（基础数学专业论文）关于乘法分拆数目的估计.pdf

山东大学硕士学位论文 关于乘法分拆数目的估计 葛 守 富 ( 山东大学数学与系统科学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 本文用，( 功表示乘法分拆f ，熨。n 是一个大于1 的整数，并且约定 i ( 1 ) = 1 当f l 1 时，所谓的乘法分拆是指将n 分解成因子乘积的形式，因 子顺序不同的乘法分拆看作同一个分拆 1 9 8 3 年，h u g h e s 和s h a l l i t 【4 】证明了 ，( 礼) 2 n v 5 ， 并猜想 ( 1 ) ，) 吼 ( 2 ) m ) 去，n 1 4 4 在1 9 8 6 年m a t t i c s 和d o d d 【5 】，以及一年后c h e r t 【2 】分别独立证明了 ，m ) m 1 9 8 7 年，d o d d 和m a t t i e * 【3 】证明了 砌) 南，n 1 4 4 但是，对许多正整数来说，( n ) 有更好的估计本文就从n 的最小素因 子b ( n ) 3 的角度研究了，( n ) 的大小 首先，我们证明了下面几个引理 引理1 对于n = 矿，p 3 ，并且卢1 ，我们有 f ( n ) 3 赤， 其中p 是一个素数 1 山东大学硕士学位论文 引理2 如果n 1 ，那么 。蒹蜓赤 其中p l ( n ) 是n 的最大素因子 引理3 若p 2 ( n ) 3 且u ( n ) 2 ，则 。系1 铋5 8 l 5 其中u ( n ) 表示n 的不同素日子个数 引理4 对于p 2 ( n ) 3 ，n 1 7 5 并且n e x p ( 影晤丽6 ) ，我们有 m ) 3 南， 其中p 2 ( n ) 是n 的最小素因子 然后，我们对f ( - ) 作了如下估计 定理对于马( n ) 3 并且n 1 7 5 ，我们有 m ) 3 南， 其中p 2 ( n ) 是n 的最小素因子 关键词；因子分解，乘法分拆，最小素因子 i i 山东大学硕士学位论文 t h ee s t i m a t i o no ft h en u m b e ro f m u i p l i c a t i v ep a r t i t i o n s g es h o u f u ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y ) a b s t r a c t l e t ( n 1d e n o t et h en u m b e ro ff a c t o r i z a t i o n so ft h en a t u r a ln u m b e rn 1 i n t of a c t o r sl a r g e rt h a n1w h e r et h eo r d e ro ft h ef a c t o r sd o e sn o tc o u n t ，a n dl e t y ( 1 1 = 1 ，t h ee s s e n t i a l l yd i f f e r e n tf a c t o r i z a t i o n so fno f f ec a l l e dt h em u l t i p l i c a t i v e p a r t i t i o n so fn i n1 9 8 3 ，h u g h e sa n d s h a l l i t 4 1p r o v e dt h a t f ( n ) 2 n 以， a n dc o n j e c t l l r e d ( 1 )f ( n ) n ， ( 2 ) 砌) 去，船l 托 i n1 9 8 6a n day e a rl a t e r ，m a t t i c sa n dd o d d 5 1 ，a n di n d e p e n d e n t l yc h e n 【2 】 p r o v e dt h a t ，( n ) n i n1 9 8 7 ，d o d da n dm a t t i c s 【3 】p r o v e dt h a t ( n ) 南，n # 1 4 4 b u tf ( - ) m a yh a v ei i l o r eg o o de s t i m a t ef o rm a n yi n t e g