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带有流动件风险的离散时间模型 摘要 继市场风险、信誉风险之后，流动性风险显然成了金融界所面对的主要风险， 本文是在流动性风险研究的新近论文u m u tc e t i n & r o g e r s ，l c g ( 2 0 0 7 ) 的基础 上展开的我们首先重述了u m u tc e t i n & r o g e r s ，l c g ( 2 0 0 7 ) 模型，通过对模型 的进一步研究，我们发现无论市场中是不是允许卖空，存在流动性风险的市场中套 利机会和最有投资策略是可以共存的然后在u m u tc e t i n & r o g e r s ，l c g ( 2 0 0 7 ) 模型的基础上，运用动态规划原理研究了带有流动性风险的离散投资策略，并给出 了一个算法，接着以二叉树模型为例验证了流动性风险对交易策略的影响，得到流 动性风险越大时投资者在短时间交易量就相对越少，支付的流动性执行成本就越 大，即投资者的变现能力就越弱之后我们通过对交易函数作进一步限定，证得：包 括b l a c k s c h o l e 对冲的所有对冲，在对冲中产生的流动性成本都是有限的，这是完 全不同于带有成比例交易费的对冲在对冲时产生的是一个无限累积成本最后本 文重述了u m u tc e t i n & r o g e r s ，l c g ( 2 0 0 7 ) 运用效用无差别定价给出的期权定 价公式，接着运用实例研究流动性风险对期权定价的影响，通过分析得到流动性风 险越小，市场越接近无摩擦市场时，期权的价格越接近无套利定价得到的价格 关键词：流动性风险；二叉树模型；动态规划；效用无差别定价 u a b s t r a c t a f t e rm a r k e tr i s ka n dc r e d i tr i s k ，l i q u i d i t yr i s ki sa r g u a b l yt h em o s ti m p o r t a n t r i s kf a c e db yt h ef i n a n c ei n d u s t r y o u rr e s e a r c hi sr e l a t e dt ou m u tc e t i n & r o g e r s ，l c g ( 2 0 0 7 ) f i r s tw er e s t a t et h em o d e l o fu m u tc e t i n & r o g e r s ，l c g ( 2 0 0 7 ) w i t h f u r t h e rr e s e a r c h 。w ef i n dt h a tn om a t t e rs h o r ts e l l i n gi sa l l o w e do rn o ti nt h em a r k e t ， t h ea r b i t r a g eo p p o r t u n i t ya n dt h eo p t i m a lh e d g i n gs t r a t e g yc a nb ec o 。e x i s t e di nt h e l i q u i d i t ym a r k e t t h e n ，w er e s e a r c ht h ei n v e s t m e n ts t r a t e g yo nd i s c r e t et i m ew i t h l i q u i d i t ye f f e c t ，b yu s i n gt h ep r i n c i p l eo fd y n a m i cp r o g r a m m i n g ，w e d e d u c ea n a l g o r i t h m a l s ot a k eb i n o m a lm o d e lf o rn u m e r i c a ls t u d y ，a l l o ft h e s ea r eb a s e do nt h e m o d e lo fu m u tc e t i n & r o g e r s ，l c g ( 2 0 0 7 ) w es e et h a tt h eg r a t e rt h el i q u i d i t y r i s ki nt h em a r k e tt h es m a l l e rt r a d i n gv o l u m eo ft h ei n v e s t e rt r a d ei ns h o r tt i m e t h e n w ef u r t h e rl i m i tt h et r a n s a c t i o nf u n c t i o na n dp r o v et h ec u m u l a t i v el i q u i d i t yc o