，综述 一些预备知识放在第二章，着重介绍拉普拉斯变换数值逆的一 些引理 第三章，给出，l e n g e n d r e 谱方法空间半离散，l a p l a c e 变换数值逆 进行时间半离散的全离散格式，并举了一个数值例子 第四章，给出g a l e r k i n 谱方法的空间半离散，l a p l a c e 变换数值 逆进行时间半离散的全离散格式，并举了一个数值例子 高校教师在职硬士学位论文 第二章预备知识 ( 一) 、拉普拉斯变换数值逆 下面介绍一些要用的拉普拉斯数值的知识 拉普拉斯变换的定义： 设函数f ( t ) 满足条件： ( 1 ) 当t 0 时，( t ) 及，他) 除去有限个第一类间断点而外处处连 续 ( 3 ) 当t + o 。时，f ( t ) 的增长速度不超过某个指数函数，亦3 m 及 c r 020 使f ，( ) l m e a o ， ( 0 0 ，y c t ) 在t 点 连续，在( o ，。) 上有界，则，溉譬产”( s ) l 。学= ，( t ) ，且当在任意的 有限闭区间上，( t ) 是连续时，一致收敛成立 将定理l 的条件减弱，记厶( t ) = 警s n + l f ( ”( s ) i ，：华，可得： 定理2 - 设函数，( t ) 存在拉普拉斯变换，( s ) ，s 0 ，f ( t ) 在t 点连续， 且，( ) = o c e a ) ( t - o 。) 则熙，付( t ) = ，( t ) ，且当在任意的有限区间 上，( ) 是连续时，一致收敛成立 定理1 与定理2 的证明见【3 6 】 【3 6 1 讨论了a ( ) 可用于计算函数，( t ) 的近似值， 即 ，( t ) 厶( t ) = 上s 州弘( s ) i ，：华 ( 2 9 ) 定义误差( 屯，) = ，n ( t ) - ) ， 并证明了： e 。( t ；f ) 一口厶( t ) + ! i 笋口2 f 。c t ) ( 2 1 0 ) 其中 11。 11 百丽- t 一1 2 ( n + 1 ) 2 ，o n 而+ 虿耳丽 华赤+ 志，丢 目前a ( t ) 的应用在工程上主要是计算函数值，事实上也可应用于微 分方程求数值解 ( 二) 、谱方法简介 谱方法从产生至今已有很长的历史早在1 8 2 0 年，n a v i e r 就运用双重 高校教师在职硬士掌位论文 三角级数来求解四边铰支的长方形薄板，在薄板理论中称为”n a v i e r 方法”到1 9 6 5 年出现了计算离散f o u r i e r 变换的有效算法一快速 f o u r l i e r 变换，它给谱方法的使用带来了转机7 0 年代初，出现了不 少研究谱方法计算、应用和算法稳定性方面的工作尤其是到了8 0 年代，q u a r t e r o n i ，c a n u t o ，p a s c i a k 、f u n a r o 和郭本瑜等人对谱方 法从理论作了系统研究，对各类投影算子、插值算子等导出了在各 种范数意义下的误差估计，并把这些理论运用于一系列重要的线性 和非线性偏微分方程上，取得了令人满意的结果，与此同时，大量 的实际计算也证明了谱方法确是一种十分有效的数值方法现在这 种方法也象差分方法和有限元方法一样，已被广泛地应用到流体力 学、气象、计算物理等领域 在谱方法中试探函数被取为无穷可微的整体函数( 它们一般是奇异和 非奇异s t u r m 1 i o n v i i l e 问题的特征函数) ，根据检验函数的不同选取， 谱方法可分为g a t e r k i n 谱方法、t a u 谱方法和配点法g a l e r k i n 谱 方法有时就称为谱方法，配点法有时也称为拟谱方法在g a l e r k i n 谱 方法中，检验函数与试探函数属于同一个空间，并要求满足边界条 件；t a u 谱方法类似于g a l e r k i n 谱方法，但不要求检验函数边界条 件，而是利用边界条件再补充一些方程，最后得到一个封闭的方程 组；配点法则是取检验函数为以那些配置点为中心的d i r a c 一一6 函 