（基础数学专业论文）相对论流体力学方程组的研究.pdf

2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 摘要 本文研究了两方面内容：其一为相对论动量守恒与能量守恒方程组基本波的 相互作用，其二为相对论粒子数守恒、动量守恒和能量守恒组成的守恒律方程组的 r i e m a n n 问题及激波与接触间断的相互作用 第一章和第二章，我们首先介绍了相对论流体力学和双曲型守恒律方程的一些 背景知识及基本概念，继而对一维双曲守恒律方程的一般理论做了简要的介绍，为 后两章的讨论作了准备 第三章，我们首先介绍了相对论方程组中能量守恒与动量守恒r i e m a n n 问题的 已有研究结果，在此基础上我们利用特征线方法讨论了基本波的相互作用 第四章，我们研究相对论粒子数守恒、动量守恒和能量守恒组成的守恒律方程 组的r i e m a n n 问题及激波与接触间断的相互作用 关键词：相对论流体力学，r i e m a n n 问题，双曲型守恒律，严格双曲型，洛伦兹 变换，疏散波，激波，接触间断，波的相互作用 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 i i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h er e l a t i v i s t i cc o n s e r v a t i o nl a w so nt w oa s p e c t s ： o n ei st h ei n t e r a c t i o no fe l e m e n t a r yw a v e sf o rr e l a t i v i s t i cc o n s e r v a t i o nl a w si ne n e r g ya n d m o m e n t u m ，a n dt h eo t h e ri st h er i e m a n np r e b l e mo fc o n s e r v a t i o nl a w sf o rr e l a t i v i s t i c f l u i dd y n a m i c sa n dt h ei n t e r a c t i o nb e t w w e ns h o c ka n dc o n t a c td i s c o n t i n u i t y i nc h a p t e r1a n d2 ，w ed e l i v e rs o m ef u n d a m e n t a ln o t a t i o n sa n dc o n c e p t sf o rr e l a - t i v i s t i cf l u i dd y n a m i c sa n dh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s ，t h e nw ei n t r o d u c es o m eg e n e r a l t h e o r i e sf o ro n ed i m e n s i o n a lh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s ，w h i c hw i l lb eu s e f u lt ot h e f o l l o w i n gc o n t e n t s i nc h a p t e r3 ，w es h o ws o m er e s u l t sa b o u tt h er i e m a n np r o b l e mo fr e l a t i v i s t i cc o n - s e r v a t i o nl a w si ne n e r g ya n dm o m e n t u mf i r s t l y , b a s i n go nt h e s er e s u l t sw eu s et h em e t h o d o fc h a r a c t e r i s t i ca n a l y s i st od i s c u s st h ei n t e r a c t i o n so fe l e m e n t a r yw a v e s i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h