（基础数学专业论文）具结构阻尼的非线性梁方程的初边值问题.pdf

具结构阻尼的非线性梁方程的初边值闻题 摘要 零文辚究稚线往粱方程 + 搿十妇一f 群+ 芦( i “翱融 + 戳 u u = d x ) v 吒+ 1 档糊+ 警 蚝i 蚝尝r i 托i 辞，j0jo 0 o 为常数，m l 1 ，m z 1 0 为 熬数 襁第= 章中，当r o 时，通过构造问题( 1 ) 一( 3 ) 的修正证势井并借助于一个薪的 g r o n w a t l 蘩辍分不等式，凌蔗g a l e r k i n 方法粕紧致健寇淫证镄了潮惩( 1 ) ( 3 ) 存在熬俸 弱解，主要结论为： 愆莲，疑r o ，藩m e w ，搬舔硪登 轫帕l2 ( p 慨z + 2 ) e ( o ) ) 昔 o 时闻煺( 1 ) 一( 3 ) 解的濒近性，志要 续暴必： 定理2 。蓉问题( 1 ) 一( 3 ) 的整体弱解存在，蛳w ，“l 日3 ，r o 且 l 。c + 2 警鳓，) 譬 t ， 贼丽越( 1 ) 一 3 ) 的砖宥翔下能纛债计： ( 1 ) 如果p i = o 且m l 一2 m 2 十1 ，则 e ( t ) e ( o ) e 。o “f 0 其中c t - 1 3 + = m 卜一l ，0 ； ( 2 ) 髁p 0 且蚓芍筹掣2 测 e ( f ) ( e ( o ) 一每+ 鲤孚堕( t 一1 3 + ) 一考，f o ， 其中， ，圣( e ( o ) ) 是依赖| i 和| “，| 的正常数 在第四章中，我们对r 0 的情况，利用g a l e r k i n 方法和紧致性原理证明问题( 1 ) 一( 3 ) 整体弱解的存在唯一性结果为： 定理3 设r 0 ，u 0 h 6 n h ，“t h ，则问题( 1 ) 一( 3 ) 存在唯一整体弱解 关键词：非线性粱方程，初边值问题，整体弱解，渐近性 一0 一 i n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b le mf o ra nn o n l i n e a r b e a m e q u a t i o nw i t hs t r u c t u r a ld a m p i n g a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw es t u d yt h ee x i s t e n c ea n dt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fg l o b a lw e a ks o l u t i o n o ft h e f o l l o w i n g i n i t i a l b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o ra nb e a m e q u a t i o n w i t hs t r u c t u r a l d a m p i n g ： “。+ “。+ 胁。一( a + 1 9 ( f ：如) 1 + d ( f ：“：“。z r ) “：“ “。+ _ l “。= r c “( “， o oa r ec o n s t a n t s ，m 1 1 ，m 2 oa r ep o s i t i v ei n t e g e r s i nc h a p t e r2 ，b yc o n s t r u c t i n gt h em o d i f i e dp o t e n t i a lw e l lw a s s o c i a t e dw i t h ( 1 ) - - ( 3 ) a n du s i n gan e wg r o n w a l lt y p ei n t e g r a li n e q u a l i t y ，w eo b t a i nt h eg t o h a tw e a ks o l u t i o nf o rt h e p r o b l e m ( 1 ) 一( 3 ) w i t hr o ，b ya p p l y i n gg a l e r k i nm e