（基础数学专业论文）一个带凸凹项的hardy方程的无穷多解的存在性.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文研究r 上的有界开集f t 上的带有h a r d y 项及凸、凹非线性项的椭圆 l 薪0 u 刊卵气刈卵气， 这里3 ，。盯 ( n _ - 广2 一) 2 ，1 g 2 3 ，0 盯 竿，1 g 2 p 2 + b yu s i n gt h ef o u n t a i nt h e o r e m ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fi n f i n i t e l ym a n y s o l u t i o n so ft h ea b o v ep r o b l e m k e y w o r d s ：h a r d yi n e q u a l i t y ；f o u n t a i nt h e o r e m ；磊g r o u p ；( p s ) ：c o n d i t i o n i i 暮| 坪li 扩硪 一 u ，、-l 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 锋帆1 年岁月“日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同意华中 师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 作者签名：一碑 日辄一年s 月“日 孙签名：劫，钾2 ) 日期：即年j 月“日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。园意诠塞握銮卮溢卮! 旦圭生；旦二生；旦三生筮鱼! 作者签名： 嘲碑 呐：叶蝴帅 导师签名：l 川气 日期：1 年j 月巩日 第一节引言与主要结果 i 瑟t t u 刊卵气刊衅嘞 1 ， 其中3 ，q 是r 的有界开集，。盯 ( n _ - 广2 一) 2 ，1 q 2 p 2 + m 小) = = 上【学一斫o - u 2 一学一了a l u l p 陋 在文献【1 , 5 1 中，m i c h e lw i l l e m 已经研究盯= 0 时的情形，即研究了方程 一u 2 p m i 口一2 让+ 刈乱i p 一2 让， ( 1 2 ) l 让硪( q ) ， 其中n 3 ，q 是r 的有界开集，1 q 2 p 2 + 方程( 1 2 ) 所对应的变分泛函是 帅一小= 上t 学一学一半 ( 1 2 ) 的解有以下三种情况： 定理1 1 ，若p 0 ，弘r ，( 1 2 ) 有一个解序列( 乱七) 使得 伽，a ，p ( 让七) 一o o ，k o o 定理1 2 ，若p 0 ，入r ，c 1 2 ) 有一个解序列( 仇) 使得 伽，a ，p ( 搬) 0 ，当pe o ，【时，( 1 2 ) 有一个解 序列七) 使得( p o ap ( 叫七) 0 ，当pe o ，矿【时，( 1 1 ) 有一个 解序列( 叫奄) 使得a ，p ( w k ) 0 ，并且妒盯， ，】f | ( 埘奄) _ 0 ，k - 我们给出本文的一些记号： 1 ) 为方便起见，下文将，a ，p 简记为妒 2 ) 让的驴范数记为i 仳l p 3 ) 记 ，( z ，u ) ： = p l 让1 9 2 牡+ a l 让l p 一2 t 正， f ( z ，u ) ：= ( u l s l q _ 2 s + a s ) d s 4 ) 运用h a r d y 不等式( 见文献 4 】，【l o ) ，我们在g g ( q ) 中定义i v u l 2 的等价范 数 1 1 t , 1 1 一( 厶v u l 2 - 并5 - ，ni 山i 5 ) 选择础( q ) 的标准正交基( 勺) ，并定义x j ：= r e j ，k ：= o 函x j ，磊：= o 墨玛 借助等价范数”i i 的作用，我q 0 - i 以沿用定理1 1 7 ，定理1 2 t j ；b 法，运用 ，( z ，仳) 的一些性质，逐一验证喷泉定理及其对偶定理所需的条件，从而顺利证 出定理1 1 ，定理1 2 在证明定理1 3 之前，首先证明引理3 5 ，需要对文献【1 5 】引 理3 2 1 作适当的改进，我们将其中的最佳s o b o l e v 常数 结晶。臂= 删。知糯 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 换成最佳s o b o l e v h a r d y 常数( 见文献 1 0 】，【17 】) ： 5。：=月咕。i氍ui：。il五u匿112=。月咭。i西。l。：爷o1,2_ 这样，文献【1 5 l 引理3 2 1 中临界值c 的限制条件由 c 譬一缸毛 c 万一耻2 一4 改为 c 是一缸毛 c 丙浮一缸2 ( 。 