（机械制造及其自动化专业论文）摆线齿形展成刀具的计算机辅助及优化设计.pdf

重庆太学颈l j 学位论文 摘要 摘要 1 摧线齿轮广泛应矮予减遗器、溜豢帮滚压马达簦援辕装爨，戈英跫在 摆线针轮减速器中，它扮演着关键的角色。由于摆线针轮行凝传动的系 列优点( 传动比大、结构紧凑、效率高、运转平稳等) ，其搿求量仍在不 颤上舞。终为这些飘械的核心元俸，罐线齿轮斡热工猎度直接影响甍整个 机械的性能。摆线轮齿廓是变幅外摆线的法向等距线，加工复杂。现有的 方法袭船工精度方霹经往达不到疑甏熬质量簧求，这主要是豳为热王摆线 齿轮的刀具和工艺尚不完善，有待改进。本谍题就针对摆线齿形滚刀的计 算机优化设计进行研究式 奉课蘧羧灞平蟊啮合原薅，敬被船工的掇线蠢轮豹齿露耱线琶络遗滚 刀基本齿条的法向齿廓，根据有关数学推导，得到滚刀的理论齿形方程。 为了便于制逡加工，用三点菸豳法求其代用越弧，饺其在据点( 两敬毽弧 交接处) 平潜连结，且代用戳弧的齿形误差满足制造黉求。如果预先选定 三点所求出的代用圆弧未能台符精度需求，则采用逐点选取理论齿形上的 各点，求缮稍应豹代臻圆弧，壹到达翻要求为建。这些理论舔是在翻瘸诗 算机辅助设计技术的基础上，经过编译程序，开发出相应的软件来实现其 功能的。 一本课题对撵线齿形滚刃巍廓酶饶化计算，不仅达到了蠢形精度簧求， 而且便于实际加工制造。本谋题对摆线齿形滚刀设计的软件开发，实现了 只要簸入参数，就可窭动生戏供魏王毒l 造懿滚刀工佟圈懿功戆：j 一一 ，f ，、 0 ， 关键溺：摆线齿形，滚刃，优纯旷诗葵梳辅驹设计 重庆人学硕十学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t c y c l o i c l g e a r sh a v eb e e nw i d e l yu t i l i z e di nt h em a c h i n e s ，s u c h a sr e d u c e r 、o i1 p u m p 、h y d r a u l i cp r e s s u r em o t o re t c 。e s p e c i a l l y in t h ec y c 0 i dr e d u c e r ，t h e ya r ek e yp a r t ，w h i c hh a v em a n ya d v a n t a g e s ( h i g h d r jv e r a t i o 、c o m p a c ts t r u c t u r e 、h j g he f f i c i e n c y 、c a l m o p e r a t i o n ) a n da r er e q u i r e di n c r e a s i n g l y 。t h ea c c u r a c yo fc y c i o i d g e a r sh a v ee f f e c to nt h ep e r f o r m a n c eo ft h ew h o l em a c h i n e sg r e a t l y 。 1 h et o o t hf o r mo fc y c l o i dg e a r si sa ne q u i d i s t a n tc u r v eo fv a r i a b l e a m p l i r u d ec y c o i di nn o r m a ld j r e c t i o n w h i c hi sr e a l l yc o m p l e xa n d d i f f i c u l tt om a n u f a c t u r e 。s o ，w i t ht h e c o m p u t e r a i d e d d e s i g n t e c h n o l o g y ，t oo p t i m i z e t h ec u r v eo f c y c l o i dg e a rh o b is v e r y n e c e s s a r y 。 o nt h eb a s i so ft h em e s h i n gp r i n c i p l ei nt h ep l a n e ，b a s i cr a c k e q u a t i o no f h o bi se n v e l o p e db yt o o t hf o r mo ft h ec y c l o i dg e a rt h a t ism a n u f a t u r e d 。a c c o r d i n gt ot h er e l a t i v em a t hd e d u c t i o n ，t h e o r e t i c a l t o o t hf o r me q u a t i o nh a sb e e ng a i n e d 。