r a ln u m b e r s i nt h i s p a p e r ，w ee s t i m a t ef ( n ) w h e n 岛( n ) 3 ，w h e r e 岛( n ) 面t h es m a l l e s tp r i m e d i v i s o ro f n f i r s t l y , w ep r o o ft h ef o l l o w i n gf o u rl e m m a s i i i 山东大学硕士学位论文 l e m m a1 1 f n = 矿，p 3 ，a n d 口1 ，t h e n w h e r e pi sn p r i m e ， ，( n ) s 淼 l e m m a2 可n 1 ，t h e n 蒹蜓丽n w h e r e 只( n ) i st h el a r g e s tp r i m ed i v i s o ro f n l e m m a3 i fp 2 ( n ) 3a n d u ( n ) 2 ，t h e n l 要s 南 “ l e m m a4 f f p 2 ( n ) 3 ，n 1 7 5a n d n 唧( 瓶丽) ，t h e n f ( n ) 3 南 w h e r ep 2 ( n ) i st h es m a l l e s tp r i m ed i v i s o ro fn s e c o n d l y , w ep r o o f t h e o r e m 可p 2 ( n ) 3a n dn 1 7 5 ，t h e n f ( n ) 1 时，所谓的乘法分拆是指将n 分解成因子乘积的形式， 因子顺序不同的乘法分拆看作同一个分拆例如，n = 1 2 ，n 可以分解为 n = 1 1 2 ，2 6 ，4 3 ，2 2 - 3 ，这时，1 ( 1 2 ) = 4 ， 当然，对于乘法分拆来说，还有人在研究一种计因子顺序的乘法分拆他 们用c ( n ) 表示n 的计因子顺序的乘法分拆的个数例如e r d s s ，h i l l e ，k a l m a r ， i k e h a r a ，s e n 和s k l a r 就有过这方面的工作，详见文献【8 】本文只讨论前面所 说的不计因子顺序的乘法分拆 如果设0 1 0 2 2 嘶1 ，并且令鼽表示第i 个素数，即p l = 2 ，船= 3 ，那么f ( 2 。1 3 0 z 霹) 的值就是( o - ，o l 2 ，口，) 的加法分拆的个数( 详 见文献【9 】的第1 2 章) 特别地，后文中我们会用到，当r = 1 时，1 ( 2 。) = ，【矿) = p ( 口) ，其中p ( d ) 表示。的加法分拆的个数当o t i o t 2 一= 1 时，1 ( 2 3 p r ) = b r ，其中研表示第r 个b e l l 数( 详见文献【1 0 】) 1 9 8 3 年，h u g h e s 和s h a l l i t 【4 】证明了 f ( n ) 2 n 以， 并猜想 ( 1 )，( n ) n ， ( 2 ) 砌) 去，n 1 4 4 在1 9 8 6 年m a t t i e s 和d o d d 【5 】，以及一年后c h e n1 2 】分别独立证明了 f ( n ) n 1 9 8 7 年，m a t t i c s 和d o d d 6 】证明了 ，( n ) s 南，n 1 4 4 但是，对许多正整数来说，f ( n ) 有更好的估计本文就从n 的最小索因 子岛( n ) 3 的角度研究了f ( n ) 的大小 1 山东大学硕士学位论文 首先，我们证明了下面几个引理 引理1 对于n = 矿，p 3 ，并且卢1 ，我们有 y ( - ) 1 ，那么 。萎d 赢啬， d 确 。 其中p 1 ( n ) 是n 的最大素因子 引理3 若p 2 ( n ) 3 且u ( n ) 2 ，且l ，莓i 3 ，n 1 7 5 并且n e x p ( 晤丽) ，我们有 m ) 3 南， 其中p 2 ( n ) 是n 的最小素因子 然后，我们对，( n ) 作了如下估计 定理对于是如) 3 并且n 1 7 5 ，我们有 f ( n ) 3 南， 其中p 2 ( n ) 是n 的最小素因子 2 第二章基本引理 引理1 对于n = 矿，p 3 ，并且卢1 ，我们有 m ) 3 南， 其中p 是一个素数 证明考虑函数 f ( a c ) = z l 0 9 5 一c ；一3 1 0 9 x 一3 l o g l 0 9 5 + l 0 9 3 ， 其中c = ”何 当z 4 时，我们有f ，( z ) 0 ，并且知道f ( 1 0 ) 0 从而，当1 0 时 f ( z ) 0 即， e 听 1 0 ( 2 1 ) 我们用p ( n ) 来表示”的加法分拆的个数由 1 】，我们知道 p ( n ) e 。