（基础数学专业论文）r2n中星形超曲面上的lagrange轨道和正定型超曲面上的闭特征.pdf

摘要 本文研究h a m i l t o n 系统的两类问题：固定能量面上具有l a g r a n g e 边值的轨道 的存在性与多重性问题和固定能量面上闭特征的多重性与稳定性问题 固定能量面上具有l a g r a n g e 边值的h a m i l t o n 系统的轨道问题是找r 0 和绝对 连续曲线z ：f 0 ，7 】一r 2 n 满足 r ( 删p 卜珧o ” w 【o 7 】， lz ( o ) ，z ( 下) l ， 这里l ，：fo 一厶1 是r 2 n 中标准的辛矩阵，蝇( 2 ) 是r 2 n 中的超曲面e 上的 厶o ， 点z 处的单位外法向量，l 是辛向量空间( r 2 “，u o ) 里一个的l a 盯a n g e 子空间，其 中岫= f 如t d 玑问题( 日工) 的解( r ，z ) 称为上的l l a g r a n g e 轨道这个问 题与刘春根教授在文【1 】中研究l a g r a g e 相交数时提出的问题有很大的关系本 文也得到了一个关于相交数的结果事实上，固定能量面上具有l a g r a n g e 边值 的h m n t o n 系统的轨道问题恰好是a r n o l dc h o r d 猜想( 见【2 】) 的一种特殊情况对 于二阶系统的两点边值问题 慨柒 其中矿伊( r ，r ) ，人们可以通过降阶法把它变成带o - l a g r a n g e 边值条件的 一阶h a i i l i l t o n 系统这里，l o = o ) or ，是r 2 叫1 的橱准l a g r a n g e 子空间 ! !擅塞 本文的第一章研究星形能量面上具有l a g r a n g e 边值的h a m i l t o n 系统的轨道的 存在性和多重性问题首先，利用变分原理讨论了r 2 n 中的以原点为星形中心的星 形超曲面上的l a g r a n g e 边值轨道的存在性然后，利用z 。指标理论讨论了r 抑中的 关于原点对称且以原点为星形中心的星形超曲面上的l a g r a n g e 边值轨道的多重性 本文证明了下面一些结论： 定理l 对i p 中的每一个l a g r a n g e 子空间l ，每一个e 1 光滑紧星形超曲面 上( 原点为星形中心) 至少存在一个起止于l 的l a g r 粕g e 轨道 定理2 对i p 中的每一个l a g r a n g e 子空间l ，每一个c 2 光滑的关于原点对称的 紧星形超曲面上( 原点为星形中心) 有无穷多个起止于l 的l a g r a n g e 轨道 由这里的定理2 我们马上可以得到一个关于相交数的结果： 推论3 若是一个g 2 光滑的关于原点对称的星形超曲面( 原点为星形中心) ， 是的c o n t a c th a m i l t o n 流，设l 7 是与l a g r a n g e 子空间l 相交得到的l e g e n d r e 子 流形，则l 与 ( l 川t 0 ) 的相交数是无穷多个，即 一 o l 7 n 妒。( ) l t o ) = o 。 在文 3 】和 4 】中，k m o h n k e 和马仁义、徐向东分别用不同于我们的方法证明了 类似定理1 的存在性结果【3 】用的方法主要是几何( 辛拓扑) 的方法，【4 虽然也是用 变分方法，但也与我们这里的方法不同据我们所知，此前在这类问题上仅有上面 提到的文 3 】和【4 的关于存在性的结果，我们这里的定理2 是这类问题的第一个关于 多重性的结果事实上，对于一般的星形超曲面，上述问题存在两个解的问题也没 有被解决 对于h a m i l t o n 系统周期解的研究可以从两个方面来考虑：一方面，对于非自 治的h a i i l i l t o n 系统，给定周期，考虑其周期解的存在性( 例如最小周期问题、渐近 线性系统的情况和辛流形上h 锄i l t o n 微分同胚的不动点问题) 、多重性和稳定性； 另一方面，对于自治的h 眦i l t o n 系统，在固定的能量面上考虑周期解的存在性、 多重性和稳定性，这就是通常所说的闭特征问题，即，找f 0 和一条绝对连续曲 线z ：【o ，f _ r “使得 r lj ( t ) = j 盹( 。( t ) ) ，v t r ， 气 lo ( r ) = z ( o ) 擅塞! ! ! 