（应用数学专业论文）浅析指数风险模型有限时间内生存概率问题.pdf

摘要 摘要 本文简述了风险理论的相关知识背景，其次给出了指数风险模型有限时间 内生存概率的双边拉普拉斯变换并由其双边拉普拉斯变换的反演变换及留数定 理得到当理赔额服从指数分布时有限时间内生存概率的显示表达式，最后给出 了带干扰情况时有限时间生存概率的双边拉普拉斯变换。 关键词：指数分布双边拉普拉斯变换破产时刻 生存概率 a b s t r a c t a b s t r a c t f i r s t l y , s o m eb r i e fi n t r o d u c t i o na b o u tr i s kt h e o r yw i l lb eg i v e ni n t h i s p a p e r ；s e c o n d l y , t h ed o u b l e - l a p l a c e t r a n s f o r m a t i o no ft h ef i n i t et i m es u r v i v a l p r o b a b i l i t y , f o rw h i c ht h ec l a i mi n t e r a r r i v a ld i s t r i b u t i o ni s e x p o n e n t ，a n dg e t t h e e x p l i c i te x p r e s s i o no ft h ef i n i t et i m es u r v i v a lp r o b a b i l i t yw h e nt h ec l a i ms i z ei s e x p o n e n t i a ld i s l r i b u t i o nb yu s i n gt h ec o m p l e xi n v e r s i o no ft h ed o u b l et r a n s f o r m a t i o n a n dr e s i d u et h e o r e m f i n a l l yt h ed o u b l e l a p l a c et r a n s f o r m a t i o no ft h ee x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o nw h e nt h em o d e li sd i s t u r b e db yd i f f u s i o nw i l lb eg i v e n k e yw o r d s ：e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nd o u b l e - l a p l a c et r a n s f o r m a t i o n t h et i m eo fr u i ns u r v i v a lp r o b a b i l i t y n 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：赤p 丢奏丢 7 年午月7 日 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：赤p 若奖三 b 口尹年年月 e t 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在 年解密后适用本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 引言 引言 近几周来，美国遭遇了自1 9 2 9 年经济大萧条以来最大的金融危机，现在这 场波及全球的金融风暴仍在持续。虽然这场危机肇始于华尔街金融市场，但它 与一年前发端的次贷危机有着密不可分的关系。因放任市场自由发展，许多金 融机构和投资者为追求高额利润，滥设复杂的金融衍生产品，盲目进行金融手 段的创新，深陷纯粹的金钱游戏中不能自拔，使美国经济的投机程度大大加深， 也大大提升了金融领域的风险。但在反对一切政府干预和宏观调控的政策下， 政府放弃了对市场的有效监管，金融市场的高风险性也无法得到有效控制。