（机械制造及其自动化专业论文）抛物线型面Rolling成型研究.pdf

北方工业大学硕士学位论文 摘要 抛物线型面具有能够将垂直入射到型面区域内的平行光聚集在其焦线上的特性，因 此可以被作为反射板应用于太阳能热水器，以提高太阳能热水器的热效率。目前，由于 抛物线型面成型比较困难，成本较高，这在很大程度上限制了其在工程实际中的应用。 r 0 u f o 册i n g 成型是一种节材、节能、高效、先进适用的板金属成型工艺，因此， 用r o o m l i i l g 成型技术来成型抛物线型，对于抛物线型面的低成本、高效率生产，以 及抛物线型面在工程实际中的进一步推广具有积极意义。采用r o l l 蛐g 工艺成型抛 物线型面的技术难点在于，由于成型过程回弹的复杂性，现有的生产技术和工艺尚未解 决像抛物线这样的变曲率截型的制造问题。本文针对太阳能热水器反射板，并结合实验 与有限元仿真分析，探索用r 0 l 怕啦技术成型抛物线型面的方法，对于扩大 l b l l f o l m i n g 的工业应用，提高太阳能节能产品的性能，具有实际意义。 本文在满足一定精度要求的情况下，用最少圆弧段拟合抛物线，将抛物线型面的成 型过程由原来的变曲率问题简化为多曲率问题，并通过分段成型拟合圆弧来成型抛物线 型面。实验结果表明，这一成型方案在工程上是可行的。成型截面形状误差可以控制在 较小的范围内，不影响型面作为太阳能反射板的聚光性能。 本文采用基于b i s w a s 回弹公式的回弹模型进行抛物线型面r 0 m 哪n i n g 成型轧辊 辊型设计，研究结果表明：b i s w a s 回弹公式适用于多曲率型面的r 0 l n n i n g 成型回 弹计算。 本文利用m s c m a r c 对不同成型方案下，抛物线型面的r 0 1 l f 0 玎n i n g 成型过程进行 有限元仿真，并将仿真结果与实验结果进行对比分析，分析结果表明：仿真截面与实验 截面基本一致，正确的仿真分析方法能为工程设计提供可靠依据。 关键词：抛物线型面，r o l l f 0 肌i n g 成型，有限元分析，b i s w a s 公式 - 1 北方工业大学硕士学位论文 s t u d y o np a r a b o l i cc u r v es e c t i o n m a d e b yi b n f 0 m l i n gp r o c e s s p 锄b 0 h c c i l n ，e s e c t i o n ( p c s ) c a n 卿煳：l 仃a t e m e 删班w i t l l i i i i t s o a v 嘲g e t o 龇h e a t p i p e w h i c h i s p u ta t i t s 妣a l l i l l e ，s o i t i s u s e d 雒r e n e c l o r t o e n h a n c c t l l e t l l 锄a lp c 哟皿锄c e o f l a rw a t e rh e a t e r h i ) w e v e r ，d u et 0t h ed i ：丘c i l l t yi i lf 0 啦a n dt h el l i g l lc 0 鸭也cp c s h 嬲n o t 胁w i d e l yu s e dy 戗 r 0 u f b n n i i l gi s 趾e r 舒- s a v i i l g 锄de 伍c i e n tp 贼e s s0 ff o m l i i l gm 酏缸s h e e t w ec 柚 u t h i st e c h i l i c st 0f ( 脚p c s ，i tw mb er e a yh e l p f i l lf o rp r o n 州n gm eu s a g e0 fp c si l l 如咖e c 血gp 砌i c c m 删c a l d i f ! 丘c i i n yo f r o u f o n n 吨p c s e si nt l l e 触岫恤s p 血争 b a c k0 fm e t a ls h e e td i l i j 皿gt l 圮f o n n i l l g 胛0 0 e 豁i sc o m p h c 删，觚dt h ew a yt 0f o r mv 叫疽n g c i l a t t l r es e c t i o nl i l ( cp c si ss 皿l l i l k i l 仞髓 p 州i d e d t l l a tc e n a i n p r e c i s i o n i s m 吒t l l i s p a p e f l l s e s t l l e k l s t c i l n ，e s t o 印胛衄c h p 拙地 孤df 0 皿晦t l l ec u r v e st of b 皿p ( 忑t h ee x p c d m 衄tr e s l l l ts h o w s l a tt l l i sp r 0 蹒s c h e m ei s p 珀c t i c a yf b a