（统计学专业论文）混合序列的收敛性质.pdf

c o n v e r g e n c ep r o p e r t i e so fm i x i n gr a n d o ms e q u e n c e s m a j o r -s t a t i s t i c s d i r e c t i o no f s t u d y ：l i m i tt h e o r ya n de c o n o m i cs t a t i s t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：c h e nx i a o l i n s u p e r v i s o r ：p r o f q u n y i n gw u c o l l e g eo fs c i e n c e g u i l i nu n i v e r s i t yo f t e c h n o l o g y m a r c h ，2 0 0 9t oa p r i l ，2 010 研究生学位论文独创性声明和版权使用授权书 独创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。对论文的完成提供过帮助的有关人员己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者( 签字) ：建霆l 趁 签字日期：型盘：左：应 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解( 学校) 有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的印刷本和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本 人授权( 学校) 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息 研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众 提供信息服务。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：压凌l 菇i 7 签字同期：) o 年石月0 日 i i l 导师繇三矽降 导师签字：石z f 三 签字日期：，1 ，。年。易月dd 杵丰小理t 人学硕 学位论文 摘要 概率论是从数龟上研究随机现象的规律性的学科它住自然科学、技术科学、社会科学和 管理科学中都有着广泛的应用，因此从上世纪三十年代以米，发展甚为迅速，而且不断有新的 分支学科涌现概率极限理论就是其主要分支之一，也是概率统计学科中的极为重要的理论基础 而独立随机变量的概率极限理论义是概率极限理论中较经典理论之一，在2 0 世纪二四十年代已 获得完善的发展，其基本结果被总结在g n e d e n k o 和k o l o m l g o r o v 的专著相互独立随机变量和 的极限分布中独立随机变量和的经典极限理论获得较完善的发展之后，一方面由丁统计问题 的需要，另一方面来自理论研究及其它分支中出现相依性的要求许多概率统计学家相继提出、 讨论各种相依序列的收敛性质如相依序列的弱收敛性、强收敛性、完全收敛性等等完全收敛 性这一概念是由我国著名数理统计学家许宝骡与美国统计学家r o b b i n s 于1 9 4 7 年提出，它是随 机变量序列的一种非常重要的收敛性质此外，强收敛性也是随机变量序列的另一种重要性质 本硕士论文主要研究了三种混合随机变量序列的完全收敛性和和强收敛性，获得了如下结果 第一章主要研究了同分布n d 随机变量列的指数不等式，通过指数不等式得出关于n d 随机变 量列强大数定律的收敛率为o ( 1 ) 玎i 2 ( 1 0 9 n ) 叫2 推广了s o oh a ks u n g 关于n a 的结果 第二章，研究了两两n q d 列的完全收敛性和强收敛性两两n o d 列的概念是由著名统计学 家l e h m a n n 于1 9 6 6 年提出的我们知道两两n q d 列是比n a 列和n d 列更为广泛的种随机变量 列，所以对两两n o d 列的研究是非常有必要的本章主要利用慢变化函数、正则变换函数的性质 和随机变量截尾的手法，通过矩不等式的运用，得出两两n q d 列的完全收敛、几乎处处收敛的 结论，并利用这些结论将独立情形的强大数定律推广到两两n q d 列的强人数定律 第三章，主要利用声混合序列的矩不等式，得出一个关于行声混合阵列加权和最大值完全 收敛性定理，并取定理的特殊情况得出关于行p 混合阵列加权和最大值完全收敛性的一系列推 论 关键词：n d 随机变量列；两两n q d 随机变量列：行乃混合阵列：完全收敛；几乎处处收 敛；强大数定律 i v a b s t r a c t t h e o r yo fp r o b a b i l i t yi sas c i e n c eo fq u a n