（凝聚态物理专业论文）一维各向异性xy模型中的纠缠与量子相变.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 ( 在口划“4 ”) 本人郑重声明：此处所提交的博士口硕士口论文一维各向异性x y 模型中的纠缠 与量子相变，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读博士口硕士口学位期间独立 进行研究工作所取得的成果。论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成 果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明。本声 明的法律结果将完全由本人承担。 柞者签名纠而日期矽汐年刍 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 ( 在口划“4 ”) 一维各向异性x y 模型中的纠缠与量子相变。系本人在曲阜师范大学攻读博士口 硕士口学位期间，在导师指导下完成的博士口硕士口学位论文。本论文的研究成果归曲 阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表。本人完全了解曲阜师范 大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电 子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段 保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容。 作者签名知7 导师签名： 日期矽办争乡7 司 日期：加b ，氆 摘要 摘要 量子纠缠是一种奇特而又非常复杂的纯量子现象，已被广泛应用于量子通信和信息处 理中。在凝聚态物理中，研究量子相变时发现量子纠缠在其中起着重要的作用，可利用纠 缠的概念描述自旋系统的临界性质。论文研究了一维x y 模型的热纠缠和零温纠缠，其主要 内容如下： 利用n e g a t i v i t y 的定义研究了d z y a l o s h i n s k i i m o r i y a ( d m ) 相互作用对自旋为1 和混合自 旋x y 模型( 1 2 ，3 2 ) 纠缠的影响。通过计算两粒子之间的纠缠度，发现d m 相互作用能 够加大纠缠度，并且能使自旋为1 和混合自旋的两粒子之间纠缠度达到稳定值。自旋之间的 交换耦合相互作用有助于加强粒子之间的热纠缠。当交换耦合相互作用比较小时，可以通 过加强d m 相互作用来提高系统的纠缠度，反之，当d m 相互作用比较小时，可以通过加大 交换耦合相互作用来提高纠缠度。温度对纠缠度起抑制的作用，温度越高，纠缠度越小。 当温度较高时，要使热纠缠达到稳定值则需要更强的d m 相互作用。在相同的条件下，大 自旋i s = 1 ) 两粒子之间的纠缠要小于混合自旋两粒子之间的纠缠。 利用量子重整化群方法研究了一维各向异性x y 模型f s = 1 2 ) 的量子纠缠与量子相 变。把共生纠缠度( 块与块之间的纠缠) 作为一个序参量来描述系统的临界性质。得到了共 生纠缠度在临界点附近的变化趋势，非解析行为和标度行为。对耦合常数多次重整化迭代， 发现共生纠缠度在临界点处发生了跃变，并且出现了两个稳定值，这两个值分别对应于两 个不同的相，即类i s i n g 相和自旋液相。对于类i s i n g 相共生纠缠为零，说明白旋之间为有序 排列不存在量子关联。而自旋液相中量子涨落破坏了长程序，自旋之间存在量子关联。为 了分析系统的临界性质，我们取共生纠缠为无量纲常数g 的函数( g = 1 + y 1 一y ，7 为各 向异性参数) 。发现共生纠缠度一阶导数最大值的对数与系统格点数的对数之间成线性关 系，显示了它的标度行为，而且一阶导数最大值的位置熙。：随系统尺度的增大逐渐靠近临 界点，也显示了标度行为。同时还发现随着系统尺度的无限增大，共生纠缠度的一阶导数 在临界点是发散的，说明系统发生的相变为连续相变。 关键词：量子纠缠；量子相变；x y 模型；量子重整化群 ! 生堡坚竺塑二、，一 - - _ - _ _ _ _ _ - - _ _ ，- _ 一一 a b s t r a c t q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，a so n eo ft h em o s ti n t r i g u i n g f e a t u r e so fq u a n t u mt h e o r y , h a s a t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o ni nr e c e n ty e a r s ，m o s t l yb e c a u s ei t