（基础数学专业论文）关于幂等hermite矩阵的研究.pdf

摘要 矩阵理论是现代自然科学，工程技术乃至社会科学许多领域的一 个不可缺少的工具，幂等矩阵与h e r m i t e 矩阵是两个特殊的矩阵，许 多文献对它们都作了许多单独的研究与分析我们将它们结合在一 起，将构成一类更为特殊的矩阵幂等h e r m i t e 矩阵关于幂等 h e r m i t e 矩阵的研究是矩阵理论的重要组成部分，且日益成为应用数 学领域中一个非常活跃和重要的研究方向基于这类矩阵有许多良好 的性质和结构，很有必要对其进行推广并讨论其特殊性质、特殊结构、 各种多项式表示形式、矩阵分解及与空间、m o o r e - p e n r o s e 广义逆的 深刻的内在联系等本文主要研究内容如下： 1 给出了两个幂等h e r m i t e 矩阵的加、减、乘成为幂等h e r m i t e 矩阵的条件，提出了反幂等h e r m i t e 矩阵的概念，给出了两个反幂等 h e r m i t e 矩阵的加、减、乘成为反幂等h e r m i t e 矩阵的条件给出了 幂等h e r m i t e 矩阵的r a y l e i g h r i t z 商的范围 2 提出了空间中幂等h e r m i t e 矩阵的一些特有的性质、计算方 法与表示形式还研究了空间或子空间如何用幂等h e r m i t e 矩阵表 示，两个子空间的并与交用幂等h e r m i t e 矩阵表示的表示式子 3 给出了幂等h e r m i t e 矩阵的满秩分解与谱分解 4 研究了幂等h e r m i t e 矩阵与各种广义逆的关系，给出了用 m o o r e p e n r o s e 广义逆表示幂等h e r m i t e 矩阵与两个幂等h e r m i t e 矩 阵的和、差、积的式子 关键词：幂等h e r m i t e 矩阵；正交投影；m o o r e p e n r o s e 广义逆 a b s t r a c t m a t r i xt h e o r yp l a y sa ni n d i s p e n s a b l er u l ei nm a n yf i e l d s s u c ha sm o d e r nn a t u r a ls c i e n c e ，e n g i n e e r i n gt e c h n i q u ea n d s o c i a ls c i e n c e i d e m p o t e n tm a t r i xa n dh e r m i t em a t r i xa r et w o k i n d so fp a r t i c u l a rm a t r i x ，w h i c hw e r ei n v e s t i g a t e da n d a n a l y s e di nm a n yd i s s e r t a t i o n s i nt h i sp a p e r ，t h ea u t h o rt r i e s t oc o m b i n et h e s et w ok i n d so fm a t r i xi n t oo n ek i n do fm o r e p a r ti c u l a rm a t r i x i d e m p o t e n t - n e r m i t em a t r i x t h es t u d yo f i d e m p o t e n t - h e r m i t em a t r i xi sa ni m p o r t a n tp a r to fm a t r i xt h e o r y ， a n di t i sg e t t i n gt ob ea i la c t i v ea n di m p o r t a n td i r e c t i o ni n t h ef i e l do fa p p l i c a t i o nm a t h e m a t i c s t h i sk i n do fm a t r i xh a s g o o dq u a li t i e sa n dc o n s t r u c t i o n s ， s oi ti sn e c e s s a r yt oe x t e n d i ta n dt od i s c u s si t ss p e c i a lc h a r a t e r s ，c o n s t r u c t i o n s ，f o r m s ， d e c o m p o s i t i o no fm a t r i c e s ，a n dp r o f o u n dc o n t a c t sw i t hs p a c e ， m o o r e p e n r o s ei n v e r s e t h ef