（计算数学专业论文）抛物问题时间连续全离散有限元的超收敛性.pdf

湖南师范大学硕士学位论文 中文摘要 本文在d e l f o u r 提出的常微分方程的有限元思想的基础上，利用 对偶论证和单元上的正交展开方法，简明论证了一阶常微分初值问题 的m 次连续有限元和间断有限元在节点及内部特征点的超收敛性。 利用张量积分解将常微分方程的连续有限元的超收敛性推广到抛物 型方程，证明了抛物型的全离散有限元在节点和内部的特征点的超收 敛型。并用连续有限元计算了非线性s c h r o d i n g e r 方程，验证了能量的 守恒性。 主要结果如下 ( 1 ) 利用两类单元正交展开，结合对偶论证思想，较简明的论证了 一阶线性常微分方程的连续有限元和间断有限元解在单元节点和内 部特征点的超收敛性。并采用一种简化连续性方法将连续有限元超收 敛结果推广到非线性问题。 ( 2 ) 在t h o m e e 提出的抛物问题的有限元思想的基础上，采用d o u g l a s 等人对椭圆闻题提出的张量积思想应用到抛物型方程的时空变 量，证明了线性抛物问题时空全离散连续有限元解矽妒s 珊在单 元l = ( t ，一白) 内部m 十1 阶l o b a t t o 特征点。州上有超收敛性： ( l ( u u ) ( t 一，工) 1 2 2 ) 1 2 = o ( 2 + “+ 2 + ”) ，m 、n 三2 i 矗 其中铲是时间的m 次有限元空间，醋空间方向的n 次有限元空间磊 为n 上的n + l 阶l o b a t t o 点集 ( 3 ) 对非线性s c h r o d i g e r 常微分和偏微分方程的两种情形用连续 有限元求解，验证了其能量积分保持守恒而动量近似守恒，误差为 高阶精度并在数值计算上探讨了守恒性和近似程度：结果与理论相 吻合 湖南师范大学硕士学位论文 2 性。 关键词 连续有限元，抛物问题，超收敛，非线性s c l l r o d ，n g e r 方程，守恒 湖南师范大学硕士学位论文，3 a b s t r a c t b a s e do nc h eh n i t ee l e m e r l ti d e a lf o ro r d i n a r yd l 丘b r e n t i a l e q l l a t i o n c 1 a t 【) l ( ) p ( ) s e ( jb yd e l f o u r ，w e t a k ea d v a n t a g e 。fd u a l i t y a r g u m e n ta n do r t h o g o l l a i e x p a n di i l t h ee l e m e n t ，s i m p l i f y p r o v es u p e r c o n v e r g e n c eo ft h em d e g r e ec o n e l l l u ( ) u s6 n l t ee l e m e n ta n dd i s c o n t i n u o u s 疗n l t ee l e m e n ta tt h en o d e sa n ds o m e c h a r a c t e r i s t i cp o i n t sf b r1 一d e g r e ei n i t l a iv a l u ep r o b l e m 。fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a c i o n a sw e u a su s et e n s o rp r o d u c td e c o m p o s e g e n e r a i i z e dc op a r a b o 工i ce q u a t i o nl n d u d es u p e r c o n v e r g e n c eo ff u l l yd i s c r e t es c h e m e sf o rp a r a b o i i ca tn o d e s a n ds o m ec h a r a c t e r i s t i cp o i n t s w h e nc o n t i r m o u s 矗n i t ee l e m e n tm e t h o di sa p p l i e d l on 。