（热能工程专业论文）切应力作用下的液膜表面波稳定性分析.pdf

华北电力大学硕士学位论文 摘要 剪切波状液膜作为一种重要的液膜流动形式，因受界面切应力的影响，其 水动力学特性和流动稳定特征与自由下降液膜流动明显不同。首先，本文基于 完整的边界条件，建立了切应力作用下沿倾斜壁面下降的液膜表面波的 o r r - s o m m e r f e l d 方程。采用摄动方法求解出波速表达式，分析了剪切液膜的流 动稳定性和引发流动不稳定的物理原因：其次，基于边界层模型，采用积分法 和线性化理论，推导了二维剪切液膜表面波线性稳定性方程，分析了切应力、雷 诺数、波数、表面张力和倾角等参数对液膜表面波稳定性的影响。 关键词：波动液膜，表面波，稳定性，界面切应力 a b s t r a c t n 圮s h e a r e dw a v yl i q u i df i l m s a sa l li m p o r t a n tf l o w , h a v en o t a b l yd i f f e r e n t h y d r o d y n a m i c sa n df l o ws t a b i l i t yu n d e ri n t e r r a c i a ls h e a rs t r e s sf r o mt h o s eo ff r e ef a l l i n g l i q u i df i l m s f i r s t l y 弧eo r r s o m m e r f e l de q u a t i o nd e s c r i b i n gt h ef l o ws t a b i l i t yo fl i q u i d f i l m su n d e rs h e a rd r a i n i n gd o w na l li n c l i n e dw a l li se s t a b l i s h e db a s e do nc o m p l e t e b o u n d a r yc o n d i t i o n s t h e w a v ev e l o c i t yi sc o m p u t e dv l ，i mt h ep e r t u r b a t i o nm e t h o d t h e s t a b i l i t yo ft h es h e a r e dl i q u i df i l m si si n v e s t i g a t e df o r mt h ep r e s e n tm o d e la n dt h e p h y s i c a lr e a s o n sf o ri n s t a b i l i t ya r ed i s c u s s e d s e c o n d l y ，b a s e do nt h eb o u n d a r yl a y e r t h e o r y a n d c o m p l e t eb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t h el i n e a rs t a b i l i t y e q u a t i o n o f t w o - d i m e n s i o n a ls u r f a c ew a v e so nt h es h e a r e dl i q u i df i l m si sf o r m u l a t e di np r e s e n tp a p e r w i t ht h ei n t e g r a la p p r o a c ha n dl i n e a r i z a t i o nt h e o r y n l ee f f e c t so fs h e a rs t r e s s r e y n o l d s n u m b e r , w a v en u m b e r , s u r f a c et e n s i o na n di n c l i n a t i o na n g l eo nt h es t a b i l i t yo ft h e i n t e r f a c i a lw a v e si nd i f f e r e n tc o n d i t i o n sa l ei n v e s t i g a t e dw i t hp r e s e n tm o d e l z h a n gy i n g ( t h e r m a lp o w e re n g i n e e r i n g ) d i r e c t e db yp r o f w a n gs o n g l i n g k e yw o r d s ：w a v yl i q u i d f i l m ，s t a b i l i t y ，i n t e r f a c i a lw a v e s ，i n t e r f a c i a l s h e a rs t r e s s 一型! 