（基础数学专业论文）按序列分布混沌(1).pdf

摘要 内容摘要：由紧致度量空间上的连续自映射诱导的系统简称为动力系统或紧致系 统，本文主要讨论动力系统的按序列分布混沌性，并作为应用探讨了一个交换经 济模型的混沌性状，具体结果包括： ( 1 ) 紧度量空间上的连续映射是分布混沌的( 即按自然序列分布混沌的) 当且 仅当它的任意次迭代也是分布混沌的。 ( 2 ) 给出并证明紧度量空间上连续映射是按序列分布混沌的一个充分条件，并 运用此结论证明了闭区间上连续映射是l i - y o r k e 混沌的当且仅当它是按 序列分布混沌的。 ( 3 ) 探讨微分算子动力系统的混沌性问题，并用构造性方法证明了微分算子动 力系统的按序列分布混沌性。 ( 4 ) 对一个涉及到两个个体和两种商品的交换经济模型进行混沌性分析。 关键词：紧度量空间；l i - y o r k e 混沌；按序列分布混沌；分布混沌；极小集； 微分算子；拓扑熵 a b s t r a c t c o n t e n t ：t h es y s t e mi n d u c e db yt h ec o n t i n u o u ss e l f - m a po ft h ec o m p a c tm e t r i cs p a c e i sc a l l e dt h ed y n a m i c s y s t e mo rt h ec o m p a c ts y s t e m i nt h i sp a p e rw em a i n l yd i s c u s s t h ed i s t r i b u t i v e l yc h a o t i cp r o p e r t i e si nas e q u e n c eo ft h ed y n a m i cs y s t e m ，a n da sa n a p p l i c a t i o n ，w ew i l ld i s c u s st h ec h a o t i cp r o p e r t i e so fam o d e l o f a ne x c h a n g ee c o n o m y t h em a i nr e s u l t sb es h o w e da sf o l l o w i n g ： ( 1 ) t h e c o n t i n u o u sm a po fac o m p a c tm e t r i cs p a c ei sd i s t r i b u t i v e l yc h a o t i c ( i e d i s t r i b u t i v e l yc h a o t i ci ns e q u e n c eo fn a t u r a ln u m b e r s ) f fa n do n l yi fi t se a c h i t e r a t ei sd i s t r i b u t i v e l yc h a o t i c ( 2 ) w ep r o v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ec o n t i n u o u sm a po fac o m p a c tm e t r i c s p a c ef o rb e i n gd i s t r i b u t i v e l yc h a o t i ci nas e q u e n c e ，a n db yt h i sr e s u rw e p r o v e dt h a tac o n t i n u o u sm a p o fa ni n t e r v a li sl i y o r k ec h a o t i ci fa n do n l yi f i ti sd i s t r i b u t i v e l yc h a o t i ci nas e q u e n c e ( 3 ) i no r d e rt od i s c u s st h e p r o b l e m a b o u tt h ec h a o t i cp r o p e r t i e so ft h e d i f f e r e n t i a b l eo p e r a t o rd y n a m i c a ls y s t e m ，w ep r o v et h ed