m e t h o do ft h r e e p o i n t si n a m u t u a lc i r c l ei su t i l i z e di n s e l e c t i n gc o r r e s p o n d i n gs u b s t i t u t i v e a r c 。t h i sm e t h o ds h o u l dn o t o n l ys a t i s f yt h en e e do ft o o t hf o r m e r r o r ，b u ta l s om a k et h ec u r v es m o o t h n e s sa tt h ei n f l e x i o n 。i n a d d i t i o n ，t h em e t h o do fp o i n tb yp o i n ts h o u l db eu s e di nr e q u e s t i n g t h ei d e a ls u b s t i t u t i v ea r c ，u n d e rc o n d i t i o no ft h e f a i l u r ei n a b o v e m e n tio n e dm e t h o d 。t h e s ep r o c e s s c a r r yo u to n t h eh a s iso f c o m p u t e ra id e do d t i m i z a t i o nd e s i g n 。 a 1 1i n 胡l ，t h js t a s kc a nr e a l i z e t h eh o b o p t i m i z a t i o n f o rc y c l o i d g e a r s ， a n d e x p l o i t t h e c o r r e s p o 兀d i n gs o f t w a r ew h i c hf i n i s ht h e w o r k i n gd r a w i n ga u t o m a t i c a l l yw i t hi n p u t i n gp a r a m e t e r s 。t h es o f t w a r e c a nb ea c h ie y e di nt h em a n u f a c t u r e d i r e c t l y 。 k e yw o r d s ：c y c l o i dg e a r ，h o b ，o p t i m i z a t i o n ，c o m p u t e ra i d e dd e s i g n 重庆人学硕一i 一学位论文 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 摆线齿轮及其滚刀简介 摆线齿轮是一种平面啮合齿轮，主要用作减速机的传动部件。它广泛 应用于石油、化工、纺织、印染、轻工、食品、起重、运输、冶金、矿山、 医药、造纸、船舶、建筑等部门1 9 1 。在许多场合可以取代二、三级普通齿 轮减速机及蜗轮减速机。我国从1 9 6 4 年试制以来，年产量不断增加，呈 直线上升趋势，其应用领域随着研究和开发的深入，扩展到油泵、液压马 达等领域，从一般传动走向高速、重载传动。根据有关专家估计，在一般 机械传动中，摆线减速机在整个减速机中占有的比重将越来越大。 以摆线齿轮为转子的摆线针轮减速机之所以有很大的发展前途，是因 为它具有相当多优点m i g l ：传动比大。通常一级蜗轮的传动比为8 6 0 ， 普通平行轴双级渐开线齿轮的传动比为7 1 4 5 ，而摆线针轮减速器的单 级传动比为11 8 7 ，双级可达7 5 6 9 ，三级可达2 0 3 3 9 ，多级组合可实现极 高的减速比。结构紧凑，体积小，重量轻。这类减速器高速轴位于同 一轴线，摆线齿轮放在针轮里面，因而结构可以作得很紧凑。与相同传动 比、功率相近的其他类型减速器相比，体积、重量可减少5 0 左右。摆线 针轮减速器与j z q 型减速器( 即渐开线双级圆柱齿轮减速器) 在满负荷、 连续工作、同等速比条件下所传递功率、体积、重量等指标相比较，具有 明显优势。效率高。据测定，单级摆线针轮减速器带针齿套的产品平 均效率为8 8 9 5 ，比单级蜗轮减速器的传动效率高很多。运转平稳、 噪声小。普通产品的噪声为6 5 分贝。如果某些机器在使用时需特殊限制 噪声，还可使噪声进一步减少。超负荷能力强、寿命长。摆线针轮减 速机对冲击负荷有较强的承受性，一般短期超载能力为名义扭矩的2 5 0 。 国内外研究摆线齿轮的历史很短，仅三十余年，与渐开线齿轮、蜗轮、 链轮、圆弧齿轮相比较，其技术与后者有相当大的差距口刚口9 n 。摆线齿 轮的齿形很复杂，是一条变幅外摆线的等距线，加工难于达到很高精度。 实际生产中一般按仿型法用成型铣刀加工，或按它的齿廓形成原理，用凸 半圆铣刀借助专用夹具在滚齿机上加工，也可用插齿刀并借助偏心刀杆在 插齿机上加工。但最方便而生产效率最高的方法是在滚齿机上用专用滚刀 滚切。它不需要加任何专用夹具，机床调整与加工渐开线直齿圆柱相同。 