n l i n e a rs c h r o d i n g e re q u a t i o n ae n e r g yc o n s e r v a t i o nl a wi so b t a i n e d ， m 出nr e s u l t sf o l l o w s ( 1 ) w 垂e a l ( ea d v a n t a g e o f t w o t y p eo f o r t h o g o n a le x p a n d i n t h ee l e m e n t s l i n p f 、 p r o v es u p e r c o n v e r g e n c eo ft h em d e g r e ec o n t i n u o u sa n dd j s c o n t i n u o u s 矗n i t ee 1 一 e l l l e i l ca tt h en o d e sa n ds o m ec h a r a c t e r i s t i cp o i n t sf b r l d e g r e eo r d l n a r yd i h b i e n t i a le q u a t i o n 2 ) b a s eu nt h ef i n i t ee k m e i l ti d e a lf o rp 塘。a b o l l cp r o b l e i nc h a tp i q p ( ) s e ( 11 ) 、+ t 1 1 0 n l e e a n du s et h et e n s o rp r o d u c ti d e a lp r o p o s e db yd o l l g l a si ns o l v ee u j p t i ( “) p a r a b ( ) h ce q u a t i o n w ep r o v e dl i n e a rp a r a b o l i cp r o b l e mc o n c i n u o u s6 n l t ee l e l n e 王1 r 姗l u t i o ni nc i m ea n ds p a c e 矿s 2 o 黠h a es u p e r c o n v e r g e n c ea 【m + 1 一d e g r e e t 工l el o b a t t oc h a r a c t e r i s t i cp o i n ti nt h e e l e m e n c = 吁7 - l ，) ： ( l ( c ，一u ) ( t j f ) z ) 1 2 州7 2 = o ( 2 + “+ 七2 + ”) ，nn 2 w h e r es 母i sm d e g r e e 丘n i t ee l e i n e n ts p a c ei nt i m e ，5 台1 sn d e g r e eh n l t ee l e i n e n ts p a c el s p a c e a n dz ki st h en + 1 一d e g r e et h el o b a t t oc h a r a c t e r i s t i cp f ) i n t 甜c h es p a c e f 3 ) 、7 娓u s ec o n c i n u o u s i l i t ee l e m e n ti nt i m ef u i l yd i s c r e c es c h e i t i et os o l v e l l o n l i n e a rs c l l r o d i n g e re q u a t i o n v e r t i 知丘n i t e e l e m e n ts o l u t i o nh a 、，e e n e r g ei n t p 湖南师范大学硕士学位论文4 g e r a t i o nc o n s e r v a t l o na n dt h en u m e r j c a lr e s u l t ss h o wt h et h e o r y k e y w o r d ：c o n t i h u o u s6 n i t ee l e m e n t 、p a r a b o l i cp r o b l e m s u p e r c o n v e r g e n c en o n l l l l 。a s c h r 。d i u g e re q u a t i o n ，c o n s e r v a t l o n 湖南师范大学硕士学位论文 第一部分 绪论 实际中物理、力学、生物、控制等许多问题归结为求解微分方程： 常微分方程与偏微分方程对常微分方程初值问题有多种数值解法， 如h l e ，法、梯形法、多步法、r u n g e - k u t t a 法等，见文献它们不仅具 有本身的兴趣，同时也是求解抛物与双曲问题的基础。但经典差分法 对函数光滑性要求较高，应用到偏微分方程受到限制。将有限元正交 投影思想引入常微分方程，也可获得较好的结果，见文献( 2 】，f 3 】，卧 由于有限元法对函数的正则性要求较弱，用于抛物和双曲问题的时间 离散化很方便有效，见文献 4 】，f 5 】，【6 j ，( 8 】在常微分方程中，根据所采 用的有限元是否要求在节点处连续，可分为连续和间断有限元。