（基础数学专业论文）半序方法在banach空间微分方程中的应用.pdf

半序方法在b a n a c h 空间微分方程中的应用 郭林 摘要 随着人们对自然界认识的不断深入，已逐渐认识到非线性科学在数学、物理学、 化学、生物学、医学、经济学、工程学、控制论等科学领域的重要性，特别是近年来， 人们认识到在有限维空间中，系统产生混沌的本质原因是非线性目前，非线性泛函 分析已成为现代数学中的一个重要分支，并在其它分支中发挥重要作用，非线性泛函 分析是处理非线性同题的重要有力的工具，尤其是处理应用中出现的大量微分方程中 发挥不可替代的作用在非线性泛函分析中，用锥理论( 半序法) 来处理方程是直观而 又实用的方法，并和拓扑方法相结合有力的推动了现代非线性泛函分析的发展在这 方面，以郭大钧教授为代表的学派在锥拉伸锥压缩不动点理论，上下解理论，抽象空 间微分方程理论，抽象空间脉冲微分方程理论上取得了辉煌的成就 非线性泛函分析理论能够成熟的运用于解决非线性微分边值问题中去，并把解的 存在性转化为某个非线性算子的不动点存在性这一方面的问题实在太多，如抽象空 闽微分方程初值问题，边值问题，抽象空闯脉冲微分方程初值问题，边值问题，s t r u m l o u v i u e 奇异边值问题，奇异( k , n - k ) 微分边值问题 在本文中，我们主要应用非线性泛函分析中的半序理论，非紧性测度理论，非紧 算子的不动点理论，正规锥和正则锥的特殊性质对一些非线性边值问题进行了讨论， 全文共分二章 在第一章中，讨论了抽象空间的微分边值问题解的存在性，主要讨论了四个问题 ( 1 ) b a n a c h 空间一阶边值问题 这里 烹篡攀剐。b 。u ，c jx e z ，明，j = 【o ，l 】 t ( t u ) ( t ) = ，七( t ，s ) “( s ) d 5 0 1 ( 乳) ( 幻= ，h ( t ，。“( s ) 由 山东大学博士学位论文 二：，：=。f，(。t,，u。,，u：,t卢u。,，。s。u，)j v t j 巨三篡砷) ，托一 ， 竺：篡篓v te 二 ( 弛) ( 。) = t k ( t ，s ) d s , v te 五 主要建立了一个比较定理，单调迭代方法，并运用非紧性测度理论得到解的存在 性 在第二章中，首行运用z o r n 引理讨论了一般非紧算子的不动点存在性，我相信，这 些理论在今后讨论各种微分方程中一定有用武之地的其次运用正则锥的特殊性质， 讨论了一类s t r u m - l o u i l l e 奇异边边值问题，简化了有关这类问题的条件，并使证明更 加简明，最后讨论了一类高阶边值解的存在性，在这里半序方法和和拓扑度理论都得 到了运用，并改进了相应结果 关键词：锥；上下解；边值问题；不动点 1 1 o r d e rm e t h o d sa n di t s a p p l i c a t l 0 n t o d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i nb a n a c hs p a c e g u o l i n a b s t r a c t w i t ht h ed e e p g o i n gk n o w i n gt ot h en a t u r a lw o r l d ，p e o p l eh a v eg r a d u a l l yr e a l i z e dt h a t n o n l i n e a rs c i e n c ei sp l a y i n g v e r yi m p o r t a n tr o l eo nt h e f i e d l d si n c l u d i n g m a t h e m a t i c s ，p h y s i c s ， c h e m i s t r y , b i o l o g y , m e d i c i n e ，e c o n o m i c s ，e n g i n e e r i n g mc y b e r n e t i c sa n d s oo n e s p e c i m l yi n r e c e n ty e a r s ，p e o p l ed i s c o v e rt h a tn o n l i n e a ri sj u s tt h ek e yw h i c h p r o d u c e s c h a o s a tp r e s e n t ， n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sh a sb e e nav e r yi m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e mm a t h e m a t i c s ，a n d a l s oi ti sp l a y i n gv e r ys i g n i f i c a n tr o l ei no t h e rb r a n c h e s n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sh a s b e e nb e c o m eam u c hm o