里垄丕兰堡堂垒丝奎 主要符号表 无量纲的复波度； q ： 波速扰动； 行进波速。 g ： 重力加速度； 液膜厚度； ： 平均液膜厚度； 界面平均曲率；k a ： k a p i t z a 数； x 方向上的波数。p ： 液体压力： 气体压力； ， ： 压力扰动； 当地流量；r e ： 雷诺数： 临界雷诺数；t ： 时间变量： 7 m = t r e “；甜 ： x 方向速度； 稳定平滑流的速度； ： 平均液膜速度； ) ，方向速度；w e： 韦伯数； 沿平板水平方向坐标或重力与切应力的纵向分量方向： 垂直平板方向坐标或重力与切应力的横向分量方向： 稳定平滑流无量纲切应力； 液膜自由表面偏离平滑层流自由表面的无量纲距离； 无量纲波数： 临界波数； 最大扰动增长率； 流函数的扰动函数： 波长； 运动粘度： 液体密度； 无量纲切应力； 切应力扰动； 切应力扰动横向分量： 哈密尔顿算子； 最危险波数； 扰动增长率； = k 以； 流函数； 动力粘度； 倾角： 表面张力； 界面切应力； 切应力扰动纵向分量： 液膜厚度的扰动初值； 拉普拉斯算子； 矿 目 仃 。吒孝v c g 厅 置 肼 q 胎 砌 u u 工 y r 矿 口 几妒五 v p f 。f v 声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文切应力作用下的液膜表面波稳 定性分析，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研 究工作和取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大 学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名；日期： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩 印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅： 学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同 方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名： 日期： 导师签名： 日期： 华北电力大学硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 气液两相流动广泛存在于电力、化工、核反应堆、钢铁冶炼、航空、石油开采 以及电子等设备的流动与传热过程的系统中“。深入研究气液两相流动特性对于系 统的优化设计，经济运行以及非正常工况的监测具有十分重要的实际意义。 目前，液膜的传热特性在热工换热设备中已经运用的相当成熟。例如，在锅炉 蒸发系统中，对流管束中的气液两相流动就是应用液膜传热的机理：辅助设备如除 氧器，脱硫除尘设备中也涉及到液体薄膜的传热传质技术”。 液膜流动在化工领域有着广泛应用c l a 。薄层液体沿某种形式的固体壁面流动， 与液膜相接触的另一相是气体或与液膜不互溶的液体。气体或处于静止，或相对于 壁面运动( 并流或逆流) 。这样的膜式流动，在化学工业中应用颇广，如膜式蒸发 器、湿壁塔、填料塔以及膜式气液反应器等。液态低沸点气体是一类特殊物质，由 于其汽化潜热远大于其他物质，作为传热介质，在化工、食品、机械加工、航空航 天等领域中也比较常见。“。 近年来，随着核工业的迅速发展，以薄液膜层蒸发冷却为原理的核电站安全壳 保障系统，业已成为发达国家以及我国核科学与技术研究的重点“”。在高尖端技术 领域中也应用薄液膜的传热特性来解决遇到的越来越多传热方面的高效安全性问 题，譬如新一代太阳能集热器、大规模集成电路的薄膜冷却等。 燃气轮机作为2 l 世纪最具市场应用前景的第三代动力机械，是动力系统的核 心技术。作为关键技术之一的叶片冷却问题，目前采用的蒸汽冷却技术备受关注， 在叶片表面形成汽膜薄层来强化冷却叶片，其优点是在很大程度上可以提高燃气初 温，从而提高简单循环和联合循环效率，增大机组容量。“。 在自然界，流体流动不仅要服从流体力学方程而且应该是稳定的“”，液膜流动 同样具有稳定性问题。液膜的波动就是扰动波在流体动力不稳定性因素( 重力、表 面张力和界面切应力等) 作用下破坏了流动平衡的结果。在一团流体里，不管其流 动与否，常常发生流体因受扰动作用，使得质点偏离其原来的位置或流线，此时回 复力就要发挥作用。这些回复力可以是重力，表面张力，界面切应力或流体压缩引 起的附加压力。这些回复力所引起的流体运动，使得流体到达原来静止的位置或动 力平衡的位置，但运动并不会中止，而是在惯性作用下超过这个界限，并且再次要 求回复力作用。就这样，波动形成并一直维持到流体的粘性使之完全衰减为止。因 此，一个很小的扰动就可以促使流动结构和状态改变，在这个意义上，流动的平衡 华北电力大学硕士学位论文 具有不确定性，流体或流动就处于不稳定状态。因此，稳定性取决于加给初始状态 的很小扰动是增长还是减弱的。 