高 度自由最终导致金融风险爆发，对金融系统和实体经济造成严重冲击。而保险 风险理论以概率统计为研究工具对保险经营中的损失风险和经营风险进行定量 的刻画、建立模型和研究模型的性质，并为现实的保险经营中进行有效的风险 分析和控制提供技术支持。 一、相关知识背景简介及文献综述 一、相关知识背景简介及文献综述 s t u l z 于1 9 8 4 年首次尝试从理论上解释企业为何要进行风险管理。在精算 数学( a r t i c l em a t h e m a t i c s ) 的范畴内，破产论( r u i nt h e o r y ) 是风险论( r i s kt h e o r y ) 的核心内容。现已公认，破产理论的研究溯源与瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于 1 9 0 3 年发表的博士论文l ，至今已有近百年历史。事实上，一类重要的随机过 程，即p o i s s o n 过程，正是l u n d b e r g 首次在这篇论文中提出的。不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准。其严格化是以h a r a l dc r a m & 为首的瑞典学 派完成的，是c r a m 6 r 将l u n d b e r g 的工作建立在坚实的数学基础之上。与此同 时，c r a m & 也发展了严格的随机过程理论，为概率论和数理统计的发展做出了 重要贡献。现已公认，l u n d b e r g 和c r a m & 的工作为经典破产理论的基本定理。 然而c r a m & 的证明虽然在数学上是严格的，但分析方法较繁冗，f e l l e r 的更新 论证和g e r b e r 的鞅方法给予了相对简洁的证明，并已成为研究经典破产理论的 主要数学工具。 当代研究破产理论的领先学者是h a n su g e r b e r ，他不仅将鞅方法引入到破 产论的研究中，而且深化了经典破产论的研究内容。g e r b e r 在2 0 年前写的数 学风险论导引1 一书已成为当今这一领域的经典著作。g e r b e r 及其合作者将 索赔总额进行了推广，并引入了破产赤字( d i f i c i to fr u i n ) 破产前瞬时盈余 ( s u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i n ) 两个刻画保险公司破产情形的随机变量，使 得破产论更加丰富完善。还有一些其他有代表性的研究方向，下面做一下简介： ( 一) 经典风险模型大部分的研究是关于连续时间的，近期也有一些作 者对于完全离散的经典风险模型展开了研究。 ( 二) 经典破产论研究的是关于“小索赔隋形的破产论，但对于调节 系数不存在的“大索赔情形，即重尾分布的破产论研究就必须启用亚指数分 布等新数学工具3 。 ( 三) 对于涉及随机投资收益的破产论研究工作需要随机分析的知识， 难度较大，且不易得到经典破产论那样漂亮的结果，因而目前还未成为保险学 研究的主流方向，但在应用概率领域的研究中颇受关注。 ( 四) 精算数学和金融数学的交叉研究。g e r b e r 和s h u i 合作利用传统 2 一、相关知识背景简介及文献综述 精算数学的工具，讨论了未定权益( c o n t i n g e n tc l a i m ) 和永久性期权的定价， 为经典破产论的研究注入新的活力。 国内外的相关研究已经有很多成果发表。文献 2 利用拉普拉斯变换给出了 经典风险模型下的最终破产概率的精确表达式。文献 3 系统探讨了完全离散的 经典风险模型，对于任意正初始盈余情况给出了最终破产概率或概率的递推解， 变换解与显示解。而关于有限时间内破产概率的研究，大部分给出了数值解或 上下界的估计，或渐近表达式，有关有限时间内生存概率的显示解的研究相对 较少，如文献 4 j 研究关于一类风险过程的破产概率，其中一类索赔可产生另一 类索赔且索赔时间可延迟。