r ei m p o r t a n tt o o lf o rd e a l i n gw i t hm a n yn o n l i n e a rp r o b l e m s i ti s a l s oa ni m p o r t a n tm e t h o df o rs t u d y i n gt h en o n l i n e a re q u a t i o n sa p p l i e dm a t h e m a t i c s w h i l e i nt h en o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s ，d e a l i n gw i t he q u a t i o n sw i t ht h et h e o r yo fc o n ei sa v i s u a la n dp r a c t i c a lw a ya n di ti si n t e g r a t e dw i t ht o p o l o g i em e t h o dt op u s ht h ed e v e l o p m e n t o fm o d e r nn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sf o r w a r dp o w e r f u l l y p r o f e s s o rg u od a j u ni st h e r e p r e s e n t a t i v eo f t h i sx c h o o lo ft h o u g h ，a n dt h e yg a i ng r e a ts u c c e s si nf i x e dp o i n t s o fd o m a i n e x p a n s i o na n dc o m p r e s s i o nt h e o r y , d e g r e et h e o r y , d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si na b s t r a c ts p a c e ， i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n si na b s t r a c ts p a c e ，l o w e r - u p p e rs o l u t i o n st h e o r ya n d s oo n t h et h e o r yo fn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n m y s i sc a nb ew i d ea p p l i e dt on o n l i n e a rb v p s a n di tc a nc h a n g et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n si n t of i x e dp o i n t se x i s t e n c eo fs o m en o n l i n e a r o p e r a t o r i nc o m e s op e o p l eb e g i nt oc a r r yo nr e s e a r c ho n c o m p a c t w e a k c o m p a c t ，c o n t i n u o u s ， s e m i c o n t i n u o n s ，r e g u l a rc o n e ，n o r m a 。lc o n ea n df u l l yr e g u l a r c o n eo fo p e r a t o r i nt h i sf i e l d ，t h e r ea r es om a n yp r o b l e m s ，s u c ha si v p s ，b v p so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n a b s t r a c ts p a c e ，i v p sa n db v p so fi m p u s i v ee q u a t i o n ，t h es i n g u l a rb v p so fs t r u m - l o u v i l l e i nr s p a c e ，s i n g u l a r ( k ，n - k ) o fd i f f e r e n t i a lb v p s ，a n ds oo n i nt h i sp a p e r ，w ea p p l yt h e o r yo fo r d e r i n g ，m e a s u r eo fn o n c o m p a c t n e s s ，f i x e dp o i n to nn o n - c o m p a c to p e r a t o ra n d n a t u r eo fr e g u l a rc o n ea n dn o r