如果流动是不稳定的，那么扰动可以增长到一个有限振幅然后停止增长。如果 由此产生的状态自身稳定，则一个新的层流状态将继续存在。如果这个新的流动遇 到另外的扰动而不稳定，则这些扰动将又要增长而导致更新的流动状态，并且如果 增长的速度很大，最后流动将变为紊流。 由扰动引起的波动是流体运动的一种常见现象。这种运动的根本特点在于，某 种运动状态由一处传至另一处，但液体本身并未转移，只是液体质点在平衡位置附 近振荡。描述波动运动的物理量主要有振幅、波长、波速等。根据这些特征量的大 小，可以区分各种波的类型“。 液体沿倾斜壁面自由下降是最典型的液膜流动。即使液体在理想光滑的壁面上流动 且流量很小时，液膜表面仍将存在表面波动，并在不同流量下呈现不同的宏观波形：长 波、短波、滚动波、毛细波等。在外力或热作用下，表面波在不同结构中又具有丰富的 动力学现象。当液膜表面存在同向或反向气流时，气液界面处会形成摩擦切应力， 致使液膜的流体动力学特性和波动稳定性更趋于复杂。因此，对切应力作用下液膜 表面波的形态及流动稳定性作深入研究是非常必要的。 控制液膜稳定的流体动力系统方程无疑包含着丰富的流动特征。从流体动力系 统方程研究液膜的稳定性具有极其重要的意义“”“1 。在理论方面，液膜稳定性的研 究分为线性和非线性两种方法，线性方法研究液膜内的扰动在初始发生时，随着各 种因素的变化趋势，从而了解流动的稳定状况，它不涉及扰动的整个演变过程，因 而简单方便：非线性方法研究扰动在发生之后的演变过程，所以控制方程的求解较 难，随计算机技术的飞速发展，非线性方法得到了越来越多的应用。在工程应用方 面，液膜流动的不稳定性也是非常重要。由于液膜容易受外界干扰的影响，它比液 膜本身的流型转换更重要，不稳定主要是研究波形的演化过程，这些过程的特性都 与不稳定现象有直接的关系。因此，液膜稳定性的研究不仅具有重要的理论意义， 其工程应用前景也是潜在和广泛的。 1 2 研究现状 现代测量技术、计算机数值模拟方法和应用数学与力学理论水平的不断提高， 为在更深更高层次的理论范畴内研究液膜流动提供了更加便利的条件。近年来，有 代表性的成果层出不穷，主要介绍如下： 1 2 1 自由液膜的波动特性及其稳定性 沿垂直或者倾斜壁面下降的液膜在流动过程中，如果受到小扰动因素的影响， - 2 华北电力大学硕士学位论文 则引起流体流型和流动状态的变化，导致液层表面出现波动，发展成波动的液膜流 动。假如流体是以密度或者浓度分层结构出现的，抑或是两种或更多种流体分层流 动的情况，就会在这种分层流体间产生波动，称之为内波。无论是表面波还是内波， 都会对液膜的流动及传热传质特性产生很大的影响。波动的液膜既有强化传热传质 的作用，也能恶化传热传质的效果，关键在于波动的状态和剧烈程度，以及波动的 稳定性。如果波动不影响或不破坏液膜流动的连续性，就能起到传热传质的作用； 如果波动过大，则有可能引起液膜局部的暂时或永久破断，导致传热恶化。 对于液膜沿倾斜壁或垂直管壁向下流动的情况，已经从实验上观察到三种不同的流 动状态：当r e = 4 r v 2 0 3 0 时，流动为层流，液膜表面呈平滑状态，膜厚为常数； 当2 0 一3 0 r e 1 0 0 0 2 0 0 0 时，流动呈波动性剧烈的湍流。 在对液膜流动稳定性的研究中，目前的理论研究方法分为线性和非线性方法两 种，而且流态基本都局限于小雷诺数的层流区域。在对等温液膜的研究中，线性理 论得到广泛应用。”3 ，它最早开始于y i h ”“”和b e n j a m i n 口”对等温降膜的线性稳定 性分析，y i h 首次提出了临界雷诺数的概念。所谓线性理论，即通过研究初始扰动 的变化趋势而获得对流动稳定性的认识。它研究扰动发生的初始时刻，假定扰动很 小，故由扰动引起的各项变化可处理为线性关系。这种方法不涉及扰动发生以后的 具体演变过程，故对流态稳定性的判别比较简单。非线性理论是研究在起始时刻以 后流动的具体演变直至液膜破断的过程。基于边界层理论，在小雷诺数范围内，y a n g 和w o o d 州、w h i t a k e r 、l e e 、k r a n t z 和g o r e n 、k a p i t z a 和k a p i t z a 洲、s h k a d o v 1 、 k r y l o v 等采用不同的理论分析方法对o r r - s o m m e r f e l d 方程进行了求解，n g u y e n 和b a l a k o t a i a h m l 提出了对现有简化模型的改进模型。a l e k s e e n k o 等”、t a k e s h i 汹1 在中等雷诺数下得到了二维表面波扰动演化方程。a l e k s e e n k o 等n ”、y u 等m 1 、m a r o n 等m 1 、b r a u n e r 等1 分别在高雷诺数范围下推导了二维表面波扰动演化方程。b a n k o f f 4 2 - 4 3 m a r s c h a l l 和l e e “”、s p i n d l e r “”、l 6 p e z 等“、师晋生和施明恒“7 1 以边界层理 论为基础，对蒸发或冷凝状态下的液膜表面波进行了稳定性分析，在蒸发或冷凝状 态下求解了o r r - s o m m e r f e l d 方程。