关于 常微分方程的连续和问断有限元在单元节点和内部特征点超收敛性 在陈传淼教授的专著中( 文献【5 ) 已证明为了强调单元正交化修正技 术，作者采用单元构造超逼近函数进行论证，过程较为复杂。同时陈 传淼教授也提到可以从对偶论证来证明其超收敛。在讨论抛物问题全 离散有限元时，陈传淼教授提到由于时间投影q * “在单元，( t 。t ，) 内部的m + l 阶l o b a t t o 点上有超收敛o ( m + 2 ) ，m 2 ，对全离散格式【j 应有i f ( u q 凰u ) ( t ，州i ：o ( h ”2 十”2 ) m n 2 ，但未给出证明。关于抛 物问题的伽略金有限元方法在t h o m e e 的专著( 文献做了较全面的 综述。关于抛物问题有限元的超收敛性，t h o m e e 在单元上构造一个插 值函数来证明在单元节点的超收敛性，没有涉及单元内部的特征点的 超收敛性 本文利用单元正交展开和对偶论证相结合的方法简明论证了常 微分方程的连续和间断有限元在单元节点和内部特征点超收敛性， 并将连续有限元超收敛结果推广到非线性方程。利用时间和空间的张 量积来证明抛物问题时间连续有限元的全离散格式在节点和内部特 征点的超收敛性。对非线性的s 商r o d i n g e r 常微分方程用连续有限元证 明了其能量守恒性。且将间断有限元应用于此方程，得到一近似动量 守恒律，有高阶超收敛量o ( 。m + ，) ，将时间连续全离散有限元求解非 线性s c h r o d i t 嶝r 偏微分方程，可得到能_ ：萋积分守恒，数值计算结果与 理论相吻合。 湖南师范大学硕士学位论文 2 全文分为六部分 第一部分：绪论 介绍了当前常微分方程有限元和抛物方程时间连续的全离散有限 元的已有结论，并综述了本文作者在此基础上所做的工作。 第二部分：单元上的三类正交展开 在标准单元e = ( 1 1 ) 上引进三类正交展开 l 。型正交展开( l e g e n d r e 正交多项式展开) n “小) - = 勺弘) t ；0 m 型正交展开 “小) = o 舰( s ) t = 0 r 一型正交展开： n u 小) = 阮咖( s ) t = 0 它们是研究有限元超收敛的基本工具。 第三部分：常微分方程的连续有限元。 在区间j = ( o ，? ) 上考虑一阶线性常微分方程的初值问题 u + 口 ) u = 6 ( t ) ，缸( o ) = t 上o ， 其中n ，6 适当光滑利用第二部分的m 型正交展开，结合对偶论证思 想，证明了连续有限元解u 在单元节点和内部特征点上有： ( u u ) ( 岛) = 0 ( h 2 m ) i l u l i m + l ，j ( 姐u ) ( 丐+ s ：) = d ( m + 2 ) ，m22 再采用一种简明论证的思想将此结果推广到非线性问题。 湖南师范大学硕士学位论文 第四部分：常微分方程的间断有限元。 对上述一阶方程，利用r - 型正交展开，结合对偶论证思想，简明 论证了间断有限元解u 在单元节点和内部特征点有超收敛性： j 仳【t j ) 一u ( t 】一0 ) i sg 2 m + 1 | | 札i i m + 1 m o i 【“一u ) ( t ，；) i se h m 一21 1 “l i m + 2 j 竹 之1 第五部分：线性抛物方程时间连续全离散有限元的在单元节点和 内部特征点超收敛性 设q 是二维有界域在柱体盼= qx ( o ，卅中考虑线性抛物初边值 问题： u l + a “= ，q ：( o t ) n 中 u ( z ，o ) = q 中 u = o ，r = a f 2 ( o ，t 上 这里a 是一致椭圆算子，且与t 无关 如时间与空间剖分是均匀的，妒是时间连续的m 次有限元空间， s 8 是空间的n 次有限元空间，令磊为n 上的n + 1 阶l 0 b a t t 0 点集， 采用时空张量积思想，证明了全离散解u 砂。醋在时间剖分的节点 k 0 上有以下超收敛估计 f f ( u r 缸) ( t j ) f f c 、( 札) 七2 m + c i ( u ) “+ 2 ，m ，n 2 在单元= ( t j “0 ) 内部m + 1 阶l o b a t t o 点州上有超收敛性 ( l ( u 一让) ( f x 湖南师范大学硕士学位论文 显然u m ) = u ( 1 ) 它就是间断有限元中所需的m 次插值函数，其余项 有 r = u 一，= 勺哟( s ) = c 。+ 】( f 。+ 1 ( s ) 一2 。( s ) ) + o ( h ”2 ) o = 御+ 】 可得如下引理： 引理2 2 设u w 翟托m 11sp 。c 则可构造一个m 次插值投 影 u j = q m u = 勺奶( s ) ， ，= 0 及其余项 露= “一n ，= 勺。