（基础数学专业论文）无穷维线性空间上的向量优化和误差界.pdf

无穷维线性空间上的向量优化和误差界 基础数学 博士生：黄辉 指导教师：郭聿琦教授 摘要 本文通过b a n a c h 空间理论对弱有效解集的非空性和紧性，集值形式的k yf a n 不等式，锥良序集的控制性质，整体w e a ks h a r pm i n i m a ，非凸集值映射的整体误差 界和b a n a c h 空间上凸泛函的可微性进行了一些研究 本文共分7 章第1 章是引言主要介绍向量优化和误差界的有关知识和研究 背景第2 章讨论有穷维欧氏空间中弱有效解集的非空性和紧性的刻划与以前的 结果只考虑正锥相比，我们考虑一般的闭凸尖锥通过端方向，我们给出了弱有效解 集非空性和紧性的一些等价叙述第3 章我们给出了向量集值形式的k yf a n 不等 式通过锥伪凸微分包含问题，给出了目标映射是锥伪凸映射的向量优化问题弱有 效解存在的充分条件第4 章讨论局部凸空间中锥良序集的控制性质首先引入了 锥良序集这一概念证明了若一个集合是锥良序集且锥具有基，则该集合具有控制 性质并推广a r r o w - b a r a n k i n - b i a c k w e l l 定理从有界集到无界集第5 章研究整体 w e a ks h a r pm i n i m a 首先给出了距离空间中般泛函存在整体w e a ks h a r pm i n i m a 的充分条件其次给出了b a n a c h 空间中凸泛函存在整体w e a ks h a r pm i n i m a 的一 些等价叙述最后通过整体w e a ks h a r pm i n i m a 的存在性，给出了距离空间完备性的 一个刻划，第6 章讨论非凸集值映射的整体误差界首先推广了r o b i n s o n - u r s e s c u 定理，得到了较为精确的上方误差估计然后给出了非凸的矿凸集值映射和伪凸 集值映射各自存在整体误差界的充分或必要条件第7 章利用次微分映射的7 一上 半连续性，得到了b a n a c h 空间成为a s p l u n d 空间的一个刻划和几个充分条件 关键词，向量优化，误差界，非弱紧生成指标，b a n a c h 空间 v e c t o ro p t i m i z a t i o na n de r r o rb o u n d si n i n f i n i t ed i m e n s i o n a ll i n e a rs p a c e p l i f em a t h e m a t i c s n a m e ：h u n g ，h u i s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rg u o ，y u - q i a b s t r a c t t nt h i st h e s i s ，u s i n gt h et h e o r yo fb a n a c hs p a c e ，w es t u d yt h en o n e m p t i n e s s a n dc o m p a c t n e s so ft h es e to fw e a k l ye f f i c i e n ts o l u t i o n s ，s e t v a l u e dv e r s i o n so fk y f a n si n e q u a l i t y , d o m i n a t i o np r o p e r t yf o rc o n en o r m a ls e t ，g l o b a lw e a ks h a r pr a i n - i m a ，g l o b a le r r o rb o u n d sf o rn o n c o n v e xs e t v a l u e dm a p sa n dt h ed i f f e r e n t i a b i l i t yf o r c o n v e xf u a c t i o n so r ! b a n a c hs p a c e s ， t h i st h e s i sc o n s i s t so fs e v e nc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri st h ei n t r o d u c t i o n ， i nw h i c hw ep r o v i d es o m ek n o w l e d g ea n dt h eb a c k g r o u n do ft h er e s e a r c ha b o u t v e c t o ro p t i m i z a t i o na n de r r o rb o u n d s ，r e s p e c t i v e l y i nc h a p t e rt w o ，w ed i s c u s st h e c h a r a c t e r i z a t i o n so ft h en o n e m p t i n e s sa n dc o m p a c t n e s so ft h es e to fw e a k l ye f f i c i e n t s o l u t i o n si nf i n i t ed i m e n s i o n a le u c l i d e a nv e c t o rs p a c e i nc o n t r a s tw i t ht h ep r e v i o u s r e s u l t sw h i c ho n l yc o n s i d e rt h ep o s i t i v ec o n e ，w ec o n s i d e rag e n e r a lc l o s e dc o n v e x p o i n t e dc o n e 。w eg i v es o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h en o n e m p t i n e s s a n dc o m p a c t n e s so ft h es e to fw e a k l ye f f i c i e n ts o l u t i o n sb ym e a n so ft h ee x t r e m e d i r e c t i o n so ft h ec o n e i ac h a p t e rt h r e e ，w e 百v es o m ev e c t o rs e t 、v a l u e dv e r s i o n so f k yf a n si n e q u a l i t y w ea l s oc o n s i d e rav e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e mw i t ht h eo b j e c t i v eb e i n gac o n ep s e u d o c o i l v e xm a p ，s o m es l 硪c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c e o fw e a k l ye f l i c l e a ts o l u t i o n sf o rs u c hap r o b l e ma r eo b t a l n e di nt e r m so ft h ec o n e p s e u d o c o n v e xd i f f e r e n t i a li n c l u s i o np r o b l e m i nc h a p t e rf o u r ，w ed i s c u s st h ed o r a i n a t i o np r o p e r t yf o rc o n en o r m a ls e ti nal o c a l l yc o n v e xs p a c e w ef i r s ti n t r o d u c e t h ec o n c e p to fc o n en o r m a ls e t w es h o wt h a ti fas e ti sac o n en o r t o n ls e ta n d t h ec o n eh a sab a s e ，t h e nt h es e th a st h ed o m i n a t i o np r o p e r t y w ea l s og e n e r a l i z e t h ea r r o w b a r a n k i n - b l a c k w e l lt h e o r e mf r o mab o u n d e ds e tt oa nu n b o u n d e ds e t i n c h a p t e rf i v e ，w es t u d yg l o b a lw e a ks h a r pm i n i m a ，w ef i r s tg i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o n f o rag e n e r a lf u n c t i o nt oh a v eg l o b a lw e a ks h a r pm i n i m ao nam e t r i cs p a c e n e x t ， w eg i v es o m en e c e s s a r ya n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o n sf o rac o n