m a lc o n et os t u d ys o m en o n l i n e a rb v p s m e a n w h i l ew e g e tt h er e s u l t so f t h ee x i s t e n c eo f 缸e d p o i n to nn o n c o m p a c t a n dn o m n o n o t o n e o p e r a t o r i nc h a p t e r1 ，w ed i s s c u s st h ee x i s t e n c ej o fs o l u t i o n so i lb v p so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n t h ea b s t r a c ts p a c e t h e r ea r em a i n l yt h r e e q u e s t i o n s 1 1 1 山东大学博士学位论文 嘉，三：冀：二( t ) ( s t ) ( ”) ，t ， ，c j e a ，司，j = o l j ( t u ) ( t ) = f 女( t ，s ) ( s ) d 5 0 1 ( s u ) ( t ) = ，h ( t ，s ) t ( s ) d 8 暑 _ ) ，垤j ， ：三：二：二2：?：y：t。e。!： ( 乳m ) _ z 。砟，啪啪z 山东大学博士学位论文 i nc h a p t e r2 ，f i r s tw ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo ff i x e dp o i n t so i ln o n c o m p a c to p e r a t o rb y a p p l y i u gz o r n 8l e m m a w e b e l i e v et h e s et h e o r i e dw i l lb ea ni m p o r t a n tm e t h o do nd e a l i n g w i t ha l lk i n d so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s n e x t ，w ed i s c u s st h es o l u t i o no fs t r u m l o u v i l l e s i n g u l a rb v p sb ya p p l y i n gt h ef i x e dp o i n t st h e o r yo fi n c r e a s i n go p e r a t o r so nt h en o r m a l c o n e t h i sw a yc a ns i m p l i f yt h ef a c t o ra b o u tt h i sk i n do fq u e s t i o n sa n dm a k e p r o v i n gm o r e s i m p l e a n d l a s tw e s t u d ym u l t i p l es o l u t i o n so ns i n g u l a r ( k ，n k ) b v p s a n db o t ht h eo r d e r i n g m e t h o da n d t o p o l o g i c a lm e t h o da r ea p p l i e da n dt h er e l e v a n tr e s u l t sa r ei m p r o v e d k e yw o r l d s ：c o n e ；u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ；f i x e dp o i n t s v 前言 随着人们对自然界认识的不断深入，已逐渐认识到非线性科学在数学、物理学、 化学、生物学、医学、经济学、工程学、控制论等科学领域的重要性，特别是近年来， 人们认识到在有限维空间中，系统产生混沌的本质原因是非线性目前，非线性泛函 分析已成为现代数学中的一个重要分支，并在其它分支中发挥重要作用，非线性泛函 分析是处理非线性问题的重要有力的工具，尤其是处理应用中出现的大量微分方程中 发挥不可替代的作用在非线性泛函分析中，主要方法有半序方法，拓扑方法，变分 方法其中，用锥理论( 半序法) 来处理方程是直观而又实用的方法，并和拓扑方法相 结合有力的推动了现代非线性泛函分析的发展在这方面，以郭大钧教授为代表的学 派在锥拉伸锥压缩不动点理论，上下解理论，抽象空间微分方程理论，抽象空间脉冲 微分方程理论上取得了辉煌的成就 非线性泛涵分析理论能够成熟的运用于解决非线性微分边值问题中去，并把解的 存在性转化为某个非线性算子的不动点存在性这一方面的问题实在太多，如抽象空 间微分方程初值问题，边值问题，抽象空间脉冲微分方程初值问题，边值问题，s t r u m - l o u v i l l e 奇异边值问题，奇异( k , n - k ) 微分边值问题 在抽象空间微分方程方面，人们研究的多限于初值问题( 1 】_ 8 】) ，周期边值问题 但是，抽象空间微分方程的边值问题是多种多样的由于一般抽象空间没有序结构， 在引入半序过程中，过于一般的边值问题用半序方法解决就有困难，主要是找不到相 应的微分不等式因此，我们选择了三个倍边值方程： ( 1 ) b a n a c h 空间一阶边值问题 m 篡? “刚( t ”肌l ， 这里 ，c g e 3 ，司，j = 0 ，1 ( t u ) c t ) = ，( t ，s ) u ( s ) d s o ( s t ) ( ) = ，h ( t ，s ) u ( s ) d s 0 二：，：=。