扎s ) t ：m + 1 它有以下重要性质： 1 ) r ( 1 ) = 0 2 j 在上 3 ) 在m + 1 阶右r 蒯a u 点如上有超逼近 i 冗( s j ) i sc 1 11 9 m + 2 ul i l p ( e ) r 型展开的余项在1 个端点上也有r ( 1 ) = o 它的正交性比m 型好， r 上尸m 斗因此，丑- 型投影擂值在闻断有限元超收敛研究中起着重要 作用 表一：三种正交多项式的零点 mg 姗点 l o b a t t o 点右r a d a u 点 1oo1 2士0 5 7 7 3 5土11 一1 3 30 士0 7 7 4 6 00 、士11 0 2 8 9 9 0 、一0 6 8 9 9 0 4士0 3 3 9 9 8 o8 6 1 1 4士1 士0 4 4 7 2 1 1 ，0 5 7 5 3 2 ，一o 1 8 1 0 7 一0 8 2 2 8 2 湖南师范大学硕士学位论文 9 限元超收敛结果推广到非线性问题。本文还将连续有限元用于非线性 s c l 0 r d i n g e r 方程得到能量守恒律，数值计算结果与理论相吻合 定理3 1 问题( 1 ) 的m 次连续有限元u 驴在所有节点t ，上有超 收敛性 ( 乱一u ) ( t j ) = 0 ( 2 m ) ，m2 2 ( 4 j 并且在每个单元0 内的m + 1 阶l 0 b a t t o 点锄，一l2 t n + 1 上有超收 敛 i ( 札一u ) 【岛，) i g h m + 2 | | ui l 仇+ 2 。j ，m2 2 ( 5 1 下面采用对偶论证证明此定理 s 2 定理的证明 由单元上的m 型正交展开，在每个单元厶上都可构造m 次投影 插值函数u ，它在区间j 上连续，故u ，s “且在每个节点t ，上兄= o 记e = “一u = u u ，一( 【，一u ) = r 一口，口= u u j s “由正交关系( 3 ) 和 引理2 ，1 r 7 正交于m 一1 次多项式p 仇。故 厶扣啪僦2 厶洳磕，畦驴 取”= 口，用y o u n g 不等式有 ，2 出sc 厶( i 口i + i r 1 d ts s 厶口，2 出+ g ( e ) 厶( 萨+ 帮皿 取e = 消去右边第一项得 l l j 。2a t s c l j 分a t 斗c l i 爵m 由引理2 1 有e 兄2 d t = o ( h 咖+ 3 ) ：目( t ) = 矗口，( t ) d t l 及s c h w a r z 不等式有 厶一2 出r b z “2 出曼g z “一2 出+ c n ；”+ 3 ( 6 ) 湖南师荽友蓊y 西z 戳跽# 萋终燃嚣萨基型重 一摹? i 醢毒；j 扎”? 亭i i ；：童 萎靛重要等囊鍪，毫萝 誊羲引陵鬻慧囊蚕翻郅蜘引；一 ? ：! - i 一；= j i l ? 颥；i 震鬓 蔫转g l 一；ij ! 二 囊l h l 墓 ! ；带i 尊li f ， l _ 二? 皇jj ；! 囊墼l 墓薹! ig ! ；囊萼i 耋一；ij 蠹；一 ；l 善爹囊科黧翥尊毗冀孤鬟 j ； 萋覃赢雾 e 2 ” 1 2 s妻；(1+4国c”-11+1若当h赴时有4qo妒t11 故取hmm(hj。n2)=托。时仍有k2(一1则表明(26)式的 确成立最后回到( 1 4 ) 式，得超收敛估计 ip ( t ) i sf 旧2sg 2 ”“( 1 7 1 由e ：；一日= i + o ( 2 m + 2 ) 可知定理3 2 成立 x 湖南师范大学硕士学位论文1 4 定理4 1 问题( 1 ) 的m 次间断有限元u ( t ) s ，有误差估计 | | 札( t ) 一u ) l l e h m + 1 | | ul l m + 1 m 2 0 在每个节点t ，上有超收敛估计 1u ( 0 ) 一u ( t j o ) i c 2 仇+ 1i lu | | m + 1 m 1 并且在每个单元j ，内的m + 1 阶右r a d a n 点上有超收敛： 1 ( u u ) ( 0 。) l e ”+ 。1 i “i i 。+ 2 ，。j ，m 1 s 2 定理的证明 ( 7 ) 由单元r 一型正交展开，在每个单元= ( 一0 ) 上都可构造m 次 投影插值它在区间j 上满足： u ，( 弓一o ) = 札( 0 ) 冗= u u j - 只n 一1 ，r ( t j o ) = 0 记e = u u = u 一“j 一( u u j ) = r 一日，8 = u 一“，s “在区间上记双 线性函数b ”) = l ( 钍，+ 一) ”出+ b 一、1 w ，对n 个单元求和有： b ( u ”) = r ( “7 + 一) ”出+ m 时 由分都积分可得； 肌u ) = 小m 一蓦心咿u 两， ( 8 ) 取w ，为”的m 次r - 型插值插值，它满足( ”一w ，) 亨= o 、且“，一m ， 正交于m 一1 次多项式。由e 的正交性及e = r 一目p p m 一，得： b ( e u ，) = b 【e t 上 一训，) ：，“( e ，+ 。) ( 。一。，) 出+ 董【勺 ( 。一。) 于 。