（基础数学专业论文）两类康托集的平移交的自相似结构.pdf

摘要 两个康托型集的平移交是近年来非常活跃的课题，文章都以不同的方法研究平移 交的各种分形维数本文主要从自相似集的角度着手考虑交集的具体结构令r 口为 中心口康托型集，q ( 1 3 ，1 ) 本文通过元素的展开式确切描述ln ( r 。+ ) 里元素 的具体表达式，进而从一般自相似集的构造方式和表达式来考察kn ( r a + ) 是否为 自相似集，得出充分必要条件考察产生此自相似集的i f s 是否满足开集条件，这对计 算这种自相似集的h a 璐d o r 仃、b o x i n g 等各种维数有直接的意义，并研究生成这种自 相似集的某个迭代函数系统的具体结构后半部分则是把此类问题和结果推广到对称 n 康托集的平移交，结论类似 关键词：分形，自相似集，迭代函数系统 a bs t r a c t m a n vs c h o l a r sh a v e1 u c u b r a t e do ns e l fs i m i l a rs e t sw i t ht h eo v e r l a ps t r u c t u r er e - c e n t l v t h et r a 璐l a t i o no ft h ec a n t o r 1 i k e8 e t sh a sb e e na na c t i v i t yt o p i cf o rd e c a d e s t h e yu s ed i 骶r e n tw a y st oc o m p u t et h ed i m e n s i o 璐a c c u r a t e l yo ra p p r 0 x i m a t e l y t h i s p a p e rc o n s i d e r sc o n c r e t es t m c t u r eo ft h et r a n s a c t i o nf r o mt h es e l fs i m i l a rs e t l e tl b et h en l i d d l eqc a l l t o rs e t s ，q ( 1 3 ，1 ) t h i sp a p e rg i v e st h ec o n c r e t ee x p r e s s i o no f t h ee l e m e n t si n ! h es e tr an ( r 口+ t ) ，t h e ne x a m i n e st h es e tr 口n ( r a + 亡) w h e t h e ri sa s e l fs i m i l a rs e tt h o u g ht h es t r u c t u r ea n de x p r e s s i o no ft h eg e n e r a ls e l fs i m i l a rs e t g i v e s t h es u m c i e n ta 1 1r ! n c c e s s a 珂c o n d i t i o ns ot h a tt h ei n t e r s e c t i o nr nn ( r a + t ) i sas e l f s i m i l a rs e t t h e1w ew i l lj u d g et h ei f so ft h es e l fs i m i l a rs e tw h e t h e rs a t i s f i e st h eo p e n s e tc o n d i t i o n 1li so fd i r e c ti m p o r t a n c et oa c c o u n tt h eh a u s d o r f f ，b o x i n gd i m e 璐i o n o ft h es e l fs i m i l a rs e t s w bi n v e s t i g a t es o i i l es t r u c t u r e so ft h ei t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m s w h i c hg e n e r a t e f ! l h es e l fs i m i l a rs e t s t h eq u e s t i o n sa n dr e s u l t sa r ee x t e n d e dt ot h e s i i n j l a rnc a l l t o rs e t k e yw o r d ： ：f r a c t a l s ， s e l fs i m i l a rs e t s ，i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e i i l s 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中作了明确说 明并表示谢意。 