v e xf u a c t i o no nab a n a c h l i s p a c et oh a v eg l o b a lw e a ks h a r pm i n i m a f i n a l l y , w eg i v eac h a r a c t e r i z a t i o no ft h e c o m p l e t e n e s so fam e t r i cs p a c eb yt h ee x i s t e n c eo fg l o b a lw e a ks h a r pm i n i m a i n c h a p t e rs i x ，w ed i s c u s sg l o b a le r r o rb o u n d sf o rn o n c o n v e xs e t v a l u e dm a p s w ef i r s t g e n e r a l i z et h er o b i n s o n - u r s e s c ut h e o r e m ，a n do b t a i nam o r ea c c u r a t ee r r o re s t i m a t e f o ru p p e rb o u n dt h a nt h er o b i n s o n u r s e s c ut h e o r e m t h e nw eg i v es o m es u f f i c i e n t o rn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o ru - c o n v e xs e t - v a l u e dm a p sa n dp s e u d o - c o n v e xs e t v a l u e d m a p st oh a v eg l o b a le r r o rb o u n d s ，r e s p e c t i v e l y i nc h a p t e rs e v e n ，u s i n gt h e7 一u p p e r s e m i c o n t i n u i t yo ft h es u b d i f f e r e n t i a lm a p w eo b t a i nac h a r a c t e r i z a t i o na n ds o m e s u f l i c i e n tc o n d i t i o n sf o rab a n a c hs p a c et ob eaa s p l u n ds p a c e k e yw o r d s ：v e c t o ro p t i m i z a t i o n ，e r r o rh o u n d s ，n o n w e a k l yc o m p a c t l yg e n e r a t e di n d e x b a n a c hs p a c e 第1 章引言 本论文包含7 章。第2 章，第3 章和第4 章研究向量优化中的一些问题第5 章和第6 章研究误差界问题第7 章研究b a n a c h 空间上凸泛函的可微性第3 章 和第5 章的内容已作为独立的论文发表第4 章和第6 章的部分内容也已发表第 2 章和第7 章的内容已作为独立的论文投出送审。为阅读方便，我们仍在每一章的 前言部分介绍该章所需的基本知识因此，本论文的某些内容可能重复，但所占篇 幅非常小 1 1 向量优化的有关知识和研究背景 向量优化的研究主要起源于两方面的原因，一方面是e d g e w o r t h ( 1 8 8 1 年) 和 p a r e t o ( 1 9 0 6 年) 提出的经济均衡和福利理论；另一方面是c a n t o r ( 1 8 9 7 年】和h a u s - d o r 霞( i 9 0 6 年) 提出的序室阊这一数学背景。后来，b o r e l ( 1 9 2 1 年) 的博弈论，v o n n e u m a n n ( 1 9 2 6 年) ，和k o o p m a n ( 1 9 5 1 年) 的生产理论也对这一领域的发展作出了 贡献然而，直到2 0 世纪5 0 年代，在k u h n - t u c k e r 关于有效性的充分和必要条件 的论文( 1 9 5 1 年) ，和d e u b r e u 关于价格均衡和p a r e t o 优化的论文( 1 9 5 4 年) 发表之 后，向量优化才被正式认为是数学的一个新的分支2 0 世纪7 0 年代至8 0 年代， 向量优化这一数学分支得到了极大的发展( 前面这一段话来源于1 9 8 9 年出版， d t l u c 所著，由s p r i n g - v a r l a g 出版社出版的t h e o r yo fv e c t o ro p t i m i z a t i o n 的引言部分) 今天有关向量优化的专著也有许多，比如；t h e o r yo f m u l t i o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n ( y s a w r a g i ，h n a k a y a m a ，t t a n i n o 著，1 9 8 5 年，a c a d e m i cp r e s s 出版社) ；凸分析与非光滑分析( 胡毓达，孟志青著，2 0 0 0 年，上海科学技术出 版社) 。 