j o o 等“”和b a n k o f r “町运用长波理论，推导了倾 斜壁面上的蒸发均匀液膜的非线性二维表面波长波演化方程，对液膜破断，波的破 碎及二级结构的产生机理进行了分析。叶学民等”5 2 1 研究了相变引起的切应力， 从理论上推导了在蒸发、等温和冷凝状态下普遍适用的液膜二维表面波时域演化和 空间演化方程，分析了雷诺数、倾角、热毛细力、表面张力、流体物性以及蒸发、 等温和冷凝三种状态对稳定性的影响。 液膜波动的实验研究已有很多“”“，方法多为用高速摄影记录波动的生成、结 构，或利用电导法、电容法、激光法等测量液膜厚度随空间、时间的变化。由于对 华北电力大学硕士学位论文 液膜状态的观测难度很大，所以现在关于液膜波动稳定性的研究主要集中在理论方 面。 1 2 2 剪切液膜的稳定性 当气液界面存在同向或反向气流作用时，气流的流动势必要影响液膜的流动特 性。关于这个问题的研究最早起源于科学家在对风吹动下水波产生这一自然现象的 研究，到目前为止虽然有大量关于这个方面的研究，但是有关切应力作用下液膜波 动的稳定性的研究还远不够。所面临的主要难点在于：液膜波动状态的多样性：波 动的非线性特征；界面气流影响下边界条件的复杂性。 关于切应力作用下液膜稳定性的研究，大部分研究仍为基于o r r - s o m m e r f e l d 方程的 液膜流动稳定性的线性理论研究6 删。a l e k s e c n k o 和n a k o r y a k o v 嘲1 、a k t e r s h e v 和 a l e k s e e n k o 推导出了在重力和切应力作用下的沿倾斜壁面流动液膜的弱非线性长波的 双波方程，在此基础上研究了在同向和反向气流作用下的液膜的线性稳定性，以及切应 力作用下的液膜在冷凝时的稳定性变化规律。t r i f i n o v 3 在倾斜表面上，在考虑薄膜表 面上的相变和切应力的条件下，通过求解o r r - s o m m e r f e l d 方程研究了薄液膜流动时表面 波的形成过程。m i e s e n 和b o e r s m a 1 应用o r r - s o m m e r f e l d 方程研究了同向气流剪切作用 下的薄液膜的稳定性，分析了临乔雷诺数与各因素的关系，结果与实验吻合的很好。同 时讨论了内在模式在滚动波产生过程所起到的作用，结果表明内在模式与滚动波产生的 临界雷诺数是相关联的。d e m e i l i n 和t o k a r e v 删分别应用积分法和求解o r r - s o m m e r f e l d 方 程两种方法，分析了不存在相变的剪切薄膜的稳定性，并比较了两种方法所得到的结果。 s h e i n t u c h ”1 推出了包括有粘性、表面张力和界面切应力影响下的长波方程，利用相平面 和分形法对动力学特性进行了分析，在高雷诺数区域，波速显示了湍流的起始；低雷诺 数区域，相平面分析预测表明，波的形态是由前缘陡峭的简单尖峰组成，并且在主波上 有短波存在。其不足之处在于底层厚度的理论值与实验值有很大的差异，主要原因是推 导过程中假定切应力沿着界面是不交的，这与实验是不相符的。 迄今为止，对于液膜流动稳定性研究还大都采用线性稳定性分析方法。关于液膜稳 定性的大量研究大都忽略液膜自由表面外部气流运动在气液界面产生的界面切应力的 影响，因而关于剪切液膜稳定性的研究很少。而且，对于剪切液膜稳定性的研究大多集 中在剪切液膜表面波的生成和破断方面，而鲜有直接考虑切应力对表面波流动稳定 性影响的研究，而对导致剪切液膜流动不稳定的物理原因研究更少。 1 3 研究目的和内容 如前所述，长期以来，虽然已有众多研究人员对液膜流动稳定性进行了大量研 究，液膜的稳定性分析依然是流体力学和传热学中的一个需更进一步解决的基础性课 华北电力大学硕士学位论文 题，尤其是切应力作用下的液膜流动稳定性仍然需要进一步系统，深入的分析。鉴 于此，本文将以剪切液膜为对象开展下列研究工作： 1 考虑完整的边界条件，建立切应力作用下沿沿倾斜壁面口下降液膜流动的理论 模型。以边界层理论为基础，得到边界层模型的控制方程，为进一步从理论上 全面分析液膜表面稳定性奠定理论基础。 2 推导切应力作用下的液膜流动的速度表达式，分析剪切液膜的流动特性和液膜 内部的速度分布规律。 3 从基本控制方程出发，推导o r r - s o m m e r f e l d 方程和边界层的微分方程，并 利用摄动法求解出波速的表达式。结合切应力作用下液膜的流动状态，分 析扰动在初发时刻的不稳定性，并着重于描述不稳定性的各种物理原因。 4 从边界层模型的控制方程出发，利用积分方法，推导切应力作用下液膜表面波 稳定性演化方程。在此基础上分析切应力作用下的液膜表面波稳定性的变化规 律，并着重于分析各参数对液膜表面波稳定性的影响。 华北电力大学硕士学位论文 2 1 引言 第二章切应力作用下的液膜流动模型 在对液膜流动稳定性的研究中，目前的理论研究方法分为线性和非线性方法两 种，而且流态基本都局限于小雷诺数的层流区域“”。 