（应用数学专业论文）两类压缩型广义不动点定理.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 不动点理论是泛函分析理论的一个重要组成部分关于不动点问题的研究，从二 十世纪二十年代起，由经典的b a n a c h 压缩映射原理到现在用i s h i k a w a 迭代序列去 逼近的不动点已经形成了一个比较系统、完善的体系其中压缩型映射不动点原理的 讨论，是学者们一直所关心的问题 本文主要是提出两类新的压缩型映射的不动点定理，所得结果推广和发展了文 f 1 1 中相应的结果 本文主要内容如下： 第一章：介绍了不动点理论的创立和发展，及其本文的主要内容 第二章：主要介绍本文用到的有关数学基本概念、定理和性质 第三章：提出了两类新的压缩型映射的不动点定理，并对其进行了严格的证明 关键词：度量空间压缩映射不动点 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s a b s t r a c t f i x e dp o i n tt h e o r yi sa l li m p o r t a n tp a r to ff u n c t i o n a la n a l y s i s s i n c et h e1 9 2 0 s ，f r o m t h eb a n a c hc l a s s i c a lt h e o r e mo fc o n t r a c t i v em a p p i n gt oi s h i k a w ai t e r a t i v es e q u e n c e a p p r o x i m a t i o n ，t h ef i x e dp o i n tt h e o r yh a v ef o r m e dav e r ya b u n d a n ta n ds o u n ds y s t e m ， w h e r et h ec o n t r a c t i v et y p eo fm a p p i n gh a v eb e e nc o n c e r n e db ys c h o l a r sf o ral o n gt i m e t h i sp a p e rm a i n l yg i v e st h a tt w on e wf i x e dp o i n tt h e o r e m so fc o n t r a c t i v et y p e ， w h i c hg e n e r a l i z ec o r r e s p o n d i n gs o m er e s u l t si n 【1 】 t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 w ei n t r o d u c es o m em a i nd e v e l o p m e n to f 触e dp o i n tt h e o r y , a n dg i v e t h em a i nc o n t e n to ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w eg i v e sr e l a t e dp r e r e q u i s i t eu s e di nt h i sp a p e r k c h a p t e r3 ，w eb r i n gt w on e w f i x e dp o i n tt h e o r e mo fc o n t r a c t i v et y p e ，a n dg i v e t h e i rs t r i c tp r o o l k e yw o r d s ： m e t r i cs p a c ec o n t r a c t i v em a p p i n gf i x c dp o i n t 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工 作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：毒、f 缔轧 日期： 学位论文版权使用授权书 岬年sh2 - 0 ， 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同 时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据 库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：壶、i 够象 日期：如7 年f 月细 导师签名： 日期：年月日 本人已经认真阅读“c a l l s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人 的学位论文提交“c a l l s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程” 中的规定享受相关权益。