作者签名：日期： 学位论文授权使用声明 嘲( ，够 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索。 学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名： 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的 导师签名： 日期：j 婵0 1 乡日期：羔呈! 壁：己乙 星 第一章引言 1 1 研究背景 第一章引言 1 9 6 7 年m a n d e l b r o t 在“s c i e n c e ”杂志上发表了一篇“英国海岸线有多长? 统计 自相似与分数维数”的论文他在这篇论文中对海岸线作了独特的分析“n a c t a l 一 词也首次出现在科学界，随后他在1 9 7 5 年发表了专著分形：形状，机遇与维数， 第一次系统地阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法这个专著的发表标志分 形几何作为一个独立的学科正式诞生后来f e d e r e r ，f a l c o n e r 和m a t t i l a 等人的研究 工作，将几何测度论引进了分形理论中，研究分形集的理论和方法有了巨大的发展，大 大推进了分形分析，分形理论因此也得到极大的丰富近期，随着人们对非线性科学的 重视和计算机技术的快速发展，分形几何无论是在数学基础还是在应用方面都得到了 快速的发展 许多分形是由一些与整体以某种相似的部分组成的，比如三分康托集是与它自身 相似的两部分的并，而v o nk o c h 曲线则是由四个与之相似的部分组成的这些自相似 性不仅是这类分形的性质，实际上也可以用来作为它们的定义，这经常是一种十分有 用的处理方法 1 9 8 1 年，h u t c h i s o n 于文5 1 把用“相似的丰富”递归步骤产生自相似集的方法一 般化，并给出开集条件的定义，满足开集条件的自相似分形的h u a s d o r f r 维数，b o 菇n g 维数，p a c k i n g 维数均与自相似维数相等b a 璐l e y 和d e m k 0 于1 9 8 5 年在文【7 】引入 可产生和分类分形集的统方式：迭代函数系统( i t e r a t e df u n c t i o i l ss y 8 t e m ) ( 下文中 简记为i f s ) 许多经典的分形可以利用i f s 产生，如三分c a n t o r 集，s i e r p i n s l 【i 垫片 等对于一个一般的自相似分形( 不必满足开集条件) ，它的h a u s d o r f f 维数，计盒维数， 填充维数均相等具体的相关理论和知识可参见文【4 ，1 9 】 近期许多学者对具有重叠结构的自相似集进行了深入的研究，两个康托型集的平 移交是近年来非常活跃的课题( 见 1 ，1 0 ，1 3 ，1 4 ，1 6 】等) 这些文章均以讨论交集的各 种分形维数为目的，可以精确或者近似的得出交集的维数文【1 5 】通过定义一个厚度 1 第一章 引言 的概念从而研究平移交中是否含有一个康托集，得到的结果是近似的文【1 1 ，1 2 】的 精彩之处是应用概率矩阵和l y a p u n o v 指数的相关知识考察交集维数的近似结果文 【1 7 ，1 8 】主要应用广义m o r a n 集的知识讨论一类交集的精确维数，给出了平移交的 h a u s d o r f f 维数以及分析其上的康托测度的分形谱 本文主要受文【2 】的启示，利用级数展开式，细致分析交集中元素的性质，进而利 用这些性质讨论交集的迭代函数系统的结构本文中用到的有关特殊级数展开的知识， 是参考了文【8 ，9 1 设 ( z ) = n z + 6 0 竺，是r 上的一族函数列，其中o h i 1 易知存在唯一 一个非空紧集tcr 使得t = u 墨。 ( t ) ，此时称函数列 五( z ) ) 竺1 为t 的迭代函 数系统，t 为自相似集 经典三分康托集，通常记为c ，是由迭代函数系统 ( z ) = z 3 ，厂2 ( z ) = z 3 + 2 3 1 生成的自相似集，c 是r 中唯一一个满足 11 ) c = 丢cu ( 吉c + 昙) ， oou 的非空紧集易知当且仅当【一1 ，1 】时，cn ( c + ) d ，但是cn ( c + 亡) 有更复杂 的结构最近文【2 】对cn ( c + t ) 的结构进行了精确的描述，他们讨论了cn ( c + t ) 何时成为一个自相似集以及它的具体结构 1 2研究对象和问题 中心q 康托集和对称n 康托集是经典三分康托集的一般化下面定义中心q 康 托集和对称n 康托集： ( 1 ) 取q ( o ，1 ) ，p = ( 1 一a ) 2 ，定义相似变换r ( z ) = 触+ i ( 1 一p ) ( o ，1 ) ) 【o ，1 】 上的中心q 康托集r 。为相似变换昂和f l 的不变紧集，即 r a = r ( r n ) uf 1 ( r 。) ( 2 ) 取n = 2 七+ 1 ( 后1 ) ，d = o ，2 ，2 七 定义相似变换e ( z ) = ( z + z ) n ( i d ) 【o ，1 】上的对称n 康托集n 为相似变换昂，昆，足七的不变紧集，即 ，r = u e ( n ) i d 关于中心q 康托集l ( 或对称n 康托集r ) 有两个基本的问题： 2 第一章引言 ( 1 ) 中心q 康托集l ( 或对称n 康托集l ) 与自己的平移交是否为一个自相似集? ( 2 ) 如果( 1 ) 的答案是肯定的，那么交集的迭代函数系统是什么? 文 2 】处理了中心1 3 康托集r 1 3 ( 也即当礼= 3 时对称3 康托集r 3 ) 的上述问 题，本文中我们处理a ( 1 3 ，1 ) ，即p ( o ，1 3 ) 的中心口康托集的情形以及当原始 压缩函数多于两个的一些情况即l 的情形 事实上，我们只需考虑当o t 1 时r 口n ( l + t ) ( 或ln ( k + t ) ) 的自相似情 况因为= 0 或l 时的情形是平凡的，而一1 t 0 时的情况可以通过自相似集的 平移性质转换到0 t 1 的情况 3 第二孝预备知识 第二章预备知识 本章我们给出关于符号系统的一些基础知识和概念以及自相似集的一般结论更 详尽的相关知识可参见文( 【3 ，4 】) 2 1 符号系统的基本知识 设q 为z 中一个有限子集令 其中 q 七= j 1 靠：a q ( 1 n 七) ， 和 q n = 歹1 如：矗q ( 1 几 o 。) 从定义中可知q + 是所有有限词的集合，q n 是所有无限词的集合若j 甜，了饼u q n ，记j ，为j 与j 在q + u q n 中的自然连接特别的，如果j = ( l ，t 2 ，i 奄) 必，j q ，有巧= ( z 1 ，z 2 ，t 七，歹) 对任意的j q ，用i j l 记为j 的长度构造q n 中的一 个周期词7 = j j ，即为j 的无限重复如果，= ( l ，t 2 ，如) ，j = ( 歹1 ，歹2 ，靠) 同长，且对任意的1 凡尼有蔬矗，我们记，j 对j = 歹1 虎q n 和 正整数n ，令j l n = j 1 j 2 歹n 表示j 的前n 位截段若j = 歹1 j 2 九卵，定 义乃= 乃。o o 乃。 称无限长词仃q n 为最终周期的，如果存在两个整数d ，m 使得对任意的忌m 有吼+ d = 吼，整数d 称为盯的周期称无限长词盯q n 为强周期的，如果存在两个 长为p 的词，j 俨，有，+ 了= ( i 1 + 歹1 ，i 2 + 如，绉+ 易) 舻，使得盯= 力了了 4 七 c = u 胁 = c = 第二孝预备知识 2 2自相似集的一般结论 在这一节中我们介绍映射族研，：r n _ r ”是相似的情形，即： i & ( z ) 一& ( 可) i = c i i z 一可i( z ，可r ，) ， 其中o q 1 ( 色称为& 的压缩比) 于是，每个& 把r ”的子集变换成其几何相似 集在这样的相似变换族之下的不变集称为( 严格) 自相似集，它是一些与总体相似的 较小的相似部分的并典型的例子包括三分康托集、s i e r p i n s l 【i 垫和v b nk o c h 曲线 称迭代函数系统( ，f s ) & ) ：1 满足开集条件( o p e ns e tc o n d i t i o n ) ，如果存在非 空的有界开集y 使得对于不交的并 u 鼠( y ) c y ( 1 ) i = 1 称迭代函数系统( f s ) & ) 兰1 对e 满足强分离条件( s t r o n gs e p a r a t i o nc o n d i t i o n ) ，如果存在非空紧集e 使得对于不交的并 u & ( e ) c e = l 若迭代函数系统满足强分离条件则必满足开集条件( 【4 1 ) 引理2 1 【4 1 假设开集条件p ，对压缩比为q ( 1 t m ) 的r “上的椰 & ) ：1 成 立。