s t sa r e f i n i t ef o ral o to fs t r a t e g i e si n c l u d i n gt h eb l a c k s c h o l eh e d g e s ol i q u i d i t yc o s t sa r e c o m p l e t e l y d i f f e r r e n tf r o mp r o p o r t i o n a l t r a n s a c t i o nc o s t s ，f o rp r o p o r t i o n a l t r a n s a c t i o nc o s t sa r ei n f i n i t ec u m u l a t i v ec o s t s i nt h i sp a p e r ，w er e s t a t et h ee u r o p e a n o p t i o np r i c i n gf o r m u l at h r o u g hu t i l i t yi n d i f f e r e n c ep r i c i n gb yu m u tc e t i n & r o g e r s l c g ( 2 0 0 7 ) ，t h e nt a k eas i n g l e p e r i o do p t i o np r i c i n gf o ra ne x a m p l e ，t h r o u g ht h e a n a l y s i sw eg e tt h es m a l l e rt h el i q u i d i t yr i s kt h ec l o s e rt h ep r i c eo ft h eo p t i o nt o n o a r b i t r a g ep r i c i n g k e yw o r d s ：l i q u i d i t y r i s k ；b i n o m a lm o d e l ；d y n a m i cp r o g r a m m i n g ；u t i l i t y i n d i f f e r e n c ep r i c i n g i i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名： 苍寓诠 日期： j 7 年么月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密日。 ( 请在以上相应方框内打“、”) 作者签名：杏寓验日期：7 年占月f 日 导师签名：七分孑w 日期：伽7 年6 月b 日 硕上学位论文 第l 章绪论 1 1 问题的研究背景及意义 近年来，“市场异常现象”的不断出现对现代金融理论的现实解释效力形成强 有力的挑战，越来越多的学者将这些异常现象归因于相关理论假设与现实之间存 在的巨大差距，其中尤以“理性投资者 假设和“无摩擦市场 假设备受关注从 放宽这两个假设入手，涌现出相当多的研究成果，这促进了现代金融理论的发展和 推广【1 1 在放宽“理性投资者 假设的研究中，一些学者认为投资者是有限理性的，或 者是随机理性的实证研究和实验室研究中发现的羊群行为、处置效应、赢者诅咒 等心理现象都是对“理性投资者 假设的否定近年来，兴起的行为金融学理论就 是在这一方向上形成的系列研究成果 在放宽“无摩擦市场”假设的研究中，一些学者认为这个假设不仅仅忽略了现 实中税收和交易费用，更重要的是它包含“交易者的行为对证券价格不会产生影 响 的假定，即市场流动性是完全充分的，这从根本上忽视了流动性和流动性风险 的存在大量研究表明，正是对流动性和流动性风险因素的忽视，使得这些理论在解 释现实问题中遇到了困难i 2 4 j 同时流动性脆弱的本质却常常以剧变的形态展现在我们面前，给金融市场带 来严重的危机，例如，在19 8 7 年1o 月席卷全球的股灾以及1 9 9 7 年亚洲和1 9 9 8 年 俄罗斯的金融危机中，流动性在世界上许多国家的金融市场上突然消失，导致全球 金融秩序和价格体系的紊乱，给整个金融体系乃至全球经济的平稳运行带来了严 重的负面影响还有就是轰动世界的l t c m 公司破产事件：美国规模最大的对冲基 金之一的长期资本管理公司( l o n gt e r mc a p i t a lm a n a g e m e n t ，l t c m ) 从成立之初， 就一直秉承其最擅长的套利交易策略，即以寻找市场或商品间效率落差形成的套 利空间为主，通过对冲机制来规避风险，使市场风险最小，然而这种看似没有风险的 交易策略却忽视了最终导致其破产的市场流动性风险长期资本管理公司依据复 杂的定量模型，认为新兴市场利率将降低，而发达国家的利率走向相反，于是大量买 入新兴市场债券，同时抛空美国国债然而由于国际油价下滑，俄罗斯经济受到重 创，1 9 9 8 年8 月，俄罗斯宣布卢布贬值并延迟三个月偿还外债，俄罗斯国债大幅贬值 