o l l o w i n gi st h es t u d yc o n t e n t si n t h i sp a p e r ： 1 o f f e r i n gt h ec o n d i t i o nt h a tt w oi d e m p o t e n t h e r m i t e m a t r i c e s u m ，d i f f e r e n c ea n dp r o d u c ti si d e m p o t e n t h e r m i t e m a t r i x ，p o si n gt h ec o n c e p ti o no fa n ti i d e m p o t e n t h e r m it e m a t r i c e s ，o f f e r i n gt h ec o n d iti o nt h a tt w oa n ti i d e m p o t e n t i i i h e r m i t e m a t r i c e s u m ，d i f f e r e n c ea n dp r o d u c t i s a n t i i d e m p o t e n t h e r m i t em a t r i x ，a n dt h eb o u n do fi d e m p o t e n t h e r m i t em a t r i x sr a y l e i g h r i t z q u o t i e n t 2 p o s i n gs o m es p e c i a lc h a r a c t e r s ，c o m p u t i n gm e t h o d sa n d e x p r e s si o n so fi d e m p o t e n t h e r m it em a t r i xi ns p a c e ，a n d s t u d i n gh o wd o e ss p a c eo rs u b s p a c es h o wb yi d e m p o t e n t - h e r m it em a t r ix 3 o f f e r i n gt h ef u l lr a n kd e c o m p o s i t i o na n ds p e c t r a l d e c o m p o s i t i o no fi d e m p o t e n t 。h e r m i t em a t r i xa n dt h e i r a p p li c a t i o n s t h ef o r m u l ao fc o m b i n a t i o na n dm e e t i n go ft w o s u b s p a c e se x p r e s si n gb yi d e m p o t e n t h e r m i t em a t r i x 4 s t u d y i n gt h er e l a t i o s h i pb e t w e e ni d e m p o t e n t h e r m i t e m a t r i xa n do t h e rg e n e r a liz e di n v e r s e ，o f f e r i n gt h ef o r m u l ao f i d e m p o t e n t 。h e r m i t em a t r i xe x p r e s si n gb y m o o r e p e n r o s e i n v e r s ea n dt h ef o r m u l a ro fs u m , d i f f e r e n c e ，p r o d u c to ft w o i d e m p o t e n t 。h e r m i t em a t r i x e se x p r e s s i n gb ym o o r e p e n r o s e i n v e r s e k e y w o r d s ：i d e m p o t e n t h e r m i t em a t r i x ：o r t h o g o n a lp r o j e c t o r ； m o o r e p e n r o s ei n v e r s e 附件4 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立 进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标 注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果。对本文的研究所做的任何贡献均的个人和集体，均已在文中作了 明确的说明并表示谢意。