i s t r i b u t i v e l yc h a o t i c p r o p e r t i e si nas e q u e n c eo ft h e d i f f e r e n t i a b l eo p e r a t o rd y n a m i c a ls y s t e mb y m e a n so fc o n s t r u c t i n g ( 4 ) d i s c u s st h ec h a o t i cp r o p e r t i e so fam o d e li n v o l v i n gt w oi n d i v i d u a l sa n dt w o g o o d s o fa ne x c h a n g ee c o n o m y k e yw o r d s ：c o m p a c tm e t r i cs p a c e ；l i - y o r k ec h a o s ；d i s t r i b u t i o n a lc h a o si nas e q u e n c e ； d i s t r i b u t i o n a lc h a o s ；m i n i m a ls e t ；d i f f e r e n t i a b l eo p e r a t o r ；t o p o l o g i c a le n t r o p y i v 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文 中除特别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的 研究成果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做 了明确的声明并表示谢意。 靴敝储鹕：锄辑 日 期。锄乡汐 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本文授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 并进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。保密 的学位论文在解密后使用本授权书。 靴敝储戤：锄街 指导教师签 日 按序列分布混沌 引言 混沌理论的基本思想起源于2 0 世纪初，发生于2 0 世纪6 0 年代后，发展壮 大于2 0 世纪8 0 年代，被认为是继相对论、量子力学后2 0 世纪人类认识世界和 改造世界的最富有创造性的科学领域的第三次大革命。 混沌理论研究的目的是要揭示冒似随机现象背后可能隐藏的简单规律，以求 发现一大类复杂问题普遍遵循的共同规律。因此，混沌学成了研究系统动态演进、 解释和建立系统复杂的混沌行为效应模型的理论依据和工具，并应用于地质学、 资源学、环境科学、生物学、化学、天文学等各个科研领域。混沌学研究的重要 特点就是跨越了学科界线，它的普适性、标度律、自相似性、分形奇怪吸引子、 重整化群等概念和方法已经超越了原来数理学科的狭窄背景。所以，混沌学已经 被认为是研究各个学科领域复杂问题的最好工具，并受到各国政府及学者的重视 和公认，成为各学科领域关注的一个学术热点。 自1 9 7 5 年，李天岩和j a y o r k e 在 1 中提出“周期3 蕴含混沌 的思想， 被认为是用严格的数学定义给出的混沌概念以来，各种混沌现象不断被发现，各 种分析方法和依据也相继被提出。然而，不同学科领域的科学家从不同的角度出 发，给出不同的混沌定义，而且各种定义之间是相互不等价的，例如，l i - y o r k e 混沌、分布混沌、d e v a n e y 混沌、拓扑混沌、一混沌等。这对一切从严格定义 出发的数学而言，显然是不允许的。因此，统一混沌的定义，探讨各个混沌概念 之间的内在联系就是十分有意义的事情了。为了揭示l i y o r k e 混沌和分布混沌 的内在联系， 2 给出了按序列分布混沌的概念，并证明分布混沌蕴含l i - y o r k e 混沌。 本文主要针对诸混沌概念中的按序列分布混沌展开讨论，具体安排如下： 在第一章中给出本文所涉及到的基本概念和引理，对动力系统和符号动力系 统进行简单介绍，详细给出l i y o r k e 混沌、分布混沌、按序列分布混沌、d e v a n e y 混沌、拓扑混沌和一混沌等的定义。 