并完全丧失了流动性，这使长期资本管理公司在俄投资血本无归，原先精心设计的 对冲机制完全失效，加之杠杆对风险的乘数效应，l t c m 不得不宣布破产，公司倒 闭l t c m 的破产几乎引起另一次全球性的金融危机l t c m 公司最终为其忽略流 带有流动性风险的离散时间模型 动性风险的行为付出了沉重的代价 从上述历史上有名的“流动性风险案”可以看到忽视流动性风险的危害有多 大，因而一些学者开始从流动性角度对现代金融理论进行了研究【5 叫j ，为的是给投 资者和监管当局理论上的指导，以预防大规模流动性危机的爆发同时在资产定 价理论中引入流动性、流动性风险，不仅丰富了定价领域的研究，而且提高了经典 的定价理论模型对现实的解释能力因而研究流动性具有十分重要的意义 1 2 问题的提出及问题研究的进展 由于受经济全球化、金融自动化、现代金融理论、信息技术及金融创新的影 响，全球金融市场迅猛发展，并呈现前所未有的波动性继市场风险、信誉风险之后， 流动性风险显然成了金融界所面对的主要风险【1 0 1 但是目前对流动性风险的研究 还远远不够成熟，这可能与流动性风险没有一个统一的定义有关 有些学者认为大规模的交易对资产价格产生不利的影响，流动性风险使得投 资者在短时间内进行大规模的交易变的困难或交易成本上升，见参考文献 k y l e ( 1 9 8 5 ) 1 1 1 ，g l o s t e n & m i l g r o m ( 1 9 8 5 ) 12 1 ，g r o s s m a n & m i l l e r ( 1 9 8 8 ) 1 3 】e a s l e y & o h a r a ( 1 9 8 7 ) 引，但是，这些文献却没有给出一个公认的方法来正确描述它 流动性研究作为市场微观市场结构理论研究的重要内容，越来越受到各界人 士和学者的关注在金融市场微观结构中可以粗略的分为两大类： 一类是大宗交易( 例如机构投资者的交易) 对资产市场价格的影响：j a r r o w ( 19 9 4 ) b5 通过研究得到离散时间上，资产价格取决于控股的机构投资者通过的一 定的反应函数，同时还得到了机构投资者的最优投资策略和套利的充分条件；f r e y & s t r e m m e ( 1 9 9 7 ) 16 1 、f r e y ( 1 9 9 8 ) t 1 7 】和p l a n t e n & s c h w e i z e r ( 1 9 9 8 ) 1 8 1 用同样的方法 对连续时间上进行了研究；c u p c p & c v i t a n i c ( 1 9 9 8 ) ”】和c v i t a n i c & m a ( 1 9 9 6 ) 2 0 】 研究了扩散模型中，股票价格的波动和漂移系数是机构投资者的投资策略的间接 反馈：b e r t s i m a s & l o ( 1 9 9 8 ) 旺l 】通过研究得到机构投资者购买一定数量资产的最优 变现策略是按照交易期间均等的拆分交易指令；b e r t s i m a s & l o ( 1 9 9 8 ) 中的风险中 性投资者只关注执行成本的大小，并不考虑交易过程中执行成本的不确定性； a l m g r e n & c h r i s s ( 1 9 9 9 ，2 0 0 3 ) 2 2 - 2 3 1 ，h u b e r m a n & s t a n z l ( 2 0 0 1 ) 2 4 1 和刘海龙和仲黎明 ( 2 0 0 2 ，2 0 0 3 ，2 0 0 4 ) 瞄5 。2 7j 对b e r t s i m a s & l o 的研究进行了拓展，他们研究了风险厌恶 投资者的最优变现策略不过，他们的研究框架存在较大差异：h u b e r m a n & s t a n z l ( 2 0 0 1 ) 是在b e r t s i m a s & l o ( 19 9 8 ) 研究框架下的直接扩展，在投资者的效用函数中 引入执行成本的方差，同样利用随机动态规划的方法实现最优策略的求解；而 a l m g r e n & c h r i s s ( 1 9 9 9 ，2 0 0 3 ) 贝j 采用了不同的研究框架，他们将最优策略的求解转 化为二阶微分方程的求解问题，最后得到最优策略的解析表达式仲黎明等 ( 2 0 0 2 ，2 0 0 4 ) ，刘海龙( 2 0 0 3 ) ，王柱等( 2 0 0 5 ) 2 8 】和谢盐( 2 0 0 6 ) 【2 9 a l m g r e n & c h r i s s 研究 硕士学位论文 的基础上，在连续时间框架下做出相应的推广，并将其应用到基金的研究唐文芳 ( 2 0 0 7 ) 1 3 0 】在a l m g r e n & c h r i s s ( 1 9 9 9 ，2 0 0 0 ) 研究框架的基础上，从不同角度讨论了风 险厌恶性机构投资者变现大宗资产时的最优策略问题，实现了预期执行成本和执 行成本方差之间的平衡b a n k & b a u m ( 2 0 0 4 ) p