er i e m a n np r e b l e mo fc o n s e r v a t i o nl a w sf o rr e l a t i v i s t i c f l u i dd y n a m i c sa n dt h ei n t e r a c t i o n sb e t w w e ns h o c ka n dc o n t a c td i s c o n t i n u i t y k e yw o r d s ：r e l a t i v i s t i cf l u i dd y n a m i c s ，r i e m a n np r o b l e m ，h y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s ， s t r i c t l yh y p e r b o l i c ，l o r e n zt r a n s f o r m a t i o n ，r a r e f a c t i o nw a v e s is h o c kw a v e s ，c o n t a c td i s c o n t i n u i t y , i n t e r a c t i o no fw a v e s 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表和撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了说明并表示了谢 意 签名：塞! j 旦途日期；塑z ：主：型 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：袁- 陋师签名：必期：盟墨 第一章绪论 1 1研究背景与研究概况 相对论流体力学是一门交叉学科，涉及多种理论和应用领域，它和天体物理学、 宇宙学、等离子体物理学、核物理学中的重离子反应等多种学科关系密切，并伴随 着这些学科的发展而发展起来相对论流体力学包含了经典( n e w t o n ) 流体力学， 后者只是前者在引力场很弱，速度很低( 与光速比较) ，压力不大，温度不高等条件 下的近似考察流体运动时，如果流体的宏观速度接近于光速，就必须考虑相对论 效应同时，我们还会看到，即使流体的宏观速度没有达到必须考虑相对论效应的 程度，但如果流体粒子的微观速度很大，相对论效应也不能忽略( 2 4 】，【4 7 】) 爱因斯坦的狭义相对论理论依赖于以下两条基本假设 1 ) 相对性原理；物理定律在所有惯性系中具有相同的形式 2 ) 光速不变原理：对所有的惯性系，光在真空中沿一切方向的传播速度都是c 在爱因斯坦的两条假设下，从一个惯性系k 转换到另一个惯性系露时，其相 应的时空坐标( t ，z 1 ，x 2 ，z 3 ) 和( 云x l ，x 一2 ，西) 之间的变换 称为洛伦兹变换当该变换满足； 1 ) 变换是线性的；2 ) 括3 。( z i ) 2 一( c t ) 2 为该变 换下的不变量( 【2 4 】) m i n k o w s k i 时空中理想流体的相对论方程组为 d i v t = 0 其中 一= 仞+ e c 2 ) + 印产( 1 1 2 ) 表示流体的动量能量张量注意到 d i r t - 刍碱 这里我们采用爱因斯坦求和约定，般来说所有指标从0 取到3 且有x o = c t ，x j = = 1 ，2 ，3 ) 在( 1 1 2 ) 中，c 为光速，p 为压力，牡为流体粒子的4 维速度， 1 l 幻 船 沈 芦 研 _ 一 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 2 为流体的质量一能量密度，是以质量的量纲来度量的固有能量密度，垆= 钧= d i a g ( 一1 ，1 ，1 ，1 ) 表示平面m i n k o w s k i 度量 对理想流体，有 p ( e ) = ，7 1 ， 其中，y = l 表示等温( 正压) 流，而7 l 代表多方气体等温流对于相对论中恒星 演变的研究意义重大在恒星形成的早期，等温情形是确实存在的想象一片缓慢 消失的星际气体云或是尘埃粒子云，在这过程中会达到一种阶段，此时云内光子传 播的平均自由路径变得足够小，使得光子的分散具有很重大的影响在这段时期， 云内的运动相对来说比较小，而光子的分散使得云内温度处处相等，此时p = k 2 | d 就成立了作为等温流的一个特殊情形，状态方程p = ( c 2 3 ) p 起源于许多重要的相 对论情形( 【2 j ) ，由于它可以作为一个密集中子星的状态方程的模型，故而它对于重 力消失的研究也很重要( 2 1 ，4 0 ，5 4 ，5 5 】) 光滑流场中用来描述理想流体运动的相对论流体力学方程组如下。 