数，使得微分方程在这些配置点上精确成立 谱方法的最大优点是所谓”无穷阶收敛性”，即如果原同题的解充分 光滑，那么谱方法的收敛阶将是无穷阶的；此外，快速算法的使用可 以大大减少计算量当然，谱方法也有其不足，其一是要求原问题 解的正则性较好；其二是要求求解区域比较规则，一般是乘积型区 域；此外，c h e b y s h e v 谱方法权函数在边界处的奇性会导致实际计 算时出现某些数值不稳定现象等最近，有作者将c h e b y s h e v 谱方法 和l e g e n d r e 谱方法相结合，充分发挥l e g e n d r e 谱方法稳定性好，而 c h e b y s h e v 谱方法计算量小的优点 谱方法在理论研究方面虽然已取得了一些重要进展，但与差分法和 有限元法相比还差得很远，尤其是非线性非周期情形的拟谱方法还 有很多问题有待进一步研究；另外在数值计算方面同样存在着大量 的问题有待探讨 拉普拉斯变换的教值逆在偏微分方程中的应用 ( 三) 、l e g e n d r e 正交多项式 对于谱方法，s t u r m l i o n v i l l e 问题之所以重要是由于微分方程的谱 近似通常总是取适当的s t u r m - l i o n v i l l e 问题的特征函数的有限展开 所谓s t u r m l i o n v i l l e 问题是指如下特征值问题： l u 兰= 一( p ( z ) ) + q ( z ) = a u ( z ) “，z ( - - i ，1 ) ( 2 1 1 ) 再附加适当的边界条件其中p 、q 、u 是给定的实函数，它们满 足p c 1 ( 一1 ，1 ) ，且p ( x ) p o 0 ，z ( - i ，1 ) ，在z = 4 - i 处连续；q ( x ) 在( 一1 ，1 ) 上连续、非负且有界；权函数w ( x ) 在( 1 , 1 ) 上连续、非负 且可积如果问题是奇异的，即p ( x ) 在边界上为零，那么就能保证 有谱精度 当p ( x ) 至少在两个边界点之一为零时，这个s t u r m - l i o n v i l l e 问题邵称 为奇异的s t u r m l i o n v i u e 问题在这里我们假定p ( 1 ) = p ( 1 ) = o ，这时原 边界条件就被 p ( z ) 札( z ) 叶0 ，( 。+ 士1 ) ( 2 1 2 ) 代替，关于p 、q 、u 及其它条件仍满足奇异的s t u r m l i o n v i l l e 问题 的特征函数，如果要求它是多项式，那么它只能是j a c o b i 多项式 这是因为，如果饥= 蕊1l 是个k 次多项式，= 0 ，1 ，那么墨便 为零次多项式，即q ( x ) = 伽u ( 。) ，而：和等分别是二次和一次多项式 ( 这里只要取k = o ，1 ，2 即可看出) ，又由于p ( x ) 需在z = 士1 处为0 ，故必 须有u ( z ) = c 1 ( 1 。) o ( 1 十z ) 5 ，而p ( x ) = n ( 1 一z ) l + a ( 1 + z ) 1 w ，其中- 1 a i 卢 1 ，因当a 或卢一1 时不能保证仁，x ( z ) g z + o o ，k = 0 ，i ，。 因而当。或卢21 时，就导致，u ，1 d x 发散 接下来介绍l e g e n d r e 正交多项式 l k ( ) 名。是奇异s t u r r a 1 i o n v i l l e 问题 ( ( 1 一x 2 ) l ：0 ) ) + ( + 1 ) l k ( x ) = 0 高校教师在职硕士学位论文 的特征函数其中：p ( z ) = 1 一护，q ( x ) = o ，u ) = 1 与c h e b y s h e v 多项式一样，当k 是奇数时，颤( z ) 为奇函数，当k 为 偶数时，玩( z ) 是偶函数 可以知道：见( 【26 1 的p 1 3 6 ) 工+ l ( z ) = ；誊等z l 女( 。) 