sn o n c l a s s i c a lc o r r e l a t i o n si sr e g a r d e d a sav a l u a b l er e s o u r c ei nq u a n t u m c o m m u n i c a t i o na n dq u a n t u m - i n f o r m a t i o np r o c e s s i n g i tp l a y s ak e yr o l ei naq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n ，a n da t t r a c t sm u c ha t t e n t i o n i nt h i st h e s i s ，f es t u d y t h e t h e r m a le n t a n g l e m e n ta n dt h ee n t a n g l e m e n ta ta b s o l u t ez e r ot e m p e r a t u r ei nt h eo n e d i m e n s i o n a l a n i s o t r o p i cx y m o d e l t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： t h ep a i r w i s ee n t a n g l e m e n t i n ( 1 2 ，3 2 ) m i x e d s p i n sa n d ( s = 1 ) x ys y s t e m s a r e i n v e s t i g a t e db ym e a n so f t h ec o n c e p to fn e g a t i v i t y a tt h ed i f f e r e n tt e m p e r a t u r e s ，w ef o u n dt h a t t h ee n t a n g l e m e n to ft h el a r g es p i na n dm i x e d s p i n st or e a c has t a b l ev a l u ed u et ot h ed m i n t e r a c t i o n e x c h a n g e c o u p l i n gi n t e r a c t i o nb e t w e e nt h es p i n s i sh e l p f u lt ot h es t r e n g t ho ft h e e n t a n g l e m e n t w h e nt h ee x c h a n g e c o u p l i n gi n t e r a c t i o n i ss m a l l e r , w ec a ne n l a r g et h ed m i n t e r a c t i o nt or a i s et h ee n t a n g l e m e n tw h i l ef o rt h ed m i n t e r a c t i o ni ss m a l l e r ，w ec a ni n c r e a s et h e e x c h a n g e c o u p l i n gi n t e r a c t i o n t h eh i g h e rt h et e m p e r a t u r ei s ，t h es m a l l e r t h ee n t a n g l e m e n ti s t o e n h a n c et h ev a l u eo ft h e r m a le n t a n g l e m e n t , w en e e das t r o n g e rd m i n t e r a c t i o n g i v e nt h es a m e c o n d i t i o n s ，t h el a r g es p i n ( s = 1 ) e n t a n g l e m e n tb e t w e e n t w op a r t i c l e si sm o r ep o w e r f u lt h a nt h a t o ft h em i x e d - s p i n s t h ec r i t i c a lb e h a v i o ro ft h ea n i s o t r o p i c ( s = 1 2 ) x ym o d e lb yt h em e t h o do fq u a n t u m r e n o r m a l i z a t i o ng r o u pi ss t u d i e d