如果f 是不变集它满足： f = u & ( f ) ， i = 1 贝l 出m 日( f ) = 出m b ( f ) = s ，其中s 由 = 1 ， l = l 给出，并且对这个值s ，0 咒3 ( f ) ，则存在q n ( q 譬) _ 【- l ，1 】的自然映射n ： n ( j ) = 熙( o ) = 熙靠矿1 ( 1 一p ) = 瑚( 1 一p ) ， 。 七= l七= 1 其中 。 j = 歹1 歹2 q n ( q ：i ) 因此 r n = 靠胪- 1 ( 1 一卢) ：歹歹z q n ) 并且 r a r a = 五。1 ( 1 一p ) ：歹j 2 q n ) 如果( j ) = z ，j q n ( q 掣) ，则称j 为z 的q ( q 1 ) 地址，记为孟当p ( o ，1 3 ) 时，易证r a 中元素的q 地址是唯一的，r 口一r 口中元素的q 1 地址是唯一的( 见下文引 理3 1 ) 本文中只考虑p ( 0 ，l 3 ) 的情况当且仅当t l r 口时，r a n ( l + ) d 注： 此章节中地址均为q ( q 1 ) 中的地址 引理3 1 z = 墨1 毛一1 ( 1 一p ) ，= 墨1 玑一1 ( 1 一p ) ，甄，玑q ( q 1 ) ，如果z = y ， 则= 玑 证明因为当o o 否则可用 片( z ) ：= 一n z + n ，y + + 玩代替五( z ) ( 【2 ，p r o p o s i t i o n2 3 】) 性质3 6 亡( o ，1 ) ，若= ( o ，o ，) 当且仅当r 是一个单点集此时是强周期的 且r 是自相似集 证明由r 的定义知当且仅当= ( o ，o ，) 时，r = o ) ，故结论成立 口 这种情形是平凡的，在下文中我们总假定( o ，o ，) 从而下文中r 必存在非 零元素 引理3 7 如果椰 ( z ) = n ( z ) + 6 0 竺1 ，o = 6 1 6 2 6 3 6 生成r ，则存 在整数q 1 使得r 1 = 伊 证明取眇( 1 一p ) r ， ( 矿( 1 一p ) ) = r p ( 1 一p ) = r 矿( 1 一p ) r ， 故r 1 = 墨lr l i 一m ，r “q 因r 1 h 0 有7 1 = p 七- + p 知。+ ，其中 o = p 聃1 ( 1 一p ) i 南2 由 r l p m ( 1 一p ) = 卢七- + m ( 1 一p ) + p 七。+ m ( 1 一卢) + r ， 有z 1 = p + m ( 1 一p ) + p 七。+ m ( 1 一p ) r ，由7 1 茁1 r 和r 的定义( 公式( 3 ) ) 得 r l z l 2矿( p k ，+ p 乜+ ) ( p 七+ p 七：) ( 1 一p ) p 2 七+ m ( 1 一p ) + p 2 2 + m ( 1 一p ) + 2 p 七一+ 凫。+ m ( 1 一p ) + p 七- + m ( 1 一p ) + p 七。+ m ( 1 一p ) r ， 由引理3 3 知这是不可能的，故假设不成立，结论得证 口 引理3 8 若z = 至1 既一1 ( 既q ，如果存在整数q 1 ，使得对任意的七1 有 z 七十q z 七，则面= ( z 1 ，z 2 ，z 3 ，) 是强周期的且口是毫的周期 8 第三章r 。n ( r 口+ t ) 的自相似性 证明令z ( m ) = z 咖+ 1 胪( 1 一p ) + z 删+ 2 胪+ 1 ( 1 一p ) + + z m q + g 眇口+ g 一1 ( 1 一p ) ， 则 ( 伊( 1 一p ) ) 一1 z ( o ) ( p 2 。( 1 一p ) ) 一1 笫( 1 ) ( p ( m + 1 ) q ( 1 一p ) ) 一1 z ( m ) ， 因为券 ( m + 1 ) 。