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承 担 学位论文作者签名： 多即辱l t 只 可 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究声在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存和汇编学位论文。 本学位论文属于 1 保密在年解密后适用本授权书。 2 不保密 ( 请在以上相应的后面达对钩) 学位论文作者签名：鬃力积日期卿i 月忍吒 导师始甲舭爱艮 日期形绛月硼 1i， 主要结论 1 定理设置、昱为反幂等h e r m i t e 矩阵，则p = 丑+ 忍为反幂等 h e r m i t e 矩阵，当且仅当露最= 忍毋= o 证明：先证充分性 因为名2 = 绵，墨= 一丑，昱2 = 迓，= 一忍，则 p = ( 丑+ p o = 互+ 昱= ( 丑+ 昱) = - p ； p 2 = ( 丑+ p 0 2 = 丑2 + 置忍+ 足丑+ 昱2 - - 日2 + 罡2 = 僻+ 迥= i p 再证必要性 由互2 = 识，最2 = 迥，及p 2 = i p ， 可得毋昱+ 罡互= o 用丑左乘上式，我们有 日( 丑+ 丑) = 丑日最+ 最最丑= 竭昱+ 丑只= 0 再将上式右乘丑，得( 埠昱+ 丑昱丑) 丑= 2 珥与毋= 2 丑最毋= o 结合上两式，我们就得到丑最= o 同样，我们也可得到最丑= o ，这样就完成了上定理的证明 2 定理设置、最为反幂等h e r m i t e 矩阵，p = 毋一昱为反幂等 h e r m i t e 矩阵，当且仅当丑最= 最丑= 幔 证明：先证充分性 因为只2 = 丑，墨= 墨，昱2 = 最，最= 昱，则 p = ( 丑一最) = 丑一昱= 弋只一忍) = - p ； v p 2 = ( 置一昱) 2 = 互2 一丑b 一最丑+ 昱2 = 嵋一2 迓+ 迓= 嵋一幔= p 再证必要性 由墨、与、尸是反幂等h e r m i t e 矩阵，得到玎一小盯一最、玎一尸也是 反幂等h e r m i t e 矩阵， 又一p = ( 玎一日) + 罡 由上定理，必有( 一丑) 罡= b ( 一日) = o 即只b = 墨= 幔 当p 为零矩阵时，当然它是反幂等h e r m i t e 矩阵，对两个反幂等 h e r m i t e 矩阵墨、昱的乘积丑昱，仅当丑忍= 0 时为反幂等h e r m i t e 矩 阵，其他情况则不然 3 推论设彳鸠为幂等h e r m i t e 矩阵，则o 半1 ”xx 4 推论设上和m 为c ”的两个子空间，则 三n m = v ( i 一( 忍+ 兄一忍昂) ) 5 推论设三和m 为c ”的两个子空间，则lnm = ( 置昂) 6 定理假定在c ”中内积定义( x ，y ) = y 。x ，设a e c ，a ，以为 a 的全部互不相同的特征根则a 为正规矩阵，当且仅当存在幂等 h e r m i t e 矩阵墨，丑，且只+ 弓仍为幂等h e r m i t e 矩阵，使得，= 乏只； k a - 丑丑 i 暑l 证明充分性 假定a 有分解式彳：圭名p ，其中只为幂等 h e r m i t e 矩阵，且满足只+ 弓仍为幂等h e r m i t e 矩阵，即弓= o o ，) 与 v i j = 只 于是 朋= ( 壹元只) ( 圭劢) ：圭l 以1 2 露：彳彳 f li - i，z i 必要性设a 为正规矩阵，则它是对角化的我们知存在幂等 矩阵丑，罡，满足只弓：o ( f ) ；，：圭只；么：圭丑我们只需证明只 为h e r m i t e 矩阵 因为a 是正规的，于是a 的对应于以的特征子空间( 只) 也是的 对应于石的特征子空间，因而a 与有相同的主幂等阵，有分解式： 三一 么= 丑 暑l 对彳：壹五只两边取转置共轭，得彳：圭硇。 l = ii = l k 注意到，丑满足z 弓= o o 力；，= 只， j ；l 这表明a = 劢也是彳的一个谱分解，由分解的唯一性、a = i = l k 和、 ：圭硇知只：只，i ：l ，2 ，七，即只为h e r m i t e 矩阵 定理证毕 7 定理设置，丑为幂等h e r m i t e 矩阵，则互+ 最一丑b 为幂等 h e r m i t e 矩阵，且# + 昱一丑= ( 互+ 昱) ( 日+ 最) + = ( 丑+ 罡) + ( 日+ 昱) 证明 由幂等h e r m i t e 矩阵的定义及性质易得日+ 与一丑忍为幂等 h e r m i t e 矩阵 v n 因为( 名；最) = ( 乞+ 吃) = ( 墨+ 最一只与) ，利用定理4 5 与4 6 得 日+ 昱一日b = 丑以退，= ( 墨；b ) ( 丑! 