圆重迨塞握銮屋澄蜃；旦坐生；旦= 生；旦三生筮查。 作者签名：多一l 争象 日期a 力年6 月加 导师签名： 日期：年月日 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 1 前言 1 1 不动点理论的创立和发展 不动点理论是目前正在迅速发展的非线性泛函分析理论的重要组成部分，它与 近代数学的许多分支有着紧密的联系特别是在建立各类方程( 其中包括各类线性或 非线性的、确定或非确定型的微分方程、积分方程以及各类算子方程) 解的存在唯 一性闯题中起着重要的作用 自二十世纪初b r o u w e r 和b a n a c h 分别提出两个以他俩姓氏命名的b r o u w e r 定理 和b a n a c h 压缩映射原理之后，一个多世纪以来，特别是近半个世纪以来，由于实 际需要的推动和数学工作者的努力，本门学科已经出现了诸子百家、门派林立、群 峰竟绣、百舸争流的局面我国数学工作者在这方面也作了大量工作，取得了许多 一流的结果 开始引人注目的不动点理论，起源于德国数学家b r o u w e r 的工作在1 9 0 9 年，他 发表以“曲面上一对一的映射为自身的连续映射 为题的论文，从而创立了不动点理 论他的著名结果，后来被称为b r o u w e r 不动点定理，1 9 1 2 年b r o u w e r 又在拓扑学 的基础上，运用度理论证明了关于连续单值映射的一个著名的不动点理论( 参见【5 】) 即每一个映射有限维b a n a c h 空间单位球到其自身的连续映射有不动点它是现代数 学的最优秀成果之一后来s c h a u d e r 、k a k u t a n i 等人又相继对b r o u w e r 的结果进行了 推广，比如1 9 3 0 年，s c h a u d e r 得到了每个定义在b a n a c h 空间有界闭凸集c 上的到 其自身的紧映射具有不动点( 参见【6 】) 1 9 4 1 年，k a k u t a n i 将b r o u w e r 的结果推广 到集值映射之中，得到了r 4 的任何一个非空紧凸集c 具有k a k u t a n i 性质，即每一 个映c 到c 的k 映射具有不动点( 参见【7 】) b r o u w e r 不动点定理在不动点定理理 论中是一个重要的基本定理 上世纪初，b a n a c h 提出了以他姓氏命名的b a n a c h 压缩映射原理( 【8 1 ) 1 9 2 2 年，b a n a c h 首次证明了著名b a n a c h 的压缩映射原理，这一原理实际上是经典的 p i c a r d 迭代法的抽象表述，它是经典的代数型的不动点定理，根据这一定理，不仅 可以判断不动点的存在性和唯一性，而且还可以构造一个迭代序列逼近不动点到任 何程度。因此，b a n a c h 不动点定理在近代数学的许多分支，特别是在应用数学的几 乎各个分支都有广泛的应用b a n a c h 在上个世纪二十年代提出这一原理后，b a n a c h 压缩映射的概念和b a n a c h 压缩映射原理已经从各个方面和各个不同的角度有了重 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 要的发展，许多人提出了一系列新型的压缩映射的不动点定理，而且其中某些结果 已被成功的应用于研究空间中的许多方程解的存在性和唯一性，并且还被应用于随 机算子理论和随机逼近理论等诸多领域 非扩张映射是b a n a c h 压缩映射的一种自然的推广，这种映射在近代许多数学 分支，其中特别是在非线性半群，遍历理论和单调算子理论有许多重要的应用关 于非扩张映射不动点理论的第一个重要结果属于r d em a r r ( 【9 】) ，他得出著名的 k a k u t a n i m a r k e r 不动点定理的一有趣推广；以后不久，b r o u w e r ( 见 1 0 1 ) 、k i r k ( 见 【1 1 】) 、p e t r y s h y n ( 【1 2 】) 等分别讨论过定义在b a n a c h 空间的凸集上的非扩张映射的 不动点的存在性，近年来随着不动点理论的发展，非扩张映射的不动点理论也随之 有所发展，不少人提出了一些新的非扩张映射的概念和一些新的不动点定理 关于扩张映射不动点定理的研究，1 9 6 7 年最先开始于m a c h u c a ( 参见【1 3 1 ) ， 以后j u n g c k 、f i s h e r 、k i r k 、s c h o n e b e