t h o d t h em a i n r e s u ti st h ef o l l o w i n g ： t h e o r e mi s u p p o s e t h a tr o ，“o w , u l h 6 a n d 专c ( 毪# 踯) ) 每 ob yu s i n gn a k a o d i f f e r e n c ei n e q u a l i t y t h em a i nr e s l u tr e a d sa s ： t h e o r e m2s u p p o s et h a tt h ep r o b l e m ( 1 ) 一( 3 ) h a sg l o b a lw e a ks o l u t i o n ，u 0 h 3 ，h i h j ，r oa n d y r 4 p + z l 2 ( p 郇2 + ：2 ) _ e ( 。) ) 孑 oa n d ( p l + 2 ) ( 2 m2 + 1 ) ( m l + 1 ) 4 ( m 2 + 1 ) m 1 ，t h e n e 。) ( e ( o ) ) 一每+ 业警业( 一1 3 + ) 一暑，彦o ， w h e r ec t 一1 3 + = m a x t - - 1 ，o ) ，a n dk ，中( e ( o ) ) a r ep o s i t i v ec o n s t a n td e p e n d i n go n | | | a n d | j “in i nc h a p t e r4 ，w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h eg l o b a lw e a ks o l u t i o nf o rt h e p r o b l e m ( 1 ) 一( 3 ) w i t hr ob yg a l e r k i nm e t h o d t h em a i nr e s u l ti st h ef o l l o w i n g t h e o r e m3s u p p o s et h a tr 0 ，0 o 为整数，边界条件( 1 2 ) 称为简支边界条件 方程( 1 1 ) 的各种特殊情况已有一些研究当k = 8 7 = r = 0 时，方程( 1 1 ) 由 w o i n o w s k y - - k r i e g e r 1 提出，它描述的是梁的横向运动1 9 7 3 年，j m b a u ( 2 修正了( 1 中的模型，引入了内阻尼和外阻尼，此时m 。= 1 ，m ：= o ，p ，= o ，r = o ，并利用g a l e r k i n 方法 证明了简支边界和固定边界条件下初边值问题的整体解的存在唯一性和渐近性1 9 9 1 年， r w b a s s 和d z e s c 3 从弹性空间系统的角度也提出了类似的方程 “。+ “一一a 一 口+ 6 i “。2 如+ g l 虬。出) “。一， ( i 4 ) 其中厂为控制函数，表示外输入力y o u ( 4 把( 1 4 ) 化为抽象发展方程，利用半群方法指出 其简支边界问题存在温和解，进一步研究了其惯性流形的存在性g a oh o n g j u n 和g u o b o l i n g ( 5 在r = 7 = o ，m ，= 1 ，m z - 1 为正整数时研究了方程( 1 1 ) 在高维情况的简支边界 条件下初边值问题的吸收集和惯性流形的存在性张建文和李庆士等( 6 ) 研究了如下方程 + 2 啦+ 2 “一c m ( 1 iv “i2 d x ) + ( iv “v 脚d z ) ”= ，o )( 1 5 ) 的简支边界条件初边值问题整体解的存在唯一性和渐近性，其中要求m ( s ) ，( ，) 为一阶 连续可导函数且满足m ( s ) o ，n ( s ) 1 0 ，s n ( s ) 1 0 ，m ( s ) 口+ 卢s 张建国和张建文 7 3 在高维情况在( 1 1 ) 中取，1 = 1 ，m z = o ，p ，= o ，并把( 1 1 ) 的右边项换为厂( t ) 时，证明了其 整体解的存在唯一性此外，w e f i t z g i b