“( 2 2 ) 从两，由( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，并且注意到当。2 0 时函数9 ) = z 0 0 9 。) 3 单调递 增，我们得到 ，扩) = p c a ) 墨一怕 1 0 因此，引理1 对p 1 0 成立 当p = 1 时，p ( 1 ) = 1 ，我们容易验证当p = 5 ，7 ，1 1 ，1 3 ，1 7 ，1 9 ，2 3 时引理 1 成立而我们还知道e ( 2 ) = 2 ，p ( 3 ) = 3 ，p ( 4 ) = 5 ，e ( 5 ) = 7 ，p ( 6 ) = 1 1 ， p ( 7 ) = 1 5 ，p ( 8 ) = 2 2 ，p ( 9 ) = 3 0 ( 见【1 】) ，这只需对p = 5 加以验证容易检验 上述数据对引理1 都成立，即引理1 对1s 卢9 成立引理1 得证 口 引理2 如果n 1 ，那么 。薹d s 可知， 骨可 山东大学硕士学位论文 其中只( n ) 是n 的最大素因子 证明设 n = 疗，p 1 p 2 3 且w ) 2 ，则 。蒹1 铋5 8 l 5 其中( n ) 表示n 的不同素因子个数 证明设 n = i i 硝。，3 p l p 2 0 是整数 我们就2 r 8 和r 9 来分别估计 1- d l 桶 丁? r 首先。当r = 2 时，我们有 1 万d r - 尚= 参2 2 1 5 芳旦7 a 2 。业5 。1 s n l 5 ”群1 5 4 山东大学硕士学位论文 当3 r 8 时，我们可以得到类似的不等式例如当r = 8 时，我们得到 其次，当r = 9 时，我们有 当r 1 0 时，由于 a 1 + 1 5 a l 5 咖8 + 10 7 + 1a l + 1 吾再而丽丽可 券 丽a + l = 簪1丽丽2 虿s 和2 。2 a ，其中n 是一个正整数，我们得到 桀：务婴t - 1 芳蒜赫等 s ! 赫莉o l l 确 0 时，我们来考虑函数，i 。( 功令 爿，( 力= = o 器 生郴 塑弱南芳 ，旦舻 = 显杪 一 芳。：i斋 = 写器 山东大学硕士学位论文 我们得到x o = 5 l 0 9 5 1 显而易见，当0 z o 时爿l ( z ) 0 由于2 3 ，n 1 7 5 ， sb l 和n 3 ，n 1 7 5 ，n b l ，n 5 0 0 0 f ( n ) 设 f n = i i ，3 p l p 2 b l ，所以我们只需考虑n ( n ) 1 1 其中n ( n ) 表示n 的所有 素因子个数我们约定当n ( n ) 和u ( n ) 相同时，由于不同的素因子组合可能会 产生相同的，( n ) ，我们暂且按指数降序只记一种组合例如，( 讲见) = ，0 坦) ， 我们只记n = 渤 我们先排除疗 b l 的情况。 当q ( n ) = 1 1 时，因为p 2 ( n ) 3 ，所以只有n = p “，n = p ；o p 2 和n = p ；胡 这三种情况可能满足n b 1 事实上，当“，( n ) = 2 时，由5 8 7 a b l 知n = 西癌 n = p 1 7 4 和n = p 6 l f 2 5 不满足n b a ，又因为5 9 7 1 1 h ，所以n = p 2 p 2 p 3 不 满足n b l ，进而，u ( n ) 3 不会满足n b 1 当n ( ) = 1 0 时，u ( n ) = 1 和( n ) = 2 都有可能满足n b 1 用上面同 样的方法我们会得到，当u ( n ) = 3 时，n = p 胡醒，n = 掰p 搦和f l = p 4 胡砖 7 一脂 2 一p刍 i l 五 ：l 五 。 偿 知望拍 5 不会满足n b 1 当a ( n ) = 8 时，u ( n ) 7 不会满足n b 1 这样，我们就得到了满足b ( n ) 3 和n b l 的所有可能的n 的标准分解 式由于它们的标准分解式比较简单，我们可以计算出它的乘法分拆数，( n ) 按照先前的约定，我们在第三章后的附表中给出了这些i ( n ) 的值 我们知道。