t i t a t i v e l ys t u d y i n gr e g u l a r i t yo fr a n d o mp h e n o m e n a ， w h i c hi se x t e n s i v e l ya p p l i e di nn a t u r a ls c i e n c e ，t e c h n o l o g i c a ls c i e n c e ，s o c i a ls c i e n c ea n dm a n a g e r i a l s c i e n c ee t c h e n c e ，i th a sb e e nd e v e l o p i n gr a p i d l ys i n c e1 9 3 0 sa n dm a n yn g wb r a n c h e sh a v ee m e r g e d f r o mt i m et ot i m e p r o b a b i l i t yl i m i tt h e o r yi so n eo ft h eb r a n c h e sa n da l s oa l li m p o r t a n tt h e o r e t i c a l b a s i so fs c i e n c eo fp r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s h o w e v e rt h el i m i to fp r o b a b i l i t yt h e o r yo fi n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l ei st h eo n ec l a s s i c a lt h e o r y o ft h el i m i to fp r o b a b i l i t yt h e o r i e s i th a sb e e np e r f e c t l yd e v e l o p e dd u r i n g19 3 0 sa n d19 4 0 sa n dh a sb e e n s u m m e du pi nt h em o n o g r a p h w r i t t e nb yg n e d e n k oa n dk o l o m l g o r o v a f t e rt h a t ，m a n ys t a t i s t i c i a n sp o s ea n dd i s c u s st h ec o n v e r g e n c e p r o p e r t i e so fa l lt y p e so fm i x i n gs e q u e n c es u c h a sw e a kc o n v e r g e n c e 、s t r o n gc o n v e r g e n c ea n d c o m p l e t ec o n v e r g e n c e ，p a r t l yb e c a u s eo ft h ed e m a n do fs t a t i s t i c a lp r o b l e m s ，p a r t l yb e c a u s eo ft h e t h e o r e t i c a lr e s e a r c ha n do t h e rb r a n c h e so fad e p e n d e n c ym a yr e q u i r e t h ec o m p l e t ec o n v e r g e n c e ， w h i c hw a si n t r o d u c e db yc h i n a sf a m o u sm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c i a n ，x ub a o l ua n da m e r i c a n s t a t i s t i c i a n ，r o b b i n s ，i sav e r yi m p o r t a n tc o n v e r g e n c en a t u r e i na d d i t i o n ，s t r o n gc o n v e r g e n c ea n d s t r o n gc o n s i s t e n c ya n ds t r o n gl a w so ft h es e q u e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e sa r ea l s oa n o t h e ri m p o r t a n t n a t u r e 一t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s