s i b l e t h ef o me 舯rc a i lb e 咖仃o e dw i t l l i l la na c c e p t a _ b l el i i i l i t n es p r i n g b a c kn 州e lo ft l l ep c sr o u f o r m 吨p 贼e s si ss e tu pb a s e d 伽m eb i s w a s e q u a t i o n s t i l d y 胛t l l a t t h eb i s w a se q u a t i o nc a l lb eu s e di nc a l c i l l 妇g t h cs p 血g - b a c k0 f r o l l f m m 崦s 。c t i o n w i t l ls c v e f a lc i v 栅 1 恤p a p e ru 蛐f e a 删t ee l 锄e n ta n a l y s i s ) s 0 脚a r em s c m 戤t os i i i l u l a t cm c r o u f o m l i n gp r o c e 鼹o fp ( 洛，t l l es i i i l u l a t i o nr e 蚰ni sc o l 塔i s t e n tw i m n l ee x p e r i l n e n tr c s u l t w l l i c h m e a i 峪t t l a tf e as i l i l u l 撕o nc a i lb ear e l ia _ b l er e f e 姗c ef b rr 0 ud e s i g n k e yw o r d s ：p 批h cc u e 刚i o n ；r o 临础g ；吣b i s w a s 2 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北方工业大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：巷甚先 签字日期：瑚年j 月8 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北方工业大学有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权北方工业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：杏选彩 签字日期：2 3 年夕月子日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：涿1 铆筠像司 通讯地址： 导师签名： 签字日期：0 8 年岁月i 公日 电话： 螂编：蜘g | 硝 北方工业大学硕士学位论文 1 1 抛物线型面简介 抛物线型面( 也称为抛物槽) 由于具有能够将垂直入射到型面区域内的平行光聚集 在其焦线上的特性，因此可被作为聚光器运用于太阳能领域，以提高太阳能设备的集热 性能。工程中，在抛物线型面的焦线上放置热管，组成抛物线型面集热器，利用热管将 光能转化为热能，再由热管中的介质将热能带走，从而实现对太阳能的利用。这一技术 始于1 9 1 2 年，美国人f h l l l ( s h u m 锄在他位于埃及尼罗河边的农场里建立了一个大型的 “抛物槽集热系统 ( 如图1 1 所示) ，利用系统直接产生蒸汽，并用蒸汽带动水泵， 实现对农场的灌溉，同时也实现了太阳能到机械能的转化【1 】o1 9 8 4 年，世界上第一个抛 物槽太阳能发电厂投入使用【2 j ，随后，美国先后在加利福尼亚州建立了9 个抛物槽发电 厂，如图1 2 所示。 近几年，随着太阳能热水器的发展和普及，人们也开始尝试将抛物线型面作为太阳 能热水器的反射板，以提高太阳能热水器的热能效率，如图1 3 所示。其基本的工作原 理如图1 4 所示。 除此之外，抛物线型面还可以应用于制冷空调、采暖、纺织、造纸、印染、海水淡 化等生产和生活领域【3 j o 图1 1s h 啪狮的抛物槽集热系统 1 北方工业大学硕士学位论文 图1 2 太阳能发电厂 太阳光 真空热管 ( a ) 太阳光垂直入射 太阳光 图1 3 太阳能热水器 物线型面 物线型面 真空热管 嘞太阳光斜入射 图1 4 抛物线型面太阳能反射板- 丁作原理图 2 北方工业大学硕士学位论文 1 2r o 呦n _ i l i n g 成型技术及其研究方法 1 2 1l u f 0 】衄缸g 成型简介【4 】嘲 r o m d n i l i i l g 成型是通过顺序配置的多道次成型轧辊，把卷材、带材等金属板带不断 地进行横向弯曲，以制成特定断面型材的工艺技术。 目前，我国对r 0 m d n i l i 】呜成型这一工艺有多种叫法：冷弯成型、冷弯型钢( 冶金 行业多用此叫法) 、滚轧成型、辊扎成型、辊弯成型、滚压成型、滚轮成型、冷轧成型 等。 r o l l f o n n i n g 成型技术在我国的应用始于二十世纪五十到六十年代，在鞍山、上海、 重庆等个别地区，服务于农机业为主。