1 9 9 8 年，d e n gf 1 1 最先研究了凸向量优化问题中弱有效解集的非空性和紧性 2 0 0 1 年，h u a n g 和y a n g 【2 】也研究了凸向量优化问题中弱有效解集的非空性和紧 性然而，他们所考虑的锥都是有穷维空间中的正锥，都通过正锥的单位端方向来 刻划弱有效解集的非空性和紧性我们知道，有穷维欧氏空间中正锥的单位端方向 只有有限多个，而一般的闭凸尖锥的单位端方向可能有无限多个一个很自然的问 题是能否将他们的结果推广到一般的闭凸尖锥对于这个问题的解决便是第2 章 k yf a n 不等式 3 】是均衡问题中一个非常重要的结果2 0 0 3 年，k r i s t a l y 和 l v a r g a 4 1 给出了从赋范空间到实数域的集值形式的k yf a n 不等式，并给出了它在 不动点理论和变分包含问题中的应用一个很自然的问题是是否可以考虑向量集值 形式的k yf a n 不等式，并给出它在其它方面的应用对于这个问题的考虑便是第 3 童 向量优化中一个重要问题是研究有效性的控制性质许多学者【5 - 9 】研究了控 制性质，并取得了很好的结果1 9 9 7 年，z h e n g 1 0 研究了局部凸空间中的控制 性质，并证明了若给定的集合是完备集，锥是具有有界基的闭凸锥，则该集合具有 控制性质我们提出了这样的一个问题：能否提出一个新的概念，来较大范围统一 和推广现有的有关控制性质的结果对于这个问题的考虑便是第4 章的前半部分 内容，向量优化中另外一个重要问题是研究正真有效点集合在有效点集合中的稠密 性1 9 9 3 年，f e r r o 1 1 1 证明了在赋范空间中，若给定的集合是紧凸集，锥是具有 基的闭凸锥，则正真有效点集合在有效点集合中稠密2 0 0 3 年，n g 和z h e n gf 1 2 1 证明了在赋范空间中，若给定的集合是弱紧凸集，锥是q u a s i - b i s h o p p h e l p s 锥，则 正真有效点集合在有效点集合中稠密注意到他们要求的给定的集合都是有界集 那么一个很自然的问题是能否将他们的结果推广到局部凸空间，并减弱给定集合有 界的条件对于这个问题的考虑便是第4 章的后半部分内容 1 2 误差界的有关知识和研究背景 欧氏空间中一个给定集合的误差界指的是这样一个不等式，它通过剩余泛函来 估计任一向量到该给定集合的距离最初研究数学规划的误差界问题是因为数值分 析的缘故，是出于计算机在执行优化和均衡规划中的迭代算法的实际需要对子迭 代算法，它总需要一个终止法则来执行实际计算过程中的停止操作终止法则可以 表述成下面的形式： r ( z k ) 容许偏差， ( 1 - 1 ) 这里r ( x ) 是具体问题中的剩余泛函，巩是迭代算法中的第步迭代若我们认 可法贝! | ( 1 1 ) ，即z t 满足( 1 - 1 ) ，则我们可接受石女为所需解决问题的逼近解若矾 不满足( 1 - 1 ) ，则迭代过程继续于是一个重要问题就浮现出来我们所考虑的终止 法则是否自动地表明第步迭代已逼近问题的精确解? 更具体地说，若s 记为问 题的解集，s 假设为非空集但具体表示未知，我们是否可以通过已知的r ( o k ) 来获 得d i s t ( z k ，s ) 的估计，从而保证z 女逼近精确解? 这里d i s t ( ，s ) 是点到集合s 的 2 距离泛函这个问题是激发通过剩余泛函r ( x ) 来研究集合s 的误差界的存在性的 动机 在数学规划的文献里，最早的关于误差界的论文是1 9 5 2 年h o f f m a n 1 3 发表 的关于线性不等式系统误差界的论文其它围绕误差界展开研究的开创性工作主要 有；w a l k u p 和w e t s 【1 4 建立了凸多面体的l i p s c h i t z 刻划；r o b i n s o n 【1 5 ，1 6 对凸集值映射的误差界作出了奠基性的工作，其结果导致距离正则这一重要概念的 诞生h o f f m a n 1 a ，w a l k u p 和w e t s 【1 4 ，r o b i n s o n 1 5 ，1 6 】的论文现在已成为 经典，且成为后来误差界这一领域一系列研究工作的基础尽管h o f f m a n 【1 3 的 论文四十多年前已经发表，但对误差界展开大量的研究却是最近十多年的事情今 天，关于误差界的文献是大量的且研究是非常活跃的，读者可参看综述文章1 7 1 和 m a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g 的专辑【v 0 1 8 8 ，n o 2 ( 2 0 0 0 ) 】及其里面的参考文 献促使人们在这领域积极开展研究的原因是人们越来越认识到误差界在很多数 学规划的重要问题中起到核心的作用，而不仅是前面提到的计算方面的原因( 以 上两段文字大部分来源于文f 1 7 j ) 在本论文的第5 章，我们考虑误差界的其中一个内容一整体w e a ks h a r pr a i n + i m a 设x 是距离空间，：x _ r u + o 。 