u 】= 0 ，h = ( ( u u ) 7 + o e ) ( 一叫j ) d t s c ( i ie i i + 1 | 缸一u ，1 1 1 ) 1 | 一训ji 9 ) 湖南师范大学硕士学位论文 首先作辅助共轭问重 一摹? i 醢毒；j 扎”? 亭i i ；= = = 童 萎靛重要等囊鍪，毫萝 誊羲引陵鬻慧囊蚕翻郅蜘引；一 ? ：! - i 一；= j i l ? 颥；i 震鬓 蔫转g l 一；ij ! 二 囊l h l 墓 ! ；带i 尊li f ， l _ 二? 皇jj ；! 囊墼l 墓薹! ig ! ；囊萼i 耋一；ij 蠹；一 ；l 善爹囊科黧翥尊毗冀孤鬟 j ； 萋覃赢雾 e 2 ” 1 。2 sc 1 ( 1 + 4 国c ”- 1 1 + 1 若当h 赴时有4 q o 妒t 1 1 故取h m m ( h j 。n 2 ) = 托。时仍有k 2 ( 一1 则表明( 2 6 ) 式的确成立 最后回到( 1 4 ) 式，得超收敛估计 ip ( t ) i sf 旧2sg 2 ”“( 1 7 1 由e ：；一日= i + o ( 2 m + 2 ) 可知定理3 2 成立 x 湖南师范大学硕士学位论文1 6 由r “，一( ) 、：o 和r 与m 一1 次多项式正交又( 自7 t 一屯1 ) p 竹h 则 f 一鼍( t 一“一，) d = f 。( 只一日) 8 ( t 一屯一，) d t j 由u n g 不等式有 日2 ( f 一屯一，妯曼e 目。( t 7 j 取j = 1 2 消去右边第一项得 c ， 1 1 出卸j ( 僻枷刁( 卜。n 出 1 ) d t 茎c ( r 2 + 一2 ) ( 一亡j j ， 利用单元上的局部逆估计又得 日2 d t 拿o ，n 【f 1 i一 j i j 1 ) d fs o t ( 只2 + 铲) 出 j 。一j 出sc z ( r 2 + 萨) d t ，j 在单元，上r ( 0 一o ) = o 自( 如一o ) = e ( 勺一o ) 由 及( 5 ) 得 ，t ， 臼o ) = 学( 岛一o ) 一 口7 d o p 2 ( t ) s 。( 4 m + 2 ) + e ：8 7 2 出 j j j 故山。口2 出。( “+ 3 ) + c 2 止，日2 出代入( 1 0 ) 式，再消去右边项得 ，a ，2 出sc ，月1 2 出+ 。c 一4 m + 3 ， 回到前式，有高阶估计 甘( t ) 2 sc h 4 ”t + 2 + c 九只2 d fse 4 川+ 2 + c 2 2 m + 2 g 1 2 i m + 引m 1 j j ， 最后由p ( t 1 = 月( t 1 d ( t 1 - 月( t ) + d ( + 2 ) 即得结论( 7 ) 湖南师范大学硕士学位论文 1 7 第五部分 抛物问题时间连续全离散有限元的超收敛性 s l 引言 抛物初边值问题的全离散格式在节点的超收敛性，t h 一* 是通过 构造一个插值函数来证明在单元节点的超收敛性；但没有涉及单元内 部特征点的超收敛性。陈传淼教授提到由于时间投影饥u 在单元，= ( t 1 - 1 t ，) 内部的m + 1 阶l o b a t t o 点上有超收敛o ( m + 2 ) ，m 2 对全离散 格式应有i i ( f q k 凰u ) ( t ，1 ) l l = o ( n + 2 + k + 2 ) ，m ，n 2 。本文利用时间 和空间的张量积分解来证明抛物问题时间连续有限元的全离散格式 在节点和内部特征点的超收敛性。 设n 是二维有界域，在柱体q r = q ( o 明中考虑线性抛物初边值 问题 u t + a “= ，q r 中( 1 ) u ( z ，o ) 妒( z ) q 中 n = o r = 触x ( o ，列上 其中a = 一d j ( ( z ) d ) + 咖( z ) 是一致椭圆算子，且a 的系数与t 无关记 双线性、内积、范数分别是： 撕= 上( 啦办u 马”+ a 删胁 ( 加) = 点，”如 州上；三渺砰酬2 ， 淞( ，r m ，圳k 出) j o 湖南师范大学硕士学位论文 设空间区域f 2 和时间区域j = ( o 丁】的剖分都是拟一致的h 肌一、l 是区域f 2 的节点 为小单元r 的最大尺寸区间j 的节点t 一。一，n a 单元l - l t ，) 的半步长，= 生二争土 = m n z b m 次空间有限元空间 s “= ft 凰f q ) t 为分片n 次多项式) 口h 是口的某种离散逼近，可为 插值归椭圆投影嘞。或工t 投影r 击总设 。一回h 忆兰c 7 5j ，。l ，s = o 12sr 墨n l 时间的连续分片m 次有限元空间胪= t 12 1 1 设u ( tzj 对空间变量已作”次有限元离散，又对时间变量作m 次有 限元离散它们构成张量积空间舻圆跳= 鹃“，在单元易上【，( 弘“是 时间的”t 次多项式，由于在前一个单元一，上以已求出节点值e 川) 故【+ 在单元乃上只有m 个自由度故u 满足： ) + a f 【一) 一( ，f ) 1 1 ( t ) d t = o ，q 只。