其它过程则与引理3 2 1 类似运用引理3 5 得到紧性条件，然后仿定理1 2 验证对 偶定理的其他条件，最后得到与定理1 3 ，类似的结果 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二节预备性结果 命题2 1 设1 q 0 ，使得 i ，( z ，u ) i c ( 1 + i 缸l p _ 1 ) ； ( ，2 ) 存在q 2 和r 0 ，使得当r 时，有 0 0 ，f ( z ，u ) = ：护+ ；矿 选取qe 2 ，p 【，存在r l 0 ，当u r 1 时，有 q f ( z ，t 正) ：竺u 9 + 坐伊 o qp 存在r 2 0 ，当仳r 2 时，有 弛m ，u ) 一a f ( 舭) 2 p ( 1 一詈) u 9 + a ( 1 一丢) 伊o 取r = m a x r x ，忌 ，当r 时，有 0 q f ( z ，t 正) 弘，( z ，t 正) 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 。当u ( x ) 0 ， f ( z ，牡) = p z i 乱i q 一1 s d s + a o “i s i p 一2 s 幽 = p z 0 - u t q - i m 七入卜“a t = ”+ p ， 乱，( z ，t ) = p j 仳j 口一2 7 1 , 2 + a i 让i p 一2 让2 = p i u i 口+ a i u l p - 在1 。中以i u i 代替让，易知( 如) 在u ( x ) 0 时也成立 ( ) 显然成立 口 命题2 2 ( 见文献 1 5 1 ) 设l q l 。o ，i ( x ，u ) 满足条件仇) 定义泛函x ( u ) ：= f ( x ，札) 如其中f ( x ，让) ：= ，( z ，s ) d s 那么x c 1 ( 嘲( q ) ，r ) ，并且 j nj o ， ( ( 让) ，h ) = ，( z ，u ) h d s - ，f 2 定义2 3 设妒：u r ，这里u 是b a n a c h 空间x 的开子集泛函妒在点让 有一个g a t e a u x 导数，如果对每个h x ， l 卜i m ，u1 百 妒( 乱+ 亡 ) 一妒( 札) 一( ，t 危) 】= o 妒在点札的g e t e a u x 导数记为妒7 ) 泛函妒在点札有一个f r d c h e t 导数，x 7 ，如果 溉高( u + t h ) 一出) 一( 舢) 】_ 。 泛函妒c 1 ( 配r ) ，如果垆的f r c h e t 导数存在且在u 上连续 命题2 4 如果妒的g e t e a u x 导数存在且在u 上连续，那么妒c 1 ( 阢r ) 命题2 5 设1 q 2 p 2 + ，入? 0 那么妒c 1 ( 明( q ) ，r ) 证明：设，( u ) ：2f ( i v 札1 2 一砰t 7 让2 ) 出_ ， 0 ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 对任蒽危月j ( ，我1 门有 l i m i ( u + t h ) - i ( u ) t - - o t 。= l i m - 1j f n 2 t v u v h + t 2 v 九1 2 一奔( 2 触括 2 ) 】如 =2 j n ( v u v h - 砰t 7 u 危) 如 这里的( ，) 础( n ) 表示范数l | 意义下的内积 因此i 存在g e t e a u x 导数，下证j 7 ( u ) 的连续性 设一u ，硪( q ) ，则 从而 所以 结合命题2 2 知 ( j ( 让。) 一，( t 正) ，危) i = 2 l 一乱，九) 硪( n ) l 2 0 一训| i i h l l j 7 ( 札。) 一，( 也) 1 1 日一t 2 1 1 - , 。一让| i _ 0 i c 1 ( 硪( q ) ，酞) 妒c 1 ( 磁( q ) ，r ) 口 定义2 6 设x 是b a n a c h 空间，妒( x ，r ) ，c r 我们称泛函妒满足 ( p s ) 。条件，如果任意满足条件 妒( 让。) _ c ，妒p 、u 。) 一0 的x 中的序列( ) 都有收敛子列 6 命题2 7 设l g 2 o ，使得 d4 - 1 - t - l l u n i l 妒( 让。) 一p ( ( t k ) ，t k ) = ( 互1 一) o i | 2 + z 眵，( z ，缸。) 一f ( z ，u 洲如 ( 互1 一p ) l l 1 1 2 - i - ( q 卢一1 ) 上f ( x ，) 如一c 3 ( 虿一p ) l l 0 2( q 卢一1 ) 厶 ，) 如一c 3 ( 互1 一驯0 2 + c 1 ( q 卢一1 ) l u 1 9 c 4 由此易知( u n ) 在础) 中有界 其中第三步见( 注二) 2 ) 不妨设ju ，月j ( q ) ( 必要时取子列) 由r e l l i c h 定理，_ u ，驴( q ) 命题2 8 表明，( z ，) 一，( z ，牡) 在l 8 ) 中，其中s = i 刍注意到 r r 4 0 札。一u i l 2 = ( 妒7 ( ) 一( “) ，一“) + ( ，( z ，) 一，( z ，钍) ) ( 一u ) 如 存在c o ，使得l l u 。i l c ，0 u i | c 由 ( 妒7 ( ) ，一让) i l | ( ) 1 1 日一z i i 一让 2 c i i ( ) i i j ! 一t _ 0 。乱， 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 知 从而 由h s l d e r 不等式， ( ( 札) ，) 一( o p t ( u ) ，仳) ( ( u ) ，一u ) _ 0 i j c l ( ，( z ，让。) 