是真下半连续泛函假设a = i n f f ( x ) i o x ， 一o 。考虑下面的优化问题： r i l i n ，( z ) | z x ) ( 1 - 2 ) 用& 表示问题( 1 2 ) 的解集，即& = 伽xf ( z ) = 埘称，关于问题( 1 2 ) 有 整体w e a ks h a r p m i n i m a ，若& 0 且存在7 _ 0 使得 v d i s t ( z ，) ，( z ) 一a ，v z x 最近几年，很多学者研究了泛函的w e a ks h a r pm i n i m a ，参看文【1 8 2 1 】其中，b u r k e 和f e r r i sf 1 8 研究了有穷维空间中的整体w e a ks h a r pm i n i m a ，s t u d n i a r s k i 和w a r d 2 0 1 研究了有穷维空间中的局部w e a ks h a r pm i n i m a 由于有穷维空间中最佳逼近 点一定存在，即存在o & 使得d i s t ( x ，z ) = d i s t ( x ，& ) ，因此研究有穷维空间中 的整体w e a ks h a r pm i n i m a 可以转化为研究与最佳逼近点有关的性质但无穷维空 间中最佳逼近点未必存在因此一个很自然的问题是是否可以考虑无穷维空间中的 整体w e a ks h a r pm i n i m a 。对于这个问题的考虑便是第5 章 在本论文的第6 章，我们考虑误差界的另外一个内容一集值映射的整体误差 界设x 和y 是两个赋范线性空间，令2 y 表示y 的所有子集，f ：x _ 2 y 是 3 集值映射给定b f 伍) ，一个包含问题就是寻找孟x ，使得 b f ( 孟) ( 1 - 3 ) 然而，在通常情况下，只能找到包含问题( 1 - 3 ) 的逼近解于是估计逼近解z 到解 集f 1 1 ( 6 ) 的距离就显得非常重要通常通过d i s t ( b ，f ( 。) ) 来估计d i s t ( z ，f 1 ( 6 ) ) 称f 关于包含问题( 1 - 3 ) 有整体误差界，若存在 _ 0 使得 d i s t ( z ，f - 1 ( 6 ) ) r d i s t ( b ，f ( z ) ) ， v x x 最近，我们在文【2 2 考虑了凸集值映射的整体误差界，并肯定地回答了l i 和s i n g e r 【2 3 提出的猜想；在文【2 4 】我们也考虑了凸集值映射的整体误差界，改进了r o b i n s o n u r s e s c u 【1 5 】定理郑【2 5 也考虑了凸集值映射的整体误差界，对误差界r 作了较 为精确的估计在第6 章，我们考虑非凸集值映射的整体误差界，重点考虑矸_ 凸 集值映射的整体误差界和伪凸集值映射的整体误差界由于凸集值映射既是卵一凸 集值映射又是伪凸集值映射，反之未必，故考虑该问题具有深刻的意义 1 3 无穷维空间上凸泛函的可微性 无穷维赋范线性空间上凸泛函的可儆陛的研究已持续地进行了大约四十年正 如p h e l p s 【2 6 ，引言部分】指出，研究凸泛函的可微性主要有两方面的原因一是凸 泛函本身所隐含的许多重要性质值得研究；二是目前的一些数学专题( b a n a c h 空间 几何，单调算子，实值泛函的扰动优化，向量测度) 与凸泛函的可微性是紧密联系 在一起的，对凸泛函的可微性的研究可以促进其它数学专题的研究，参看文 2 7 - 3 7 】 及其里面的参考文献称b a n a c h 空间x 是a s p l u n d 空间，若x 的任一开凸子集 上的每一个连续凸泛函都是g e n 矾cf r 6 c h e t 可微的自从n a m i o k a 和p h e l p s 【2 8 】 给出了a s p l u n d 空间的一个刻划之后，已经有许多关于b a n a c h 空间成为a s p l u n d 空间的等价和充分条件 1 9 9 2 年，m o o r s 2 9 】引入了非弱紧生成指标以及集值映射的7 一上半连续性 的概念他研究了非弱紧生成指标的性质以及凸泛函的g e n e r i cp r 6 c h e t 可微性和其 次微分映射的7 一上半连续性之间的联系 在本文的第7 章，利用非弱紧生成指标和次微分映射的7 一上半连续性，我们 