f 等+ b 仇瓦a p + 善3 差+ 6 蛊= 。，( t = 1 2 3 ) ( e u l e r 方程) 裳一h a 2 瓦o p - 4 - 喜v k 去“铲善3v k 丽o p o ，( 熵方程) 【豪( 秒苔o ( 乌肛o ( 连续性方程) = c t x k 了 其中 c 2 一口2 c 2 + p 1 d 2 e c 2 + p ，h - 4 - p2 育p c ，y2 - 7 亏 1t ，2 v 1 石2 这里p ，p ，v = ( v l ，v 2 ，他) 分别表示固有质量密度，压力和粒子速度，c 为光速，a 表示局部声速，为流体的质量能量密度，它是以质量的量纲来度量的固有能量 密度事实上，相对论流体力学方程组可作为高能天体等离子体的一个好的数学模 型，在核子物理的重离子反应分析中也得到重要的应用( 【2 4 】) 双曲守恒律在相对论流体力学中较之在经典流体力学中有着更为广泛的应用 这是因为。在相对论力学中，一切运动及作用的速度均不能超过真空中的光速c ，像 经典流体力学中诸如n - s 方程组那样所呈现出的具有无限传播速度的抛物型特征， 在相对论流体力学中不可能出现，即使所讨论的流体具有粘性和热传导耗散效应也 是如此 在理论方面，从e i n s t e i n 建立相对论的早期开始，研究相对论流体力学运动规 律的任务就已经提出来了，例如e i n s t e i n 在其“广义相对论基础”( 【3 】) 一文中就曾 指出。可根据场方程建立无摩擦绝热流体的e u l e r 方程组a h t a u b ( 5 1 1 ) 在1 9 4 8 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 3 年得到一些重要的基本理论 l d l a n d a u 和e m l i f s h i t z ( 【2 0 1 ) 在其连续介质 力学一书中用一章专门来阐述相对论流体力学的基础a l i c h n e r o w i c z ( 【3 5 1 ) 于 1 9 6 7 年出版了他的专著相对论流体力学和磁流体力学一书，此书系统论述了相 对论流体力学的理论基础s w e i n b e r g 在他的名著引力论和宇宙论( 【5 6 】) 一书 中也有不少地方叙述相对论流体力学但真正对相对论流体力学的研究，起步却较 晚，直至1 9 7 0 年才举行了第一次关于相对论流体力学的国际研讨会此后随着相 对论本身的深入研究和天体物理学，等离子物理及核物理等的发展需要，这方面的 研究才得到了相应的发展，并取得了重大的进展( 【2 4 】，【4 7 】) 由于多维相对论流体力学方程组形式较复杂，一直以来没有此方面比较系统的 理论成果相比之下，一维相对论流体力学方程组的简化模型则更受国内外研究者 的青睐，且已有一系列的研究结果，丰富了相对论流体力学理论，并为其进一步的 发展提供了启示 1 9 9 6 年，v p a n t ( 【4 4 】) 考虑了相对论e u l e r 方程中粒子数守恒和动量守恒方程 组成的方程组( 等熵流相对论e u l e r 方程) ： ja ( 南) + 如( 南) = 。， l 侥，蛐1 - - u 坐2 c 2 、 + 如( 譬窘+ 0 扎 其中p ，p 和口分别表示质量能量密度，压力，和粒子的运动速度，记代表固有粒 子密度，即在随动的固有系中单位体积流体内粒子的个数，c 为光速他解决了此 方程组的r i e m a n n 问题和c a u c h y 问题，其中他取状态方程为 p ( 力= t c 2 p ，( 芄为声速) ， 且取光速c = 1 在2 0 0 4 年，g q c h e n 和y c l i ( 【9 】) 考虑了该方程组的整体熵 解，并得到了一类比较广的熵解类中的r i e m a n n 解的唯一f 生和渐近稳定性之后y c l i 和q s h i ( 3 2 1 ) 在2 0 0 5 年以 p ( p ) = 电2 ，7 1 ， 为状态方程，得到了上述方程组熵解的整体存在性2 0 0 5 年，l i 等【2 8 】利用g l i m m 格式得到了等熵的相对论e u l e r 方程组整体解的存在性2 0 0 6 年，y c l i 