（计算数学专业论文）伪二元函数的hermite插值.pdf

伪二元函数的h e r m i t e 插值 摘要 在最近几十年中，人们对多元函数的逼近做了大量的工作，并取得了一些突 破性的进展。在多元函数中，有一类重要的多元超几何级数，即a p p e l l 级数： 荆凡钳川= 盖警 它在统计学和物理学中应用的非常广泛。近年来国内外不少学者热衷于这类级数 的多元p a d 6 逼近的研究，并取得了丰硕的成果。由于人们在研究该级数时发现 它的系数满足某些规律，于是提出了一类新的多元函数伪多元函数，并讨论 了该类级数的p a d 6 逼近形式。基于一元函数的h e r m i t e 插值思想，我们建立了伪 二元函数的h e r m i t e 插值方法。 在本文第一章，主要介绍了与本文主要结果有关的多项式插值理论及p a d 6 逼近的相关知识。在本文的第二章中，我们首先介绍了a p p e l l 级数，其次综述 了当前对伪多元函数的p a d 6 逼近研究的一些最新的、最为主要的研究成果。本 文的最后部分是我们在伪二元函数的h e r m i t e 插值上所取得的主要研究成果。 关键词 多项式插值，p a d 6 逼近，a p p e l l 级数，伪多元函数，伪二元函数，h e r m i t e 插值 t h eh e r m i t e i n t e r p o l a t i o n o fp s e u d o b i v a r i a t ef u n c t i o n s a b s t r a c t m a n ys c h o l a r sh a v ed o n el a r g en u m b e r so fw o r ki nr e c e n t l ys e v e r a ld e c a d e sf o r m u l t i v a r i a t ef u n c t i o n s ，a n do b t a i n e dh u g ea c h i e v e m e n t t h e r ei so n ek i n do ft h e i m p o r t a n tm u l t i p l eh y p e r g e o m e t r i cs e r i e so fm u l t i v a r i a t ef u n c t i o n s ，n a m e l ya p p e l l s e r i e s 荆 郇= 蠢警 h a v eaw i d ea p p l i n gi ns t a t i c s ，p h y s i c sa n ds oo n i nr e c e n ty e a r s ，s o m ep e o p l ea r ew i d e a b o u tr e s e a r c h i n gi nm u l t i v a r i a t ep a d 6a p p r o x i m a t i o no ft h i sk i n do fs e r i e s a n dg e t p l e n t yo ff r u i t s i nr e s e a r c h i n gt h i sk i n do fs e r i e s p e o p l ed i s c o v e rt h ec o e 筒c i e n t so f t h i sk i n d o fs e r i e s s a t i s f i n g s o m er u l e s t h e nt h en e wk i n do fm u l t i v a r i a t e f u n c t i o n 刚s e u d o m u l t i v a r i a t ef u n c t i o nw e r er a i s e d a n di t sp a d 6a p p r o x i m a t i o n f o r mw e r ed i s c u s s e dt o o t h em a i ni d e aw a sb a s e do nt h ep a d 6a p p r o x i m a t i o no f u n i t a r i a t e b a s i n g o nt h e c o n c e p to fh e r m i t ei n t e r p o l a t i o no fu n i t a r i a t e ，w ec a n e s t a b l i s