该系统的以r 为最小正周期的周期解称为上的闭特征 本文的第二章研究r 2 ”中正定型超曲面上的闭特征的多重性与稳定性问题 这里正定型超曲面是安天庆教授在文f 5 1 中定义的一类超曲面，它是星形超曲 面更一般意义上的推广我们先用拓扑的方法来建立起正定型超曲面上的关 于v i t e r b o 指标的等变m o r s e 不等式，利用已经日趋完善的m a s l o v 型指标迭代理论， 通过v i t e r b o 指标和m a s l o v 型指标的关系来研究r 2 n 中的正定型超曲面上的闭特征 的多重性与稳定性问题具体地说，我们证明了 定理4 对每一个f p 中的c 3 光滑的紧正定型超曲面，或者存在无穷多个几何 相异的闭特征；或者在满足n 是奇数且每个闭特征的平均指标大于2 ，n 是偶数且每 个闭特征的平均指标大于1 时，存在至少一个非双曲的闭特征 定理5 对每一个i p 中的c 3 光滑的非退化的紧正定型型超曲面，当n 2 时， 几何相异的闭特征的个数不小于2 更进一步，当n = 2 时，或者存在无穷多个几何 相异的闭特征，或者存在至少两个几何相异的椭圆闭特征 安天庆教授在文 5 中证明了所有的星形超曲面是正定型超曲面，而正定型超曲 面又一定是切触型超曲面，同时，他也构造了一个例子表明存在正定型超曲面不是 星形超曲面然后，他在文 6 】中用两边夹条件给出了正定型超曲面上闭特征的多重 性结果这里，我们是在自然条件( 没有两边夹条件) 下利用m o r s e 理论来考虑问题 定理4 的结果在星形情况下被刘春根教授和龙以明教授在文【7 1 中证明了；定理5 的 结果在星形情况下被胡锡俊和龙以明教授在文f 8 1 中证明了 关键词： 闭特征多重性稳定性l a g r a n g e 轨道m o r s e 不等式 a b s t r a c t h y p e r 8 u r f a c ea n dt h ep r o b k mo f 眦l t i p l i c i t ya n ds t a b i l j t yo fc 1 0 s e dc h a r a c t e r i s t i c s t h ep r o b l e mo fl a 酎a n 西a nb o l l n d 哪7o r b i t 8o na 丘x e de n e r 盱h y p e r s u r f a c ei s t of l n dac o n s t a n tr o 柚da na b s o l u t e l yc o n t i n u o l l sc u r v ez ：【o ，下 一e 乎”s u c h ( 删p 卜珧o ) ) ，【0 t 】i l 。( o ) ，z ( 7 - ) 厶 讪e r et ，= ( 三? ) i s 协es t a n d a r as 珊p ，e c t ，cm a t 血o n 钟“w i t h 厶b d n g t h ei d e n t i t ym a t r 波i nr n ，毫( z ) i st h eu i l i to u t w a r dn o r m a lv e c t o ro f a tz ，a n d li sa l a g r a n g i a n8 u b s p a c ei ns y i n p l e c t i cv e c t o rs p a c e ( 驴，岫) ，岫= 峨 妣 i n t e r s e c t i o 璐i nh i 8p a p e r ”t h i 8p r o b l e mi 88s p e c i a lc a s eo ft h ea r n o l dc h o r d c o n j e c t l l r e ，s e ep a p e r 【2 】，f o re x a h l p l e t h i sp r o b l e mi sa l s or e l a t e dt ot h e8 t u d yo f i 童( ) + v l ，( t ，z ) = o ， lz ( o ) = 。( t ) = o ， v w h e r ev c 2 f r r “，r ) o n ec a nt r a n s f o r mi ti n t oa6 r s to r d e rh a m i l t o n i a n s y s t e mw i t hl ob o l l i m 趾y j u ec o n d i t i o nb yac l a s s i c a lm e t h o d i nc h a p t e r1 ，、v es t u d yt h ee x i s t e n c ea n dt h em u l t i p l i c i t yo ft h el a g r a n g i a n o r b i t so ns t a r s h a p e dh y p e i s u t f a c e s ，f 证s t l y ，w es t u d 了t h e 嘲s t e n c eo n 毗雒一s h a p e d h y p e r s u r f e sw i t hr e s p e c tt ot h eo r i g i nv i av a r i a t i o n a lp r i n c i p l e s e c o n d l 弘w es t u d y 七h e 珊m 讪c h yo n 研m m e t n cs t a r 一苦h 印e dl d 甲e r s u r f a c e sw l t hr e s p e c tt ot h eo r i g l n v i az 2i n d e xt h e o r y ) w h e r es y m m e t r ym e a i l st h a t i 8s y m m e t r i cw i t hi t sc e n t e ra t t h eo r l g i n t h a ti s ，w ep r o v et h ef o l l a w i n gr e s u l t s ： t h e o r e m1可拈觎。