自由液膜波动稳定性的理论研究最先始于y i h “”对等温降膜稳定性的研究，他 应用简便的摄动理论获得了对自由降膜稳定性的认识。b e n j a m i n 啪1 采用幂级数展开 法求解o r r s o m m e r f e l d 方程。b e n n y 1 分析了等温降膜长波理论的弱非线性稳定性， 考虑了非线性的二阶项。基于边界层理论，w h i t a k e r 。”、l e e m l 、k r a n t z 和g o r e n m l 对等温降膜采用数值计算方法求解o r r - s o m m e r f e l d 方程。m a r o n 等1 、b r a u n e r 等 ”采用c o l l o c a t i o n 方法，在较宽的雷诺数范围内，推导了表面波空间和时间演化方 程。师晋生和施明恒等利用液膜自由表面的温度随波动变化的关系，从理论上分 析了饱和液膜在竖壁上受热流动因温度不均而存在表面张力波动的流动不稳定性， 讨论了波数，雷诺数，壁面和液膜温差的影响。程友良等“ 研究了非线性表面张力 对液膜传热的稳定性影响。叶学民等脚”研究了相变引起的切应力，从理论上推 导了在蒸发、等温和冷凝状态下普遍适用的液膜二维表面波时域演化和空间演化方 程。 关于切应力作用下液膜稳定性的研究，a l e k s e e n k o 和n a k o r y a k o v 嘞训推导出了 在重力和切应力作用下的沿倾斜壁面流动液膜的弱非线性长波的双波方程，在此基 础上研究了在同向和反向气流作用下的液膜的线性稳定性，以及切应力作用下的液 膜在冷凝和蒸发时的稳定性变化规律。t r i f i n o v “”在倾斜表面上，在考虑薄膜表面 上的相变和切应力的条件下，通过求解o r r - s o m m e r f e l d 方程研究了薄液膜流动时表 面波的形成过程。m i e s e n 和b o e r s m a ”“1 应用o r r - s o m m e r f e l d 方程研究了同向气流剪 切作用的薄液膜的稳定性，分析了临界雷诺数与各因素的关系，结果与实验吻合的 很好。d e m e h i n ”3 1 分别应用积分法和求解o r r - s o m m e r f e l d 方程两种方法，分析了剪 切薄膜的稳定性，并比较了两种方法所得到的结果。 目前，对于液膜流动稳定性的研究，仍然主要采用以边界层理论为基础的线性 稳定性分析，而且主要针对于没有切应力作用的自由液膜的稳定性，研究切应力对 液膜流动稳定性的报道相对较少。在以往的稳定性研究中，或给出的方程过于复杂 而不利于求解，或因忽略液膜界面表面张力和界面切应力的影响而边界条件不完 善，或对稳定性影响因素分析不全面。 本章考虑完整的边界条件，建立切应力作用下沿沿倾斜壁面口下降液膜流动的理论 华北电力大学硕士学位论文 模型。以边界层理论为基础，得到边界层模型的控制方程，为进一步从理论上全面分析 液膜表面稳定性奠定了理论基础。同时推导切应力作用下的液膜流动的速度表达式，分 析剪切液膜的流动特性和液膜内部的速度分布规律。 2 2理论模型 2 2 1 物理模型的描述 图2 - 1 剪切液膜流动示意图 如图2 1 所示，粘性液体受重力驱动，沿着倾角为口的壁面形成波状下降液膜，在 液体表面外是运动气流。液膜厚度与流动方向尺度相比非常d 、，h , t “l ，适用边界层 理论。 本章利用线性理论来研究扰动初始发生及其发展趋势，为简化分析，做以下假设： 1 ) 液体为牛顿流体，作二维层流流动，除表面张力外，物性恒定不变。 2 ) 液膜平均厚度不发生变化，液膜外气体压力恒定不变。 3 ) 运动气流速度恒定，界面切应力沿流动方向恒定不变。 4 ) 气体密度相对于液体密度可以忽略不计 5 ) 扰动振幅很小，不考虑由此引起的非线性影响。 对于粘性、不可压缩牛顿液体，波动液膜的控制方程组为n a v i e r - s t o k e s 方程和连 续性方程： 1 l + v h = 一二v p + g + v v 2 口( 2 - 1 ) p 审盥；0 ( 2 - 2 ) 式中，= ( “，u ) ，g = ( g s i n 0 ，一g c o s o ) ，v 为哈密尔顿算子；v 2 为拉普拉斯算子。 控制方程的边界条件为： 1 根据经典流体力学理论，壁面上为无滑移条件： y = o ，“= u = 0 ( 2 3 ) 7 华北电力大学硕士学位论文 2 在气液界面上，运动学条件为： y 乩u = 警十“芸 图2 - 2 波状液膜表面示意图 ( 2 - 4 ) 3 在气液界面上，满足切向应力和法向应力平衡方程。气液界面上的边界条件确定如 下： 如图2 - 2 所示，在自由界面上任意取一点a ，a 点处的单位法向矢量和单位切向矢 量分别为亓和i ，其表达式为开= i ( - s i n u ) + c o s v ，i = i c o s v + j s i n 。根据导数定 义，存在关系式t a n = 动西，其中 为液膜厚度。 