ht h eh e r m i t ei n t e r p o l a t i o no fp s e u d o m u l t i v a r i a t ef u n c t i o n s i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r , w ei n 舡o d u c et h et h e o r i e so fp o l y n o m i a l s ，a n ds o m e c o r r e l a t e dk n o w l e d g eo fp a d aa p p r o x i m a t i o n i nt h es e c o n dp a r t , w ei n t r o d u c et h e a p p e l ls e r i e sf i r s t ，a n dt h e ns u m m a r i z et h en e w e s ta n dt h em o s ti m p o r t a n tf r u i ta b o u t t h ep a d 6a p p r o x i m a t i o no fp s e u d o - m u l t i v a r i a t ef u n c t i o n s a n dt h e ns o m ef r u i to f p s e u d o - m u l t i v a r i a t ef u n c t i o n sa r ei n t r u d u c e d i nt h e1 a s tp a r t t h em a i nr e s u l t so ft h e h e r m i t ei n t e r p o l a t i o no f p s e u d o m u l t i v a r i a t ef u n c t i o n sa l ei n t r o d u c e d k e yw o r d s ： p o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o n ，p a d6a p p r o x i m a t i o n ，a p p e l ls e r i e s ，p s e u d o m u l t i v a r i a t ef u n c t i o n s ，p s e u d o b i v a r i a t ef u n c t i o n s ，h e r m i t ei n t e r p o l a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得 金目巴王业态堂 或其他教育机构的学位或证书而使川过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明井表示谢 意。 学位论文作者签名： 掘衅 签字日期：& g 年石月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金胆王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权地 王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者繇弗吐罕 签字日期：年月日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期：年月日 电话： 邮编： 致谢 研究生的生活即将结束。回顾几年来的学习、生活、工作，令我感受颇多。 研究生的学习丰富了我的专业知识，严谨了我的治学态度、明确了我的人生目标， 在各方面令我感觉受益匪浅。 在此，首先深深感谢我的导师唐烁教授，几年来，无论在学习还是在研究工 作中，唐老师都给了我谆谆的教诲、悉心的照顾和耐心的指导，这篇论文的完成， 和唐老师的帮助是分不开的。唐老师认真的人生态度、严谨的治学方法、扎实的 理论知识水平和忘我的工作热情必将给我以后的学习和生活以极大的影响。 此外，特别要感谢檀结庆教授，能够在百忙之中抽出宝贵时间，给予我的指 导与帮助。 最后，我还要对所有给过我关心与帮助的家人、老师、同事、同学及朋友表 示衷心的感谢，他们的关心是我的动力之源。也感谢各位学术前辈对本文的评议 和指导。 谨以此文献给他们。 1 1 前言 第一章绪论 多元函数逼近【l - 1 2 】是用简单的多元函数( 例如多元多项式、多元样条函数等) 来近似表达任意多元函数的问题，它是现代函数逼近论中的一个有着重要理论 和实际意义的研究方向。