b o n ( 8 和p m a s s a t t c 9 都提到方程( 1 1 ) ( m l = l ，m ：= 0 ，口一r ；0 ) ，但均未深入研究s m c h o o 和s k c h u n g ( 1 0 对该问题的有限元 一5 一 g a l e r k i n 近似解得到了三：误差估计上述文献部不能包含一般情况( 1 i ) ，由于方程( 1 1 ) 中含有b a l a k m j t m a n - - t a y l o r 阻尼和多处非线性项，它不同于被广泛研究的k i r c h h o f f 方 程，因此这类方程自提出后直没有太大进展，特别是r e 0 ，7 o 的情况一直无人研究本 文在r 0 时利用一个薪的g r o n w a l l 型不等式，通过构造修正位势井及系列复杂的估 计得到了整体弱解的存在性，然后利用n a k a o 差分不等式得到了解的衰减估计在， 0 时可见文献c 2 0 - - 2 5 ，例如，r w d i c k e y c 2 0 在g ( s ) = ( s ) = o 时得到了方程( 1 6 ) 的初边值问题解的存在唯一性，e b r i t o 2 2 3 在g ( 地) = 辘，( ”) = 0 时得到了其衰减估计，m a s s i l a 2 3 3 和s k o u 6 m o u - - p a t c h e u c 2 4 3 在g ( o ) = 0 但在原 点无多项式增长阶假设和，( “) = o 时得到解的指数衰减估计，j y p a r k 和j b a e 2 5 3 在g ( s ) = 吩，( s ) = 4 5 证明了其初边值问题解的存在性和渐近性当z = 0 时，文 i i 一2 1 3 分别在g ( s ) = o 或g ( s ) = ，( s ) = 0 或，( 5 ) = 4 s 时，对( 1 6 ) 的初边值问题得到了 整体解存在性和不存在性及渐近性其它与方程( 1 6 ) 相关的文献还可见c 2 6 - - 2 8 等 本文的安排如下，第二章利用修正位势井方法证明当r o 时问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 整体 弱解的存在性第三章讨论问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 解的渐近性第四章用g a l e r k i n 方法得到当 r o 时，阏题( 王1 ) ( 1 3 ) 的整体弱解的存在性 1 零l 嵩秘主簧维论 本章讨论如下初边值闻题 妇+ 一十一卜芦噼如卜艿 f l 一如r 卜蚓计一出m ， t o ，o o 失常数，m 。l ，m 。o 秀熬数。 本章褥邋过构造问题( 2 。1 ) ( 2 3 ) 的修正位势井，利用g a l e r k i n 方汝证明整体弱解 的存在性生骚结论如下： 定瑾2 1 设g ，声，毋，r ，声1 ，a o 兔誉数，m 1 t l ，确 i o 为熬数，著鳓形，# ：穰( 掰 且 要+ z f 掣e o ) 广 1 ， 口 l8 p 2f 则问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 襻在整体弱辫h ( z ，t ) 满足 u e l 。( o ，? ；磁 e ，其孛r + 一 0 ，+ 。) ，鳃聚 “( ) 十l ，( s ) q ( 杯( s ) ) d s ，o f o u o 又记 e ( f ) = 去0 地l2 + j ( “) 。 下面用g a l e r k i n 方法构造问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的解设( 毗 为常微分方程边值问题 ”= 一k d ，w ( o ) = ( 1 ) = 0 的对应于特征值( j = l ，2 ，) 的特征函数系组成的l ：( n ) 的标准正交完备系设问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的g a l e r k i n 近似解o ，t ) 表示为 ( 州) 一g m o ) w j ( z ) ， 其中毋。