二十世纪八九十年代以来，r o f 0 1 m i n g 成型的工 艺技术在我国等到了长足的发展和广泛的应用。到目前为止，生产机组达到一千多套， 全国冷弯型钢生产能力达到1 5 0 0 万吨年，钢种从单一的普碳钢向高强、耐候、耐火等 钢种发展，主要应用领域有：公路护栏板、汽车、结构型钢、集装箱、钢模板和脚手 架、铁道车辆、船舶、桥梁、输送塔、钢板桩、悬挂输送机导轨、电缆桥架、电器柜、 农业机械、管道支架、电梯导轨、货架、吊顶龙骨、家具与防火设备等等。 1 2 2r o u f b 砌l h l g 成型技术的主要研究方法1 6 j r 0 腧m 血g 成型的理论研究方法主要有以下四种： ( 1 ) 简化解析法及运动学法 简化解析法及运动学法将横向弯曲变形分析和纵向弯曲变形分析分别实现，其中横 向弯曲变形采用弹塑性理论和纯弯曲理论进行分析，而纵向变形将带材视为弹塑性薄壳 进行分析。计算模型与实际变形过程的偏差较大，因而用此方法，只能做初步分析。 ( 2 ) 增量型能量法 增量型能量法取一个架间距进行研究，在空间构型未知的情况下，引进形状函数来 分析整个变形过程。这种方法考虑了整个变形的变形历史，同时也考虑了轧辊对板料的 局部作用，变形分析过程与实际变形比较吻合。缺点在于变形曲面的待定系数少，导致 构型曲面和真实曲面之间的误差过大，从而限制了应力应变分析的精度。另外在处理应 力应变关系时，做的假设过多，导致计算精度降低。 ( 3 ) 有限元法 有限元方法把一个连续的，具有无限多自由度的整体划分成有限自由度的单元集合 体，通过对单元求解，实现对整个连续体的数值逼近。7 0 年代初，人们开始用有限元 3 北方工业大学硕士学位论文 方法分析金属成型中的弹塑性问题。时至今日，有限元法已经能处理几乎所有连续介质 问题，成为一种强有力的工程数值计算方法。然而，在求解上，有限元方法仍存在两大 难题：一是随单元数目增多，需较大的内存空间；二是计算时间过长，机时费用昂贵， 在大型计算机不普及的情况下，其应用受到一定限制。 ( 4 ) 有限条法 有限条法与有限元法相比的主要不同点在于有限条法所取的位移函数，一般是以多 项式和正交级数乘积的形式给出，使得弹性力学问题降维，从而使总刚度矩阵大大降 阶。有限条法虽然能降低计算量，但在整个计算过程中采用了一些假设，如：单元的板 壳结构划分，忽略了坯料沿轧制方向的运动，忽略了坯料内的剪应变，将坯料作为线性 强化的弹塑性体，忽略了中性面的移动，忽略了接触区以外的变形等。因此，它只能近 似地模拟整个变形过程。 随着对成型分析精度的要求越来越高，以及有限元软件的功能的提高，目前 r o m o n i l i n g 成型研究主要采用有限元法。为了解决随着单元数的增多而需要较大的内存 和较长的计算时间，比较可行的方法是在满足一定精度的情况下，对成型过程进行等效 简化建模。本文也将采用有限元法来研究抛物线型面的r o 临m i i l l g 成型。 1 3 课题来源、研究目的及意义 本课题为“北京市创新团队建设”课题的一部分。 现有的太阳能热水器的反射板是由简单的平板或圆弧型面构成的。如果采用抛物线 型面组成复合抛物线型面反射板，则太阳能热水器的热效率将提高6 0 川，同时可 减少真空热管的使用用【8 】，从而降低太阳能热水器的成本，有利于太阳能热水器的进一 步推广使用。 目前，由于抛物线型面成型比较困难，成本较高，这在很大程度上限制了其在工程 中的应用。i b l 蜘砌i i i l g 成型是一种节材、节能、高效、先进适用的金属成型工艺【4 j 。因 此，用r o 骶m 血g 成型技术来成型抛物线型，对于抛物线型面的低成本、高效生产， 以及抛物线型面在工程实际中的迸一步推广具有积极意义。 采用r o u f o 珊i n g 工艺成型抛物线型面的技术难点在于，由于成型过程回弹的复杂 性，现有的生产技术和工艺尚未解决像抛物线这样的变曲率截型的制造问题。本文将针 对太阳能热水器反射板，并结合有限元仿真与实验分析，探索用r o u f b n n i n g 技术成型 抛物线型面的方法，对于扩大r o u f o m i n g 的工业应用，提高太阳能节能热水器的性能 4 北方工业大学硕士学位论文 和降低太阳能热水器的成本，具有实际意义。以便为下一步向产业界转移本技术做出探 索性结论。 1 4 课题研究内容 本课题的主要研究内容： ( 1 ) 抛物线的曲率分析与拟合建模； ( 2 )建立抛物线型面r o 蛐g 成型回弹模型，并针对一种规格的太阳能热水 器的反射板进行成型辊型设计。 ( 3 )在r o l l f o n n i n g 实验成型机上做实验，验证回弹模型的准确性，检验成型截 面与理论抛物线截面的偏差。 ( 4 )利用有限元仿真，并结合验证实验分析，探索多曲率条件下的板金属回弹规 律。 1 5 课题相关研究现状 1 5 1r ( m f o n n i l l g 成型有限元法研究的发展现状 自1 9 9 6 年法国的g 卜删s s 一等人将弹塑性有限元方法引入r o 岣n i l i n g 成型仿 真以后，不同国家的学者先后将这一方法运用于许多理论研究和工程实践之中。 