建立了关于可分性的一些结果进而得到了b a n a c h 空间成为a s p l u n d 空间的一个 刻划和几个充分条件 4 第2 章弱有效解集非空性和紧性的刻划 2 1 前言 设彤是f 维欧氏空间，席的子集a 被称为凸锥，如果对每个t 0 ，t ccc 并且g + c c c 若g n c = o ) ，则凸锥g 被称为是尖的在这一章，设c c r 2 是闭凸尖锥且i n t c 0 ，这里i n t c 表示g 的内部 g 导出尉中的偏序如下：任 取t ，v r ， z 兰cy 当且仅当y 一譬c 我们用z oy 表示y o i n t c c 的对偶锥记为c + ，即 c + = 妒r 2i 妒( c ) o ，v c g ) 显然，c + 0 用e x t d ( c + ) 表示g + 的端方向全体，即，h e x t d ( c + ) 当且仅 当h c 斗 o 且任取y ( o ，h i ：= a 九10 a 1 ) ，不存在0 1 d + 0 ，明， 血2 c + ，o a 1 使得y = a z + ( 1 一) 口2 若h e x t d ( c + ) 且i = 1 ，则称 h 为g + 的单位端方向用u e x t d ( c + ) 表示g + 的单位端方向全体了解更多的有 关端方向的知识，可参看 3 8 ，p 1 6 2 设甄cj f y 是非空集设，：x o - - + r 2 是映 射，= ( ，h ，f ) 考虑下面的向量优化问题： ( v o p ) m i ni ( z ) s t z x o 问题( v o p ) 的弱有效解集记为w e l ，即，孟w e i 当且仅当雪蜀且 ( 歹( 凰) 一，) n i n c = 舀 我们也考虑下面相关的标量优化问题： ( p 。)r a i n 妒( ，( z ) ) s t x 蜀， 其中妒c + 问题( p ，) 的有效解集记为昂在优化问题中，如何刻划解集的非空性 和紧性是非常重要的问题最近，r o c k a f e l l a r 和w e t s 3 9 ，p 1 3 4 给出了一般标量优 5 化问题有效解集非空和紧的充分条件对于目标映射为连续向量值映射的无约束凸 向量优化问题，d e n g 1 通过分量 给出了弱有效解集非空性和紧性的几个刻划对 于县标映射为延拓映射的凸向量优化问题，h u a n g 和y a n g 【2 1 也通过分量 给出了 弱有效解集非空性和紧性的一些刻划在d e n g 【1 1 ，h u a n g 和y a n g 2 的结果中，他们 要求c = r l 且，是只i 一凸映射，这里职= ( 吼，n 2 ，a 1 ) l 口1 o ，i = 1 ，2 ，疆若 c = 咒年，贝4u e x t d ( c + ) = 妒1 ，妒2 ，妒f ) ，其中妒 = q ，0 ，1 1 ，o ，o ) 0 = 1 ，2 ，2 ) i - 1 易知仇，= 0 = l ，2 ，f ) ，即，i 是兄i 的单位端方向协和，的复合因此，一 个很自然的问题是d e n g 1 ，h u a n g 和y a n g 2 的结果可否推广到g 是剜中的任 一闭凸尖锥的凸向量优化问题对于冗f 中的任一闭凸尖锥c ，u e x t d ( c + ) 可能包 含无穷多个单位端方向在这一章里，我们将考虑这个问题，特别地我们通过妒， 妒u e x t d ( c + ) 来刻划弱有效解集的非空性和紧性值得注意的是d e n g 1 】ih u a n g 和y a n g 【2 】都没有提到端方向我们首次使用端方向来研究弱有效饵集的非空性和 紧性 下面的记号和定义将在这一章用到。 以y 为中心，r 为半径的闭球记为b ( y ，r ) 设fc 副是非空集f 的闭包 和凸包分别记为c l ( f ) 和c o ( f ) f 的回收锥定义为 f ”= 可膏13 t _ + + 。，y k f 使得可= l i my 薏 设g ：r 4 r 为一泛函9 的回收泛函定义为 9 ”( ”) 。占器哪( 。暑：i ( 0 m a g ( 兰) ，v ”r t m a 。、7 6 - 十o + o 茸( 口，d ) ， ( o ，6 ) 当g 是凸泛函时，尹可由下式得到 f ”( 口) = 8 u p 9 ( + z ) 一9 ( z ) j 工r ”) 有关回收锥和回收泛函的更多知识，参看【3 8 ，p 6 0 8 1 和 3 9 ，p 8 6 9 0 1 2 2 弱有效解的存在性 向量优化中的一个重要闺题是寻投合适的条件以保证弱有效解的存在 6 定义2 2 1 4 0 ，p 2 2 】设x oc 郇是一非空集，牙x o 设，：蜀- 剜是映 射我们称，在点牙是g 一连续的，若任取，( 岔) 的邻域vc 尉，存在点牙的邻域 u c 曰“，使得 f ( x ) v + c ，v 正u n x o ， 称，在凰上是d 连续的，若，在函上的每一点都是c 一连续的 根据定义2 2 1 ，容易得到下面的命题 命题2 2 2 设x ocr m 是非空集，牙x o 设f ：x o _ r z 是映射则f 在 占、宝是g 一连续的，当且仅当，对于任意的点列 z 。) c 砺，z 。