s e dt h en a t u r e so ft h ec o m p l e t ec o n v e r g e n c ea n ds t r o n gc o n v e r g e n c eo n t h et h r e ek i n d so fm i x i n gr a n d o mv a r i a b l e s i nc h a p t e r1 ，a ne x p o n e n t i a l i n e q u a l i t yi s e s t a b l i s h e df o ri d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dn e g a t i v e l y d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s b y t h i s e x p o n e n t i a li n e q u a l i t y ， w eo b t a i nt h ec o n v e r g e n c er a t e d ( 1 ) 刀l 2 ( 1 0 9 n ) 叫2 f o rt h es t r o n gl a wo f l a r g en u m b e r s i nt h i sc h a p t e r , w eh a v ee x t e n d e ds o oh a k s u n g sr e s u l t sa b o u tn e g a t i v e l ya s s o c i a t e dr a n d o m v a r i a b l e s i nc h a p t e r2 ，i ti sd i s c u s s e dt h a tt h en a t u r e so ft h ec o m p l e t ec o n v e r g e n c ea n ds t r o n gc o n v e r g e n c e o nt h ep a i r w i s en q dr a n d o ms e q u e n c e t h ec o n c e p to ft h ep a i r w i s en q dr a n d o ms e q u e n c ew a s i n t r o d u c e db yi ：e h m a l mw h oi st h ef a m o u ss t a t i s t i c i a ni n19 6 6 i ti sn e c e s s a r yt os t u d yt h ep a i r w i s e n q d r a n d o ms e q u e n c eb e c a u s ei ti sw i d 盯t h a nn aa n dn ds e q u e n c et h a tw ea r ek n o w n i nt h i sc h a p t e r , w eo b t a i ns o m er e s u l t sa b o u tc o m p l e t ec o n v e r g e n c e 、a l m o s ts u r ec o n v e r g e n c e 、s t r o n gl a wo fl a r g e n u m b e r so nt h ep a i r w i s en q dr a n d o ms e q u e n c eb yu s i n gt h en a t u r eo ft h er e g u l a r l yv a r y i n gf u n c t i o n 、 s l o w l yv a r y i n gf u n c t i o na n ds oo n 。 i nc h a p t e r3 ，w eg e tat h e o r e ma b o u tt h ec o m p l e t ec o n v e r g e n c ef o rw e i g h t e ds u m so fa r r a y so f r o w w i s e 净m i x i n gr a n d o mv a r i a b l e sb yu s i n gt h em o m e n t j si n e q u a l i t yo f 扫m i x i n gr a n d o ms e q u e n c e s ， a n do b t a i nas e r i e so fc o r o l l a r yw h i c hi st h es p e c i a lc a s ei nt h et h e o r e mt h a tw eh a v ep r o o f e d k e yw o r d s ：n dr a n d o mv a r i a b l e s ；p a i r w i s en