立体几何建系描点专题讲义.doc

立体几何建系设点专题考点分析：引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。一、熟悉几个补形建系的技巧基本模型：长方体 ；（1）三棱锥,其中.特点：；四个面均为直角三角形。建系方法：（2）四棱锥P-ABCD,其中ABCD为矩形。建系方法：（3）正四面体A-BCD 建系方法：（4）两个面互相垂直建系方法二、建立空间直角坐标系的三条途径途径一、利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系例1、已知两个正四棱锥PABCD与QABCD的高都为2，AB4（1）证明：PQ平面ABCD；（2）求异面直线AQ与PB所成的角；（3）求点P到平面QAD的距离途径二、利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系例2、在直三棱柱中，ABBC，D、E分别为的中点（1）证明：ED为异面直线与的公垂线；（2）设，求二面角的大小练习题：如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点，（I）设是的中点，证明：平面；（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离途径三、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系例3如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形， ， ，为的中点。（）求异面直线AB与MD所成角的大小；（）求点B到平面OCD的距离。练习题：在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为的正三角形，点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点ABOCDA1B1C1（）求证：A1ABC；（）当侧棱AA1和底面成45角时，求二面角A1ACB的大小余弦值；三、求点的坐标的两条途径途径一、作该点在xOy面上的投影，转化成求该投影的横、纵坐标和该点到它投影的距离（即竖坐标）。途径二、过该点和z轴作xOy面的垂面，把空间的距离问题转化平面的距离问题。例4. 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为a,侧棱长为a建立适当的坐标系， 写出A，B，A1，B1的坐标；求AC1与侧面ABB1A1所成的角分析：（1）所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算；（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之解：（1）建系如图，则A（0，0，0） B（0，a,0）练4：请在下列图形中建立适当的坐标系，并标明图中所有点的坐标。（1）如图，在四棱锥中，底面是的中点.APEBCDABCD（2）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点立几建系设点专项练习1. 在正方体AC1中，E、F分别为D1C1与AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角的正弦值为（）Asin Bsin Csin D都不对2. 如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（ ）AB C D3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线BD与B1C的距离。4.四棱椎PABCD中，底面ABCD是矩形，为正三角形，平面PCD平面ABCD，E为PD的中点，（1）求证：PB 平面AEC；（2）求二面角EACD的大小.5.如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面， 分别是的中点（1）证明：；（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值PBECDFA6.如图，ABCD是边长为a的菱形，且BAD=60，PAD为正三角形，且面PAD面ABCD （1）求cos，的值；（2）若E为AB的中点，F为PD的中点，求|的值；（3）求二面角PBCD的大小 7.如图，四棱锥中，底面，底面为梯形，点在棱上，且（1）求证：平面平面；（2）求证：平面；（3）（理）求平面和平面所成锐二面角的余弦值 8.三棱锥的底面是边长为的正三角形，平面且，设、分别是、的中点。（I）求证：平面；（II）求二面角的余弦值 9.如图所示，、分别是圆、圆的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是圆的直径，,.(I)求二面角的大小；(II)求直线与