一1 础( 2 1 u ( o ) = 。 = r 击罐，j = 12 m 在实际计算时可取，7 = ( f t ，一。) t 一o ，1 2 ，m 一1 唯一确定【 定理( 5 1 ) 设时间区间及空饲区间的剖分是拟一致的椭圆算子 a 的系数与t 无关且方程的真解“( z ，t ) 是适当光滑u 鹘“是全离散 有限元格式( 2 ) 的解，磊为n 上的n + 1 阶l 0 b a t t o 点集，则在时间剖分 的节点江t ，上有以下超收敛估计 i j ( u 只 乱) ( 0 ) i l 曼g 1 ( u ) 七2 m + c b ( u ) h “+ 2 ，mn 2 ( 3 ) 若椭圆投影凰“( ) 在点集磊上有离散2 z 范数意义下的超收敛性 ( l ( u 一风u ) ( 圳27 t 2 ) l 2 = o ( h ) ，n 三2 z z “ 则。在单元= ( 如_ 1 t j ) 内部的m + l 阶l 0 b a t t 0 点t 上有超收敛 ( l ( u u ) 【t j ) 1 2 2 ) 1 7 2 = o ( 州+ + 2 ) m 2 ( 4 1 2 zj 塑塑堡垒苎兰丝圭兰垒丝塞 ：! ! ! s 2 定理的证明 由于时间方向也离散化，故采用张量积法进行误差分析。由第一 部分单元正交展开，在每个单元l 上可定义一个”t 次投影算子钒， 它使q * u 在两端点忙0 “扛勺上饥“：u 且皿( u 一0 k u ) m 、f u q “) ”z 分与 的m 一1 次多项式p m 一，与m 一2 次多项式r 一正交在。方 向构造。的。次椭圆投影r u 础襄坐疆；t 潺一；一? i f 曩荔攀 玎堕疆韬蠹鬻笺黧黼擎爹吵爹t i 。善- 禽蒙掣 藿i 囊蠹。一= 二i ? 一 ；j ：一；蠢；= = = i ；? 甜g 一事j ? 重| | = 堇i 舅姜一耄蠹姿鎏霆i 萋型h 鏊孽矗嚣墨蠹篓；豢篓蓑鍪一霪砸藿辫! 餐萋；“娶簦瑟鬻蠹爱鬟葡蓥 墨胬堪需i 务辜。但i 髫w 耄需蹴；1 i 墓磁i 哺i ? 警蠹；g i 雾 鍪j i j 臻，曩s w豫l群篓一；i譬+1孑)d。出一12z。上鲁( 啤+ 叼) d z 出 = a 正( u 2 十v 2 ) ? 如一4 上( u ( 。) 2 +v ( 。) 2 ) 2 出一1 2 上( 1 。v1 2 + i 。 2 胁 + 1 7 2 d v o 1 2 + ld u o 1 2 1 d 。 故可得出能量积分守恒： 1 2 ；d w 7 1 2 d 。一 l 4 l | 4d z = l 2 1d i 矿( o ) 1 2d t 一1 4 ( h 。( o ) ) 2 d 。 752o oo o o o oo 上式右端与初始值w o 离散精度有关，只是与时间无关用时间连续有 限元的全离散格式求解非线性s c l l r o d i n g e r 的方程能较好的保持能量积 分e l w ( t ) ) = 1 2 kid u ，1 2 如一1 4 矗1 4 出守恒 取间断有限元_ r 弘“满足 ：_ ( “) 一4 ( f f ) + ( i u 2 + 1 7 2i 、- ) ) 出+ ( 陟一1 $ 1 ) = o ，f s 6 ( ( u 7 力+ a fl r 叼) 一( iu 2 + 1 2l u 叩) ) d f + ( 【码一】 巧- _ 】) = 【) 7 s ，l i x 湖南师范大学硕士学位论文 2 问题如= ，在a n 上u = 椭圆问题a u = ，定义凰“= 磊， o 的解算子丁的离散类似丁j 。：对二阶 由文献m 则这两个算子有性质： 1 ) 如。箭被u 唯一确定，且1 1 如u 怪1 la u 临( 1 1u 恢1 la “怪( n 因为二阶椭圆算子a 的系数与t 无关因而椭圆投影算子也与 t 无关上述定义在t 方向和z 方向的投影算子的张量积可交换次序 0 女 r u = 咒 0 七“ 考虑辅助共轭问题：若9 鹃n 满足 小【轧仇) 一，砌) d t _ 帅驴h g ( ) 一( u a h u ) ( 白) 铅( n ) 由山定义，此方程司写为算子形式鲰一a h 9 = o 由n = ( 如) 则 了i 肌= 9 由 上“a ( 。，) 出= z “( a n 。，9 ) 出= z “( 9 t ，9 ) d t = 1 2i s 酽台 故 ，1 。l i9 惦出sel l ( u r t ) ( 如) 1 1 2 。 ( 1 0 在( 8 ) 式中：取”= n g 由( 9 ) 式饥= n g f = g 由算子凰q 十正交性 有( 【“一m ) ) ，与t 的m 一1 次多项式正交，a ( ( “一翰) u ，”) = o ，口s l 则 z “( ( p f 曲) + a ( p ，饥) ) d f = z “( ( “一吼) 毗，9 ) 出+ z “a ( ( 几一q * ) ”9 ) d f 。