日本学者木内学【1 0 】将计算机仿真技术应用于对异形管的r 0 m d 皿i n g 成型；n i c h 的m 0 等人【1 1 】用基于平面应变的刚塑性有限元法对开槽轮缘的r o 胁衄i n g 成型的 塑性应变进行了仿真；韩国的s l l l ( m o oh 0 n g 等人【1 2 1 对成型长度对r 0 u f o 肌i n g 成型的影 响进行了仿真分析，考虑了材料特性，板料厚度，轧辊直径，材料变形，并用仿真结果 的纵向应变与实验结果进行了对比，得出了加工硬化是决定预变形板料成型长度的主要 因素。n a b 0 0 m 等人【1 3 】将刚塑性有限元方法和二次多项式回归分析方法用于厚壁圆 管初始带钢边部形状的预测和设计，得到了优化解。伊朗的m f a i i z i n 等人【1 4 j 用有限元 方法对r ( 心蛐g 成型过程的应变挠度限度进行了分析计算，并与实验结果进行对 比，得出结论：当板材的强度是极限因子时，挠度限度与实验结果比较吻合；当挠度限 度己知时，可以得到优化设计的辊花图。m t a j d a l i 等人【1 5 j 对对称开口截面的 i 沁0 砌血g 成型进行了仿真，计算了变形能量，通过最小变形能修正了预估计几何形 状，得出了应力分配情况，并首次提出应考虑剪切应力和包辛格效应。 国内，北方工业大学、北京科技大学、燕山大学等高校的学者以及一些台湾的学者 都进行了相关的研究。其中，王春新【1 6 】对冷弯成型的袋形波缺陷和内半径为零的冷弯 5 北方工业大学硕士学位论文 成型过程进行了仿真，得出袋形波是弹性波、由弯曲过程中板料的横向拉伸和纵向收缩 引起的结论，并通过仿真优化了内弯曲半径为零冷弯工艺的轧辊设计。夏雁刭r 7 】对预 冲孔板料的冷弯成型进行了仿真分析，认为产生孔型畸变的主要原因是板料的冲孔区域 和加工宽度接近，成型角外侧的板产生横向位移而产生孔型畸变，并通过仿真分析优化 了轧辊设计。m g - j o n gs h e u 【1 8 】用l s d 1 价渔对六架次的u 型槽钢的r o f o m l i n g 成型过 程进行了仿真与分析，仿真结果与实验实测结果基本一致；分析结论：板料在弯曲过程 中的轴向应变和切应变都是减小的，而在成型过程中板料的厚度变化是很小的。另外， 他还得出t a 郾c i l i 方法可以用于对辊花图( r o un o w e r ) 进行优化设计。李凯【1 9 j 在分析 肖i s 7 0 冷弯成型特点及变形规律的基础上，以弹塑性大变形有限元理论为基础，对该 截面冷弯成型过程做出合理简化，在m s c m a r c 中建立了计算机仿真的有限元模型，并 成功进行了仿真分析。给出了每道次板材在轧辊中的实际截面参数与理论设计的截面参 数的对比，得出了每道次的纵向应变、成型力的变化规律。依据仿真结果，发现在部分 道次纵向应变较大，易于导致产生边波缺陷，并对该成型工艺提出了改进和优化的建 议。王飞龙例利用大型结构分析软件a n s y s l s d 叮a 对冷弯成型过程进行了仿真， 并对仿真结果进行了分析。仿真结果表明，单元越小，仿真出的回弹量越接近真实值； 使用随动硬化模型仿真的结果要比使用等向强化模型的更接近于实验结果：计算时间越 短，动态效应对回弹的影响越大。 随着各方面技术的进步和经过近十年的发展，有限元仿真技术在r o u f o m 血g 中的 应用取得了很大的进步，解决了很多工程中的实际问题。但是像变曲率成型等较为复杂 的问题却一直没有得到解决，其中主要的一个原因是成型过程中的回弹问题没有解决。 今后，研究和解决回弹问题仍是r o l l f ；0 n n i l l g 成型有限元仿真技术的发展方向之一。 1 5 2 回弹问题及其研究现状 在金属成型过程中，回弹是一种普遍的现象。对于r 0 m d n n i n g 成型过程，可以把回 弹定义为板带离开孔型后的空间形状变化。回弹是由于线弹性卸载而引起的。 r o f o m 洫g 成型时，当板料和孔型接触时，弹性能被存储在板材内；在成型压力移走之 后，弹性能被释放出来，导致板料朝着它原始的方向变形，这就是回弹。 型材产生回弹的直接后果是使型材的形状、尺寸与孔型的形状、尺寸不相符。要使 型材的形状和尺寸达到设计要求，必须在r o i n g 成型的最后阶段，使孔型的形状 及尺寸与型材所要求的尺寸产生一定的偏离( 即使型材产生过弯) ，偏离程度就取决于 回弹量的大小及分布情况【2 1 1 。因此精确地计算出型材卸载后回弹量的大小及分布就显得 十分重要。回弹问题也是r o l l f o m 洫g 成型工艺设计的难点之一。 6 北方工业大学硕士学位论文 蹦g 删。岫和h a n h u ii j i 捌认为影响回弹的因素有五个：弹性模量e ，泊松比， 屈服强度，中性层的弯曲半径，金属厚度。l n cp a p e l e l l 】| 【等人【冽用有限元分析方法通过 计算二维u 型弯曲的回弹问题，分析了影响回弹问题的几个因素。m s 锄u a l l i ，i 驯用有限 元软件包m a r c 仿真u 型弯曲的回弹，并分析了冲模轮廓半径、摩擦、材料特性对回弹 比( s l 蚴a c kr a t i o ) 的影响。 