s 中的元素n 还需要满足n 3 ，3 p l p 2 ，口t = 1 ，= m i ，u i = m i n m l lm i s d ， 啮= m “ m i i 他最) ( 1 ) m 1 = p ；，( m 1 ) = 1 s l = m l l5 墨m l 5 0 0 0 ；0 1 = 6 6 7 ；嚣= 1 5 4 8 1 3 1 ；“l = 5 ； l = 4 9 9 9 ( 2 ) m z = 矿；i ( m 2 ) = 2 岛= 忱 m l l o o o o ；a a = 2 3 ；$ = 6 5 7 8 3 ；u 2 = 2 5 ；忱= 9 4 0 9 ( 3 ) m 3 = p 3 ；，( m 3 ) = 3 岛= m 3 i m 3 1 5 0 0 0 ；a 3 = 7 ；s ；= 2 7 9 3 5 ；u 3 = 1 2 5 ；= 1 2 1 6 7 ( 4 ) m 4 = p 4 ；f ( ? n 4 ) = 5 ， & = m 4 i m 4 2 5 0 0 0 ；0 4 = 3 ；冀= 1 7 6 6 7 ；地= 6 2 5 ；m = 1 4 6 4 1 ( 5 ) m 5 = p s ；f ( m 5 ) = 7 岛= m 5 l m 5 3 5 0 0 0 ；1 1 5 = 2 ；s ；= 1 9 9 3 2 ；“5 = 3 1 2 5 ；7 ) 5 = 1 6 8 0 7 ， ( 6 ) 讹= p 6 ；y ( m 6 ) = 1 1 岛= 铂f 弛 5 5 0 0 0 ；= 1 ；s = 1 5 6 2 5 ；u 6 = 6 = 1 5 6 2 5 ( 7 ) r r l 7 = p i p 2 ；y ( m 7 ) = 2 8 山东大学硕士学位论文 岛= ”7 i 晰 1 0 0 0 0 ；7 = 1 4 6 4 ；s = 7 4 1 2 4 0 8 ；嘶= 3 5 ；蜥= 9 9 9 7 ( 8 ) m s = 渤，n 姨；m 8 1 7 5 ；j ( m 8 ) = 4 岛= f 衲f 衲 4 0 0 0 0 ；。8 = 3 3 9 , s 瞢= 3 2 7 9 1 9 5 ；魄= 2 4 5 ；啦= 1 9 9 2 5 ( 9 ) 功= p 2 现，p 1 建；，( ”蛔) = 7 岛= 椭l 衲 3 5 0 0 0 ；咖= 9 1 ；s 莒= 1 5 7 5 6 9 3 ；乱。= 8 7 5 ；啦= 3 4 6 4 3 ， ( 1 0 ) m l o = 砰p ；j ( m l o ) = 9 舅o = m l o im l o 4 5 0 0 0 ；0 1 0 = 1 9 ；s 0 = 3 7 1 5 3 9 ；l o = 1 2 2 5 ；口l o = 4 3 6 8 1 ( 1 1 ) r o l l = p p 2 ，p 1 砖；i ( m n ) = 1 2 两l = m 1 1 im l l 6 0 0 0 0 ；0 1 1 = 2 7 ；研l = 8 0 6 9 1 3 ；u l l = 4 3 7 5 ； 1 1 = 5 5 6 2 5 ( 1 2 ) m 1 2 = p 3 1 p 2 2 ，p 和2 ；i ( m 1 2 ) = 1 6 2 = m 1 2 im 1 2 8 0 0 0 0 ；a 1 2 = 1 2 ；= 4 5 1 2 1 4 ；t 1 2 = 6 1 2 5 ；”1 2 = 6 6 1 2 5 ， ( 1 3 ) m 1 3 = p ，p l 琏；f ( m 1 3 ) = 1 9 研3 = ，n 1 3 im 1 3 9 5 0 0 0 , n 1 3 ：8 ；跣= 4 5 5 9 1 0 ；1 3 = 2 1 8 7 5 ；口1 3 = 9 0 6 2 5 ， ( 1 4 ) m 1 4 = 砖p ；，p 和! ；i ( m 1 4 ) = 2 9 研4 = m m lm 1 4 1 4 5 0 0 0 ；口1 4 = 4 ；s 扎= 2 7 1 9 0 0 ；i l l 4 = 3 0 6 2 5 ；钞1 4 = 1 0 5 6 2 5 ( 1 5 ) m 1 5 = 旌旌；，( m 1 5 ) = 3 1 两5 = m 1 5 i m l 5 1 5 5 0 0 0 ；b 1 5 = 1 ；5 1 ；：5 = 4 2 8 7 5 ；缸蚯= 盯1 5 = 4 2 8 7 5 ( 1 6 ) m 1 6 = p ；f ( m 1 6 ) = 3 0 岛6 = m 1 6 i m l 6 1 5 0 0 0 0 ；口1 6 = 1 ；5 = 1 0 9 3 7 5 ；1 6 = 1 6 = 1 0 9 3 7 5 ( 1 7 ) m 1 7 = 斫p ；y ( m 1 7 ) = 4 7 ， 7 = m 1 7 i m l 7 2 3 5 0 0 0 ；a 1 7 = 1 ；岛= 1 5 3 1 2 5 ；“1 7 = 1 7 = 1 5 3 1 2 5 ( 1 8 ) m 1 8 = p 4 1 ，2 3 ，f ( m 1 8 ) = 5 7 & 8 = r n 培i m l 8 2 8 5 0 0 0 ；n 1 8 = 1 ；5 = 2 1 4 3 7 5 ；牡l s = 墙= 2 1 4 3 7 5 ( 1 9 ) m 1 9 = p 伊2 p 3 ；y ( m l g ) = 5 g = m 1 9 im 1 9 2 5 0 0 0 ；0 1 9 = 1 0 9 6 ；= 1 5 3 8 2 3 0 4 ；“1 9 = 3 8 5 ；u 1 9 = 2 4 9 8 5 ( 2 0 ) m 2 0 = p ；p 2 p 3 ，p l p 孙，扔见建；，( m 幻) = 1 1 翰= ”2 0 l 呦 5 5 0 0 0 ) ，吻= 4 3 9 ；s ；o = 1 3 6 2 2 6 8 7 ；锄= 1 9 2 5 ；”= 5 4 9 2 9 9 山东大学硕士学位论文 ( 2 1 ) m 2 1 = p 3 m p 3 ，p i p p 3 ，p l p 2 p i ；y ( m 2 1 ) = 2 1 岛1 = m 2 l im 2 1 1 0 5 0 0 0 ；a 2 1 = 9 4 ；l = 5 8 7 2 5 4 2 ；“2 1 = 9 6 2 5 ；也1 = 1 0 4 6 1 5 ( 2 2 )m 2 2 = p ；p ；p 3 ，研p 2 p ；，p l p 2 2 3 2 ，( r n 2 2 ) = 2 6 8 2 2 = 讹2 im 2 2 1 3 0 0 0 0 ；吻= 5 5 ；= 4 0 7 1 9 3 7 ；u 2 2 = 1 3 4 7 5 ；v 2 2 = 1 2 9 6 0 5 ( 2 3 ) m 2 3 = p p 2 p 3 ，p l p 籼；，( m ) = 3 8 如= 1 1 1 2 3 im 勰 1 9 0 0 0 0 ；a , 2 a = 1 9 ；懿= 2 4 1 7 4 9 5 ；u z s = 4 8 1 2 5 ；= 1 8 8 1 2 5 ( 2 4 ) m 2 4 = p l 仇，硝p 2 砖，p i 砖p 3 ，p 和2 薅，p l p 洳；，( m 2 4 ) = 5 2 如= m 2 4 fm 2 4 2 6 0 0 0 0 ；a 2 4 = 2 3 ；黾= 3 9 4 7 2 1 5 ； “= 6 7 3 7 5 ；t 】2 4 = 2 5 7 1 2 5 ( 2 5 ) 枷= p p 獬；y ( m 2 5 ) = 6 6 岛5 = ”功5 im 2 5 3 3 0 0 0 0 ；a 2 5 = 2 ；s 巍= 3 5 5 2 5 0 ； 2 5 = 1 4 8 2 2 5 ；i ) 2 5 = 2 0 7 0 2 5 ( 2 6 ) m = p 5 1 p 2 p 3 ；y ( m 2 6 ) = 6 4 s 筇= m 2 6 i m 2 6 3 2 0 0 0 0 ；a 2 6 = 2 ；跷= 5 2 5 0 0 0 ；“2 6 = 2 4 0 6 2 5 ；t _ 1 2 6 = 2 8 4 3 7 5 ( 2 7 ) m 2 7 = p 4 p 孰；y ( m 2 7 ) = 9 8 岛7 = 砌7 lm 2 7 4 9 0 0 0 0 ；a 2 7 = 2 ；翰= 7 3 5 0 0 0 ；u z 7 = 3 3 6 8 7 5 ；抛7 = 3 9 8 1 2 5 ( 2 8 ) m = p 3 i 地3 胁；，( m 2 8 ) = 1 0 9 如= m i m 2 s 5 4 5 0 0 0 ；蚴；1 ；= 4 7 1 6 2 5 ；“鹅= 吻= 4 7 1 6 2 5 ( 2 9 ) 1 2 9 = p l p 