l j 运用k u n i t a 非线性积分把j a r r o w ( 1 9 9 4 ) 的成果扩展到连续时间模型 另一类是做市商( m a r k e tm a k e r ) 的买卖报价差对股票价格的影响：对股票 流动性的研究最早是基于做市商市场的交易成本( 价差) 展开，d e m s e t z ( 19 6 8 ) 的交 易成本首次分析了交易机制对价格决定的影响，并提出了一个买卖价差模型，以 d e m s e t z 的研究为标志，金融市场微观结构理论的早期文献集中探讨了面临市场中 介( 做市商) 时的价格决定问题，在这方面的理论解释主要有两种，即存货控制理 论( i n v e n t o r y c o n t r o lt h e o r y ) 和信息理论( 也称逆向选择理论，a d v e r s es e l e c t i o n t h e o r y ) 1 1 0 】；最近ce t i n ，j a r r o w & p p r o t t e r ( 2 0 0 4 ) f8 】通过假设资产价格是交易量的 随机供给曲线，把经典的资产定价理论扩充到市场中存在流动性风险的情况，同时 给出自融资策略一个新的定义；r o g e r s & s i n g h ( 2 0 0 5 ) t 3 2 j 研究了存在流动性风险 的期权定价；u m u tc e t i n & r o g e r s ，l c g ( 2 0 0 7 ) f 3 3 j 研究了带有流动性风险的离 散的数学模型，在一些假设下得到了一个比较好的数学结论，即终止时刻财富的边 界效用是边界价格过程成为一个鞅的状态转移密度s i n g h ( 2 0 0 5 ) t 3 4 j 研究了流动性 风险，并用对偶方法研究了美式期权定价杨招军和杨金强( 2 0 0 9 ) 1 3 5 1 对存在有流动 风险的条件下的一般的欧式期权，给出两个修正的期权定价偏微分方程，导出了相 应的风险对冲策略，同时证明了随着交易频率的提高对冲误差趋向于零，进而给出 期权的无套利区间 流动性虽然越来越受到各界人士和学者的关注但相比一些理论模型研究，有 关金融市场微观结构的实证研究成果还相对较少国外已有相关研究主要集中在 流动性的度量、股票市场流动性的模式研究、基于投资者的交易行为建立等本文 主要是在u m u tc e t i n & r o g e r s ，l c g ( 2 0 0 7 ) 的模型基础上进行了实证分析 本文的研究是属于第二类的，尽管在对连续交易产生的流动性成本不同限定 的讨论，导致了流动性成本表达的不同，但是一般的方法都是基于短期市场供求的 平衡，这与投资者试图在短时间内进行大量的交易有关我们的假设有一个强有力 的优势就是：除了投资者交易时其他时间投资者的行为都不影响证券价格，结果就 是证券的价格是一个动态的过程，不受投资者行为的影响 1 3 本文的内容和结构 本文首先介绍了对流动性风险研究的背景及意义，接着综述了流动性和流动 性风险，之后介绍了u m u tc e t i n & r o g e r s ，l c g ( 2 0 0 7 ) 的模型及其研究，我们通过 对模型的进一步研究发现，在带有流动性风险的市场中，最优的投资策略和套利是 带囱流动件风险的离散时间模犁 同时存在的，并推出投资策略和套利是同时存在定理即使有些新兴的市场中存在 不允许卖空的限定，我们通过实例证实这样的市场中最优的投资策略和套利机会 也是同时存在的接着研究了带有流动性风险的离散投资策略，本文运用动态规划 方法得到一个求解最优投资策略的算法，通过一个两期的二叉树模型检验了流动 性风险对投资策略的影响，得到市场中流动性风险越小，市场就越接近无摩擦的市 场，投资者进行变现就很容易，即交易量就相对大些；当市场中流动性风险很大时， 投资者进行变现比较困难，流动性执行成本就会增大，这样交易量就相对小些通过 对交易函数进一步的限定，得到对冲产生的流动性成本是有限的，这完全不同于对 冲时带有成比例交易费产生的无限累积成本最后考虑了流动性风险在期权定价 方面的影响，以u m u tc e t i n & r o g e r s ，l c g ( 2 0 0 7 ) 给出c a r a 效用函数下存在流 动性风险的期权价格公式为基础，通过实例发现，当市场中流动性越差期权的价格 就会越高，这与市场流动性差，投资着变现困难，投资者想套期保值就比较困难，相 应的期权价格就会高些是一致的 本篇论文由六章组成，内容安排如下： 第1 章主要介绍了流动性风险的研究背景、意义及进展情况，并简单的介绍 了本文的主要工作 第2 章介绍了流动性风及流动性风险的概念，着重讲述了流动性度量中的量 价结合指标 第3 章建立了带有流动性风险的离散时间模型，并对模型进行了分析证明，得 到：带有流动性风险的市场中，极大化终止时刻财富效用的最优的投资策略存在， 并得到边界效用是使得边界价格过程是一个鞅的状态转移密度，存在流动性风险 的市场中最优投资策略和套利是可以共存的 第4 