w ef o u n dt h a tt h ec o n c u r r e n c eb e t w e e nt w ob l o c k sc a nb e r e g a r d e da sa no r d e rp a r a m e t e r u s i n gt h er e n o r m a l i z a t i o ne q u a t i o n ，w eo b t a i n e dt h ee v o l u t i o no f e n t a n g l e m e n t ，n o n a n a l y t i cb e h a v i o r sa n ds c a l i n g b e h a v i o r sb e t w e e n t h et w ob l o c k s a st h es i z e o ft h es y s t e mb e c o m e sl a r g e r , t h ef i r s td e r i v a t i v eo ft h ec o n c u r r e n c ee x i s t st h es i n g u l a r i t y ，a n d t h ec o n e u r r e n e er e a c h e dt w of i x e dv a l u e sc o r r e s p o n dt ot w od i f f e r e n tp h a s e s ，i e i s i n g - l i k ea n d s p i nl i q u i dp h a s e t h es p i n f l u i dp h a s e c o n t a i n st h eq u a n t u mc o r r e l a t i o nw h i l ef o rt h ec a s eo ft h e i s i n g 1 i k ep h a s ed o e sn o t i no r d e rt of u r t h e ra n a l y z et h ec r i t i c a lp r o p e r t i e so f t h es y s t e m ，w e d e f i n et h ec o n c u r r e n c ea st h ef u n c t i o no ft h ed i m e n s i o n l e s sg ( g = 1 + r 1 7 ，厂i st h e a n i s o t r o p i cp a r a m e t e r ) w ec a n s e et h a tt h ef i r s td e r i v a t i v eo ft h ec o n c u r r e n c ea n dg m 舣w h i c hi s t h ep o i n tc o r r e s p o n d i n gt om a x i m u mv a l u eo ft h ef i r s td e r i v a t i o no fc o n c u r r e n c ed e m o n s t r a t e s t h e i rs c a l i n gb e h a v i o r sa n ds h o wt h a tt h et r a n s i t i o no ft h es y s t e mi sc o n t i n u o u sp h a s et r a n s i t i o n t h er e s u l t so b t a i n e dh e r ea r eh e l p f u lt oa n a l y z et h ec r i t i c a lb e h a v i o ro ft h ex y m o d e lb ym e a n s o ft h eq u a n t u mr e n o r m a l i z a t i o n - g r o u pa p p r o a c h k e y w o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ； q u a n t u mr e n o r m a l i z a t i o ng r o u p q u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n ；x y m o d e l ； l l 目录 目录 摘要l a b s t r a c t i i 第_ 章综述l 1 1 自旋链的量子纠缠l 1 2 有限温度纠缠：3 1 3 零温纠缠4 1 4 论文的主要工作- 7 第二章d z y a l o s h i n s k i i m o r i y a 枢作用的对量子x y 链中热纠缠的影响8 2 1 引言8 2 2 混合自旋x y 模型，。