我国的加丁技术晟初是六十年代引进于日本，随后经过国内技术人员自行 改进衍生出适合本国生产的系统。现在，摆线齿轮加工量较大的厂家主 要分柿在天津、辽阳、重庆，通常使用插齿、滚齿和精磨的方法。各生产 重庆大学硕十学位论文 第l 章绪论 厂家都有各闩的摆线齿轮系列，且标准也各异，目前尚无国标，这就造成 滚刀设计的州异性、专用性。摆线齿轮滚刀的设计制造集中在重庆工具厂 和上海工具厂，他们根据用户提出的要求专门设计生产。由于生产和使用 单位都认为滚刀加工摆线齿轮是粗加工，可对滚刀的精度不作很高的要 求，所以目前很多摆线齿轮滚刀只经过成形铲齿而在热处理后不进行铲 磨。这种方法虽能满足生产要求，但从齿轮传动寿命和噪声等角度出发， 仍有必要深入探索摆线齿轮与滚刀的啮合理论，进一步提高摆线齿轮滚刀 的齿形精度。滚齿时，用滚刀精度直接保证摆线齿轮的精度，这才是正确 的途径。 1 2 计算机辅助设计技术 1 2 1 计算机辅助设计概况 计算机辅助设计( c o m p u t e ra i d e dd e s i g n ) 是由计算机来完成产品设 计中的计算、分析、模拟、制图、编制技术文件等工作，是利用计算机帮 助设计人员进行设计的一种专业技术1 。 c a d 技术起步于5 0 年代后期。6 0 年代，随着计算机软硬件技术的发 展，在计算机屏幕上绘图变成可行，c a d 开始迅速发展。人们希望借助 此项技术摆脱繁琐、费时、精度低的传统手工绘图。此时c a d 技术的出 发点是用传统的三视图方法来表达零件结构，以图纸为媒介进行技术交 流，这就是二维计算机绘图技术。在c a d 软件发展初期，c a d 的含义仅 仅是c o m p u t e r a i d e dd r a w i n g ( o r d r a f t i n g ) 而非现在我们经常讨论的c a d ( c o m p u t e ra i d e dd e s i g n ) 所包含的全部内容。c a d 技术以二维绘图为 主要目标的算法一直持续到7 0 年代末期，以后作为c a d 技术的一个分 支而相对独立、平稳地发展。早期应用较为广泛的是c a d a m 软件，近 十年来占据绘图市场主导地位的是a u t o d e s k 公司的a u t o c a d 软件。在今 天中国的c a d 用户特别是初期用户中，二维绘图仍占有相当大的比重。 c a d 技术的发展大约经过了四个阶段”3 1 ，可分为： 曲面造型系统 6 0 年代出现的三维c a d 系统只是极为简单的线框式系统。这种初期 的线框造型系统只能表达基本的几何信息，不能有效表达几何数据间的拓 扑关系。出于缺乏形体的表面信息，c a e 和c a m 均无法实现。进入7 0 年代，正值飞机和汽车工业蓬勃发展时期。此间飞机及汽车制造中遇到大 量的自由曲】面问题，当时只能采用多截面视图、特征纬线的方式来近似表 达所设计的自由曲面。但这种既慢且繁的制作过程大大拖延了产品研发时 间，因而要求更新设计手段。此时法国人提出了贝赛尔算法，使人们用计 ，2 重庆人学硕十产俯论文 第1 章绪论 算机处理曲线及曲面问题变得可行，同时也使法国达索飞机制造公司的开 发者们，能在二维绘图系统c a d a m 的基础上，开发出以表面模型为特 点的自由曲面建模方法，推出了三维曲面造型系统c a t i a 。它的出现标 志着计算机辅助设计从单纯模仿工程图纸的三视图模式中解放出来，首次 实现以计算机完整描述产品零件的主要信息，同时也使得c a m 技术的开 发有了现实的基础。曲面造型系统c a t i a 为人类带来了第一次c a d 技 术革命，改变了以往只能借助油泥模型来近似表达曲面的落后工作方式。 此时的c a d 技术价格极其昂贵，而且软件商品化程度低，开发者本身就 是c a d 用，彼此之间技术保密。 实体造型技术 7 0 年代术到8 0 年代初，由于计算机技术的进步，c a e 、c a m 技术也 有了较大发展。s d r c 公司在当时星球大战计划的背景下，由美国宇航局 支持及合作，开发出了许多专用分析模块；u g 则着重在曲面技术的基础 上发展c a m 技术；c v 和c a l m a 则将主要精力都放在c a d 市场份额 的争夺上。1 9 7 9 年s d r c 公司发布了世界上第一个完全基于实体造型技 术的大型c a d c a e 软件i d e a s 。由于实体造型技术能精确表达零 件的全部属性，在理论上有助于统一c a d 、c a e 、c a m 模型表达，给设 计带来了惊人的方便。可以说，实体造型技术的普及应用标志着c a d 发 展史的第二次技术革命。 参数化技术 8 0 年代中期，c v 公司提出了一种比无约束自由造型更新颖、更好的 算法一一参数化实体造型方法。它具有基于特征、全尺寸约束、全数据 相关、尺寸驱动设计修改等特点。由于参数化技术核心算法与以往的系统 有本质差别，投资和工作量必然很大。于是c v 公司中从事策划参数化技 术的人员脱离c v ，成立了一个参数技术公司( p a r a m e t r i c t e c h n o l o g yc o r p p t c ) ，开始参数化软件p r o e n g i n e e r 的研制。