和y c g e n g 利用非线性波的几何性质及g l i m m 方法，讨论了当c _ o o 时，具有状态方 程p ( p ) = t c 2 p 的等熵流体的相对论e u l e r 方程组的熵解的极限 相对论流体力学方程组的另个简化模型为下面的由动量守恒方程和能量守恒 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 4 c 2 亳c _ v 2 + p 攀+ o x ( p 矿+ p ，c 薹2 ) c 2 - v 蕾2 = 0 , 怕，【魂( ( p + 舻) 南) + 如( ( p + 矿) 南+ p ) - o ， p “ 馐 南) + 杀( 南) _ o ( + p ) 南) + 杀( ( e + p ) f i ) 万2 + p ) = 。， ( + p ) 可v 2 刊+ 妄似捌击) 乩 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 5 此处取光速c = 1 ，p p ， 分别是静止质量密度，质量一能量密度，压力，粒子速 度作者证明了状态方程为一p = 告，p = 奄5 一1 ( 堤熵，七为常数，1 ，y 导) 时方 程组r i e m a n n 问题解的存在性 1 2本文的工作及论文的结构安排 本文研究了两方面内容：其一为相对论动量守恒与能量守恒方程组基本波的 相互作用，其二为相对论粒子数守恒、动量守恒和能量守恒组成的守恒律方程组的 r i e m a n n 问题及激波与接触间断的相互作用 第一章和第二章，我们首先介绍了相对论流体力学和双曲型守恒律方程的一些 背景知识及基本概念，继而对一维双曲守恒律方程的一般理论做了简要的介绍，为 后两章的讨论作了准备 第三章，我们首先介绍了相对论方程组中能量守恒与动量守恒r i e m a n n 问题的 已有研究结果，在此基础上我们利用特征线方法讨论了基本波的相互作用 第四章，我们研究相对论粒子数守恒、动量守恒和能量守恒组成的守恒律方程 组的r i e m a n n 问题及激波与接触间断的相互作用 第二章守恒律方程的基本理论 作为后面几章的准备，本章在第一节给出了一维守恒律方程( 组) 的一些基本概 念和理论，第二节介绍了r i e m a n n 问题及其研究现状本章的主要概念和理论可参 见【1 2 】，【2 6 】，【4 9 】，【5 7 】 2 1 一维守恒型方程组 具有如下形式的一维空间的偏微分方程组 u t + ，( 也) z = 0 ，( 2 1 1 ) 称为守恒型方程组，其中u = ( 仳1 ，u 2 ，) 是关于t 和z 的n 维矢量函数，称 为守恒量，或状态变量，如流体动力学中的质量，动量和能量等更精确点就是u i 是第i 个状态变量的密度函数 层( z ，) 如表示该状态变量在g f s qf x l ，x 2 l 中t 时刻的总量我们称这个状态变量是守恒的是指危u i ( x ，z ) 如关于t 是不变的 ，( 乱) = ( ( “) ，尼( u ) ，厶( 让) ) 为状态空间“上一给定的光滑函数，称为流函数当 n = 1 时，( 2 1 1 ) 式即为单个守恒律守恒型方程组是由物理定律在任意两点x l 和 x 2 之间如下形式积分 丢：2 “( x , t ) d x = ，( 乱( z ，) ) 一，( u ( z 2 ，亡) ) ( 2 1 2 ) 得到的 ( 2 1 2 ) 表示在区间【x l ，x 2 】中的总流量( 如质量，动量，能量等) 的变化仅 仅与两端点处的流量有关，这就是守恒的基础，其中，( 乱( z 1 ，t ) ) 和，( u ( z 2 ，) ) 分别 表示时刻t 在x l 和x 2 点的流入流出量 记 a ( u ) ：= d f ( u )( 2 1 3 ) 为，的j a c o b i a n 矩阵我们说方程组( 2 1 1 ) 为双曲型的，若a ( u ) 可对角化且具有 实特征值a 1 ( u ) ，a 2 ( u ) ，a n ( u ) ；若所有的特征值丸( 乱) ，i = 1 ，n 互不相等时，则 称方程组( 2 1 1 ) 为严格双曲型的 2 1 1特征线与简单波 非线性守恒律方程组( 2 1 1 ) 可写为下面的拟线性形式 u t + a 0 ) = 0 ( 2 1 4 ) 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 7 若( 2 1 1 ) 是双曲型的，即a o , ) 可对角化记r o , ) 为a ( u ) 的右特征向量组成的矩 阵及 a ( u ) = d i a g ( x 1 ( u ) ，入n ( u ) ) ， 则有 冗( u ) _ 1 a ( u ) r ( u ) = a ( 札) 每个特征值a i ( u ) 就决定了一特征方向吃( 锃) ，并对应着一个特征场而每个特征方 向就决定了一类( 族) 曲线 白：面d x = 九( “) ，i = 1 ，2 ，几， ( 2 1 5 ) 我们把这族曲线称为方程( 2 1 4 ) 的第i 类( 族) 特征线每一类特征线覆盖整个( x ，t ) 的上半平面 对于一特定区域d ”，若u d 满足 v a k r k 0 ，( 2 1 6 ) ( 这里v ( ) = ( 去，矗) ( ) ) 则称方程组( 2 1 1 ) 对于特征值丸( 乱) 是真正非线性 的若( 2 1 6 ) 对所有的k 都成立，则称方程组( 2 1 1 ) 是真正非线性的若 v h = 0 ，( 2 1 7 ) 则称方程( 2 1 1 ) 对特征值a k ( u ) 是线性退化的 若乱d 是( 2 1 1 ) 的一个c 1 解，d 为( z ，t ) 平面某区域光滑函数w ( u ) 被称 为是( 2 1 1 ) 的一个k - r i e m a n n 不变量若它满足 v w ( u ) 他= 0 若在d 内的所有k - r i e m a n n 不变量为常数，则u 被称为缸简单波可以证明简单 波区域中的特征线为直线，且流动是连续的简单波分为稀疏波和压缩波穿过压 缩波时，不论是前向还是后向的，其直线族特征线是聚拢的；而穿过稀疏波时，其 直线族特征线是散开的 2 1 2 间断解与r a n k i n e - h u g o n i o t 关系 满足方程( 2 1 1 ) 的连续可微的解称为经典解一般来说，无论初值多么光滑， 方程( 2 1 1 ) 的经典解都不会是全局的，解都可能出现间断因此我们需要接受更低 的正则性要求的解由此提出了弱解的概念； 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 8 定义2 1当t 0 时，若对于w 卵( 【o ，o o ) r 1 ) ，乱满足 i o o，+ ，十 ( t | 也+ f ( u ) 矗p x ) c b d z + 乱o ( z ) 咖( z ，o ) 如= 0 ，( 2 1 8 ) j 0j 一j 一 则称u ( x ，t ) 为方程组( 2 1 1 ) 的弱解，其中u o ( x ) = u ( x ，o ) 当解出现间断时，在间断面处不再按古典意义满足方程组( 2 1 1 ) ，而是满足一 定的间断面关系式，即r a n k i n e - h u g o n i o t 条件； 3 m = 【，( 让) 】，( 2 1 9 ) 其中s = 塞是间断传播速度，m = u l 一嘶，【，( 札) 】= f ( u 1 ) 一，( 让r ) 是量和，( u ) 跨 过间断的跳跃度，u l 和嘶分别是间断两侧的解u l = u ( x ( t ) 一0 ，t ) ，仳r = u ( x ( t ) + 0 ，t ) 若方程组在某区域是线性退化的，也就是v a k ( u ) r k ( u ) = 0 ，则a k ( u ) 是k r i e m a n n 不变量表明k 沿着乌= 饥( u ( ) ) ( 牡( o ) = i l l ，h 2 时，可能无解 若u ( x ，t ) 是方程( 2 1 1 ) 的间断解，则应对于所有的熵函数? 7 ( u ) 和对应的熵流函数 妒( u ) 在弱解的意义下满足 叩( 钆) z + 妒( 乱) z 0 ，( 2 1 1 4 ) 则称u ( x ，t ) 是方程( 2 1 1 ) 的满足熵条件的弱解( 2 1 1 4 ) 的弱形式为：对于所有的 ( z ，t ) c 吾( r r 十) 且咖( z ，t ) 0 ，有 也( z ，t ) 叩( 让( z ，t ) ) + 九( z ，t ) 砂( “( z ，t ) ) d x d t 0 ( 2 1 1 5 ) d 0j o o 对于一个间断z = z ( z ) ，z 讹) = 5 满足下式 a k - l ( 仳z ) s 札( m ) ，( 2 1 1 6 1 入七( t 正r ) s o ，( e ) 0 时的r i e m a n n 问题，并在( 7 ，s ) 一平面( r ，s 是方程组( 3 1 1 ) 的r i e m a n n 不变量) 