( f ) 为待定系数根据g a | e r k i n 方法，这些系数应满足常微分方程组的初值问题 ( 螂) + ( “一，) + ( ，) 一( 卜p 婚欤) m i + 艿忆如r 1 ) ”一嗍) i 、j0 ， j0 ， j 十7 ( ；i - ，w i ) = r ( j h ，w i ) ， j 一1 ，2 ，m ，( 2 4 ) 当m 一。时 x 1 “。，0 ) 一“m ( z ) = 2 l ( o ， j ) ，q l o ( z ) ，在h 3 n h 2 中，( 2 5 ) ；( z ，o ) 一站h ( z ) = 厶( “1 ，w ，) t 嘶_ ( z ) ，在h 5 中 ( 2 6 ) 由常微分方程理论( p i e a r d 定理) 知，方程组( 2 4 ) 一( 2 6 ) 在某一区间 o ，k ) ( o f 。 0 ，( z ，t ) 在 0 ，丁) 上存在 将方程( 2 4 ) 两边同乘g ，加( t ) 并关于j = 1 ，2 ，m 求和，利用分都积分得 专爰“。 + i i + a8 2 + 磊岛 l ”“l + 1 ) 一者| | l 惫丰； + l i “一1 l2 + 艿( j 。删z ) 2 ”2 + 2 + 7 | l l l 惫丰l = o ( 2 7 ) 上式两边对t 从0 到t 积分( o t 0 ，根据q ，t ) 关于的连续性，有 i ( u 。) 0 ，在t = 0 的某一邻域 设( 2 1 3 ) 成立的最大时间区间为 o ，t 一) ，注意到 讹。) = 焘1 1 l l2 + 搞 + 彘，( ) + 丽l 0 。 站m l l2 “l “ ( 2 1 4 ) 高1 1 ”+ 菇洲2 ，l ( o ) ， ( 2 m ) 因此由( 2 1 1 ) 及( 2 1 5 ) 有- 怕圳2 毪# m 撼毪# 鼬) 毪# 蹦o ) ，娥。( 2 1 6 ) 忆j i2 掣厶( o ) ，f o ，。) 由s o b o l e v p o i n c a r e 不等式和( 2 1 6 ) 有 ril l l p + + z 2 一，、，p ? + 2 f l “1 i 一。+ 2 = 三c + 2l | ，o 一：al j “j j 2 舌c 铲( 毪蹦o ) 训2 族( 0 ， 利用条件( 2 i z ) ，从( 2 1 8 ) 得 rj i “喙p + + z 2 0 “一l l2 + 口i l 。2 一口1 1 “。i i 2 = l l “ i 0 ，t ec o ，f ) 这蕴含着可以取t , , , 一- - - t ，引理证毕 利用引理2 2 ，我们可以推出关于的先验估计注意到， e 。) 吉| 1 o2 + 赤i i ”+ 甄爰年西i i 1 l 2 ， 由( 2 9 ) 和( 2 1 9 ) 有 丢1 1 i i2 + 志i l + 鼎i i 蚓l 2 十州k 矗z r “出+ 州t t 圳喇t e ( o ) ，昀7 ( 2 4 ) 两边对t 求导后同乘量( t ) 并对j = 1 ，2 ，m 求和，得 ( “删，u r n ) + ( ，删) + ( “删，“。删) 一口( 埘，摊础) 一卢( 爰刚训p ，“，) 一a 怯( ：“一z r “，“。) + ，( 爰( i 降) ，) 一r ( 象( i ) ，鸪嘣) ， 注意到 p 翕( | l 1 1m 、) ，) = 一导1 | o “，历d o ” + 2 跏l0 02 ( m l - - 1 ) ( ，) ( 一，) ， d ( 磊d i 挣l “驰r 1 ，) 一a c z m 。+ t ，( f ：加r ( f 0 出+ f ：一出) ( 一，) + m 。“驰r l f k “一出 一1 n 一 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 酬z 时，心舶础一胁出一“诫。出一。， + a 咻以础r 叭叫z ) ， 将上述各式代入( 2 2 1 ) 。有 i i 夏d | | “m “i i2 + 兰2 互d t1 i “。矗1 | 2 + i l “。删 i2 + z ld d ；| 1 “。删0 z + 譬j j o2 荔d i i “。| | z z p m ，i i “。