（应用数学专业论文）非线性方程xaxqaiq＞0的hermite正定解.pdf

山东大学硕士学位论文 非线性方程x + 岔x 一口a = i ( q 0 ) 的h e r m i t e 正定解 王进芳 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 摘要 求解非线性矩阵方程的问题主要是通过分析所给方程参数的性质来得到方程 的解在现实生活中，方程x + x q a = ，的来源相当广泛，包括控制理论梯 形网络分析，动态规划统计和椭圆型偏微分方程的差分方法求解等多个领域 由于h e r m i t e 正定解在实际中应用较多，所以在此仅讨论此类解的情况。以下所 说的方程的解均指h e r m i t e 正定解有关此类方程的求解通常涉及到三个问题： f t ) 可解性问题，即方程有解的充分必要条件；( 2 ) 数值求解问题，即有效的数值 方法；( 3 ) 解的扰动分析 首先，对于方程 x + a x 1 a = ， ( 1 ) 在口 0 时的可解性，本文主要由以下定理给出了方程有解的充分必要条件， 定理2 。1 方程( 1 ) 有勰的充要条件是存在非奇异的矩阵，使得 = ( w l 矿) 。2 z 其中矩阵( ) 是列酉正交的此时方程c ，有解x = w ，方程所有的解都 可以用这种方式构造 定理2 2 方程( 1 ) 有解的充要条件是存在酉矩阵p ，q 和对角矩阵r o ，e o ，使得 a = p + r “2 0 p 其中r + 2 = i 此时x = 尸l r p 是方程( 1 ) 的解 定理2 6 若a 是正规矩阵。方程( 1 ) 有解的充要条件是 舭) s 群高 山东大学硕士学位论文 同时，本文还在方程的解存在时，由如下定理给出了解的一些性质 定理2 4 若方程( 1 ) 有解为x ，a 为非奇异矩阵。则 ( a ) a a x q ， ( b ) 0 x ，一a + a ( c ) p ( _ ) 、雨辞两 定理2 - 7 假定i i a i i 、而暑每，x 是方程( 1 ) 的解， ( a ) 若a 为非奇异矩阵，则 0 1 a m i 。( x ) 尻或岛a 。( x ) “2 o l a 。( x ) 口l 或历a 。( x ) sq 2 ( b ) 若a 为奇异矩阵，则 0 a m i a ( x ) 卢l 或岛a m i n ( x ) 1 ， a 。( x ) ：1 ， 其中q 1 ，0 2 p l ，岛的定义如注2 1 其次，本文通过两个不同的迭代，利用不动点定理分别求出了方程的迭代解 给出了解的收敛性 冠理3 1 ( a ) 若i i a i i 、 ；书哥，则方程( 1 ) 在 3 9 ，0 2 q 有解x l ( b ) 若1 1 a i i 再南，则x l 是唯一的且不可能有比它更大的解即x l 是准 最大解特别地，当0 qs 1 时，它一定是最大解x l 可以由以下迭代得 到 + l = ，一a x 2 4 a 其中x o 南，】令n = 盟菩兰f l a 旷 0 ：当n 充分大时， 1 i x 。1 一x l i c i i x ，。一x l l ( 1 + e ) 且 l i ms u p 丽习c 其中c = c a l l 2 | l x 1 l | 。“ 定理3 3 若a 为非奇异矩阵，且| | 、而= 两 ( a ) 当q l 时，在【q t ，芦l ，】上方程( 1 ) 有最大解x 和最小解x ，且x2 恕x n ， 戈= l i m 矗，其中 n 一。c 爻o = ，l ，侥，】，天。+ l = 【a ( 1 一又。) 一1 a + 】1 4 ，n = 0 ，1 ，2 ， 冀j = ，f 0 ，a l ，】，又j + l = 【| 4 ( ，一又j ) 一1 a 1 4 ，n = 0 ，l ，2 一 且岛戈1 足。冬膏戈曼九，戈1 蕊对方 程( 1 ) 的任意解x ，都有x 足即又是方程( 1 ) 的所有躲中的最小解 ( b ) 当0 g 1 时在【p 2 ，a 2 i 上方程( 1 ) 有最大解p 和最小解p ，且，= l i r ae 。p = l i n l 死，其中 n 一。cn 一。 矗= ， c 、2 ，1 1 ，f ：；+ 1 = ，一a f i 。- ，n = 0 ，1 2 ，- ， = ，p 1 ，岛珏托+ l = ，一 埒”a ，i q , = 0 ，1 2 ， 且y o 矗丘f f 玩s r 玩对方程( i ) 的任意解y ，都有y 茎p 即p 是方程( 1 ) 的所有解中的最大解 最后本文对以上所求的准最大解做了扰动分析和近似准最大解的向后误差 估计并用数值例子验证了以上的结论 定理4 1 令4 ，a e “如果a 及其扰动。4 满足 i i a i i 厄磊和i i - ，i - a 忭后磊刈a 则矩阵方程 x + a x l 4 = i 和x + a + x 一。