一矗l k l ( z ) ( 2 1 3 ) 头甲 l o ( x 1 = 1 l l ( x 1 = 。 酬= ；( x t 2 - 1 ) 吲z ) = ；( 5 x 3 - 3 n 洲= ；( 3 5 x 4 - - 3 0 x 2 + 3 ) 厶( z ) = ；( 6 3 x 5 - 7 0 x 3 + 1 5 z ) l 6 ( z ) = 耐1 。一6 3 1 5 x 4 + 1 0 5 2 2 _ 5 ) 它的主要性质有： i i l k b l 1 - - 1 0 ， ( 4 1 ) 【t 正( o ，z ) = u 。， 一1 。 1 1 介绍g a l e r k i n 谱方法 取q = z ：。厶，其中厶根据所论问题是否周期而取为( 0 ，2 r ) 或( 1 ，1 ) ，即如果在巩方向是周期的，则取i k = ( 0 ，2 7 r ) ，否则取厶为( 一1 ，1 ) 记 p o l = c ( _ ) i 当i k = ( 0 ，2 r ) 时，v 关于x k 为n 次三角多项式； 当厶= ( 一1 ，1 ) 时，v 关于x 为n 次代数多项式，k = l ，2 ，n ) 设z r 是p 0 1 v ( q ) 中满足边界条件的函数全体，显然x ncd b ( l ) 所谓g a l e r k i n 方法为，求u z ，使得 ( l n u n ，妒女) _ = ( f ，妒) _ ，v k z 或者 ( l n u n ，v ) n = ( ，口) ，v v x n ， 这里。j 为z 中基函数全体，j 为指标集 ( 4 2 ) ( 4 3 ) 拉普拉斯变换的数值逆在偏微分方程中的应用 对g a l e r k i n 方法，一般取h = 蛳，( ，口) = “t ，) ，q 为x _ + x 的正交投影，在很多应用中还取l ，= l 对于所谓p e t r o v - g a l e r k i n 方 法，常常取珞h ，方程( 4 3 ) 用 ( l u n ， ) = ( ， ) ，v 口h ， ( 4 4 ) 来代替 当算子l 满足强制性和连续性条件时( ( l u ，。) = a ( 冒) ) ，g a l e r k i n 方法 稳定性和收敛性讨论与有限元方法完全类似 利用能量估计 a i f u v f f 吝( l u n ，缸 r ) = ( ， u n ) ，l 钍 ， ( 4 5 ) 由于yqx 是连续的，故有i i u - 0 e l l a 这样即得近似解的稳定 性i l u n i i v c i f l l 有了稳定性，根据l a x 等价定理，要得到收敛性只要检验方法是 相容的现在假设相容性条件 u r n u l l 呻0 ( 由于l _ = l 故l _ u = l u ，i l l 一l u l i - 0 自然满足) 被满足， 设e = 牡一r , v u ，那未从 可知，e 满足 令u = e ，即得 ( l u j v ，口) = ( ， ) = ( l u ， ) ，v v x ( 4 6 ) 于是 ( l e ，口) = ( l ( u r 牡) ， ) ，v v x ( 4 7 ) q l i e | i 告p i i u r n u l l v l l e le v ( 4 8 ) 高校教师在职硬士学位论文 即 e i l y 笔i i 钍一r u i i y 为了得到最优解，常取r u 为1 1 在x n 上关于v 范数的最佳逼 近或者取x n 为中与最佳逼近有类似渐近性质的函数 确定试探函数空间： z 瑶( - 1 ，1 ) = ( z ) ：口( z ) ，v ( x ) l 2 ( - 1 ，1 ) ，口( 一1 ) = v ( 1 ) = o ) 将( 4 1 a ) 式两边同乘以一个试探函数”( z ) ，可得： u t ( t ，z ) ”( z ) 一： o 。一s ) 一1 2 “。( s ，z ) 。( z ) d s = ，( 以z ) ”( 。) 两边取积分： 癣，z ) ”( z ) 出一l 、丌j f 一, ，j f 。