早期的p r o e n g i n e e r 软件性能很低，只能完成简单的工作，但因为第一次实现了尺寸驱动零件 设计修改，使人们看到了它们今后给设计者带来的方便性。进入9 0 年代， 参数化技术变得成熟起来，充分体现出其在许多通用件、零部件设计上存 在的简便易行的优势。 变量化技术 参数化技术的应用成功，使它在9 0 年代几乎成为c a d 业界的标准。 但这种把线框模型、曲面模型及实体模型叠加在一起的复合建模技术并非 完全基于实体，只是“主模型”技术的“雏形”，难以全面应用参数化技 术。d s r c 公司以参数化技术为蓝本，提出了一种比参数化技术更为先进 的变量化技术，于1 9 9 3 年推出全新体系的i - d e a sm a s t e rs e r i e s 软件。变 重庆大学硕十学位论文第1 章绪论 量化技术既保持了参数化技术原有的优点，同时又克服了它的许多不足之 处，为c a d 技术的发展提供了更大的空间和机遇。 1 2 2刀具计算机辅助设计概况 刀具是机械行业重要的组成部分1 13 1 1 3 1 ) 。它的品种繁多，每种刀具的计 算量不同。其中齿轮刀具类、拉刀类、可转位刀具类以及其他特殊复杂刀 具等结构段计、齿形设计的工作量很大，大量的非标准刀具要求刀具生 产部门尽快摆脱陈旧落后的设计模式。因此，随着计算机、工作站的普及 和c a d 技术的发展，计算机辅助设计便在刀具行业中获得了广泛的应用。 刀具c a d 技术在美国、日本、西欧等一些先进国家已相当普及。1 9 7 3 年，德国阿亨工业大学就已经成功开发出用于特殊刀具设计的c d 1 7 0 0 系统：1 9 7 5 年，美国f o l l o w 公司在北京展出插齿刀c a d ，并在图形 显示器上显示了插齿过程的动态模拟，体现了刀具c a d 技术水平岬】。相 比之下，我国的刀具c a d 技术水平还很低下，自行开发的c a d 刀具软 件极少，国内主要刀具厂仍延用传统方式，对刀具c a d 概念模糊，大多 停留在计算、绘图的阶段。刀具c a d 涉及的是刀具整个设计过程中设计 人员利用计算机系统进行处理信息的总和，除了利用计算机的运算高速、 存储量大、图形可视功能完成繁琐计算、数据文件存储、绘图，更重要的 是发挥计算机的逻辑判断、模拟和编辑能力，分析刀具设计的方案、实现 产品设计过程中的实时修改。 刀具c a d 技术的开发和应用，可缩短产品设计周期，加快产品更新 换代，提高产品设计质量，实现设计过程中数据、技术资料共享，带来明 显的技术经济效益，同时促进我国刀具行业的技术改造。 1 3 课题任务介绍 基于摆线齿轮滚刀齿廓设计中拐点位置难于精确确定，尚无人用计算 机辅助优化设计系统进行开发的现状，本文展开此课题的研究。 本课题要完成的主要工作是： 根据平面啮合原理，从摆线齿轮的齿廓方程推导摆线齿轮滚刀的 理论齿廓方程，并对其拐点的精确确定提供依据，将摆线齿轮滚刀设计理 论更推进一步。 采用三点代圆弧法，求解代用圆弧，既保证齿形精度要求，又保 证代用圆弧通过拐点。 拟用汁算机辅助设计技术开发摆线齿轮滚刀优化设计系统。建立 滚刀设计资料、技术条件的数据库，通过人机对话方式，输入参数，经过 编程和相关软件接口实现工作图的自动生成，直接用于指导实际生产。 4 一 重庆人学硕十学何论文 第2 章摆线齿轮滚刀齿廓设计 第2 章摆线齿轮滚刀齿廓设计 2 1 外摆线的形成 摆线齿轮滚刀设计时，不仅涉及摆线、摆线的等距曲线和摆线等效形 成法，而且还涉及各种形式的渐开线( 渐开线就本质而言是特殊的摆线) 。 为了更好地了解和设计摆线齿轮滚刀，有必要对外摆线的形成加以系统研 究。 当动圆在定圆的外圆周上作纯滚动时，动圆上一点的运动轨迹称为外 摆线。如图2 1 所示。当动圆r 在定圆r 的外圆周上作无滑动的纯滚动时， 固连于动圆上一点p 的运动轨迹是外摆线。p 点到动圆圆心的距离等于动 圆半径r ，所得到的曲线称之为普通外摆线。p 点到动圆圆，t 5 的距离小 于动圆半径，其运动轨迹称为短幅外摆线。反之，p ”点到动圆圆心的距 离大于动圆半径，其运动轨迹称为长幅外摆线。长幅、短幅摆线统称为变 幅外摆线。外摆线的形成有两种方法：无包心形成法和包心形成法。 j 。一长 。铈j 夕y 图2 1 外摆线 无包心形成法：“3 “ 无包心形成法( 如图2 2 所示) 是动圆以其外圆在定圆的外圆上作纯 滚动，形成摆线曲线，在此过程中，定圆中心始终不在动圆之内。 动圆半径为r ，定圆半径为r ，固连于动圆上一点p 的运动轨迹为摆 线p p ，其中0 1 p = 。1 日= e 重庆大学硕+ 学位论文第2 章摆线齿轮滚刀齿廓设计 图2 2 外摆线无包心形成法 即r 8 ：，。( 鼠一目) 毋：( 1 + _ 墨) 口么。1 墨k ：1 8 0 。一目 r 摆线上p 点的坐标为：j x = 傩+ 蹭式( 2 1 ) l y = o t t k ” 式中o s ：( r + r ) c o s 护s q ：一e c 。