a = ， 山东大学硕士学位论文 的准最大解x l ，爻l 存在，并且满足 ! ! 丝= 堑| | l ! 儿 ! 一 一 2 i a a l i q ( 1 一悄1 1 其中d = p 州1 2 i f 。4a d m i t st h ef o l l o ；x i n gf a c t o r i z a t i o u ： a = ( w w ) 9 7 2 z ， w t l e r e - vi san o n s i n g u l a rs q u a r em a t r i xa n dt h ec 。u m n s 。rw a r e u n i t a r y o r t b o n o t l h a l i nt h i sc a s ex = w + l ；i sah e r u i i t i a a l p o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o na n d a l lt h es o l u t i o n sc a nb ef o r m e di nt h i sw a y 一v 山东大学硕士学位论文 t h e o r e m2 2 e q ( 1 ) h a sa s o l u t i o ni fa n do n l yi ft h e r ee x i s tu n i t a r ym a t r i c e s pa n d0a n dd i a g o n a li n a t r i c e sf 0a n d 0w i t hf + 2 = ，s u c h t h a t a = p f q 2 q e p i nt h i sc a s e 又= p 4 f pi sas o l u t i o n t h e o r e m2 6i f 。4i sn o r m a l ，t h e ne q ( 1 ) h a sas o l u t i o ni fa n do n l 5 7i f p ( 哇) 酽 百丽 m o r e o v e ri ft h ee q u a t i o nh o s as o l u t i o n w ec a ng e ts o i n ep r o p e r t i e so ft h e s o h t t i o na c c o i d i n gt ot h ef o l l o w i n gt h e o r e m s t h e o r e m2 4i fe q ( 1 ) h a sas o l u t i o nxa n d 4i si n v e r t i b l e ，t h e n ，i 1 4 , 4 x o 一y - 二兰! ( 1 i i ) ，( 一1 ) 再彳若两 t h e o r e m2 7 s u p p o s et h a tl i a 、高哥a n ( 1x i sas o l u t i o no fe q ( 1 ) o l m m ( x ) 3 1o r 也a m i 。( x ) s0 2 c - f 1 a 。【x ) ? lo r 南茎a ( y ) 曼( 2 2 b ) i f 4i ss i n g u l a r t h e n 0 a m i n ( x ) s3 1o r 疡a m 。( x ) 1 。( x ) = i s e c o n d ，a b o u tt h en u m e r i c a ls o l u t i o n ，t h i sp a p e ro f f e r st w od i f f e r e n ti t e r a t i v e m e t h o d st oa p p r o x i m a t et h es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o na n dt h ec o n v e r g e n c eb e h a v i o r so ft h eb a s i cf i x e dp o i n ti t e r a t i o ns o l u t i o n sa r ei n v e s t i g a t e db yt h ef o l l o w i n g t h e o r e m s v i t h e o r e m3 1 山东大学硕士学位论文 ( a ) i f a l ls 压t h e n e q ( 1 ) h a s as 。l u t i 。