翳 一 ：钾 辽定可故故定 。 正 锄 船 叫 在 啦 由_ ：鬣 湖南师范大学硕士学位论文 2 1 当t ，2 ( 一r 。) u 关于空间有高阶负范数估计，则 r o o ( ( ，一岛。) u f ，g ) 出 0 当r ，嚏2 时( 一一q k ) u 关于时间变量也有高阶负范数估计、由a 瓦= 日，“9 = 9 ，则上式右边第二项有 一i卜， ) a ( ( 卜o k ) u ，9 ) 。2j c ( ( “一o k ) 以胁 ： “( ( “一q k ) a ? 一3 2 a 。，丁才一3 2 9 ) 出 s g 2 m “| | d p + 1 m 一2 。川瑁一3 。d ? ， sg “ 。1 1d r + 1 。1 1 2 。一。l 9i i 。出 综合( 1 0 ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) 式得( 3 ) 式成立为了研究单元内部超收敛性，作 辅助共轭问题：若9 萨“满足 肌= 且棚+ f 在q 中，初值9 ( “) = o 【1 3 ) 此方程有正则性估计： 1 191 1 1 + 9 川+ 9 2 e f 由( 8 ) 武取”= 9 则左端矗= 启“( 日t ，9 t ) + a ( 口，9 t ) 出分都积分，由初值 9 ) = o ，口( o ) = o ，有 ，0 = a ( 目，9 ) 1 分+ j ( “( 吼，m a 一9 ) = z “( 巩，f ) d t ，0 = a ( 曰，9 ) 1 分+ ( 吼，m a 9 ) = ( 巩，f ) d t j 0j 0 取f = 吼，则 j 0 = 吼2 ( 1 4 ) 右端j = 学【肌m ) + a 虮) ) 观与前证法类似，仍利用张量积分解及算 子月。q 。正交性有： j 2 上( ( 。一如) 吼) 8 h 上( ( 7 一觚鲥8 k 山+ 如 出 t 1 d 9 i i 9 o 州! 毗 忆 晚 m 一 ， 如上 i 心 f 甜 一 一 2 甜 u g 湖南师范大学硕士学位论文 2 2 由分部积分及负范数估计有： 。，】 = ( ( 一r h ) 札 ，9j1 分一( ( 一r ) “：9 ) d t r 1 1 墨e ”+ 2 ( | | d t u ( o ) 1 l 。+ 1 i i9 ( o ) l h 十i i iu “| | i 。一l | | g | | ) se 胪+ 2 f ，0 n 也。上“卜吼) a m 如9 ) d 2 = 厂”( ( 一o k ) a a u 9 ) 出+ i “1 ( ( 一q * ) a 札f ) d 7 = ( ( 一0 k ) a a u 9 ) 出+ ( ( 一q * ) a 札f ) d 7 j oo 由引理21 ，( 一q ) u 与p 们一1 正交，又f = 巩p 竹h ( t ) 则 j 2 茎e 矗m + 2 d p + 1 “i 4 d t g sg 七m + 2 f 综合( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 j 式得：吼兰e ( 妒+ 2 十胪+ 2 ) 由于目t = 口( o ) 十正巩出贝0 ( 1 5 ) ( 1 6 1 p ( t ) i l s ，hi l 巩| jd tse 吼e ( 七m + 2 + ，件2 ) ( 1 了) 9 ( 圳l s 上s e 雌e ( 。”2 + “”帕) ( 1 7 ) 由u u = u 一风“+ “一q * 哦“+ m r h “一u ，在定理5 1 条件下，椭圆投 影月u ( t ) 在点集磊上有离散2 z 范数意义下超收敛又目风u 一仉r 川为 多项式故离散f 2 范数( 1 日( z ) 1 2 2 ) 1 2 ( lq k r 一如“m ) 1 2 2 ) 1 。 磊z 磊 分与范数忡仉风u 一凰ul i 等价结合0 t 的性质得( 4 ) 式 湖南师范大学硕士学位论文 第六部分 非线性s c h r o d i 一g 方程的守恒律及数值试验 s1 非线性s c h r o d i n g e r 方程有限元的守恒性 对量子力学，地震学等科学中经常出现的非线性s c h r t ，d m 方程 它有很多守恒律下面说明对常微分与偏微分两种情形利用连续有 限元可得到能量积分守恒，而动量近似守恒误差为高阶量( = _ ) f “一j 考虑复非线性s c h r o d i n g e r 常微分方程w = “+ ” t 警小一n 州= 蚍 ( 1 设其，次连续有限元解h 妒使 参 w ih ) “，7 出= o s 1 令c ，= 行为1 i 的共轭复函数、上式的实部为 即有如下守恒律 i7 。! t 1 2 ；a ，iw ，1 ：出：o j 0 二 7 ( 幻) 1 4 = ih 7 ( o ) 1 4 = l 叫( o ) 1 4 在数值实验中，用二次连续有限元计算了此方程。当步长取为h = 】? 