得到了破产概率的上下限，并给出了索赔为指数分 布的情形下破产概率的解析表达式；文献e 5 j 研究经典风险模型中破产概率的渐 近行为，利用几何方法获得索赔额的分布属于s ( r ) ，y 0 时破产概率的一个局 部渐进式并给出一个具体的数值例子；文献 6 采取有限部分推导与随机模拟相 结合的方法，对具有随机收益率的一类离散风险模型在净损失额为p a r e t o 分布、 随机收益率分别为均匀分布p a r e t o 分布与w e i b u l l 分布情况下的有限时间破产 概率的渐近表达公式迸行了探索性研究。而文献 7 给出了理赔时间服从 e r l a n g ( 2 ) 分布，理赔额服从指数分布时有限时间内生存概率的显示表达式；文 献 8 则介绍了具有指数索赔的经典风险模型并综述关于该模型破产概率的研 究成果及相应的研究方法。联系文献 7 8 ，为更贴切的描述现实的风险运作 过程，同时为了使模型处理简便，本文假设理赔时间服从指数分布，进而得到 有限时间内的生存概率的双边拉普拉斯变换，并利用其反演变换及留数定理得 到当理赔额也服从指数分布时有限时间内的生存概率的显示表达式。最后讨论 带干扰情况时有限时间内的生存概率的双边拉普拉斯变换。 二、模型介绍及符号说明 模型介绍及符号说明 本文考虑一个保险公司，以u ( t ) 表示该公司在时刻t 0 的盈余，有 u ( t ) = u + c t y ( f ) 上述c 是一个常数，表示单位时间内收到的保险费；u ( 0 ) = 甜 _ “l 为公司的初始盈余；记y ( f ) 为区间( o ，t ) 内的索赔总额，有】，( f ) = x i ， y ( o ) = 0 ，( f ) 为( o ，t ) 内的理赔次数；留。，k 1 ) 和级，k 1 ) 是两列独立同分 布的非负随机变量序列，x i 表示七次理赔额，k = l ，2 ，分布函数为f ( x ) ， 设其可微且f 7 ( 石) = f ( x ) ，本文中仅考虑f ( x ) = 2 e 砘的情况，瓦表示第k 1 次 与第k 次理赔之间的时间间隔，服从指数分布，概率密度函数k ( t ) = 艮一，t 0 ， 为尺度参数。 由于赚得保费，随机过程u ( t ) 随时间连续增加，又由于对索赔事件的赔付， 该随机过程会逐段有下跳。当盈余为负时我们说破产发生了。 一般地，以y ( x ，t ) 表示初始盈余为“，到时刻t 的破产概率，以 a ( x ) = 1 一y ( 工) 表示最终生存概率，以 a ( x ，f ) = 1 一y ( x ，t ) ( 1 ) 表示生存到时刻t 的概率。 对于任意非负函数g ( y ) ，在复平面内定义其拉普拉斯变换为 雪( s ) = f p 一秽g ( y ) d y ；对于二元函数g ( x ，y ) ，定义其双边拉普拉斯变换 季( 万，j ) = c oc oe 一- 矽g ( x ，y ) d x d y 。 记函数矽( “) = e k i r 。l u ( o ) = “j ，其中i 为示性函数，万定义在复平面内 且实部非负。显然万= 0 时，痧( 比) = 少( “) 。( “) 可看作随机变量r 相应的拉普拉 斯变换。 4 三、理赔额服从参数为旯的指数分布时，有限时间内的生存概率 三、理赔额服从参数为a 的指数分布时，有限时间内的生存 概率 命题1 矽 ) 的拉晋拉斯燹换为 鱼夕( s ) 一旦一= - - f l ( f ( m ) 一1 ) 矽( s ) = ，l 下二 ( 2 ) 。 c s p 一万+ p f ( s ) 。 其中m 为四一p 一万+ 夕0 ) = o 的根。 证明：由文献r 9 l 1 0 2 ，根据首次理赔发生的时刻及首次理赔额的大小， 由全概率公式有 = f ok ( t ) e - 6 t r 矽( “州一工) 似) d x d t + f ok ( t ) e 4 e d m ) d x d t ( 3 ) 令u + c t = s ，将k ( t ) = p e 一加代入，两边对“求导，有 c 妒( “) = ( + 万) ( “) - p ( j ：( “- x ) f ( x ) d x + if ( x ) d x ) 瑚 一v，工 ( 4 ) 对上式两边进行拉普拉斯变换，有 f e e “矽 ) a u = f o ( e + 8 ) e - m d u f 肛j ：矽( u - x ) f ( 工) d x d u f 尾咧f 厂 ) d x d u c s 乒( j ) 一c 矽( o ) ：( + 万) ；( s ) 一夕( s ) ；( s ) 一旦+ ：- a s ) 整理得 曼夕( s ) 一旦+ c ；2o 南 5 由文献 2 知，上式分母的零点( 记为s = m ) 同时也是分子的零点，即 旦夕( 脚) 一旦+ c ：0 ( 6 ) 三、理赔额服从参数为a 的指数分布时，有限时间内的生存概率 求解上式，得 矽( o ) ：旦( 1 一夕( m ) ) c m 代回( 5 ) 式即得命题成立 命题2 a ( u ，t ) 的双边拉普拉斯变换为 瓠回5 赢i 历8 - m 丽丙 s 研i 岱一一d + p ，i sj j ( 7 ) # 其中m 为铅一一万+ 夕( s ) = 0 的根。 证明： 盯( ，t ) = 1 一甲( “，t ) 的双边拉普拉斯变换 舍b ，酗= 鬟襄e 咄岫。札，t ) d u d t = 要e 1 。d u 要e 。td l 一妄妄e 1 一t 飞心，t ) d u d t 而 = 卜翩矽 ) a n = 一，p 嘲甲( ”，o ) d u + p 1 万甲( “，o ) a x 000 = 一j e - 棚t f ( “，o ) d u + p 一删万，p 可、壬， ，f ) 幽出= 万，e 一刁。、壬， ，t ) a u a t 0000 0 结合两式，有 ，万) = 万1 一吉蛔 将式( 5 ) 代入上式，有 椰) = 上s t ) 。者蒜缸) s c 一8 6 + 8f 1 s 、 ( 9 ) 与命题1 的证明类似，s = m 是上式分母的零点，从而也是上式分子的零点， 于是有 l 一：旦 m c 代回( 9 ) 式，得命题2 成立。 # 6 三、理赔额服从参数为允的指数分布时，有限时间内的生存概率 命题3 当理赔额服从参数为兄的指数分布时，有限时间内的生存概率为 m 力= 南p 竽一研0 , 2 p ( p - 1 x u + t ) 半+ e - o r ( + 兄) “。2 t e - p t ( 夕+ 兄) + 3 ( 工+ f ) 七 一旯惫；后! ( 七- i - 2 ) !惫孑 七! ( 七- i - 3 ) ! 证明： 考虑每次的理赔额服从均值为a 的指数分布，即x ，的概率密度函数为 厂( 功= 2 e 一缸 的情况，其拉普拉斯变换为 夕2 r 似肛嘉 代a c s - p 一万+ f l f ( s ) = 0 ，有 c s 2 + ( c 2 一一万) s 一懿= 0 设上述方程的两根为m ，m ，由结论( 二) ，有 讹回= 可万( s 瓦- m x 硐a + s ) ( 1 。) 为方便计算，以下计c = 1 ( 可理解为一个单位) 。 先对s 做反演变换，由留数定理知彦( “，万) 即为e s u b ( s ，万) 在复平面内孤立奇 点的留数之和。由于而= m 为可去奇点，故在该点的留数为零，s ，= m ，j ，= o 均 为一级极点，经计算有r e s ( e u 吾( s ，万) ) ：塑兰垡型p m ” 5 = 肘 。“ m ( c m 2 - t - 觑) r 。e s ( e 础u ( s ，万) ) = 于是有子( “，万) = 吾+ 羔墨：；粼p j | i f 。 ( 1 1 ) 三、理赔额服从参数为旯的指数分布时，有限时问内的生存概率 由根与系数的基本关系有 m + m = 一；l + p + 5 t 慨= 一砚 并且 肘2 + ( 兄一一s ) m 一8 1 , = 0 由式( 1 2 ) ，式( 1 3 ) 有 万= m ( 1 一南 旯( 一m a ) m = = 二 代入式( 1 1 ) ，有 ( 1 2 ) ( 1 3 ) e ，。彦( 玩艿) ： 丝墨 2 忡南) 一 丝生 2 肌+ f 篇( 1 4 ) 、77 m ( m - i - 允一口)m a ( m + 元一口) 经判断，( 1 4 ) 式有三个孤立点， 式在这三点的处的留数： 睫“号( 掰，万) ) = o 分别是p a ，一旯，0 。下面是求解( 1 4 ) ( i s ) 髓彬) ) = 南p 学一南州掣 ， 计算必= 一力的时候需用到( 1 4 ) 式的洛朗展式 p 耻右南丕- 可( m t ) 丕- 器 于是有 一 竺：竺丝：堡! ! 鱼墨! m g t ( m + 旯一) 台 七! 