nx s a t i s f y i n g 岛7 x l n 2 7 ( b ) i fi i a t l 、雨嚣两，t h e nt h es o l u t i o nx li s u n i q u ea n dt h e r ei s n os o l u t i o “ g r e a t e rt h a nx l t h a ti s ，x l i st h eq u a s i m a x i m a ls o l u t i o no ft h ee q u a t i o n e s p e c i a l l y , i f0 q l ，x l m u s tb et h em a x i m a ls o l u t i o n x lc a nb eo b t a i n e d b yt h ef o l l o w i n gi t e r a t i o n 矗+ l = ，一a + x g 。a f o ra n yx o 希，na n dt h ee s t i m a t e s i i x 。一x l i is 而a n | | x t x 。玑i i x 。一x l i i 而a i i x 一x 一1 h o l dw h e r e = 心乒i i a i l 2 0 x 。+ 1 一x lj e l l j 厶一x l l ( i + e ) 如ra l l 7 ) l a r g ee n o u g h m o r e o v e r l i r as u p0 伍翮s c n 一 w 酏c = q i i a i l 2 l x 一1 i r l t h e o r e m3 3 s u p p 。s e t l l a si n 憎r t i b l ea n di la i i 正爵 ( a ) i fg 1 ，t h e ne q ( 1 ) h a sam m x i m a ls o l u t i o n 又a n dam i n i m a ls o l u t i o n 定i n 0 t ，口t ， 又= 拦强贾na n d 膏= 。1 i n 。i 贾n w h e r e = ， 口l ，f 1 2 i ，又。+ l = a ( i 一爻j ) 一1 a 】1 。，n = 0 ，l ，2 = ，【0 ，o l l ，】，赢+ l = 【a ( t 一矗) 。1 a 】1 q ，n = 0 ，1 ，2 ， m o r e o v e r ，又os 支1 戈。s f o ia u ys o l u t i o nxo fe q ( 1 ) ，x 贾 t 1 1 es o l u t i o n so fe q ( 1 ) 戈s 又又。又1s 足o t h a ti s 膏i st h es m a l l e s ts o l u t i o no fa l l 山东大学硕士学位论文 ( b j i f0 q 1 ，t h e ne q ( 1 ) h a sam a x i i n a ls o l u t i o nya n dam i n i m a ls o l u t i o n pi n 0 b ，( 1 2 ，】p = ，韭巴托a n dp = 一l i m 。 l y n c a nb er e s p e c t i v e l y 。b t a i n e db y t i mf o l l o w i n gi t e r a t i o n s 妃= ， 0 _ 2 ，、，】，托+ l = ，一a + 露9 a 、n = 0 ，1 ，2 ， f j = ， p 1 ，岛， 托+ 1 = ，一a + 蚜4 - ，n = 0 ，1 ，2 m o r e o v e r 、，js 矗 is f o ra n ys o l u t i o n yo f e q ( 1 ) ，y y t h es o l u t i o n so fe q ( 1 ) sy r 曼l 二k 玉k t t l a ti s 矿i st h em a 妇h l a ls o l u t i o no fa l l l a s t ，ap e r t u r b a t i o nb o u n df o rt h eq u a s i m a x i m a ls o l u t i o no ft h em a t r i xe q u a - t i o na n dac o m p u t a b l ee r r o rb o u n df o rt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o na r es t u d i e da c c o r d i n gt ot h ef o l l o w i n gt h e o r e m s t h e o r e m4 1l e ta 万g n x ni f 剖 仨磊删i l - 百- a 忭后磊圳 t h e nt h eq u a s i m m x ：i m a ls o l u t i o n sx la n d 爻lo ft h em a t r i xe q u a t i o n s x + 