章对带有流动性风险的离散投资策略进行了研究，得到一个求解最优投 资策略的算法，并进行了实证检验，同时证得对冲时产生的流动性成本是有限的， 明显与对冲时带有成比例交易费产生的无限累积成本不同 第5 章运用效用无差别定价，对存在流动性风险的期权定价进行了研究 结论：对本文的内容和结果进行总结，同时也提出不足和以后改进的方向 硕十学位论文 第2 章流动性风险的概述 2 1 流动性风险的概念 市场流动性是一个难以捉摸和定义的概念，人们很难对流动性作出一个准确 的定义，但是在金融理论中一个通常被接受的关于市场是流动的定义就是：如果交 易者在需要的时候能够以较低的执行成本快速地买入或者卖出大量股票，而对价 格产生的影响较小，则称市场是流动的从微观角度讲，股票市场的流动性就是指股 票迅速变为货币( 现实的购买力) 而不受损失的能力；从宏观角度讲，就是指股票 市场的参与者能够迅速进行大量股票买卖交易，并且不会导致股票价格发生显著 波动的这样的一种市场运行态势【l 本文把流动性定义为投资者在对价格影响很小的前提下迅速进行大规模交易 的能力现实中的证券市场并不是完全流动的，即投资者在买卖股票时有可能面临 因市场缺少流动性而引致的交易困难和交易成本的上升，还可能面临无法交易的 境地，我们将投资者面临的上述情况的可能，即流动性的不确定性称为流动性风险 高度发达的现代资本市场使投资者基本上摆脱了无法交易的困境( 即只要投资者 愿意付出足够的交易成本) ，所以流动性风险主要指投资者因市场缺乏流动性而导 致的交易成本的上升和交易困难，同样也可以用非流动性( i l l i q u i d i t y ) 来表示 流动性充分的市场是一个无摩擦的市场，投资者可以实现资产和现金之间的 无成本转换流动性不充分的市场中，投资者无法实现资产和现金之间的无成本转 换，而需支付相应的交易成本 2 2 流动性风险的分类 b a n g i a 等认为，流动性风险可分为内生流动性风险和外生流动性风险后者 指由于外部环境变化的冲击造成整个市场或部分证券流动性发生巨大变化，而给 机构投资者带来的交易成本的不确定性，该风险不宜度量与控制；前者指机构投资 者在调整仓位时，因自身交易的速度和头寸规模等对市场的影响，使接下来的交易 不能按照事前期望的价格成交的风险，该风险在一定程度上可以度量与控制对于 机构投资者而言，提交指令形式、交易策略选择和交易进程控制对交易成本的影响 巨大，而这些正是内生流动性风险所研究的内容投资者可以根据交易的即时性、 深度和弹性判断出当时的价格冲击大小，从而制定交易策略，控制内生流动性风险， 降低交易成本 内生流动性风险控制应当从事前控制和事中控制两阶段进行在事前控制阶 带彳流动性风险的离散时问模型 段，投资者构建投资组合时应选择流动性良好的股票，并始终保持对自身所面临内 生流动性风险的关注；在事中控制阶段，投资者在对资产进行交易时，应考虑自身 交易策略对资产价值的影响，这就涉及到最优策略的制定，具体包括：( 1 ) 最优指 令提交策略，即选择提交能够获得最大收益或最小损失的指令；( 2 ) 最优交易执行 策略，对交易过程进行有效的微观控制，尽可能降低交易对证券价格的冲击【1 1 1 本文所研究的流动性风险是属于内生的流动性风险，事前控制阶段比较主观 一些，所以重点研究事中控制阶段 2 3 流动性的度量指标 有关流动性的定义种类繁多，那些基于某一特定定义的度量指标很难被完全 认同，但是在市场微观结构的研究中一个普遍被接受的、应用最广的是关于流动性 的经典维度理论根据h a r r i e s ( 1 9 9 0 ) 3 6 1 和k y l e ( 1 9 8 5 ) 3 7 】的定义，可将流动性划分为 四个维度：宽度( w i d t h ) 、深度( d e p t h ) 、即时性( i m m e d i a c y ) 和弹性( r e s i l i e n c y ) 宽度( w i d t h ) ，即在短期内买卖一定数量的股票所需支付的成本，通常用买卖价差 来衡量深度( d e p t h ) ，即指在不影响当前价格的前提下可以完成的最大可成交量 即时性( i m m e d i a c y ) ，即订单进入市场后等待成交的时间弹性( r e s i l i e n c y ) ，即由于一 定数量的交易导致价格偏离均衡水平后恢复均衡价格的速度基于流动性的四种 维度，构造出多种多样的流动性度量指标，有的仅基于单独某一种维度，有的却同时 结合两个或三个维度构成但由于这四维指标在衡量流动性时本身彼此就存在冲 突，例如，深度和宽度通常就是一对矛盾，深度越大则宽度( 买卖价差) 越小；即时性和 宽度也是一对矛盾，为追求更低的交易成本往往需以即时性为代价，所以目前对于 流动性的度量指标也没有统一的标准【3 8 】 詹场和胡星阳( 2 0 0 1 ) 【3 9 】将国内外一些具有代表性的度量方法划分成价格构 面、时间构面以及交易热络程度三大类，其中着重介绍了价格构面中交易对价格冲 击模型、价差模型以及流动性比率模型，并指出当研究要求严谨的理论依据时，选 