上 讨论了状态方程为p ( e ) = k 2 ， ，y l ，时的c a u c h y 问题 l i 等( 【2 8 】) 讨论了方程 组( 3 1 1 ) 的在( 口，) 平面上的r i e m a n n 问题和熵解关于方程组( 3 1 1 ) 的更多研 究可见( 【9 ，3 2 ，5 1 ，5 2 j ) 本章我们主要研究方程组( 3 1 1 ) 基本波的相互作用为第三节研究波的相互作 用作准备我们在第二节给出了方程组( 3 1 1 ) 的已有研究结果 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 1 3 3 2 预备知识 方程组( 3 1 1 ) 带r i e m a n n 初值 ( e 1v ) ( 邶) ： “啪呸o ( 3 2 1 ) 【( v r ) z 0 ， 的解，在 2 8 】和【1 0 】已有详细的研究，其中日，v l ，蜥是常数，下面简要给出其研 究结果 在相对论意义下，声速俑 0 ，矿( e ) c 2 可得 v a l 而0 ，v a 2 而0 ， r = 三n 等+ c o e 者幽5 = 三n 等一c o g 篇a s ， c 2 甍c 2v 2 + e f 戡+ ( p 园雾v0 粥，l 一( 吣c 2 ) 南) f + ( 啡c 2 ) 南+ p ) f o ， 一 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 1 4 ( 刚) ( f ) ： 6 1 , 砌， 仁咄， ( 3 2 4 ) ( ，钉) ( ) ( f = 詈) ：! 王近堕 趴卜筒l - 一 慨2 劫 i l 三一n 当+ c z 者珐d s = c 删， 兄： ；= 1 蓑c + ve 怨忙眈 僻舶， 【- l n 而一cz e 者a s 一船t 此外在r i ( r 2 ) 上有 ， 罂o)de 口f 幽c 2 南州m 孑) 南 ( 3 2 7 ) 仃卜呐南 = 卜c 2 ) 南+ p q 2 固 a i 一1 ( q ，铆) 仃 a i ( e z ，v t ) ，a i ( e r ，v r ) 盯 a i + l ( e r ，1 ) r ) ，i = l ，2( 3 2 9 ) 问题( 3 1 1 ) 一( 3 2 1 ) 满足( 3 2 7 ) - ( 3 2 9 ) 的间断解称为1 一激波或2 激波给定一 个左状态( 铆) ，在相平面上的激波曲线就是由所有这样的状态集合组成：它们可 以用一个1 - 激波或一个二激波从右边连接到状态( 句，功) 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文1 5 引理3 2 ( 2 8 】) 激波曲线由下式给出 移一诒 z e 可2 一 口 句对应l 一激波曲线岛，e 品 图3 4 如图3 4 ，两列中心疏散波将在有限时间相遇，记第一个相遇点为a ，过a 分别 在忍所在的波区内画第一类特征线a b ，在r 1 所在的波区内画第二类特征线a c 为了讨论这两列中心疏散波能否相互穿透，我们讨论( 秒，e ) 平面内状态和的 相对位置 根据假设我们有r 2 ， r 1 ，所以 i ，因而r 1 和兄2 有唯 一的交点o 这表明两列中心疏散波在有限时间内能相互穿透，在穿透完成时产生 两列透射简单波( 见图3 4 ) r 2 和r 1 的相互作用形成了一个以a b ，a c ，b d 和 c d 为边界的穿透区域q ，其中b d 为第二类特征线c d 为第一类特征线区域 q 中的解由下列特征问题的解决定 j8 t + a 1 ( r ，s ) = 0 ， 1 几十a 2 ( 7 ，s ) ：o 和 l5 ( z ，t ) = s m 在a b 上， lr ( z ，t ) = r r n 在a c 上， 两列异向中心疏散波相互作用的最终状态可表示为 恐冗1 _ r 1 r 2 情形3 3 中心疏散波和激波的相互碰撞：假定在( z ，) 平面上t = 0 附近有一列中 心疏散波r 2 和一列激波s l ( 图3 5 ) 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文1 8 多 一 呔 另 图3 5 记第一个相遇点为( x l ，t 1 ) ，当t t l 时& 和危相互作用，在穿透过程中激波 z = x ( t ) 由下式决定 d x 望铲一业蛭c i 2 _ 型豇2 + p ( 司一p ( 习 d t 纽( c 曼2 _ 童吞z ! 