第二章详细给出本文作者在读研期间发表的学术论文的主要结果及其证明， 具体包括三个部分：一、紧度量空间上的连续映射是分布混沌的( 即按自然序列 分布混沌的) 当且仅当它的任意次迭代也是分布混沌的( 见2 1 ) 。二、给出并 证明紧度量空间上连续映射是按序列分布混沌的一个充要条件，并运用此结论证 按序列分布混沌 明了闭区间上连续映射是l i - y o r k e 混沌的当且仅当它是按序列分布混沌的( 见 2 2 ) 。三、探讨微分算子动力系统的混沌性问题，并用构造性方法证明了微分 算子动力系统的按序列分布混沌性( 见2 3 ) 。 作为应用，在第三章中分析了一个交换经济模型的混沌性状。 第一章动力系统与混沌 1 1 动力系统简介 设x 为紧致度量空间，：x 呻x 是连续映射。，可以看作是x 上的一个 作用：v xe x 在，作用下生成像点，o ) x ，厂继续作用：，( ，g ) ) 1 厂2 0 ) 。 这个过程可以无限进行下去，设厂o = i d ，即x 上的恒同映射，厂1 厂，2 一厂。厂， 一般地，对n 2 ，“- ，“o ，其中。表示映射的复合。 x 上的连续自映射序列 ，o ，厂，厂4 ，一称为x 上由连续自映射，经过迭 代而生成的离散拓扑半动力系统，记为僻，) ，简称动力系统或紧致系统。 设( x ，厂) 为紧致系统，如果紧致子集x 。cx 对厂不变，即f ( x o ) cx o ，称 ，在x o 上的限制映射，l 而：x o _ x o 所生成的紧致系统僻o ，i 秭) 称为( x ，) 或 ，的子系统。 子系统在动力系统的研究中扮演着重要的角色，大体而言，给定一个紧致系 统( x ，厂) ，我们要研究它的动力性状，而( x ，厂) 的每一个子系统的动力性状是 ( x ，厂) 的动力性状的一部分，且( x ，) 的全体动力性状可由它的全部子系统决 定。因而，有时我们要研究一个紧致系统的动力性状，只要在它的某个子系统上 讨论即可。 对每一点x e x ，称伽，o ) ，厂4 0 ) ，) 为x 在f 作用下生成的轨道，记作 o r b ( x ) 。动力系统的问题是多种多样的，但其核心问题却是轨道的渐进性质或拓 扑结构，即当露时轨道的极限性质。 定义1 1 1 设僻，厂) 为紧致系统，x g x ，如果3 n 0 使得，“g ) - x ，并且对 v i1 1 ，2 ，咒一1 ， ) 一工，则称x 为，的周期为厅的周期点。如果对 v 0 ，3 1 v 0 使得对任何整数q 0 ，3 r ：qs ， o ，使得( ) 一l 器掣去确吣) ( ，g ) ，厂( ) ，) ) ) - 0 ； 。 打卅7 ( 2 ) 对于v t o ，f 巧( t ) = l i m s u p - - , , - , 。n x t o , ) ( a ( f o ) ，( y ”) 1 1 。 文【2 】把分布混沌限制在一个正整数序列上，得到了按序列分布混沌的定义， 即分布混沌是按自然序列分布混沌的。 按序列分布混沌 定义1 3 3 设( x ，d ) 是一紧度量空间，厂：x x 连续，k 为x 的紧子集， 0 ， n 为正整数，称fcx 为k 的相对于厂的o ，f ) 一生成集，如果对v x e k ，砂e f 使得 d 。0 ，y ) 1m a x d ( 厂o ) ，厂( y ) ) if - o 工oo , g n 一1 s 。 令( 占，k ) 表示相对于厂的o ，占) 生成k 的子集的最小基数，则，的拓扑熵定义为 j l ( ，) 一s u p l i 婴l i m s u p 二l o g r ( e ，k ) 。 等式右边的k 取遍x 的所有紧子集。 引理1 3 1 设厂e c o 【，】，其中i = 【0 , 1 】。则，具有正拓扑熵的一个充分必要条件 是厂是分布混沌的。 证明 见【5 】。 引理1 3 1 说明区间连续自映射是分布混沌的当且仅当它有正拓扑熵。由于 存在具有零拓扑熵的混沌区间映射( 见【6 】【9 】) ，因此分布混沌与混沌不是等价的。 对一般紧系统而言，文献【1 0 】证明了分布混沌与正拓扑熵不等价。 定义1 3 4 设仁，d ) 是一个紧致度量空间， p 。) 是严格递增的正整数无穷序列， f ：x 呻x 连续。如果存在dcx ，使得对慨，ye d ，z y 满足 ( 1 ) | o ，使得( ， p 。) ) l i r a 。i 。n f 三z l o 。) 