9 2 2 1x y 模型叩9 2 2 2 数值结果- l0 2 3 自旋为1 的x y 模型1 2 2 3 1 自旋x y 模型1 2 2 3 2 数值结果j 13 2 4 结论。15 第三章各向异性x y 链的纠缠与量子相变1 6 3 1 量子重整化群方法16 3 2x y 模型l8 3 2 1x y 模型的重整化。18 3 - 2 2 纠缠分析2 0 3 2 3 非解析行为与标度行为：2 l 3 3 结论。：2 3 参考文献。2 4 在校期间完成的论文：2 8 致谢。：2 9 i i i 第章综述 第一章综述弟一早琼尬 量子纠缠作为一个重要的量子力学概念已广泛地应用于量子信息和量子计算中。最近 在凝聚态物理研究中发现，量子纠缠与量子相变之间存在密切的关系，也成为人们关注的 焦点。自旋系统中存在经典系统没有的量子关联一纠缠，人们会很自然地想到，利用多体 系统内部粒子之间的量子纠缠性质来理解量子相变现象【1 】。 1 1 自旋系统的量子纠缠 一维自旋系统含有丰富的纠缠特性，并且是精确可解的，因此在量子多体系统的研究 中，扮演着极为重要的角色，已被广泛地应用于量子信息的处理过程中。例如g i a m p a o l o 等提出用x x z 自旋链进行量子信息的存储方案【2 】；c h i a r a 等提出给予量子自旋网络的量 子克隆，不需要施加外部控制而仅仅依靠系统自身的性质来实现 3 】；2 0 0 2 年z h o u 提出利 用自旋链中的量子纠缠进行量子计算，2 0 0 5 年m o h e n i 提出自旋链中的容错量子计算 4 。 在量子通讯方面，2 0 0 3 年提出了一种利用耦合自旋链进行短程量子态传输的方案。它的方 案是用一条不加调制的h e i s e n b e r g 自旋链将发送方和接收方连接起来，然后通过自旋链自 身的动力学演化将量子态从发送方传输到接收方，完成了量子态的传输。在此基础上研究 人员又提出很多量子态传输方案，l i 等提出运用自旋梯子进行的量子态传输 5 】。同时在凝 聚态物理中量子纠缠有助于我们深刻理解量子相变现象。尽管自旋系统的量子信息获得了 广泛的关注，但仍有一些亟待解决的问题，例如对大自旋和混合自旋系统中的量子关联研 究的还不够充分，在凝聚态物理中，量子相变中复杂的临界性质还不够清楚。 量子纠缠是一种奇特而又非常复杂的纯量子现象，反映了量子理论本质的性质一相干 性和非定域性。对于量子纠缠的物理本质，从理论分析的角度来看，纠缠等价于关联的非 定域性；从量子信息论角度来看，纠缠的本质是量子关联中的信息。近几年来，由于量子 纠缠在量子通信中得到广泛的应用，在量子计算中，量子密钥等方面存在潜在的应用，对 它的研究也日益得到人们的重视。 量子纠缠最早是在1 9 3 5 年由e i n s t e i n 、p o d o l s k y 和r o s e n 注意到的量子力学特有的现象， 是量子力学不同于经典物理最不可思议的特征。e i n s t e i n 等人认为( 1 ) 量子力学对于“物理 实在”的描述是不完备的；( 2 ) 量子力学是不自洽的，问题的实质是涉及多粒子体系的纠 缠态概念的澄清，而在坐标表象中就表现为量子力学的“非定域性。在1 9 6 4 年，爱尔兰 物理学家b e l l 在其发表的一篇文章中从定域实在论出发提出一个不等式，这就是著名的b e l l 不等式 6 】。大量的实验结果表明，b e l l 不等式可以被破坏，从而否定了定域实在论，反过 来也就是验证了量子力学在本质上表现了空间非定域性。1 9 6 9 年，c l a u s e r 、h o m e 、s h i m o n y 和h o l t 推广了b e l l 不等式，得到了更易于为实验验证的b e l l 不等式形式，现称为c h s h 型的 b e l l 不等式 7 】。近3 0 年来，实验物理学家为检验b e l l 不等式进行了不懈的努力。为物理学 第一章综述 界所普遍认同的一个最具说服力的检验b e l l 不等式的实验是法国的a s p e c t d 、组在1 9 8 2 年做 出的【8 】。实验结果显示，b e l l 不等式被违背，从而推翻了决定论的局域隐变量理论。随着 实验技术的进一步发展，对b e l l 不等式的检测越来越接近理想的情况。为此，在1 9 9 9 年， a s p e c t 在著名杂志n a t u r e 上发表文章，对近几十年的实验进展专门做了回顾【9 】。奥地 利的z e i l i n g e r d 、组以及旅美华人科学家y h js h i 、z y q u 等人，在b e l l 不等式的实验检测 方面都开展了卓有成效的工作【1 0 】。 然而，对于量子纠缠的研究决不仅仅在于检验基本理论的完备性。随着量子信息科学 的开展，量子纠缠具有广泛的应用价值，已被用于量子密钥分配、量子浓缩编码、量子隐 形传态、量子纠错码、量子计算等领域1 1l ，1 2 】。