显然，在a 点的法向速度为： ( 酊+ 叮) 哺= 警+ ”警= p ( 2 5 ) 在流体力学中，矢量和张量有如下关系： i 二= 亓于= ( 巧c o s y ls i n f + ( 毛c o s 一巧s i r i ) 了( 2 - 6 ) 其中瓦= - p + 2 u 罢，t r y = - p + 2 t 雾，= = 卦 因此，在a 点处的切向应力和法向应力分别为： 互= ；= 考+ 罢 c o s z 少+ 声( 雾一罢 s ；n z 妒 c 2 忉 瓦娟一p 一( 考+ 尝 酊蛇砣鲁s i n ：g + 2 t 考c o s 2 妒c z 固 如果考虑气流对液膜的切应力影响，则在液膜表面上液体和气体的切向应力和法 向应力的总和各自表示为： 华北电力大学硕士学位论文 【正】；( 瓦) 。h n + 【瓦】= 一p ，一( 瓦) 。= 一风一( t ) ( 2 9 ) ( 2 - 1 0 ) 式中，p o 为气体的压力，为气液界面切应力，其中切应力取正、负值时分别表示气 体流动方向与液膜速度方向相同和相反。而液体在a 点的切向应力和法向应力按照式 ( 2 7 ) 和式( 2 - 8 ) 确定。 在气液界面上，液体和气体的切向方向和法向方向满足受力平衡方程为： 阢】= o 【瓦】+ x 盯= o ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 式中，盯为液体的表面张力，置是界面平均曲率，足2 百毒严 根据上式，将式( 2 - 7 ) 和( 2 8 ) 代入式( 2 i i ) 着f l ( 2 1 2 ) 中，可以得到气液界面上的边界 条件为： ( 考+ 罢 c 。s 2 y + ( 考一罢) s m 砷一t = 。 q 舶， 风一p 一 考+ 罢) s m z + 2 罢s m 2 妒+ 2 考c 。s 2 妒一石三黔= 吣， 综上，切应力作用下的沿着倾角为口的壁面下降的二维液膜流动的控制方程组和边 界条件表示如下： 警+ ”罢+ 。塑o y = 一刍- 罢- r + g s m 口+ v 嘉+ 雾 g 彤， 瓦夏仙2 一万夏+ 8 m ”【丽+ 酽j ( 2 - 1 5 ) 等+ “豢+ u 考一l o p - g c o s o + v ( 雾t - - r g + 守 q 啪， 百枷面面一+ 萨i ( 2 1 6 ) 宴+ 丝：o ( 2 q 7 ) o苏 y 边界条件为： y = 0 ，“= d = 0 ( 2 1 8 ) j ，疏u ：票+ 3 h ( 2 - 1 9 ) j ，勘u 2 百磊 y = ，( 考+ 謇) 嚣+ ( 考一妻 焉= c z 珈， 华北电力大学硕十学位论文 y = 厅，风一，一( 考扣t 苏g o j 。2 + h 虿, + 和面o u 丽h l + 2 万o o 雨1 手一百务= 。( 2 乏) 2 2 2 边界层模型的建立 显然，切应力作用下的沿倾斜壁面下降的波动液膜的流动控制方程组是非线性方 程，而且非线性很强。对于非线性问题的研究，通常采用数值方法和解析方法两种方法。 在解析方法中又分为解析求解和定性分析两种，但由于非线性方程的解析解一般不太容 易获得，所以往往对非线性方程做定性分析以获得问题中所包含的规律性为数值计算 提供有益的信息。在非线性方程的定性分析中，一般需要对原有非线性方程进行简化。 为获得对液膜稳定性的认识，以边界层理论为基础，对控制方程组和边界条件进行 数量级简化。首先采用下列式子对方程进行无量纲化： 咖b 射咖b 毒卜= 孕2 寺；蠡 式中，占= 氐肛；，分别为平滑层流降膜的平均液膜厚度和平均速度，表示如下： 驴粤，：f 笔n p l ，( 2 - 2 2 ) j 斗g ， 式中，肌为雷诺数。另外，在无量纲化过程中，通常采用无量纲量耽数表示表面张力 的影响。胎数和耽数定义如下： r e = 4 f ：! 盟，w e ：i ( 2 - 2 3 ) vv p “； 塑+塑+u考=一望+里占+!(占2万02u+矿02uu s i n )(2一-240t o x o xrr ) + 一+ u 廿上+ + 一i 占+ 彳i1) 却l苏2 勿2j 、7 2(塑+塑+u考一考一12cos一+-1一百020u 0 + 2 雾)c2一-2柳50t o xr ero x i 一+ 一+ u l = 一上一 c o s + 占了+ 了ii) i咖j咖 。 勿2j 、7 宴+ _ o o ：0 ( 2 - 2 6 ) 叙加 y=0，甜=u=0(2-27) _ y = h ，d = o i h + 越i o h 一 ( 2 2 8 ) v = ，d = 一+ 越 z y = ，( 考+ 占2 罢 ( + s 2 ) + z 占2 吃( 雾一罢 一z ( 一占2 ) r = 。c 2 伪， 华北电力大学硕士学位论文 y = ，p 一堡r ( 塑o y + s 2 警) i 1 + 壁r 罢去1 h 。 i缸+ f 2 彪苏+ s 2 ： + 等茜去1 。耽痞1 静= 。 p ，。， r 砂+ f 2 ；。( + 占2 霹) 卦2 ” 卜一7 式中，p = ( p o p ) 肛：，r = 8 r e 。 