帕伽u 珂e 1s m 0 0 如c o 妒o c ts o 卜s 舭猡e d 鲫e 珏r ，0 c e 以冼r e 印e c t d 琥ed r 匆i 佗，t e n ，o re e 珂l 叼m 叼i 彻；s “6 印n c el 伽r 孰，愚e 咒e 础拈 n 把s to n el 一三叼m n 咖口no r 6 村。仃 t h e o r e m2 可妇o nn r 6 t 打u 呵g 2s m o d 琥c 0 竹叩o c ts 可m m e t n cs t 8 r - 她口p 8 d h 掣p e 船缸r 如钟 t 冼佗印e c 幻境ed n f i 鸭地e n 如re u e 阿l 叼m 埘o ns 曲印o c e 三讯r 加， 撬e 他口他i 研n i f e 匆m 口几y 五一工叼m n 夕i 口nd r 6 i 拈d n f o mt h e o r e m2 ，w ec a ng e tt h ef o l l 哇n gr e s u l ta b o u tt h ei n t e r s e c t i o n so fs o m e l e g e n d r i a ns u b m a n i f o l dw i t hi t sc o n t a c th a m i l t o n i a j ld e f o r m a t i o i l s ： c o r o l l a r y3妒妇纳ec d n 口c t 三k m 讹。仃缸n 月。叫0 ，s e 旃e 厶笞e n d “d n s t 6 竹协哦加c d 工，芝e n l ，哦e 住4 工，n ( 上，) i t o ) ) = o 。， h e 他妇伊s m o o 矾 c d 竹印口c ts 掣m m e t “cs t 口r - s 舭【p 甜 妒e 他“巧h c e 埘冼他印e c t o 挠eo n 臼讯，三妇口上m 一 旦r 扭佗g n ns “扫印口c e 讥】r ? ” i np a p e r 【3 】a n d 【4 1 ，k m o l l n k e ，m a n y ia n d x u a n g d o n gp r a v e dar e s u l t s i m i l 盯t ot h e o r e mlr e s p e c t i v e l y ib u t 研t hs o m ed i 腩r e n tm e t h o d s k m o l l i l k eu s e d t h es y m p l e c t i cm e t h o d s m a 趾n y ia n dx u a n g d o n g 璐e dt h ev 甜i a t i o n a lm e t h o d s t 0t h ea u t h o r sl ( i l o w l e d g e ，t h e o r e m2i st h ef i r s tr 船u l t8 b o u tt h ei n u l t i p l i c i t yt h e r 鹤u d tt h a tt h e r e 础ta tk a s tt w ol a 窜a n 酉a no r b o na n ys t a r _ 8 h a p e dh y p e t s u r f a c e w i t hr e 8 p e c tt ot h eo r 域ni sn o tp r o v e dn o w t h es t u d yo f 也eh a m n t o n i a n s y s t e r n 8i nr i n c l u d e st w oa 印e c t s 0 nt h eo n e h a n d ，f o rt h en o n a u t o n o m o u sh a m i l t o n i a ns y s t e ma n dt h eg i v e np e r i o d ，c o n s i d e r t h ee x i s t e n c e ，t h e n l l t i p l 沁i t ya n dt h es t a b i l i t yo fi t sp e r 埘i cs 0 1 u t i o 璐0 nt h e o t h e rh a n d ，f o rt h ea u t o n o m o u sh a m i l t o n i a ns ”t e m ，c o i l s i d e rt h ee ) d s t e n c e ，t h e m u l t i p l i c i t ya n dt h es t