o s ) - 1 1 2 u x x ( s ，z ) ”( z ) d s 出= ，( 屯z ) ”( z ) 出 整理得： 上：让小，。) ”( z ) 如+ 万l ，f 一 。儿f 。一s ) - 1 2 ( s ，。) 以。) d s 如= ，( t ，z ) t ，( z ) 如( 4 9 ) 2 簪用g a l e r k i n 谱古渎对x 胄向蜜韵 构造p n ( x ) = n o + a l x + a 2 x 2 + + a n x v ，啦兄) q n ( x ) = b ( z ) p ( z ) ，p ( 一1 ) = p ( 1 ) = 0 ，p ( z ) = b i 妒i ( z ) ，b i r ) 仇( z ) 是( 2 7 ) 式中定义的i 次多项式 设札( t ，。) 皇u n ( t ，z ) = 6 t ( t ) 忱( z ) ( 4 1 0 )于是：让t ( t ，z ) = 6 ，( t ) 协( z ) ( 4 1 1 ) 。 _ 1 2 2 n 5 2 设u ( s ，茹) 垒玩( s ) 仇( 。) ( 4 1 2 )于是：u 。( s ，z ) = 阮( s ) 讧( z ) ( 4 ，1 3 ) 将( 4 1 0 ) 一( 4 1 3 ) 式代入( 4 9 ) 式并取 ( 。) = ( 。) 可得： 姜蝴蝴酬) + f ( t - v s 一) - 5 ：。删删矧瑚舾 拉普拉斯变换的数值逆在偏微分方程中的应甩 2 1 巾，咖如) 出， ( 七= 2 ，3 ，) 牡 ，( o ，工) = 执( o ) 妒，【z ) 其中： ) = 蛳( 玲奶( 州z 3 用拉普拉斯变换的数值逆对t 方向离散 ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) 对方程( 4 1 4 ) 两边同时取拉氏变换，记阮( t ) 的拉氏变换为龟( z ) ， 即蛾( z ) = 铲6 ( t ) e 。d t ，可知 z 燃( t ) ! = 2 m 。乜) 一如( o ) ( 4 1 6 ) z 【击小_ s ) - 1 ( s ) 酬= 砺1 刚让 ( 4 1 7 ) 将( 4 1 6 ) 一( 4 1 7 ) 代入( 4 , 1 4 ) 式得到下面格式： 吾( 撕如) 一饥( 0 ) ) ( 协( 巩纵圳+ 击吲咖( ( 巩戗( 瑚= z ( ，( t ，。) ，妒( z ) ) ，( 七= 2 ，3 ，- ) ( 4 ，1 8 ) 求出吼( z ) ，其中自= 2 ，3 ， 又由( 2 9 ) 式得： ，1 、h b k ( t ) 半矿+ 1 垂踟) f 。孚 ( 4 1 1 9 ) k = 2 ，3 ， 求出系数歃( t ) ，再代入( 4 ，1 0 ) 式求出函数牡( t ，的近似值 数例： 4 2数值例子 高校教师在职硕士学位论文 在( 4 1 ) 式中设“( t ，z ) = s i n i r x 一丽4 t 3 1 2s i n 2 7 r x ，则 巾，z ) = 丽2 t i 2 【r 2 s i n r x - s i n 2 7 r x ) 一2 ，r 2 户s i n 2 豫 u ( o ，z ) = s i n7 r ， 且取n = 6 代入( 4 1 1 ) 式得到： 6 2 ( o ) = b 4 ( o ) = b 6 ( o ) = 0 ，b 3 ( o ) = ( s i n 7 r x ，华( z 3 一z ) ) b s ( o ) = ( s i n r x ，等( 7 x 5 1 0 x 3 + 3 z ) ) 右j 2 1 ( ，( t ，z ) ，p z ( 。) ) = ( f ( t ，z ) ，妒t ( 。) ) = ( ，o ，z ) ，p 6 ( 。) ) = 0 而( 坤，。) ，妒3 ( z ) ) = l 【喾( ，r 2 s i n 7 r x s i n 2 r x ) 一2 7 r 2 t 2 s i n 2 r x 孕x - x ) d x ( f ( t ，z )