择不受市场交易机制影响的价格冲击模型进行流动性度量最为合适，当只需粗略 比较个股间或市场间的流动性大小时，选择计算简便的流动性比率模型为最 佳d u b i l ( 2 0 0 1 ) 4 0 j 将流动性指标划分为成本角度和时间角度两大类指标黄莹 ( 2 0 0 8 ) 3 8 j 参考刘逖( 2 0 0 2 ) h l 】的分类方法，并以分析成本角度的指标为主，将各种流 动性度量指标划分为价差指标、数量指标、量价结合指标以及其他指标四大类 并指出量价结合指标不仅克服了单纯基于买卖价差或数量指标的缺点，而且适合 于不同交易机制下市场流动性的度量，同时，可以根据以往的交易信息，较全面地 衡量交易量对价格的影响，既可以衡量即时交易成本，又能对动态交易成本进行刻 画，是流动性成本角度的度量方法中相对理想的、适用性最广的度量方法 以往的以量价结合指标度量的模型有： 硕士学位论文 1 价格冲击模型 ( 1 ) k y l e 的市场深度模型 k y l e ( 19 8 5 ) 提出了市场深度模型，用于分析价格对交易的敏感度，是价格冲击 类模型的基础该模型可表示为： p ( 少) = j “+ 允y ( 2 3 1 ) 式( 2 3 1 ) 中，价格p ( y ) 为净交易量y 的函数，净交易量y 可以用买方发起的 交易量与卖方发起的交易量之差来表示，表示真实价值，a y 为根据净交易量y 对真实价值j l f 做出的价格调整，系数a 反映了单位净交易量对价格的影响程度九 越小，表明价格越不容易受交易的冲击，市场流动性越高；反之流动性越低【3 7 1 ( 2 ) g l o s t e n h a r r i s 的交易成本模型 g l o s t e n 和h a r r i s ( 1 9 8 8 ) 提出了一个基于交易成本的模型： a o , = a 吼+ 妒( 口一d r 1 ) + ， ( 2 3 2 ) 式( 2 3 2 ) 中，a o , 表示第t 笔交易相对于第f 一1 笔的成交价格变化，口和口一。分 别表示第f 笔和第f 一1 笔买卖的交易方向，吼表示第f 笔带有交易方向( 口) 的交易 量，q 为误差项系数a 和妒用于衡量交易成本，其中q t 与妒分别衡量可变交易成 本与固定交易成本当a 和妒数值越大时，则交易成本越高，流动性越差【4 2 1 ( 3 ) h a s b r o u c k f o s t e r v i s w a n t h a n 的交易成本模型 b r e n n a n 和s u b r a h m a n y a m ( 1 9 9 6 ) 在研究股票收益率与非流动性的相关性时，结 合h a s b r o u c k ( 1 9 9 1 ) 的模型和f o s t e r 和v i s w a n t h a n ( 1 9 9 0 ) 的模型，构造出了一个 新的交易成本模型： r 55 l q t = 口- + 卢，l p t _ j4 j=lj = i y j g 卜，+ r r ( 2 3 3 )二j j ， i b = a 。- i - 9 ( 口一口一1 ) + k r ，+ v f 式( 2 3 3 ) 中，第一个方程为交易量方程，第二个为成交价格变动方程式 中，吼表示交易量，衄表示第，笔交易相对于第f 一1 笔的成交价格变化，口和口一。分 别表示第f 笔和第r 一1 笔买卖的交易方向f ，与u 分别为两个方程中的误差项，其中 0 表示吼方程中未被预期的交易量，并将其考虑到衄方程中，作为真正对价格变 化产生影响的交易量系数a 表示交易量对价格影响的大小，也称为价格冲击系 数；系数缈表示交易方向的改变对价格产生的影响当a 值越大，流动性越差价格 冲击模型可以充分利用每笔交易信息来考察交易对价格的影响，它所包含的信息 量较全，对单只股票的流动性刻画也较精确但是，此类模型对样本数据的要求较 高，而且数据处理起来也较为复杂，因而在不追求严谨的理论依据，而只需要简单 比较不同股票流动性大小时，人们常常采用流动性比率方法来衡量交易量与价格 变化的关系【4 引 带有流动性风险的离散时间模型 2 流动性比率模型 ( 1 ) a m i v e s t 流动性比率 a m i v e s t 公司最早使用此方法a m i v e s t 流动性比率是指价格变化一个百分点 时需要多少交易量( 金额) 其计算方法如下： b k l = 叫：= l 一 ( 2 3 4 ) 月 、， l 纰l t = l 式( 2 3 4 ) 中，三值大小表示流动性比率大小，只与k 分别表示第f 期交易的成 交价格和成交量，见k 即为一段时期内的总成交金额，1 易l 表示一段时期内 f 毒lf = l 总的价格变动百分比三值越大，表明引起一个百分比价格变动所需的交易金额越 大，交易量逆向对价格变动的影响越小，市场流动性就越好；反之三越小，流动性越 差 ( 2 ) h u i h e u b e l 流动性比率 h u i 和h e u b e l ( 1 9 8 4 ) 考虑了股票流通规模的影响，提出一个对a m i v e s t 流动性 比率修正指标： 三：! 