特别是近几十年来，由于科学技术发展的需要，人们 越来越重视对它的研究。 虽然多元函数逼近与一元函数逼近有着一定的联系，但它却不是一元函数 的简单推广。它要比一元情况困难得多，复杂得多。其主要原因是许多一元函 数的逼近理论无法简单地推广到多元函数中。多元函数逼近的方法有很多种， 如多元插值、多元样条函数、多元非线性逼近等。而其中经典的多元函数有理 逼近方法有多元p a d 6 逼近、多元f o b e n i u s - p a d 6 逼近、多元p a d 6 型逼近以及多元 有理样条插值等。 在多元函数中，有一类重要的多元超几何级数，即a p p e l l 级数： 荆凡叫川= i 艺j = o 警 它在统计学和物理学中应用的非常广泛。近年来国内外不少学者热衷于这类级 数的多元p a d 6 逼近1 1 3 d 8 】的研究，并取得了丰硕的成果。由于人们在研究该级数 时发现它的系数满足某些规律，于是提出了一类新的多元函数伪多元函数， 并讨论了该类级数的p a d 6 逼近形式。基于一元函数的h e r m i t e 插值思想，我们 建立了伪二元函数的h e r m i t e 插值方法。而对于伪多元函数这个刚刚提出的概 念，人们还研究甚少。作者在这里的工作是将一元函数的h e r m i t e 插值思想与 伪多元函数结合起来，建立了一种伪二元函数的h e r m i t e 插值方法。 1 2 l a g r a n g e 插值法 插值方法是数值分析中很古老的一个分支，并且它在数值分析的许多分支 ( 例如数值积分，数值微分，微分方程数值解，曲面曲线拟合，函数值近似计 算等等) 中均有较好的应用。 对于某个函数关系y = f ( x ) ，我们可以间接( 如e h 实验( 观察) 或从级数 或微分方程) 求得某些函数值x 0 五，x 。，现在我们要估值萝= 厂( i ) ， t ，f _ 0 ，1 ，玎) 。插值方法的目的，是寻求简单的连续函数驴 ) ，使它在刀+ 1 个点x 0 而，x 。处取给定的值伊( t ) = y ，= f ( x ，) ( f = o ，1 ，n ) ，而在其他处希望 也能近似地代表函数( 工) 。因为q j ( x ) 已是有解析表达式的简单函数，所以它在 x = i 处的值可以按表达式精确地计算出来。这样，我们就可以将q , ( - e ) 看成 罗= 厂( i ) 的近似值了。 一般地，称x 0 而，x 。为插值结点，称函数缈( x ) 为函数f ( x ) 的关于结点 x 0 甬，x 。的插值函数，称y = f ( x ) 为被插函数。 严格地说，插值方法只用于i 落在给定点x 。，x l ，一，x 。之间的情形，所以也 称它为内插法。如果i 落在给定点x 0x 1 ”，x 。之外，并且仍以插值函数缈( x ) 在牙 处的值近似地代替厂( 孑) ，则一般称这种近似计算函数值的方法为外插法。 这里我们只研究多项式插值【1 9 】，亦即9 ( x ) 是x 的多项式的情形。这不仅仅 因为多项式是最简单的函数，而且因为在许多场合，函数f ( x ) 容易用多项式近 似地表示出来。此外，用多项式作插值函数可满意地解决一系列有应用价值的 重要问题，特别是数值积分与数值微分的问题。 首先，我们来介绍l a g r a n g e 插值法。 设y = 厂( 功为实变量x 的单值函数，且己知厂( 石) 在给定的n + 1 个互异点 x 0 x l ，x 。处的值y o ，y l 一，y 抖，即y i = f ( x 1 ) ，扛0 7 1 ，r l 。 对于插值的基本问题是，寻求一个多项式p ( x ) ，使得 p ( x f ) = y f ，i - 0 ，1 ，l t ( 1 1 ) 由此我们可设p ( x ) 为一个m 次的多项式 p ( x ) = a o + a l x + a 2 x 2 + a m - l x 卅1 + a r n x 朋，a 朋0 那么，插值问题归结为如何确定p ( x ) 中的系数a o ，a l ，口2 ，a 肘。使得( 1 1 ) 式成立。这个问题等价于求解方程组 m - i 肼 口o + a i x 0 + + a 嬲一1 x o+ a 棚x o 2 y o 口。+ 口l x l + + 口肿一l x l 卅一1 + 口肼x l ”= j ，1 ( 1 2 ) a o + 口l z n + + 口肘一1 x 月卅1 + 口m x h 肼2 儿 而上述方程组的系数矩阵为 2 a = 1 x o2 而捌 1 x lx 1 2 x l 拼 1 x ，x ? x 0 它是一个0 + 1 ) ( m + 1 ) 矩阵。 