王飞龙【冽经研究得出：冷弯成型回弹规律的解析模型是不可能建立出来的，即不 可能得到通用的精确的回弹计算公式，只能找到其主要影响因素，然后通过计算机数值 模拟进行具体问题具体分析。史永凌【5 j 对比分析了先进高强度钢辊弯回弹的仿真分析结 果和b i s w a s 回弹公式计算结果。研究结果发现b i s w a s 回弹公式不能简单地应用于 先进高强度钢的辊弯回弹计算，而应考虑屈服应力随弯曲角度增加而增大的特性，寻求 新的计算方法。 7 北方工业大学硕士学位论文 2r o f 0 吣成型m s c 胁i 有限元仿真理论基础 r o l 怕m i n g 成型是复杂的非线性问题，本文采用通用非线性有限元软件m s c m a r c 对抛物线型面的成型过程进行仿真分析。 2 1 有限元软件m s c m a r c 简介闭 m s c m a 叫m e n t a t 是最先进的通用非线性有限元软件之一。其中，m s c m a r c 是高 级非线性有限元分析模块，m s c m e n t a t 是m s c m a r c 的前后处理图形交互界面，如图 2 1 所示。 m s c m a r c 是m s c s o f l w a r e 公司于1 9 9 9 年5 月收购m a r c 公司的产品。原 m a r c 公司，全名m a r ca n a l y s i sr e s e 锄h 咖r a t i o n ，始创于1 9 6 7 年，是全球第一 家非线性有限元软件公司。创始人是美国著名布朗大学应用力学系教授，有限元分析的 先驱p e ( h 0m a 觥l 。m a r c 公司在创立之初便独具慧眼，瞄准非线性分析这一未来分析 发展的必然，致力于非线性有限元技术的研究、非线性有限元软件的开发、销售和售后 服务。对于学术研究机构，m a r c 公司的一贯宗旨是提供高水准的c a e 分析软件及其 超强灵活的二次开发环境，支持大学和研究机构完成前沿课题研究。对于广阔的工业领 域，m a r c 软件提供先进的虚拟产品加工过程和运行过程的仿真功能，帮助市场决策 者和工程设计人员进行产品优化和设计，解决从简单到复杂的工程应用问题。经过三十 余年的不懈努力，m a r c 软件得到学术界和工业界的大力推崇和广泛应用，建立了它 在全球非线性有限元软件行业的领导者地位 图2 1m s c m 朗t a t 界面 一8 北方工业大学硕士学位论文 m s c m a r c 是功能齐全的高级非线性有限元软件，具有极强的结构分析能力，可以 处理各种线性和非线性结构分析，包括线性非线性静力分析、模态分析、动力响应分 析、自动的静动力接触、失效和破坏分析等。它提供了丰富的结构单元、连续单元和 特殊单元的单元库。m s c m a r c 的结构分析材料库提供了模拟金属、非金属、聚合物、 岩石、复合材料等多种线性和非线性复杂材料行为的材料模型。m s c m a r c 卓越的网格 自适应技术，以多种误差准则自动调节网格疏密，不仅可以提高大型线性结构分析精 度，而且能对局部非线性应力集中，移动边界或接触分析提供优化的网格密度，既保证 计算精度，同时也使非线性分析的计算效率大大提高。此外，m s cm a r c 支持全自动二 维网格和三维网格重划，用于纠正过度变形后产生的网格畸变，确保大变形分析的继续 进行。 m s c m e n t a t 作为新一代的非线性有限元分析的前后处理图形交互界面，除了具有 强大的功能之外，还提供了丰富的与其他q 址伽软件的接口，如：a l n 舳、 a c i s 、i g e s 、g m o i d 、s t l 、i - d e a s 、n a s t r a n 、p a t r a n 、v s a f s 等。 2 2 空间弹性问题的基本变量和基本方程幽 捌 有限元法中，无论处理力学问题还是热问题，多将其根据相关量与力之间的关系， 将其转换成力学问题，然后进行力学计算，最后将计算结果再次转换回去，达到所需目 的。因此，力学问题是有限元中一个极其重要的部分。弹塑性问题与弹性问题最主要的 区别就在于弹性模量的非常数性，研究弹塑性问题多将其离散化，转换成弹性问题进行 计算。因此研究弹性力学问题在有限元计算中是各种问题的基础。 为突出所处理问题的实质，并使问题简单化和抽象化，在弹性力学中，一般先做出 如下假设： ( 1 )物体内的物质连续性假设：物质无空隙，可用连续函数来描述。 ( 2 ) 物体内的物质均匀性假设：物体内各个位置的物质具有相同特性。 ( 3 ) 物体内的物质( 力学) 特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在各个方 向上具有相同特性。 ( 4 )线弹性假设：物体的变形域外力作用的关系是线性的，外力去除后，物体可 以恢复原状。 ( 5 )小变形假设：物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方程时，可以高阶小 量( 二阶以上) 。 以上假设作为问题简化的出发点。 9 北方工业大学硕士学位论文 下面介绍一下空间弹性问题的基本变量和基本方程，图2 2 为空间问题中的应力分 量示意图。 