一，( z ，让) ) ( 一u ) d z l i ，( z ，) 一，( z ，牡) l 。i 一u i p _ 0 j q 所以当n _ o o 时，有 i l 让。一牡i l _ 0 口 命题2 8 ( 见文献【1 5 】) 设俐 0 ，使得 ( a 2 ) 。七：= 。k m ，恻a x l ：m 妒( 让) o ， ( a 3 ) b k 芦。瓦i ，n f ：妒) _ o o ，七一o o ， ( 凡) 对每个c 0 ，妒满足( p s ) 。条件， ) g z , ，妒有一个临界值序列( ) ，使得 0 ，c k 一 定理1 1 的证明：只需验证引理3 1 的假设 1 ) 由命题2 5 ，妒c 1 ( 硪( q ) ，酞) 由命题2 6 ，对每个c r ，妒满足( p s ) 。条件 2 ) 利用( 2 1 ) 式，我们有 咖) = t i l u l l 2 _ z 谁，让) 如 1 1 , 百, 1 1 2 一c l l “i 三+ c 2 l q i 一 2 v l 一。o 。o o 。 在有限维空间k ，所有范数等价，因此条件( a 2 ) 对充分大的p 南成立 3 ) 运用条件( ) ，通过积分可知，存在c 3 0 ，使得下面式子成立： f ，似) c 3 ( 1 + i 让i p ) 1 0 ( 3 1 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 上式证明见( 注三) 定义 我们有 展亍 s u p p ， u e z k ，i l u l l = l 妒( 缸) 下i l u l l 2 一c 3 i 让曙一c 3 i q l 下i l u l l 2 一c 3 僳l i 让i i p - c 3 i a 取r k = ( c 3 p 曜) 巧1 ， 我们得到，当让磊，l l u l i = r k ， 出) ( 互1 一三) ( c 3 嘏) 南一c 3 i q i 由引理3 2 ，当k _ ，凤_ 0 ，因此( 如) 成立 4 ) 由条件( ，3 ) 知，f ( z ，u ) 是关于让的偶函数，因此妒是偶泛函，由命题2 1 2 ， 2 1 3 ，取g = z 2 ，利用z 2 群的对映作用，可知( a 1 ) 成立于是定理1 1 得证 口 引理3 2 设1 p 0 ，使得 ( b 1 ) 。七：= 。玩i ，n o f 。o ：以妒( u ) o ， ( 岛) _ b k _ 。驯m a 。x 慨妒( 乱) 0 知，对充分小的r k 0 ，( b 2 ) 成立 3 ) 当k ，让z k ，i i 也i | m 时， 1 3 训一q 碟。一 p川一g。 叫一g虞一g 严一 磁 联 一4 叫，邓 一 一 一 妒 硕士学位论文 m a s t e r s 。r h e s i s 4 ) 最后我们验证( p s ) ：条件考虑满足下述条件的序列 ( j ) c 磁( q ) ，n j _ ， ( ) c ，妒( u w ) 一c ，妒i ( 牡) _ 0 - 当心充分大，我们有 c + 1 十i l o 妒( ) 一三( ( ) ，) = ( 互1 一扣训2 + ( 等一钞础 ( 互1 一u j i l 2 十( 箬一等) 硎i i ：- 因此u n j ) 在嘲( q ) 中有界 不妨设jl , ，础( q ) ，由 0 乱唧一u l l 2 = ( 妒7 ( 让) 一( 乱) ，u n j 一让) + ( ， ，) 一，( z ，u ) ) ( 也一u ) d x _ 0 ， ，n 一 我们有u n j _ 缸，h 0 1 ( q ) 及( u ) = 0 ，定理1 2 得证 口 引粤3 5 设p = 2 + ，给定a 0 ，那么，存在k 0 ，对任意p 0 及 c 毒錾i 一缸毛，泛函妒满足( p s ) ：条件其中o 盯 t ( n - 2 ) 2 c o ，则 与c 的假设矛盾 c 一1 ) p 南 + m t i o 危( ) - ， 2 一尼p 巧 定理1 3 的证明：实际上只需验证引理3 4 的假设 口 由引理3 5 ，存在矿 0 ，使得对于每个肛e o ，旷【及c r 1 9 u ) d x + 如 n uz f-、 r 蚶 如 r r 一 一 i i 因此上式成立 =q f f ( z ，) 如一c s 注三证明 l f ( x ，u ) i c ( 1 + i 让1 ) p ： 由( ) ，存在c 0 ，使得i ，( z ，牡) i c l ( 1 + i u v - 1 ) 通过积分可知，存在c 2 0 ，使得 i f ( x ，让) i c 2 ( u i + i u l p ) 1 。当i u i 1 ，显然有i f ( x ，乱) l c 2 ( 1 + l 让i ) p 2 。