( 1 一p ) ) z ( 仇) ) 2 口是有限的，所以存在m 。使得对任意的m m 。 有 ( p ( m + 1 ) a ( 1 一p ) ) 一1 z ( m ) = ( 卢( 咖+ 1 ) a ( 1 一p ) ) 一1 z ( m 。) 当m 0 ，记k = ( z 删+ 1 ，z 删+ 2 ，z 咖+ g ) ，有j l d 厶k = k 。= ，此 时孟= 晶j 1 j 1 2 k l 瓦令，= 如，l 如“j 与j 同长使j + j = 砩，即 的m o 次乘积，孟= ，仃干了y 是强周期的且g 是岔的周期 口 引理3 9 者r 是自相似集，则存在整数q 1 使得对所有的尼1 有如+ 。气，所以 是强周期的且q 是 的周期 证明设 五 ) = n z + 引 竺1 ，o = 6 l 6 2 6 是r 的一个i f s 则根据引理 3 7 有 ( z ) = p g z ( g z + ) 因为对所有的后1 有如= o 或1 当反= 1 ，故得 胪一1 ( 1 一p ) r ，所以 ( 胪一1 ( 1 一p ) ) = 卢七+ 口一1 ( 1 一p ) r ，所以菇+ g = 1 ，即对所有 的七1 ，蠢+ 口毛根据引理3 8 结论得证 口 引理3 1 0 1 2 】如果集t 是自相似集，则t + o = z + o ：z t ) 和o t = 凸z ：z 丁】- 均为自相似集 3 2 rn ( l + 亡) 自相似的充分必要条件 定理3 1 1 设0 1 ，1 3 q 1 ，则r an ( r 。+ t ) 是自相似集当且仅当是强周 期的，其中毛= l 一 证明首先证明必要性假设ln ( r + t ) 是自相似集，根据引理3 1 0 得r 是自相似 集且根据引理3 9 得是强周期的 反之，若= 疗干了，j ，z ，+ j 舻对任意的，= ( z l ，i 2 ，讪) 甜，定 义d j = p l ，1 7 r ( ，) ，其中7 r ( j ) = 坠1i 居胪。( 1 一卢) 对任意的z r ，记仃1 = 9 第三章r 。n ( r + ) 的白相似性 ( z 1 ，z 2 ，昂) ，吼+ 1 + 亿= ( z 助+ 1 ，z 聃p ) ( 尼22 ) ，根据r 的定义知对任意的 尼1 ，有吼，亿j 即z 可表示为 z = z 南矿1 ( 1 一p ) 七= 1 p 劬 = 伊z p 七一1 一p ( 1 一p ) + p 2 p z 七p 一1 一印( 1 一p ) 七= 1 七= p + 1 3 p + 胪z 七矿1 。印( 1 一p ) + 七= 2 p + 1 = 伊如。+ p 印( 如。+ d _ ) + 胪( 如。+ 如) + = 伊( 以。+ 伊妃) + p 2 p ( 如：+ 伊如) + 所以r = t 一，d 7 ) = 伊丁( p ，d ) ，其中d 7 = _ 如+ 伊打：盯，7 - j ) ，d = d 盯： 盯，j ) 并且可知券d 有限 i f s ( z ) = 伊( z + 如) ) 。 ，t ，生成t ( p ，d ) = p p r ，即 p p r = u 伊( p p r + d 盯) 口j j p p r = ur + 矿打 口s l j r = u 伊r + p 印如 口，j r = u 伊r + 丌( 盯) ， o 曼l j 所以i f s ) = 伊z + 7 r ( 口) ) 盯 o ，存在n m 使得6 饥 ( 1 一p ) ， r 七= 七l + 1 所以 ( z 2 ) gr ，与公式( 4 ) 矛盾，故此步骤中的假设是不成立 步骤2 由步骤1 知对任意的七m ，存在f 七使得= o ，则【七：玩七= o ，七 m ) = ( 尼1 ，乜，) 是无限集取z 3 r 足够小使得( 死z 3 ) ( 1 一p ) p ，则存在f 使得 卢h + ，( n z 3 ) ( 1 一p ) 乜+ 1 ，有 b 一1h + l l 五( z 3 ) = 懈3 + 玩= 矿1 ( 1 一p ) + 烈1 一p ) + ( 。七+ 1 ) 矿1 ( 1 一p ) 1 1 r p 一1 一 七 p七 o+ 七 玩 + l i 七 十 8一 一 + 七 p + 七 0 + 从上式中可以得到口+ 2 = 口h + 3 = = o h + 。l = o ，。h + 。= o ( 或1 ) ：若口h + 。= o ，则 o h + t 十121 ，故6 h + l + 1 = o 1 = 如+ 。