当m n 时，4 的列数大于行数，则矩阵么的秩为玎+ 1 。a 的前n + l 列所组 成的行列式为( v a n d e r m o n d e 行列式) 形( 孙，确矗) 竺l 1 x o x l n x o 行 x l 1 x ”x 2 x n ” 那么我们有 w ( x o ，x l ，”，x 州，x 。) = 兀( x j t ) ( 1 3 ) 由( 1 3 ) ，并注意到各x o ，x l ，一，x n 互异，从而线性方程组( 1 2 ) 系数矩阵 的秩为刀+ 1 。它表明( 1 2 ) 的解是不唯一的，即插值问题( 1 1 ) 的解不唯一。 当m 阼时，矩阵彳的行数大于列数，按照( 1 3 ) 式，线性方程组( 1 2 ) 的每m + 1 个方程组成的方程组均有唯一一组解a 。，a 。，口：，a 朋。但一般来说， 如此求出的各组口0 ，a 。，口：，a 脚未必相同，即此时( 1 2 ) 可能是矛盾方程组。 鉴于上述情况，取m = 玎最为适宜。即我们可构造一个玎次多项式p ( x ) 只， 使得p ( x ，) = y ，i = 0 , 1 ，n 成立。 试设想，如果可求出具有如下性质的特殊的插值多项式z ，( x ) 只( 工) ， ( f = 0 , 1 ，玎) t ( x ，) = t名三：歹= 。1 ，” c t 4 ， 则多项式 p ( x ) = y ( x ) ( 1 5 ) 必为满足( 1 1 ) 的多项式。但( 1 4 ) 中上面的等式指出x 0 x l ，一，x 。中除t 外， 均为z ，( x ) 的零点，因此， z f ( x ) = c ( x x o ) ( x - - x i 1 ) ( x x i + 1 ) ( x x n ) 其中c 为常数。但( 1 4 ) 中下面的等式指出 1 ( x f x o ) ( x l x f 1 ) ( x f x f + 1 ) ( x f x 疗) 所以 似，= 芒x 等。罴( x j 蒜舞黼t x f 一 ) 一x f 1 ) l x f x “l ，l z l x ， 记旷( x ) = ( x x o ) o x 。) ，则f ，( 曲又可表示为更简洁的形式 “加揣 q 6 ) 那么n 次多项式 m ) = 喜j ，丽o - ( x ) ( 1 7 ) 为满足插值条件( 1 1 ) 的多项式。 假设存在- - q ( x ) 只也满足插值条件( 1 1 ) ，则刁( x ) = g ( z ) 一p ( x ) 只必以 ，毛，x n 为零点，即玎( 而) = 0 ，扛0 , 1 ，n 。这样一来，1 1 次多项式叩( x ) 竟 然有胛+ 1 个不同的零点，故g ( x ) 兰p ( x ) 。所以( 1 7 ) 表示的力次多项式( 严格 地说，是次数不超过, 的多项式) 是只中满足插值条件的唯一多项式。我们通 常称之为l a g r a n g e 插值多项式，并记为 。(x)=羔y，丽or(x)i=oi“，o “f ， ( 1 8 ) l a g r a n g e 插值公式( 1 8 ) 具有结构清晰、紧凑的特点，因而适合于作理论 分析和应用。 4 1 3n e w t o n 插值法 l a g r a n g e 插值法的缺点为，当插值结点的个数有所变动时( 例如为了提高 精度，有时需要增加插值结点个数) ，l a g r a n g e 因子z ，( x ) ( f = o ，1 ，疗) 就要随之 发生变化，从而整个公式的结构也要发生变化，这在计算实践中很不方便。为 了克服此缺点，我们引入n e w t o n 插值法。 对于以+ 1 个插值结点x 0 x l 一，x n 上的n 次l a g r a n g e 插值多项式，也可以写 成如下形式：。 p 。( x ) = a o + a l ( x x o ) + - i - a 。( x x o ) ( x x 1 ) ( x x 。一1 ) ( 1 9 ) 我们引进记号 c石。，x。，x。，=喜y，密cx，一x，一1 c t 。， 则得到n ( 力与p 川( 工) 之间的关系式： p 。( x ) = p 。一l ( x ) + f ( x o ，工i ，x 。) ( 石一x o ) ( x x 1 ) ( x x 。一1 ) ( 1 1 1 ) 同理， p 。一l ( x ) = p 。一2 ( x ) + f ( x o ，x l ，石。一1 ) ( x x o ) ( x x 1 ) o x 。