一- x 一4 l = ，a n d 贾+ 甭元一q i = ， e x i s ta n ds a r i s i yt h a t | | x l 一x l l ， 2 i i a 一 - f 1 i x l ijq ( 1 6 ) f 1 a t l w h e r e6 = 掣州i2 1 t h e o r e m4 2l e txa p p r o x i m a t e st h eq u a s i - m a x i m a ls o l u t i o nx lo ft h e m a t r i xe q u a t i o n ( 1 ) s u p p o s et h a ti t a i i a 4 此文将矩阵方程的解转化到递归问题的解，为实际求解提供了方便但由于本文 自身的局限性，即是在4 为实矩阵和q = ，的前提下讨论的方程使得其结 论不能得到更广泛的应用于是jc e n g w e r d a 在【4 】中对( 3 进行了推广将问 题推广到了复数空闻去讨论即在a 为复矩阵，q 为任意正定矩阵的情况下讨 论了方程( 1 4 ) 的解首先，通过解析分解的方法，给出了q 0 时方程( 1 4 ) 有解的充要条件，即妒是正规的，且对所有单位圆上的a 均有妒( a ) 0 ，其中 “a ) = q + a a + a - l a 其次通过变换y = q 一1 2 x q 一1 2 和a = q 一1 2 a q 一1 俺， 将一般的同题x + x - 1 a = q 的求解转换成了特殊的方程，+ y 一1 a = ， 的求解证明了如果方程x + 。 + x “a = ，有一个正定解，则其余的解均使正定 的再次，通过两种不同的代数递归算法即； f y o = ，i ix 。+ l = ，一 x i l 一扎= o ，1 和 f 甄：a 4 ： 0 ，0 和r 2 + 2 = ，此时方程的解为x = p t f 2 p 同时( 1 2 1 对 4 】做 了大量的补充，进一步完善了矩阵方程x + + x 1 a = ，的求解理论 在方程( 1 1 ) 研究的基础上，j g i v a n n o v 和s m e l - s a y e d 将此类问题进行了 扩展，在【1 3 】中讨论了方程x + a + x - 2 a = ，的情况首先，此文给出丁方程的 解存在的充分条件，即若存在两个数n ，满足0 o t p 1 和舻( 1 一q ) ， a a 卢2 ( 1 一卢) ，则方程( 1 2 ) 有正定解其次，此文提供了两个迭代方法即： l x o = 】； lx 。+ l = ，一a x 产a ，s = 0 ，l ， 和 ix o = 口，0 卢 1 ； l 咒+ 1 = 、a ( ，一k ) 一1 a ，s = 0 ，l ，一 来求解方程，并讨论了解的收敛性和收敛率此后，i g i v a n n o v 等人在【1 4 1 中又 对此方程进行了较细致的研究，将( 0 ，i ) 之问的。和卢扩展到f 0 ，1 】，并将此空间 具体分解成 0 ，2 3 1 和( 2 3 ，1 】分别采用两个不同的迭代来讨论，即 f 硒= f ，f h t 7 l ； i 托+ i = ，一a x f 2 a ，s = 0 i ，- - 和 lx o = ( ，( 0 ，2 3 ； l 。k + i = a ( ，一虬) - 1 a ，= 0 ，l ， 其中2 3 7 r i 1 ，矿( 1 一q ) ，sa a 7 2 ( 1 一吖) 虽然此文在 0 ，2 3 叫之 闭易迭代求解，但是在( 2 3 ，1 之间没有给出了与q 的确切值。难以迭代求解 因此，总体而言由于【l3 】和【1 4 】在理论求解和具体计算中都与不确定的数a 和 口( 7 和q ) 有关，而且没有提供简洁的充要条件，给实际求解带来一定的困难于是 张玉海抓住了以上文章中的缺陷，在 1 5 】中首先给出了方程有解的充要条件，即 若 是正规矩阵。则方程x + a x 一2 a = ，有解的充要条件是p ( a ) 2 衙 并在i i a i l 2 嚣的假设条件下。通过求解三次方程z 2 ( 1 一) = a 。m ( a a ) 和 。2 ( 1 - - x ) = a 。( a ) 的两个非负解，从而得到了在 0 ，2 3 和 2 3 ，i ) 中的q 1 ，卢l 和岛，q 2 ，且满足0 1 角s ；岛q 2 ( i ，并由此确定了方程解的具体范 一5 一 。坐查查兰翌主兰垡丝苎 围，即x “1 卢l ，1 u 慨，a 2 i 】u x ：o ：1sh m i 。( x ) 卢l ，岛a m 缸( x ) a 2 其次在i i a t js2 衍的条件下，分别采用迭代t ix o = 7 1 ，1 1 2 3 ，1 ； ix n + l = ，一a + k 2 a ，n = 0 ，1 ，- 。 和 ix o = q l ，”【0 ，2 3 ； 【x 。