f，(。t,，u。,，u：,t卢u。,，s。u，)vtt， b 罴攀 i 蚝， ， 对于一般非紧非单调算子，不动点存在定理很少，这里受孙经先教授增算子不 动点定理( 9 】1 【2 9 ) 启发，也使用了z o r n 引理，得出了非紧非增一般算子的不动点存在 性当然，对于减算子也适用这一类定理推广了正则空间上的增算子不动点定理 具有一定的理论意义，相信随着人们认识的深入，这类定理在应用上有广阔的应用前 景 半序理论的内容是博大精深的，鉴于作者水平所限，本文只是管窥其一二，深入 的工作有待继续研究 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律责任由本人承担。 - - - - wf 论文作者签名： 鲤盟 日期：逮竺三! 生! 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：二雠导师签名： 论文作者签名： 媛堑导师签名： 符号说明 ( 1 ) p + ：通常表示p 的对偶锥，即 p + = ，：，e + ，且，( z ) 0 ，v z p ) ( 2 ) 阻，” ：一般指对于一个锥而言的序区间 “，u = z i “5x 墨口) ( 3 ) 。m ) ：若z ( t ) 是实区间【o ，6 】到b a n a c h 空间e 的映射，则 z 协) = l i m 。盟掣 如果上面极限存在 ( 4 ) a ( z ) ：指算子a 在z 点的f 1 r e c h e t 导算子： 扛+ h ) 一a x = a 扛) + u ( 石， ) 其中u ( 。，h ) = o ( h ) ( 5 ) d e g ( f ，q ，p ) ：表示凝聚( 包括严格集压缩，全连续) 映射的l e r a y s c h a u d e r 度 o ( s ) ：表示一个集合占e ( e 是一个b a n a c h 空间) 的非紧性测度，详见第一章 第一节 第一章b a n a c h 空间中微分边值的几个问题 1 1 引言及预备知识 对于抽象空间微分方程，人们的讨论多限于初值问题和周期边值问题，本章讨 论抽象空间微分边值的三个问题和高阶初值的一个问题其中第一节是预备知识，对 于抽象空间微分方程，人们的讨论多限于初值问题和周期边值问题，本章试图讨论一 类不同于已往常见的周期边值问题，并且讨论了一类高阶初值问题第二节讨论一类 一阶边值问题，它是一般周期边值问题的一般化，已经被”山东大学学报”录用第 三节讨论一类二阶边值问题，已发表在”应用泛函分析学报”第四节讨论了一类脉 冲一阶边值问题的解存在性，已经被”应用泛函分析学报”录用第五节讨论了高阶 初值问题。这几个问题都是以前没有讨论过的或较少讨论的 ( 参照【1 一【8 】，) 本节预备 知识主要参照文献( 【9 】1 1 0 ) 设e 是一b a n a c h 空间，p 是e 上的一个锥，从而确定了e 上的半序关系如 下 z y 营y 一$ p 定义1 1 1 p 是正规的是指存在常数，使得 0 z y 辛1 1 = 1 is n l l y i 定义1 1 2p 是正则的是指任意按序上升的有界点列都收敛，即 z 1 z 2 sz n5 sy 便有矿使 撬慨一z + i l = 0 引理1 1 1 若p 是正则的，则p 是正规的 定义1 1 3 设s 是e 中的有界集，令 h q ( s ) = i n “6 0 ：s = u 最，d i a m ( s k ) 墨占 k = 1 1 山东大学博士学位论文 显然， 0 n ( s ) 。 。( s ) 叫做s 的k u r a t o w s k i 非紧性测度，简称非紧性测度， 引理1 _ 1 2 非紧性测度具有下面性质( s ，t 表示e 中有界集，a 表实数) ( 1 ) a ( s ) = 0 甘s 是相对紧集 ( 2 ) s t = o ( s ) ( t ) ( 3 ) a ( s ) = a ( s ) ( 4 ) o ( sut ) = m a x a ( s ) ，n ( t ) ) ( 5 ) a ( a s ) = i o i a ( s ) ，其中a s = z ：。= o 毛z s ) ( 6 ) a ( s + t ) o ( s ) + n ( t ) ，这里s 十t = 。：。= y + z ，y s ，z t ) ( 7 ) o ( 百6 s ) = a ( s ) ( 8 ) l a ( s ) 一o ( t ) is2 d a ( 最t ) ， 其中d h ( s ，t ) 表示集s 和t 之间的h a u s d o r f f 距离，即 d h ( s , t ) = m a x s u p d ( z ，t ) ，。