在简化方程时，对于占“1 ，r e ”1 ，e r e = 0 0 ) 和w e = 0 ( 1 ) ，保留数量级为0 0 ) 的项，忽略含有或高于o ( s 2 ) 的项，为考虑表面张力影响而保留表面张力项，以有量纲 形式表示的边界层模型为， 詈+ “鲁+ v 考= 一古罢+ g s i n o + v 雾( 2 - 3 1 ) g畜瓦w 面2 一万衰可 土挈= - g c o s 0 ( 2 - 3 2 ) po y 掣+ o _ y _ v ：0 ( 2 3 3 ) 边界条件为： y = 0 ，h = u = 0 ( 2 3 4 ) ：h，u：娶+咛oh(2-35)y2 巾2 否枷瓦 ) ，：h ，掣：三 ( 2 3 6 ) y = h ，p o - p = 仃k ( 2 3 7 ) 方程( 2 3 6 ) 右侧表示气流引起的界面切应力的影响。由于表面张力对液膜的稳定性 起着重要作用，因此在法向应力方程( 2 3 7 ) 6 0 保留了含有表面张力的项，即方程( 2 3 7 ) 右侧表示表面张力受液膜波动影响所产生的毛细压力，其方向始终指向液膜内部，起着 促进液膜流动稳定的作用。 2 3液膜速度分布与流动特性 如图2 3 所示，为获得液膜内的流动特性，在距离液膜起始位胃工处，取一微元体 如图所示，由该微元体的受力平衡方程，可得： p ( 剖肿一剖，卜+ 昭s i n 纽砂= 。 当a y 一0 时，得到 ( 2 3 8 ) 华北电力大学硕士学位论文 边界条件为： 卢粤+ p g s m 口：o 卢万 m 曰2 0 y = 0 ， y = h ， “= 0 生：三 方 图2 - 3 液膜微元液体受力平衡示意图 ( 2 - 3 9 ) ( 2 - 4 0 ) ( 2 _ 4 1 ) s i n 8 a r b y 甜甭g s i n o ( z 1 2、矗tih2 y ， ：墅咝f 日一1 + 三y 。 v k。 “= ，s t n 占( y 一三y 2 + z r y ，o 0 ，q 0 时，气流与液膜同时向下流动， 此时液膜与气流同向( 正向并流) ；当g 0 ，- s i n o s r 曼0 ，q 0 时，液膜向下流动， 气流向上流动，液膜与气流反向( 逆流) ：当g 0 ，f s i n o ，q 0 时，正向切应力使速度分布趋向线性化。 图2 5 表示一s i n o f 0 时( 逆流) 的速度分布变化，此时液膜向下流动而气 流向上流动，气流与液膜流动方向反向。当- - 0 7 5 s i n o f 0 时，整个液膜所有部分 的速度都是向下的；当f = - - 0 7 5 s i n o 时，液膜的速度分布是对称的，此时在液膜表 面的速度为o ：当一s i n o f of = 0 图2 4 正向并流的速度分布 “ 7 ： - 4 ) 7 5 s i n 0 ( f 0 f = 一o 7 5 s i n o s i n 0 f - 0 7 5 s i n o 圈2 - 5 逆流的速度分布 1 3 华北电力大学硕士学位论文 弋 矗。 八 夕。x ， ji 、 “ x - 1 5 s i n 口 f - s i n 0f 一1 5 s i n 0 图2 - 6 反向并流的速度分布 图2 - 6 表示r 一s i n o 时( 反向并流) 的速度分布变化，此时液膜在切应力作用 下与气流共同向上流动。当一1 5 s i n 0 f 0 ，q 0 时( 正向并流) ，气流与液膜同时向下流动，此时液膜与 气流同向；当g 0 ，一s i n 0 r 0 ，q 0 时( 逆流) ，液膜向下流动，气流向 上流动，液膜与气流反向；当g 0 ，f 一s i n 0 ，q 0 时( 反向并流) ，气流 向上流动，而液膜在切应力作用下也向上流动，此时气流与液膜同向。 华北电力大学硕士学位论文 第三章二维剪切液膜微分方程及线性稳定性分析 3 1引言 在自然界中流体流动不仅要服从流体力学方程而且应该是稳定的。液膜流动同 样具有稳定性问题。液膜的波动就是扰动波在流体动力不稳定性因素作用下破坏了 流动平衡的结果。 自由液膜波动稳定性的理论研究始于y i h 滔对等温降膜稳定性的研究，他应用简便 的摄动理论获得了对自由降膜稳定性的认识。y a h 凹1 认为液膜流动存在一个临界的雷诺 数，在小于临界雷诺数时流动是稳定的，在大于临界雷诺数时流动不稳定，表面出现波 动。 目前，液膜流动稳定性的研究大部分都集中在忽略气液界面切应力作用的自由液膜 5 “。关于剪切液膜稳定性的研究，大部分研究都还是基于o r r - s o m m e r f e l d 方程的线性 理论研究唧。1 ；a l e k s e e n k o 和n a k o r y a k o v 油“1 在双波方程基础上，对切应力作用下的 液膜稳定性进行了弱非线性研究。迄今为止对于液膜稳定性的大量研究大都忽略考虑界 面切应力的影响，研究剪切液膜稳定性很少。而且研究大都着重于表面波稳定性的变化 规律，而对导致剪切液膜流动不稳定的物理原因研究较少。 本章从剪切液膜流动的基本控制方程组出发，基于完整的边界条件，推导 o r r - s o m m e r f e l d 方程和边界层的微分方程。