+ 1 = a ( ，一x 。) 一2 a ，n = o ，1 ，t 求懈了方程在解g _ - i ；lb 1 ，卢，l 和 岛j ，0 2 川中的迭代解最后，对迭代解x 的 收敛性进行了讨论得到l i ms u p 棚二了研2 a x 一1 i f l l a x - 2 其中= ，一a l x 0 。a ，x o 【2 3 i ，nn = 1 ，2 ，- ，不等式右边为与o ，觑0 = l ，2 ) 无关的 常数至此，我们已有了求解矩阵方程( 1 2 ) 的一套完整的理论和简洁数值求解方 法，为此后研究更一般的方程x + a x 。a = ，提供了很好的指导方向 随后，建立在对方程( 11 ) 和( 1 2 ) 研究的基础之上。v h a s s a n o v 和i i v a n o v 在【1 6 】中再次将此类方程进行了推广，讨论了矩阵方程 x + a xa = ， ( 1 5 ) 在a 为实矩阵的情况下的可解性，给出了方程( 1 5 ) 有解的充要条件为存在正交 矩阵p ，q 和对角矩阵e 和满足e 2 + e 2 = ，使得a = p 7 e ”口p 此时 x = p 7 e 2 p 即为方程的解同时也将g - - r 司【0 ，门分解成 0 署t ，】和【嚣i ，n 分 别采用迭代 ix o = ，7 陋，用； l 墨+ l = ，一a + x f ”a ，s 一0 ，1 ， 和 jx o = ，f ( 0 ，鼎】 i 置+ r c a ( i 一墨尸a ，s = 0 ，1 来具体求解方程在以上分解区间中的正定解，其中a ，口为满足煮t 0 时的 山东大学硕士学位论文 h e r m i t e 正定解。不仅利用积分的理论将q 推广到任意正实数，而且以 1 5 为基 础，给出了方程有解的充要条件和解的一些性质同时利用矩阵的一些知识，由不 同的迭代分别得到了方程的迭代解，并讨论了癣的收敛性 最后，由于方程的最大解在实际的应用中占有相当重要的位置，因此从更广 阔的应用角度讲。我们有必要对其进行更深入的研究于是，徐树方在【1 7 l 中对 方程x + a x “a = ，的最大解的性质作了很详细的描述，并分别采用了四个迭 代对此进行了迭代求解，且分析了各迭代的优缺点随后，又在文献【1 8 l 中将【17 】 中的部分结论推广到了求更一般的方程( 1 4 ) 的最大解上，并对方程的最大解作了 扰动分析，证明了解的扰动边界取q = p 其主要结论为t 引理1 1 令a 月，p 和p c “，且尸和尸均是h e r m i t e 正定矩阵如 果l l i ll l p 一1 l i l 2 ，l l a a i l ( ；一i i a i i i i p 一1 i i ) i i p 一1 l i 一1 ，l i p p i i y ) 表示x y 一7 一 山东大学硕士学位论文 是半正定( 正定) 的；【1 表示共轭转置；a ( ) 表示矩阵的所有特征值组成的集 合k ( ) 表示矩阵的第i 个特征值，a 。( ) 和 “。( ) 分别表示矩阵的最大和最 小特征值p ( ) 表示矩阵的谱半径，i i 表示矩阵的谱范数 山东大学硕士学位论文 第二章矩阵方程的可解陛 本文以下将对方程( 1 3 ) 进行更深入的研究 定理2 1 方程( 1 3 ) 有解的充要条件是存在非奇异的矩阵w 使得 其中矩阵( ) 是列酉正交的，此时方程c - 渤有解x = 。，。，方程所有的解 都可以用这种方式构造 证明必要性 如果y 是方程( 1 3 ) 的解，则存在唯一的h e n j f i t e 正定矩阵w 、使得x = 2 ( 见 2 0 】) 代入方程( 1 3 ) 得 i 矿i 。+ a w - 2 。以= ， ( 2 2 ) 令z = ”。a 则，a = - 妒z = c t r l “2 z 由c 。固得( ：7 ) 为列酉正交的 充分l i 假定a = r 叩门z ，( ) 列酉正交，令x = + 得 、+ a y q a = l + w + z ( ； ，+ ”j ) “2 ( 矿l y ) 一。( p w ) v 2 z = w i 矿+ z + z = i 即x = 1 4 , “i y 是方程( 1 , 3 ) 的解证毕 定理2 2 方程( 1 3 ) 有解的充要条件是存在酉矩阵p ，q 和对角矩阵f 0 0 ，使得 a = p + r 9 2 q g p 一9 一一 1 1 a、 1 吖 、 旷0 + o 阿 r r 佧， 即 山东大学硕士学位论文 其中f + 2 = 此时x = 尸r p 是方程( 1 3 ) 的解 证明必要性 若方程( 1 3 ) 有解，由定理2 1 得存在非奇异矩阵w 使得a = ( w w ) 4 2 z ， 且( 歹) 是列酉正交的，则( ) 可以扩展成一个酉矩阵 卜矿u zv 由c s 分解定理f 2 i ，p 3 7 ；2 2 ，p7 7 】得存在酉矩阵u i ，尸和对角矩阵k 0 ，0 ，使 ( 孑) = ( 管兰) ( 兰一k ) ( p 0 品) 其中舻+ 2 = ，则= u l k p ，z = 仉p 由于w 为非奇异矩阵。