i i z c 一，( u m z , u 。) ( ，。) 2 r ( p 2 十1 八l 1 “，) 州2 m 2 + 1 ) ( 卜叫z 一：“融一：u 。x u a u * d 。) ( ) + d 。“础r ：诎 ( 2 z z ) 注意到 譬| j ”m 历d | ” = 罢爰( 1 l 1 1 2 1 | 垆- 一知”磊dl l ”， = 譬爰 i i i iz m ，o i iz ) - 鲁i i i i2 m 1 ：i i 。c 叩，) 2 ( ，) = 譬爰”叫i ”) 一j 9 m 川”l i i i z c v l ) ( ，。一) ，( 2 2 3 ) 记 h 0 ) = i i “一| | 2 + ai l 。| i2 十l l “。1 i2 + p | | 。| jz 珥li i “。l | z ， 则由( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) 有 虿i 孤d 日o ) + f f | f2 + 7 ( 户，十1 ) ( f h ，“。) = 2 卢m 11 l 。眦i i2 1 ( 。，。) ( 砧，“械) + j 9 m 11 l 矗| i 2 l i “眦1 1 2 ( m i - - l ( 鸪盯，“一) + r ( 户2 + 1 ) ( 1 “。i ，) r 1r 1r 1 + 8 ( 2 m z + 1 ) j 。如) “2 j0 “k 如一j0 “一如) ( t ，)j0jj r 1r 1 + 占( 1 如) “：“i 。如 j0j0 = j l ( t ) + 1 2 ( t ) + 1 3 ( t ) + l ( t ) ，( 2 2 4 ) 其中 ( t ) = 2 卢m l | l “啦| ig ( m t - - 1 ) ( “懈，矩删) ( “。站，“州) ， j 2 ( t ) = 卢m l1 i “。0 2 0 “。| l2 ( m l - - 1 ) ( “。，“。) ， 一1 1 3 ( f ) 。r ( p 2 4 - 1 ) ( 1 “。( f ) f ( “。，) 弘”= p ) ( 2 m z + 1 ) ( j - 娼。如) “= ( 卜：。出一卜一“。出) ( “。) + d ( 卜“。如) - ：“：“。如) 下面对，l ( f ) ，2 ( f ) ， ( ) ， ( f ) 进行估计 j t ( t ) 2 f l m li i “。：i i2 m 1 - - 1 i “。| l 1 l 。1 1i i “。1 1 警( “。i | zc z m t 一，+ o “。 lz j ( 1 f 。一l f 。+ l f 。f l 。) 警 掣纵咿f2 + 掣 掣黜”+ 鼬) = c 】+ c 2 h ( t ) 十c 3 h 2 ( f ) ， ( 2 2 5 ) 其中c - ，c 。，c ，是不依赖于m 的正常数 利用h 6 1 d e r 不等式，( 2 1 6 ) 和目( ) 的定义有 ，z ( t ) 丢胁。 i “。”l f oz c l 一( f | “。f fz + l f l f 。) 譬i l 碥盯+ 警o l 2 m 1 - - 1 ) 挚十争 半 2 毪# 玳，r 。1 一c 1 日( t ) + c 5 h 2 ( # ) ， ( 2 2 6 ) 其中c 。= 等c 5 = 譬 丛# e ( o ) r 利用h 6 1 d e r 不等式，并取s 充分大使s 户z 2 及g 使袁+ 吉+ 专一1 ( 显然q 1 ) ，然后 利用g a g l i a r d o n i r e n b e r g 不等式，有 i a ( t ) r ( p 2 + 1 ) i l i i 敏i i t 忆l i 。1 1 c0 i i1 _ 。l j 。 i i 忆l 鸸。| | c | f 。l f 8i | ”一”i | 。i i f l “。 【 c ( j i “。l l2 n 。+ j i “一i j ) ( 1 i “i lz + j | “。i lz ) c 篙警蹦。，卜 警啪州华恻t ) c e h ( t ) ，( 2 2 7 ) 其中 c s = c 字 毪# 蹦。