q dr a n d o ms e q u e n c e ：a r r a y so fr o w w i s ep m i x i n gr a n d o mv a r i a b l e s ；c o m p l e t ec o n v e r g e n c e ；a l m o s ts u r ec o n v e r g e n c e , s t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r s ， v 棒林理一厂人学坝i j 学位论义 目录 摘 要一1 1 v r a b s t r a c t v 弓f 言一1 第一章n d 随机变量列的指数不等式 3 1 1 1 引言与引理3 1 1 2 主要结果及其证明5 第二章两两n q d 列的若干极限性质 2 1 两两n q d 列的一个强大数定理。 1 0 ”一 2 1 1 引言与引理1 0 2 。1 2 主要结果及证明1 l 2 2 两两n o d 列的几乎处处收敛性1 5 2 2 1 相关引理一1 5 2 2 2 主要结果和证明过程1 5 2 3 两两n q d 列的完全收敛 2 3 1 引言与引理2 1 2 3 2 主要结果及证明2 1 第三章行声混合阵列加权和最大值的完全收敛性2 6 3 1 1 引言与引理2 6 3 1 2 主要结果、推论及其证明2 7 结论 j l i ： 谢 3 5 参考文献。3 6 附 录一3 8 个人简历一3 9 v i 棒林理t 人学硕i j 学位论文 引言 概率论起源于1 7 世纪中叶人们对机会性游戏的数学规律的探讨在十八世纪以前，概 率的对象主要限于赌博和一些离散的有限数目集合的研究，所用的数学方法主要是组合数 学的方法十八世纪，b e r n o u l l i 和d em o i v r e 的著作大大引起了人们对概率论在其它领 域的应用的兴趣另一方面，由于统计学的发展和十八世纪社会和知识氛围的改变，人们 对于概率论应用于政治和社会领域中的规律性研究的兴趣r 趋浓烈 概率极限理论是概率论的主要分支之一，也是概率论的其他分支和数理统计的重要基 础而独立随机变量的概率极限理论又是概率论极限理论中教经典理论之一，在2 0 世纪三 四十年代己获得完善的发展由于独立随机变量有着优良的极限性质，因此人们对这类随 机变量已获得许多经典的结果，像t a y l o r ，k a t z ，b a u m ，r o b b i n s ，h s u 等，另外 g n e d e n k o ，k o l m o g o r o v ，p e t r o v 等的专著也都论述了有关独立随机变量极限理论方面的丰 富内容。关于独立随机变量的经典极限理论被系统地总结于a l m o s ts u r e c o n v e r g e n c e 13 ( 1 9 7 4 ) 和l i m i tt h e o r e m so fp r o b a b i l i t yt h e o r ys e q u e n c e so f i n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s 坦1 ( 1 9 9 5 ) 中随着理论方面的不断完善和发展，概率 测度弱收敛和强逼近等现代极限理论也已被许多学者所研究，源于实际问题的需要，相依 随机变量引起了人们广泛的关注b e r n s t e i n ，h o p f ，p e l i g r a d ，j o a g d e v 和l a i 等学者 对此做过系统而深入地研究与此同时，国内许多学者像林f 炎，陆传荣，邵启满，张立 新，苏中根，苏淳等也做了大量深入地研究，并获得了一系列完美的结果关于混合相依 随机变量的经典的极限理论被系统地总结于陆传荣和林正炎的专著混合相依变量的极限 理论( 1 9 9 7 ) 中 随机变量的相依性概念不仅在概率论与数理统计的某些分支，如马氏链、随机场理论 以及时间序列分析等中被广泛讨论，而且出现于许多实际问题中虽然独立性假设在某些 时候是合理的，但要验证一个样本的独立性却是很困难的，而在大部分的实际问题中，样 本也并非是独立的观察值由此可见，研究非独立的随机变量序列有着十分深刻的理论和 实际意义本硕士论文是本人在前辈的理论基础上，对其中三种相依随机变量的极限性质 做了一些探讨，获得了有关这方面的一些结论。 一n d 相依序列是比n a 相依序列弱的一种序列这些负相依随机变量的概念在可靠性理 论、渗透理论和多元统计分析等均有广泛的应用，因此，将独立序列或n a 序列的一些极 限性质推广到n d 序列上是十分必要的本士论文第一章主要研究了n d 随机变量列的指数 不等式，推广了s o oh a ks u n g1 4 ( 2 0 0 9 ) 关于n a 情形的指数不等式 两两n o d 相对n a 列、n d 列而言是一个更广泛的定义由于n a 列、n d 列在可靠性理 论，渗透理论及多元统计分析中的广泛应用，故关于两两n q d 序列的极限理论研究也就显 得十分重要了本硕士论文第二章主要利用慢变函数的概念和随机变量截尾的手法，通过 矩不等式的运用，得出两两n o d 列的完全收敛、几乎处处收敛的结论，并利用这些结论将 独立情形的强大数定律推广到两两n o d 列的强大数定律 矽混合序列引入的比较晚。