岳刀! “彳+ 旯y 一2 8 三、理赔额服从参数为旯的指数分布时，有限时间内的生存概率 黝铷舢，= 若盖嘴一茄盖帮， 而由留数定理，有 盯0 ，f ) = r e s ( e j 子0 ，万” 将式( 1 5 ) ( 1 7 ) 代入式( 1 8 ) ，即得命题3 成立。 9 ( 1 8 ) # 四、当理赔额服从参数为见的指数分布时，带干扰时有限时问内生存概率的双边拉普拉斯变换 四、当理赔额服从参数为旯的指数分布时，带干扰时有限时 间内生存概率的双边拉普拉斯变换 若模型带干扰，即u ( t ) = “+ c t y ( t ) 一b ( t ) ，t 0 ( 符号说明与前面一致) ， 口( f ) 是参数为o r 的维纳过程，且召( f ) n ( o ，2 d t ) ，( d = 去盯2 0 ) ， 命题4当理赔额服从参数为旯的指数分布时，带干扰时有限时间内生存 概率的拉普拉斯变换为 蛔= 而i 再再丽万丽再f l 而( m - i s ) 万万百面f 而而 季中聊黼m 堋删尻m + 尻m ( 1 + 加懈。 s 。，：了i 专兰亳 篙z 一五锄7 s o ，2 斋l 篙1 巧一五锄7 j 其中e l = 7 ，d = 仃“，m ( n t ) p o s s i o n ( a n t ) ，由中心极限定理知 s 。( f ) 一b ( f ) 引理：设巧为独立同分布的随机变量序列，e 巧= 0 ，x 。( f ) = 芝。巧或墨是 具有平稳独立增量的随机过程，设色( f ) = 以0 f ) ，助平稳独立增量的随机过程， 若对t 【o ，) 有 d d 邑( f ) j 孝( f ) 则有色寸孝 证明见参考文献 8 中的定理9 一 不妨设= = 盯= l ，那么s 。( f ) = 詈篙巧一石万厶记 甜勖一再酗+ 河吣。河= 屉， l o 四、当理赔额服从参数为a 的指数分布时，带干扰时有限时间内生存概率的双边拉普拉斯变换 则 n ( t )m ( n t ) ：o ) = u + c 。t 一x j 一】，7t 0 ， i = i = l 此时u ：( f ) 可看作两类独立索赔的风险模型。由引理及 s 。( f ) 专b ( f ) 知s 。一召，从而可用以( f ) 来近似表示u ( t ) ，对u ：( t ) 而言， m ( n t ) 一p o s s i o n ( t ) ，设其时间间隔为k ，且k e x p ( 2 ) ；n ( t ) p o s s i o n ( f 1 ) ， 设其时间间隔为，且一e x p ( ，) ，j = 1 , 2 ，此时记该过程的折现罚金 函数仍为矽( “) = e e i r 。lu ( o ) = ”】由第三部分知要求盯( 甜，f ) 只需求出矽( s ) 。 令： m = m i n e ，形) ，则由全概率公式有 ( “) = f p ( m = f ，m = 彤) p 可1r 州f 6 ( u + c t - x ) 崛( 工) + 二d 珥( z ) p + p ( m 乇m 硼p 嘶 f ：i + d ( u + c t - x ) 崛( 卅c d 峨( 工) p 注意到 p ( m = ) = p ( tm = 彬) = e 一”+ ，” 船) = 南r e ( 2 + p ) t e5 t i j ：树矽( u + c t - 工鹏+ e 4 - 口峨卜 南r e - _ ( a + p ) e - a s ：州痧( u + c t - x ) r i g ( 卅e 甜珥( x ) p 若x 与y 腥丛均值为1 的指数分布，即厶( x ) = p ，矗，( 工) = p ，则有 i t ( x ) = p 叫物1 将其表达式导入上式，化简整理有 四、当理赔额服从参数为a 的指数分布时，带干扰时有限时间内生存概率的双边拉普拉斯变换 却+ 删认旷南胁叫p 吖出一南p 出一 南胁叫厉e 掘出一南f 尻e 岳出 南击缸，+ 卜彤坍叭南焉卜叫 一而f l 鬲1 一硒3 , 丽1 ：，、c ( 允+ 觥+ s ) ( s + 、殇) + ( s + 殇) 一a ( 1 + s ) 丸( s ) = 了= 亍匕兰f j 匕二二了= 尹 f l ( s + 殇) + ( a + ) ( 1 + s ) ( s + 殇) 汹一a 一一万) + 旯( 1 + s ) 殇 c 删旯+ ) ( 1 训( m + 疡) + f l ( , n + 尻m ( 1 训= o 、a ( 1 + m ) 一f l ( m + 、n d ) 矽( 0 ) = 亨 c ( a + ) ( 1 + 肌) ( 聊+ 殇) 因此，可解得 丸( s ) = a ( 1 + m ) - f l 下( m + n d ) ( 1 删( s + 尻m ( s + 厉m ( 1 删 ( 1 + m ) c m + 4 n d ) 。