s ( 1 + 里) 护 ， o t = ( r + ，) s i n 口z k = p s i n ( 1 十r - - ) e ， 将o s 、s q 、0 t 与t k 之值代入式( 2 1 ) 的公式中，则外摆线的坐标 方程为 x ：( 矗+ r ) c 。s 口一g c o s ( 1 + r - - ) o ， y ：( r + ，) s i n 护一e s i n ( 1 十r - - ) b r 摆线的坐标方程亦可以用o ，作参数来表达 壮( 月州c 。s ( 1 一熹) 岛- - e c o s 毋 y = ( 月s i n ( 1 一熹) b i n b 式( 2 3 ) 如果动点p 到动圆圆心的距离e 等于动圆半径，即：e ：，得到的 是普通外摆线。 如果动点p 到动圆圆心的距离e 大于动圆半径，即：e r ，得到的 是长幅外摆线。 如果动i p 到动圆圆心的距离e 小于动圆半径，即：p 得到的是长幅外摆线。 如果动点p j 】到动圆圆心0 l i _ 】的距离e 1 j 小于动圆半径r 即：e i l 坐标系中的方程为： 1 0 - 重庆人学硕十。产位论文第2 章摆线齿轮滚刀齿廓设计 置沈篆麓+ y os 妒i n + v x 0 s i n y 。c o s n 都，l y 。( 妒胁，y ) = 疋日y 一妒+ o 。”。1 “。虬7 式( 2 7 ) 叩式( 2 6 ) 的曲线族方程。将式( 2 6 ) 代k 式( 2 7 ) ，得： 铲r c o s ( v 一a ，c o s ( 少- i f f h d ) 糊， y 。m 矿础z s i n ( 妒一訾) 刊s i n ( y y ) 式( 2 8 ) 即为针齿中心运动轨迹曲线的曲线族方程。 曲线族的包络线 式( 2 8 ) n 曲线族必有包络线， 线相切，在切点必有一公切线存在， 鱼。盟 斜率必相等。即：呈墼：掣 盟监 8 vh 。e l ? ， 曲线族中的每一曲线必有一点与包络 亦即在切点处曲线的斜率与包络线的 对式( 2 8 ) 取偏微分，得： 蔫咄扣c 妒一等础呱v - p m ， 羡咄去c o s c 旷z h ：。) - a c o s c - v # o ， 嚣柏i n ( v - l ；f z n o m z s i n ( 妒一訾) 百y 万n - r , a - r zc o s ( 妒一a - z 。) + a c o s ( 妒一y 。) 式( 2 9 ) 式( 2 1o ) 式( 2 1 1 ) 式( 2 1 2 ) 式( 2 1 3 ) 在摆线针轮减速机中，摆线齿轮的齿数较针轮的齿数少1 ，即 圣警z 。l ，同时将式( 2 1 0 ) 、式( 2 1 1 ) 、式( 2 ，】2 ) 和式( 2 】3 ) 代入式( 2 9 ) 可得： 、7 重庆人学硕_ 学位论文第2 章摆线齿轮滚刀齿廓设计 舰，s i n 瑚。一笔s i n c ) + r c s a s i n ( 驴。 为了求解1 ，角，将式( 2 1 4 ) 进一步展开，得： r z 净雾c o s 抓r ec o s g t - r 。s r z 瓦1c o s 尝脚 础一i n 地如去s i n 等】_ o 龟肚删n m “z 去s i n 等 c - c o s m 卅私z 老c o s 等 式f 2 1 4 ) 式( 2 1 5 ) 肚硅嘲乏妒m 将b 、c 和d 代入式( 2 1 5 ) 中，可求得1 i ，为： = 喀弋- b c - 面d x 雾b 2 + c 2 - d 2 ) 式( 2 1 6 ) 如将式( 2 1 6 ) 求得的v 角代入式( 2 8 ) ，即可计算得到包络线的坐标 值，此包络线的等距线即滚刀的法向齿廓。 包络线的等距线滚刀的法向齿廓 针齿中心运动轨迹曲线的包络线为式( 2 8 ) 所表达的曲线，此曲线的 等距线( 等于针齿套半径) 即为滚刀的法向齿廓。等距线有完全相同的两 支，只是在世标系中的位置不同而已。作为滚刀的齿廓，仅为其中一支曲 线求解方法如下： 包络线为f ( x 。，y 。) ，如图2 5 所示。此曲线上任点的坐标为( x ， y 。) ，以( x n ，y 。) 点为圆心，以针齿套半径b 为半径作圆，在此圆周上必 有点( x 。，y 。，) ( 在相反的方向亦还有一点) ，过此点作圆的切线，此 切线必平行于曲线上( x 。，y 。) 点的切线，则( x y 。1 ) 必定为f ( x 。，y 。) 曲线的等距线上的一点( 亦就是滚刀齿廓上的个点) 。 1 2 重庆人学硕十学位论文第2 章摆线齿轮滚刀齿廓设计 等距方程为： 1 x 2x ，一r zs i n d 1 只2 l 十r zc o s a 图2 5 滚刀的齿形 其中。角为：t g a = 墼 a x “ 对式( 2 8 ) 取全微分，即可求出d y 。) ：j rd x 。