a b i l i t yo fi t sp e r i o d i cs 0 1 u t i o i l so nt h eg i v e ne n e r g yh y p e r - s u r f a c e ，w h i c hi sk n a w na st h ec l o s e dc h a r a c t e r i s t i cp r o b l e m t h a ti st of i n da c o n s t a n t 丁 oa n da na b s o l u t e l yc o n t i n u o u sc u r v e 孑：【o ，丁 _ i ps u c ht h a t r jo ( t ) = j 盹( z ( t ) ) ，v t r ， 气 lz ( 丁) = z ( o ) ， 、 w h e r e v e ( 孑) i st h eu n i to u t w a r dn o r m 猷v e c t o ro f a t 名w bc a l la n ys u c hc u r v e 名s o l v i i 堰t h ea b o v ep r o b l e mw i t hm i n i m a lp e r i o d 丁 0t h ec f o s e dc o r o c t e n s t i c i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h em u l t i p l i c i t ya n dt h es t a b i l i t yo ft h ec l o s e dc h a r 瓣 t e r i s t i c so nan o r m a ll i n e a rp o s i t i v e _ t y p eh y p e r s u r f a c e ，w h e r et h ed e 丘n i t i o no fn o r - m 越h n e 盯p o s i t i v e - 咖eh y p e r s u r f a c e sw 船p r o p o s e di nt h ep a p e r 5 】b yp r o f e s s o r a nt i 趾l q i n g ，w h i c hi st h eg e n e r 越i z e dn o t i o no ft h a to fs t 盯一s h a p e dh y p e r s l l r f a c e s f i r s t l y ) w ec o n s t r u c tt h ee q u i v 盯i a n tm o r s ei n e q u a l i t yo nt h en o r m a l l i n e a rp 0 8 i t i v e - t y p eh y p e r s u r f a c e sw i t hv i t e r b o si n d e x ( i t sd e a n i t i o nc a nb ef o u n di np a p e r 3 3 】) v i at o p o l o g i c a lm e t h o d s s e c o n d l y ) w eu s et h ei t e r a t i v et h e o r yo fm a s l o v - 咖ei n - d e xw h i c hc a nb ef o u n di nb o o k 1 3 1a n dt h er e l a t i o nb e t 骶e nv i t e r b o si n d e xa 1 1 d m 嬲1 0 一t y p ei n d e xp r o v e di np a p e r ( 8 t os t u d yt h ep r o b l e m o ft h er n u l t i p h c i t ya n d n l es t a b i l i t yo ft h ec l o s e dc h 盯a c t e r i s t i c so nn o r m ml i n e a rp o s i t i v e _ 帅eh y p e r s u r - f a c e s w bp r a v et h ef o u a w i n gr e s u l t si nt h i sp a p e r ： t h e o r e m4f 0 re e 吲e 3c o m p o c n o m “托几e n rp o 蒯口e - 卯e 卯e r s u 咖c e ，e 计h e r 冼e 他e 晚酊t 蛳n 豺e 冶m n n 可g e o m e t n 2 坷d 妇i n c tc l e dc 口m c e n s 抚c s ，d r 砘e 他e 如拈o tf e to 礼en d n - 九卯e r 6 0 如cc f o s e dc o m c t e 沽t i c ，p r 0 优d e