因此对量子纠缠的深入研究无论是对于量 子信息的基本理论还是对未来潜在的实际应用都将产生深远的影响。 纠缠鸯 考虑二个由a 和b 两冬子系统构成的多体系统，多体系统所在的希尔伯特空间苛表示为 两个子系统希尔伯特空间的直积，即h 彳圆h b 。设i 缈) 一和l 矽) b 分别为描述子系统a 和b 的 纯态。如果多体系统的状态可以由一个纯态i 吵) 4 b 来描述，并且这个纯态可以写盛直积的 。i ) 一占= l 缈) 月o i ) 占， 则多体系统处于直积态。相反的，如果这个纯态i y ) 彳b 不能写成直积的形式，则量子态 i 妙) 爿口就是纠缠态。例如b e l l 态，也称之为e p r 态 i 缈) = 去( 卜) + 1 个个) ) 纠缠度 为了定量地描述子系统之间的纠缠程度，引入纠缠度的概念，所i r s q 缠度是指所研 究的纠缠态含有纠缠量的多少，对纠缠的度量是为了方便我们在不同纠缠态之间建立定量 的可比标准。就目前的研究而言，只对两体系统的纠缠度量取得了一定的肯定结果，对多 体纠缠的度量仍处于研究阶段，常用的纠缠度有，部分熵纠缠度、形成纠缠度、共生纠缠 度、v o nn e u m a n n 熵等，在这里我们介绍两种表示纠缠程度的方法。 共生纠缠度( c o n c u r r e n c e ) w o o r e r s 利用形成纠缠度的定义给出了一个能精确度量两粒子系统的纠缠度的方法。 设p 船为两自旋粒子系统的密度矩阵，首先定义自旋翻转密度矩阵算符为 几占= ( 仃，o o - y ) b ( 仃y 仃y ) ， ( 1 1 ) 其中，盯y 为泡利矩阵，即共生纠缠度( c o n c u r r e n c e ) 定义为 c ( n b ) = m a x 0 ，丑一五一乃一以) ， ( 1 2 ) 2 第一章综述 其中丑是算符尺= 尸彳口成口本征值的平方根，且按递减的顺序排列。 负值度( n e g a t i v i t y ) 对于自旋1 2 的系统，已经有了许多好的方法来研究，但对于混合自旋或高自旋系统， 因缺乏好的研究方法而没有得到很好的研究2 0 0 2 年，v i d a l 和w e m e r 提出了一种度量量子 纠缠的方法，用n e g a t i v i t y 的定义研究混合自旋或高自旋系统的热纠缠。通过密度矩阵 , o = e x p ( - p h ) z 描述系统的热平衡态，其中= 1 丁，为玻尔兹曼常数，为方便起 见令其为1 ，z = t r e x p ( - f l h ) 为配分函数。由于夕描述的是一个热平衡态，因此该纠缠 被称为热纠缠。根据部分转置方法定义n e g a t i v i t y ( p ) = z i , i ， f 其中鸭是转置密度矩阵夕五的负本征值，互是指对第一个子系统的部分转置。 1 2 有限温度纠缠 一个实际的自旋系统，一般不会处于零温基态，而往往是处在某个温度的热平衡态，研究 格点自旋系统在热平衡下的热纠缠性质对量子信息理论有非常重要的意义。自旋模型作为 重要的凝聚态物理模型，在量子信息和量子计算中有非常广泛的应用前景。因而自旋系统 的热纠缠研究得到了极大地关注。 1 9 9 8 年，n i e l s e n 在他的博士论文中以两相互作用自旋为例对热纠缠做了介绍【1 3 】；2 0 0 1 年，a m e s e n 、b o s e 和v e d r a l 对一维各向同性h e i s e n b e r g 链中热纠缠随温度及外磁场的变 化进行了详细的讨论，并且证明对于反铁磁链，在一定的磁场强度下，纠缠会随温度的增 加而减小 2 1 。之后，w a n g 在他的一系列论文中分析讨论了两自旋各向异性x x z 模型、 两自旋各向同性x y 模型、多自旋h e i s e n b e r g 模型、三自旋横场i s i n g 模型中相邻粒子间 的两体热纠缠 1 4 1 6 ；各向异性和非均匀外场对两自旋h e i s e n b e r g 链中热纠缠的影响 1 4 ，1 7 ，1 8 - 2 0 ，以及格点自旋为1 的自旋链中的热纠缠也被广泛地讨论 2 1 2 3 。混合自 旋系统也受到人们的关注，已经对混合自旋h e i s e n b e r g 系统的纠缠性质做了详细的研究。 对于各向异性x y 模型，仅仅局限在自旋为1 2 的系统，对于自旋为l 的系统，研究的还 不够充分。d m 相互作用对所研究的自旋系统的性质有重要的影响 2 3 ，2 4 。w a n g 研究了 具有d m 相互作用的两自旋的x x z 模型的热纠缠，发现d m 相互作用可以提高临界温度； z h a n g 研究了具有d m 相互作用的两自旋h e i s e n b e r g 模型的热纠缠和隐形传态，发现d m 相互作用可以提高纠缠和传输的保真度，g u r k a n 等对各种类型h e i s e n b e r g 自旋链进行了研 究，得出d m 相互作用是一种很有效的控制纠缠的参数。