忍) + = ( 露；昱) ( 曩) ( 毋+ 昱) + 因为日，昱为幂等h e r m i t e 矩阵，所以墨+ 最一只曼= ( 丑+ 最) ( 丑+ ) + 8 定理设丑，昱为幂等h e r m i t e 矩阵，暑丑为幂等的h e r m i t e 阵，且丑最= 2 丑( 丑+ 昱) + b = 2 p d p , + g ) + 丑 证明若丑昱为幂等的h e r m i t e 阵下面证 墨最= 2 0 ( 丑+ 最) + 最= 2 p 2 ( p t + 昱) + 毋 因为( 只+ b 一日最) b = 昱= 最( 丑+ b 一互忍) 由上定理丑+ 昱一丑昱= ( 丑+ 丑) ( 互+ p o + ， 得( 互+ 昱) ( 互+ 罡) + 昱= 罡= 最( 丑+ 最) ( 丑+ 昱) + 从上式的左右两端分别减去昱( 墨+ 最) + 得， 弓( 置+ 最) + 罡= b ( 丑+ 最) + 丑 这就证明了定理的第二个等号对于第一个等号，我们令 2 忍( 丑+ 最) + 五= 日，因为( 日) c ( 丑) ， 所以日= 丑昱日= 丑最2 b ( 丑+ 最) + 丑= 只是( 丑( 丑+ 昱) + 最+ b ( 丑+ 忍) + 毋) = 墨e ( 墨+ 罡) + 互+ 丑最( 露+ e ) + 忍 = p , p g p , + 昱) + ( 丑+ ) = 只b ( 日+ 昱一日) = 丑昱 证毕 v m 关于幂等h e r m i t e 矩阵的研究 第一章幂等h e r m it e 矩阵与反幂等h e r mit e 矩阵 1 1 引言 矩阵理论与方法已成为现代科技领域必不可少的工具其在数值 分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网 络等学科和矩阵理论有着密切的联系，在经济管理、金融、保险、社 会科学等领域，矩阵理论也有着十分重要的作用幂等矩阵和h e r m it e 矩阵幂是矩阵中两个非常重要的特殊矩阵在统计学中、回归模型的， 变量估计中、在矩阵的分块理论中，幂等矩阵都有很重要的作用 n e r m i t e 矩阵也是他们所需求的一类特殊矩阵，在很多领域都占有极 其重要的地位，因此讨论幂等h e r m i t e 矩阵具有非常重要的理论意义 和实际价值 1 1 1 定义1 1设尸c 舢，如果成立p ：p ，则称p 为幂等矩 阵 1 1 2 定理叫设p c 棚，且尸为幂等矩阵，则 ( 1 ) 尸和，一，都是幂等矩阵； ( 2 ) p 的特征值只可能是1 或0 ，且特征值1 的重数为p 的秩； 1 i 3 定义设p ec 脚，如果成立尸：p ，则称p 为自伴矩阵， 常称h e r m i t e 矩阵 1 1 4 定义对于矩阵p c 舢满足以下两个条件： 高校教师在职硕士学位论文 ( 1 ) p 2 ：p ；( 2 ) p = p 则p 为幂等h e r m i t e 矩阵 1 1 5 定义对于矩阵p ec 雕吲寿足以下两个条件： ( 1 ) 尸2 ：i p ；( 2 ) p 。：一p 则称p 为反幂等h e r m i t e 矩阵 本章研究了幂等h e r m i t e 矩阵与反幂等h e r m i t e 矩阵所特有的结 构和性质 1 2 幂等h e r m it e 矩阵的性质 我们从定义知道，幂等h e r m i t e 矩阵有着独特而良好的结构，也 具有独特而良好的性质 1 2 1 定理若p c 脚是幂等h e r m i t e 矩阵，则 ( 1 ) ( i - p ) 是幂等h e r m i t e 矩阵； ( 2 ) ( k 是正整数) 是幂等h e r m i t e 矩阵； ( 3 ) p 非奇异的话，p 。是幂等h e r m i t e 矩阵； ( 4 ) p 。是幂等h e r m i t e 矩阵 证明利用定义， ( 1 ) ( ，一p ) 2 = ，2 + p 2 2 p = ，一p ； ( 2 ) 因为= p ，所以p 是幂等h e r m i t e 矩阵； ( 3 ) 因为( p 一1 ) 2 = ( p 2 ) = p 一，所以尸一1 是幂等h e r m i t e 矩阵； ( 4 ) 因为( p ) 2 = p 2 = p = p ，所以p 是幂等h e r m i t e 矩阵 1 2 2 定理若p e c 脚是幂等h e r m i t e 矩阵，则p 是正规矩阵 证明：p c 棚是幂等h e r m i t e 矩阵，则( 1 ) p 2 ：p ；( 2 ) p ：p ， 这样即= 即= p p ，所以p 是正规矩阵 关于幂等h e r m i t e 矩阵的研究 1 2 3 推论若p c 脚是正规的且是幂等矩阵，则即。，p p 是幂 等h e r m i t e 矩阵 证明：若p c 棚是正规的且是幂等矩阵，则p 满足即。