盥一华2 坐型，( 2 3 5 ) v | o p 式( 2 3 5 ) 中，砌和分别为特定时期内的最高价和最低价，y 和p 分别为 特定时期内的总成交金额和平均成交价，o 为流通规模与a m i v e s t 流动性比率恰 好相反，此处三值越大则流动性越差【4 4 1 ( 3 ) m a r t i n 流动性比率 m a r t i n ( 19 7 5 ) 提出了一种流动性度量指标一一m a r t i n 流动性比率，也称m a r t i n 指数m a r t i n 指数假定在交易时间内价格变化相对平稳分布，其计算方法如下： m ：夕垫型 ( 2 3 6 ) 管 圪 式( 2 3 6 ) 中，m 表示m a r t i n 指数，只，和只( - 。) 分别表示第f 日和，一1 股票f 的 收盘价，圪表示第f 日股票f 的交易量与a m i v e s t 流动性比率也相反，m a r t i n 指数 越大，则流动性越差；反之则流动性越高 ( 4 ) a m i h u d 流动性比率 a m i h u d ( 2 0 0 2 ) 在研究股票收益与非流动性之间的关系时，提出将单只股票的 非流动性比率作为流动性的度量指标： 刀，耐= i r i v o t ( 2 3 7 ) i， 式( 2 3 7 ) 中，肌耐表示非流动性比率值，r 为股票收益率，v o l 为交易量非流 硕卜学位论文 动性比率越大，流动性越差；反之流动性越好1 4 引 从上述文中可以看到，在流动性度量研究领域已有相当丰富的研究成果，但学 者们就度量指标的选取上尚未达成共识尽管对流动性的度量方法各有各的，由于 本文的流动性是依据交易成本给出的，我们采用的是量价结合的指标，但是又不同 于以往的量价结合的指标，本文是通过定义一个交易函数妒 ) 来衡量的，流动性风 险的影响体现在投资者现金中：e = r 一。一妒( 蝇) s 书其中r 和r 一。分别表示f 和f 一1 时刻的现金，缈( 峭) s 一，表示f l 时刻变现蝇得到或花费的现金，i 蝇i 一定，当购买 时峭 0 ，缈( 缸) s 一，越大说明市场中流动性越差，当卖出时战 ( - - - o o ，佃】是严格凸的增函数，且满足： ( 1 ) 缈( 0 ) = 0 ( 2 ) i n f6 p ( x ) = 0 ( 3 ) s u p 6 p ( x ) = 0 0 j 工 这样的交易函数妒( x ) 保证了交易成本随交易量增大而迅速提高，相当于交易 者因交易产生了非线性的执行成本 定义2 ：效用函数 u ：r 专( o ，o o ) 且满足： ( 1 ) u 是严格增严格凹的二次可微函数； ( 2 ) i n a d a 条件：u ( o + ) = l i m u ( x ) = o o ，u ) = l i m u ( x ) = 0 定义3 ：本性上确界 设( x ，p ) 为测度空间，并设厂：x 专r 为定义在x 上的实函数，它并不一定 是可测的实数a 称为厂的上界，如果对于x 内的所有x ，都有( x 1 a ，也就是说，集 合 x x ：( x ) 口 是空集而a 称为本性上确界，如果集合 x x ：( x ) a 的测度 为零，也就是说，对x 内的几乎所有x 都有厂( x ) c 1 更加正式地，厂的本性上确界 e s ss u p f 定义为：e s ss u p f = i n f a r ：( x ：f ( x ) a 1 ) = 0 硕f j 学位论：迁 定义4 ：r a d o n n i k o d y m 导数 p 和p 是空间上( q ，f ) 的两个概率测度，若对va f 和p ( 彳) = 0 ，都有p ( 么) = 0 则称；关于p 是绝对连续的，若有一个非负随机变量z 满足；( 么) = i a z d p ，v a 于，称 z 是p 关于p 的r a d o n - n i k o d y m 导数 定义5 ：对偶函数( d u a lf u n c t i o n ) 对偶函数通常也称作凸共轭函数( c o n v e xc o n j u g a t ef u n c t i o n s ) ，一般指在最优 控制和凸规划中的对偶问题 设x 和】，是在二元空间中的实向量空间，双线性形式为 ，设厂是 x r u 佃 的一个非空映射，厂的对偶函数是定义在】，上的凸函数厂： f ( y ) = s u p ( x ，y ) - f ( x ) ) 定义6 ：市场中存在套利 对冲过程( 鼍，r ) 。g s r 中置代表f 时刻投资者拥有的股票数，e 代表f 时刻投资者 拥有的财富，若可测过程置和r 满足x o = r o = x v = 0 ，耳0 且p ( y r 0 ) 0 则称市 场中存在套利机会 3 3 模型建立 在离散时间基础上，假设疗时刻投资者拥有股票为以= x ，( 0 ”+ 1 ) ，持有 的现金为艺= y ，而n + i 时刻投资者只有现金，不持有股票，即蜀卅= 0 在n 和n + l 刻，策略均衡时相应的投资者股票的持有量分别为以和咒小以+ 。