通过定义我们可以知道p 混合序列是一类极为广泛的相依 随机序列，对其进行研究是很有价值的。研究声混合序列得文献已有一部分，但是对于卢 混合阵列的研究相对来说比较少，因此对矽混合阵列的研究还是很有意义。本硕士论文第 三章主要利用p 混合序列的矩不等式，得出一个关于矽混合阵列行加权和最大值完全收敛 i _ = = ：_ _ = = _ = _ 量羔塑翌型堂垡堡茎 性定理，并取定理的特殊情况得出系列关于p 混合阵列行加权和最大值完全i 反虿面石磊 见情况 整个硕士论文约定 1 c 表示为正常数，文中不同的地方可取不同的值 2 口。鸭表示存在一正常数c ，当，z 充分大时c 玩； 3 最全墨 4 彳b 表示彳b 哼1 ： 2 杵林埋r 人学顺 ：学位论文 1 1 1 引言与引理 第一章n d 随机变量列的指数不等式 n d 的概念是由b o z o r g n i a ，p a t t e r s o n 和t a l o r l 5 】( 1 9 9 3 ) 给出的n d 相依序列是比n a 相依序列弱的一种序列这些负相依随机变量的概念在可靠性理论、渗透理论和多元统计 分析等均有广泛的应用，从而n d 随机变量序列的概念已经引起越来越多人的广泛兴趣 一系列有用的结果已经被建立起来了( 例如：b o z o r g n i a ，p a t t e r s o n 和t a l o r 5 1 ( 1 9 9 3 ) ， e b r a h i m i 和g h o s h 6 1 ( 1 9 8 1 ) ，t a y l o r ，p a t t e r s o n 和b o z o r g n i a 7 1 ( 2 0 0 2 ) ，k l e s o v ， r o s a l s k y 和v o l o d i n 8 1 ( 2 0 0 5 ) 以及a n n a 9 1 ( 2 0 0 5 ) 因此，将独立序列或n a 序列的一些 极限性质推广到n d 序列上是十分必要的本文主要研究了n d 随机变量列的指数不等式， 本文推广了s o oh a ks u n g 4 1 ( 2 0 0 9 ) 关于n a 情形的指数不等式 定义1 1 1 称随机变量x 和y 为n d ( n e g a t i v e l yd e p e n d e n t ) 的，若对v x ，y r ，有 p ( x 石，y y ) p ( x x ) p ( y y ) ： ( 1 1 1 ) 称随机变量序列 以：刀1 ) 是两两n q d 的，若对v i ，墨，x ，是n d 的 值得一提的是( 1 1 1 ) 蕴含 p ( x x ，y y ) 尸( x x ) p ( y y ) ( 1 1 2 ) 对v x ，y r 而且，同样可以得到( 1 1 2 ) 蕴含( 1 1 1 ) ，因此，( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 是等价 的e b r a h i m i 和g h o s h 5 l ( 1 9 8 1 ) 指出了( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 对含有3 个及3 个以上随机变 量序列是不成立的例如取随机变量五，置和墨为两两独立的，且( x 。，t ，扎) 的取值分别 1 为( 0 ，l ，1 ) ，( 1 ，o ，1 ) ，( 1 ，1 ，o ) 和( 0 ，0 ，0 ) ，以及取这些值的概率均为，由于它们是两两独 4 立的，所以它们中的任何两对随机变量都满足( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) ，然而， 尸( 五 五，置 x 2 ，置 而) 尸( 五 五) 尸( 置 而) p ( 墨 恐) ( 1 1 3 ) 对所有的实数五，焉和五都成立，但是 11 p ( 0 ，x 2 o ，_ ，3 0 ) = 吉= p ( x l o ) p ( x 2 0 ) p ( x 3 o ) 叶。 反之，如( 五，置，墨) 的取值为( 1 ，0 ，0 ) ，( 0 1 ，0 ) ，( 0 ，0 ，1 ) 和( 1 ，l ，1 ) ，且取每点盼概率 值都为1 4 ，则可验证当五= 0 ，与= 0 和甄= 0 时， 11 尸( 五 o ，置 o ，蜀 0 ) = 亏= 尸( 五 o ) p ( 墨 o ) 尸( o ) 叶o 即( 1 1 3 ) 式不满足，但对所有的x i ，x 2 和葺， p ( x i x i ，x 2 - 五，e ) 丌尸( 置 薯) 对无穷多个随机变量序列 ：，z 1 ) ，如果对它的所有的有限子集序列都是n d 的，则 称这个无穷序列也是n o 的 引理1 1 1 1 0 1 设 以：刀1 ) 是均值为零的n o 随机变量列，1 t 2 ，p f ， e l 置l p 1 当t = p ：2 时，有 l 1 2 ei 鼍| 2 ，v n 1 ( 1 1 4 设 以；忍1 是n o 随机变量列，z ( x ) 关于石为单调增( 减) 函数列， 则 ( 以) ；刀1 仍是n o 随机变量列 引理1 1 3 1 设非负随机变量序列置，五，以为n d 的，则 e ( 兀一) 兀( 乃) ； 特别的，设五，五，以为n d 随机变量列，乙为非负( 或非正) 常数，则 e e x p o li e e 。