冱一( 2 ( c 立z - 丝f ：! 坦 蚕= 雷一垒；鬻c 孝 习以c 邑司= 石寿鸯号乏基写黼 x ( t 1 ) = z 1 詈2 镡c 蠢器詈蔫舞，舌l + 挈。1 + 乎誓二l ：面7 丢n 喾 e 着d s s 亡址一c 2 c o = c o i z 丢- n 喾一c o e 藉篷d s = c 毽= 蜥 其中( 面，舌) ，( 蚕，司分别代表激波z = z ( t ) 左边和右边的数值 由图3 5 我们有r 2 ， 岛，根据性质3 3 ，勖和岛在( 钞，s ) 平面 上不相交，因此i i ，并且s i ( d 和危有唯一的交点o ，这意味着激波在有 限的时间内能完全穿透中心疏散波疏散波r 2 右边的激波可由下面问题的解决定 慨糟兰磊；：。 总之，疏散波r 2 和激波两相碰后在有限时间内相互穿透，除了透射波r 2 和 毋外没有新类型的波出现，他们可表示为 r 2 s 1 _ 岛r 2 类似地和r 1 的相互作用可表示为 岛r 1 _ r 1 昆 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 1 9 情形3 4 两列同向激波的相互追赶：假定在( 茹，t ) 平面上t = 0 附近有两列激波 建1 1 ，2 ( 图3 6 ) 记激波建1 1 ，算速度分别为口( ，口( 2 1 根据l a x 熵条件我们有 矿( 2 ) a 2 ( m ) 盯( ， 上面的不等式意味着建1 必定在有限时间内赶上碰2 1 ，此时一个新的r i e m a n n 问题 形成为了构造此r i e m a n n 问题的解，我们讨论状态和 的相对位置 二 彩 多 s r 么么 图3 6 根据图3 6 我们知道 建2 ，再由性质3 1 ，可得到毹2 i i i o ，因此 有 工i i 这表明r 1 和岛在( 秒，e ) 平面上有唯一的交点o 当鼋1 追赶上 鼋2 时，出现一列透射激波和一列反射的中心疏散波，此结果可表示为 类似地有 岛_ r 1 s 1 s l _ s 1 r 2 情形3 5 两列同向中心疏散波的相互追赶：假设有两列中心疏散波硝) ，砰( 图 3 7 ) 图3 7 因为砭1 的波前速度和群的波后速度是一样的，所以冗1 1 永远不可能赶上 砑，但是我们把冗9 和蟹记作为同一列疏散波飓： r 2 r 2 叶r 2 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文2 0 类似地有 r 1 r 1 _ 足l ， 综合本节的讨论我们有如下结论；异向激波、中心疏散波及激波与疏散波之 间的相互碰撞产生相应的透射波，即岛最一魏s 2 ；r 2 r l r 1 兄；岛r 1 _ 足1 ； r 2 s , _ s 1 r 2 同向激波相互追赶产生透射的激波和反射的中心疏散波，用式子表示 为岛岛一r 1 和研研_ 尼同向中心疏散波不能彼此赶上，但我们人为地把 两列波记作为一列波，可表示为冗2 r 2 一r 2 和r 1 兄1 _ r 1 第四章相对论方程组的r i e m a n n 问题及波的相互作用 4 1 引言 用来描述理想流体运动的相对论流体力学方程组如下： 瓦l 可e c 2 + p 卅喜去( 岛v i v k + p s i k ) = 0 ，( i = 1 , 2 , 3 泐量守恒) 瓦0l 孺e c 2 + p 吲p + 喜去( 岛砌_ 0 ，( 能量守恒) ( 4 1 1 ) 尝c 商，+ 喜去c 南嘲= o c 籽数锏 这里p ，p ，秒= ( v l ，v 2 ，v 3 ) 分别表示固有质量密度，压力和粒子速度，c 为光速， 为流体的质量能量密度，它是以质量的量纲来度量的固有能量密度 在光滑流场中方程组( 4 1 。1 ) 等价方程组 等+ 刍仇瓦a p + 苫3 仇差+ 6 毫= 。，( t = l 2 ，3 ) ( 动量守恒) 一o p o t h a 2 裳+ 荟3 瓦o p 一九0 2 善3 魂瓦9 p - o ，( 熵方程) 静+ 砉去c 秘一o c 粒子数锏 其中 6 = 并一争一志， a 表示局部声速 1 9 4 8 年，t a u b ( 5 1 ) 研究了相对论流体力学方程组 懂 南) + 昙( 南) _ 0 ， g + p ) 丁兰i - ) + 杀( + p ) 西v 2 + p ) = 。， ( 4 1 2 ) 。+ p ) f v 2 孑+ s ) + 昙( ( + p ) 南) = 。 此处取光速c = 1 ，p ，s ，p ，秒分别是静止质