图2 。2 空间问题中的应力分量 1 三大基本变量 位移：u ，v ，w 应力：叹，口y ，d ：，f 声，r 。 j 立变：s 。，y ，f ：，) ，叫，) ，声，) ，。 2 三大基本方程 平衡方程： 1 0 ( 式2 1 ) 昌 = 暑 一x y z + + + 监瑟竖瑟竖把 + + + 峨一砂堡妙蔓秒 + + + 亟缸蔓觇监缸 北方工业大学硕士学位论文 几何方程： 物理方程： 抛 厶2 i 却 f ，2 面 a w 巳。i a “a y ，一- + 一。矽 a ，缸 a w却 k 2 石+ 石 狮a “ 。i + 面 q 一言h 一h + 吼) 】 勺一丢b 一k + 吼) 】 ；吾k 一肛乜+ q ) 】 a2 i k 一肛鸭+ q j j 1 。石 u 1 2 石k u 1 y 露2i l ， ( 式2 2 ) ( 式2 3 ) 其中物理方程又称本构方程，满足扩展之后的胡克定律，也就是广义胡克定律。 2 3 有限元法的理论基础陶 变分原理是有限元法的数学依据之一，它是有限元法的基础。里兹法是以变分原理 为基础的，可以认为有限元法是里兹法的一种特殊形式。下面主要介绍一下变分原理和 里兹法。 讨论一个连续介质问题的“变分原理 首先要建立一个标量泛函，它由积分形式 确定 2 开，争) 批卉，争卜 c 越4 ， 其中髓为未知函数，f 和e 是特定的算子，q 是求解域，r 是q 的边界。n 称为未 知函数“的泛函，随函数“的变化而变化。连续介质问题的解“使泛函对于微小的变 化砸取驻值，即泛函的“变分等于零 1 1 北方工业大学硕士学位论文 皿一0 ( 式2 5 ) 这种求解连续介质问题解答的方法称为变分原理或变分法。 变分原理是另一种表达连续介质问题的积分形式，在经典的变分原理表达中，问题 的求解是寻求使具有一定边界条件的泛函( 或泛函系) 取驻值的未知函数( 或函数 系) 。这两种表达是等价的，一方面满足微分方程及边界条件的函数将使函数取驻值或 极值，另一方面从变分的角度来看，使泛函取极值或驻值的函数正是满足问题的控制微 分方程和边界条件的解答。 常见的变分原理应用有基于虚位移原理的变分法和基于最小势能原理的变分法等。 基于虚位移原理的变分原理的变分法的基本形式为 = p ；( 嘞，厂五矽y p 。私- o ( 式2 6 ) v 己 其力学意义是：如果力系( 包括内力口和外力尹及于) 是平衡的( 即内部满足平衡 方程，j + z o ，在给定外力边界s 仃上满足儿，t 霉) ，则它们在虚位移( 在给定的 位移边界瓯上满足瓯。t0 ) 和虚应变( 与虚位移相协调、即满足几何方程 峨= 丢伍“+ 函) ) 上所做的功的总和为零。反之，如果力系在虚位移( 及虚应变) 上所作之功的和等于零，则它们一定满足平衡。所以虚功原理表述了力系平衡的必要而 充分的条件。 基于最小势能原理的变分法的表达式可以从虚位移原理表达式出发，推导出势能表 达式为 一句盯擒一( p 韶q + 尸t 私) 拭2 _ ， 其中第一项是应变能，括号内的第一项代表体积力所做的功，第二项代表表面力所 做的功，整个表达式代表势能。后利用硼一0 求出相关量。有限元法求解多用该法。 假如能够找到问题相应的变分原理，那么立刻可以建立求解近似解的标准过程，该 过程是这样的：未知函数的近似解仍由一族带有待定系数的试探函数来表示 h 一蠡一圣f 口f = 矗 ( 式2 8 ) l 1 1 1 2 北方工业大学硕士学位论文 其中口是待定参数；n 是已知函数。将式2 8 代人式2 4 ，得到用试探函数和待足 参数表示的泛函。泛函的变分为零相当于将泛函对所包含的待定参数进行全微分，并 令所得的方程等于零，即 铘。婴面l + 罢国2 + + 罢融。o ( 式2 9 ) 妇1 1 抛2 a 口。 4 由于电，面：，是任意的，满足上式时必然有婴，罢，都等于零。因此可 。d吼d 口， 以得到一绢方释： a 妇 a 妇l a 抛2 a n 抛。 = 0 ( 式2 1 0 ) 这是与待定参数口的个数相等的方程组，用以求解口。这种求近似解的经典方法叫 做里兹法。 里兹法是从一组假定的解中寻求满足泛函变分的“最好 解。显然，近似解的精度 与试探函数的选择有关。采用里兹法求解时当试探函数族的范围以及待定参数的数目增 多时，近似解的精度将会得到提高。下面介绍一下有关里兹法收敛性在理论上的结论。 为便于讨论，假设未知场函数只是标量场妒，此时式2 4 有如下形式 n ( ) 。r 卜芸，) d q + 严( 驴，芸，户r c 式2 近似函数为 矿。芗。曼，口， ( 式2 1 2 ) 妒- = 兰f 口i ( 式2 1 2 ) 当n 趋于无穷时，近似解歹收敛于真正解的条件是： ( 1 ) 试探函数1 ，：，帆应取自完全函数系列。满足此要求的试探函数 1 3 北方工业大学硕士学位论文 称为是完全的。 ( 2 ) 试探函数l ，：，虬应满足q 一。连续性要求，即式2 1 2 表示的泛函 n ( 妒) 中场函数最高的微分阶数是m 时，试探函数的m _ l 阶导数应是连续 的，以保证泛函中积分的存在。满足此要求的试探函数称为是协调的。 若试探函数满足上述完全性和连续性的要求，则当以呻时，妒一芗，并且n 眵) 单调的收敛于( 妒) ，即泛函具有极值性。 