： 方n = r b + a c o s ( y 一- r z c o s ( y 一等彤y + - a c o s ( 一y m ) 枷z 去c o s ( y 一尝彬y m ” a s i n ( v - v o ) - r z s i n ( p 一尝w 妒 + - a s i n ( 一妒m ) + r z 云1s i n ( 妒一m 令： = 月曲+ a c o s ( 一舶) 一r ：c o s ( y 一芝粤) ， 13 式( 2 1 7 ) 式( 2 1 8 ) 式( 2 1 9 ) 式( 2 2 0 ) 重庆人学硕一卜学位论文第2 章摆线齿轮滚刀齿廓设计 肚r z 去c o s ( 一警) - a c o s ( 妒一 g = 爿s i n ( 妒一沙) 一r 2s i n ( 一_ 1 1 t h a ) ， 肚r z 毒s i n ( 旷等) - a s i n ( 一 将e 、f 、g 和h 代入式( 2 1 8 ) 得： e 盟+ f 舭丑d x2 惫却：，) d v h 。 再对式( 2 1 5 ) 取偏微分，得： m ：盟 ：竺量：兰竺：竺竺竺竺：兰壶：竺兰! 叱月z 壶c o 她一) + r o b c o s ( p 一 式( 2 2 2 ) 将m 代入式( 2 2 1 ) ，得 e m + f t g a 2 g m + h 。_ _ _ 式( 2 2 3 ) 如果将坐标原点移至节点p ，y ，轴与滚刀节线a b 重合，在s ，( x ，y ) 坐标系中，滚刀的齿廓方程为： p 扩心s i n 缈协i n ( 一越。， l y 础扩耻o s ( y 一等) + a c o s ( 一”s i n 口 、。 1 4 重庆人学硕1 学位论文第2 章摆线齿轮滚刀齿廓设计 2 2 2 平面啮合齿廓法线法求刀具齿廓 平面齿廓法线法1 6 8 1 2 5 1 是根据齿形啮合基本定律，建立接触点在工件 齿廓上的位置与工件转角问的相互关系，进而求出滚刀齿廓。 如图2 6 所示，取0 。x y 为工件坐标系，p x o y o 为滚刀坐标系，r 为 工件滚动节圆半径，p x 。为滚刀的节线。设摆线轮齿廓与针齿套在m 点接 触，m 点的法线交滚动节圆于a 点。连接o ，a ，可得么j d 0 8 a = 么，v 角 为m 点成为接触点时工件应转过的角度。m 点的法线正好通过啮合节点， 根据齿廓啮合基本定律可知，m 点即为两共轭齿廓的啮合点，同时也是滚 刀齿条齿廓上的一点。 图2 6 平面齿廓法线法求刀具齿廓 当m 点在工件坐标系0 。x y 中的坐标为已知时，即： x = r z sinooz-esinzb+loz+rz锱k,cosz-do 郁均z-coso-z- 眦c o s 争c o s 掣下嚣 重庆人学硕 。学位论文第2 章摆线齿轮滚刀齿廓殴计 其中： r z 一针齿分布圆半径 z 。摆线轮齿数 r ，针齿套半径 k 短幅系数( 动圆半径与固连点m 和定圆圆心距离的比值) 0 ，动圆中心绕基圆中心转过的角度 根据坐标变换公式，m 点在滚刀坐标系中的坐标为： r 一 l 确= x c 0 5 一y 8 1 n 矿+ 7 p i y 。= r xs i n y y c o s | i u 式( 2 2 6 ) 方程式( 2 2 6 ) 就是滚刀的法向齿廓方程，若给出- - 初 i 件齿廓的坐标点 ( x ，y ) ，就可求出滚刀齿廓上相应的坐标点( x 0 ，y o ) ，关键在于工件齿 廓上的m 点转过多大1 】，角时，该点的法线恰好通过啮合a 。从图2 6 可 得：o s 一母s c 一劫 枞y 2 弘一乏- 6 - c o s - 争c o s c 一龆2 ， 在一些资料中，常取滚动节圆半径r 等于齿顶圆半径r 。这时可将 式( 2 2 7 ) 中的r 代换成r ，然后将1 i ，值代入方程式( 2 2 6 ) ，即可求出 滚刀齿形方程。 这日摭刀僦姚距p 慨e = 考 ( 掣+ 1 ) 模数m n 为 峨= 丢【( 警+ 1 ) 卜，z 从滚刀齿廓方程及滚刀法向齿距和模数的关系可以看出，他们都随着 摆线轮齿数z 。的改变而改变。因此，摆线轮齿数不同时，需要用不同的 滚刀来加工。 在研究摆线轮形成原理时，已知工件的滚动节圆半径还可选为r 。如 将r ：r 代入式( 2 2 7 ) 中，可得： 妒= 孚。这时滚刀法向齿廓方程 口 式f 2 2 6 ) 变为： 重庆人学颂十学位论文第2 章摆线齿轮滚刀齿廓没计 如将式( 2 2 5 ) 2 趸k = 鲁代入式( 2 2 8 ) 并化简，可得 x 。云包一e s i n 巴+ 吃s i n 瓯 甄= e c 。s 眈一去+ t c 。s 瓯 式中6 0 = t g - f k 足, s 。i 。n 。0 。z 万 这时- 滚刀的法向齿距p 协只2 毒 模数m n 为： m = 詈 式( 2 2 8 ) 式( 2 2 9 ) 由此看出当r = r 时，滚刀齿廓的计算公式可大大简化。同时从滚刀 齿廓方程及p n 、m n 的计算公式看出，他们的数值与摆线轮齿数无关，也 就是说，用同一把滚刀可以加工e ( 偏心距) 、k 。( 短幅系数) 、r 2 ( 针齿 套半径) 相同但齿数不同的摆线轮，从而减少滚刀规格和扩大滚刀的使用 范围。 