+ 1 ，得证若o h + l = 1 ，则k l + 1 = o 1 = 瓦+ l ， 得证 若岛+ 1 = + 1 ，o h + l + 1 o ，有 五 3 ) = n z 3 + 瑰= 有玩= o 1 = 毛+ ，得证 ( 6 t 七+ 钒) 矿1 ( 1 一p ) r 七= 七f + 1 + 1 引理3 1 4 若( 五( z ) = n z + 6 0 羔1 是r 的蛹贝；c f 对所有的i 有l ( 玩) o 。 口 证明令= j 用，其中，zj + j 舻令a 1 = i ：厶= 1 ，1 t p ) ： ( 啦，砚，畋) ，a 2 = t ：厶+ = 1 ，1 t p ) = d l ，d 2 ，) ，a 3 = z p + 也：2 n + ，也a 2 ) ，a = a 1ua 3 ，a 即为中所有为1 的地址位数易见a 1ca 2 ，令 c = f ：o e p 一1 ，对任意的z a 2 ，存在可a 2 使得e + z 兰沏。d ) p ) ， 有0 c 仍因为 五( z ) = n z + 玩= 懈+ 矿1 ( 1 一p ) r = 七= l 。七：1 其中o 6 z 七氏，由公式( 5 ) 知 z 七p 七一1 ( 1 一p ) ：z k q ) ，( 5 ) n z 岛矿。1 ( 1 一p ) ：已叫) 8 a 取p d l 1 ( 1 一卢) r 代入公式( 6 ) ，则n 。a 伊吨：6 q 1 ) ，故n 可表示为 七a & p 七( 1 一p ) ，q 1 下面分情况讨论： ( 1 ) 如果n = 胪l 土p 七z 士p 七s 士，取伊一1 ( 1 一p ) ( 口a ) cr ，有 伊一1 ( 1 一p ) = ( 矿z 士圯士卢b 士) 伊1 ( 1 一) = p 七1 + 口一1 ( 1 一p ) 士p 七：+ 口一1 ( 1 一p ) 士p 七3 + 口一1 ( 1 一p ) 士6 胪1 ( 1 s a p ) ) ， 根据引理3 1 对任意的i 有觑+ g a ，即觑= 佗i p + q ，啦对，e i c 不同时，e i 可相同) 1 2 +8 一 一 8阮 胁 第三孝rn ( r 。+ ) 的自相似性 ( 2 ) 如果n = p 七+ p 七。+ p b + 一p h 士，取z q = 伊1 ( 1 一p ) ( q a ) r ， 五( ) = n + 玩= 墨1 ( ( ) ) 。1 ( 1 一p ) ，我们有( ( ) ) l 一1 ，o ，1 ，2 ) ，根据引 理3 1 有对所有的g a 均有玩h + 口= 如+ q = 1 故当七硒+ 1 ，以七= 以但这是不 可能的否则令m o = m i n 忌：6 汝= o ，后+ t 1 ) ( 引理3 1 3 保证其存在性) ，取z 4 足 够，j 、使得o l ( 玩) ( t 1 ) ，因为 ( r ) cr 和p 岛rcr ，有 饥+ n ( p 七r ) cr ， 则根据后的选择有n ( 胪r ) cr 在引理3 7 的证明中用胪n 代替n ，得胪n = p 一吼+ 七( 吼z + ) ，所以n = p 吼因为n ( 胪r ) cr ，当乙= 1 时，有胪n 蠢胪一1 ( 1 一p ) = 1 3 p 一 一 g轨+ z n 蚶 +8 一 一 8 b 玩 + +p 一 一 疗 玩 胁 i i rg一 一 8 玩 +z n 蚶 + p 一 一b 82+0 8玩 胁 = 第三章ln ( r q + ) 的白相似性 矿+ 七+ 吼一1 ( 1 一p ) r ，故乙+ 南+ 吼= l ，所以乙乙+ 七+ 吼( n 1 ) 从这些不等式与引理 3 9 得七+ 吼= f p o + 吼是的周期所以册i 吼即吼是的周期 注意= ，三( = 伽) 对任意的n p + 依存在f ，r 刃使得佗= p + 吼+ + r ( o r p + 岱) 口 第! 兰1 2q 堡2 1 2 丝鱼塑丝丝 一一一一一一一一一一一 第四章r nn ( r n + 艺) 的自相似。