由于里兹法以变分原理为基础，其收敛性有严格的理论基础；得到的求解方程的系 数矩阵是对称的；而且在场函数事先满足强制边界条件( 此条件通常不难实现) 情况 下，有明确的上、下界等值性，长期以来，在物理和力学的微分方程的近似解法中占有 很重要的位置，得到广泛的应用。但是由于它是在全求解域中定义近似函数，实际应用 中会遇上两方面的困难： ( 1 ) 求解域比较复杂的情况下，选取满足边界条件的试探函数，往往会产生难以克 服的困难。 ( 2 ) 为了提高近似解的精度，需要增加待定参数，即增加试探函数的项数，这就增 加了求解的繁杂性。而且由于试探函数定义于全域，因此不可能根据问题的要求在求解 域的不同部位对试探函数提出不同精度的要求，往往由于局部精度的要求使整个问题的 求解增加许多困难。 同样是建立在变分原理基础上的有限单元法，可以认为是里兹法的一种特殊形式， 其近似函数在子域定义，因此可以克服上述两方面的困难。并和现代计算机技术相结 合，成为对物理、力学以及其它广泛科学技术领域实际问题进行分析、求解的有效工 具，得到愈来愈广的应用。 2 4 有限元法的求解步骤刚【3 1 】 有限元法求解的一般步骤如下： ( 1 ) 将单元离散化，即将所需的求解域离散为一组由虚拟的线或面构成的有限个 单元的组合体，这样的组合体能够解析地模拟或逼近求解区域。 q ；q 。，q 。为具有特征的单元 ( 2 ) 单元研究( 所有的力学信息都用节点位移来表达) 1 4 北方工业大学硕士学位论文 单元的节点描述 留。= l ，“：“。】 ( 式2 1 3 ) 利用节点的未知量，选择一组插值函数位移的定义每一个单元内相应位移 ( 场) 模式( 唯一确定性原则，完备性原则) “( 宇) = 口o + 口1 亭+ 亭为几何坐标位置。 所有物理量的表达( 所有力学物理量都用结点位移来表达) 位移：跖。= 。( 亭) 霉。 其中8 皓) 为形状函数矩阵 ( 式2 1 4 ) ( 式2 1 5 ) 应变：f 。= p - 。- p w 。皓) 口- 丑。皓) g 。 ( 式2 1 6 ) 其中b 。皓) 为几何函数矩阵 应力：仃。一d 。= d 。b 。( 亭) g 。= s 。( 亭) g 。 ( 式2 1 7 ) 其中s 。倍) 为物理函数矩阵 势能n 。= 丢，砌。 其中k 为刚度矩阵 k 。2 广盯d 渺d q 单元的平衡关系 k 。q 。一p ( 式2 1 8 ) ( 式2 1 9 ) ( 式2 2 0 ) 该式的实质( 物理含义) 是对应与单元体内的力平衡和单元节点上的力平衡。 ( 3 ) 装配集成 整体平衡关系 k q = p 其中，口= 9 8 ，k ；k 。，p ；p 。 - 1 5 ( 式2 2 1 ) 北方工业大学硕士学位论文 ( 4 ) 处理边界条件并求解节点位移 目的是获得满足位移边界条件的许可位移场， 慝谁】- 引 c ， 其中，吼为未知节点位移，吼为已知节点位移，丑为未知节点力( 即支反 力) ，为已知节点力。 将上式改写成以下两个方程表达式： k 吼+ k 2 吼2 丑 ( 式2 2 3 ) 墨吼+ 墨口七一 可以先由上式直接求出未知节点位移： 碍。一囊i 1 q 一k ：留) ( 式2 2 4 ) ( 5 ) 求支反力 在求出未知节点位移吼后，可求出支反力 一托吼+ 墨吼，毛奸1 假一k 2 吼) + k 。吼 ( 式2 2 5 ) ( 6 ) 其它力学量的计算 由前面的式子可计算单元和整体的应力及应变，即 。；召。鼋。 ( 式2 2 6 ) 盯。一d 。b 。口。 ( 式2 2 7 ) 2 5 壳体理论及单元【3 2 】悯 2 5 1 壳体的定义 壳体是重要的结构形式之一，在工程中有着广泛的应用。它们在几何上的显著特点 是有一个方向的尺寸比其它两个方向的尺寸小得多。如果壳体的厚度h 远小于壳体中面 的最小曲率半径r ( h 瓜1 ，2 0 ) ，则称之为薄壳，否则称为厚壳。 1 6 北方工业大学硕士学位论文 2 5 2 板与壳的不同 壳与板的不同在于板的中面是平面，壳的中面是曲面。平板的中面只有垂直于中面 的位移，即挠度w ，而没有面内的位移。从而，板只产生弯曲变形，所以通常更具体的 称平板问题为平板弯曲问题。 平板中面的位移u ，v 属于弹性力学平面应力问题研究的内容。平面应力问题中结 构的变形是沿厚度均匀分布的，即结构像薄膜一样工作，通常称此变形为薄膜应力( 应 变) 状态。平板中弯曲状态和薄膜状态两者是互相不耦合的。而壳体由于中面是曲面， 工作时中面内的位移u 、v 和垂直于中面的位移w 通常是同时发生的，而且弯曲状态和 薄膜状态是相互耦合的，必须同时进行分析。 2 5 3 壳体理论的基本假设 为了便于求解，引入一定的假设，使之简化为二维问题。这可以使计算量得到很大 的缩减，同时可以避免因求解方程系数矩阵的元素间相差过大而造成的困难。 壳体理论基于下述基本假设： ( 1 ) 垂直于壳体中面方向的正应力很小，将其忽略不计。 ( 2 ) 壳体中面法线变形过程中保持为直线，且中面法线与其垂直线段之间的直角 也保持不变，这意味着忽略这两个方向的剪应变。 ( 3 ) 与中面平行的截面上的正应力远小于其垂直面上的正应力，因而可以忽略它 对变形的影响。 