de 口e 阿c f o s e d c n r 口c e n 溏i co n p d 5 s e s s e si 亡sm 竹i n d e z9 r o t e r 矶口n2t 眈e n 几i so d d ，o 礼d 9 7 口e r 琥o njt 施e 札礼妇e e 扎 t h e o r e m5f 0 re e 阿c 3n o n d 印饥e m t ec o m p n c fn d m l 甜托n rp o s 捌材e t 卯e 卯e 倦钍盯a c e ，t e 他e 施t 口f 毹栅o9 m e n c o 坳d 诂讯c c ? d s e dc h n m c - t e r 诂f c sd n ，d rn 2 肘b r e d 甜er ，l ，几= 2 ，e t 矶e r 地e 他e 施i 蛳n i t e 冶m 口n c l e dc o m c t e r 拈挽c s ，o r 地e r ee 施t 口tl e 伽og e d m e t n 沏d 诂晚n c te f 却挽cc f d s e d c o m c t e “s t i c so n i np 印e r 【5 ，p r o 麟s o ra nt i a n q i n gp r o v e dt h a ta8 协- 8 h a p e dh y p e r s u r f a c e m u s tb en o r m a lp 0 8 i t i v e - t y p e ，a n dan o r m a lp o s i t i v e - t y p eh y p e r s u r f a c em 璐tb e c o n t a c t a tt h es a m et i m e ，h eg a ea ne x a m p l es h a 而n gt h a tt h e r ee x i s t sah y p e r s u r f a c ew h i c hi sn o r m a lp o s i t i v e - t y p eb u t1 1 0 ts t 甜- s h 印e d h ep r o e ds o m er e s u l t s a b o u tt h em u l t i p l i c i t yu n d e rs o m e ( p i n c h e d ) c o n d i t i o n s h e r ew ec o n s i d e rt h i sp r o b - l e mw i t hn op i n c h e dc o n d i t i o nb u tw i t ha1 1 0 n - d e g e n e r a t ec o n d i t i o n t h es 锄er e s u l t a st h e o r e m4i nt h ec a s eo fs t a r - s h a p e dh y p e r s l l r f a c e 、) l ，嬲p r o v e db yp r o f e s s o rl i u c h u n g e na n dp r o f e s s o rl o n gy i m i n gi np 印e r 7 ，a n dt h a ta st h e o r e m5i nt h ec a s e o fs t a 卜s h a p e dh y p e r s u r a c ew a sp r o v e db yh ux 蛆u na n dp r o f b s g o rl o n gy i m i n gi n p 印e r ” k e y w o r d s ： c 1 0 s e dc h a r a c t e r i 8 t i c s m 1 1 1 t i p l i c i t ys t a b n i t yl a 擎a n g eo r b i t s o r s ei n e q u a h t y 众所周知，源于几何光学与天体力学的h 锄i l t o n 系统理论是研究经典力学， 尤其是天体力学的重要工具例如周期运动是天体运动的最简单方式，它对应 着h a m n t o n 系统的周期解于是，一般h a m n t o n 系统周期解的存在性和多重性以及 稳定性等理论，无疑是很多数学家所关心的课题作为一个动力系统，周期现象是 一种重要的情况，而由于物理学，特别是力学中的需要，h a m n t o n 系统的开弦问题 同样是一种重要的情况由此而产生出的h a m i l t o n 系统的l a g r a n g e 边值问题，同样 引起了广大数学家的重视 人们对h 锄n t o n 系统的研究已有很长的历史法国数学家p o i n c 缸6 和俄国数 学家l y a p l l l l o v 曾对它有比较深入的研究，得出了一些很有意义的局部性结果，但 是，关于非线性h a m i l t o n 系统的整体性结果的研究一直到上世纪七十年代才有重 要进展而从1 9 7 8 年p r a b i n o w