好玩的循环小数.doc

好玩的循环小数将分数化为小数，有时会出现循环小数，譬如：1/7=0.1428571428571428571/17=0.058823529411764705882352941176471/61=0.016393442622950819672131147540983606557370419180327868852459016934426299508196721311475409836557377049180327868852459表示这3个循环小数的轮盘两侧任何正对的两个数字相加，正好都等于9，如下图1/7的轮盘，相对两书1+8=9,4+5=9,2+7=9。1/17和1/61的情况与此类似。 1 7 4 5 2 8但是，并非所有的循环小数都具有这个特点。那么，什么样的循环小数具有这个特点，而什么样的又不具有呢？我利用暑假研究了这个问题和循环小数的其他一些有趣特点。循环小数的循环周期循环小数种循环出现的数字叫做“循环节”，所谓循环小数的循环周期也就是指循环节数的位数，显然，若1/n是一个循环小数，则其循环周期可能的最大值等于（n-1）。循环周期是循环小数的一个重要参数，循环小数的许多重要性质就是由循环周期决定的。首先我们注意到，循环小数的轮盘两侧任何正对的数字相加，都正好等于9，那么，循环节前一半数字和后一半数字相加，就等于若干个9。因此，循环小数的轮盘两侧正对的两个数字相加正好都等于9这一性质成立的第一个条件就是循环周期为偶数。但是，并非所有满足这一条件的轮盘两侧正对的两个数字相加就等于9。但凡循环周期喂最大值（n-1）的则其轮盘两侧正对的两个数字相加一定正好都等于9当然，循环周期为最大值（n-1）。只是这一性质得到满足的充分条件而非必要条件。例如1/13=0.076923076923，其循环周期为6，只是n-1=12的一半，但其循环节的前一半076加后一半923之和也等于9。循环数的形成 重复同一数字可以看成是比率为1/10的等比级数各项之和，比如： 666=600+60+6 循环小数也可以通过把某些等比级数以一定方式相加而获得，例如，可以通过把1,3,9这个等比级数列以如下方式相加而获得142857： 1 3 9 27 81 243 729 2187 : :142857142857 也可以通过把7,35,175这个等比级数列有后往前相加而获得142857： 7 35 175 875 4375 21875 109375 ： ：857142857142857 最奇妙的恐怕是可以通过14,27,56这个等比级数列以如下方式相加而获得142857： 14 28 56 112 224 448 896 1792 3584 : :142857142857循环周期不是最大值的循环小数的奇特性质 前面说到循环小数1/13的循环周期为6，只是最大循环周期n-1的一半。那么这个循环小数有什么性质呢？我们用2、3、4、11、12去乘1/13，看看出现什么情况：1/13*2=0.1538461/13*3=0.2307691/13*4=0.3076921/13*5=0.3846151/13*6=0.4615381/13*7=0.5384611/13*8=0.6153841/13*9=0.6923071/13*10=0.7692301/13*11=0.8461531/13*12=0.923076我们看到，这里出现了两个循环数，一个是076923，另一个是153846前者出现在1/13乘1,3,4,9,10,12中，后者出现在1/13乘2,5,6,7,8,11中。而将它均匀地安排在一个圆周上，这