：p 尸， p 2 = p ( p p ) 2 = p p p p = p p p p = 即，( 尸尸) = p p ， 所以即是幂等h e r m i t e 矩阵 同理，p 是幂等h e r m i t e 矩阵 单位矩阵是幂等h e r m i t e 矩阵 1 2 4 推论地1尸c 是幂等h e r m i t e 矩阵j p 为半正定矩阵 证明若p c 脚是幂等h e r m i t e 矩阵，即尸2 = p ，p ：p ，取任 一z c 一 由内积的定义与性质有( x ，p x ) - ( p x ) z = x * p * x - x * p x ，( p x ，p x ) 0 ( 尸k ，尸譬) = ( p x ) p x = x p p x = x p p x = x p 2 x = x p x 所以 o ，p x ) o即p 为半正定矩阵 两个幂等h e r m i t e 矩阵的积是幂等h e r m i t e 矩阵，但其和与差未 必是幂等h e r m i t e 矩阵对此，我们给出以下性质： 1 2 5 定理设置、为幂等h e r m i t e 矩阵，则尸= 丑+ 昱为幂等 h e r m i t e 矩阵，当且仅当日昱= 最只= o 证明：先证充分性 因为最2 = 毋，丑= 丑，昱2 = 忍，最。= 最，则， p = ( 互+ 最) = 丑+ 最= 互+ 最= p ； p 2 = ( 露+ 足) 2 = 日2 + 墨最+ 罡互+ 墨2 = 丑2 + 2 = 与+ 最= p 高校教师在职硕士学位论文 再证必要性 由丑2 = 置，最2 = 昱，及p 2 = p ， 可得丑昱+ 最丑= o 用丑左乘上式，我们有 弓( 丑+ 昱露) = 名丑忍+ 日曼丑= 丑b + 丑片= 0 再将上式右乘日，得( 丑县+ 丑昱露) 日= 2 暑昱丑= o 结合上两式，我们就得n p , p ：= o 同样，我们也可得到最丑= o ，这样就完成了上定理的证明 1 2 6 定理 设小最为幂等h e r m i t e 矩阵，尸= 日一最为幂等 h e r m i t e 矩阵，当且仅当丑昱= b 日= 最 证明：先证充分性 因为丑2 = 眉，丑。= 互，昱2 = 昱，最= 最，则， p = ( 毋一只) = 墨。一昱。= 墨一昱= p ； p 2 = ( 丑一只) 2 = 日2 一丑罡一最墨+ 足2 = 丑一最= 尸 再证必要性 由日、昱、p 是幂等h e r m i t e 矩阵，得到j 一小j 一只、，一p 也 是幂等h e r m i t e 矩阵， 又，一尸= ( ，一丑) + 最 由上定理，必有( j 一日) 昱= 昱( ，一日) = o 即日昱= 忍只= 昱 1 2 7 定理设彳c 舢是幂等h e r m i t e 矩阵，s 是一酉矩阵，则 s a s 是一个幂等h e r m it e 矩阵 4 关于幂等h e r m i t e 矩阵的研究 证明：由s 是一酉矩阵，则s s = ， 显然( s a s ) = s a s ，( s + a s ) ( s a s ) = s a i a s = s a s ， 即s 。彳s 是一个幂等h e r m i t e 矩阵 1 2 8 定理设s 是一酉矩阵，彳s 是一个幂等h e r m i t e 矩阵， 则彳是幂等h e r m i t e 矩阵 证明：由s 是一酉矩阵，则s 。s = j ，s = s 一 由( s a s ) ( s a s ) = s 。a l a s = s a a s = s a s ，得a a = a ，说明么是幂等的； 由a s = ( s a s ) = a s ，得彳= ，说明彳是h e r m i t e 矩阵 得证 1 2 9 定理嘲彳与b 为幂等h e r m i t e 矩阵，它们酉相似的充分 必要条件是它们有相同的秩 1 2 1 0 定理设a c 脚与b c 删，它们的乘积, 4 b 是幂等 h e r m i t e 矩阵，则要求a b = b a ，另外满足下列条件之一， ( 1 ) a 烈1 ) ( 2 ) 彳b 2 ) ( 3 ) b e 彳 1 ) ( 4 ) b e 么 2 1 2 1 1 定理m ( r a y l e i g h r i t z 商) 设彳坂是h e r m i t e 矩阵， 且设彳的所有特征值按k = 五丸q 厶= k 的顺序，那么 五x x x a x 无x x 对所有的x c 玎成立； k = 屯= 嘴等= m ，k a x 。x a x ， 高校教师在职硕士学位论文 = 五= 映等= 螬x 出 1 2 1 2 推论设彳坂为幂等h e r m i t e 矩阵，则o s 三擘1 x x 1 3 反幂等h e r m it e 矩阵的性质 l - 3 1 定理若p c 脚是反幂等h e r m i t e 矩阵，则 ( i ) ( i i p ) 是反幂等h e r m i t e 矩阵； ( 2 ) p ( k 是正奇数) 是反幂等h e r m i t e 矩阵； ( 3 ) p q 一p ) = 0 证明( 1 ) ( i i - p ) ( i i - p ) = i i i - i ip - pi i + pp = i i i - 2ip + ip = i ( i i - p ) ； ( u - p ) = - i l - p = - i