- - + 牙，存在- - 7 - 歹l 】 z 。) c z n ) 和点歹q c ) cc 使得 2 i m ( f ( x n * ) 一c k ) = ，( 牙) 引理2 2 3 设ac 驴是非空集， 妒，在a 上是下半连续的 证明：我们只需证明妒0 的情形 则存在子列 z 。) c 石。) 使得 f ：a r l 是g 连续映射设妒g + 则 设孟a ， 。 ca 是一点列且满足_ 牙 3 骢妒( 似n t ) ) = l i 。m + 掣妒( ，( z n ) ) 根据命题2 2 - 2 ，存在子列 t ，) c 。n * 和点列 勺 cc 使得 ! 受( ，( z ) 一勺) = ，( 孟) ， ，- j 。 故 妒( 雕) ) 3 熙妒( m n b ) 一勺) 恕妒( m ) ) = 1 恕妒( m n ) ) 因此妒，在点雪是下半连续的 根据引理2 2 3 ，我们可得到 引理2 2 4 设ac 尼“是非空集，f ：a _ r 。是g 一连续映射设p g + 若 a 是紧集，则存在霍a 使得 妒( ，( 孟) ) = i n f 妒( ，( z ) ) iz ) 7 证明：根据下确界的定义，存在点列 z 。) ca 使得 l i mv ( ( x 。) ) = i n f 妒( ，( 茁) ) 1z a ) n - - o o 因a 是紧集，不失一般性，我们可设z 。- 雾a 。根据引理2 2 。3 知妒歹在点雪是 下半连续的，因此， i p ( 他) ) 2 骢妒( m n ) ) 故 妒( ，( 2 ) ) = i n f 妒( ，( z ) ) lz a ) 下面的定理提供了弱有效解存在的一个充分条件 定理2 2 ，5 设矾c 彤“是非空集，：x o _ r 是g 一连续映射设存在z x o 使得l ：= 扛x oi ，( z ) g ，( z ) ) 是紧集则存在牙l ；使得牙w e l 证明：取妒c + ( o ) 因l 是紧集，根据引理2 2 4 ，存在牙l ：使得 妒( ，( 牙) ) = i n f 妒( ，( z ) ) i 。工：) ( 2 - 1 ) 我们断定牙w 日若不然，则存在训x o 使得，( 伽) g ，( 孟) 于是叫l ：且 妒( ，) ) 妒( ，( 孟) ) ，这与( 2 - 1 ) 相矛盾因此牙毋 注2 2 6 当，的每一分量五是下半连续泛函时，h u a n g 和y a n g 2 ，引理2 1 给 出了类似于定理2 2 5 的结果 2 3 弱有效解集非空性和紧性的刻划 命题2 3 1 设x oc 品“是非空闭集，：x o _ 刷是g 一连续映射设对于任意 的z x o ，l ：是紧集若w 且是非空紧集，则对于任意的妒g + t o ) ，& 是非 空紧集 证明：任取妒c + o ) 令 d = z w e ll 妒( ，( z ) ) l p ( ，( u ) ) ，v u ，e - ) ( 2 - 2 ) 8 因，在凰上e 一连续且w 既是紧集，根据引理2 2 4 知d 0 取牙d 下证 孟& 反证倘若存在z 弱使得 妒( ，( z ) ) 妒( ，( 牙) ) 。( 2 - 3 ) 根据( 2 2 ) 知z 隹w e t 因为止是紧集，根据定理2 2 5 ，存在牙l ；使得= w e l ( 2 3 ) 和，( 牙) - c ，( z ) 意味着 妒( ，( 牙) ) 剜是g 连续，c 凸映射 若曰l 是非空紧集，则任取妒c + o ) ，品是非空紧集 证明；根据命题2 3 1 ，我们只需证明任取z 弱，l ：是紧集任取z x o 任取 面w 蜀，则 ( ，( 凰) 一，( 孟) ) n i n t e = o 9 我们断定 ( f ( z o ) + c 一，) ) n i n t c = o 事实上，若存在。x o ，c g 和c ，i n t c 使得f ( x ) 9 - c 一，( 孟) = 一c ，则 ，( z ) 一，( 至) = - - c - c 一i n t c ，矛盾。因，是函上的g 一凸映射，故，( 函) + g 一，( 孟) 是凸集注意到- i n t c 也是凸集，根据分离定理 4 1 ，p 5 1 】，存在r 2 o 使得 i n f 妒o ( y ) i 可，( x o ) + c 一，( 牙) ) s u p 妒o ( ) l9 一i n t g ) 由上式知妒o c + 且 妒o ( ，( 孟) ) s 妒o ( ，( 茁) ) ，v 茁x o 因此，牙& 。根据注2 3 5 知伽，在) ，0 上是凸的完全类似于命题2 3 1 最后四 行的证明，容易验证& 。是闭集结合& 。cw e l 知& 。是非空紧集根据引理 2 3 3 知伽，在弱上是0 - 强制的我们断言l ；：= z 蜀l 伽( ，( z ) ) 妒o ( ，( z ) ) ) 是有界集若不然，则存在点列 茁。) cl ：使得i i z 。