7 “ 7 “ f l ( s + 尻) + ( 旯+ f 1 ) ( 1 删( 什n 尻d ) ( c s 允一棚圳l 删尻 1 2 四、当理赔额服从参数为力的指数分布时，带干扰时有限时间内生存概率的双边拉普拉斯变换 d 则，丸( s ) 一矽( s ) ；( s ) = 而i 再而丽两丽万f l 琢( m - i s ) 万万酉赢矸而 命题5a ( u ，t ) 的双边拉普拉斯变换为 由定理2 知，指数分布模型有限时间内的生存概率的双边拉普拉斯变换为 善( j ，万) ：三一三 ；( s ) 经化简可得 s bd 缸两：g 竺二掣幽塑! 型! ! 竺迎：丛巡竺二墨= 壁：盟、7 蠡( 1 + 肌) + ( a + f 1 ) ( 1 + s ) ( c 苫一a 一夕一万) + 兄( 1 + s ) 】 五、当理赔额服从参数为五的指数分布时，带干扰时有限时间内生存概率的双边拉普拉斯变换的表示方法 五、当理赔额服从参数为五的指数分布时，带干扰时有限时 间内生存概率的双边拉普拉斯变换的另一种表示方法 若模型带干扰，即u ( t ) = u + c t y ( t ) 一b ( t ) ，t 0 ( 符号说明与前面 一致) ，且b ( f ) n ( o ，2 d t ) ，( d 0 ) ，其中y ( t ) - 与b ( t ) 是两个相互独立的过程。 命题6当理赔额服从参数为旯的指数分布时，带干扰时有限时间内生存概率 的拉普拉斯变换为 如，：型竺兰兰竺砻囫 其中p 为林德伯格方程d 善3 + ( 舾+ c ) 善2 + ( c 2 一旯一万) 告一元艿= 0 的非负解。 证明： 若对于上这个问题我们从不同的角度去考虑。由于索赔和干扰两个过程是 相互独立的那么我们可以将整个过程分成两部分来考察，则此时 矽 ) = c o o 九 ) + 九( u ) 其中 九 ) = e p i ( t o o ，u ( 丁) = o i u ( o ) = “) 】是由摆动引起的破产概率的数学 期望， 如( “) = e k c o ( u ( t ) ) i ( t o o ，u ( r ) o i u ( o ) = ”) 】是由索赔引起的破产概率 的数学期望， 1 4 五、当理赔额服从参数为五的指数分布时，带干扰时有限时间内生存概率的双边拉普拉斯变换的表示方法 对( 掰) 求两次导数可得， d 矽( “) 。+ c 矽( “) = 兄矽( 甜) 一2 膨( u - x ) d f ( 石) 接下来，我们考虑一个长度为刃的时间段，无论在这个时间有没有索赔， 我们都可以得到 研( 掰+ c e d t + c o ( a t ) ) 】= ( 掰) + c 盔7 ( 掰) + d d t # ( “) 从0 一y 关于“积分。由于( 0 ) = 0 ，所以 d ( d + c 矽( ，) = d ( o ) + 兄e ( 1 ，- y ) 1 一f ( y ) d y 进一步计算可求得， ) = 一y ) g ( y ) 方+ p 一删+ r c o ( u - y ) g ( y ) d y - e 一。r c o ( 一y ) g ( y ) d y ( 1 7 ) 其中g o ) = d 兄_ _ _ ，f 。y e - - a ( y - s ) 。 。y e - , ( x - , ) d f ( 石) 凼，口= 虽+ p ， p 为林德伯格方程d 亏z + 五时p 一乒p ( 功出一1 1 + c 善一万= o 的正解， 经过计算可求得， 3 3 9 + c f 一2 7 d 2 五万一9 d ( a d + c ) ( c 见一力一万) + 2 ( x d + c ) p 2 一j 五_ + 二j 言五歹二一+ 【( 型堕丝唑券丛坐丝盟) 2 + ( 墨塑篓塑) ，捧+、 9 d 2 7。 