r g ，王志尚及张石生等先后讨论了一些其他形 式的扩张映射不动点定理 关于多值映射的不动点理论的研究，已经有很长的历史早在上个世纪三十年 代v o l ln e u m a n n 在研究对策论的基本定理( 即所谓“鞍点定理”) 时，就已经把连 续映射的拓扑不动点定理推广到多值映射的情形( 参见 1 4 1 ) 以后在1 9 4 1 年 k a k u t a n i ( 【1 5 】) 又把b r o u w e r 不动点定理推广到有限维空间中的多值映射的情形， 1 9 5 0 年b o h n e n b l u s t 、k a r l i n ( 【1 6 ) 和1 9 5 2 年g l i c k s b e r g ( f 1 7 1 ) 独立地把s c h a u d e r 不动点定理推广到多值映射的情形，1 9 5 2 年k yf a n ( 【1 8 】) 又把t y c h o n o f f 不动点 定理推广到多值的情形六十年代后期b r o u w e r ( 见1 1 9 】、【2 0 】) 又把前述所有结果 统一和推广成为更广泛和更简洁的形式近年来由于b a n a c h 压缩映射原理有了许多 重要的推广，因此不少人试图把b a n a c h 不动点定理及其各种推广形式移植到多值 映射的情形例如1 9 6 9 年n a d l e r ( 【2 1 】) 就成功地把b a n a c h 不动点定理推广到多值 情形；1 9 7 9 年a c h a r i ( 【2 2 1 ) 也把某些压缩映射的不动点定理推广到多值映射 偏序集中映射的不动点定理，是建立在序的概念的基础上，关于这方面的第 一个结果是由k n a s t e r 等在他们的工作( 参见1 2 3 1 ) 中建立的，以后不少人进行系统 的研究( 参见文献【2 4 、【2 5 “2 6 、【2 7 1 “2 8 】) ，其某些结果已在逼近论、泛函分 析和自动机理论显示其重要性 2 一距离空问中映射的不动点定理，1 9 6 3 年，g a h l e r 首先引入2 一距离空间的 概念，并教为深入地讨论了这一空间的拓扑性质，关于2 一距离空间中映射的不动点 定理的研究，1 9 7 6 年开始于i s e k i 等人的工作( 参见 2 9 1 ) ，他们把熟知的b a n a c h 压缩映射原理推广到2 一距离空间以后研究2 一距离空间中映射的不动点理论的人日 2 硕士学位论文 m a s r e r st h e s i s 益增多，1 9 7 9 年r h o a d e r s ( 见【3 0 】) ) 把c i r i c 的结果移植到2 一距离空间k h a n 、f i s h e r 及张石生等进一步讨论过2 一距离空间映射的不动点定理 此外，中外许多学者也对随机不动点理论和概率度量空间中压缩映射的不动 点定理作过某些深入的讨论和研究 1 2 本文的主要结果 本文受文 1 、文 2 思想的启示，得到了如下的结果： 定理1 1 ：设( z ，d ) 是一完备的度量空间，设z 是从石到x 的映射，若存在单 1 调递减的函数厅o ) ：( o ，+ * ) 一( o ，妄) ，使得v 工，y e x ，且石，y 有 上 a ( r x ，t y ) s h ( d 0 ，) ，) ) 【d o ，r y ) + d o ，a ) 】 ( 1 1 ) 则r 在x 中存在唯一不动点 定理1 2 ：设( x ，d ) 是一完备度量空间，设r ，s 是从x 到x 的压缩映射对，若 1 存在单调递减函数h ( t ) ：( o ，+ 。) 一( o ，使得v 工，y e x ，且z y 有 o a ( r x ，s y ) ( d ，y ) ) 【d ( k t x ) + d o ，s y ) 】 ( 1 2 ) 则r ，s 在彳中存在唯一公共不动点z ，而且对任意e x ，有 ( 巧) 4 工。一z ，岱r ) ”x 0 一z o 一) 对以上两类新的压缩型映射的不动点定理在第三章将给予严格的证明，并指出 定理1 1 和定理1 2 分别是定理1 3 和定理1 4 的推广 定理1 3 ：设伍，d ) 是一完备的度量空间，设t 是从x 到x 的映射，若存在常 1 数h ( o ，与，使得 二 d ( r x ，巧) 王是p b ，r y ) + d ( y ，戤h vz ，y x( 1 3 ) 则r 在x 中存在唯一的不动点 定理1 4 ：设暖，d ) 是一完备的度量空间，设r ，s 是从z 到x 的压缩映射对， 1 若存在常数h e ( o ，妄) ，使得 二 d 慨，印) s p g ，) + d ( y ，$ ) v 毛y x ( 1 4 ) 则r ，s 在x 中存在唯一的公共不动点 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 预备知识 定义2 1 ：所谓度量空间，就是指对偶( z ，d ) ，其中x 是一个集合，d 是x 上的一个度量( 或x 上的距离函数) ，即d 是定义在x x 上且对所有x ，y ，z e x 满 足以下四条公理的函数： ( i ) d 是实值，有限和非负的； ( i i ) 当且仅当x - y 时；d 0 ，y ) 一0 ： ( i i i ) d o ，y ) 一a ( y ，工) ( 对称性) ； ( i v ) a ( x ，_ ) ，) s d 阢z ) + d ( z ，y ) ( 三角不等式) 则称a ( x ，y ) 为x 中的一个度量，定义了度量d 的集合x 称为一个度量空间，记为 ( x ，d ) ，在不引起混乱的情形下简记为x 定义2 2 ：度量空间x 一( 疋，d ) 中的序列缸。 ，如果对任意的f ，0 ，都存在 一个n 一( ) 使得对每个m ，丹 n 是都有d g 。，毒。) s ，则称 k 是一个c a u c h y 列( 基本列) 如果空间中的每个c a u c h y 都是收敛的，且收敛的极数都在z 中，则 称度量空间x 是完备的 由上定义可得以下结论： 度量空间中任一收敛点列是c a u c h y 列； 完备度量空间的任一闭子空间也是完备的 定理2 3 ：( 压缩映射原理) 设伍，d ) 是一完备度量空间，丁是z 到z 中的映 射，并且对任意x ，y e x ，有不等式 d ( t x ，黟) h d ，_ ) ，) 成立，其中0 c h 0 ，故有 d ，t x ) t 0 ， 即t x 一工，因此z + 为r 的不动点 下证不动点x 的唯一性 假设还存在丁的另一个不动点y e x ，于是 d g ，y ) 一d ，r y ) s 【d 0 ，巧) + d ( y ，豇。) 】 一j j l 瞄0 ，y ) + d ( y ，x ) 】 得 ( 1 一抽m 0 ，y ) s 0 ， 而1 2 h 0 ，所以d o + ，y ) 一0 ，即工一) ， 因此x 为r 的唯一不动点 定理证毕 文【l 】关于第1 0 类压缩映射不动点存在唯一性定理是定理3 1 的特例；即为下面 的推论3 2 推论3 2 ：设暖，d ) 是一完备的度量空间，设丁是从z 到x 的映射，若存在常数 厅( o ，与，使得 d 缸，纠s i l 陋g ，r y ) + d ( y ，a ) v x , ye x 则t 在工中存在唯一的不动点 3 2 第二个主要结果的证明 定理3 3 ：设( 彳，d ) 是一完备度量空间，设r ，s 是从z 到x 的压缩映射对，若 存在单调递减函数 o ) ：( o ，+ m ) 一( o 丢) ，使对v x , y e x ，且z - _ ) ，有 d ( r x ，s t ) h ( d ( x ，y ) ) f 0 ，致) + d ( y ，$ ) 】 ( 3 4 ) 则r ，s 有唯一公共不动点，而且对任意工。x ，有 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a s ) 4 x 0 一z ，p 2 。) “x o z 0 一。) 证：v z 。石，定义序列伽。) 如下： 工2 h “1 7 x 知，工知+ 2 毫5 k 2 | l “。 ，l i1 2 3 t 4 于是由( 3 4 ) 可得 d o 抽+ l ，茗2 n + 2 ) 一a ( t x 知，s x 2 j i “) j i l ( d 0 2 i l ，z 知+ 1 ) ) 【d 0 2 ，t x 知) + d g 2 n 1s x h + 1 ) 】 一h ( d ( x 2 ，x t n - 1 ) ) 【d 0 “，石h “) + a ( x 2 n + 1 ，x 2 n 2 ) 】 于是 d ( g t n + l ，x 2 n + 2 ) 量击d 2 n ，x 2 n + 1 ) 其中啊一h ( d ( x h ，x h + 1 ) ) 同理可证 矗g 一) 丧蠢阮一 ) 其中1 1 2 。h ( a ( x 2 n - l ，x h ) ) 令 丑一m a x t 啬，尚 故得 d 0 2 n + 1 ，x 知+ 2 ) sh 2 d 0 2 n - l ，x 抽) s s 月知a ( x l ，工2 ) ( 3 5 ) d ( 工2 i ，z 知+ 1 ) 墨h 抽a ( x o ，工1 ) ( 3 6 ) 由于a ( f ) ( 0 ，尹1 ，所以o t 刍t 1 ， 于是弘 2 n + l ，x 2 n + 2 ) ) 和舻0 。，石。+ 。) ) 是单调减序列，设其极限分别为p ，和p ： 下证p l = 0 ，p ：一0 假设p l 0 ，p 2 0 令 = 嵩， 由于函数 ( f ) ：( o ，+ m ) 一( 。，三) 单调递减，而击在( o ，尹1 内单调递增，易证鼋o ) 在 硕士学位论文 m a s t er st h e s i s ( 0 ，+ * ) 上是单调递减的函数由于 a 。