i i 叶+ o o 由伽f 的0 一强制性 知 。1 i r a 。妒o ( f ( x n ) ) = + o o ， 这与任取礼，都有 妒o ( ，( z 。) ) 妒o ( ，( z ) ) 相矛盾因妒o c + ，故l 。cl 。，从而也是有界集下证厶是闭集设 ) cl ；满 足- y o x o 因，在点y o 是g 连续的，根据命题2 2 2 ，存在子歹【( 。 c ) 和点列 c c 使得 2 l m 。( f ( y n t ) 一c t ) = f ( y o ) - 由 y 。) cl ：，我们有，( 。) 一c k f ( z ) 一e 注意到g 是闭集，令k - 40 0 ，可得 f ( y o ) f ( z ) 一c ，这表明y o 厶因此厶是紧集 引理2 3 7 设cr “是非空闭凸集，f ：x o r 。是g 一连续，g 一凸映射 若对于每一个妒e 耐d ( g + ) ，& 是非空紧集，则w e l 是非空紧集 证明：我们首先证明任取妒c + o ) ，& 是非空紧集任取妒c + o ) 根据 下确界的定义，存在点列 如) c 砀使得 1 巴妒( ，( z 。) ) = i f 妒( ，( z ) ) iz x 0 ) ( 2 - 4 ) n 1 0 因c + = c o ( e x t d ( c + ) u o ) ) 3 8 ，定理1 8 5 ，p 1 6 6 ，不失一般性，可设存在妒1 ，妒2 ，。 n 0n 0 e x t d ( c + ) ，九0 ( i = 1 ，2 ，伽) ，九= 1 使得i p = 凡也因此， i = 1仁1 l i m 蚶”= 概( 塾蜘枷) ( 2 - 5 ) 。+ 。妒( m n ) ) = 概a t 慨( m n ) ) ) 因岛是非空集，故可取y i 岛；，于是对于任意的仃，都有 1 i i i ( ，( z 。) ) 砒( ，( 玑) ) ( 2 - 6 ) 综合( 2 - 4 ) ，( 2 - 5 ) 和( 2 - 6 ) 知对于任意的满足九0 的i 1 ，2 ，n o ) ，都有 l i m s u p 戗( ，( 。) ) + o 。 n + 根据引理2 2 3 和引理2 3 3 知 。n 是有界的因此存在子列 z 。) c z 。) 和 z o x o 使得z 。- x o 结合引理2 2 3 和( 2 - 4 ) ，可推得x o 岛因此品是非空 集倘若& 无界，则存在点列 t j 。) c & 使得1 i i l _ + o o 因& 。是非空紧集， 根据引理2 2 3 和引理2 3 3 知对于任意的i 1 ，2 ，凡o ) ，都有 l i m 他( ，( 杖h ) ) = + 。 n + 于是 熙蚶胪l i m ( 喜a 训) 但 训。) c 品意味着对于任意的n ，都有 l p ( ，( 叫。) ) = i n f ( c p ( f ( x ) ) iz x o ) 妒( ，( 。+ ) ) ，v 妒c + o ( 2 - 8 ) 而( 2 - 8 ) 和分离定理【4 1 】意味着，( 矿) 知当充分大时， l i ：。l l ( ，( 南+ ( _ 南) z ) 一龟) 5 研1 简( ，( 矿) ) + ( 卜南) 旆( ，( z ) ) 令k _ 。，得 妒o ( ，( 叫+ 卫) ) 印( ，( z ) ) ，v x x o 故 ( 垆o ，) 。( 叫) = s u p 妒o ( ，( 4 - 石) ) 一妒o ( ，0 ) ) io x o l 0 1 2 这与( 2 7 ) 相矛盾因此( 2 - 8 ) 成立 定理2 3 8 设x oc 舻是非空闭凸集，：x o _ r 是g 一连续，c 一凸映射 则下述等价： 俐置是非空紧集； 一t j 任取p 喇d ( g + ) ，& 是非空紧集； 一别任取妒e x t d ( c + ) ，i p ，在上是0 一强制的； f l 训任取妒u e x t d ( c + ) ，& 是非空紧集； m 任取妒u e x t d ( c + ) ，妒，在凰上是o 强制的 证明： ( i ) 寺( i i ) 由推论2 3 6 立得( i i ) 辛0 ) 由引理2 3 7 立得 ( i i ) 甘( i i i ) 由引 理2 3 3 立得 ( i i ) 甘( i v ) ，( i i i ) 甘( v ) 都是因为任取垆e x t d ( c + ) ，妒= 0 尚且 尚u e x t d ( c + ) - 推论2 3 9 设x oc 胛是非空闭凸集，：凰_ 尉是磕连续。r i 一凸映 射则下述等价： 以jw e l 是非空紧集； r 砂每一个最( i = 1 ，2 ，1 ) 是非空紧集； 一别每一个分量 在弱上是o 强制的； 其中，= ( ，2 ，j ) ，& = z x ol ( 。) ( ) ，v y x o ) 证明：考虑正锥g = r i - 显然，c + = 兄i 令忱2 b 1 ，0 ，o ) o =