到目前为止，还没有关于具有 3 第一章综述 d m 相互作用的大自旋和混合自旋( 1 2 ，3 2 ) x v 模型热纠缠的研究。 1 3 零温纠缠 一般情况下，由于热力学涨落等诸多因素的影响，量子世界的很多奇妙性质会被掩 盖而不易让人察觉到。随着温度的降低，这些被热力学所掩盖的微观量子现象会更清晰地 向我们展现出来。量子相变现象便是其中之一，它是发生在绝对零度下不同于经典的一种 相变现象，完全是由量子涨落引起的。量子相变是当今凝聚态物理重要的研究方向，研究 量子相变具有很重要的现实意义，因为与零温量子临界点相联系的是一个特殊的区域，从 中可以观测到系统很多有意而深邃的性质，有助于理解凝聚态物理系统中更广泛范围内的 行为，例如高温超导体和二维电子气体，超流一绝缘体量子相变，以及量子霍尔系统中的 相变。 一维i s i n g 模型是一种简单的理论模型，量子相变中许多概念来源于此，所以我们有必 要回顾一下这个模型。 考虑由n 个格点组成的自旋链，每个格点上存在一个自旋，每个格点上的自旋只能取 向上或向下两个态，这样的自旋系统称为i s i n g 模型：外场中一维i s i n g 链的哈密顿量为 h = 砰吒。- g j z ， ， ( ) i ， 其中j 是交换相互作用，j 1 自旋呈有序排列，基态是自旋全部向右排列。当0 ，lj；?，i!；-，ijli，参，ii，去，l圭，兰，l三，丢 把哈密顿量对角化，其本征值和本征态分别为 五= 岛= 0 ，i 昕) = l 一三，一吾 ，i y ：) = i 三，吾) ， 驴厨拟) = c i - 哑d + u 卜料捌， 目= 厨批) = c 2 li 、 d 2 + j 2 一畔 性1 料 毛= 孚厮m ) = c 3 - 巫d + i d 防料 ， 尾= 竽廊以) = q - 留嘲帖1 孙 之= 孚厨m ) = g 需卜料 ， 毛= 孚厨m ) = c 6 i f d - i + 9 2 1 2 d + u 引一渤 ( 2 2 ) 以下利用n e g a t i v i 七y ( ) 的定义来研究此系统的热纠缠1 0 1 。通过密度矩阵 9 第二章d z y a l o s h i n s k i i - m o r i y a 相互作用对自旋x y 链热纠缠的影响 ；= e x p ( - p h ) z 描述系统的热平衡态，其中= 1 k b t ，k b 为玻尔兹曼常数，为方便起 见令其为1 ，z = t r e x p ( - f l h ) 为配分函数。由于p 描述的是一个热平衡态，因此该纠缠 被称为热纠缠。根据部分转置方法定义n e g a t i v i t y n ( p ) - l u , i ， ( 2 3 ) f 其中是转置密度矩阵p 正的负本征值，石是指对第一个子系统的部分转置。该系统的配 分函数和密度矩阵为 z = 2 ( a l + 口2 十码+ q ) ， ( 2 4 ) 其中 1 p 2 i 厶 ( 2 5 ) 吲一一h ( 孚一 ， 一s h ( 夕厨) ，6 l = 丽- ( j + i d ) 蛐降四) ， 6 2 = 面- ( j + 万i d ) s i i l l l ( 何万) ，6 4 = 丽- j + i ds i n h ( 府了) ， ( 2 6 ) 毛= 券幽h ( 孚一) 。 由n e g a t i v 时的定义可以得到这两个自旋之间的纠缠为 = m a x 0 ( 口l + 吗一厄而) ，z + m a x 。，( 一吒+ 瓜) z 亿7 ， 2 2 2 数值结果 由方程( 8 ) 可以看n e g a t i v i t y 为参数d 、和丁的函数，图2 1 描述了在温度 t = o 1 时，热纠缠随d 和j 的变化关系。分析方程( 8 ) 得到是，和d 的偶函数，在 d 专一d ，一一j 时，两粒子之间的纠缠度是不变的。当d = 0 时，两粒子之间的热纠 缠的大小取决于交换耦合相互作用，热纠缠随着的增加而增加，并且交换耦合相互作用 l o o 0 0 0 0 0 0 q o 0 o 饥0 0 吒0 o o 岛o o 呜d 0 o 岛o o吼o 0 0 o o o q旷0玩o o o呜田o氏o o o 吒o o以oo o q 0 0 0 o 0 o o 第一章d z y a l o s h i n s k i i - m o r i y a 相互作用对自旋x y 链热纠缠的影响 足够大时热纠缠会达到一个稳定的值。当d 变大时，系统的热纠缠也增大，就是说d m 相 互作用能增强系统的热纠缠，可以通过改变d 来调节系统的纠缠度，而且足够大时可以使 热纠缠达到一稳定值。同样图2 2 给出了d = 1 时，纠缠度随j 和r 的变化关系，可以 看出变为一，时，两自旋之间的纠缠度是不变的，也就是说，对于柏模型，无论是铁磁 还是反铁磁系统都存在热纠缠。