i 生 本章中主要讨论关于kn ( r n + 亡) 的自相似问题下文中n = 2 后+ 1 ( 七2 ) 4 1基本性质和引理 令孬： o ，2 ，2 七) ，豆1 ： 一2 七，一2 后+ 2 ，o ，2 七) ，则存在n ( _ n ) _ 【一1 ，1 】的自然映射： 其中 叩) 2 土骧( 0 ) _ 熙争竹一= ，：他_ n ( - n ) ， o o 加一， t = l 因此 r n = 细“：知2 - n ) 七= 1 如果( j ) ：z ，z r n ，j - n ，则称j 为z 的豆地址，记为孟 本章中的地址均为孬地址 令f = ( 砩士e 礼一1 7 卜1 ，e ( 1 ，3 ，n 一2 ) ，j 斧 性质4 1 亡( 0 ，1 ) ，则 ( 1 ) 若亡，则rn ( r + ) 是个有限集此时r nn ( k + 亡) 不是自相似集且 不是强周期的 ( 2 ) 若tg ，则 r nn ( r n + ) = 哪一 ：耽【o ，2 ，4 ，观者如= 一2 ( 七一舢 o ，1 ，哪 诘1 ( 7 ) 第四章ln ( r + ) 的白相似性 证明若z ln ( r n + ) ，则存在秒r 疗使得z 和3 的地址满足矛一雪斟因为 f 是唯一的当且仅当tg ，故由f 的唯一性( 2 ) 成立当t ，则存在，西+ 使得 t = 罂1 厶n 一+ e 礼一l j l 一，t 的一个豆地址为f = ( j l ，j 1 2 ，m l ，e 一1 ，2 七，2 尼，) 此 时，观= 2 忌0 七+ 2 ) 因此kn ( r n + t ) 是一个有限集因为z 七+ l 是不固定的，集合 r nn ( r + t ) 的势大于或等于2 ，所以它不是自相似集当= 罂1 厶n 一e 礼一l 卟1 ， 证明是相似的，我们省略之故( 1 ) 成立 口 下文讨论中当集合为自相似集的时候，g ，即的豆的地址是唯一 令7 = m i n z ：z r 。n ( r n + t ) ) ，r 7 = r 。n ( r n + t ) 一可，则 r 7 = z r 。，z t ，i = 1 ，2 ，) ( 8 ) 这里= 2 七一，翰孬，屯豆1 由公式( 7 ) 得， ( 句= n = m a x ( z ln ( r n + ) ) 一m i n z kn ( r + t ) ) = 1 = m a x z r nn ( r n + t ) ) 一彳= m a x z ：z r 7 ) ：= 矿 r 7 有趣的几何性质与上节中r 的性质相同，也是几何对称的，从而有比较好的应用 性质4 2 ( o ，1 ) ，则f = ( o ，o ，) 当且仅当r 7 是个单点集此时f 是强周期的并 且f 是个自相似集 这种情形是平凡的，我们总是假设( o ，o ，) 下文中的n 与七的关系式为 n = 2 后+ 1 ( 后22 ) 引理4 3 设= 墨。啦n i ：啦 o ，2 ，2 m ) ( m 七) ) ，如果z = ：1 以n l + 正航_ o ，2 ，2 m ) ( 1 i 力，( 2 m + 2 ) n p 一1 6 2 佗呻，则zg 证明首先，易证若墨l6 1 i n 一= 墨l6 2 t n “，则对任意的z 有6 1 i = 电 如果( 2 m + 2 ) 几一p 一1 6 n ，则6 = 昌+ 1 航n 一，2 m + 2s 研1 2 七，显然 zg 如果6 = n ，则z = 留甄n 一+ ( 戤+ 1 ) 矿或者z = 笔1 戤n 一+ 墨p + l ( 2 七) n 一， 易知z 叠 1 6 第四章rn ( r + ) 的白相似性 如果佗一p 6 2 n 一，则6 = n p + 墨外1z i n 一( 如- ) ，因为( 昂+ 1 ) g o ，2 ，2 m ) ，故z = 譬：n 一+ ( + 1 ) 几一p + 墨p + 1 既他一g 口 引理4 4 设7 = 墨1 啦n 一：砚 o ，2 ，2 尼) ，z = 署盈佗一+ 唧忍一p + 墨p + 1z 孔一，z o ，2 ，2 七) ( t p ) ，唧 1 ，3 ，2 七一1 ) ，若z ，贝! z l = 2 尼( z p + 1 ) 或既= o ( i p + 1 ) 证四z 7 ，则存在掣= 墨l 鼽n ，轨 o ，2 ，2 尼) 使得z = 3 ，因为o 兰升l 兢n 一n 一，所以z = 薯甄n 一+ 昂礼一p 或者z = 冒而n 一+ ( z p + 1 ) n ， 则雪= ( z 1 ，z 2 ，唧一l ，昂一1 ，2 七，2 七，) 或雪= 1 ，z 2 ，昂一1 ，+ 1 ，o ，o ，) ，故 z i = 2 七( p + 1 ) 或毛= o ( i p + 1 ) 口 引理4 5 如果椰 五( z ) = n ( z ) + 玩) 竺1 生成r ，且o = 6 1 6 2 6 3 6 ，则 r l = 墨1r l t n 一，7 1 t o ，1 ) 证明取2 仃一r 7 ， ( 2 n 一) = 2 n 一r l r 7cr n ，故r 1 = 罂1 警n 一件( 砚d ) ， r 1 = 墨。