似( ，o ) ，( ) ，) ) ) 0 ， d _ n _ ( 2 ) 对于v f 0 ，有f 可( “p k ) ) - l 唑等p 丢蠢z m ) ( 厂 ) ， ( y ”) - 1 。 则称d 是厂的按序列 p 。的分布混沌集，满足上述条件( 1 ) f r - f i ( 2 ) 的两点x , y 称为 按序列分布混沌点偶。如果映射，有一个不可数的按序列分布混沌集，则称厂为 按序列分布混沌的。 由定义可知，分布混沌及按序列分布混沌是在u y o r k e 混沌基础上增加了对 轨道靠近或分开的频度的限制。分布混沌的映射是按自然序列分布混沌的，且按 某序列分布混沌的映射一定是l i y o r k e 混沌的。 引理1 3 2 设，e c o 【，】，其中i 一【o 朋，厂是l i y o r k e 混沌的，则在，中存在两个 非空下降闭集序列“) 和 e ，以及一正整数无穷序列伽；】- ，满足 ( 1 ) n 4t 口) ，nb i 一 6 ，口一b ； l 1l - j 按序列分布混沌 ( 2 ) 对v i 1 ，有厂一似) n ，( 垦) 4 + ，u 马+ 。 证明见【1 1 】。 定义1 3 5 设僻，d ) 是紧致度量空间，厂：x 一x 是连续映射，ycx ，伽； 是 给定的正整数递增序列，如果对任意连续映射g ：y 呻x ，存在 研； 的子序列 p i 使得。l i - m 。f ag ) 一g o ) ，v x e y ，则称集合y c j 关于伽i 是x i o n g 。混沌的。 定义1 3 6 设仞； 是正整数递增序列，分别称 p r ( f ，仞； ) 一 o ，) ，) x xiv e o , ：i i e n 使得d ( f o ) ，厂见( y ” 0 ，则称， 是拓扑混沌的。 定义1 。3 ，8 设scz 至少含有两个点，如果对v x ，ye s ，茗- y ，有 ( 1 ) w ( x ，f ) - w ( y ，厂) 不可数； ( 2 ) ，) f 1w ( y ，厂) 一驴； ( 3 ) 埘0 ，厂) 不含在周期点集中，即0 ，厂) 中含有非周期点。 则称s 为c o 一不规则集。如果连续映射厂：x 一x 有一个不可数的c o 一不规则集， 按序列分布混沌 则称，是0 3 一混沌的。 定义1 3 9 ，称为对初值敏感依赖的，如果j 6 0 ，使得对v x e x 和x 的任意 邻域u ，3 y e u 善和刀 0 ，满足d ( 厂4 0 ) ，f “( y ” 6 。其中6 称为f 的敏感常数。 定义1 3 1 0 设，厂) 是一个紧度量空间，称连续映射，：x _ x 为d e v a n e y 混 沌的，如果存在sc x ，( s ) c s ，使得下列条件成立： ( i ) f1 5 是拓扑传递的： ( 2 ) 厂i s 对初值敏感依赖； 第二章按序列分布混沌 2 1 迭代函数的分布混沌性 设( x ，d ) 是紧致度量空间，f ：x 呻盖是连续映射，表示厂的次迭代， 仞；) 是正整数递增序列。 记 ( 厂，工，y ，f ) 。荟y , i 。，) ( ，扛) ，厂( y ”) f ( ，x ，y ，t ) 一l i m s u p 二色( ，万，y ，t ) ，f ( f ，工，y ，f ) - l i i i l i n f 二( ，工，y ，f ) 月一刀 4 _ ” n 引理2 1 1 设f ：x _ x 连续，对慨，) ，x ，v n o 和v t 0 ，有 ( 1 ) 如果f ( 厂，工，y ，t ) - 0 ，贝i jf ( f ，z ，y ，t ) 一0 ； ( 2 ) 如果f ( ，菇，y ，t ) 一1 ，贝i j ，( ，x ，y ，t ) - 1 。 证明 ( 1 ) 如果f ( ，x ，y ，t ) 一0 ，则存在一正整数的递增序列协。) ，使得 纯( ，x ，y ，f ) z o 。 r ， 上” 令历t ；【等】，其中【眚】表示等的整数部分。则对每一个七，有 ( ，石，y ，f ) s 气( 厂，z ，y ，f ) ， 所以 按序列分布混沌 从而 因此 丢乞。( f s , x , y , t ) _ 。 - 0 ) ， 芸( ，训) 训 _ o ) ， 上厶。( 厂，x ，) ，f ) 一o ( k _ o ) 。 m k 且p f ( f n , x ，) ，t ) 一0 。 ( 2 ) 如果f ( ，工，y ，t ) 一1 ，则存在一正整数的递增序y u n 。) ，使得 令 由于 所以 熙丢气( 船) ，力一1 。 ( 2 1 ) 6 ( ，z ，y ，f ) 一群 f ：d ( 厂o ) ，0 ，) ) 苫f ，0 0 ，有 ( 1 ) 若对弧 0 ，f ( f ，工，_ ) ，s ) 。0 ，则m 0 ，使得f ( ，x ，y ，t ) 。0 ； ( 2 ) 若，( 厂，石，y ，s ) 一1 对所有s 0 成立，则对 0 ，有f + ( 厂，工，y ，t ) ，1 。 按序列分布混沌 证明( 1 ) 若对协 0 ，f ( f ，x ，y ，s ) 一0 ，则存在正整数的递增序列伽。) ，使得 一l i m l 仃七亭, ( ，毛y ，墨) _ 。， ( 2 4 ) 因为x 是紧的，i 掀j i 一1 2 ，是一致连续的，所以对每一个固定的s 0 ， | f 0 ，使得对任意夕，qe x 和每一个f 一1 ，2 ，n ，当d ( ，p ) ，f ( g ”2s 成立 时必有d ( ，p ) ，f ) ) t 成立。所以 ( 6 ( ，工，y ，s ) - 1 ) 墨6 ( ，x ，) ，f ) ， ( 2 5 ) 其中6 ( ) 和6 ( ) 是式( 2 2 ) 中所定义的。 令m 。一n k n ，由( 2 3 ) 和( 2 5 ) 易得 土m k ( ，焉y 力s 丢( ，而y ，s ) + i 1 ， ( 2 6 ) 以i 。 由( 2 4 ) 和( 2 6 ) ，得 上。( 厂，石，y ，f ) _ o ( 七一) ， m k 即f ( f ，z ，y ，f ) - 0 。 ( 2 ) 固定t 0 ，因对v f - 1 , 2 一，n 一1 ，f 是一致连续的，故存在s 0 ，对 v p ，鸟x 和每一个f - 1 , 2 , ，一1 ，d 0 ，q ) 0 ，是分布混沌的当且仅当厂是分布混沌的。 证明 由引理2 1 1 和引理2 1 2 ，该定理得证。 2 2 按序列分布混沌的一个充分条件 引理2 2 1 设( 芝，p ) 是具有两个符号的单侧符号空间，仃是上的转移自映射。 则存在极小集j1m ( a ，仃) c ，使得仃i ，是拓扑弱混合的，其中口e a ( f ) 。 证明见 1 3 3 。 引理2 2 2 设( x ，d ) 是紧致度量空间，：x z 是连续映射，讯) 和 b 】是x 的非空下降闭集序列，伽；) 是正整数无穷序列，且满足条件： 0 ) n 41 和) ，n b i 一 6 ，a b ； ( 2 ) 对v i 苫1 ，有，一) n ，嘶( 量) 4 + 。u 置“。 设矽一“e ic i 能，置 ，ii1 2 ， ，则对于v c f 矽，存在x e g ，使得对 v k 之1 厂 ( x ) e c 其中p t - 七一1 , 2 ， 证明见【2 】。 引理2 2 3 设z 是至少含有两个点的可分的局部紧度量空间，：x - x 是连 续映射，则，是拓扑弱混合的当且仅当存在x 的一个x i o n g 一混沌的c 一稠密的 c 一型子集。 证明见 1 2 。 定理2 2 1 设( x ，d ) 是紧致度量空间，厂：x 呻x 是连续映射，似) 和 b i ) 是非 空下降闭集序列，伽。是一正整数无穷序列，且满足条件： ( 1 ) n a , i 口) ，nb i 一 6 ) ，口一b ； ： i - il ( 2 ) v i 之1 ，厂嘶0 ；) n 厂( 垦) 4 + lue + l 。 则，为按序列仞。，分布混沌的，其中p 。- 罗吃，k - 1 , 2 ， 钉 证明设枷j 是正整数无穷序列：m 11l , m ml m ( 2 4 + 1 ) m 。，n 乏1 ，由命题1 2 1 知存在不可数子集ec ，使得对e 中任意两点zi 石声2 ，y y , y ：，有无穷 按序列分布混沌 多个m 使得z 。- y 。的同时也有无穷多个n 使得x n 。y 。 令c 一 i c 能，置 ，i 一1 ，2 ，定义妒：e _ c ，驴- ，其中 c 。一像x 而l1 竺 并且对y n 1 ，当m “ gm 时， 印像乏二拿 由引理2 2 2 ，对v c 一 妒但) ，血ce x ，使得当七1 时有厂 c ) c 七+ l 。 令d 。缸cl c 妒陋) ) ，因为妒是单射且e 不可数，所以妒怛) 不可数，从而d 不 可数。因此下面我们只需要验证d 中的点满足定义1 3 4 中的两个条件。 设x ，ye d ，工- y ，则存在 ， 驴但) ，使得 厂 ) c i “，厂 ( y ) s t + l ，k 苫1 。 一方面，存在嘎- 使得对每一个f 当m 吩1 。