这与形5 z 模型不同，对于船r z 模型，当d = l 时，反铁磁系 统存在热纠缠而在铁磁系统中不存在热纠缠，只有d 取值较大时才存在热纠缠。系统的温 度升高时纠缠度变小，温度为零时系统处于基态，纠缠达到最大值；两粒子之间的交换耦 合相互作用，变大时纠缠也随之增大。 图2 1r ：0 1 时，热纠缠随d m 相互作用d 和交换耦合相互作用，的变化 图2 2d = l 时，热纠缠随交换耦合相互作用和温度r 的变化 图2 3 给出了= l 时，随温度r 的变化趋势。可以看出，随着温度的升高，会逐 渐地变为零；系统的温度比较高时，要达到相同的纠缠度就需要更强的d m 相互作用；对 于给定的d m 相互作用，存在一临界温度z ，当丁 t 时，热纠缠为0 。对于不同的d ， 临界温度i 会随着d 的增大而增大，所以它能提高系统的临界温度在零温附近，温度升高 第二章d z y a l o s h i n s k i i m o r i y a 相互作用对自旋x y 链热纠缠的影响 时纠缠度减小的比较快，说明温度对纠缠度的影响较大。当t = 0 时，根据系统的能量越 z 图2 3 对于不同的d 1 4 相互作用，热纠缠随温度的变化( 厂= 1 ) 低越稳定的原则，通过比较系统哈密顿量的本征值可以得到，无论，和d 取何值，毛始 终是最小值，l y 3 ) 是基态，即系统的基态为纠缠态，这时纠缠度取最大值。也就是说在零 温的情况下，系统的态矢量始终为l 少3 ) ，不会发生量子相变。 2 3 自旋为1 的腰模型 2 3 1 模型 本节研究具有d m 相互作用的两点( 1 ，1 ) 朋自旋模型，其哈密顿量可写为 日= 虹譬殴+ 墨y y 。p ( 譬戳。一殴。) ， ( 2 8 ) s 工= ：茜 三三 ：；j ，= 击 三亨丢 为研究自旋为1 的两粒子热纠缠，首先对哈密顿量进行对角化，其本征值为 巨= 易= 毛= 0 ，e = 色= 一d 2 + ，2 ， 乜= e 7 = 4 d 2 + 2 ，乓= 一d 2 + 2 ， ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 1 2 第- 章d z y a l o s h i n s k i i m o r i y a 相瓦作用对自旋x y 链热纠缠的影响 = i 一，) ，= l 2 一面- d + j i1 1 ，_ 1 ) 州i ，) ) ， i y ，) = 1 1 ，1 ) ，y 。= 厶i 、d 2 + j 2 i 。，一1 ) + i 一1 ，。) ， = 厶f _ 需i 、d 2 + j 21 1 ，0 ) + l o ，) ) ， 阮) = 斗需i 4 d 2 + j 2i o ，_ 1 ) 州i ，o ) ， 拓) = 一留1 1 ，0 ) + l o ，) ， 妣 一筹1 1 ，- 1 ) 一筹i 、f 2 4 d 孚2 + j 2 i 一篇1 1 ，_ 1 ) + 蜉i o ，o ) + o ，o ) + 厶，厶厶分别为量子态l y 2 ) ，l ) l 蜘) 的归一化系数。由以上的本征值和本征态，可 以求出温度为t 的两粒子之间的密度矩阵，进而得到自旋为l 的两粒子间的纠缠度，由于 纠缠度表达式比较繁琐在这里没有给出它的具体形式。 2 3 2 数值结果 由于纠缠度为d 、丁三个参量的函数，改变其中任何一个参量来调节系统的 纠缠度。在图2 4 中我们给出了t = 0 1 时，系统的纠缠度随d 和，变化的数值结果。 因为是d m 相互作用d 和交换耦合相互作用的偶函数，在d 专一d 或者，j 一，变 化下，热纠缠是不变的，所以对于自旋为l 的x y 模型，无论是铁磁还是反铁磁两自旋之 间的纠缠是相等的，当d = 0 ，即系统不存在d m 相互作用时，纠缠的大小取决于交换耦 合相互作用j ，它随着i ，i 的增加而增加；当d 0 时，纠缠随着l d l 的增加而增加，并且当 d 和，值足够大时， ， ， 、lrj、lrj 、 l ，l ， ， l l 一 一 第_ 章d z y a l o s h i n s k i i m o r i y a 相瓦作用对自旋x y 链热纠缠的影响 图2 4 热纠缠随d m 相互作用和交换耦合相互作用，的变化关系( t = 0 1 ) 它们都能使纠缠度达到一个稳定的定值。由此可以得出结论：当j 比较小时，可以通过增 大d 来提高系统的纠缠度，当d 较小时，可以通过加大，来提高纠缠度，可见通过调节 交换耦合相互作用，和d m 相互作用d 的大小，可以有效的控制系统的热纠缠。 z 下 图2 5d m 相互作用不同时，热纠缠随温度的变化( ，= 1 ) 为了分析d m 相互作用对系统临界温度的影响，在图2 5 中我们给出了 d = 0 ，0 5 ，1 ，1 5 时，随温度变化关系。可以看出，d m 相互作用的引入提高了系统的临 界温度，这一点与混合自旋链的结果相同。同样对于自旋为1 的x y 模型，d 能提高系统 的纠缠度，而温度降低纠缠度。