i + p = - ( a p ) ( 2 ) p 2 = i p ；p 3 ：p 2 p = i p p = i i p = i 2 p ；p k = i k - i p p k p k = i t - l p i 七p = i 2 七一2 即= i 2 | | 一1 p 当k = 2 n + l ( 疗n ) 时，i z k - l p = f 2 ( 2 斛1 卜1 p = 广叶1 p = 沪； ( p k ) = ( ，) 露= ( 一尸) 量= ( 一1 ) 七p k ， 当k = 2 n + l ( 疗n ) 时， 。) = 一 综上所述，( k 是正奇数) 是反幂等h e r m i t e 矩阵 ( 3 ) 显然 若p e c 肼”是反幂等h e r m i t e 矩阵，则其对角线上的元素是0 或 1 3 2 定理p e c 是反幂等h e r m i t e 矩阵，则p 是正规矩阵 证明：若p 是反幂等h e r m i t e 矩阵，则( 1 ) p 2 = p ；( 2 ) p = 一p ， 关于幂等h e n n i t c 矩阵的研究 这样即= 一即= p p 所以p 是正规矩阵 1 3 3 定理若p 为幂等h e r m i t e 矩阵，则泸为反幂等h e r m i t e 矩阵 证明 q p ) q p ) = f 2 p 2 = 一p - - i ( i ! p ) ；( 护) = 一护证毕 另外，若p 为反幂等h e r m i t e 矩阵，则护不一定为幂等h e n n i t e 矩阵但，若p 为反幂等h e r m i t e 矩阵，则一护为幂等h e r m i t e 矩阵 因为，若户为反幂等h e r m i t e 矩阵，则( 1 ) p 2 = i p ；( 2 ) p ：一p ， 那么，( 一泸) ( 一i p ) - - i 2 p 2 = 一i p ，( 一护) 。= ( - 0 p = i ( - 尸) = 护所以一沪为幂 等h e r m i t e 矩阵 1 3 4 定理设弘昱为反幂等h e r m i t e 矩阵，则p = 层+ 为反幂 等h e r m i t e 矩阵，当且仅当日昱- - 昱p , = o 证明：先证充分性 因为互2 = 埠，墨= 一只，昱2 = 迓，昱= 一昱，则 尸。= ( 日+ 最) = 日+ 忍= - ( 日+ 最) = - p ； p 2 = ( 丑+ 足) 2 = 丑2 + 丑最+ 忍墨+ b 2 = 互2 + 昱2 = 竭+ 幔= i p 再证必要性 由眉2 = 职，罡2 = 迓，及p 2 = i p ， 可得层最+ 名= o 用丑左乘上式，我们有 丑( 露最+ 昱丑) = 互互最+ 丑皇= 蝎昱+ 丑互= 0 再将上式右乘互，得( i p , h + 暑b 丑) 互= 2 i p , p ：p , = 2 置忍日= o 结合上两式，我们就得到露罡= o 7 高校教师在职硕士学位论文 同样，我们也可得n p ：p , = o ，这样就完成了上定理的证明 1 3 5 定理设丑、忍为反幂等h e r m i t e 矩阵，p = 丑一b 为反幂 等h e r m i t e 矩阵，当且仅当异最= 最只= 幔 证明：先证充分性 因为丑2 = 墨，0 = 日，最2 = 昱，罡。= 只，则 p = ( 丑一) = 丑一昱= ( 丘一最) = - p ； p 2 - - ( p l p 0 2 = 丑2 - p , p 2 一只丑+ 罡2 = 啦一2 退+ 近= 识一噬= i p 再证必要性 由小昱、p 是反幂等h e r m i t e 矩阵，得到一小一最、一p 也是 反幂等h e r m i t e 矩阵， 又一p = ( f f 一丑) + 最 由上定理，必有( i 一丑) 最= 昱( i 一丑) = o 即日另= 与名= 必 当p 为零矩阵时，当然它是反幂等h e r m i t e 矩阵，对两个反幂等 h e r m i t e 矩阵只、的乘积置曼，仅当日最= 0 时为反幂等h e r m i t e 矩 阵，其他情况则不然 关于幂等h e r m i t e 矩阵的研究 第二章空间中的幂等h e r mit e 矩阵 2 1 引言 我们用c ”和r ”分别表示全体n 维复向量和n 维实向量组成的线 性空间设巧和圪为c ”的两个子空间，则它们的和定义为 矿= 巧+ k = 缸+ y ：x e k ，ye ) ，v 也是c ”的一个子空间k 和的公共 部分为kn = 红：z k ，工 如果巧n 匕= ，则称y 是巧与k 的直 接和，记为v = r , ev ：如果c “= ko k ，则称k 和k 是互补的如果 k 和k 是垂直的，即巧上，则称k 和是正交的如果k 与圪既有 矿= ko ，又有巧上k ，我们称巧和k 是正交补空间 对于任意m x n 矩阵彳= ( q ，) ，qe c m ，f ；l ，刀，与其相联系 的有两个重要的子空间：彳的列空间( 彳) = 仁c 辨：x ：a t ，tec 一 ，彳的 零空间y ( 彳) = d e c “：a x = o 在c ”中，每一个标准内积都具有如下形式( x ，少) = 少木z 2 1 1 定义跚设内积空间c “有正交分解= 巧。