利用摄动方法求解出波速的表达式。结 合切应力作用下液膜的流动状态，分析扰动在初始时刻的不稳定性，着重于描述不 稳定性的各种物理原因及其影响规律。 3 2 流动稳定性定义 根据线性理论“”，可以将波动流( 称为主流) 看成是一个底部没有扰动的稳态 平滑流和表面的小扰动流( 表面波) 迭加而成。所谓流动是稳定的，是指加给流动 的扰动，无论在时间还是空间上都是衰减的；而所谓流动是不稳定的，就意味着扰 动是逐渐增大的。 在线性稳定性理论中，假定扰动的振幅非常小，对于扰动方程可以忽略有关扰 动的二阶及以上小项，扰动方程则变为线性方程。对扰动进行傅立叶众数分解，则 可单独研究各众数的特征。假定这些众数为啊，当t o o 时，如果全部的惕若都为 惕一0 ，则主流是稳定的。若啊中即使有一个惕0 ，则主流就是不稳定的。 对于扰动方程及其边界条件允许存在一个含有形式为 兰! ! 皇垄查堂堡主竺丝堡苎 e x p i m ( x c t ) i 的因子并代表一个正弦扰动的解“”。其中，m 为j 方向上的波数；c 是无量纲的复速度， c = c r + f c i 。一般的表面波扰动都可以通过傅立叶积分的形式由正弦扰动叠加而得到。 因此，以上述因子为基础，代入扰动方程，可求解复波速的表达式，并以此来判断流动 的稳定性。 在本章中，将只讨论小扰动在初始时刻的不稳定性，着重于描述引发不稳定性 的各种物理原因。 3 3 微分方程的推导 3 3 1o r r - s o m m e r f e l d 方程的推导 首先，从切应力作用下的液膜流动的控制方程组和边界条件式( 2 2 4 卜式( 2 3 0 ) 出发， 推导切应力作用下沿着倾角为目的壁面下降的液膜流动的o r r s o m m e r f e l d 方程组。 3 3 1 1扰动方程 由线性理论。波状液膜的流动可以看作是一个没有扰动的稳定平滑流动和一个微小 扰动流的叠加而成。而判断这一个流动或者一个流态是否稳定，其稳定性准则是，当它 受到轻微扰动时其扰动是否衰减。 因此，假定 “= u ( y ) + “，d = u ，p = p + p ，| i l = l + h ，f = r ( 1 + f ) ( 3 一1 ) 其中，扰动量h l 、p p 、f 1 上标“+ ”表示扰动。v ( y 1 是平滑流的速度， 仅是y 的函数，其表达式即式( 2 - 4 3 ) ：p 表示基本流动的压力：h + 表示液膜表面偏离平 滑层流表面的无量纲距离。r 为稳定平滑流的无量纲界面切应力， r = 3 r , o ( 2 p g h n ) = t m r e 帕，刀h = 9 怕t o ( 2 p 3 9 2 v 2 ) ”。 界面切应力扰动f = r r h + 噬肌，m 是波数，靠，f i 是界面切应力复振幅的实部 与虚部，分别表示切应力扰动在纵向和横向的分量”1 。在给定情况下。切应力的扰动将 看作是已知的，文献“”给出了计算切应力扰动的参考方法。 将( 3 - 1 ) 式代入控制方程组式( 2 - 2 4 ) 式( 2 3 0 ) 中，按线性假设，保留扰动量的线性项， 略去二阶及以上的高阶项。同时，为研究表面张力的影响，故保留表面张力项，并将 h = l + h 上的边界条件用j ，= 1 处的量表达，得到扰动方程： o u - - o t + u 警+ 型o yu + = - 丝o x + 三e r e ( s 2 豢+ 等 ( 3 2 ) 叙l 叙 匆j 兰j ! 皇垄盔堂堡堂垡堡奎 占2 ( 等+ u 警 - 一等+ 去( 一警等 p ， 箪+等；o(3-4)ox洲 边界条件为： y = 0 ，“= d + = 0 ( 3 5 ) y _ 1 ，u ：誓+ u 堂( 3 - 6 ) o 。 西x 川，等矿十等等翊+ 鲁刳 p 乃 川，p ( 1 ) + 弓( 1 j - 仃+ ，_ 一面8 9 百0 0 * + 耽s 2 警= 。 ( 3 8 ) 式中，j 2 叫方2 = 一3 s i n 8 ，e o ) = o ，e ( 1 ) = 一1 2 e o s a r e 。 扰动方程式( 3 - 2 卜( 3 4 ) 是二维流动稳定性的基本方程。其边界条件为固体边界的无 滑移条件和液膜表面或交界面上的应力条件。 3 3 1 2 o r r s o m m e r f e l d 方程 对于二维扰动，引入流函数妒，并以下标表示偏导数的变量，通过妒得到： 矿= 钆，矿= 也 代入方程( 3 2 ) 和( 3 3 ) 得到： + u 一q 织= 一戌+ 三s r e ( 占2 + ) ( 3 - 9 ) 文+ u ) = + 去( 占4 ) ( 3 - 1 0 ) 边界条件变为： j ，= o ，吼= 纯= 0 ( 3 - 1 1 ) y = 1 ，+ ( 磁= 一纯( 3 1 2 ) y = l ，一s 2 = 3 h s i n o + 2 t ( r r h + f i 噬肋) ( 3 - 1 3 ) y = l ，p + 8 z 妒y r e + w e e 2 砖一1 2 h c o s a r e =