= d 0 7 , n + ly x 妇+ 2 ) 2 p 1 ，吒暑d 2 j l ，工h + 1 ) p 2 即得 q ( a ) s q ( p 1 ) 1 ，q ( b 。) q ( p 2 ) 1 vn 令p m a x 扫l ，p 2 ， 故有0 t 目( p ) 1 ， 于是 d 0 7 n + l ，x h + 2 ) 量妇0 ) 1 2 d ( x 2 n - l ，x 2 。) s 【g ( p ) 】4 d 0 2 a - 3 ，x 2 j l 一2 ) s 【目0 ) 】“d ( x 。，工：) 又因为0 t 日0 ) t 1 ， 故有 0s d o h + 1 ，x 翻+ 2 ) 蔓【g ) 】抽d ( x 1 ，工2 ) _ 0 ( 0 - ) 由夹逼原则有p 2 a + l ，x 2 n * 2 ) 的极限，- 0 同理可证：似o 。，善。+ 。) 的极限p 2 0 下证扛) 是x 中的c a u c h y 序列， 令 r ( x d ) 一m a x 彬o o ，x 0 ，d 0 1 ，x 2 ) 对于任意一对正整数坍，n ，n ) 有 d o 。，工。) 暑d 0 0 ，k “) + d 0 + 。，工+ 2 ) + d ( 4 ，工。) 。荟d 阮一“) 由( 3 5 ) 和( 3 6 ) 得 d ，_ ) 5 荟日2 ，o 。) 1 日“r ) 荟日“ 筹)f 矿7 似o ) 于是有 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 瓴, x n ) s 器峨) ( n 叫 即知d 。，x 。) 一0 ； 故协。) 是z 中的c a u c h y 序列 由度量空间( z ，d ) 的完备性知j x 彳，使得l i m 工。一石。 接下来证明工。是r ，s 在x 中的唯一不动点 事实上 d ，善) s 矗 ，工2 。+ 2 ) + d ( x 2 。+ 2 ，x ) _ d ( 珏，s x h + 1 ) + d ( x 2 i i + 2 ，x ) 墨 ( d 0 + ，x 2 n + 1 ) ) f d ，t x ) + d 0 2 n + l ，s x 知+ 1 ) 】+ d ( x 知+ 2 ，x ) - 0 ，x 2 n + 1 ) ) p 0 ，t x ) + d 2 n + l , x 2 n + 2 ) 】+ d 0 2 j l + 2 ，毒) 因为 a r ( x 2 n + 1 ，x h + 2 ) 苎= = _ 0 ，a ( x h + 2 ，x ) 兰= 竺呻。 所以 d ，毒。) s h e a ( x , t x ) + d ( 石2 n + l ，x 2 n + 2 ) 】+ d o h + 2 ，x ) 2 ：竺矗d 陬，工。) 其中j j l 一i l o ，石：。) ) 故 d 陬+ ，x ) sh d ( t x , 工) 即( 1 一j 1 ) d + ，x ) 量0 ，而1 一h ，0 ， 故有 d ，石+ ) 一0 即t x 一工，因此x 为r 的不动点 同理可证x 也为s 的不动点 于是x 是s ，r 的公共不动点 最后来证不动点石的唯一性 假设还存在s ，r 的另一个不动点y z ，即t y 一y ，s y 。y 于是 d ，y ) 一d ( 戤，s y ) s | l l ( d 0 ，y ) ) 【d 0 ，t x ) + d ( y ，s y ) 】 ； m ，t x ) + a ( y ，s y + ) 】= 0 硕士擎位论文 m a s t e r s t h e s i $ 其中j j l = j l l 似 ，y ) ) 所以 d ，y 。) 一0 ，即石一y ； 因此工是s ，r 的唯一不动点 令y om x o ，并定义序列 ) ，。 为y m l s x h ，y h + 2t t x h “，可以证明 ) ，。) 是c a u c h y 序列 故由不动点的唯一性可知l i m y 。- 工， 从而对任意x o x ， ( 巧) 4 x o z ，( s t ) 一z 0 一m ) 定理证毕 文【1 】关于第( 8 4 ) 类压缩映射不动点存在唯一性定理是定理3 3 的特例；即为下 面的推论3 4 推论3 4 ：设僻，d ) 是一完备的度量空间，设f ，s 是从x 到x 的压缩映射对，若存 1 在常数h ( o ，二) 1 ，使得 d 慨，$ ) sh i , i x ，r x ) d ( y ，$ ) v 而ye x 则x ，s 在x 中存在唯一的公共不动点 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 参考文献 【1 】张石生不动，点理趁及其：搠：重庆人民出版社，1 9 8 4 【2 】林丹玲_ 老压绍映影钐不动尊定理广西师范学报，2 0 