圪，k 上k ，即 任何都可唯一地写成 x = 五+ 而，五k ，屯k 如果定义变换r ：r 0 ) = 而，则称r 是沿圪到k 的正交投影变换 设r 是沿到k 的正交投影变换，且d i i n 巧- r ，d i m 吃= 力一， r 在任意矿的基下的矩阵a 是正交投影矩阵 我们知道，对任意a c 刀，则彳是幂等h e r m i t e 矩阵等价于彳是 正交投影矩阵 9 高校教师在职硕士学位论文 基于此，幂等h e r m it e 矩阵在空间中有其重要的实际意义本章 我们就进一步研究幂等h e r m i t e 矩阵在空间中的一些特有的性质、计 算方法与表示形式还研究了空间或子空间如何用幂等h e r m i t e 矩阵 表示，两个子空间的并与交用幂等h e r m i t e 矩阵表示的表示式子 2 2 幂等h e r m i t e 矩阵与正交投影 2 2 1 定理值1 若pec 脚，则p 是幂等h e r m i t e 矩阵p 为 c 一= l + m 上沿m 到三的正交投影变换( 其中，l = r ( p ) ，m ： ( p ) ) 证明：“j 由于尸：= p ，由“对任意的等幂矩阵p c 都有 p = r ( 即+ ( 尸) ，且尸是c ”上沿n ( p ) 向r ( p ) 的投影变换，反 之亦然 知，尸是c “上沿m = ( p ) 向l = r ( p ) 的投影变换，现 在只须根据，= p 证明r ( 一上( p ) ，便证明了p 是一个正交投影变 换 为此，任取x ( p ) ，y e r ( p ) ， 则戥= o ，且存在u e c ”，使得y = p u 从而有( x ，j ，) = ( x ，p u ) = ( 尸x ，材) = ( 戤，“) = o 这就表明r ( p ) 上( p ) “仁因为p 为c ”= l + m 上沿m 到l 的正交投影变换，所以必 有l = r ( p ) ，m f n ( p ) ，r ( p ) 上( 尸) ，p 2 = p 下面证明p + = p ，即证对任意的x c 丑都有( p p ) x = o ( 这等价于u ( p 一p ) x 8 2 = o ) 关于幂等h e r m i t e 矩阵的研究 任取西，而c 一，且设毛= 乃+ 毛，屯= 奶+ 乃 其中乃，兄犬( 尸) ，z l , 乞( d ， 一 由于r ( d 与( p ) 互为正交子空间，所以也，z , ) - - o ，i , j = 1 ，2 从而便有 ( 啊，吒) = ( m ，儿+ 乞) = 挑，奶) ( 尸五，而) = ( 毛，尸砭) = ( 乃+ z l ，y 2 ) = ( 咒，兕) 因此 ( p 而，砭) = ( 铂，屯) 或即 ( ( p 一p ) 而，x 2 ) = o 由于恐为任意向量，故可取而= ( ，- p ) x , ，代入上式即有0 ( ，一p ) 五1 1 2 = o 再由而的任意性和范数的性质即不难推出，= 尸证毕 2 2 2 推论嘲幂等h e r m i t e 矩阵与正交投影变换毛一之间存在 着一一对应关系 例如给定l = s p a n i x ，y ，m = s p a n u ，v ，其中x = ( o ，l ，1 ，0 ) t ； y = ( o ，1 ，一1 ，o ) t ；u = ( 1 ，0 ，0 ，o ) t ；v = ( o ，0 ，0 ，1 ) t 试 并求该正交投影变换对应的幂等h e r m i t e 矩阵尸 解显然c 4 = + m ，并且三上m ，由幂等h e r m i t e 矩阵尸与正交 投影变换关系及性质知：l = r ( p ) ，m = n ( p ) ，且对应的变换p 是r ( p ) 上的恒等变换因此 p e x ，y ，u ，v = p x ，p y ，p u ，p v = x ，y ，0 ，0 ， 高校教师在职硕士学位论文 x ，y ，u ，v 。1 = 所以p = x ，y ，o ，o x ，y ，u ，v 。1 = l ：0 三0 7 0 ：0 l 100 0 0 2 2 3 定理吲设仃是c ”到s 的正交投影变换，若甜。，1 1 2 ，材，是s 的 标准正交基， ，蚱，坼小，蚝是c 厅的标准正交基，命 u = ( ，蚱) 掣，则仃在c “标准正交基强，蚱，u r + l ，一，下的矩 阵相似于u u 证明命u 2 = ( l ，一，) 嘴川，则【厂= ( u ，) c 脚 躲叭( ) 堋+ 啊 设 e c ，口= ( 嘶，材2 ，咋，) 贝0 口= 比= u u 口+ 口 而 ： 耳 ： u u 口= ( 地，“2 ，“，) ( z l l ，“2 ，“，) ( 地，“2 ，材，) 1 2 黾 ： x r ： o o o l 。