一2 ) ( 1 1 2 ) 如此继续，最终可得 p 。( x ) = f ( x o ) + 厂( x o ，z 】) ( x x o ) + + 厂( x o ，工l ，x 再) ( z x o ) ( x x 1 ) ( x x 。一1 ) ( 1 1 3 ) 公式( 1 1 3 ) 就是n e w t o n 型插值公式。式中的系数f ( x 。) ，f ( x 。，x ) ， f ( x o ，x l ，x n ) 可由( 1 1 0 ) 式确定。 但是我们发现，系数( 1 1 0 ) 很不好记，因此，我们有必要寻找其他方法来 重新确定它们。为此，我们引入差商的概念。 定义1 1 ：我们令f x - ( x ) ，并且称 f x i , x j 】：丝生型 ( f ，) ( 1 1 4 ) x i x j 为f ( x ) 的一阶差商，称 f x i , x j , x k 】：丝生堕堕型( f 七) ( 1 1 5 ) 石l x 七 为f ( x ) 的二阶差商。一般地，称( 刀一1 ) 阶差商的一阶差商 m 。，x 川，】- 丝型坐羔业丛毡巫趔 ( 1 1 6 ) 再月一x 0 为函数f ( x ) 的刀阶差商。 实际上，由差商的性质可知，n e w t o n 插值公式中的各导数 f ( x 。，x 1 ，x ，) o = 1 , 2 ，纷) 即是厂( x ) 的i 阶差商。这样，我们今后可以根据厂( x ) 的各阶差商来求出f ( x ) 的n e w t o n 插值公式了。为了便于作数值计算，我们常 利用形式如下的差商表： x ( x ) 一阶差商 二阶差商三阶差商 x 0f ( x o ) f ( x o ，x 1 ) f ( x o ，x l ，x 2 )f ( x o ，x l ，x 2 ，x 3 ) 西 f ( x 1 )f ( x l ，x 2 ) f ( x l ，x 2 ，x 3 ) x 2 f ( x 2 )f ( x 2 ，屯) x 3 f ( x 3 ) 由于在行+ 1 个不同的点x 。，而，x 。上取给定值的次数不超过，l 的多项式是 唯一的，故次数相同的n e w t o n 插值多项式与l a g r a n g e 插值多项式是恒等的， 二者的差异仅仅式书写上的不同而已。但这种差异却为计算实践带来了很大的 方便。因为对n e w t o n 插值多项式来说，当增加一个插值结点时，只需在原插值 多项式的后面再添加一个新的项就可以了，十分方便，无需象l a g r a n g e 插值多 项式那样重新计算。 下面，我们再给出一个多项式插值的误差定理： 定理1 。l ：若o ) 于包含着插值结点x 0x l c x 。的区间陋，6 】上n + 1 次可微，则 对任意x 【口，b 】，有与x 有关的孝存在( 口 善 b ) ，使得 ( x ) 一p 。( x ) = 7 1 专气毛厂h + l ( f ) ( 1 1 7 ) l 玎十l j ： 其中仃( 石) = ( x x o ) ( x - - x 1 ) ( x x 。) 。 6 1 4h e r m i t e 插值法 在这一节中，我们来看一类具有重结点的多项式插值方法- - h e r m i t e 插值 法。这类插值问题要求在结点处满足相应的导数条件，所以它也常被称为切触 插值问题。 设 x l x 2 x ， ( 1 1 8 ) 少t ( 乃= o ，吼一1 ；k = 1 ，s ) 为事先指定的实数，其中口1 ，口2 ，口。为正整数： 口1 + 口2 + + 口。= n + 1 ，口t 1( k = 1 ，j ) ( 1 1 9 ) 现欲构造一个y 次多项式p ( x ) 只，使之满足插值条件： p o ) ( 工2 ) = y 七6 ( = 0 ，口女一1 ；k = 1 ，j ) ( 1 2 0 ) 解决问题( 1 2 0 ) 最直接的方法就是待定系数法，即求解由( 1 2 0 ) 所确定的线 性方程组。 这里，我们采用构造基本多项式的方法来解决h e r m i t e 插值问题( 1 2 0 ) 。 构造一批玎次多项式 三止( x )( f = 1 ，s ；k = 0 ，口j 一1 ) 使之满足 l a 。0 ) ( z 晰) = 0 ( ，z i ；h = 0 ，口肺一1 ) ( 1 2 1 ) 和 _ 气= 倍耋竺舻o 一州) ( 1 2 2 ) 只要上述问题一解决，则n 次多项式 p ( x ) = o - - i 厶 ) ( 1 2 3 ) 就必满足插值条件( 1 2 0 ) 。 下面我们来构造k ( x ) 。由( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 知 三酿( x ) = ( x - x 1 ) 啦( x x i _ 1 ) q 一( x x f ) ( x x i + 1 ) 嘶+ 1 ( x x ，) ，止( x ) ( 1 2 4 ) 其中如o ) e q i 一是某口，- k - 1 次多项式。若令 c o ( x ) = ( x - x 1 ) q ( x - x ，) q 则( 1 2 4 ) 可缩写为 7 k 2 若“功 ( 1 2 5 ) 为确定乙( 工) 我们还需利用条件( 1 2 2 ) 和t a y l o r 展开可得 三腑( x ) ：玉兰二苫2 生( 1 + 盯( x - - x t ) 嘶一t + ) ( 1 2 6 ) 比较( 1 2 5 ) 与( 1 2 6 ) ，有 如( x ) = 面1 玉兰云舌窘兰+ 盯7 ( x 一一) 嘶一i + ( 1 2 7 ) 其中仃与盯为确定的常数，k ( x ) 巳一。- ，所以它必定是函数去垦三磐于 x = t 处t a y l o r 展开的前- k 项和。若把这口，一k 项和记为 u 加去陪l n 则由( 1 2 5 ) 式有 姒加器掣陪焉。1 从而 砸，= 斟器耖掣降l - 1 ) 2 8 ， 在( 1 2 0 ) q b i 玟y 6 = f 6 ) ( 办= 0 ，吼一1 ；k = l ，j ) ，则相应的h e r m i t e 插 值多项式为 m ，= 封器耖 ，掣 罾辱川 2 9 ， 式( 1 2 9 ) 即为满足插值条件( 1 2 0 ) 的h e r m i t e 插值多项式。 例1 1 ：设= 口2 = = a 。= 2 ，则相应的h e r m i t e 插值问题为求刀= 2 s - 1 次多 项式p ( x ) ，使之满足 黑2 篓。) 、( ，一 ( 1 3 0 ) p ( x ) = f ( x ，) 、 为推导相应的h e r m i t e 插值公式，我们记仃( x ) = 一t ) 一x ，) ，则 又因 盟c o ( x ) = 离o r ( x ) 2 一= i l il 需= 志j 2 器”+ 一= 一i 工一工- _ t 仃( x )仃( 工i )【仃( x f ) 】2 、 “ 丝o - ( x ) 2 _ 高 o - 一器”枷lj7 ( t ) 2 仃( 石，) 】3v 1 则h e r m i t e 插值多项式为 p = 喜( 蔫) 2 【胞) ( 1 一篇( 卜m ( 卜】 ( 1 3 1 ) 下面，我们给出由h e r m i t e 插值公式( 1 3 1 ) 所确定的误差估计定理： 定理1 2 ：设厂2 j - 1 ( x ) 在【口，6 】上连续，f 2 5 ( x ) 在( 口，6 ) 内存在，又设 asx l x 2 x j 6 则由( 1 3 1 ) 所确定的h e r m i t e 插值多项式p ( z ) = p 2 ( x ) 有如下的误差式 m 慨刺= 等p 】2 ( 1 3 2 ) 其中x t 孝 x 。 9 1 - 5p a d 6 逼近的定义及存在性定理 在自然科学和工程技术的实际计算中，用函数的t a y l o r 展开的部分和作为 该函数的近似是一种最基本的方法。p a d 6 逼近卿2 坝0 是一种特定类型的有理逼 近，它是t a y l o r 多项式逼近的自然引申。概括地说，就是从幂级数出发获得有 理函数逼近式的一种十分简捷而且非常有效的方法。其基本思想就是寻求一个 有理函数( 限定分子和分母的次数) 使其幂级数展开与给定的幂级数顺次有尽 可能多的系数相同。早在十九世纪f o b e n i u s 、j a c o b i 和p a d 6 等数学家就己对这 种逼近( 后人称之为p a d 6 逼近) 进行了深入的研究，并建立了一系列重要而基 本的结果，为以后的发展奠定了基础。但p a d 6 逼近的重要作用，特别是作为从 幂级数展开式中提取更多信息的一种系统方法，则延至上世纪六十年代初期结 合电子计算机的应用始由理论物理学家b a k e r 和g a m m e l 等强调指出，并逐渐 被人们认识。事实表明，p a d 6 逼近的研究和发展与数学中的解析函数论、逼近 论、矩阵理论、连分式【2 3 也7 】以及差分方程等诸分支有着紧密联系，并且它在数 值分析、量子场论、临界现象和控制论等自然科学领域中已有若干功效卓著的 应用。因此，p a d 6 逼近的理论、方法及其应用等到迅速发展并已为越来越多的 科学工作者所重视。 