托 。引理1 1 4 设置，五，以是均值为零n d 随机变量列，i 正l z ，l i 0 伺 胁p 悸_ ) 鲫悟窆i = 1e 似叫 e x p 彳 e x p 等芝e 似e 砰 l ，= lj i z i 证明：由引理1 1 3 知， 4 一 梓林理丁人学倾j ：学位论文 刮五姜if而五面瓦殍-3-7lj鼋互_j e e x p 五x 兀e e 饵= 丌e ( 1 + 五置+ 爿，+ 竺笋+ ) f - i = l l _ l一 j ： 冉即嘲+ 竽c - + 争等川， 尊即嘲+ 华e n i = l 叶学晰， n i = 1e 冲 华聊) = e 冲佟喜e 弛珥 【 二 ilz 互li 引理1 1 5 设随机变量x 的数学期望麟 c o ；记f ( x ) = 尸( x z ) ，户( x ) ：1 一f ( x ) ； 对于， ( i ) 若彳o a s ，贝, o e x p = f p x p - i p ( x ) d 石 0 0 ( i i ) 若彳 oa s ，贝j je x p = 一f p x p - 1 f ( x ) dx 特别当p = 1 时，若x oa s ，e x = 了户( x ) dx ；若x 1 ，记 x 1 i n = n i l x j ( - c h ) 七x i i l 飞s x 钏七c n i 。x 硝， 瓦。n = 心i c n l j i j i ， 墨 。= ( 五十c 。) 孙训 则对于l f 甩，z 1 ，有鼻= x l 工。+ t f 。+ 也f 。恒成立；且当咒确定，对于所有的f ，有 l 墨 。i 巳；由引理1 1 2 得知 。；l f 甩 ，g = 1 ，2 ，3 仍是n d 随机变量列 定理1 1 1 设 以；，z 1 是同分布的n d 随机变量列，则对于v 名 0 ， 5 触l l 2 训梯腔1 翱黼刚嘴椴髟叽析比 o ，若“等删 尸噍c k ) f s 卜p o ， e e j 0 ，有以下式子成立： ( i ) 尸睢( k 牡 3 巳f 州如 推译1 1 6 在推论1 1 5 ，取见= l ，则 尸睢c 五刮f 3 巳卢删3 定理1 1 7 设 以；，z 1 ) 是同分布的n d 随机变量列，对某些万 i ，有e e j 3 巳卜 注：此定理说明了i 蔷n ( 鼍一踊) 几乎处处收敛率为( 3 巳) 一：。( 1 ) 刀l ：( 1 。g 船) 一l 2 定理1 - 1 1 的证明：由于防，。l q ，故f 置。一甄 。i 2 巳利用引理1 1 4 可得 6 一一 壁签墨! 叁兰堡! ：堂! ! 堡塞 一 e x p 彳砉( 墨 。一e x i 。) - 0 ，由m a r k o v 不等式和定理1 1 1 ，可得 尸陴帆占h 唧饽慨j ) 一1 舛加饥x p p ( 置 。一e x l 加) li = 1 j ( 116 ) g 枷e x p 譬e 2 死骈 = 唧卜s + 譬e 2 以骈 取允= ee 三x 一， ，代入( 1 1 6 ) 式可得 p ( k e x l 。) 刁 鲫 - 壶( 占e e 广x , 2 ) 2 n e 骈 = e x p 一一2 e ”蟊f 22 1 ， c 7 ， = e x p l _ ， ( 1 1 7 ) 由于 一以；以1 仍是n d 随机变量列，故在( 1 1 7 ) 式中可由一五f 。n g 廷x , ，。，得 p 缸厂胁卜 一番) m ， 结合( 1 1 7 ) 、( 1 1 8 ) 式，可得 p 睢( 氓牡 尸( 寺喜( 五 。一e x i 。) s + 尸( 一寺喜( 五 。一e x , 。，。) s 2 唧 番 ， 即( 1 1 5 ) 式成立 定理1 1 3 的证明：由m a r k o v 不等式和引理1 1 1 中的( 114 ) 式可得 7 第一章n d 随机，竖量剁的指数小等式 p 睢( 也牡) 0 ，有 f ( 一工) = 尸( 五 x ) 尸( e 一跗。 e 打) e 一缸e e 。置e 筇。e e j 阢i ， 利用引理1 1 5 ，从而 瓯 。2 = e ( z + 巳) 2 一。一厶) = 一i2 ( 工+ 巳扩( 工) dx = ，2 ( 一x + 巳扩( 一x ) d x 1 2 ( - z + 巳) e 一毋e e a l x , i d 石= 2 d - 2 e - a f e e j m i ， 即当q = 3 时， ( 1 1 1 0 ) 成立 故结合( 1 1 9 ) 、( 1 1 1 0 ) 式，有 p ( 去陲( 。