0 0 ( 3 ) f 3 】欧文克雷斯齐格历西分痧缛趁反应) 冠北京航空学院出版社，1 9 8 6 【4 】刘炳初搓函乃呖科学出版社，2 0 0 5 【5 】k m e n g e r , s t a t i s t i c a lm e t r i c j ，p r o c n a t a c a d s c i u s a , 1 9 4 2 ，1 2 8 ：5 3 5 5 3 7 【6 】6b s c h w e i z e r , a s k l a r , s t a t i s t i c a lm e t r i cs p a c e s 衍p a c i f i cj m a t h ，1 9 6 0 ，1 0 ：3 1 3 3 3 4 【7 】b s c h w e i z e r , a s k l a r , e t h o r p 1 h em e t r i c z a t i o no fs t a t i s t i c a lm e t r i cs p a c e s p a c i f i c j m a t h ，1 9 6 0 ，1 0 ：6 7 3 6 7 5 【8 】s c h w e i z e r , a s k l a r , p r o b a b i l i s t i c m e t r i c s t ，a c e s ，n o r t h h o l l a n d , a m s t e r d a m ，1 9 8 3 【9 】9 r d em a r r , c o m m o nf i x e dp o i n t s o rc o m m u t i n gc i n s t r a e t i o n ，p a c i f i cj m a t h ，1 3 ( 1 9 6 3 ) ，1 1 3 9 - 1 1 4 1 【i o e e b r o w d e r , n o n e x p a n s i v en o n l i n e a ro p e r a t o r si nab a n a c hs p a c e ，p r o c n a t a c a d s c i u s a 5 4 ( 1 9 6 5 ) ，1 0 4 1 1 0 4 4 【1 1 】w a k i r k ，a 皿耐p o i n tt h e o r e mf o rm a p p i n g sw h i c hd on o ti n c r e a s ed i s t a n c e , a m e r m a t h m o n t h l y , 7 2 ( 1 9 6 5 ) ，1 0 0 4 - 1 0 0 6 【1 2 w v p e t r y s h y n , r e m a r k so nf i x e dp o i n t sa n dt h e i re x t e n s i o n s , t r a m s a l n e lm a t h s o c ，1 2 6 ( 1 9 6 7 ) ，4 3 - 5 3 【1 3 1r m a c h u c a , a c o i n c i d e n c e t h e o r e m , a m e r m a t h m o n t h l y , 7 4 ( 1 9 6 7 ) , 5 6 9 【1 4 】j v o n n e u m a n n ，e e g e b i n s s ee i n e sm a t h k o l l o q u i u m s8 ，( 1 9 3 5 ) ，7 3 8 3 【1 5 】s k a k u t a n i ，d u k em a t h ，j ，8 ( 1 9 4 1 ) ，4 5 7 4 5 9 【1 6 】h fb o h n e n b l u s t ，s k a r r m , i nk u h n , h w a r dt u c k e r , j l w ( e d s ) , c o n t r i b u t i o n st ot h e t h e o r yo f g a m e s , v 1 ( 1 9 5 0 1 ，1 5 5 1 6 0 , p r i n c e t o nu n l p r e s s 【1 7 i g l i c k s b e r g ，r d c 4 m e t m a t h s o c ，3 ( 1 9 5 2 ) ，1 7 0 1 7 4 【1 8 k yf a n , p r o c n a t a c a d s c iu s & 3 8 ( 1 9 5 2 ) 1 2 1 1 2 6 【1 9 】e e b r o w e r a l a t h a n n 1 7 “1 9 6 7 ) ，2 8 5 2 9 0 【2 0 】e e b r o