s ；s u p d ( x ，s ) ，x t ， 这里d ( ，) 表示点到集的距离 引理1 1 3 设h c g e 】是有界的，等度连续的，则o ( 日( t ) ) 在，上连续，且 砥z 坤) d t ：xe 驯z a ( 即) 灿 引理1 1 4 ( a s c o l i - a r z e l a ) 集日e 【j ，e 】是相对紧集的必要充分条件是：h 是 等度连续的，并且对每个t j ，集h ( t ) 是e 中的相对紧集 1 2b a n a c h 空间中一类一阶积分一微分方程边值问题的解 。：，三：二( t ) 1 ( s u ) ( t ) ) i t t ， c z ， 山东大学博士学位论文 这里 这里 ，c j e 3 ，e i ，j = 0 ，l ( t u ) ( t ) = ，k ( t ，8 ) u ( s ) d s ( 舰) ( t ) = ，h ( t ，s ) u ( s ) d s k ( t ，s ) c d ，r + ，d = “t ，8 ) j 工t s ) h ( t ，8 ) c j j ) r + ，r + = 0 ，+ o 。) ( 1 2 2 ) 在( 1 2 2 ) 中，若卢= 1 ，则是周期边值问题，已有已知若干结果 8 卜一 1 2 若0 0 因 ( 1 ) 肋( o ) ，显然7 1 0 于是r ( 0 ，1 设 m i n v ( t ) ，t j ) = ( 叼) 显然”h ) 0 否则由( 1 2 6 ) 知 ( t ) 在j 上递减，这与口( 1 ) 2 伽( o ) 矛盾设”( 罚) = 一a 0 ，分两种情况讨论 情形一： t o 【0 ，7 1 】 则有 咖一( 褂p d t _ 0 设 m i n v ( t ) i t 以= 一a ， 若a 0 ，则v t j 都有 ( t ) 0 ，由( 1 3 6 ) 便知道 协) 0 ，从而 ( t ) 是减函数，故 v ( 0 ) ”( 1 ) ，这与 ( 1 ) 触( o ) 矛盾所以a 0 设”( t 1 ) = 一a ，下面分两种情况讨论 之 情形l 若0 t l t o ，则有 0 ( t o ) = v ( h ) - t - u ( t ) d t j t l ，t 1 与( 4 ) 式矛盾 情形2t o t 1 1 ，则 再由v ( t ) 一a ，可得 口 一 卢 t o o ( t ) +( ) + ) ， + ) ， jjt j t 由卢 l ，可知 卢( z “ t n 。( t ) + 。( t ) + 6 ( t ) ，。( 厶s ) d s + c ( ，1 ( t s ) d s ) d 1( 1 3 7 ) 注意到 z a r ，ec t ，s ，d s = i t s k c t ，s ，a s z 1 a r 1 n c t ，s ，d s2 z 1 n 。，s ，a s m 哪 ， 打 厂，如 啪 ，上 打 ， 吣 “ + 一 n 0 m 虮 m + 曲 s r 几啪 一 “ 州序 = 一 ” 山东大学博士学位论文 ( 1 3 7 ) 与( 1 3 4 ) 矛盾，于是v t z ( t ) s 日，由g p + 的任意性知g ( t ) 茎口- v t i ，从而 p ( t ) 在，上是非增的，再由p ( o ) = 0 便有p ( t ) 日，v t j 引埋1 3 - z “。【j ，刨苊甘v 1 - 1 日j 趔【1 0 1j ，【1 j 2j 利胖，耆且仪当u 悬卜回仪 分方程的解 u = 寿z 1 ，( s , u , u ，, t u , s u ) d s + o ( t 叫，( 5 ，“，u ，巩圳d s j v t t ， ( 1 3 8 ) 证明若c 2 司是( 13 8 ) 的解，容易验证u ( t ) 是( 1 3 1 ) ，( 13 2 ) 的解 反过来，c 2 工司是( 1 3 1 ) ，( 1 3 2 ) 的解，便有 坤) = 知州s = z 2 u ，( 0 ) + p 叫出 = t u ( 。) + z 。d s z 5 ，。，u ，u ，t u ，s u ) d t = “( 0 ) + z 。( 叫m ，刚，t u ，删d s 县一肯而同栏 序( s , u , u , t u , s u ) d s z 1 州叫，u ，郴州s 再由u ”) = 卢“( 0 ) 既得( 1 3 8 ) 引理证毕 考察e 中的线性b v p ：) ! ：篓：，：。“，( 旬一6 。) ( t u ) ( 一c 。) ( s t ) ( + 口。) c s 。， 由引理( 1 32 ) 立即得到： 1 2 山东大学博士学位论文 引理1 3 3u ( ) c 2 捌是( 1 3 9 ) 的解，当且仅当“( t ) c 1 e 是下面线性积 分方程的解： 这里 且 “= 两tz 1 a - - a o l t - - a l u - - b t u - c s u ( s ) d s + z ( t 叫p - - a o u - - ( f l u i - - b t u - c s 啪) 眠j ( 1 3 1 。) 