2 p 3 p 4 ；( m 2 9 ) = 1 5 = m 2 9 im 2 9 7 5 0 0 0 ；0 2 9 = 3 2 0 ；= 1 5 1 0 9 6 0 8 ；“2 9 = 5 0 0 5 ；锄= 7 4 9 6 5 ( 3 0 ) m 3 0 = p i p 2 p s p 4 ，p l p ；p 3 p 4 ，p l p 2 p p a ，p 1 p 2 p 3 p i ；f ( m 3 0 ) = 3 6 & = m 3 0 im 3 0 1 8 0 0 0 0 ；蛳= 1 4 3 ；瓯= 1 6 9 4 2 7 3 5 ；“= 2 5 0 2 5 ；= 1 7 9 7 2 5 ( 3 1 )1 3 1 = p i p 2 p 3 p 4 ，p l p i p 3 p a ；y ( m 3 1 ) = 7 4 岛1 = m 3 1 lm 3 1 3 7 0 0 0 0 ；a 3 1 = 1 9 ；s l = 5 1 7 2 8 8 5 ；3 l = 1 2 5 1 2 5 ； 3 1 = 3 5 8 4 3 5 ( 3 2 )m 3 2 = 讶p ；p 3 p 4 ，i 暗1 p 2 p 2 3 p 4 ，p ；p 2 p 3 p i ，p l p ；p 玉粗，p l p ；p 3 破；，( m 3 2 ) = 9 2 昆2 = m 3 2 im 3 2 4 6 0 0 0 0 ；n 3 2 = 1 6 ；= 5 3 1 7 6 9 0 ；u 3 2 = 1 7 5 1 7 5 ；? j 3 2 = 4 5 5 4 5 5 山东大学硕士学位论文 ( 3 3 ) m = p 4 p 2 p 3 p 4 ；f ( m 3 3 ) = 1 4 1 鼠= m 3 3 m 3 3 7 0 5 0 0 0 ；n 稿= 1 ；蹈= 6 2 5 6 2 5 ；3 3 = 船= 6 2 5 6 2 5 ( 3 4 ) m 3 4 = i p 弛p 4 ；，( m 触) = 1 9 8 = m 3 4 l ，t t 3 4 9 9 0 0 0 0 ；a 3 4 = 1 ；强= 8 7 5 8 7 5 ；蚰= = 8 7 5 8 7 5 ( 3 5 ) m 3 5 = p l p 2 p 3 p 4 p s ；f ( m 3 5 ) = 5 2 岛5 = m 3 5 im 3 5 b t 的正整数n ，必有 n 5 0 0 0 f ( n ) 事实上，如果设“1 是满足b ( n ) 3 并且不超过b l 的最大正整数，那 么”1 m a x ( d i d s = 8 7 5 8 7 5 ，n l 5 0 0 0 f ( n 1 ) 我们将满足足) 3 和 n n - 的所有的正整数钆按递增顺序作成一个序列 啦) ，i = 1 ，2 ，假设 n 3 5 0 0 0 f ( n 1 ) ，其中1 j i 一1 ，i 一1 1 为了证明n i 5 0 0 0 f ( m ) ，我们需要不等式 ，( n ) ，( d ) ( 2 4 ) 州詈 其中n 是大于1 的整数，p 是n 的一个素因子见文献【6 】中( 8 ) 式 山东大学硕士学位论文 由( 2 3 ) ，( 2 4 ) ，引理2 和归纳假设，我们得到 m ；) 莓，( d ) 丽丽b o + 赢莓d5 蛊+ 淼 3 且n 5 0 0 0 f ( n ) ，那么我们有 m ) 盎- 3 0 0 ” n ) 。， 这里n e x p ( 饥亏6 丽) 如果p 2 ( n ) 3 ，n 1 7 5 ，n 3 并且n 1 7 5 ，我们有 f ( n ) 3 南， 其中岛( n ) 是n 的最小- t 因子 证明下面用归纳法来证明这个定理 我们将满足p 2 ( n ) 3 且n 1 7 5 的所有正整数n 按递增的顺序组成一个 序列 ”i ) ，= 1 ，2 ，设“b 是属于上述序列且不超过唧( 们丐6 丽) 的最大 整数由引理4 我们知道 伽胚3 蒜杀，l i k o 假设 ，( n ) 3 西南，1 i s 女一1 ， 其中七一1 k o 我们要证明 f ( n k ) s3 蠢每 由引理1 我们可以设u ( 讯) 2 通过( 2 4 ) 式我们得到 f ( n k ) ，( d ) = ，( d ) + ，( d ) = s t + s 2 ( 3 1 ) d i 礤铅 碲协醑哥 ”5 ，7d ) n 7 下面我们分别估计岛和岛 山东大学硕士学位论文 首先，由( 2 3 ) 式，f ( n ) n 以及引理3 ，我们得到 s t = ，汹= 蹦) + ，( 一昂钸一醑a t 毋 d s n ：7d s r i 7 d # sd ”：7 7 d e s 。