一2，一2 o o l 一2 l 一2 0 o 0 0 l o 关于幂等h c r m i t e 矩阵的研究 = ( ，“，0 ，o ) 五 ： 砟 ： 讫 = 2 i x i + u 2 x 2 + + 蚱s 口= ( “，+ l ，) ( “，+ l ，) ( ，“2 ，“，) = ( o ，o ，0 ，坼+ l ，) 五 ： 砟 ： 而 五 ： ： 毛 i e r + l k l + + z 磊s 上 即 ) = u u 口= u u ( m ，“，) 即盯( 口) = u u u 五 ： x r ： ( 1 ) 设盯( 地，u 2 ，) = ( 嘶，砧2 ，) 彳 则有盯 ) = 盯“，u 2 ，) 西 ： ： 毛 而 ： 砟 ： 矗 = 心，材2 ，材。) 彳 耳 ： x r ： = 以 为 ： ： 而 ( 2 ) 从而由( 1 ) 式和( 2 ) 式有q u u = 删，故有a = u 一1 ( u u 渺 2 3 空间中幂等h e r mit e 矩阵 1 3 高校教师在职硕士学位论文 有了幂等h e r m i t e 矩阵空间中正交投影的这种一一对应，我们可 以进一步讨论用幂等h e r m i t e 矩阵来表示空间与空间间的运算 2 3 1 定理啪设和m 为c ”的两个子空间，则 ( 1 ) t a m = ( 兄i o ) v ( 最i 一) = ( 0 ；) l ，( 忍：- ) ( 2 ) l a m = v ( p p + 巳) ( 3 ) l n m = v ( i - p l p m ) = v ( i - p 盯p l ) 证明( 1 ) 显然x l o m 3 u ，c ”使得 1 4 x = 忍“= 毛1 ， c ，x = 置甜，c 咒；一昂，( ：) = 。， 或x = v ，( 最；一p u ) ( u ) v = 。 x = c 兄；。，( ：) ，( ： y c 昱! 一j 乙， 或x = c 。；j 。，( ：) ，( ：) y c 忍；一j 。， 营l n m = ( 最i o ) v ( p 工；一) = ( o ；昂) v ( li - - 气) ( 2 ) 若x 上n m ，则乓x = 匕x = o 即x y ( 曩+ 气。) 反过来，若x y ( 0 + 匕) 则囊x + 巳x = o 即( i - - p l ) x + ( i - - 昂= 0 也就是2 x = p l x + p u x 两边取范数，利用三角不等式及0 最x 0 ，0 昂x l i 0 ，则p 为幂等h e r m i t e 矩阵，当且仅当 ( 1 ) p 2 = p ； ( 2 ) mp 为h e r m i t e 矩阵 证明必要性当p 为幂等h e r m i t e 矩阵时，( 1 ) 成立假 设p 为幂等h e r m i t e 矩阵，且是向子空间s 的正交投影阵，则对任意 给的x c ”，y e c ”，有p x s ，( j p ) y e s 上 于是x * p * m ( i p ) y = o 对一切x e c ”，y e c “，这表明p * m ( i p ) = o 上式等价于p 宰m = p 奎脚 因此式右端是h e r m i t e 矩阵，所以( 2 ) 得证 充分性 对任何幂等阵彳，都有4 = 巴( p m 椰，结合( 1 ) ，得 尸= 乞( 尸x ，( ，) = 乞( j p m ，- p ) 问题归纳为证明g ( i 一尸) = ，( p ) 上 事实上，因为mp 为h e r m i t e 矩阵，故有m p = p * m ，用尸左乘，并 高校教师在职硕士学位论文 利用p 为幂等阵 可得p * m p = p * m 对任给的x a ( i p ) ，必存在“e c ”，使得x = ( ，一尸) “ 利用p * m p = p * m ，我们有t * p * m ( i p ) u = 0 对一切，c 一成立这就证明了x = ( ，一p ) ucy ( 尸) 上 从而证明了( ，一即c 7 ( 尸) 上 对于n 阶幂等阵彳，有，( 彳) = 加( 彳) ，则 d i m ( j p ) = r ( i - p ) = t r ( i p ) = n - t r p = v i 一广( 尸) = d i m a ( p ) 上 结合( ，一p ) cy ( p ) 上就得至l j ( ，一p ) = y ( 尸) 上 定理证毕 3 2 6 定理设在c 一中定义标准内积为( x ，y ) = y x ，则p 为正 交投影阵，当且仅当p 为幂等h e r m i t e 矩阵，即 ( 1 ) p 2 = p ； ( 2 ) 尸= p 3 2 7 定理嘲设aec ，五，五为a 的全部互不相同的特征根， 则a 是可对角化的，当且仅当存在幂等阵丑，最，使得 tk e = o o ，) ；，= e p , ；4 = 五只 3 2 8 定理假定在中内积定义( x ，y ) = y x ，设aec ”， ，以 为a 的全部互不相同的特征根则a 为正规矩阵，当且仅当存在幂等 k