，取 e 一以一l = 皈 ( 3 3 1 ) 在假设不发放股息和红利的前提下，若银行利率为零，则投资者现金的持有量 从匕一变为： 匕= 匕一l 一缈( 诚) 瓯小 ( 3 3 2 ) 其中妒( x ) 是文章前面定义的交易函数，我们以极大化终止时刻财富的期望效 用e u ( r + 。) 为目标，寻求最优的投资决策( 似，) 二州，若银行利率为零，则n + i 时刻的 现金为： + l = 艺一缈( 瓦+ 。) 最一妒( 瓦+ 2 ) 最+ l 一一9 ( x ) 1 一妒( x - + 。) - 乳 nn = y - q 0 ( - x - a x j ) s n 一妒( 鹕) t 。 。n + lj 。n + i ( 3 3 3 ) 投资者终止时刻财富的效用为： 带有流动性风险的离散时间模型 的 ( x ，y ，( 缸) ) = u ( y - 6 p ( - x - q ) 一q , ( a x j ) s j 。) j ；n + lj = n + l = u ( k + 1 ) ( 3 3 4 ) 对v 胛【0 ，】其中疗为整数，定义： 屹( x ，y ) 兰e s ss u pe o u ( r n + 1 ) l 吒= x ，见= y 】 三e s ss u p e 九( x ，y ，( 血) ) 】 ( 3 3 5 ) 这里v o ( x ，y ) 是关于( x ，y ) 的随机过程，而不是确定的函数 为了更符合实际和方便研究，我们将进一步在模型中做出如下假设： 假设i ：对所有的( x ，y ) 和所有的玎，v 。( x ，y ) o ，有瓯妒l 7 。j f 基于假设i ，我们得出第一个结论： 命题3 3 1 对任意的n ，( x ，y ) 是( x ，y ) 上的递增的凹函数，是几乎处处成立 为了证明该命题，我们先给出下面的定义和引理： 对任给 ，z ，y 取终止时刻财富的期望效用为 g ( x ，y ) = e 屯( x ，y ，( 似) ) ：( 赵) 可测，以= x ，e = y ) 则，机构投资者的最优投资问题可以改写为： v n g ，y ) = p s s 叩日 h e c 协，川 引理3 3 1g g ，y ) 对所有的玎，x ，y 是一个格 ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) 如果z ，= e 丸( x ，y ，( 赵) ) ，扛l ，2 ，记( 蚁) = ，扛。，z ： 沁1 ) + 乜： 2 ) 得： e 屯( 训，( 麟) ) = z 1 v z 2 ( 3 3 8 ) 命题3 3 1 的证明：显然函数是单调递增的至于凹性，我们采用反证法考虑n 时刻有( _ ，m ) ，( x 2 ，) 两起始点，取pe ( o ，1 ) ，g = 1 一p ，假设存在s o 使得 v n ( p x i + 掣2 ，p y , + 卯，2 ) o ，记一最优策略k ：l 。，= 1 ，2 对应的现金流 硕士学位论文 为( 搿) 。 0 ，则对应 的现金流y 满足：圪p e + q a y ：因此瓦+ l p a y 、，+ l + q a y 岩+ l ，又因为u 具有凹性， 所以有： e - v ( p x , + q x 2 ，p y , + q y 2 ) l a 砸u ( 瓦+ 。) l a 科u ( 瑶1 + q e u ( y ：1 e p 屹( _ ，y j ) l a + q v , ( x j ，y j ) l a 一s 砸屹( 既+ ，p y , + q y 2 ) l a + s 产生矛盾，则假设不成立，原命题成立，即对任意的，2 ，屹( x ，y ) 是( x ，y ) 上的递增 的凹函数，是几乎处处成立的 对于假设i i ，主要是用来说明本质上确界就是实际中的最大值，以减少不必要 的讨论 在论证最优投资策略的存在性前，首先定义凸对偶函数： 瓦( 叩) 兰s u p v 。g ，y ) 一叩。x 一1 ：y ) 其中r = ( 叩，叩：) 0 当x = o ，y = 1 时，0 ) u ( 1 ) 一? 7 ：，u ( 1 ) 一叼：是一个常数下界对任意的池) ，和 x ，y ，记y 7 = y 一妒( x 声。一l ，x = x + x ，有 色陬( 碱y ( 似) ) = e 卜u h 卜薹蝎) 一薹n 峭叫】 e h 。( x ，y ) 根据以上整理得： 弓i 理3 3 2 对所有的玎和咿。，衲钒瓯；( 嚣心 带有流动性风险的离散时间模型 1 ；：，( 7 7 ) = s u p v ( x ，y ) 一叩l x - 叩：y s u p e + l ( x + 血，y 一妒( 缸) 叉) - r 1 x - r 2 y j 。y ，似 2 恶 e ( z ，少7 ) 确( 冉血) 嘞( + 妒( 血) 踟 2 t s 几u p 位 e 0 , 一+ ( x ，y ) 一叫一) + 7 7 1 缸一叩z 9 ( 血