萎赢a + 薹( 砌卜志a ) d 昔b 4 8 、 7 d 0 ，因 此，由( 3 2 ) 我们得到 岛兰葩2 5 9 u un 3 2 3 5 + 5 0 l 0 0 而4 7 1 百磊n 磊k 了， ( 3 3 ) 这里a e x p ( 护西i 丽) 其次，根据引理2 和归纳假设，我们得到 耻。纛以回 3 和n b l 的f ( n ) 的数值表，其中p ， 乃0 = 1 ，2 ，) 都是素数，b l = 1 0 0 1 4 1 1 1 6 表中部分数值引用了文献【7 】的 f ( n ) 的数值表我们约定当n ( n ) 和u ) 相同时，由于不同的素因子组合可能 会产生相同的，) ，我们按指数降序只记一种组合例如，f ( t 瑶l p 2 ) = f ( p t 胡) ， 我们只记札= p ：m n f ( - ) n f ( r i ) n f ( - ) 山东大学硕士学位论文 部分乘法分拆数f ( - ) 的数值表 n f ( n ) n f ( n ) n f ( n ) p 4 l p 2 3 芦酗 p 翻 硝硝 p 4 i 耽4 硝p 2 p 7 l _ ，2 2 p 翻 p 5 1 4 2 p 2 耽 5 7 4 5 7 7 9 7 1 0 9 6 7 1 1 8 1 6 2 1 8 9 9 7 v f p g p 3 p 潮p 3 p 4 p ! p 3 尹5 1 p 2 2 心2 p 4 蹦 胡p 潮 p s p 2 p a p 和 硝p 如 衍p 孰 2 8 9 3 8 2 4 2 1 4 8 4 6 0 6 6 8 6 2 5 4 4 6 7 6 6 2 7 8 3 p p 2 册m p 5 p 3 2 p 3 p 4 p 5 p 2 1 2 2 p 3 2 p 4 p 5 疵p 2 p 印4 p 5 p p 知3 p 4 p 5 p l p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 所见p 3 p 4 船p 6 p ? p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 p ：p 勿3 p 4 p 5 p 6 p 1 肌p 3 p 4 p s p 6 p 7 5 9 2 8 5 0 1 0 7 5 1 0 9 8 1 7 6 9 2 0 3 5 6 6 1 3 1 5 1 6 6 3 8 7 7 避建 1 8 1 班6 p 2 雠，2 3 8 4 3 参考文献 【l 】1t ，m a p o s t o l ，i n t r o d u c t i o nt oa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y , s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 7 6 f 2 】x x c h e n ，o nm u l t i p l i c a t i v ep a r t i t i o n so fan a t u r a ln u m b e r ，a c t sm a t h s i n i c a ， 3 0 ( 1 9 8 7 ) 2 6 8 - 2 7 1 3 】f w d o d da n dl e m a t t i c s ，e s t i m a t i n gt h en u m b e ro f m u l t i p l i c a t i v ep a r t i t i o n s ， r o c k ym o u n t a i nj m a t h 1 7 ( 1 9 8 7 ) ，7 9 7 _ 8 1 3 1 4 】j f h u 曲e sa n dj o s h a l l i t ，o nt h en u m b e ro fm u l t i p h e a t i v ep a r t i t i o n s ，a r t i e r m a t h m o n t h l y , 9 0 ( 1 9 8 3 ) ，4 6 8 - 4 7 1 【5 】l e m a t t i c s a