7 1 n 一，r l i o ，1 ，七) 我们将从两种情况分别证明结论 ( 1 ) 当( ) m 钗= 2 m ( m 七) ，令p = m i n i ：毛= 2 m ) ，则2 饥一p r ，( i = 1 ，2 ，m ) 由2 i n p r i r 7 得7 l = 墨1r “凡一，r “ o ，l ，m ) 假设结论不成立，则存在r l tg o ，1 ) ，令= m i n t ：r l t 2 ) ，必存在j 7 ( 1 j 7 m ) 使得2 ( j 7 1 ) r l p ，2 m 巧乍l p ，即有嚣 j 嚣+ 1 又幻7 n p r 7 ， 1 2 j ；7 n p 7 1 = 巧7 n 一一p r “+ 幻7 礼一加7 1 矿+ i = 1 令，= 勿7 佗一呻r 1 十罢一十1 勿7 佗一呻r l l ，有 ( 2 m + 2 ) n p ，_ p e 7 = 叩7 + 1 勿佗一p ，一p r l p ，+ 2 删7 勿7 n 一一p 7 “， n _ p 一罾 2 尼 j 7 ( 2 r p ，+ 警) n p 一p ( 号+ 1 ) 陋v + 叫呻 ( 2 仇+ 警+ 啬砌，小叫一 1 7 ( 9 ) 矛盾故可得当( 疋) 。啦= 2 m ( m 后) 时结论成立 ( 2 ) 当( 疋) m 腻：2 七，令p = m i n t ：毛= 2 七) ，有2 伽一p r 俅= 1 ，2 ，惫) 假 设结论不成立，令矿：m i n 0 ：r l 2 ) 如果2 r l p ， 5 ) ，则存在 歹( 1 歹 七) 使得2 0 一1 ) 7 1 ， 佗 p ，7 一l 勿r 1 矿，取巧礼一p r ， 2 跏一p r l = 巧牛p + 巧叫一吁1 矿+ t = 1 令= 勿，几一p ，一p r l 矿+ 墨+ 1 巧仡一一p r l i ， t = p ，+ l n p ，一升1 e 巧”n p ，一p r l ，+ 2 幻 2 j n 一。_ p 7 1 ， n p ，l p 2 后 j ( 2 7 1 ，+ 1 ) n 一，l p ( 南“) ( 2 n 时1 叩 ( 礼+ 1 + 2 ，+ 赤) 佗叫l p ( 1 0 ) 因2 r l p ， 七，故礼+ 1 + 2 r l p ，+ 南m a x _ 【n + 1 + 4 + 罢，n + 1 + 2 ( 七一1 ) + 粕】 5 ) ，所以公式( 1 0 ) 中有n 一，l 升1 e ， 2 凡一p ，一升1 ，由引理4 4 知2 歹n p r l 粤r ， 由矛盾知假设不成立如果r 1 = 尼，取4 礼p r ，有 4 n p r l2 4 n 中+ 4 加叫一p + 4 他中 t ：1t = p ，7 + l ：1 笋4 r l i n p i + ( 舒1 一l + 1 ) n 一一p + 1 + ( 2 七一1 ) n 一一p + 壹4 n p ， = 1 帆n _ p _ q ( 饥“如叫卅1 + ( 2 1 ) n 叫呻+ ；。4 n m 呻 ( 1 1 ) 由引理4 4 和公式( 1 1 ) 知7 1 i = 七( i ) ，但这是不可能的因为如果r 1 5 磐1r l i 礼一i + 惫昌，n ，r l t o ，1 ) ( 1 i 矿一1 ) ，则磊= 2 七( i 矿+ p ) ，故z = 2 七墨+ p 他一i = n 一矿- 升1 r ，则7 l z = 篓h t n - i _ ，7 州+ 七墨n 州l p + 1 r ，这是不可能的故当( ) m 戤= 2 南时结论成立 口 进而我们可以得到以下结论 引理4 6 如果椰 ( z ) = n ( z ) + 魄) 竺l 生成r 7 且o = 6 l 6 2 6 3 6 ，则 存在一个正整数q 使得r l = 他 1 8 v 埘g 打 巾 + n 为俐母碥 n 3 打 龟 而理从引 一二由 打h + 母窨l 七 4 n芷浊k 强 一 m 巾 v i ， 打 也 为胁 故唷b 牛 一 式r 公 一队 舯所 因凯 灿 证明由引理4 5 知r l = 罂l7 1 礼，n o ，1 ) 假设结论不成立，可设7 1 = n 一1 + n 一乜+ e ，其中七1 ，o e 譬下面分两种情况证明 ( 1 ) 当( ) m 缸= 2 m ( m 七) ，令p = m i n i ：磊= 2 仇) ，取2 m 礼一p r 7 ，则 r 1 2 m n - p = 一南1 + 礼一知2 + e ) ( 2 m 佗一p ) = 2 m n 一七1 p + 2 m n