i t z 的开创性工作f 9 】以来，变分方法开始频繁地应 用于非线性h a m i l t o n 系统的周期解的研究上，并取得了一系列突破性进展从欧氏 空间中h 锄i l t o n 系统的研究推广到更一般的辛流形上h a m i l t o n 系统的研究，近年来 也取得了很大的进展自从c c o n l e y 和e z e h n d e r 上个世纪八十年代的环面铲“上 的a r n o l d 猜测工作( 见文f 1 0 】) 以来，人们发现了很多辛不变量例如h h 0 f e r ，e z e h n d e r 等发展起来的辛容量理论( 见【1 1 】) 对研究一般辛流形上的h 锄i l t o n 系统 的周期解的存在性发挥了重要作用g r o m o v 的辛流形上的拟全纯曲线理论，以 及s m a l e ，、) i ，i t t e n 等对m o r s e 理论的同调层面上的解释，实际上为后来的f l o e r 的工 作一一建立辛同调理论打下了基础f l o e r 同调理论，以及后来发展起来的g r o i n o v w i t t e n 不变量理论和量子上同调理论的建立，使得上世纪后几年a m 0 1 d 猜测非退 化情况的解决这些都是流形上h a m i l t o n 系统周期解到目前为止最重要发展的 几个方面在这些问题的研究中，中国的数学家也发挥了重要作用，尤其是上世 兰口j = ， h 墨 煎宣 纪八十年代之后，国内以张恭庆教授为代表的关于无穷维m o r s e 理论的研究，把一 个泛函的临界点局部的i f 缶界群与整体的h i l b e r t 流形或者b a n a c h 流形的拓扑联系起 来，为研究某些具有变分结构的微分方程和几何问题建立了相当有用的方法例 如，在椭圆性非线性偏微分方程某种边值问题的解的存在性和多重性问题、极小 蓝面问题、以及调和映照等问题的研究上，无穷维m o i s e 理论都具有很好的j 翌用 当然，它也在非线性h a i i l i i t o n 系统的研究中具有很重要的应用张恭庆教授在专 著 1 2 】中对这套理论及其应用进行了很好的总结另一方面，以龙以明教授为代表 的关于m a s l o v 型指标迭代理论的研究，为非线性h 锄i l t o n 系统周期解的研究提供 了相当精致的数值上的分析方法例如，在最小周期问题、渐近线性h a m i l t o n 系统 周期解的多重性问题、固定能量面上h 锄i i t o n 系统周期解的多重性问题、以及对 于紧硒e m a 硼流形和f i i l s l e r 流形的闭测地线的多重性问题的研究上，人们通过对周 期解的指标迭代序列的分析，利用m a 8 l 0 v 型指标迭代理论，都取得了令人信服的具 有重要意义的结果有关这方面的工作，龙以明教授在他的专著【1 3 】中进行了很好 的总结本文将结合上述两种理论与方法，对某些问题进行更进一步的研究 上世纪三十年代，m m o r 8 e 在研究闭测地线问题时成功地发展了有限维临界 点理论和m o r s e 指标理论此后，临界点理论在各个方面被很好地应用，尤其是在 研究h a m n t o n 系统的周期解的存在性和多重性等方面发挥了重要作用上世纪以 来，在变分法方面，由于临界点理论，尤其是山路引理和鞍点定理被人们发现后，相 对于用极小化方法，人们能够得到更多的临界点由此以来，临界点理论被应用 到h a m i l t o n 系统的研究中，使得h 锄i l t o n 系统的研究有了很大的发展当然，临界 点理论在很多方面都具有重要的应用例如，上面提到的无穷维m o r s e 理论在微分 方程和几何上都得到了很重要的应用因为h m i l t o n 系统具有变分结构、人们很 自然地想把m 0 r s e 理论应用到对h 锄i l t o n 系统周期解的研究中来但是人们面临的 很大的困难是相应于h a 缸m t o n 系统的泛函是强不定的，这导致了该泛函的m o r 8 e 指 标总是无穷大，而且所用的泛函上、下方都无界所以，找一个合适的办法来有限 地表示相应于h a m t o n 系统的泛函的m o r s e 指标以及寻找不同于最大和最小值点 的临界点就显得尤为重要从发展的历史来看，大的方面，首先是以i e k e l a n d 为 代表的一系列的工作，集中研究一类具有凸性h a m i l t o n 系统，这类h m i l t o n 系统 的h 咖i l t o n 函数的h e s s i 舭l 矩阵是正定的，从而对偶方法就起了重要作用，上面提到 的m o r s e 指标无限的障碍就被克服了随后，c v i t e r b o 等研究某类自治h 锄i l t o n 系 煎壹墨! 