，r + 萼等础， e 一气1 一去 o ，使 得日( t ) m t 因此，我们得如下先验估计： 引理2 3 在引理2 2 条件下，“。( f ) 有如下先验估计 j j 。l i2 + i | 玛。| | 2 + i l 。| | 2 + l | “。i | “：j | 2 m 2 ，o 丁 ( 2 2 9 ) 3 主要结论的证明 本节给出定理2 1 的证明由( 2 z 0 ) $ l l ( 2 2 9 ) 知，( “。 存在收敛的子列，仍记为 u m 使得当聊一o 。时， “。在r ( o ，t , h 5 0 h 2 ) 中弱星收敛于“；( 2 3 0 ) “。在上尸( o ，t ；h ；n 日2 ) 中弱星收敛于壕；( 2 3 1 ) 。在工”( 0 ，丁；( n ) ) 中弱星收敛于；( 2 3 2 ) 一1 3 r 在l 一“( o ，丁；l 。) 中弱收敛于l i ； ( 2 3 3 ) | “。h 。在l 箱【( o t ) x o ) 中弱收敛于伫：( 2 3 4 ) j “。l 一：在l 籍i ( o 了) n ) 中弱收敛于蚀；( 2 3 5 ) ld + p ll i “j ，d z r ! 。在l 一( 。，t ；l ：( d ) ) 中弱星收敛于仇； ( 2 3 6 ) l、jn f j 。 一。 占( f ! ，“。d 。 “川 。在l 。( o ，t ；l 。( n ) ) 中弱星收敛于他；( 2 3 7 ) l 、jo j 下面证明 伫= k p 由( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 和紧性定理有h 。 在己2 ( o ，丁，工：( f d ) 中强收 敛，故存在子序列，仍记为，使得 恐胁一珥j 2 d z d 剐， 从而 当m 一。时在n e o 丁 中依测度收敛于( 2 3 8 ) 由r i e s z 引理得“。在( o ，丁) 0 上几乎处处收敛于地因此在( o ，r ) n 上几乎处处 有 ! i m k r 2 = 矿2 ( 2 3 9 ) 而由f a t o u 引理有 k 。n l 嘶d x d t 。k 甜，怒 “d x d tj d ( 0 r )j d x ( o r ) l j m i “。| ；d 砌 0 首先我们先给出下列引理 引理3 1 ( n a k a o 不等式 3 3 ) 设p ( 1 ) 是一在 o ，了1 ( 了 1 ) 非增且非负函数，使得 ( ) ”1 乜( p ( f ) - - d 2 ( t q - 1 ) ) ，t e o ，7 ， 其中k 。是一正常数，5 是一非负常数，则有 ( 1 ) 如果s o ，则( r ) ( p ( o ) 一，+ 酊；j i t 一1 + ) ， ( 2 ) 如果s = o ，则( f ) ( 0 ) e 一1 t o + ，t o ，t ， 其中 t - i + 一m a x f l ，o ) ，岛= l o g ( 再k o ) 引理3 2 设问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的整体弱解存在，勘彤m 用1 - i r c ”( ! ! ：寰型e ( o ) ) 彳 l ，则存 在一个确定的常数仉( o 1 ) ，使得 r0 “( ) i l ： 口( 1 一玑) i ib ( f ) 92 ，f o ， 其中栌丢c ( 毪鳓，厂 证由s o b o l e v p o i n c a r e 不等式及( 2 2 0 ) 式，有 r1 i “) 峻：；心”1 lh ，( ) 0p z + 2 一言c 矿24 “r ( d ”a ( # ) 旷 = d ( 1 - - 7 o ) 1 1 “，( t ) ”， o 其中 仉= 卜r d _ c t $ + a 2 ( p 吼z + 2 ) e ( 0 ) r 证毕 定理3 1 设问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的整体弱解存在，“。椭e h 0 b - - ：c ”( 丛 丝e ( 。) j 亍 1 ， 则问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的解u ( x ，t ) 有如下估计： f 1 ) 如果户i = o 且m 【= 2 m ：+ 1 ，则 e ( ) e ( 0 ) p 一婚一l j 丁，f 0 ， ( 2 ) 髁驴。