下面，我们对p a d 6 逼近做一简短的介绍。 首先，我们分别介绍一下p a d 6 逼近的三种定义，即：基本定义、p a d 6 一f o b e n i u s 定义和b a k e r 定义。 定义1 2 1 2 8 1 ( 基本定义) ：设y q z 为一给定的形式幂级数，使 高 ( z ) 暑q z 7 ( 1 3 3 ) i - - - o 那么( z ) 在r ( m ，r i ) 中的p a d 6 逼近式就是一个有理分式尸q r ( m ，玎) ，记之为 ( m n ) ，它的t a y l o r 展开与级数( 1 3 3 ) 从首项起连续地有尽可能多的项相同。 即 c 。z 。一p ( z ) q ( z ) = d ( z 口) ( 1 3 4 ) i = 0 口尽可能地大，其中o ( z 口) 表示一个形如巳z 的形式幂级数。 定义1 3 2 羽( p a d 6 f o b e n i u s 定义) ：如果一对( 尸，q ) h 肿( 以 0 ) ) 满足 q ( z ) f ( z ) 一尸( z ) = o ( z 羼+ 斛1 ) ( 1 3 5 ) 则p ( z ) q ( z ) 称为f ( z ) 的p a d 6 逼近式。 定义1 4 跚( b a k e r 定义) ：如果有理函数州q e r ( m ，1 ) 满足 厂( z ) 一p ( z ) q ( z ) = o ( z ”“) 1 0 q ( 0 ) = 1 ( 1 3 6 ) 则叫q 称为fy 芷r ( m ，玎) 中的p a d 6 逼近式，记为【聊，川，。 显然，此定义可等价地叙述为：满足 q ( z ) m ) - p ( z ) = o ( z 斛槲) i( 1 3 7 ) q ( 0 ) = ll 的尸q r ( m ，2 ) 为厂在r ( m ，珂) 中的p a d 6 逼近式。 对于p a d 6 逼近的两类定义：一类是由定义1 2 - 与g y , 1 3 所确定的( m n ) ，； 另一类是由定义1 4 所确定的【m ，疗】，这两类定义之间关系为：若【聊，? 】_ ，存在， 则 ( 叫力) r2 【聊，门】， ( 1 3 8 ) 接下来，我们给出( 叫胛) ，存在的充要条件： 定理1 3 2 s l ：设r = ( m ，帕，则 厂( z ) 一r ( z ) = o ( z 掰蝴“一) ( 1 3 9 ) 厂( z ) 一r ( z ) o ( z ”+ 肿2 一) ( 当z 1 时) ( 1 4 0 ) 的充要条件是对任何非负整数偶( p ，g ) n xn 满足 2 一，p ，珂- i ，0 一z q 刀- l 均有 r a n k h ( p ，q l ，m + 刀一，一p 1 ) = r a n k h ( p + l ，q ，m + 刀一，一p 1 ) ( 1 4 1 ) 以及当z l 时，对任何( “，v ) n x 满足 2 一，+ 1 甜m - i + 1 ， u - 1 + 1 1 ，n - l + 1 均有 r a n k h ( u ，一l ，m + n z - - u ) r a n k h ( u + l ，1 ，m + 胛一，一甜) ( 1 4 2 ) 其中r a n k 表示矩阵的秩。 作为定理1 3 的推论，立即可得【聊，刀】，的存在性定理： 定理1 , 4 f 2 研：( i ) 胁，刀】，存在的充要条件是对任何( p ，g ) n ut 蔚g ：2 p 朋， p q 刀均有 r a n k h ( p ，q l ，打+ 一一p - 1 ) = r a n k h ( p + l ，q ，m + 刀一p 一1 ) 特别地，当p = 朋，q = n 时， ( 1 4 3 ) r a n k h ( m ，r l 一1 ，刀一1 ) = r a n k h ( m + l ，刀，玎一1 ) ( 1 4 4 ) ( i i ) 当矩阵( 肌，力一i ，j ! l 1 ) 非奇异时，咖，n l 存在。 1 2 1 6p a d 6 逼近的行列式表示 对于p a d d 逼近，我们也可以这样来理解： 如果可以找到两个多项式 匕，。( x ) = q ( x - - x 。) i 暑0 绋。( z ) = b ，( x - - x 。) 使得 厂( x ) 瓯，。( x ) 一i m 。( x ) = d ，( x - - x 。) ， ( 1 4 5 ) 其中当0 i m + ，z 时，d ，= 0 。这就是函数f ( x ) 的( m ，刀) 阶p a d 6 逼近问题 用卯表示多项式p 的精确次数，棚表示p 的阶，即第一个非零项的次数。 