统的固定能量面问题时，用对偶方法研究星形能量面上的闭特征问题，取得了一 些重要结果但是，对一般的非自治h a m i l t o n 问题，直接变分是不可避免的因此， 把m o r s e 指标有限地表达就是一个重要课题，m a 8 1 0 v 型指标理论就是充当了这一角 色的一种指标理论这种指标理论及其迭代理论，为研究一般非线性h 锄i l t o n 系统 的周期解提供了强有力的工具，这使得近十年来人们在这一方面的研究取得了一 系列重要的成果 事实上，自上世纪八十年代以来，h a m i l t o n 系统的两种不同的著名的指标理 论相继发展起来一种指标理论是由i e k e l a n d 等人发展起来的关于凸h 眦i l t o n 系 统的指标理论i e k e i a n d 在他的专著f 1 4 】中对这套理论进行了系统的总结在 这套理论中起着关键作用的是对偶变分原理对于凸h a 玎m t o n 系统而言，它 的h a 1 i l t o n 函数是凸函数，因此它的f e n c h e l 对偶是有限定义的，利用这个对偶函 数，人们可以建立一个变分结构一一对偶泛函，而这个对偶泛函的m o r s e 指标是 有限的但是，对偶变分原理有它的局限性一般地，一个非凸的h a m i l t o n 函数 的对偶函数不能有限定义，因此对偶变分原理在非凸h 锄l l t o n 系统的应用上受 到了很大的限制在研究一般的h 锄i l t o n 系统过程中出现了另一种著名的指标理 论，我们称之为m a s l o v 型指标理论这种指标理论是近二十几年才逐步发展起来 并日趋完善的，它的研究始于c c o n l e y 和e z e h n d e r ，1 9 8 4 年他们在文 1 5 】中建立 了n 2 时s p ( 2 n ) ：= m g l ( 2 n ，r ) i m t j m = n 中的非退化道路的m 斟0 v 型 指标，即我们所说的c o i l l e y - z e h n d e r 指标理论而后，龙以明教授和e z e h n d e r 在 他们的论文1 1 6 中，把非退化道路的m 蹯1 0 v 型指标推广到n = 1 的情形，而退化 道路的m a s l o v 型指标理论则分别由龙以明教授在文f l7 和c v t e r b o 在文f 1 8 中 于1 9 9 0 年独立完成1 9 9 7 年，龙以明教授在文1 1 9 】中进一步发展了s p ( 2 n ) 中的非退 化道路的m a s l o v 型指标，并建立了一个公理来刻画这种指标在本文的第二部分工 作中这两种指标理论都会被应用，而对偶变分原理也多次在本文使用 对h 锄m t o n 系统的研究，有两大边值问腹目前引起人们广泛兴趣其一是给 定l a g r a n g e 边值，其二是周期边值问题，即人们常说的周期解问题对于前者，给 定l a 酽a n g e 子空间( 或子流形) l ，考虑下述边值问题： 戮 墨! !煎直 果日( t ，。) 与无关，则可以考虑固定能量问题： i 2 = 胛( z ) ， 日( z ( t ) ) = 1 ， iz ( o ) l ，z ( t ) 这种问题和周期问题一样，具有一种所谓的m a s l o v 型指标理论，这种指标理论 由刘春根教授在文【2 叫进行了系统地研究，利用这种指标理论，他还研究了这 种l a g r 缸g e 边值问题的渐近系统的解的存在性和多重性这类问题与h 锄i l t o n 系 统的b o l z a 问题有重要的关系( 见【1 4 ) 本文的第部分对固定能量面是星形能量面 的l a 盯a n g e 边值问题进行了研究也就是，若是f p 中的星形超曲面，i 是e 上的 单位外法向量场，寻找r o 和一条连续曲线z ：【0 ，r 】一r “使得它满足 ( 删p 卜巩p o ”川涎【o ，r 】 i z ( o ) ，z ( r ) 厶 这里l 是辛向量空间( i p ，蛐) 中的一个l a g r a n g e 子空间，岫= d 由i 若函数日g 1 ( i p “，r ) 满足日_ 1 ( 1 ) = ，并且对所有。有v 日( z ) o ，那么 我们可以把问题( 日l ) 转化成固定能量面e 上带l a g r a n g e 边值的非线性h a i l l i l t o n 系 统 ， i2 ( t ) = t ，v ( 。( ) ) ， 日( z ( t ) ) = l ，t 【o ，f 】， i 石( o ) ，名( r ) l 与研究闭特征问题类似，解的存在性和多重性不依赖于满足= 抒一1 ( 1 ) 的函数日的 选取而且，我们可以通过变分原理把问题( 日l ) 的解转化成它相应泛函的临界点 问题( 日) 的更一般情形是刘春根教授在文【1 中研究l a g r a n 嚣相交数时提出 的，在( 1 1 中他发现某个类似于问题( 日三) 的解的个数恰好是l a g r a n g e 相交数如果 把一个星形超曲面看成是一个切触流形，则分布 r j ) 恰好确定这个切触流形 的r 艘b 向量场这时，h a m i l t o n 微分同胚限制于切触流形上就变成了切触微分同 煎宣基! ! ! 