因此，对于充分大的f ，有 去弘删肛等- 赤圳一，。 所以定义1 3 。4 中的第一个条件成立。 另一方面，由x ，y 同样可知存在刀j - o o 使得对每一个j 当所 - l 0 存在充分大的j 使得当m 。，- 1 is 朋厅，时有 d ) f ，d ( 且) f ，故当m 一一sf m 。，时，有d ( 厂a ) ，厂a ( y ) ) f ，所以 去弘麒肿m2 等。焘叫一， 所以定义1 3 4 中的第二个条件成立，定理得证。 定理2 2 2 设僻，d ) 是紧致度量空间，厂：x - x 是连续映射，h 是从厂到仃的 拓扑半共轭。则存在dcx 和一正整数递增序列亿) ，使得d 是厂的一个按序列 亿) 的分布混沌集。 按序列分布混沌 证明由引理2 2 1 ，存在极小集j a l ( a ，仃) c ，口彳( ，) ，使得仃【，是拓扑弱 混合的，由引理2 2 3 知存在盯的一个按正整数递增序列枷；，的x i o n g 一混沌集 cc j 。设e ：c ，是一个常数映射。由x i o n g 混沌集的定义知，存在 妇， c 枷，) 使得对砂，y ：e c l i m o r n ( y 1 ) 一! i m o r a ( ) ，2 ) 。 l l - _ 令疋：c _ ，是一个恒同映射，则存在 g i c 伽；，使得对渺，y ：e c ，y ，一y ： ；塑o r 劬执) 一t i m 嘶( y 2 ) ay 2 i l 因为，和盯是拓扑半共轭的，所以存在连续映射 ：z _ 芝使得j l 。，i l l 仃。h 。对 坳cc j ，选择x a ( d 使得h ( x ) 一y ，我们记d 为所有满足该条件的x 点的 集合，则而：d _ c 是一个单射。下面证明d 是厂的按某序列的分布混沌集。 对v x l ，石2e d ，砂1 ，y 2 c ，使得h ( x f ) 一y i , f 一1 , 2 ，则 l ；i m 。仃no ，1 ) = i m t y a ( y 2 ) i e 1 翼o r 所o 1 ) ) t ! i m c r n0 0 2 ”， l l - l i - f f o 一 因此 !imjil(厂“”。iim。h(fi-part n ：) ) i e 姆， o - ) 璺，no z ) l l i - 一 所以瓴，z ：) e a r ( f ，p ，) ) 。 又因为存在 口；) c 朋；) 使得 1 i m o r 嘶( y 1 ) 一1 i m 仃吼o o l ”一y i l i n t h ( x 1 ) ， l l ! i m o r 嘞( ) ，2 ) 一! i r a 盯吼q 0 2 ) ) 一y 2 一j i l 0 2 ) ， l l 一 所以 1 i m 厂协0 1 ) 一工l ，! i 翼厂吼 2 ) 一z 2 。 l - - - p a 0l 令o t 。 令6 一m i n t ，a ( f 吼( x 1 ) ，厂吼g 2 ”i f 一1 ，2 ，n - 1 0 ，则对 0 ，有 a ( f 吼o 。) ，厂吼o ：” 6 。 所以0 ，x ：) d r ( 厂，幻。 ) 从而 dx d c 彻( ， 阢) no n ( f ，佃； ) 。 按序列分布混沌 由引理1 3 4 知，存在乜) c 枷，) 使得dx dcd c r ( f ，乜 ) ，定理得证。 定理2 2 3 设f ：【毗】【0 川连续，则厂是l i y o r k e 混沌的一个充分必要条件是 存在递增的正整数无穷序列仞。) ，使得厂是按序列仞。) 分布混沌的。 证明充分性显然。下面证明必要性。 设厂是l i - y o r k e 混沌的，如果厂有正拓扑熵，则由引理1 3 1 知厂是分布 混沌的，从而是按自然序列分布混沌的。若，有零拓扑熵，则由引理2 2 3 知存 在两个满足按序列分布混沌定义条件的闭集序列，因此，是按序列分布混沌的。 2 3 微分算子的按序列分布混沌性 本节主要探讨内赋范线性空间( c 但，r ) ，”l i ) 上范数所诱导的解析函数度量 空间a 上的微分算子d 生成的动力系统0 ，d ) 的按序列分布混沌性，获得以下主 要结果： 定理设ac c ( e ，r ) ，么_ 厂：厂 ) 。善口；音，口；足i 工i 1 ) ，其中 r ，是级数的收敛半径，则微分算子d ：a 一彳是按序列分布混沌的。 2 3 1 基本概念与引理 设ez 【- 1 , 1 】，c ( e ，r ) 一 ，i 厂：e _ 尺，厂连续) ，定义范数8 厂i i 昌n 警if ( x ) l ， 则c ( 俾，r ) ，l i i i ) 是一赋范线性空间。