那么式( 1 4 5 ) 等价于m ( 饱一p ) m + 玎+ 1 。 设厂( x ) ：妻c ，v 其中c ；：掣，扛o ，l ，2 ， 则可以证明下面定理： 定理1 5 ：如果矩阵 d m ，。= c 。 巳+ l c m 棚- l 巳一l e c 埘伽2 是非奇异的，即d 吼d m ，。= d 0 ，则己，。( x ) 和绋，。( x ) 具有如下行列式表示 纵拈卜击p i 1 i c ，棚 o x o ) c 册 c m 卅l 一) ” 巳+ l - 。 c 卅 当k 0 ， 当k 0 ( 1 4 6 ) ( 1 4 7 ) 开 啊 小 小；，锄；巳 v j 一 ， o c 。瑚 ，f1l = 、j伍 瓦 组程 方 性 线 次 齐 定约 ： 中 明 其 证 。付一旧 1 一q _ ，。( x ) + x 6 l + x b 。= 0 ， c 胂+ l + c 。b l + + c 坍一。+ 1 b 。= 0 ， 巳+ 2 + c 掰1 b l + + c 埘哪2 b 。= 0 ， c 肘+ 。+ c 所+ 加l b l + + c 。以= 0 方程组( 1 4 9 ) 的系数行列式等于零，即 于是得到( 1 - 4 7 ) 级，。( x ) c + l c m n x x “ d m 疗 = 0 ， 按第一个元素拆成两项，并整理得 x x “ d m 。 q i n , n ( x ) = 上d e t d i n ( 1 4 8 ) ( 1 4 9 ) ( 1 5 0 ) 一既。( x ) d e td m 。= 0 ， ( 1 5 1 ) 这就完成了( 1 4 7 ) 的证明接下来，可以有 1 4 = = ， a 裂嵋 a a q q ；g 式，： 贴。巳；已 一丁的、l n uc ui ，式将 j ： x ；所一q 、， o d x 册 卅一q；斛 0 。 c f ( x ) 1 = 一 d 其中 1 a ，= 1 d 1 a = d i = m + l c m + l x f ( x ) c 。 c 。+ 一l x ”( x ) i c 删一。i ： i l 乙埘i x f m l ( x ) + x c f x = m c 卅 乒乙( x ) x 乒乙一l ( x ) x ”鼻卅一。( x c 栅“ c 加押 c ，x i = m + l c 。“ c 帅 易见，0 a l m 1 a = d d 脚，。 x ”yc ，x 二一 o i = m - n + l 见。 x ”l 一。( x ) + x ”c f x 。 i f m - n + l c x x c x 。 x ”e x i = m + l i = m i = m - n + l 巳+ l 巳+ 。 d m ，。 = 五1 ( 一1 ) n x m + n + ld e t 见“川+ o ( x r e + n + 2 ) = o ( x 洲) ， c 研+ l 一万 c m a = l + a 2 于是有彩( 饱肿。一a 1 ) m + n + l ，从而l ，绒。( x ) 是( 功的( m ，n ) 阶p a d 6 逼近问题的解所以得到己。( x ) = a 。( 1 4 5 ) 得证 1 5 1 7p a d 6 逼近的计算 对于p a d 6 逼近的计算问题，主要有两类：一是计算某个或某些p a d 6 逼近 式在某处的值，这称为求值问题，我们主要可以采用s 一算法；二是计算某个或 某些p a d 6 逼近式本身，即计算其分子和分母的多项式系数，这称为系数问题。 关于系数问题的计算，有若干种方法可供使用，原则上它们可归结为两类： 一类是直接计算法，即对于指定的非负整数偶( 所，z ) n xn ，径直计算( 叫以) ，； 另一类是递推法，即从可直接写出或易于得到的( 朋。玎。) ，玎，) ，出发， 利用p a d 6 逼近的恒等式( 见文献 2 8 】) 递推地算出所需的诸( 叫，) _ r 。 在直接计算法中，最简单的是解p a d 6 方程 以及 c m + 1c 衙 c 所+ 2c 用+ 1 c 卅+ c m + 打一1 ( 其中规定当， 0 时，c j = 0 ) 这属于线性代数方程组求解的典型问题；再者就是使用p a d 6 逼近的显式表示 及 匕一( z ) c m r a - 一 印“” i = o 阢；如 矿jjijooj且 打 o o c 现；巩 。l1j l 2 + + 一 刀 坩 c c o 踟历 知q ； 三一，驴 l 2 一 ， 帕 ，膨 ，争 广，jdl【 k 嗡 瓯。( z ) = 通过计算行列式求出( 叫胛) ，。 在递