比较图2 5 和图2 3 可以看出，在相同的情况下，自旋为1 的系统的临界温度要比混合自旋系统的临界温度高。系统的温度t = 0 时，其能量 e = e 5 = 最= - , , d 2 + ，2 是最小值，即态矢量l 甄) ，i 5 ) 和l 眇8 ) 都可能是基态，也就是 说基态是三重简并的。比较图1 和4 可以看出，在相同的情况下自旋为1 的两粒子之间的 纠缠要比混合自旋两粒子之间的纠缠小。同样当改变d 和，时基态不会发生改变，因而对 于自旋为1 两粒子系统也不会发生量子相变。 1 4 第_ 章d z y a l o s h i n s k i i - m o r i y a 相瓦作用对自旋x y 链热纠缠的影响 图2 6 热纠缠随d m 相互作用d 和温度7 的 变化关系( j = 1 ) 图2 6 描述了交换耦合相互作用j = 1 时，纠缠度随着d 和丁的变化关系，可以看 出：当d = 0 时，系统的纠缠度的大小取决于温度，它随着温度升高而降低直至减小为零， 这是因为粒子的热涨落掩盖了量子涨落使自旋之间的纠缠趋向于零：在d o 时，系统纠 缠度的大小取决于d 和丁。由于纠缠度是，的偶函数，对于铁磁的情况我们会得到相 同的结果。以上表明可以同时调节系统的温度丁和d m 相互作用d 来改变纠缠度的大小。 2 4 结论 本文研究了d m 相互作用对自旋为1 和混合自旋( 1 2 ，3 2 ) 朋幞型中热纠缠的影响，得 到了一些有意义的结论：对于臌型，在确定的温度下，它能够使热纠缠达到一稳定值， 当系统的温度比较高时要达到这一稳定值需要更强的d m 相互作用；无论是自旋为1 还是混 合自旋( 1 2 ，3 2 ) x y - 模型，系统的临界温度都会随着它的增大而升高；还发现在相同的温 度下，自旋为1 的两粒子之间的热纠缠要比混合自旋两粒子之间的热纠缠小。通过调节这 种相互作用和交换耦合相互作用，可以有效的控制热纠缠，本文对热纠缠的控制和提高具 有一定的参考价值。 第三章各向异性x y 链上的量子相交与纠缠 第三章各向异性x y 链上的纠缠与量子相变 重整化群方法是1 9 8 2 年由w i l s o n 从场论引入到相变理论中的，是一种能保持配分函数 不变的对称变换，这些变换的集合构成一个数学上的群( 半群) ，称为重整化群。重整化 群变换分为两个步骤，首先进行粗粒变换( 标度变换) 以缩小分辨率。然后进行重标变换以 恢复到与原来模型一致。对于不同的问题，可选择不同的变换方法，常见的重整化变换有： 格点消约，格点一块方法和梅格达尔一卡丹诺夫键移 5 4 。一个系统的临界性质，不依赖于 系统在短距离内的详情细节，而只依赖于长程特性，即长波涨落，这就意味着我们可以采 取粗粒化步骤将一些短距离内的细节平均掉，而只保留大尺度范围内的自由度。量子重整 化群方法就是把系统的高能涨落积分掉，只保留系统的低能部分，求出耦合常数随标度的 变化 5 5 。由系统的低能本征态构造投影算符，在投影算符的作用下得到的有效哈密顿量 和原哈密顿量形式相似，重复此过程，就得到我们需要的重整化方程。近几年来，在研究 自旋系统的量子相变时发现，基态纠缠在临界点处显示了标度行为和非解析行为等，可以 作为一个序参量来描述系统的临界性质【3 3 】。 3 1 量子重整化群方法 量子重整化群方法，首先是对系统哈密顿量h 进行对角化 日i 沙) = e i 少) ， ( 3 1 ) 其中i ) 是希尔伯特空间h 的一个基矢，如果系统有个格点，每个格点有k 个可能的态， 那么希尔伯特空间h 的维度为 d i m h = k ，( 3 2 ) 在h u b b a r d 模型中k = 4 ，b j 模型中k = 3 ，h e i s e n b e r g 模型中k = 2 。当非常大时，人和 计算机能力已很难实现系统哈密顿量的对角化。但对于一维可积模型，可以找到多种近似 方法使系统的哈密顿量对角化，重整化群方法便是其中的一种。重整化群方法的主要思想 是通过迭代的方法降低系统的自由度，这样系统哈密顿量的低能频谱就可在重整化群的过 程中得到描述。 ( 1 ) h ：原系统的希尔伯特空间。 ( 2 ) h ：有效自由度的希尔伯特空间： ( 3 ) 月：作用在h 的哈密顿量。 ( 4 ) h ：作用在h 的哈密顿量。 日与日有共同的低能部分，它们有如下关系( 丁为投影算符) h t = t h ， ( 3 3 ) 上式表明如果沙是h 的一个本征态，则t g 就是h 的一个本征态而且它们具有相同的本 征值 1 6 第i 章各向异性x y 链上的量子相变与纠缠 h t v = t h 矽= e t v ， ( 3 4 ) 为了不使t v = 0 ( 沙0 ) 要求， r t = 1 w ， ( 3 5 ) 那么 y = t v jy = t + 沙， ( 3 6 ) 丁的作用就是使对应希尔伯特空间日变为h 。通过下面的表达式可以看出h 的全部能 谱只是日能谱的一部分( 系统的低能部分) g = l e