当i 让i 1 ， i f 扛，u ) i c l ( u l + i 训p + 1 1 ) c l ( 1 + 2 1 u p ) = 2 c l ( 言+ ) 2 c 1 ( 1 + i 让f p ) = c ( 1 + l u l ) p ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】1t b a r t c h ，i n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n so fas y m m i t r i cd i r i c h l e tp r o b l e m ，n o n - l i n e a ra n a l y s i s ，t m a2 0 ( 1 9 9 3 ) 【2 】t b a t c h ，t o p o l o 西e a lm e t h o d sf o rv a r i a t i o a lp r o b l c r n sw i t hs y m m e t r i c s ，l e c t u r en o t e s 饥m a t h s p r i n g e r ，b e r l i n ，( 1 9 9 3 ) 【3 1 h b r d z i sa n dt k a t o ，r e m a r k so nt h es c h r s d i n g e ro p e r a t o rw i t hs i n g u l a r c o m p l c xp o t e n t i a l s ，m a t h p u r e se ta p p l 5 8 ( 1 9 7 9 ) ，1 3 7 - 1 5 1 【4 】h b r d z i sa n de l i c b ，ar e l a t i o nb e t w e e np o i n t w i s ec o n v e r g e n c co ff u n c t i o n s a n dc o n v e r g e n c eo ff u n c t i o n a l s ，p r o c a m e r m a t h s o c 8 8 ( 1 9 8 3 ) ，4 8 6 - 4 【5 】h b r d z i sa n dl n i r e n b e r g ，p o s i t i v es o l u t i o n so fn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s i n v o l v i n gc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t s c o m m p u 他a p p l m a t h 3 6 ( 1 9 8 3 ) ，4 3 7 - 4 7 7 【6 】t b a r t c ha n dm w i l l e m ，i n f i n i t e l ym a n y n o n _ r a d i a ls o l u t i o n so fae u c l i d e a n s c a l a rf i e l de q u a t i o n ，j f u n c t a n a l ( 1 9 9 3 ) 【7 】t b a r t c ha n dm w i l l e m ，i n f i n i t e l ym a n yr a d i a ls o l u t i o n so fas e m i l i n e a r e l l i p t i cp r o b l e mo nr ，a r c h r a t m e c h a n a l ( 19 9 3 ) 8 】t b a t c ha n dm w i l l c m ，p e r i o d i cs o l u t i o n so fn o n - a u t o n o m o u sh a m i l t o n i a n s y s t e m sw i t hs y m m e t r i e s ，j r e i n ea n g e w m a t h ( 1 9 9 4 ) 【9 】t b a r t c ha n dm w i l l c m ，o nae l l i p t i ce q u a t i o nw i t hc o n c a v ea n dc o n v e x n o n l i n e a r i t i e s ，p r o c a m e r s o e ( 1 9 9 5 ) 【l o 】康东升，一种奇异临界椭圆方程的非平凡解，数学物理学报( 2 0 0 6 ) 【11 。j p g a r c i aa z o r e r ea n di p e r a la l o n s o ，h a r d yi n e q u a l i t i e sa n ds o m ec r i t i c a l e l l i p t i ca n dp a r a b o l i cp r o b l e m s j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( 1 9 9 8 ) ，4 4 1 4 7 6 2 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 【1 2 】e j a n n e l l i ，t h er o l ep l a y e db ys p a c ed i m e n s i o ni ne l l i p t i cc r i t i c a lp r o b l e m s ( 1 9 9 8 ) 【1 3 】l a w r e n c ec e v a n s ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a m e r m a t h s o c