令 么- fl f ( x ) 2 荟a i 音，口r 尺，i z i 1 是级数的收敛半径 ， 即彳cc ( e ，r ) 是在0 点可展成t a y l o r 级数的解析函数的集合。则对we a ，f 存 在任意阶导数，且a 是c ( 俾，尺) ，i i ) 的赋范子空问。在a 上定义度量 d ：w ，g c a ，d ( f ，g ) - - i i 厂一gi i 定义微分算子 d ：d o ( ，) 一厂，d 1 ( ，) 一厂，d 2 ( ，) a ，”，d 4 ( ，) 。，o ) ， 则似，d ) 是度量空间，微分算子d ：彳一彳生成动力系统似，d ) ，且对v f c a ， 坛e 和v n n ，有 按序列分布混沌 厂o ) 一砉口。百x i 口。+ 口声+ 口：酉x 2 + + 口。i x n + 。“( ，) 一砉；鲁一口。+ 口。“石+ ：酉x 2 + + 口州百x i + 引理2 3 1 伽；) 和慨) 都是正整数递增序列伽；) 的无穷递增子序列，则存在 伽。) 的无穷递增子序y 0 t ； ，使得 t r ( d ，仞； ) n d r ( d ，伯j ) ) cd c r ( d ，饥 ) 证明若如；) n 日。) 为无限集 y 。) ，因为 a r ( o ，佃l ) n d r ( d ，臼i ) ) ca r ( d ，饥) ) n d r ( d ，饥) ) 一妒， 结论显然成立。 若仞；) n 鼋； 有限，不妨设妇；) n 乜 - ，则v ( ，g ) 触( d ，仞，) ) n d r ( d ， q i ) ) ，有 ! i m0 d n ( 厂) - d n ( g ) 0 = 0 且存在6 0 对于y i e n 0 d 嘶( 厂) 一d 毋括) 0 6 。 选取一正整数序列伽；) ：n ，t1 , n 榭一2 k n 七 21 ) ，及正整数序列 能- i 2i i - 1 , 2 ，。取枷；) 的无穷递增子序列亿) ，使得对v i e n ，有 缸ji 1 j 主n k , c d i ，1 0 f i n k , 0 对充分大的f ，刀岛- 1 _ ，有 d “( 厂) 一d 。( g ) 0 1 ， l id 2 。1 ( 垂) i i = r e = l id 2 d ( 西x x ) l l d 2 1 ( 西) ( 1 ) 1 ， ) l l = d k 2 ( _ 1 + ；薹。南巾，妻，刍- 1 一) 。 同理0d 2 4 ) i l 1 。 ( 2 ) 因为 川毗卜；薹禹一两x 2 s t + 丽x 4 n + 3 + 由( 1 ) 知 i i o n 2 + l ( 刮i - d 1 脚一两1 + 两1 两+ ，则bc 彳且 b 不可数。 设仞，= 伽2 1 , n 2 ) ，仞；) = 伽2 + q ，刀，则妇。) n 吼卜；妒，且伽。) 和佃；) 都是伽2 一l , n 2 刀2 + q 的子序列。对v ，ge b ，由b 的定义知3 a ，卢尺使得 fio 两，gl 脚，a 0 d ( 厂) 一d n ( g ) 0 0 d a ( 口西) - d a ( m ) 0 _ i 一) d i 2 + 1 ( 西) 0 _ 0 ( f _ 0 0 ) ， 所以 ( ，g ) e a g ( o ，d ；) ) 。 又 i l d 缶( ，) 一d 田 ) l l = 0 d 珊( 砷) - d 吼( 胂) 0 。i 口一- - i l l0 2 ，- 1 ( m ) 州a - 仇呻) ， lia 一声d r ( m ) i l ia 一声i 、 7 所以( ，g ) e o r ( o ，栩； ) 。 由引理2 3 1 知，雄。) c 伽2 1 ，以2 , n 2 + 1 ) 使得b 是d 的按序列色) 的分布 混沌集，故( ，g ) e a r ( o ，仞； ) n d r ( d ，慨) ，即o ，d ) 是按序列饥】分布混沌的。 第三章一个经济模型混沌分析 3 1经济模型 下面我们简单给出所讨论的经济模型，更详细毹介绍请参阅 1 4 一 1 8 。 设有一个含有两个个体彳，口和两种商品x , y 的交换经济模型，其中彳，b 的偏 爱函数分别是x y k ，0 口 1 和x # y 1 - 卢，0 0 。设p 是x 相对于) ，的价格，则商品x 的超 需求函数是 z 0 ) ；卢y o p - o - a ) x o 。 ( 1 ) 按序列分布混沌 易求得z 0 ) 的不动点p 一缈o ( 1 一a ) x o ，设 p q + 1 ) 一p g ) + ，z 0 0 ”， ( 2 ) 其中y 0 是价格的调整速度( 这里我们假定是常数) ，由p ( f + 1 ) 一，( p o ) ) ，可 把( 1 ) 式写成 厂( p ) 。p + ，z ) p + ) ，( 盟一( 1 - a ) x 。) 。 p 易得到p p - 妒y 。是厂的极小值点，且该极小值厂西= 2 印y 。一) ，( 1 一口沁o 。 为了使函数厂对任意p 0 都有定义，则要求对坳 0 ，有f ( p ) 0 ，故只 需极，j 、值f ( p ) 一2 4 y f l y o 一 ，( 1 一a ) x o 0 4 丐严。 c 设k ，( ( 1 一口讧。) z 卢y 。，则k 2 厶。下面固定除了r 外所有参数的值： 缈o 1 ，t 1 。，。 则k - 3 6 7 ，( 2 ) 式化为 p q + 1 ) 一p o ) + ( y p q ) 一6 ) 玉，3 6 。 ( 4 ) 设q - 1 p ，则由( 4 ) 式知 留( f + 1 ) 1 p ( t + 1 ) - 3 6 q ( t ) 3 6 + k ( g o ) 一6 ) 留o ) 】一g ( q ( f ) ) ， 记g 鬈( 窖) = 3 6 q 1 3 6 + k q 2 6 k q 】。 下面一节我们将分析函数g 置( ) 的混沌特征，给出主要结论并证明。 3 2 相关引理和命题 引理3 2 1 存在有所有2 的方幂周期的非l i - y o r k e 混沌的映射，也存在有所有 2 的方幂周期的是l i - y o r k e 混沌的映射，但只有有限的2 的方幂的周期的函数 肯定是非l i - y o r k e 混沌的。 证明见 1 9 。 引理3 2 2 设厂：，一j ，i 一【o , l l 是连续映射，则，是l i y o r k e 混沌的充要条件 是存在序列仞。) ，p 。呻使得厂是按序列仞。) 分布混沌的。 证明见 2 0 。 按序列分布混沌 命题3 2 1 设厂：，_ ，i = 【口，6 】连续，则下列条件相互等价： ( 1 ) 厂有正拓扑熵； ( 2 ) ，是分布混沌的； ( 3 ) 厂是一混沌； ( 4 ) 厂是d e v a n e y 一混沌的。 上面四种条件都蕴涵厂是l i - y o r k e 混沌的，但反过来结论不成立。 证明见 1 9 。 命题3 2 2 设，：i ，i 薯【a , b 1 ，0sa b 连续，满足： ( 1 ) | ，l ( 4 ，b ) ，使得厂在k ，m 】上严格递增，在【优，b 】上严格递减； ( 2 ) f ( a ) 口，f ( b ) z ， 如果，2 沏) m ，厂3 伽) z ，其中ze ，b ) 是，的唯一不动点。则厂是拓扑混沌 的。 证明见 2 1 。 命题3 2 3 设f ：i 呻，i1 【a , b 】，如果厂有正拓扑熵，则，有由几乎周期点组 成的不可数的分布混沌集。 证明见 1 4 。 3 3 主要结论及其证明 首先，易知当o 虱时 g 二( 豉) 0 。其次，对vke ( 0 , 4 ) ，g x ( ) 有唯一不动点口16 。令b ( i o1g x ( 虱) ， a ( k ) tm i n g 置p 僻) ) ，蟊) ，记i 量1 陋( k ) ，6 ( k ) 】，由 1 3 中断言1 知g 置( ) ：i 鬈_ k 是连续函数。 ， 主要结论：g 鬈0 ：k _ k ，0 k 4 ，则 1 ) 当1sk 墨2 2 5 时，g 置( ) 不是l i - y o r k e 混沌的、分布混沌的、按序列分 布混沌的、拓扑混沌的、一混沌的和d e v a n e y 一混沌的。 2 ) 当2 7 8 k 4 时，g 量( ) 是l i y o r k e 混沌的，分布混沌的，按序列分布 混沌的，拓扑混沌的，一混沌的和d e v a n e y 一混沌的；并且有由几乎周期点构成 按序列分布混沌 的不可数的分布混沌集。 证明 1 ) 当g r p ( k ) ) 2 虱即6 ( 2 一、r - k ) j 、- k ( 5 + 2 k 一6 _ ) 芝6 i 毒1 墨ks 2 2 5 时，由a ( k ) 一蟊，知g 置( ) 是单调递减函数且除了唯一不动点留一6 之外没有任 何其他的周期点，所以由引理3 2 1 知g 芷( ) 不是l i y o r