故k 0 ， 令0 = _ ) ，r = 2 0 ，可知q 是酉矩阵，r + 2 = ，所以 = ( u + i p ) 。一7 2 z =( p + k u ：c ，l k p ) q 2 u ，e p = p + f k 2 ) q 2p u 2 e p = p r q 2 q e p 充分性 若存在酉矩阵尸，q 和对角矩阵f 0 ，0 ，f + 2 = ，使得a = p + r q 胆q e p 令x = p r ，) 可得 。i _ r ? 4 ：一c 4p 4 r 尸十p + q f q 2 p ( p r p ) 一4 p r 9 ，2 q e p p f r + 2 ) j d = 即x = p + f p 是方程( 1 3 ) 的解证毕， 定理2 3 若方程( 1 3 ) 有鳃则l i a i l 1 ，而且若a 的阶数不小于2 ，i i a i i 取 01 ) 中任何值时，方程( 1 3 ) 都可能有解 证明若方程( 1 3 ) 有解，由定理2 , 2 得存在酉矩阵p ，q 和对角矩阵f 一， 使得a = p + f q 2 q e p ，且0 r ，r + e 2 = ，则l t r l l 1 1 i e l l 1 故 一1 0 一 刮= i i p 。r 呵2 q e p i i = t l r 。2 q z l l 盯q ：l 删妒1 山东大学硕士学位论文 剧| | a i i 1 当a 的阶数不小于2 时，取2 2 阶矩阵 a 。= ( ：；) = ( ：。，一：。，。，。) ( ；。1 ) ( ：) 其中。s n l ，则i l a 。8 = n 由定理2 2 ，可知当a = a 2 时，x = ( 。1 11 。) 是方程( 13 ) 的解 对于高阶矩降a ，取a = a 2 e 0 n 一则i i a i i = 1 1 , 4 2 j 2n o - 1 ) ，此时 x = ( 。1l ! 。：) ( b 厶一。是方程( 1 3 ) 的解证毕- ( a ) ( b ) ( c ) 定理2 4 若方程( 1 3 ) 有解为x ，1 4 为非奇异矩阵，则 4 a + x o ， 0 x 一a 4 删厮 证明( a ) 由于方程( 1 3 ) 有解为x ，a 为非奇异矩阵，所以 x ，a x q a 4 , 4 ，又x q ，因此a a + a + a 即，一x a a 因此0 x 0 0 ，r + e 2 = ，使得a = p + p 2 q e p ，则 a ( a ) = a ( p r 4 2 q e p ) = a ( r 9 2 q ) = x ( q e r 9 2 ) 故 p ( a ) = m a xf 。( q z f 2 ) isi i q e r 口2 f | si i e r 2 。i f 令= d i a g ( o i ) ，r = d i a g ( o ，0 盯t 0 ，i = 1 ，2 ，m 显然q 为酉矩阵，且r + 2 = ，故 a = f q 2 q 则a = t a i ，= p r q 2 q p 由定理2 , 2 得方程( 1 3 ) 有解为 x = p f p = p ( ，一d i a g ( 口? ) ) pi = 1 2 n 证毕 注2 1 令a ，表示一的特征值，t = l ，2 ，t z 易知方程 z ( 1 一z 2 ) 。2 = 在区间n 1 ) 中，当队| = o 或厢时有唯一解；当o l 厢时 有两个不同的解若p 表示集合 - ：- - c a ， a l = 。或矫) 中的元素的个数由定理2 6 可知方程( 1 3 ) 有2 一p 个不同的解 一1 3 山东大学硬士学位论文 令函数g ( z ) = ( 1 一z ) 易知当z = 南时，此函数取最大值币暑每因 此在 o1 ) 上，如果i l a l t 、再南，方程g ( 。) = a m t n ( 4 a ) 必存在两根，记为 n i ，。2 ：方程9 ( 。) = a 。( a + a ) 也存在两根，记为历，扇若设o 1 0 2 ，风岛， 则有 。曼- sp 熹q 历a 2 1 十l 定理2 j 假定i i a l l 雨焉两，x 是方程( 1 3 ) 的解， ( a ) 若4 为非奇异矩阵，则 n l r a i n ( x ) sj 1 或岛茎a m m ( ) 0 2 口l a m 积( x ) s ，1 或口2 m 嘣( x ) q 2 ( b 1 若4 为奇异矩阵，则 0 a 。【| 、，) 。，l 或废a ，。( 、- ) l 。、。( x ) = i 其中o in 2 ，口1 ：j 2 的定义如注2 1 证明若x 是方程( 1 3 ) 的解， 若4 为非奇异矩阵。则0 , m i n (