且鲥芍筹掣2 测 e ( f ) ( e ( o ) - 鲁+ 华d 一1 + 霄，。 17 其中中( ( o ) ) 是依赖i i “o ，i l 和i l 蛳的常数 证明 方程( 2 1 ) 两边同乘c f ，并在 f ，h 1 n 上积分，有 其中 忆小圳咎料蚋肛砒r 。玉+ r = e ( t ) 一e ( t + 1 ) 一r i f ( t ) 。 “，。f f 二出 e “) 。扣训h i i 2 + a i i “：i iz + 而u u z ”一南忆”搿 由h o l d e r 不等式及( 3 1 ) 得 “圳m 川d 娟”一如) 存m 刮南出 2 上i i 珥( s ) 峨+ z 出 = 怕山圳壮孙) 寿- 出) 畚 ( 3 1 ) = f ( t ) 2 ( 3 2 ) 在( 3 2 ) 左侧利用积分中值定理，则存在两点“d ，t j _ 和z c - + i 3 ，f h - i ，使得 i lu t ( 。) i i 2 f ( t ) ，i 一1 ，2 方程( 2 1 ) 两边同乘 ( i ) 再在 t 。，屯 力上积分，得 r ，( “( j ) ) + 卢o “。f i 一+ 西 j t r 1 i “i l ：+ 口i i i i2 _ _ 7 - l i “i i ；描十j 9o i iz t l + t ，1 d 。 j f 。 j 一腑础一啦噼叫z r l 忆川2 一q i l , 训，s r u 。l - u 。口、d s 又由分部积分 一腑n 耐x d s ：- f ( u ( t o u ”( f 2 h 瓴神1 ) ) 如+ 脚圳挑 f f 珥( f ) i i l f “( f 。) f f + i f l f l 地f l2 出 r m ) + 刚划p 卟” 如 扣地圳i l 印圳弛+ _ 蚶“础f lil 。l 一1 8 一 ( 3 3 ) ： + 。f f ：( f ：t 。，“”正r j 二“：+ l i “，i i ：。s + f ：i l “。i i | 1 “。1 1 d 。 - l f ( ”怔s u 。p ：i i 姒s ) i i + f ：( ，) + 7 ；f ：k h “c “si j 却：ij f l 十刊：ur u 。d r r “怕川协+ 肌划i i d s 下面估计【3 a ) 右端e e 每一项因为，( “) o ，f o ，注意到 。瓦毛，( “( t ) ) + 燕1 1 “，1 1 十志o “。i i2 + 鼎l l “刈z m - + 搞i i 训h 而i i 训h 赤川2 ( m l + 1 ) 因此， f 2 毪# 删， ”垫掣鼬) ， i i l i2 ( m 1 塑字尘， 由( 3 1 ) ，( 3 6 ) ，p o i n c a r e 不等式及h j i d e r 不等式 姐 “。( 5 ) h + 1 u ( s ) d x d s 玎：i i u , i i p + t 慷( s 圳”z 出犯。e 怕川舛刈“：i i d s 筘。怕川，p l + 孙z ) 籍，出) 南( 警萨) 。，泌：e ， 筘丛乞# 陬 “器配， 北诎r 1 怕刈。出 a l , j o 如) 2 m ：+ z 幽 裂时州“一，叫卵1 a ( r l f ( t ) 。+ ：】芸车“p ( s ) i 目t a ( 删 + 2 ) 裂+ 。器， i iu 一z ” 际知 t 1 “，一 一 凹( t ) ( 譬爷p ) s u pe ( ，) 南， 肛川划i 出( 掣 器：腑，”蚓i 西 一】9 一 3 1 ) ( 3 、5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 d ) ( 3 9 ) ( 3 i o ) f ! 垫引 卢： j j j “。 d s ( 掣h 竽。p ec s ) ， l ，： ，j ， 把( 3 9 ) “3 1 0 ) 和( 3 1 1 ) 代入到【3 t ) 得到 n m ( 刚十刚i i 2 ” 出 蛾( 毪一”。