2 2 3 c a m u s 定理法求刀具齿廓 c a r n u s 定理”1 ( 如图2 7 所示) 是用以表述两条摆线互为包络曲线的 条件，其内容为：当某个辅助瞬心线3 沿瞬心线l 和2 滚动时，与瞬心线 3 相固连的c 点在与瞬心线1 和瞬心线2 相固连的平面上所描绘出来的轨 迹a q 和8 一口曲线必能互相包络，互为共轭曲线。 色一乙 咖 生乙 7 一 c 生乙叫 | ；易i x n 斗 s笠乙_ r 尺 = = h 蜘 第2 章拦线齿轮滚刀齿廓设计 图27c a m u s 定理 如图2 8 所示，针轮节圆( 瞬心圆) r b 以其内圆周在摆线齿轮的节圆 ( 瞬心圆) l 的外圆周上作纯滚动，固连在针轮上的一点0 ，( 针齿中心) 的运动轨迹是变幅外摆线。这条变幅外摆线亦可用针轮的等效节圆( 瞬心 圆) r b 在摆线齿轮的等效节圆( 瞬心圆) r 。的外圆周上作纯滚动而固 连在针轮等效节圆上的点o z 的运动轨迹所形成“) 8 2 4 。 图2 8 摆线齿轮与针轮的节圆及其等效节圆间的关系 摆线齿轮与针轮的节圆半径可用下述公式求出： 摆线齿轮的节圆半径r 。：屹= 爿乙 针轮的节圆半径r 。： = a z ： 摆线齿轮的等效节圆半径r 及针轮的等效节圆半径r b 求解如下。 如图2 8 所示摆线齿轮的节圆与针轮的节圆的切点( 啮合节点) 为 p ，等效节刚的切点( 啮合节点) 为p 7 ，两种形成外摆线的方法要使固 连在针轮t = 1 1 勺0 z 点所形成的运动轨迹为同一条外摆线，其条件是：p ，、 吐庆人学硕1 学位论文第2 章摆线齿轮滚刀齿廓设计 o z 、p 要在一直线上，且q q = q q = a ，即o 。o 。o ：谚构成一个平行四 边形，q 瓯= o b o z = r ：。a o ：p q 与凹。尸q 为相似三角形，从中可求得 节圆与等效育圆间的关系： 硒o o p = 而o o p o h o o h p 因为：( 】p 7 2 r 。、q o z = r z 、0 。p = r 。= a z b 、o h p = r b = a z z 摆线齿轮的等效节圆半径r a ，： = r z - 考z 同理可得，a o z p 。晚与尸p q 为相似三角形，节圆与等效节圆的关 系为：坚：坚 o b o zo ，p 因为：嘎p 。= 、晚q = a 、o o p = 、q j p = = a z 。 针轮的等效节圆半径为r b 7 ：2 妻 按照c a m u s 定理，图2 8 中的针轮等效节圆r b 在摆线齿轮的等效节 圆r 。及滚刀的节线p 7 x 上作纯滚动时，- 与皋t y e 等效节圆相固连的0 z 点所描绘出的两条曲线( 摆线齿轮的齿廓曲线及滚刀的齿廓曲线) 必能互 相包络，是为共轭曲线。 y ， 、 i 一l 牧o h “) 0 7 一时v _ 图2 ，9 滚刀齿形曲线的形成 如图29 所示，当针轮的等效节圆r 。7 在滚刀的节线p 7 x 上作纯滚 重庆人学硕十学位论文 第2 章摆线齿轮滚刀齿廓设计 动时，节圆从其起始点p 顺时针滚动v 角至图示位置时，o z 点所描绘 出的曲线方程为： i x = p as i n l y = r b a c o s ￥z 这是针齿半径r ：= 0 时的滚刀曲线。这条曲线的等距线为 x = 一爿s i n p + 七s i n 口 y = 一a c o s 一r z c o s o 口= 喀。i a 丽s i n 。, 一月c o s 式( 2 3 0 ) 式中：a 摆线齿轮的偏心距n 等距线斜角 式( 2 3 1 ) 即为针齿套半径为r z 时的滚刀齿廓方程，给定一系列的1 r 值， 就可计算出滚刀的齿廓曲线。 2 3 小结 本章介绍了摆线的形成和求解摆线齿轮滚刀齿廓的三种方法，其中着 重阐述了外摆线的形成和包络法求滚刀齿廓。本课题设计摆线齿轮滚刀时 采用的就是包络法，因此在2 2 1 节中详细推导了全过程，面对平面啮台 齿廓法线法和c a m u s 定理法只是稍作描述。 在开发摆线齿轮滚刀c a d 系统过程中对滚刀齿形计算部分的编程就 是依据2 2 1 节详细介绍的方法，简要总结如下： 已知d z ( 针齿分布圆直径) 、a 、d z ( 针齿套直径) 和z b ( 摆线 齿轮齿数) 求解r 。、z z ( 针齿数) 1 l ，h 。变化范围的最大值1 i r 。 乃 r = d z 2 + a d z 2 、z z = z b + 1 、妒m ，。= 1 8 0 9 专 三口 由于摆线齿轮滚刀齿形对称于y 轴，故计算是只需计算半个齿形，即 l l ，。的计算范围为0 。v 。，步长可根据需要取。 根挠 公式求得b 、c 、d 的值，带入计算1 l f 角的公式( 2 1 6 ) 即得到 v 值。 根据公式求得e 、f 、g 、h 、m 的值，带入计算n 角的公式( 2 2 3 ) 即得到值。 将求得的v 值和。值带入求解滚刀齿廓各点的公式得到一组对应 值的x 、y 值。 2 0 - 重庆人学硕十学位论文第3 章摆线齿轮滚刀齿廓代圆弧优化设计 第3 章摆线齿轮滚刀齿廓代圆弧优化设计 摆线齿轮滚刀的齿廓很复杂。在对滚刀铲齿时，要作出正确的铲刀齿 廓就很困难。