f 一2 7 d 2 五万一9 d ( m ) + c ) ( c 兄一, , l - 5 ) + 2 ( z d + c ) 3 、 一5 4 d 芦咝竺堕嵩掣型型型) 2 + c 3 t b d - ( 3 3 9 + c ) z ) 3 】v i 1 9 d 7。 五、当理赔额服从参数为五的指数分布时，带干扰时有限时间内生存概率的双边拉普拉斯变换的表示方法 为 ( y ) 是任意给定的罚金计划函数。 对( 1 7 ) 式关于( 甜) 作拉普拉斯变换，有 鼬= 衲删+ 羔+ 肛c 。c o ( “一y ) g ( y ) d y d u - i - o 一面( s ) 荆 s口 oj u 一击c 。国( 叫以肭 ( 2 0 ) 如，：墨竖4 4 1 0 - - s i t 竺t 。竺篙笠1 巡 当理赔额服从指数分布时，即f ( x ) = l e ，可求得p 满足的林德伯格方程 d 孝3 + ( a d + 力专2 + ( c 2 一五一万) 告一允万= 0 并且 m ) = 丽百( e - - 缈_ e - ( 2 p + 2 ) y ) 对( 2 0 ) 式关于g ( u ) 作拉普拉斯变换，得 郎) 一丽砑击 则当理赔额服从指数分布时， 1 6 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 五、当理赔额服从参数为a 的指数分布时，带干扰时有限时间内生存概率的双边拉普拉斯变换的表示方法 ( s ) =未+ f 口叫脚删拙悯s 面丽嵩雨厕 l + 笙 d ( 2 + p ) 0 + 口) 0 l - 2 p 十五) 命题7a ( u ，t ) 的双边拉普拉斯变换为 吾(s，万)：一d(3,+p)(s+a)(s+2p+a)+3,2-sd(2+p)(s+2p+a)coo 、7 s 6 d ( a + p ) ( s + 口) ( j + 2 p 4 - 旯) + # s d ( 2 + p ) ( s + 口) ( j + 2 p + a ) f e f 国 - y ) g ( y ) d y d u - s 兄2 c b ( s ) s 6 d ( 2 + p ) ( s + 口) ( j + 2 p + 五) + 矛】 s d ( a + p ) 0 + 2 p + a ) i c o ( - y ) g ( y ) d y s 6 d ( 2 , + p ) ( s + 口) ( j + 2 p + 五) + 】 其中p 为林德伯格方程d 善3 + ( x d + c ) 善2 + ( c 2 一旯一6 ) 4 一旯万= 0 的非负解。 证明： 由定理2 知，指数分布模型有限时间内的生存概率的双边拉普拉斯变换为 吾( s ，万) = _ 1 一 乒( s ) 经化简可得 1 7 五、当理赔额服从参数为允的指数分布时，带干扰时有限时间内生存概率的双边拉普拉斯变换的表示方法 吾0，万)：一d(2+p)(s+a)(s+2p+a)+22-sd(2+p)(s+2,0+2)coo 、77 s s d ( 2 + p ) ( s + 口) ( s + 2 p + 旯) + s d ( a + p ) ( s + 口) ( 2 p + 旯) f p 一鲫c 。c o ( “一y ) g ( y ) d y d u j 矛荆 s 万 d ( a + p ) o + a ) o + 2 p + a ) + 刀】 s d ( a + p ) o + 2 p + 五) f 国( 一y ) g ( y ) d y s g d ( 2 + p ) ( s + 口) ( j + 2 p + 彳) + 牙】 1 8 六、结束语 六、结束语 随着社会的进步和经济的发展，影响经济的风险因素变得越来越复杂， 本文的模型是将实际生活中的例子进行了简化，实际生活中保费收入往往不是 线性函数，而是一个服从某种分布的随机过程，因此本模型还可以作进一步的 改进。 1 9 致谢 致谢 在本学位论文的写作过程中得到了老师、朋友及家人的关系和帮助，在此 向他们表示真挚的感谢。正是由于他们的关心与帮助，使我顺利走过人生路上 重要的一步，并对我以后的工作、生活产生极大的影响。 首先，我衷心感谢我的指导老师张春生教授。在本文的写作过程中得 到张教授的悉心指导与热忱帮助。去年七月份老师布置了题目并指出相关的参 考资料。中间多次打电话询问进