器：阢灯删+ 够( 毪# 一艘肌， 十c 心) 虫笔鲁竺掣p 堑萨b 南 t 袁p + ( 等# 一r 声2 般矾) 另一方面，由引理2 2 ，( “( t ) ) 的定义及( 3 6 ) 可得 叼o ( f f f2 ) a “； f2 一r f f “| f 惫：；，( “( t ) ) ， i i ”。i i2 i i “一i i2 十ai i “，i i2 - - ri i “i i p z + 2 ；- - j ( “( t ) ) ， f e 出2 狮圳+ 肛s 。狮hi i 讲寿祭汁及暑脚训i + 虿志脚训p 个”幽+ c o f i l z ( 础) ) 出 c t e f 。( s ) ) + 口o ”1 幽+ 专f ( t ) 2 ， 其中c 1 = m a xc 1 2 ( m 1 + 1 ) 因为e ( t ) 是非增的，由( 3 1 2 ) ( 3 1 5 ) 和( 3 6 ) 得到 ：2 e o ) 西c 2 ( ，“) s u p ，e o ) 吾+ f ( f ) 。+ f o ) + is u pe o ) 。1 l ，2l o ，垒k 襄笔字竺藉2 时，由( 3 2 0 ) 和( 3 2 2 ) 得 e ( f ) c ，( 1 + f ( t ) 2 p 1 + f ( 幻p + f ( ) 垫专铲 一z ) f ( t ) 2 c 。 1 + e ( o ) _ 兰p l l 2 + e ( o ) 高+ e ( o ) 当兰笔鲁；蔷鲁等每拶i f ( t ) 2 i 西i ( e ( o ) jf f t ) 2 ， 一1 一 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 因此 e 。) 2 + 争中i ( e ( 。) 】生# f o ) ，l + 2 ；告毋1e ( 。) 1 竿【e ( f ) 一e ( f + 1 ) 记中( e ( o ) ) = 归。( e ( o ) ) 掌，对( 3 2 1 ) 利用n 。k a 。不等式，得到 证毕 e ( ) ie ( 0 )粤+ 生! ! ! 垒! ! ! 一2 z 一 ( 3 2 3 ) 第四章r o 时，阉题( 1 1 ) - - 王。3 ) 整体弱解昀存在性 1 雩l 言 本章考虑如下初边值闻愿 十“一+ “。删一 a + 芦( f 畦d 。) 。t 一疗( f “，“嚣d 茹) 抽t 如。十节i 珥h 坼等，i “i 气“， o 0 ，m ，l ，撕o 为薹兹，r e 鸯絮数，r i o ，豫l 舞整数，然辩援意丁 o ，存在唯一的 u e 护( o ，丁；蹦n 日2 ) ，u , e l ( 0 ，丁# 删) 。p ( o ，? p ) 使得“满足秘始条译( 4 3 ) 帮边界条韩( 4 2 ) 以及在下述意义下满足方糕( 4 1 ) ( * t ，咖+ ( 地。，他：) + ( “一，话，) 。+ p ( f n ：d z j l ( “。，神 ，f l、撕，+ l 一器l j 。t “舸蠢z 。( 如t ，痧+ 节( i 赫i 如* ，秘一r ( 1 u ! 屯* ，谚暑。， v 距露n 群2 t 2 一些弓l 理 为利用g a l e r k i n 方法证明问越( 4 1 ) 一( 4 3 ) 的整体弱解的存在性下面先给出一些先验估计设 w j ( x ) 失棠檄努遗僵阚糕 ”一k ，( 0 ) 2 ( 1 ) 一0 的对应特征德( j = l ，2 ) 的特征鞲歌幕维成的口( n ) 的橼准正交完鬻函数蒹设问题( 4 ，1 ) 一( 4 。3 ) 游g a l e r k i n 避 琵解为 此一蚤啪姒z ) 冀串g * 0 ) ( j 一1 ，2 ，m ) 为特定蓉效，m 是鑫然靛擐蕹g a l e r k i n 方法，踟0 ) ( j i ，2 f l 捌) 斑满是常 微分方程组 ( ，撕) + ( ，蛳燃，* * ) 一p 君陵涮。( 铀，w j ) 一2 3 ，r l二_ ， l 一8 【j 。“一“一“正r j ( “t u ，) 4 - q ( 1 “w i t “w ，) 一r ( f u 1 ：“，w ，) = o j ；l ，z ，“5 ) 当一。时 t o ) = “一t “。t ) t