一甄 。) | 占 3 占! _ i 两广 p 腑墨j , - e x 2 工杠h 将慨杠) 一唧【2 e - n 瓯 2 矿l 筹e 吨 - ，1 + e e a l x l ， e 一 推论l 1 5 的证明：首先验证条件巳ee x j n 帕成立 由- t 刍 。- _ - _ _ _ 二- _ - _ - 一 ( 警) 帕( 1 产j 寸绣 故当甩充分大时，巳s e f _ + x 1 2 n 一 帕 p 雌c z 一甄牡3 毛m + 蒜卜训e ， 推论1 1 6 的证明：在聋论1 1 ；，取岛：l ，则 p ( 置一甄) f 3 巳h 1 ) e 删 定理六1 i 乏的证明。擘巳2 一g 刀，则巳满足定理l - 14 由的条件，由定理1 1 4 可得 业。楚一h 小万e e f l x l1 e 地。r ”= 2 ( 1 + i 习 当万 1 时，有 、 1 。 从而 主i l 。，l鲁甩jo gn 、 喜p 瞻牛毯炉3 。卜 9 鲁矿 壶盼去丁 “i，监警 噼卜r 筇 踞 。删 杵林埋丁人学倾i ：学位论文 第二章两两n q d 列的若干极限性质 两两n q d 序列这一概念是由l e h m a n n 【1 3 1 在1 9 6 6 年提出的，由它的定义不难看出，两 两n q d 列是一类非常广泛的随机变量序列，通常的独立随机变量序列可以认为是两两 n q d 列的相当特殊的情形后来的许多负相关列都是在此基础上衍生出来的，如著名的 n a 列【j4 1 、n d 列就是它的特殊情况之一因此，对两两n q d 列的研究就显得更为基本， 更为困难对n q d 列的研究已获得了许多与独立情形完全一样的结果，如文献1 5 军1 1 1 6 但对两两n q d 列，只有m a t u l a 】对同分布两两n q d 列部分和获得了与独立情形一样的 k o l m o g o r o v 型强大数定律，虽然王岳宝等【1 5 】获得了两两n q d 列的b a u r a 和k a t z 型完全 收敛性定理的结果，但是在附加条件缈( 1 ) 1 下得到的，所以还未达到完全独立情形的结果 吴群英 i6 】去掉了这一条件，充分性达到了独立情形的结果，但只给出了充分条件张立新 和王江峰【l8 】给出了同分布两两n q d 列的完全收敛性本章主要利用慢变函数的概念、和 随机变量截尾的手法，引用前人的结论，通过k o l m o g o r o r o v 型不等式的运用，得出两两 n q d 列的完全收敛、几乎处处收敛的结论，并利用这些结论将独立情形的强大数定律推 广到两两n o d 列的强大数定律 2 1 1 引言与引理 2 1 两两n o d 列的一个强大数定理 引理2 1 1f 1 3 j 设随机变量x 和y 是n q d 的，若厂和s 同为非增( 或非降) 函数，则 r ( x ) 和s ( y ) 仍是n q d 的 引理2 1 2 f 1 6 】 ( 推广的k o l m o g o r o r o v 型不等式) 设 以；，z 1 是均值为零的两两n o d 列，且麟。2 o ，则有 e ( 酬2 。善。e x i 2 ，em a x ( t ( 尼) 厂 l 0 9 2n ，萎j + n 。e x i 2 特别当j = 0 时，有 e ( 喜置) 2 喜郾e ，m a x ( i = 圭l 置) 2 l 嘻群 引理2 。1 3 【1 7 】( 推广的b o r e l c a n t e l l i 引理) 设 4 ；以1 是一事件列 i 若尸( 以) 吃占) c o 。成立 则 2 1 2 主要结果及证明 m a x s 1 - q ) ， 扫h a l 斯j = l 驾挚一 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 昱一oa s ( 2 1 5 ) 吃 推论2 1 2 设 x ，；l 是两两n q d 的随机变量列，伊：r r + 是偶函数，在【o ，) 上不减，l i 。m 。妒( z ) = o o 且妒( 石) 满足下列条件之一： ( a ) 盟不增； ( b ) 里盟不减和竺鳟不增，且以，：o 此外， ；力1 ) 是非负递增的常数列且满足： l 皇赵c ，力1 统 则 y e 伊( x j ) ， j = l 缈一( 吃) 俐 ， 哆帮亿陆一帮 ? 帮 若缈( x ) 满足条件( b ) ，即掣不哗和掣不增，且呸= 0 故当m 乞时，有 掣s 眢棚就是掣鼎毗 i e z j i e x ，饥| s 6 + l 户( i x 小6 ，) = e x ，饥h ) f + 6 ，p ( 川 鸡帮o i x , l , b , ) + b j p ( 俐叫) 观帮店_ 帮 鳓，帮 条 此 、7、l-，一 、- ， ，一、j 石 r ，0 ，t 矿0一硝洲锱 k 一乞 所以对于条件( a ) 或( b ) ，总是有j 呸i 锄帮躺2 1 2 羽得： 蔷主i e z i 2 薯帮锄 由k m n e c k e r