4 = 1 t 87 1 1 6 时间方向的区间为 0 ，8 】；f 0 。t 6 】时， f 圳1 一f o 川 误差精度高达1o e 一1 5 ，与理论相吻合 考虑复非线性s d l r o d i n g e r 偏微分方程w = u + “ ，“，+ w ，f 2 “，+ = 0 ，q 中 1 1 = 0 - = - 岫f 冲 l i ，| a n = 0r = a q 1 2 ： 湖南师范大学硕士学位论文 l ! 为二维有界域，q = q j j = ( o 丁) 分开实部虚部可化为方程组 一f = t + ( 7 j 2 + t 2 = u 十【u 。+ t ，2 ) “ 记w 为时间方向连续的全离散有限元，v 为其实部虚部的时间 方向连续的全离散有限元解、满足方程： rt，trr i ( 一矾- 叩) 出+ i 且( 1 iv ) d t = ( ( u 2 + v 2 ) 1 i7 1 ) d t n j oj 0 r ?r ，r t ( i 。t 叼) d f 十a ( u r 1 ) d t = ( ( v 2 + 1 力) f ，叩) d t 卵s “ j 0 j 00 j 1 式取，产、；( 6 ) 式取，7 = u t 两式相加，可得 ( 6 lj= ( 一4 f k ) 一a ( u “) + ( 【一1 ，2 ) 17 1 ；+ ( u 2 十v 2 ) u u f ) d x d t = 1 ，+ 4 ( l 。v 2 ) 2 d 3 1 4 ( u f 0 1 2 + v ( o ) 2 ) 2 d x 一，。z 1 上妄( 譬+ 、 。2 ) d x d t - 1 。z 。厶f ，酉c 9 、u r 。2 + 叼) a z 出 = 州u 2 + v 2 ) 2 d x - 1 4 上( ) 2 + v ( 。) 2 ) 2 d x - 1 2 上( 1 。v1 2 + id 卅胁 + i 2 d v ( o ) 1 2 + id u ( o ) 1 2 ) d z 故可得出能量积分守恒： 1 2 d g 7 1 2 出一1 4 | 4d x = l 2 d w ( o ) 1 2d x 一1 1 4 ( 1 1 。( o ) ) 2 d x ，s2j nj nj n i 7 上式右端与初始值w o 离散精度有关，只是与时间无关用时间连续有 限元的全离散格式求解非线性s c h r o d i n g e r 的方程能较好的保持能量积 分e i w ( t ) ) = 1 2 kd u ，1 2d x 一1 4 矗1 4d x 守恒 取间断有限元_ r 弘“满足 ：_ ( ( “) 一4 ( f f ) + ( iu 2 + 1 7 2i 、- ) ) 出+ ( 陟一1 $ 1 ) = o ，f s ( ( u 7 力+ a fl r 叼) 一( iu 2 + 1 iu 叩) ) d f + ( 【码一】 巧- _ 】) = 【) ，s ，l i l i 湖南师范大学硕士学位论文 令e = 【_ 卜17 将上两式相加有 ；j i , 苦上2 “2 1 d x d f + 啦j 矗啦。m f l 完成对f 的积分对所有区间，求和经整理得到等式 “吁一【了j l 2 ti 1 7 一f | | 2 ) + l ik 旷+ lk 1 1 2 = l iu oj 2 t 1 1l f j 2 ，= 0 由定理j1 ，可知线性常微问题中盼j = o ( h ”“) 对偏微分方程常微分 结果可推广到偏微分但已超出本文议论范围其理论分析见其它参考 文献设盼：= o ( h 一1 ) 嘲= o ( 护“) 它们平方求和后只有阶数 “州 故 ( e t ，一o ) 2 + v ( t 。一o ) 2 ) d x = ( 啼十曙) d 。、+ o ( h 2 ”1 ) ( 8 j js 2 j n 可见间断有限元并不满足动量守恒，但其动量的变化有高阶超收敛 川n 2 ”一1 1 在s c t l r o d i n g e r 方程中取检验函数”= “可导出能量守恒取u = t 可导出动量守恒但在有限元离散时：不可能同时如此做在时间连续 有限元法中可取t 一= 玑得能量守恒在间断有限元中可取t = u 由于 间断跳跃值的影响只能得动量在高精度意义下近似寺恒 s2 常微分情形的数值试验 非线性s c h r o d i n g e r 常微方程：“、= u + 妇 ? t 王。= l 钍，1 2 杠t u ，i f _ o = 1 0s ts8 已知准确解为 = c o s l 一is i n t 用连续二次有限元求解、记u ，1 ，7 分为方程实部虚部连续二次 有限元解对区间作均匀剖分磊：0 = t 。 f 1 2 t = 8 分取步长 7 一j 1 辛 击，求得实部误差u ( t ) 一c o s t 虚部误差v ( t ) + s i n ( f ) 及能量误 差e 【t ) = w ( t ) 1 4 1 ( o ) 4 在节点k24