2 5 4m s c m a r c 中的常用壳单元 ( 1 ) 7 5 号单元 7 5 号单元为四节点厚壳单元，每个节点具有6 个自由度。位移和旋转用双线性插 值。膜应变从位移域获得，曲率从旋转域获得。在边的中部计算横向剪切应变，插值到 积分点。该单元可以用于曲壳分析和复杂的板结构分析。由于7 5 号壳单元比标准的高 阶壳单元公式简单，计算代价低，因此，常用于非线性分析。 7 5 号单元在几何上用四个角节点的x ，y ，z 坐标定义，单元厚度在几何选项中指 定，可以输入节点厚度以建立变厚度壳。单元表面局部直角坐标系在质心给出，如图 2 3 所示。 1 7 北方工业大学硕士学位论文 图2 37 5 号单元形式 ( 2 ) 2 2 号单元 2 2 号单元为8 节点厚壳单元，每个节点具有6 个自由度。位移和旋转坐标用二阶 插值。膜应变从位移域获得，曲率从旋转域获得。在1 0 个指定点计算横向剪切应变， 插值到积分点。 2 2 号单元在几何上用四个角节点和四个中点的x ，y ，z 坐标定义，单元厚度在几 何选项中指定，可以输入节点厚度以建立变厚度壳。单元表面局部直角坐标系在质心给 出，如图2 4 所示。 1 8 - 北方工业大学硕士学位论文 图2 42 2 号单元形式 ( 3 ) 1 3 8 号单元 1 3 8 号单元为3 节点，三角形薄壳单元，每个节点有6 个自由度。位移和旋转用双 线性插值。在边的中部计算横向剪切应变，插值到积分点。该单元可以用于曲壳分析和 复杂的板结构分析。 由于1 3 8 号壳单元比标准的高阶壳单元公式简单，计算代价低，因此，常用于非线 性分析。1 3 8 号壳单元对扭曲不敏感。 1 3 8 号单元在几何上用三个角节点的x ，y ，z 坐标定义，单元厚度在几何选项中指 定，可以输入节点厚度以建立变厚度壳。1 3 8 号单元局部直角坐标系指定方式如图2 5 所示。 图2 51 3 8 号单元形式 1 9 北方工业大学硕士学位论文 ( 4 ) 1 3 9 号单元 1 3 9 号单元为四节点壳单元，每个节点具有6 个自由度。位移和旋转用双线性插 值。膜应变从位移域获得，曲率从旋转域获得。由于1 3 9 号壳单元比标准的高阶壳单元 公式简单，计算代价低，因此，常用于非线性分析。1 3 9 号壳单元对扭曲不敏感。 1 3 9 号单元在几何上用四个角节点的x ，y ，z 坐标定义，单元厚度在几何选项中指 定，可以输入节点厚度以建立变厚度壳。单元表面局部直角坐标系在质心给出，如图 2 6 所示。 v l 图2 61 3 9 号单元形式 2 6 材料模型【3 0 】吲【鲳】 m s cm a r c 定义材料模型时，杨氏模量和泊松比是必须定义的。另外，对于板料成 型还需对材料的塑性行为进行定义。 2 6 1 塑性应力应变关系 材料在弹性变形范围内，应力应变的关系是线性的，并可以用胡克定律来描述，应 变可由应力唯一确定。但是，在塑性变形范围内，应力与应变的关系是非线性的，应变 不能由应力唯一确定，而是与变形历史有关。到目前为止，塑性范围内的应力应变关系 还没有一个像弹性范围内的胡克定律那样的统一理论。许多学者提出的各种描述塑性应 2 0 北方工业大学硕士学位论文 力应变关系理论可以归纳为两大类，描述应力与应变增量之间关系的增量理论和描述应 力与全量应变之间关系的全量理论。 ( 1 ) 增量理论情形时的有限元方程 增量理论将考虑真实的加载过程，即变形结果与加载历史有关，其物理方程的增量 形式为 d = d 节( 占k 占 ( 式2 2 8 ) 其中， d 印( ) = d “一d ( g ) 式2 2 9 ) d 印( s ) 的计算将涉及塑性条件各应力应变量描述；屈服条件；流动规律及应 变强化。 d d 为弹性矩阵。 所建立有限元列式的增量形式为 砰( g ) 幻一a p ( 式2 3 0 ) 其中：幻为总体节点位移增量，a p 为外载荷增量，砰白) 为塑性增量理论的刚 度切线矩阵，即 k 尹( 口) = b 盯d ( 口。) 8 。矗q ( 式2 3 1 ) ( 2 ) 全量理论情形时的有限元方程 假设：比例加载，结果只与状态有关，与加载过程无关，则物理方程为 仃 = d 渊( 肼) s 盯 ( 式2 3 2 ) 则所建立的有限元列式为 k 印k ) 口= p ( 式2 3 3 ) 其中 k 节白) = 产盯d ( g 。) 8 。d q ( 式2 3 4 ) o q 。 由于弹塑性本构关系，这时的k ( q ) 是q 的函数，而不是定常数矩阵。 2 6 2 塑性行为的基本法则 在m s c m a r c 中，材料的塑性行为由以下三个基本法则描述：首先是屈服准则 ( y i e l dc j r i t e r i o n ) ，它确定一个给定的应力状态是在弹性范围还是发生了塑性流动；其 次是硬化法则但a r d e i l i 】唱r u l e ) ，确定随着变形的发展屈服准则的变化；最后是流动法则 2 1 北方工业大学硕士学位论文 惭r u l e ) ，描述塑性应变张量增量与当前应力状态的关系并以此形成弹塑性本构关系 表达式。 在单轴的情况下，载荷f 和变形“的曲线可以转