胚，我们称这个切触微分同胚为c o n t a c th a m i l t o n 微分同胚a r n o l d 曾经在文1 2 1 中 猜测：对任何c o n t a c t1 一形式，都存在一个r e e bc h o r d 和个给定的l e g e n d r e 子流 形至少相交两次因为我们知道f p n 中带有切触形式a = f 既 d 挑的星形超曲面 和一个l a g r 8 n g e 子空间的交是一个l e g e i l d r e 子流形，所以问题( 日l ) 恰好是a r n o l d c h o r dc o n j e c t u r e ( 见( 2 1 的p 1 5 一- 6 ) 的一种特殊情况，此外，对于二阶系统的两点边 值问题 i 蕾( ) + v y ( t ，z ) = o ， lz ( o ) = z ( t ) = o ， 其中v 俨( r 甜，r ) ，人们可以通过降阶法把它变成带l o l a g r a n g e 边值条件的 一阶h a m i l t o n 系统这里，l o = o ) ob ，是i 铲叫a 的标准l a g r a n g e 予空间本文第 一部分工作是研究研究星形能量面上具有l a g r a n g e 边值的h a n l i l t o n 系统的轨道的 存在性和多重性问题 对h a l i l t o n 系统周期解的研究目前主要集中在三大类问题上，即，存在性、 多重性和稳定性而对h 锄i l t o n 系统周期解的研究又可以从两个方面入手：一方 面，考虑对于给定的周期r 0 ，研究- 周期解的存在性、多重性和稳定性；另 一方面，对于自治h a 玎m t o n 系统，常考虑对于给定的能量 0 ，研究在固定能量 面= 打一1 ( ) 上h a m i l t o n 系统周期解的存在性、多重性和稳定性本文第二部分 工作是对于给定的一个超曲面( 能量面) ，研究落在它上面的h 啦i l t o n 闭特征的稳定 性和多重性，具体地说，研究正定型超曲面上闭特征的稳定性和多重性也就是考 虑下面的问题：对于给定的正定型能量面， k ( 。) 是上一点z 处的单位外法向量， 找一个r o 和一条绝对连续曲线z ：【o ，7 - 】一l p 使得它们满足 ij ( t ) = j 飓( z ( 帆v r ， 气 l = ( r ) = 。( o ) ， 这里= ( 三? ) 删呻标准的辛矩阵 舯中的靴矩阵戒们把这 样的以r 为最小正周期的曲线z 称为e 上的闭特征 关于闭特征这一经典问题，在存在性、多重性和稳定性方面已有很多相关结 果： 丕! y煎宣 1 是r “中紧凸超曲面时 在存在性和多重性方面：1 9 7 8 年，a w e i n s t e i nf 2 1 1 证明了闭特征的存在性 1 9 8 1 年，i e k e l a n d 和jm l a s r y 在文1 2 2 1 中，在以两边夹条件下证明了存在至 少n 个闭特征1 9 8 2 年，a a m b r o s e t t i 和g m a n c i n i 在文f 2 3 1 中在 两边夹条件下 证明了存在至少( 毒i 个闭特征但是，两边夹条件不是自然的条件，因此，有许多 数学家开始在没有两边夹的条件下来研究多重性1 9 8 7 年和1 9 8 8 年，i e k e l a n d ，h h o f e r 2 4 和a s z u l k i n 【2 5 1 利用m o r s e 理论分别证明了存在至少2 个闭特征2 0 0 2 年， 龙以明教授和朱朝锋教授在文【2 6 】中利用上面提到的m a s l o v 型指标理论证明了存在 至少+ 1 个闭特征同年，刘春根教授、龙以明教授和朱朝锋教授三人合作( 见 文【2 ”) ，在是中心对称的前提下证明了存在至少n 个闭特征这个结果，给一个著 名猜测：“任何r 加中凸超曲面上有至少n 个闭特征”以正面的支持目前这个猜测 还是一个未完全解决的问题 在稳定性方面：i e k e l a n d 等对中心对称超曲面证明了其上至少存在一个椭 圆闭特征这里的椭圆闭特征是指它的所有f l o q u e t 乘子全落在复平面的单位圆 上该结果正面地支持了一个著名猜测：“在每一个凸超曲面上至少存在一条椭圆 闭特征”( 见f 1 4 1 ) 这是一个很难的猜测，一般情况下，还没有任何进展即使退一 步，“在一般凸超曲面上具有一条非双曲的闭特征”这样较弱的命题，也是一个 公开未解决的问题这里的双曲闭特征是指除了f l o q u 雕熏子1 是二重之外，其它所 有的f l o q u e t 乘子全落在复平面的单位圆以外i e k e l a n d 在文【2 8 】中证明了一个二 择一的结果：或者存在无穷多条闭特征，或者存在条非双曲的闭特征我们注意 到，对于凸超曲面来说，所有的闭特征的平均指标都大于2 1 9 9 8 年，龙以明教授在 文 2 9 1 证明了关于凸超曲面上的双曲闭特征的结果：在e 2 光滑的紧凸超曲面上，或 者存在一列最小周期趋于无穷大的变分可见( v a r i a t i o n a n y 、r i s i b l e ) 的双曲闭特征， 或者存在至少一个变分可见的非双曲闭特征这里“变分可见”是龙以明教授利 用m 船1 0 v 型指标的迭代来定义的 2 e 是r 鼽中紧星形超曲面时 在存在性和