为了便于制造，常用圆弧代替滚刀的理论齿廓。摆线齿轮滚 刀齿形是由凹凸方向不同的两段曲线组成，齿顶是外凸曲线，齿根是内凹 曲线，曲线发生反向的地方是拐点。如果用一段圆弧代替理论齿廓，不能 保证该圆弧必过齿顶、齿根和拐点，如此则齿形精度误差大；如果用多段 圆弧代替理论曲线，虽然可保证过齿顶、齿根和拐点且齿形误差小，但制 造工艺难以实现，无具体实际效益。因此，本论文采用两段圆弧代替理论 曲线，既可满足精度要求，又可便于制造。 3 1 摆线齿轮滚刀齿廓上拐点的确定1 3 1 1 2 1 i 摆线齿轮在传动中受力和磨损最大的一点就是齿廓上的拐点处，而摆 线齿轮齿廓上各点是由滚刀包络形成，摆线齿轮的拐点正是由滚刀的拐点 决定的。摆线齿轮滚刀齿廓曲线上拐点位置的确定对保证摆线齿轮齿廓曲 线上拐点精度是非常重要的。 首先让我们来了解何谓拐点? 设有函数f ( x ) ，如果厂( x ) = 0 ( x = x 。、x 2 x ) 且厂( x ) 在x 的 左右两侧邻近分别保持一定的符号，当两侧符号相反时，( x 0 ，f ( x 。) ) 为 拐点。 直接根掘拐点定义求摆线齿轮滚刀齿廓曲线上的拐点，可对滚刀的齿 廓曲线方程式( 2 2 4 ) 进行二阶求导，求出当二阶导数等于零的1 i ，。( 转臂 相对于摆线齿轮顺时针方向转过的角度) 值，即可求得拐点的坐标值。这 在理论上是可以实现的。但实际推导时，由于摆线齿轮滚刀理论曲线方程 式是一个多重隐函数，其二阶导数相当繁复，现阶段人工或计算机都难以 推导出其显式表达式。本论文采用间接方法求解滚刀拐点，即先求得摆线 齿轮的拐点对应的1 l ，。值，依据摆线齿轮拐点由滚刀拐点所包络这一原 理，将求得的v 。代入滚刀齿廓方程得到滚刀拐点坐标。具体过程如下： 参数方程的二阶导数为 y ”= 等笋式( 3 1 ) z 当要为零时，必须x y x y = 0 。那么，摆线齿轮齿廓曲线方程式( 2 6 ) 分刖取一阶、二i 阶导数，其表达式为： 重庆大学硕十学位论文第3 章摆线齿轮滚刀齿廓代蚓弧优化设计 ；：生c 。8 _ 1 i l h a - - 4 c 。s y “z zz z 。 “x = - i g z sinlqha+一sin“zz ； 。 。 譬s i n _ 1y m + 爿s i n y m 芎“云刊3 1 叫m ” r ，1 垆一芎8 云刊叫m 将x 、z 、y 、y 的表达式代入式( 3 1 ) ，可得 c 参c 。s i ly m 一彳c 。s 妒m 卜笔c 。s 云1 。+ 4 c 。s 。， 一c 一参s i n 芝1 。a s i n g h ) ( - 笔s i n 云1 y 。+ “n y 。，= 。 解式( 3 2 ) 得摆线齿轮拐点对应的转动角为 z ， 妒忱。彳一。0 8 厶ba r z ( z z + 1 ) 因为 k ：筝，式( 3 3 ) 可简化为 r ， 。、7 z ， 一l1 + z ，k ? 2 z b 81 赢 厶 n 1l 卞厶z ， 式( 3 2 ) 式( 3 3 ) 式( 3 4 ) 摆线齿轮滚刀拐点包络出摆线齿轮拐点，两者的转动角1 l ，。相同。所 以将v h a g 代入式( 2 2 0 ) 年1 1 式( 2 2 7 ) 求得相应的v g 和og 值，最后代入式 ( 2 2 8 ) 计算h 滚刀拐点的坐标( x 。，y g ) 。 2 2 重庆人学硕十学位论文第3 章摆线齿轮滚刀齿廓代圆弧优化设训 3 2 拐点确定的论证 摆线齿轮主要应用于重型机械装置，它的传动精度与齿廓的精度密切 相关。摆线齿廓精度应由滚刀来保证，而非精磨来决定( 精磨只能在余量 非常小的情况下，适当提高精度，而主要是提高光洁度) 。摆线齿轮滚刀 齿形精度主要取决于拐点的精确位置，因此拐点的确定对滚刀设计至关重 要。 上一节叙述了本论文如何确定摆线齿轮滚刀拐点。这一求解方法在前 人所撰写的文章和专著中己有介绍，但并未进一步阐述该方法求得的滚刀 拐点是否精确合理。考虑到滚刀拐点的重要性，本论文特地专门针对该问 题进行论证。 通过间接方法，即根据啮合原理，摆线齿轮齿廓上的拐点必由滚刀齿 廓上相应的拐点包络出，求出摆线齿轮齿廓的拐点就可得到滚刀齿廓的拐 点，这在理论上是完全正确的。实际计算时，也一直沿用该方法，但该方 法计算得到的拐点就是滚刀齿廓上真正的拐点还有待证明。 本论文进行论证的过程中应用了数学软件m a t h c a d 6 0 。针对该软件 的特点，按2 2 1 节介绍的求解摆线齿轮滚刀齿廓的步骤，将摆线齿轮齿 廓和滚刀齿廓方程描述成以1 j ，。( 转臂相对于摆线齿轮顺时针方向转过的 角度) 为参数的函数，其中v 和a 同样表达为以_ i l r 。为参数的式子。分别 对摆线齿轮齿廓方程和滚刀齿廓方程求一阶、二阶导数，并用两函数表示 摆线齿轮和滚刀拐点位置特征，即： 彳( _ ；f ，m ) = x o y o x 0 y o 正( 妒m ) = x y x y 式( 3 5 ) 式( 3 6 ) 函数i ( 少。) 为零时，表示对应的1 l r 。所得到的摆线齿轮齿廓上一点为 拐点；同理函数 ( 妒。) 为零时，表示对应的v 。得