现定义算子f 为 ( 州= 古z 1 a - a o u - a l u ，- b t u - c s u m ) d s + 瓜- s ) p 咖u - a l u - b t u - c s u ( s 冲( 1 3 1 1 ) 引理1 3 4 ( o ) f 是c 1 m 司到自身的线性算子，且 0 f u f v l h - r l l u 一训1 1 ，v u ，”c 1 【正层】 ( 1 3 1 2 ) u i j l = m a x m a x l l “( t ) i ，m a x i l u ( t ) i i ，t j ) 7 = 舟z 1 0 0 圳川z 。坤，s ) d s 俐小灿柚 ( b ) 若7 1 即 南胁仙+ 6 肛如灿删z 1 琊，s 灿 ( 1 s 1 3 ) 则f 在c 1 捌中有唯一的不动点，即( 1 3 9 ) 有唯一的解，它由口( t ) 所确定 证明 f u f v = f ( u 一 ) = f h ，( h ( t ) = u ( t ) 一 ( t ) ) = 寿z 1 a o h + a l h + b t h + c s h 】( s 灿 5 ) f o o + a l h 7 + b t h + c s h ( s ) d s 1 3 山东大学博士学位论文 取范数 古咖m ) + m 胁，s ) d s + c z 1 蛳，s 胁冲川酬。 + z 1 。( t ) + n ( t ) + 6 ( t ) z 。女。，s ) d s + c ( t ) z 1 ( ，s ) d s d t 1 1 l l 。 若7 o ，( 玩) 便 满足而o ，卢，7 ，j 充分大时，( 1 3 4 ) ，( 1 3 1 3 ) 都成立，于是由定理1 3 2 知( 1 3 i s ) 至少 有一个解日“t u o 1 4b a n a c h 空间中一类一阶脉冲积分一微分方程边值问题的解 1 9 山东大学博士学位论文 这里 并且 本节考虑如下边值问题 象 = 巾，u ( t ) ，( t u ) ( t ) ，( s u ) ( t ) ) ，t j “l k “= 厶 u ( “) ，i = 1 ，2 ，m “( 1 )= 卢u ( 0 ) ，卢 1 ，c j e 3 ，明，j = 0 ，1 五t i e ，司，j = 八 o l ，t 2 ( t u ) ( t ) = k ( t ，s ) “( s ) d s ( 刚= 坤，s ) u ( s ) d s t m ) k ( t ，8 ) c d ，兄+ ，d = ( t ，8 ) ejx 工t s ) h ( t ，s ) c j 工兄+ 】，冗+ = 0 ，。) a u i t ：“= u ( 露) 一u ( i ) ( 1 4 1 ) 在( 1 4 1 ) 中，若卢= 1 ，则是周期边值问题，已有已知若干结果。【3 】，m 1 3 ， 1 4 】 若0 卢1 ，则可用代换f = 1 一t 化为卢 1 的情形 设p c i j , 明= u ：j _ 研( 其中u 在t t k 处连续) ，则p c i j , e 】在范数 | | = s u “u ( t ) ，t n 下是一b a n a c h 空间 若p c j , e 】nc 1 ，e 】满足( 1 4 1 ) 就称( 1 4 1 ) 的一个解 山东大学博士学位论文 其中 则当 引理1 4 1 设p ( t ) c 1 【j ，e 】n p c i j ，e 】满足条件 篓，ii：。一6tt_t一cts-t，tj e ，a z ， o ( ) ，6 ( t ) ，c ( t ) g 正_ r + ，l i 0 时，p ( t ) s 口( 这里0 是e 的零元) 证明对v g p 。，令 ( t ) = g 由( t ) 】，因此 且 于是我们有 ( ) c 1 【j r 】n p c i j , r i 口= g f ( t ) 】，g 【( 了) ( t ) 】= ( t 口) ( ) ，9 【( 却) ( t ) = ( 舶) ( t ) ( ) - a ( t ) v ( t ) 一6 0 ) ( t 口) ( ) 一c 0 ) ( 5 ) ( # ) ，t ， a v ( t i ) - l i v ( t i ) v ( 1 ) f ，v ( o ) t i g i 正n ( t ) 冬o ，v t j 假设u ( t ) 茎0 ，t j 不成立不妨假设 m a x ( t ) ，t = v ( r 1 ) 0 2 1 ( 1 4 3 ) ( 1 4 4 ) dsdst z c + sds “ 厂 6+ ) l “、 一 。陋 k m 赳 8 8+ 山东大学博士学位论文 因v ( 1 ) 却( o ) ，显然r l 0 于是r ( 0 ，1 设 m i n v ( t ) ，t j ) = ( 罚) 显然v ( r o ) o 否则由( 1 4 4 ) 分段说明便知( t ) 在，上递减，这与v ( 1 ) 却( o ) 矛 盾设v ( r o ) = 一a 0 ，分两种情况讨论 情形一：7 - o 0 ，r 1 】，则有 ”( q ) ：”( ) + ，”，( ) d t + ”i 。“ 。* t o t i t o ，7 - 1 ) 一a 一【0 ( ) ( t ) + 6 ( t ) ( t u ) ( t ) + c ( t ) ( s u ) ( t ) 】疵一f ( 如) “。t|tera，t1】 + a 肛州t ,